Matematické základy počítačové grafiky - Barborka - Vysoká škola ...

1.4 Projektivní prostor, projektivní transformace 7Matice A x , A y , A z odpovídají rotaci kolem jednotlivých souřadných os. S ohledemna výsledek předchozího příkladu, v němž jsme odvodili předpis pro matici A ⊤ z , jemůžeme ihned zapsat. Máme⎡1 0 0A x = ⎣0 cos α − sin α0 sin α cos α⎤⎡⎦ , A y = ⎣cos β 0 sin β0 1 0− sin β 0 cos β⎤ ⎡cos γ − sin γ⎤0⎦ , A z = ⎣sin γ cos γ 0⎦ .0 0 1Příklad 1.3. Promyslete, kolik nezávislých hodnot obsahuje matice A afinní ortonormálnítransformace. Uvažujte trojrozměrný prostor.Řešení. Třebaže matice A obsahuje celkem 9 prvků, jsou v případě ortonormálnítransformace jen tři z nich nezávislé. Ostatní prvky je totiž možné dopočítat zevztahu AA ⊤ = I, který poskytuje šest rovnic pro šest zbývajících prvků. Situaci jižtaké ilustroval předchozí příklad. Rotace je ortonormální transformací. Nebylo protodivu, že k jejímu popisu stačily jen tři nezávislé hodnoty. V předchozím příkladě tobyly úhly α, β, γ.ShrnutíV tuto chvíli byste měli zejména znát, jak lze matematicky popsat afinní transformaci.Měli byste být schopni stanovit matici a vektor, které transformaci popisují.Měli byste vědět, co je ortonormální transformace a také byste měli umět těžit zespeciálních vlastností matice, která ji popisuje.1.4 Projektivní prostor, projektivní transformacePři použití afinních prostorů v grafických systémech lze v některých situacích narazitna jisté problémy. Významným problémem je například to, že není jednoduše možnépracovat s body v nekonečnu (s tzv. nevlastními body). I když jsou praktické scényzpravidla konečné, mohou nevlastní body vzniknout při zobrazování scén (např. přivelmi obvyklém středovém promítání na rovinnou průmětnu může průmět některýchbodů scény padnout do nekonečna). Problém spočívá v tom, že vektor reprezentujícínevlastní bod v afinním prostoru by měl mít jednu nebo více složek rovnýchhodnotě ±∞. Hodnotu ∞, jak víte, nelze ale v počítači jednoduše reprezentovat.Navíc by tato hodnota měla být i výsledkem aritmetických operací, což opět neníjednoduše možné. Uvedené potíže lze překonat zavedením projektivního prostoru.Projektivní transformace, která se nad projektivními prostory zavádí, je také obecnějšínež transformace afinní. Například: Zatímco pomocí afinní transformace lzerealizovat zobrazení pouze rovnoběžným promítáním, umožňuje projektivní transformaceprovádět promítání rovnoběžné i středové. V této podkapitole se projektivníprostor a projektivní transformaci naučíte používat.Zavedení projektivního prostoru a tzv. homogenních souřadnic, které v projektivnímprostoru jednotlivé body reprezentují, lze názorně vysvětlit ve dvojrozměrném☞