Noter til Geometri 1

Noter til Geometri 1
Ib Madsen
Maj 2002

Indhold
1 Metriske rum 2
2 Fuldstændige metriske rum 8
3 Eksistens- og entydighedssætningen for 1. ordens differentialligninger
12
4 Den globale eksistenssætning 18
5 Topologiske rum 22
6 Kompakte rum 30
7 Den inverse funktions sætning 36
8 Regulære flader i R 3 43
9 Opgaver 46
1

1 Metriske rum
I det euklidiske talrum R n har vi den sædvanlige norm
|x| =(x 2 1 + ···+ x 2 n) 1/2 , x =(x1,...,xn)
og den hertil hørende afstandsfunktion
d(x, y) =|x − y|. (1.1)
For enhver delmængde X ⊆ R n giver restriktionen af d en afbildning
med følgende egenskaber:
d : X × X → R
(M1) d(x, y) ≥ 0ogd(x, y) =0⇔ x = y (tro)
(M2) d(x, y) =d(y, x) (symmetri)
(M3) d(x, z) ≤ d(x, y)+d(y, z) (trekantsulighed)
Definition 1.1. Et metrisk rum er et par (X, d) best˚aende af en mængde
X og en afbildning d : X × X → R , som opfylder M1, M2 og M3.
Afbildningen d iovenst˚aende definition kaldes afstandsfunktionen eller
metrikken p˚a X. Vi anvender ofte en geometrisk sprogbrug og kalder elementerne
i X for punkter.
Eksempel 1.2. Kugleoverfladen S 2 = {x ∈ R 3 |x| =1} er en delmængde af
R 3 og dermed et metrisk rum ved at bruge afstandsfunktionen i (1.1) p˚a R 3 .
Men der er en anden afstandsfunktion, som kan synes mere rimelig, nemlig
buelængden af den korteste storcirkel, som forbinder de to punkter. Mere
konkret har vi en bijektiv, aftagende afbildning
cos : [0,π] → [−1, 1],
med invers afbildning arccos, og vi definerer
d : S 2 × S 2 → R, d(x, y) = arccos(〈x, y〉), (1.2)
hvor 〈x, y〉 = x1y1 + x2y2 + x3y3 er det sædvanlige indre produkt i R 3 .Betingelserne
M1 og M2 er lette, men M3 kræver en overvejelse.
Lad x, y, z ∈ S 2 og sæt d(x, y) =a, d(y, z) =b, d(x, z) =c. Dacosinus
er aftagende p˚a intervallet [0,π], er det tilstrækkeligt at vise uligheden
cos(a + b) ≤ cos(c) fora + b ≤ π. (1.3)
2

Hvis a + b ≥ π, s˚a er trekantsuligheden a + b ≥ c automatisk opfyldt, da
c ≤ π.
For at vise (1.3) indfører vi projektionerne ¯x, ¯z af x, z p˚aplanen{y} ⊥ ,
En let udregning giver
¯x = x −〈x, y〉y , ¯z = z −〈z, y〉y.
|¯x| 2 = 〈¯x, ¯x〉 =1−〈x, y〉 2 =1− cos 2 (a) =sin 2 (a)
og tilsvarende |¯z| 2 =sin 2 (b). Da b˚ade a og b ligger i intervallet [0,π]ersin(a)
og sin(b) ikke-negative, og
Additionsformlen
giver
sin(a) =|¯x| , sin(b) =|¯z|
cos(a + b) =cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)
cos(a + b) = 〈x, y〉〈y, z〉−|¯x|·|¯z|
= 〈x, z〉−〈¯x, ¯z〉−|¯x|·|¯z|
≤ 〈x, z〉
I sidste ulighed har vi anvendt Cauchy-Schwarz’ ulighed |〈¯x, ¯z〉| ≤ |¯x|·|¯z|.
Definition 1.3. Et normeret vektorrum er et vektorrum V med en afbildning
som opfylder:
(i) N(v) ≥ 0ogN(v) =0⇒ v =0
(ii) N(λv) =|λ|·N(v), λ ∈ R
(iii) N(v + w) ≤ N(v)+N(w).
N : V → R ,
I mange vigtige tilfælde kommer normen fra et indre produkt,
〈·, ·〉 : V × V → R ,
3

p˚a vektorrummet V . Vi minder om, at et indre produkt opfylder følgende
betingelser
(i) 〈v, v〉 ≥0og〈v, v〉 =0⇒ v = 0 (tro)
(ii)
〈v1 + v2,w〉 = 〈v1,w〉 + 〈v2,w〉,
〈v, w1 + w2〉 = 〈v, w1〉 + 〈v, w2〉,
〈λv, w〉 = λ〈v, w〉
〈v, λw〉 = λ〈v, w〉
(bilinearitet)
(iii) 〈v, w〉 = 〈w, v〉 (symmetri)
I et vektorrum med indre produkt (V,〈·, ·〉) gælder Cauchy-Schwarz’ ulighed:
|〈v, w〉| ≤ |v|·|w|, |v| = 〈v, v〉 1/2
(1.4)
Beviset for (1.4), som skulle være kendt fra Mat 10, er som følger. Fra (i) og
(ii) ser vi, at
〈w, w〉t 2 +2〈v, w〉t + 〈v, v〉 = 〈v + tw, v + tw〉 ≥0
Funktionen At2 +2Bt + C har minimum i punktet t = −B/A med værdien
B2 /A − 2B2 /A + C ≥ 0. Dette giver B2 ≤ AC, som medfører (1.4).
Et vektorrum med indre produkt bliver et normeret vektorrum med normen
N(v) =〈v, v〉 1/2 .
Trekantsuligheden for N følger fra Cauchy-Schwarz’ ulighed.
Et normeret vektorrum (V,N) er et metrisk rum med afstandsfunktionen
dN : V × V → R ,dN(v, w) =N(v − w)
Eksempel 1.4. Den euklidiske norm |·| p˚a R n med tilhørende afstandsfunktion
d fra (1.1) kommer fra det sædvanlige indre produkt p˚a R n ,
Herertoandrenormerp˚a R n :
〈x, y〉 = x · y = xiyi.
|x|∞ = max{|xi| i =1,...,n}
|x|1 = |x1| + ...+ |xn| , x =(x1,...,xn).
Eksempel 1.5. Lad K =[a, b] væreetlukketintervalp˚a den reelle akse.
Det uendeligt dimensionale vektorrum C(K, Rm ) af kontinuerte funktioner
fra K ind i Rm har et indre produkt:
〈〈f,g〉〉2 = f(t) · g(t)dt
K
4

og en tilhørende norm, som ofte kaldes L 2 -normen,
f2 = 〈〈f,f〉〉 1/2
2 . (1.5)
For vores senere anvendelser er det dog en anden norm, som vil blive brugt,
nemlig den s˚akaldte supremumsnorm:
f∞ =sup{|f(t)| t ∈ K}. (1.6)
Vi minder om, at en følge {fn} i C(K, R m ) kaldes uniformt konvergent med
grænseværdi f : K → R m ,hvis
f − fn∞ → 0forn →∞
og at f nødvendigvis bliver kontinuert.
I et metrisk rum (X, d) indføres ˚abne og lukkede kugler:
Bd(x, r) = {y ∈ X| d(x, y) 0 ∃ δ>0:dX(x, y) 0medf(B(x, δ)) ⊆ B(f(x),ε)ogdermedB(x, δ) ⊆ f −1 (U). Dette
gælder for ethvert x ∈ f −1 (U), som derfor er ˚aben.
Antag modsat, at f −1 (U) er˚aben for enhver ˚aben delmængde U af Y .
Vi viser, at f er kontinuert i punktet x ∈ X. Ladε>0. Da B(f(x),ε) ⊆ Y
er ˚aben, er f −1 (B(f(x),ε)) ⊆ X ˚aben, og da x ∈ f −1 (B(f(x),ε)) findes en
kugle B(x, δ) ⊆ f −1 (B(f(x),ε)). Dette er præcis betingelsen (1.8).
5

Definition 1.8. En delmængde A ⊆ X af det metriske rum kaldes lukket,
s˚afremt komplementet X − A er ˚abent.
Vi bemærker, at Sætning 1.7 har følgende korollar.
Sætning 1.9. En afbildning f : X → Y mellem metriske rum er kontinuert,
hvis og kun hvis urbilledet f −1 (A) er lukket for enhver lukket mængde A ⊆ Y .
Bevis. Der gælder for urbilleder, at
Betingelserne
er derfor ækvivalente.
f −1 (Y − A) =X − f −1 (A).
f −1 (˚aben) = ˚aben
f −1 (lukket) = lukket
Forskellige metrikker d og d ′ p˚a den samme mængde X kan give anledning
til det samme system af ˚abne mængder. Dette sker, hvis metrikkerne opfylder
følgende betingelse:
Til ethvert x ∈ X og ethvert ε>0 findes δ>0ogδ ′ > 0, s˚aledes at
Bd(x, δ) ⊆ Bd ′(x, ε) ogBd ′(x, δ′ ) ⊆ Bd(x, ε) (1.9)
Vi kalder s˚adanne metrikker ækvivalente.
Sætning 1.10. Ækvivalente metrikker giver samme system af ˚abne mængder.
Bevis. Hvis U er ˚aben m.h.t. d ′ og x ∈ U, s˚a findes ε>0, s˚a Bd ′(x, ε) ⊆ U.
Vælg δ>0medBd(x, δ) ⊆ Bd ′(x, ε) ⊆ U. DermederU˚aben m.h.t. d.
Eksempel 1.11. Metrikkerne p˚a R n givet ved
d1(x, y) =
(xi − yi) 2
1/2 d2(x, y) = max|xi−yi| d3(x, y) = |xi − yi|
er alle ækvivalente. For n = 2 har vi følgende billede af enhedskuglerne m.h.t.
de tre metrikker
6

Den yderste kasse er Bd2(0, 1), den inderste kasse er Bd3(0, 1) og cirkelskiven
er enhedskuglen hørende til d1.
7

