Matematické základy počítačové grafiky - Barborka - Vysoká škola ...

1.4 Projektivní prostor, projektivní transformace 15Xf( f < 0)SzX’xπObr. 1.5: K ověření činnosti matice středového promítání z příkladuHodnoty, které od uvedené projekce očekáváme intuicí, lze opět snadno odvoditpomocí obr. 1.5, podobně jako jsme to provedli u středového promítaní z předchozíhopřehledu. Tentokrát zjistíme shodu u všech tří souřadnic (x, y, z), což prokazujesprávnost dokazovaného tvrzení. Za povšimnutí stojí, že ke shodě nyní došlo i vetřetí souřadnici. Jak intuice, tak transformace popsaná maticí dávají shodně třetísouřadnici průmětu z = f. To ale činí uvedenou variantu poněkud méně praktickou,jestliže by měl následovat výpočet viditelnosti.Příklad 1.7. Ukažte, že matic realizujících nějakou jedinou konkrétní projektivnítransformaci je nekonečně mnoho.☞Řešení. Předpokládejme, že T je matice popisující uvažovanou transformaci. NechťX značí bod, který je transformací zobrazen na bod Y. Body X, Y nechť jsou reprezentoványtakovými vektory x, y svých homogenních souřadnic, že platí y = xT.Vezměme nyní libovolné reálné λ ≠ 0 a násobme jím uvedenou rovnici. Dostanemevztah λy = x (λT). Jestliže vektor y souřadnic reprezentoval bod Y (což jsme předpokládali),pak vektor λy reprezentuje bod Y také (víme totiž, že v projektivnímprostoru je každý bod reprezentován nekonečně mnoha kolineárními vektory). Shledávámetedy, že jestliže T byla matice realizující požadovanou projekci, pak lze tutéžprojekci realizovat i maticí λT.Příklad 1.8. Odhadněte, jakou transformaci realizuje matice⎡⎤1 0 0 −1fT = ⎢0 1 0 0⎥⎣0 0 1 0 ⎦ .0 0 0 1☞Řešení. Na základě předchozího přehledu lze snadno odhadnout, že se jedná o maticirealizující středové promítání na rovinu yz. Afinní souřadnice středu projekce jsou(f, 0, 0).