Matematické základy počítačové grafiky - Barborka - Vysoká škola ...

1.4 Projektivní prostor, projektivní transformace 9souřadnice afinní na homogenní. Nejčastěji jednoduše tak, že jako homogenní souřadnicebodu berou čtveřici (x, y, z, 1). Tím je z nekonečně mnoha možných vektorůreprezentujících bod X v P 3 vybrán jediný, a to ten, pro který platí w = 1. Zobrazenístředovým promítáním se prakticky vždy řeší v homogenních souřadnicích.Před vykreslením výsledného obrazu (např. na obrazovku nebo do souboru) je alezapotřebí vrátit se k souřadnicím afinním. To se provádí (jak již víte) normalizací.Před provedením normalizace bývá provedeno ořezání výsledného obrazu do zvolenéhokonečného zorného objemu, takže obraz již neobsahuje nevlastní body, kteréby jinak při provádění normalizace vedly k dělení nulou. Také rovnoběžné promítánía modelovací transformace se v grafických systémech obvykle řeší s využitím homogenníchsouřadnic, a to přestože by to v tomto případě nebylo nezbytně nutné. Zdese jednoduše i pro řešení speciální úlohy využívá obecnějšího nástroje, protože jejsystém zpravidla stejně tak či tak již obsahuje.Příklad 1.4. Cílem tohoto příkladu je ukázat, že úlohy, které se čtenář ve středoškolskéa vysokoškolské matematice již naučil řešit v prostorech afinních, lze stejnědobře a jednoduše řešit také v prostorech projektivních. Uvažujme následující úlohu:Určete v P 2 rovnici přímky, která prochází body A, B o homogenních souřadnicích(x A , y A , w A ), (x B , y B , w B ). Řešte nejprve obecně, pak pro A = (0, 0, 1), B = (1, 0,1) a pro A = (1, 0, 1), B = (0, 1, 1).☞Řešení. Abychom co nejvíce ilustrovali příbuznost s již známými řešeními v afinnímprostoru, ukážeme dvě řešení zadané úlohy.1. Nechť (˜x, ˜y) jsou afinní souřadnice bodu. Uvažujme dobře známou rovnicipřímky ve tvaru a˜x + b˜y + c = 0, která platí pro souřadnice afinní. Nechť(x, y, w) jsou homogenní souřadnice téhož bodu. Víme, že afinní souřadnicelze získat normalizací. Máme ˜x = x/w, ˜y = y/w. Dosadíme-li hodnoty ˜x, ˜ydo dříve uvedené rovnice přímky, dostaneme po úpravě rovnici ve tvaru ax +by + cw = 0, která platí pro body zadané v homogenních souřadnicích. Předpokládejmena okamžik, že hodnoty a, b, c jsou známy. Násobíme-li rovnicireálným číslem λ≠0, pak dostaneme rovnici λax + λby + λcw = 0. Je zřejmé,že také rovnice ^ax + ^by + ^cz = 0, kde ^a = λa, ^b = λb, ^c = λc, je rovnicítéže přímky. Odtud vyplývá, že hodnoty a, b, c nebude možné jednoznačněstanovit pouze ze znalosti souřadnic bodů, jimiž přímka prochází. Bude zapotřebípoužít vhodné doplňující podmínky. (Na stejný problém bychom ovšemnarazili i při řešení v prostoru afinním.) Pro stanovení koeficientů a, b, c takmáme rovnice ax A + by A + cw A = 0, ax B + by B + cw B = 0. „Univerzální“doplňující podmínkou je např. podmínka ve tvaru a 2 + b 2 + c 2 = 1. Použitíuvedené podmínky ovšem bohužel vede na systém, který je nelineární. Tutopotíž lze obejít např. použitím podmínky a + b + c = 1 nebo podmínky a+ b + c = 0. Použije se ta varianta, pro níž má systém řešení. Uvedenýmpostupem získáme pro první a druhou dvojici zadaných bodů A, B rovnicepřímek ve tvaru x + y − w = 0, x − y = 0.