2 Fuldstændige metriske rum
I dette afsnit studerer vi konvergens af følger i metriske rum X =(X, d).
Definition 2.1. En følge {xk} af punkter i X siges at konvergere mod x ∈ X,
hvis der til ethvert ε>0 findes et tal N ∈ N, s˚aledes at xk ∈ B(x, ε) for
k ≥ N.
For to forskellige punkter x, y ∈ X giver trekantsuligheden, at B(x, ε) ∩
B(y, ε) =∅ n˚ar ε< 1
2d(x, y). En konvergent følge {xk} kan derfor kun konvergere
mod ét punkt x ∈ X. Dette kaldes grænseværdien for {xk}, ogman
skriver ofte xk → x for k →∞.
I §1 definerede vi begrebet lukket delmængde af et metrisk rum, Definition
1.8. Lukkede mængder kan ogs˚a karakteriseres ved følgers grænseværdi p˚a
følgende vis:
Lemma 2.2. En delmængde A af et metrisk rum X er lukket, hvis og kun
hvis A opfylder følgende betingelse:
Lad {xk} være en vilk˚arlig konvergent følge i X med grænseværdi
x. Hvisxk ∈ A for k ∈ N, s˚avilx ∈ A.
Bevis. Antag at X −A er˚aben, at xk ∈ A for alle k,ogatxk → x for k →∞.
Vi skal vise, at x ∈ A. Antag modsætningsvis, at x ∈ X − A. DaX− A
er ˚aben, findes der et ε>0, s˚aledes at kuglen B(x, ε) ⊆ X − A. Dax er
grænseværdien for {xk}, m˚a xk ∈ B(x, ε) forktilstrækkeligt stor i modstrid
med, at xk ∈ A for alle k. Vislutterheraf,atx∈ A.
Lad os omvendt antage, at A ⊆ X er en delmængde, som opfylder betingelsen
i lemmaet, og vælg et punkt x ∈ X − A. Vi skal finde et ε>0, s˚a
B(x, ε) ⊆ X − A. Antag modsætningsvis, at dette ikke kan lade sig gøre. S˚a
er
B x, 1
∩ A = ∅ for alle k.
k
Vælg et xk i denne mængde. Følgen {xk} af elementer i A konvergerer mod
x. Thi for ethvert ε>0er1 >εfor k>1 . Dette er en modstrid.
k ε
Definition 2.3. En følge {xk} af punkter i X kaldes en Cauchy følge,s˚afremt
der til ethvert ε>0 findes et N ∈ N, s˚aledes at d(xn,xm)

Det er velkendt, at det euklidiske talrum R n med den sædvanlige afstandsfunktion
(1.1) er fuldstændigt. Vektorrummet C(K, R n ) af kontinuerte funktioner
fra det lukkede interval K =[a, b] medL 2 -normen f2 fra Eksempel
1.5 er derimod ikke fuldstændigt.
Hvis vi giver C(K, R n ) supremumsnormen og den tilhørende afstandsfunktion
s˚agælder:
d(f,g)∞ = f − g∞ =sup{|f(t) − g(t)| t ∈ K} (2.1)
Sætning 2.5. Det metriske rum C(K, R n ) med afstandsfunktionen i (2.1)
er fuldstændigt.
Bevis. Lad {fk} være en Cauchy følge i C(K, R n ). Til ε>0 findes N ∈ N,
s˚a
fn − fm∞

Sætning 2.6 (Fikspunktssætningen). En kontraktion T p˚aetfuldstændigt
metrisk rum har præcist et fikspunkt.
Bevis. Vi viser først eksistensen af et fikspunkt. Vælg et vilk˚arligt x0 ∈ X.
Dette giver en følge {xn} i X ved at sætte x1 = Tx0, x2 = Tx1 osv., dvs.
xn = T n (x0).
Vi p˚ast˚ar, at {xn} er en Cauchy følge. For vilk˚arlige n, k ∈ N giver trekantsuligheden,
at
og derfor induktivt, at
d(xn+k,xn) ≤ d(xn+k,xn+k−1)+d(xn+k−1,xn),
k−1
d(xn+k,xn) ≤ d(xn+i+1,xn+i). (2.4)
i=0
Nu er xn+i = T n+i (x0), s˚a (2.3) viser, at
Induktivt f˚ar vi derfor uligheden
d(xn+i+1,xn+i) ≤ βd(xn+i,xn+i−1).
d(xn+i+1,xn+i) ≤ β n+i d(x1,x0).
Fra (2.4) ser vi, at
d(xn+k,xn) ≤ (β n + β n+1 + ...+ β n+k−1 )d(x1,x0) =β n
k 1 − β
d(x1,x0).
1 − β
Højre side af denne ulighed konvergerer mod nul for n →∞,s˚a {xn} er en
Cauchy følge i X. DaX er forudsat at være fuldstændigt, er følgen konvergent:
xn → x for n →∞.
Det følger fra (2.3), at T er en kontinuert funktion og at d(Txn,Tx) → 0for
n →∞,s˚a
Txn → Tx for n →∞.
Men Txn = xn+1, s˚a følgen {Txn} har samme grænsepunkt som {xn}, dvs.
Tx = x. Vi har hermed fundet et fikspunkt for T .
Antag, at x og y begge er fikspunkter for T . Fra (2.3) ses, at
d(x, y) =d(Tx,Ty) ≤ βd(x, y).
Da β

I næste paragraf skal vi anvende fikspunktssætningen p˚a en lukket delmængde
af C(K, R n ), og vi har brug for følgende:
Lemma 2.7. Lad (X, d) være et fuldstændigt metrisk rum og A ⊆ X en
lukket delmængde. S˚a er det metriske rum (A, d) fuldstændigt.
Bevis. Lad {an} være en Cauchy følge af punkter i A. DaX er fuldstændigt
har {an} en grænseværdi x ∈ X. Det følger fra Lemma 2.2, at x ∈ A.
Bemærkning 2.8. Mange interessante metriske rum er ikke fuldstændige.
Herertovigtigeeksemplerp˚as˚adanne:
(i) (Q,d) ; d(x, y) =|x − y|
(ii) C(K, Rn ) ; d2(f,g) =f − g2, hvor.2er normen hørende til det
indre produkt 〈〈f,g〉〉 =
f(t)·g(t)dt,hvorKsom ovenfor er et lukket
K
interval.
Vi afslutter denne paragraf med at formulere en sætning, som fortæller,
at ethvert metrisk rum kan opfattes som delrum af et fuldstændigt metrisk
rum.
En delmængde T af et metrisk rum X kaldes tæt i X, hvisenhver˚aben
mængde i X indeholder punkter fra T . Der gælder nu følgende generelle
Sætning 2.9. Lad (X, d) være et metrisk rum. S˚a findes et fuldstændigt
metrisk rum ( X, d), og en afstandsbevarende afbildning i : X → X,s˚aledes
at i(X) er tæt i X.Tos˚adanne fuldstændiggørelser er isometriske, dvs. der
findes en afstandsbevarende bijektion mellem dem.
I eksemplerne (i) og (ii) fra Bemærkning 2.8 har vi
(Q,d) = R
(C(K, R n ),d2) = L 2 (K, R n )
hvor L 2 (K, R n ) er rummet af funktioner, hvis kvadrat er Lebesgue integrabel.
Sætning 2.9 findes bevist i [BV] (Se ogs˚a Opgave 7.17 eller 10.16 i [R]). At
L 2 (K, R n ) er fuldstændigt er bevist i kurset Analyse 1, se [R].
11

3 Eksistens- og entydighedssætningen for 1.
ordens differentialligninger
Lad U ⊆ R n være ˚aben (m.h.t. den sædvanlige afstandsfunktion) og lad
I =(a, b) væreet˚abent interval i R. Vi betragter en kontinuert funktion
f : U × I → R n
(3.1)
I denne paragraf skal vi undersøge, i hvilket omfang der findes differentiable
kurver x : I → U, s˚a
x ′ (t) =f(x(t),t); t ∈ I (3.2)
Vi tænker p˚a f som givet og ønsker at finde alle løsninger x, som opfylder
ligningen (3.2). En s˚adan ligning kaldes en ordinær differentialligning
(p˚a engelskOrdinary Differential Equation). Vi skal arbejde under følgende
antagelse p˚a f:
Afbildningen f : U × I → R n er kontinuert, de partielle afledede
∂f
(x, t), i=1,...,n, eksisterer for alle (x, t) ∈ U × I (3.3)
∂xi
og er kontinuerte p˚a U × I.
Bemærk at der ikke gøres nogen antagelse om eksistensen af den afledede
af f med hensyn til t. Hovedsætningen siger nu følgende:
Hovedsætning 3.1. Lad U være en ˚aben delmængde af R n , I ⊆ R et ˚abent
interval og
f : U × I → R n
en funktion som opfylder antagelsen (3.3). Da har vi
(i) (Lokal eksistens) Til x0 ∈ U og t0 ∈ I findes et ˚abent interval J ⊆ I,
som indeholder t0, og en differentiabel kurve x : J → U med x(t0) =x0,
og som løser (3.2).
(ii) (Global entydighed) Hvis x1,x2 : I → U er løsninger til (3.2), og der
findes et t0 med x1(t0) =x2(t0), s˚aerx1 = x2.
Beviset tager resten af denne paragraf. Først har vi brug for et lemma.
Lemma 3.2. Lad D0 = B(x0,r) ⊆ U og I0 =[t0 − a, t0 + a] ⊆ I. Under
antagelsen (3.3) findes der en konstant c, s˚a
|f(y, t) − f(x, t)| ≤c|y − x| for x, y ∈ D0, t∈ I0
12

Bevis. Da D0 ×I0 ⊆ Rn+1 er lukket og begrænset, har enhver af funktionerne
∂fj
∂xi (x, t) etmaksimumogetminimump˚aD0 × I0, [KT] Sætning 2.11. Der
findes derfor en konstant d ∈ R, s˚a
∂fj
(x, t)
∂xi
≤ d; i, j =1,...,n, (x, t) ∈ D0 × I0.
For x, y ∈ D0 og t ∈ I0 har vi de differentiable funktioner p˚a U,
z ↦→ fj(z, t), j =1,...,n.
Vi p˚ast˚ar, at der findes et punkt z j
t ∈ [x, y] p˚a liniestykket, der forbinder x
med y i D0, s˚aledes at
fj(y, t) − fj(x, t) = ∂fj
i
∂xi
(z j
t ,t)(yi − xi). (3.4)
Dette ses p˚a følgende m˚ade. Liniestykket [x, y] ermængden
[x, y] ={θx +(1− θ)y | 0 ≤ θ ≤ 1}.
Vi lader g t j være restriktionen af fj(−,t)til[x, y],
g t j(θ) =fj(θx +(1− θ)y, t), 0 ≤ θ ≤ 1
Middelværdisætningen fortæller, at der findes et θ t j ∈ (0, 1), s˚a
g t j (1) − gt j (0) = ∂gt j
∂θ (θt j ).
Vi kan bruge kædereglen, [KT] Sætning 4.3, til at udregne differentialkvotienten
af den sammensatte funktion gt j(θ):
∂g t j
∂θ (θt j )=
n ∂fj
(θ
∂xi
t jx +(1−θt j )y, t)(xi − yi).
i=1
Sæt z t j = θt j x +(1− θt j )y. Dette zt j
opfylder nu (3.4), og dermed f˚as
|fj(y, t) − fj(x, t)| ≤d |yi − xi| ≤ √ nd|y − x|,
hvor den sidste ulighed følger fra Cauchy-Schwarz’ ulighed:
|yi − xi| = |〈y − x, 〉| ≤ |y − x|·| | = √ n|y − x|,
hvor =(1, 1,...,1). Det følger s˚a, at
|f(y, t) − f(x, t)| ≤nd|y − x|.
13

