Matematické základy počítačové grafiky - Barborka - Vysoká škola ...

2.2 Plochy v počítačové grafice 452.2.2 u-křivky, v-křivkyn(u, v) = p u(u, v) × p v (u, v)|p u (u, v) × p v (u, v)| . (2.32)Nastavíme-li parametr u vektorové rovnice plochy p(u, v) jako konstantu u = u 0 == konst., dostaneme tzv. u-křivku plochyp(u 0 , v) = p(v) = (x(u 0 , v), y(u 0 , v), z(u 0 , v)) . (2.33)Analogicky pro parametr v = v 0 = konst., kde dostaneme tzv. v-křivku.p(u, v 0 ) = p(u) = (x(u, v 0 ), y(u, v 0 ), z(u, v 0 )) . (2.34)Mějme plochu zadanou vektorovou rovnicí p(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)),kde u, v ∈ ⟨0, 1⟩ jsou rohové body plochy dány p(0, 0), p(1, 0), p(0, 1), p(1, 1).Okrajové křivky plochy jsou u, v-křivky pro hodnoty parametru u = 0, 1 a parametruv = 0, 1. Tyto vlastnosti budou velmi důležité v případě navazování částí ploch nasebe a dodržení určité třídy parametrické nebo geometrické spojitosti (C n a G n ).2.2.3 Křivost plochyV porovnání s křivkami budeme u ploch rozlišovat více druhů křivosti, než jak tobylo u ploch. Je to dáno tím, že vybraným bodem regulární plochy může procházetlibovolný počet křivek. Jednotlivé křivosti vycházejí z normálové křivosti.Definice 2.27. V regulárním bodě plochy můžeme pro konkrétní tečnu a křivky,procházející tímto bodem a dotýkající se příslušné tečny, určit tzv. normálovoukřivost křivky v konkrétním bodě jakok n = k 1 (n k · n) = k 1 cos γ , (2.35)tedy jako první křivost křivky, vynásobená úhlem svírajícím normálou plochya hlavní normálou příslušné křivky. Všechny zkoumané křivky procházející tímtobodem, dotýkající se společné tečny, budou mít normálovou křivost stejnou.Jelikož však v tomto bodě je celá tečná rovina (a tím i nekonečně mnoho tečen),budeme rozlišovat limitní případy normálové křivosti, kterými bude minimálnínormálová křivost (k n,min ) a maximální normálová křivost (k n,max ).Gaussovou křivostí plochy v daném bodě pak rozumíme čísloStřední křivost plochy je dána jakok G = k n,min · k n,max . (2.36)k H = k n,min · k n,max2. (2.37)