Bevis. (for Sætning 3.1)
(i) Lokal eksistens: Vælg I0 og D0 som i Lemma 3.2. For et lukket og
begrænset delinterval K af I0 som indeholder t0, definerer vi en afbildning
hvor Tx er funktionen
Tx(t) =x0 +
T : C(K, D0) → C(K, R n ),
t
t0
f(x(s),s)ds, t ∈ K. (3.5)
At Tx faktisk er en kontinuert funktion i t ses let, idet f er kontinuert. Vi vil
først vise, at n˚ar længden ℓ(K) afK er lille, da vil T transformere C(K, D0)
i sig selv. Lad S =sup{|f(x, t)| (x, t) ∈ D0 × I0}. S˚agælder
t
|Tx(t) − x0| ≤
|f(x(s),s)|ds
≤
t
Sds
≤ Sℓ(K), t ∈ K.
t0
Det følger, at Tx(t) ∈ D0 for alle t ∈ K n˚ar ℓ(K) ≤ rS−1 . I det følgende
antages dette. Vi betragter nu T som en operator p˚a C(K, D0). For x, y ∈
C(K, D0) har vi, idet vi benytter supremumsnormen ·∞ p˚a C(K, Rn )fra
(2.1), at
t
|Ty(t) − Tx(t)| =
(f(y(s),s) − f(x(s),s))ds
(3.6)
t0
t
≤
|f(y(s),s) − f(x(s),s)|ds
t0
t
≤
c|y(s) − x(s)|ds
t0
t
≤
cy − x∞ds
t0
= cy − x∞ ·|t− t0| ≤cℓ(K)y − x∞, ∀t ∈ K.
Det følger, at
t0
Ty− Tx∞ ≤ cℓ(K)y − x∞. (3.7)
Lad os rekapitulere situationen. Vi begyndte i Lemma 3.2 med at vælge
D0 = B(x0,r)ogetintervalI0 ⊆ I som indeholder t0, og fandt en konstant
c ≥ 0, s˚aledes at uligheden i Lemma 3.2 er opfyldt. Ovenfor s˚a vi, at hvis
K ⊆ I0 er et delinterval, som indeholder t0, s˚a giver T defineret i (3.5) en
afbildning
T : C(K, D0) → C(K, D0), (3.8)
14

forudsat at længden ℓ(K) af intervallet K opfylder uligheden ℓ(K) ≤ rS−1 .
Her er r radius i D0 og S er supremum af {|f(x, t) | (x, t) ∈ D0 × I0}. I(3.7)
fandt vi at T er en kontraktion forudsat at cℓ(K) < 1.
Vi vælger nu K s˚a lille, at begge uligheder er opfyldt, dvs.
1 r
ℓ(K) < min , . (3.9)
c S
Vi ønsker at bruge fikspunktssætningen, Sætning 2.6, p˚a afbildningen T i
(3.8). Dette kræver, at C(K, D0) er fuldstændigt. Vi ved fra Sætning 2.5,
at C(K, Rn ) er fuldstændigt, og ifølge Lemma 2.7 er det nok at vise, at
C(K, D0) er en lukket delmængde af C(K, Rn ). Vi bruger Lemma 2.2 og
antager at {xk} er en følge af elementer i C(K, D0), som konvergerer mod
x ∈ C(K, Rn ),
x − xk∞ → 0fork→∞ Da |x(t) − xk(t)| ≤x− xk∞ for ethvert t ∈ K, servi,at
xk(t) → x(t) fork →∞
Da xk(t) ∈ D0 og D0 ⊆ Rn er lukket, følger at x(t) ∈ D0. Dette gælder for
ethvert t ∈ K, s˚a x ∈ C(K, D0) ogC(K, D0) erlukketiC(K, Rn ), og dermed
fuldstændigt.
En anvendelse af Sætning 2.6 fortæller, at der findes et x ∈ C(K, D0)
med Tx = x. Ifølge (3.5) har vi derfor for dette x ligningen
x(t) =x0 +
t
t0
f(x(s),s)ds; t ∈ K. (3.10)
Højre side i (3.10) er en stamfunktion til funktionen g(t) =f(x(t),t), s˚a ved
differentiation f˚as
x ′ (t) =f(x(t),t). (3.11)
Dermed er x(t) en løsning til differentialligningen defineret p˚a intervallet K,
og vi har bevist den lokale eksistenssætning.
(ii) Global entydighed: Vi antager, at vi har givet to differentiable
funktioner x1,x2 ∈ C(I,U), som begge løser differentialligningen:
x ′ 1 (t) = f(x1(t),t)
x ′ 2(t) = f(x2(t),t), t ∈ I.
(3.12)
Vi antager at x1(t0) =x2(t0) =x0, ogskalvise,atx1(t) =x2(t) for alle
t ∈ I. Først viser vi, at x1(t) ogx2(t) stemmer overens i en omegn af t0 ∈ I.
15

Vi vælger D0 og K som i beviset for eksistenssætningen, s˚aledes at
T : C(K, D0) → C(K, D0)
er en kontraktion. Da x1(t0) =x2(t0) ∈ D0 og x1,x2 : K → U er kontinuerte,
findes der et delinterval t0 ∈ K0 ⊆ K, s˚a
x1(K0) ⊆ D0, x2(K0) ⊆ D0,
og dermed x1,x2 ∈ C(K0,D0). Fra (3.12) f˚as ved integration
x1(t) = x0 +
x2(t) = x0 +
t
t0
t
f(x1(s),s)ds
f(x2(s),s)ds, t ∈ K0.
t0
Dette betyder, at x1 og x2 begge er fikspunkter for
T : C(K0,D0) → C(K0,D0).
Entydighedsdelen af Sætning 2.6 fortæller, at x1(t) = x2(t) fort ∈ K0.
Betragt nu mængden
E+ = {t ∈ I t>t0,x1|[t0,t] = x2|[t0,t]}.
Da x1 og x2 stemmer overens p˚a K0,erE+ = ∅.Ladt+ =supE+. For ethvert
t0 ≤ t

Sætning 3.3. Til hvert (x0,y0) ∈ V ×R n og t0 ∈ I findes et˚abent delinterval
t0 ∈ J ⊆ I og en to gange differential kurve x : J → V s˚aledes at
(i) x ′′
(t) =g(x(t),x ′
(t),t),
(ii) x(t0) =x0 og x ′
(t0) =y0
Hvis x1,x2 : I → U opfylder (i) og (ii), s˚a erx1 = x2.
Bevis. Hvis x(t) opfylder (i) og (ii), s˚a vilkurvenx(t),y(t) ⊆ V × R n ,hvor
y(t) =x ′
(t), opfylde ligningerne
x ′
(t) =y(t)
y ′
(t) =g(x(t),y(t),t)
(3.14)
Hvis omvendt (x(t),y(t)) opfylder 3.14, s˚a opfylder x(t) ligningen 3.13. Heraf
ses at Sætning 3.3 følger fra Hovedsætning 3.1.
Tilsvarende eksistens- og entydighedssætninger kan bevises for nth ordens
differentialligninger.
17

4 Den globale eksistenssætning
I denne paragraf antager vi som hidtil at I =(a, b) eret˚abent interval, og
at
f : R n × I → R n
er kontinuert.
Definition 4.1 (Lipschitz betingelsen). Vi siger, at f opfylder den globale
Lipschitz betingelse, hvis der for ethvert lukket og begrænset interval
K ⊆ I findes en konstant cK ∈ R, s˚aledes at
for alle x, y ∈ R n og alle t ∈ K.
|f(y, t) − f(x, t)| ≤cK|y − x| (4.1)
Sætning 4.2. Lad f opfylde den globale Lipschitz betingelse. Hvis K er et
lukket og begrænset delinterval af I, t0 ∈ K og x0 ∈ R n ,s˚a vil operatoren
T : C(K, R n ) → C(K, R n ) givet ved
Tx(t) =x0 +
t
have præcist ét fikspunkt i C(K, R n ).
t0
f(x(s),s)ds, x ∈ C(K, R n ), t ∈ K
Bevis. Lad k ∈ N og x, y ∈ C(K, R n ). Vi vil vise
T k y − T k x∞ ≤ ckℓk k! y − x∞, (4.2)
hvor ℓ er længden af K og c = cK fra (4.1). Faktisk viser vi, at
|T k y(t) − T k x(t)| ≤ ck |t − t0| k
y − x∞,
k!
hvorfra (4.2) følger umiddelbart.
t ∈ K (4.3)
Vi bruger induktion over k. Tilfældet k = 0 er oplagt. Under antagelsen
18

af, at uligheden er gyldig for k, finder vi at
|T k+1 y(t) − T k+1 x(t)| = |T (T k y)(t) − T (T k x)(t)|
t
≤
(f(T
t0
k y(s),s) − f(T k
x(s),s))ds
t
≤
|f(T
t0
k y(s),s) − f(T k
x(s),s)|ds
t
≤ c
|T
t0
k y(s) − T k
x(s)|ds
t
≤ c
c
k
k! |s − t0| k
y − x∞ds
Dette afslutter beviset for (4.3). Da
=
t0
c k+1
(k +1)! |t − t0| k+1 y − x∞.
c
lim
k→∞
kℓk k! =0,
er T k en kontraktion for tilstrækkelig stort k, og vi kan anvende Sætning 2.6.
Lad x være det entydigt bestemte fixpunkt for T k .S˚aerxogs˚a et fixpunkt
for T .ThiTk (Tx)=T (T kx)=Tx,s˚a Tx er ogs˚a et fixpunkt for T k .Da
fixpunkter for T k er entydige, er Tx = x. Hvis omvendt x er et fixpunkt for
T ,s˚aerx ogs˚a et fixpunkt for T k og dermed entydigt bestemt.
Sætning 4.3. Antag at f : R n × I → R n er kontinuert og tilfredsstiller
(4.1). For ethvert t0 ∈ I og x0 ∈ R n findes en og kun en differentiabel kurve
x : I → R n ,s˚aledes at
x ′ (t) =f(x(t),t) og x(t0) =x0.
Bevis. Lad x : I → R n være en differentiabel kurve med
S˚aer
x ′ (t) =f(x(t),t)ogx(t0) =x0. (4.4)
x(t) =x0 +
t
t0
f(x(s),s)ds; t ∈ I.
Betragt nu vektorrummet C(I,Rn ) af kontinuerte afbildninger fra I til Rn og operatoren T
Tx(t) =x0 +
t
t0
f(x(s),s)ds; t ∈ I. (4.5)
19

Som vi har set, er der en 1 − 1 korrespondance mellem løsninger til ligningen
(4.4) og fikspunkter for T . Det er derfor tilstrækkeligt at vise, at operatoren
T p˚a C(I,R n ) har et og kun et fikspunkt.
For ethvert lukket og begrænset delinterval K af I som indeholder t0,
vil operatoren T inducere en operator p˚a C(K, R n ), der ifølge Sætning 4.2
har præcist ét fikspunkt xK ∈ C(K, R n ). Hvis K og L, L ⊇ K, ers˚adanne
lukkede og begrænsede delintervaller af I, vilxL(t) = xK(t) for alle t ∈
K p.g.a. entydigheden af fikspunktet. Det følger, at vi kan stykke xK’erne
sammen til et x ∈ C(I,R n ), der vil være et fikspunkt for T . Lad omvendt
x ∈ C(I,R n ) være et fikspunkt for T . For ethvert K som ovenfor vil der
gælde at x(t) =xK(t) fort ∈ K, igen p.g.a. entydigheden af fikspunktet.
Dette viser, at fikspunktet for T p˚aheleI er entydigt bestemt.
Vi betragter et simpelt eksempel p˚a en anvendelse af Sætning 4.3. Lad
Mn = Mn(R) være vektorrummet af reelle (n × n)-matricer. Vi giver Mn(R)
normen, som hører til det indre produkt
dvs.
〈A, B〉 = tr(AB T )=
|A| =
i,j
a 2 ij
n
i,j=1
1/2
.
aijbij,
Lad A : I → Mn(R) være en kontinuert afbildning. Dette er ækvivalent med
udsagnet, at hver indgang aij(t) er kontinuert. Vi betragter differentialligningen
x ′ (t) =A(t) · x(t), x(t0) =x0 (4.6)
hvor x : I → R n er en differentiabel kurve. Med notationen brugt ovenfor er
f(x, t) =A(t)x. Vi viser at denne funktion opfylder (4.1).
Lad K være et lukket og begrænset delinterval af I. Betragt nu funktionen
g : R n × K → R givet ved
g(x, t) =|A(t)x|
for (x, t) ∈ R n × K. Dag er en sammensætning af kontinuerte funktioner, er
g kontinuert. Men s˚a erg begrænset p˚a den lukkede og begrænsede mængde:
{(x, t) ∈ R n × K |x| =1}.
20

Alts˚a ladcK∈R, s˚aledes at g(x, t) ≤ cK for t ∈ K og |x| =1.Ladnux, y ∈
Rn være vilk˚arlige, s˚aledes at x = y og t ∈ K. Viserda,atg( y−x
,t) ≤ cK,
|x−y|
hvilket er ækvivalent med, at
som netop er (4.1).
|f(y, t) − f(x, t)| ≤cK|y − x|,
Korollar 4.4. Lad I være et ˚abent interval og A : I → Mn(R) en kontinuert
afbildning. For t0 ∈ I og x0 ∈ R n findes der en entydig bestemt differentiabel
kurve x : I → R n som er løsning til (4.6).
Bemærkning 4.5. Ib˚ade §3 og§4 har vi antaget, at funktionen
f : U × I → R n
er kontinuert, og vi har fundet differentiable løsninger x(t) til differentialligningen
x ′ (t) =f(x(t),t).
Hvis vi antager, at f er uendelig ofte differentiabel, s˚a bliver løsningerne x(t)
ogs˚a uendelig ofte differentiable. Dette følger induktivt fra selve differentialligningen.
21

5 Topologiske rum
Et topologisk rum er den mest generelle matematiske struktur, hvor begreberne
“omegn” og “kontinuitet” har en mening. Det kan sammenlignes med
de mest generelle matematiske strukturer, hvori man regner. Her er strukturerne
“gruppe”, “ring” og “vektorrum” velkendte.
Inden vi giver definitionen, er det praktisk at samle en række mængdeteoretiske
udsagn, som det overlades til læseren at bevise.
For en mængde X lader vi P(X) betegne familien af alle delmængder af
X inklusiv ∅ og X selv. En afbildning f : X → Y giver anledning til en
afbildning
f −1 : P(Y ) →P(X) (“urbilledet”)
hvor for V ∈P(X)
f −1 (V )={x ∈ X f(x) ∈ V } (5.1)
For delmængder Aα ∈P(X), α∈ I har vi deres foreningsmængde ∪Aα ∈
P(X) afelementeriX, som er indeholdt i mindst ét Aα, deres fællesmængde
∩Aα af elementer i X, som tilhører alle Aα. Endelig har vi differensmængden
(eller komplementærmængden) X − A af elementer i X, som ikke ligger i A.
Der gælder
X −
Aα =
(X − Aα), X −
Aα =
(X − Aα). (5.2)
α∈I
α∈I
α∈I
α∈I
Urbilledafbildningen fra (5.1) har følgende egenskaber:
f −1
=
f −1 (Bα)
f −1
α∈I
Bα
Bα
α∈I
=
f −1 (Bα) (5.3)
α∈I
α∈I
f −1 (Y − B) = X − f −1 (B).
Definition 5.1. En topologi p˚a enmængdeX best˚ar af en familie T af
delmængder af X, T ⊆ P(X), som opfylder
(T1) Uα ∈T,α∈ I ⇒
α∈I Uα ∈T
(T2) U1,U2 ∈T ⇒U1 ∩ U2 ∈T
(T3) ∅∈T,X∈T.
22

Vi bemærker, at (X, T ) ikke nødvendigvis er en “mængdealgebra” som
kendt fra statistik og sandsynlighedsregning, da U ∈T ikke medfører at
komplementær mængden X − U ∈T.
En mængde X med en topologi T ⊆ P(X) kaldesettopologisk rum.
Delmængderne U fra T kaldes de˚abne mængder, og vi siger at en delmængde
C ⊆ X er lukket s˚afremt differensmængden X − C er ˚aben.
Ethvert metrisk rum (X, d) er ogs˚a et topologisk rum, nemlig ved at sætte
T = Td, hvorTd er familien af ˚abne mængder som defineret i Definition 1.6.
Vi kalder Td den inducerede topologi p˚a X (opgave 5.1).
To metrikker d1 og d2 p˚a samme mængde X kan godt føre til samme
inducerede topologi, dvs. Td1 = Td2. Dette sker ifølge Sætning 1.10, hvis d1
og d2 er ækvivalente.
I Eksempel 1.11 indførte vi tre forskellige metrikker p˚a R n . Disse er alle
ækvivalente (Opgave 5.2), s˚a Td1 = Td2 = Td3. Dette kaldes den euklidiske
topologi p˚a R n .
Som vi har set giver ethvert metrisk rum et induceret topologisk rum,
og man kan spørge om ethvert topologisk rum fremkommer p˚a denne m˚ade.
Dette er ikke tilfældet – topologiske rum er et mere generelt begreb end
metriske rum (opgave 5.3).
Definition 5.2. (i) Lad x ∈ X være et punkt i et topologisk rum (X, T ). En
omegn N af x er en delmængde af X som indeholder x, og med den egenskab
at der findes U ∈T,s˚a x ∈ U ⊆ N.
(ii) En ˚aben omegn af x er en mængde U ∈T som indeholder x.
Ifølge Definition 1.6 vil Bd(x, ε) ∈Td, dvs.deer˚abne mængder i den
inducerede topologi, s˚a deer˚abne omegne af x; Bd(x, ε) erogs˚aenomegn
af x i(X, Td).
Definition 5.3. En følge af punkter {xk}k∈Æ i et topologisk rum X kaldes
konvergent med grænsepunkt x ∈ X, hvisderforenhveromegnN af x findes
et K, s˚a xk ∈ N for alle k>K.
Det skal bemærkes, at punktfølger dog ikke spiller den samme centrale
rolle i topologiske rum som de gør i R n .
Definition 5.4. Lad A være en delmængde af det topologiske rum X =(X, T ).
(i) Et punkt a ∈ A kaldes et indre punkt i A, hvisA er en omegn af a.
Mængden af indre punkter i A betegnes int(A) eller ◦
A.
(ii) Randen ∂A af A er mængden
∂A = X − (int(A) ∪ int(X − A))
23

(iii) Afslutningen af A er mængden A = ∂A ∪ int(A)
Lemma 5.5. Det indre int(A) er altid en ˚aben mængde, og det er den største
˚abne delmængde af X, som er indeholdt i A.
Bevis. Lad U ⊆ A, og antag U er en ˚aben delmængde af X. En ˚aben
delmængde er en (˚aben) omegn af ethvert af sine punkter, s˚a U best˚ar af
indre punkter i A, dvsU⊆ int(A). P˚a den anden side, hvis a ∈ int(A), s˚a
findes en ˚aben omegn Ua ⊆ A af a. DaUa ⊆ int(A) ifølgeovenst˚aende, og
derfor
int(A) =
Ua,
s˚aerint(A)˚aben ifølge T1.
a∈int(A)
Lemma 5.6. Afslutningen A er altid lukket i X, og det er den mindste
lukkede delmængde, som indeholder A.
Bevis. Fra definitionen af ∂A ser vi, at X er den disjunkte forening.
X =int(A) ⊔ ∂A ⊔ int(X − A). (5.4)
Da A ∩ int(X − A) ⊆ A ∩ (X − A) =∅, erA ⊆ int(A) ⊔ ∂A = A, ogda
X − A =int(X − A) er˚aben ifølge Lemma 5.5, er A lukket. Hvis C ⊇ A
er lukket, er X − C ⊆ X − A. DaX − C er ˚aben giver Lemma 5.5, at
X −C ⊆ int(X −A). Fra (5.4) følger, at C = X −(X −C) ⊇ int(A)∪∂A = A.
Dermed er A den mindste lukkede delmængde af X, som indeholder A.
I R n er kuglen B n (x, r) ={y ∈ R n |y −x| ≤r} lukket, og int(B n (x, r)) =
B n (x, r). Omvendt er afslutningen af B n (x, r) netopB n (x, r) (opgave 5.5).
Definition 5.7. En afbildning f : X → Y mellem topologiske rum kaldes
kontinuert, hvisf −1 (V )er˚aben i X for enhver ˚aben mængde V i Y .
Vi bemærker, at denne definition straks giver at en sammensætning af
kontinuerte afbildninger er kontinuert: hvis f : X → Y og g : Y → Z er
kontinuerte afbildninger mellem topologiske rum, s˚a erg ◦ f : X → Z ogs˚a
kontinuert.
Antag at X = (X, d) ogY = (Y,d) er metriske rum. Lad TX og TY
være familierne af ˚abne mængder fra Definition 1.6. Disse gør X og Y til
topologiske rum, og f :(X, TX) → (Y,TY )erkontinuerthvisogkunhvisden
er kontinuert som afbildning af metriske rum, se Sætning 1.7.
Lemma 5.8. En afbildning f : X → Y mellem topologiske rum er kontinuert
hvis og kun hvis f −1 (C) er lukket i X for enhver lukket mængde C i Y .
24

Bevis. Hvis f er kontinuert og C ⊆ Y er lukket, s˚a erX −f −1 (C) =f −1 (Y −
C) ˚aben, og dermed f −1 (C) lukket. Omvendt, hvis f −1 (C) erlukketfor
C ⊆ Y lukket, s˚a erf kontinuert. Thi for V ⊆ Y ˚aben, er Y − V lukket, og
f −1 (Y − V )=X − f −1 (V ) er lukket. Derfor er f −1 (V )˚aben.
Der er normalt mange topologier p˚a en given mængde X. HvisT1 ⊂T2,
s˚akaldesT2 finere end T1 og T1 grovere end T2. Den groveste topologi er
T = {∅,X}, som ogs˚a kaldesdentrivielle topologi. Den fineste topologi er
T = P(X), som ogs˚a kaldesdendiskrete topologi.
I et diskret topologisk rum er alle mængder b˚ade ˚abne og lukkede, men
normalterderdelmængderA ⊆ X, somhverkener˚abne eller lukkede.
En afbildning f : X → Y har lettere ved at være kontinuert, jo finere
topologien p˚a X er, og jo grovere topologien p˚a Y er.
Lad Y =(Y,TY ) være et topologisk rum og f : X → Y en afbildning af
mængder. Vi definerer
TX = {f −1 (V )|V ∈TY }. (5.5)
Det følger fra (5.3), at TX er en topologi. Det er den groveste topologi, hvori
f bliver kontinuert. Omvendt, hvis X =(X, TX) er et topologisk rum, og
f : X → Y er en afbildning ind i en mængde Y .S˚a defineres
TY = {V ∈P(Y )|f −1 (V ) ∈TX}, (5.6)
og TY er en topologi, nemlig den fineste, hvori f er kontinuert (opgave 5.6).
Der er et par særligt vigtige specialtilfælde af (5.5) og (5.6), nemlig:
Definition 5.9. Lad Y =(Y,TY ) være et topologisk rum og A ⊆ Y en
delmængde. S˚a kaldes
TA = {V ∩ A|V ∈TY }
for sportopologien, den inducerede topologi eller underrumstopologien p˚a A.
Lemma 5.10. Lad Y =(Y,T ) være et topologisk rum og A ⊆ Y en delmængde
som vi giver sportopologien. Lad (Z, f) være et par best˚aende af et topologisk
rum Z og en afbildning f : Z → A. S˚aerf kontinuert hvis og kun hvis
i ◦ f : Z → Y er kontinuert.
Den universelle egenskab beskrevet i Lemma 5.10 kan illustreres i diagrammet
Z f
i◦f
A
i
Y
25
(5.7)

f er kontinuert ⇐⇒ i ◦ f kontinuert, forudsat at A har sportopologien fra
Y ,ogi er inklusionsafbildningen.
Bevis for Lemma 5.10. Inklusionsafbildningen i er kontinuert, da i −1 (U) =
A∩U. Sammensætning af kontinuerte afbildninger er kontinuert, s˚a hvisf er
kontinuert er i◦f kontinuert. Antag omvendt at i◦f er kontinuert. Lad U ⊆ Y
være en˚aben mængde, U ∈T.S˚aer(i◦f) −1 (U) =f −1 (i −1 (U)) = f −1 (U ∩A)
˚aben i Z. Daenhver˚aben mængde i A har formen U ∩ A følger heraf at f er
kontinuert.
Vi bemærker, at en mængde der er ˚aben i A mht. sportopologien, ikke
behøver at være ˚aben i Y . F.eks. er den øvre lukkede halvkugle
A = {x =(x1,x2) ∈ R 2 | x2 > 0, |x| ≤1}
˚aben i enhedskuglen B(0, 1) udstyret med sportopologien fra R 2 ,daA =
B(0, 1) ∩ R 2 + , og da den øvre halvplan R2 + af punkter (x1,x2) medx2 > 0er
˚aben i R 2 ,menA er ikke ˚aben i R 2 .
Hvis p˚a den anden side X er en ˚aben delmængde af Y ,ogW ⊆ X er
˚aben i sportopologien, s˚a erW ogs˚a˚aben i Y ,daW = W ′ ∩ X for en ˚aben
mængde W ′ af Y .
Definition 5.11. Lad π : Y → B være en surjektiv afbildning, og TY en
topologi p˚a Y .S˚akaldes
for kvotienttopologien p˚a B.
TB = {V ⊆ B | π −1 (V ) ∈TY }
I lighed med Lemma 5.10 har afbildningen π : Y → B den universelle
egenskab:
Lemma 5.12. Lad π : Y → B være surjektiv, Y et topologisk rum, og lad
B have kvotienttopologien. Hvis Z er et topologisk rum og f : B → Z en
afbildning, s˚a erf kontinuert, hvis og kun hvis f ◦ π er kontinuert.
Bevis. Der henvises til opgave 5.7
I lighed med (5.7) kan den universelle egenskab med fordel illustreres i
diagrammet
Y
f◦π
π
B f
Z
26
(5.8)

Bemærk at (5.8) er “dualt” til (5.7) i den forstand at det fremkommer fra
(5.7) ved at erstatte A med B og vende alle pilene.
Kvotienttopologi optræder i forbindelse med ækvivalensrelationer p˚a et
topologisk rum Y . Vi minder om at en ækvivalensrelation p˚a Y ,erenrelation
mellem Y ’s punkter, som opfylder
(i) y ∼ y
(ii) y1 ∼ y2 ⇒ y2 ∼ y1
(iii) y1 ∼ y2 og y2 ∼ y3 ⇒ y1 ∼ y3.
Eksempel 5.13. Lad Z n ⊂ R n betegne punkterne x =(x1,...,xn) ∈ R n
med xi ∈ Z for i =1,...,n.S˚a defineres der en ækvivalensrelation p˚a R n
ved følgende
x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z n
En ækvivalensrelation p˚a Y definerer en opdeling af Y i disjunkte delmængder
(ækvivalensklasserne). Lad nemlig
[y] ={y ′ ∈ Y |y ′ ∼ y}
Dette kaldes ækvivalensklasserne bestemt af y. Bemærk fra (i)–(iii), at y ∈ [y]
og at [y1] =[y2] ⇐⇒ y1 ∼ y2. Hvisp˚a den anden side y1 ≁ y2 s˚aer
[y1] ∩ [y2] =∅, day ∈ [y1] ∩ [y2] medføreraty ∼ y1 og y ∼ y2, ogdermedat
y1 ∼ y2. Viser,atY er en disjunkt forening af sine ækvivalensklasser. Lad
B = Y/∼ := {[y]|y ∈ Y }
og lad π : Y → B, der kaldes den kanoniske projektion, være givet ved
π(y) =[y]. Dette er en surjektiv afbildning.
Omvendt definerer en surjektiv afbildning π : Y → B en ækvivalensrelation
p˚a Y ved
y1 ∼ y2 ⇐⇒ π(y1) =π(y2),
og B = Y/∼. Der henvises til [L], §2.2 for en mere detaljeret gennemgang af
ækvivalensrelationer.
Eksempel 5.14. Mængden af ækvivalensklasser R n /∼ af ækvivalensrelationen
defineret i Eksempel 5.13 betegnes R n /Z n . Dette bliver en abelsk gruppe
ved at definere
[x]+[y] =[x + y], −[x] =[−x], 0=[0],
27

Den kanoniske projektion
π : R n → R n /Z n
er en homomorfi af abelske grupper med π −1 (0) = [0] =Z n .Forn =1har
vi π : R → R/Z, ogvigiverR/Z kvotienttopologien. Enhedscirklen er en
delmængde S 1 af R 2 .Vigiverdensportopologien,ogladeri : S 1 → R 2 være
inklusionen. Betragt nu
e : R → S 1 ; e(t) = (cos(2πt), sin(2πt)).
Denne er kontinuert ifølge Lemma 5.10, da i ◦ e er kontinuert, og den er
surjektiv. Da e er periodisk,
e(t + n) =e(t) ⇐⇒ n ∈ Z,
kan vi definere en afbildning e : R/Z → S1 ved e([x]) = e(x). Der gælder, at
e ◦ π = e, oge er en bijektion og en homomorfi af grupper, hvor gruppestrukturen
p˚a S1 induceres af multiplikationen i C = R2 . Det følger fra Lemma
5.12, at e er kontinuert. Vi skal se i næste paragraf, at den inverse afbildning
e−1 ogs˚a er kontinuert (sml. [L], Eksempel 3.4.5).
Vi afslutter denne paragraf med at definere den s˚akaldte produkt topologi
p˚a det Cartesiske produkt af to topologiske rum. Vi har brug for:
Definition 5.15. Lad X være en mængde. En familie af delmængder B⊆
P(X) kaldesenbasis for X, s˚afremt
(i) For B1,B2 ∈Bog x ∈ B1 ∩ B2, findes der B ∈Bs˚a x ∈ B ⊂ B1 ∩ B2
(ii)
B∈B B = X.
Lemma 5.16. Lad B være en basis for en mængde X. S˚a udgør ∅ samt
alle mængder af formen
α∈I Bα, Bα ∈Ben topologi T p˚a X. Dette kaldes
topologien induceret fra B.
Bevis. T1 er oplagt. T2 følger fra (i) i ovenst˚aende definition. Thi for x ∈
B1 ∩ B2, findes der et B(x) ∈Bmed x ∈ B(x) ⊆ B1 ∩ B2, og der gælder
derfor, at
B1 ∩ B2 =
B(x) ∈T
x∈B1∩B2
Endelig viser den mængdeteoretiske identitet
∩ =
α∈I
Bα
β∈J
Bβ
(α,β)∈I×J
Bα ∩ Bβ
at T2 er opfyldt. Betingelse (ii) i Definition 5.15 garanterer at T3 er opfyldt.
28

Eksempel 5.17. I et metrisk rum (X, d) udgør kuglerne Bd(x, r), x ∈ X og
r>0 en basis, og den inducerede topologi er netop Td (sml. Definition 1.6
og opgave 5.8).
Lad nu X1 =(X1, T1) ogX2 =(X2, T2) være topologiske rum. Vi vil
definere en topologi p˚a det Cartesiske produkt X1 × X2 af par af elementer
(x1,x2), hvor xi ∈ Xi, i=1, 2.Deternaturligtatkræve,atdetoprojektionsafbildninger
pr 1 : X1 × X2 → X1, pr 2 : X1 × X2 → X2
skal være kontinuerte. Vi bruger samme princip som i (5.5), og søger den
groveste topologi p˚a X1×X2, hvor begge projektioner er kontinuerte. Specielt
skal pr −1
1 (U1) ogpr −1
2 (U2) tilhøre TX1×X2 n˚ar Uν ∈Tν. Bemærkat
pr −1
1 (U1) ∩ pr −1
2 (U2) =U1 × U2
ikke generelt er af denne form. Vi definerer en basis for X1 × X2 ved
BX1×X2 = {U1 × U2|Uν ∈Tν}. (5.9)
Betingelse (i) i Definition 5.15 er opfyldt, da BX1×X2 er lukket under fællesmængde,
(U1 × U2) ∩ (U ′ 1 × U ′ 2 )=(U1 ∩ U ′ 1 ) × (U2 ∩ U ′ 2 ),
og betingelse (ii) er opfyldt da X1 × X2 ∈BX1×X2.
Definition 5.18. Produkttopologien p˚a det Cartesiske produkt X1 × X2 er
topologien induceret fra basen (5.9).
Det topologiske rum (X1 × X2, TX1×X2) kaldes det topologiske produkt af
X1 og X2.
Lemma 5.19. De to projektionsafbildninger pr 1 : X1 × X2 → X1 og pr 2 :
X1 × X2 → X2 er kontinuerte.
Bevis. Lad U1 være en ˚aben delmængde af X1. S˚aerpr −1
1 (U1) =U1 × X2 ∈
BX1×X2 og dermed ˚aben i X1 × X2. Tilsvarende for pr 2.
29

6 Kompakte rum
Hvis x og y er forskellige punkter i et metrisk rum (X, d), s˚a findes ˚abne
mængder Ux og Uy i X, s˚a Ux ∩ Uy = ∅, thivikanblotvælgeUx = Bd(x, r)
og Uy = Bd(y, r), hvor r ≤ 1
d(x, y).
2
Denne p˚astand er ikke rigtig i ethvert topologisk rum, f.eks. ikke i det
trivielle topologisk rum, hvor TX = {∅,X}, med mindre X blot best˚ar af ét
punkt.
Definition 6.1. Et topologisk rum X kaldes et Hausdorff rum, s˚afremt der
for ethvert par af forskellige punkter x, y ∈ X findes ˚abne omegne U af x og
V af y med U ∩ V = ∅.
Lemma 6.2. Lad f : A → X være en injektiv kontinuert afbildning. Hvis X
er Hausdorff, s˚a erA Hausdorff.
Bevis. Lad a1 = a2 være forskellige punkter i A. S˚aerf(a1) = f(a2) og,
da X er Hausdorff, findes ˚abne disjunkte omegne U1 og U2 af henholdsvis
f(a1) ogf(a2). Da f er kontinuert, er f −1 (U1) ogf −1 (U2) ˚abne omegne af
henholdsvis a1 og a2, og de er disjunkte.
Bemærk specielt at enhver delmængde af et Hausdorff rum bliver et Hausdorff
rum i sportopologien.
Lad X =(X, T ) være et topologisk rum, og A en delmængde af X. En
familie af ˚abne delmængder Uα ∈T, α ∈ I kaldes en ˚aben overdækning af A,
s˚afremt A ⊆
α∈I Uα.
Definition 6.3. En delmængde A af et topologisk rum kaldes quasi-kompakt,
hvis der til enhver ˚aben overdækning {Uα|α ∈ I} af A findes en endelig
delmængde J ⊆ I, s˚a {Uα|α ∈ J} allerede er en ˚aben overdækning af A.
Hvis A = X i Definition 6.3, s˚a kaldesX et quasi-kompakt rum.
Eksempel 6.4. Et lukket begrænset interval [a, b] ⊆ R er en kompakt
delmængde. Thi lad {Uα|α ∈ I} være en ˚aben overdækning af [a, b]. Betragt
den begrænsede ikke tomme mængde
M = {x ∈ [a, b] | [a, x] er overdækket af endelig mange Uα’ere}.
Lad m =supM. Der findes et β ∈ I s˚aatm ∈ Uβ. DaUβ er ˚aben indeholder
Uβ et ˚abent interval (m − ε, m + ε) ogm − ε ∈ M. Derforer[a, m − ε]
overdækket af endelig mange Uα’ere, og [a, m+ε/2] vil derfor være indeholdt
i disse forenet med Uβ. Vip˚ast˚ar endelig at m = b. Hvis nemlig m

Lemma 6.5. En delmængde A af et topologisk rum X er quasi-kompakt, hvis
og kun hvis A er et quasi-kompakt rum i sportopologien.
Bevis. Lad A ⊆ X være en quasi-kompakt delmængde af X. LadUα =
A ∩ Vα, α ∈ I være ˚abne mængder i A (med sportopologien), og antag
α∈I Uα = A. S˚aer{Vα|α ∈ I} en ˚aben overdækning af A, og der findes en
endelig delmængde J ⊆ I s˚a
α∈J Vα ⊇ A. Det følger, at
α∈J Uα = A, s˚a A
er et quasi-kompakt topologisk rum. Antag omvendt, at A er quasi-kompakt
i sportopologien, og lad {Vα|α ∈ I} være ˚abne mængder i X som overdækker
A. S˚aer{Vα ∩ A|α ∈ I} ˚abne mængder i A, og der findes en endelig J ⊆ I
med
α∈J (Vα ∩ A) =A. Mens˚aer
α∈J Vα ⊇ A.
Definition 6.6. Et topologisk rum kaldes kompakt hvis det er Hausdorff og
quasi-kompakt. En delmængde af et topologisk rum kaldes kompakt hvis den
er kompakt i sportopologien.
Lemma 6.7. Lad X være et Hausdorff rum, og A ⊆ X en delmængde. S˚a
er følgende to udsagn ækvivalente:
(i) A er en kompakt delmængde.
(ii) A er et kompakt rum i sportopologien.
Bevis. Følger fra Lemma 6.2 og Lemma 6.5
De følgende to sætninger anvendes uhyre ofte i den matematiske litteratur,
ofte uden yderligere bemærkninger.
Sætning 6.8. Lad X være et Hausdorff rum.
(i) Hvis A ⊆ X er kompakt, s˚a erA en lukket delmængde af X.
(ii) Hvis X er kompakt, og A ⊆ X er en lukket delmængde, s˚a erA en
kompakt delmængde.
Bevis. (i): Antag at A er kompakt. Vi skal vise, at X − A er ˚aben i X. Ifølge
Lemma 5.5 er det nok at vise, at X − A =int(X − A), eller at X − A er en
omegn af ethvert af sine punkter. S˚a ladx ∈ X − A være et fast punkt. Vi
skal finde en ˚aben mængde U x ⊆ X − A, s˚a x ∈ U x .
Da X er Hausdorff, findes der til hvert a ∈ A,˚abne omegne Va af a og Ua
af x med Va ∩ Ua = ∅. Det er klart, at {Va|a ∈ A} er en ˚aben overdækning
31

af A, ogdaAer forudsat at være kompakt, er der endelig mange punkter
a1,...,ak, s˚aatA⊆ Va1 ∪ Va2 ∪···∪Vak Nu tager vi
U x = Ua1 ∩···∩Uak .
Det er en ˚aben mængde i X, x ∈ U x ,ogdaUai∩Vai = ∅, er ogs˚a
(Ua1 ∩···∩Uak ) ∩ (Va1 ∪···∪Vak )=∅.
Dermed er U x ∩ A = ∅.
(ii): Antag nu at X er kompakt og A er lukket i X, oglad{Uα|α ∈ I} være
en ˚aben overdækning af A. DaX − A er ˚aben, vil
{Uα|α ∈ I}∪{X − A}
være en ˚aben overdækning af X. Der findes derfor en endelig mængde J ⊆ I,
s˚aat
Uα ∪ (X − A) =X.
α∈J
Da A ∩ (X − A) =∅ følger heraf, at A ⊆
α∈J Uα.
Sætning 6.9. Lad X være et kompakt rum, Y et Hausdorff rum, og lad
f : X → Y være en kontinuert afbildning. Da gælder:
(i) Billedmængden f(X) er en kompakt delmængde af Y .
(ii) Hvis f er bijektiv, s˚a er den inverse afbildning f −1 : Y → X kontinuert.
Bevis. (i): Lad {Vα|α ∈ I} være en ˚aben overdækning af delmængden f(X)
af Y .Daf er kontinuert, er f −1 (Vα) ˚aben i X og X ⊆
α∈I f −1 (Vα). Thi
til x ∈ X findes et α ∈ I s˚a f(x) ∈ Vα, ogdermedx ∈ f −1 (Vα). Da X
er kompakt, findes der en endelig delmængde J ⊆ I s˚a X ⊆
α∈J f −1 (Vα).
Dermed er f(X) ⊆
α∈J Vα.
(ii): Vi skal vise, at f −1 : Y → X er kontinuert eller med andre ord, at f(U)
er ˚aben i Y for enhver ˚aben delmængde U af X. NuerX −U lukket, og ifølge
Sætning 6.8(i) dermed kompakt. Sætning 6.9(i) fortæller os, at f(X − U) er
kompakt, og s˚a ifølge Sætning 6.8(i) ogs˚a lukket.Nuer
f(X − U) =Y − f(U)
da f er bijektiv, og det følger, at f(U) er˚aben.
Definition 6.10. (i) En afbildning f : X → Y kaldes ˚aben, hvis f(U) er
˚aben for enhver ˚aben delmængde U af X.
32

(ii) f kaldes en lukket afbildning, hvis f(C) er lukket for enhver lukket
delmængde C af X.
(iii) En homeomorfi f : X → Y er en bijektiv afbildning, s˚aledes at b˚ade f
og den inverse afbildning f −1 : Y → X er kontinuerte.
Det er klart, at en homeomorfi f : X → Y giver en bijektiv korrespondance
f : TX →TY mellem de ˚abne mængder i X og Y . Homeomorfier er
s˚aledes de strukturbevarende afbildninger mellem topologiske rum; de svarer
til isomorfier i algebra.
Korollar 6.11. Lad X og Y være topologiske rum med X quasi-kompakt og
Y Hausdorff, og antag at f : X → Y er en kontinuert, injektiv afbildning.
S˚aerf : X → f(X) en homeomorfi, hvor f(X) har sportopologien fra Y .
Bevis. Det følger fra Lemma 6.2, at X er Hausdorff, s˚a f : X → f(X) er
bijektiv og kontinuert, og f −1 : f(X) → X er kontinuert ifølge Sætning
6.9(ii).
Eksempel 6.12. Lad f :(−2, ∞) → R 2 være kurven
f(t) =(t 3 − 4t, t 2 − 4),
se billedet i [dC], §1.2, Eksempel 3, men bemærk, at vi ikke bruger den del
af kurven, som ligger i 2. kvadrant.
Afbildningen f er kontinuert, endda differentiabel, og den er injektiv, men
billedet f(−2, ∞) ⊆ R 2 opfattet som et topologisk rum i sportopologien er
ikke homeomorf med det ˚abne interval (−2, ∞). Hvorfor ikke?
Eksempel 6.13. Vi konstruerede i Eksempel 5.14 et diagram af kontinuerte
afbildninger
π
R
R/Z
e
e
S 1
med e bijektiv og kontinuert, og e = e ◦ π. Her har cirklen S 1 ⊆ R 2 sportopologien
og R/Z kvotienttopologien m.h.t. π. DaS 1 er Hausdorff og e er
injektiv er R/Z Hausdorff. Da π([0, 1]) = R/Z, og[0, 1] ⊂ R er kompakt
(Heine-Borel), s˚a erR/Z kompakt ifølge Sætning 6.9. Da e er kontinuert og
bijektiv, er e en homeomorfi (korollar 6.11). Afbildningen e er en isomorfi af
grupper, s˚a b˚ade algebraisk og topologisk er S 1 og R/Z “isomorfe”.
Sætning 6.14. Lad X1 og X2 være kompakte topologiske rum. S˚a erdet
topologiske produkt X1 × X2 ogs˚a kompakt. Tilsvarende for quasi-kompakt.
33

Beviset opdeles i en række selvstændige lemmaer.
Lemma 6.15. Hvis X1 og X2 er Hausdorff rum, s˚a erX1 × X2 Hausdorff.
Bevis. Lad (x1,x2) = (x ′ 1 ,x′ 2 ). Hvis x1 = x ′ 1
U1 og U ′ 1 af henholdsvis x1 og x ′ 1 i X1. S˚aerpr −1
1 (U1) ogpr −1
1 (U ′ 1
˚abne omegne af henholdsvis (x1,x2) og(x ′ 1,x ′ 2). Tilsvarende hvis x1 = x ′ 1
men x2 = x ′ 2 .
, findes disjunkte ˚abne omegne
) disjunkte
Lemma 6.16. Projektionen pr 1 er lukket, dvs. pr 1(C) er lukket i X1 for
enhver lukket delmængde C ⊆ X1 × X2.
Bevis. Lad C ⊆ X1 ×X2 være lukket. Vi skal vise, at X1 −pr 1(C) eren˚aben
omegn af ethvert af sine punkter. Lad x1 ∈ X1 − pr 1(C) være et fast punkt,
og lad y ∈ X2 være vilk˚arligt. Da BX1×X2 i (5.9) er en basis for X1 × X2, og
(x1,y) tilhører den ˚abne mængde X1 × X2 − C, findes der Uy × Vy ∈BX1×X2
med (x1,y) ∈ Uy × Vy ⊆ X1 × X2 − C. Nuer{Vy}y∈X2 en ˚aben overdækning
af X2, ogdaX2 er (quasi-) kompakt findes der endeligt mange, som allerede
overdækker: X2 = Vy1 ∪···∪Vyk .Vilader
Det er en ˚aben mængde i X1, og
Ux1 = Uy1 ∩···∩Uyk .
Ux1 × X2 = Ux1 × (Vy1 ∪···∪Vyk ) ⊆ Uy1 × Vy1 ∪···∪Uyk × Vyk
⊆ X1 × X2 − C.
Det følger, at Ux1 ⊆ X1 − pr 1(C).
Lemma 6.17. Lad X og Y være topologiske rum, Y quasi-kompakt, og lad
f : X → Y være en kontinuert og lukket afbildning. Antag at f −1 (y) er
quasi-kompakt for ethvert y ∈ Y .S˚aerX quasi-kompakt.
Bevis. Lad {Uα}α∈I være en ˚aben overdækning af X, lady ∈ Y .Daf −1 (y)
er quasi-kompakt, findes der en endelig delmængde Jy ⊆ I, s˚a {Uα}α∈Jy
overdækker f −1 (y). Vi definerer
U(y) =
Det er en ˚aben delmængde af X, der indeholder f −1 (y). Da X − U(y) er
lukket, og (X − U(y)) ∩ f −1 (y) =∅, erf(X − U(y)) en lukket delmængde af
Y , som ikke indeholder punktet y. Dens komplement
α∈Jy
Uα.
Vy = Y − f(X − U(y))
34

er en ˚aben omegn af y.
Vi kan finde et s˚adant Vy for ethvert y ∈ Y og f˚ar dermed en ˚aben overdækning
af Y .DaY er quasi-kompakt, overdækker allerede endeligt mange.
Ved at bruge (5.2) og (5.3) ser vi, at
Y = Vy1 ∪···∪Vyk
X = f −1 (Y )=f −1 (Vy1) ∪···∪f −1 (Vyk ),
Da f −1 (f(X − U(y))) ⊇ X − U(y) er
f −1 (Vy) =X − f −1 (f(X − U(y))).
X − f −1 (f(X − U(y))) ⊆ U(y),
s˚a X ⊆ U(y1) ∪···∪U(yk).
Hvert U(yi) er en endelig forening af Uα’er, s˚a alt i alt har vi fundet, at
endeligt mange Uα overdækker X.
Det følger induktivt fra Sætning 6.14, at et endeligt produkt af (quasi-)
kompakte rum Xi er (quasi-) kompakt. Det samme gælder endda for uendelige
produkter af (quasi-) kompakte rum. Dette udsagn kaldes Tychonoffs
Sætning.
Sætning 6.18 (Heine-Borel). I det euklidiske talrum med den sædvanlige
topologi gælder at en delmængde A er kompakt, hvis og kun hvis den er lukket
og begrænset.
Bevis. Hvis A er kompakt, s˚a er A lukket ifølge Sætning 6.8. Men A m˚a ogs˚a
være begrænset, thi hvis vi overdækker R n med kugler af radius 1, s˚a vilen
ubegrænset mængde ikke kunne overdækkes af endelig mange. Hvis omvendt
A er lukket og begrænset, s˚a erA indeholdt i [−K, K] n for tilstrækkeligt stort
K>0. Fra Eksempel 6.4 ved vi at [−K, K] er kompakt, og Sætning 6.14
fortællerat[−K, K] n er kompakt. Da A ogs˚a er lukket, følger fra Sætning
6.8 at A er kompakt.
Korollar 6.19. Lad X være et kompakt rum og f : X → R en kontinuert
funktion. S˚a antager f b˚ade sin supremumsværdi og sin infimumsværdi.
Bevis. Fra Sætning 6.9(i) ved vi at f(X) ⊆ R er en kompakt mængde og
derfor begrænset og lukket ifølge Sætning 6.18. Det følger, at
Tilsvarende for infimum.
sup f(X) < ∞, ogat supf(X) ∈ f(X).
35

7 Den inverse funktions sætning
I denne paragraf vender vi tilbage til differentiabilitet for funktioner F :
U → R m ,hvorU er en ˚aben delmængde af R n .Ens˚adan funktion best˚ar af
m koordinatfunktioner
F (x) =(F1(x),...,Fm(x)), x=(x1,...,xn).
Vi siger, at F er af klasse C1 , hvis enhver koordinatfunktion Fν(x)erkontinuert
differentiabel, dvs. at ∂Fν
∂Fν
(u) eksisterer for alle u ∈ U, ogat : U → R
∂xi ∂xi
er kontinuert. Hvis disse n·m funktioner har klasse C1 ,sigesFat have klasse
C2 o.s.v.
Definition 7.1. Lad U ⊆ R n være ˚aben. En afbildning
F : U → R m
har klasse Ck (1 ≤ k ≤∞), hvis Fν har kontinuerte partielle afledede af alle
ordener ≤ k. Hvisk = ∞, sigesFat være glat (eller i [dC], differentiabel).
For et punkt u ∈ U defineres Jacobimatricen i punktet u:
DFu =
⎛
⎜
⎝
Det er en m × n matrix og giver en lineær afbildning
⎞
∂F1(u)
∂x1
...
∂F1
∂xn (u)
.
. .. .
∂Fm
∂x1 (u) ... ∂Fm
∂xn (u)
⎟
⎠ (7.1)
DFu : R n → R m ,
som vi kalder differentialet af F i punktet u.
Hvis U ⊆ R n og V ⊆ R m er ˚abne mængder, og vi har funktioner
F : U → R m , G : V → R l
med F (U) ⊆ V ,s˚a kan vi danne den sammensatte funktion
Dens j’te koordinatfunktion er
G ◦ F : U → R l
(G ◦ F )j(x) =Gj(F1(x),...,Fm(x)).
36

Det er velkendt fra Mat11, se f.eks. Sætning 4.3 [KT], hvordan man udregner
de partielle afledede af (G ◦ F )j, nemlig
∂(G ◦ F )j
(u) =
∂xi
m ∂Gj
k=1
∂xk
(F (u)) ∂Fk
(u) (7.2)
∂xi
Vi ser, at G◦F har klasse C1 ,hvisb˚ade G og F har klasse C1 . Men (7.2) giver
ogs˚a, at G ◦ F har klasse C2 ,hvisFog G har klasse C2 . Man differentierer
(7.2) m.h.t. x, ogbemærkerat ∂ af højre side bliver kontinuert. Induktivt
∂x
ser vi, at hvis F og G har klasse Ck ,s˚a gælder det samme for G ◦ F .
Lemma 7.2 (Kædereglen). For Jacobimatricerne gælder
D(G ◦ F )u = DGF (u) · DFu.
Bevis. Det ji’te element i produktet DGF (u)·DFu er den j’te række i DGF (u)
multipliceret med den i’te søjle i DFu. Det er præcis højre side i 7.2.
Hvis vi betragter Jacobimatricerne som lineære afbildninger (differentialerne)
DFu : R n → R m , DGF (u) : R m → R l
s˚a fortæller Lemma 7.2, at differentialet af en sammensætning er sammensætningen
af differentialerne. Dette udtrykkes skematisk i (7.3): En “kommutativ
trekant af C k -funktioner overføres i en kommutativ trekant af lineære afbildninger”:
F
U
V
H
G
Rn DFu
R
DHu
m
D(−)u
Rl Rl DG F (u)
(H = G ◦ F ⇒ DHu = DGF (u) ◦ DFu).
(7.3)
Vi minder om, at U ⊆ R n kaldes konveks, hvis der for to vilk˚arlige punkter
x, y ∈ U gælder, at liniestykket mellem dem er indeholdt i U, dvs.
[x, y ]={tx +(1− t)y 0 ≤ t ≤ 1} ⊆U.
Kuglerne B(x, r) ={y ∈ R n ||y − x ≤ r} er konvekse.
37

Lemma 7.3. Lad U være en ˚aben konveks delmængde af R n og F : U → R m
af klasse C 1 . Til hvert par af punkter x, a ∈ U findes der en m × n matrix
Φ(x, a), s˚aledes at
(i) Φ:U × U → Mm,n(R) er kontinuert
(ii) Φ(a, a) =DFa
(iii) F (x) − F (a) =Φ(x, a)(x − a) for x, a ∈ U.
Bevis. Da U er konveks er a + s(x − a) ∈ U for 0 ≤ s ≤ 1, og da U ogs˚a er
˚aben, findes der et ε>0s˚a {a+s(x−a) −ε

Lad GLn(R) ⊆ Mn(R) være gruppen af invertible (n × n)-matricer. Determinantafbildningen
det : Mn(R) → R
er et polynomiumsudtryk i matricens indgange og derfor C∞ . Specielt er den
kontinuert, og GLn(R) =det −1 (R −{0}) eren˚aben delmængde af Mn(R) =
Rn2. Vi er nu klar til at bevise invers funktions sætning, som fortæller, at en
Ck-afbildning, k ≥ 1, F : U → Rn lokalt omkring a har en invers afbildning,
hvis og kun hvis differentialet DFa : Rn → Rn er en isomorfi. Vi begynder
med C1-udgaven. Sætning 7.4. Lad U ⊆ R n være en ˚aben mængde og F : U → R n en C 1 -
afbildning. Antag at DFu0 er invertibel for et punkt u0 ∈ U.
Da findes der ˚abne omegne u0 ∈ W ⊆ U og F (u0) ∈ V ⊆ R n ,s˚aledes at
(i) F (W )=V
(ii) F|W : W → V er bijektiv
(iii) F −1
|W : V → W har klasse C1 .
Hvis der omvendt eksisterer ˚abne omegne, s˚a (i)–(iii) er opfyldt, s˚a erDFu0
invertibel.
Bevis. Vi opdeler beviset i tre mindre p˚astande, som bevises hver for sig.
P˚astand 1. Der findes en ˚aben omegn u0 ∈ W ⊆ U, s˚aledes at F|W er
injektiv, og s˚a matricerne DFx, Φ(x, a) begge er invertible for x, a ∈ W .
Da F er C1 , er afbildningen,
DF : U → Mn(R),
som til u ∈ U tilordner Jacobiantmatricen DFu, kontinuert. Da GLn(R) er
˚aben i Mn(R), er DF −1 (GLn(R))˚aben. Da vi forudsatte, at DFu0 er invertibel
ligger u0 i DF −1 (GLn(R)), og der findes en ˚aben kugleomegn B = B(u0,ε) ⊆
U med detDFu = 0foru ∈ B.
Vi anvender nu Lemma 7.3,
F (x) − F (a) =Φ(x, a)(x − a) (7.4)
for (x, a) ∈ B × B. LadD =Φ −1 (GLn(R)). Dette er en ˚aben delmængde af
U × U, ogdaΦ(u0,u0) =DFu0 ∈ GLn(R) ligger (u0,u0) iD. DaD er ˚aben,
kan vi vælge et δ>0, s˚a
B(u0,δ) × B(u0,δ) ⊆ D.
39

Vi sætter W = B(u0,δ)ogf˚ar, at
Φ(x, a) ∈ GLn(R) forx, a ∈ B(u0,δ).
Men s˚a viser (7.4), at F (x) =F (a) ⇒ x = a.
P˚astand 2. F afbilder enhver˚aben delmængde W ′ ⊆ W ien˚aben delmængde
af Rn .
Lad x0 ∈ W ′ . Vi skal finde en ˚aben kugleomegn B(F (x0),ε) ⊆ F (W ′ ).
Da W ′ er ˚aben, kan vi vælge en lukket kugle K = B(x0,r) ⊆ W ′ .B˚ade K
og ∂K er kompakte. Lad d(x, y) =|x − y| være den sædvanlige euklidiske
afstand. Funktionen
φ : ∂K → R, φ(x) =d(F (x),F(x0))
er positiv, da F er injektiv. Da ∂K er kompakt, giver korollar 6.19, at
dist(F (x0),F(∂K)) = inf{d(F (x0),F(x)) x ∈ ∂K} =2ε>0
Specielt følger, at B(F (x0), 2ε) ∩ F (∂K) =∅. Vivisernu,atB(F (x0),ε) ⊆
F (int(K)) ⊆ F (W ′ ).
Lad a ∈ B(F (x0),ε), og betragt funktionen
ψ : W ′ → R, ψ(x) =d(F (x),a) 2 =
n
(Fj(x) − aj) 2
j=1
(7.5)
Da ψ er kontinuert og K er kompakt, findes der ifølge korollar 6.19, et u ∈ K
med ψ(u) =inf{ψ(x)| x ∈ K}. Daψ(u)

Da DFu er invertibel, og Dψu =0,m˚avihaveF (u) =a. Viharvist,at
B(F (x0),ε) ⊆ F (int K). Dette afslutter beviset for p˚astand 2.
Vi sætter V = F (W ). Det er en ˚aben mængde, og
F|W : W → V
er bijektiv. Da F (W ′ )er˚aben for enhver˚aben delmængde W ′ ⊆ W ,erF|W en
˚aben afbildning, cf. Definition 6.10, s˚a G =(F|W ) −1 : V → W er kontinuert.
Vi har tilbage at vise
P˚astand 3. G =(F|W ) −1 : V → W har klasse C1 .
Lad x, x0 ∈ W og y = F (x), y0 = F (x0). I p˚astand 1 viste vi, at Φ(x, x0)
er injektiv. Ligningen
medfører derfor, at
y − y0 = F (x) − F (x0) =Φ(x, x0)(x − x0)
G(y) − G(y0) = Φ(G(y),G(y0)) −1 (y − y0). (7.6)
Af definitionen af differentiabilitet følger fra (7.6), at G er differentiabel i y0
og
DGy0 = Φ(G(y0),G(y0)) −1 .
Dette viser, at afbildningen DG : V → Mn(R) er givet som sammensætningen
DG : V G
−→ W DF
−→ GLn(R) (·)−1
−→ GLn(R). (7.7)
Matrixinvertering er C∞ ,ogDF er kontinuert, s˚a (7.7) medfører, at G er
C1 .
Addendum 7.5. Hvis vi i Sætning 7.4 antager, at F har klasse C k ,s˚a har
(F|W ) −1 ogs˚a klasse C k .
Bevis. Lad G =(F|W ) −1 : V → W . Vi ved fra Sætning 7.4, at G har klasse
C 1 , og viser induktivt, at den har klasse C k .DaF ◦ G = IdV fortæller
kædereglen, at
DFG(v) ◦ DGv =Id,
og dermed, at DGv =(DFG(v)) −1 .
Antag induktivt, at G har klasse C l ,1≤ l

Definition 7.6. En afbildning F : W → V mellem ˚abne mængder V,W ⊆
R n kaldes en diffeomorfi, hvis F er bijektiv, og b˚ade F og F −1 har klasse
C ∞ .
Med denne sprogbrug siger addendum 7.5, at hvis F har klasse C ∞ og
DFu0 er invertibel, s˚a erF en lokal diffeomorfi.
42

8 Regulære flader i R 3
Vi skal betragte særligt pæne delmængder S ⊆ R 3 . I det følgende opfattes
S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En ˚aben omegn
U ′ af p ∈ S er s˚aledes en mængde af formen U ′ = V ′ ∩ S, hvorV ′ er en ˚aben
omegn af p i R 3 .
Definition 8.1. En delmængde S ⊆ R 3 kaldes en regulær flade, hvis der til
ethvert p ∈ S findes en ˚aben omegn p ∈ U ′ ⊆ S af p i S og en ˚aben mængde
U ⊆ R 2 samt en bijektion
x : U → U ′
som opfylder:
(i) x er differentiabel (C∞ ),
(ii) x er en homeomorfi,
(iii) for ethvert u ∈ U er differentialet Dxu : R2 → R3 en injektiv afbildning.
Funktionen x : U → U ′ kaldes en lokal parametrisering af S, et lokalt
koordinatsystem eller et kort p˚a S, ogU ′ = x(U) kaldes koordinatomegne
p˚a S.
Bemærkning 8.2. I [dC] bruges notationen dxu istedetforDxu.
Vi bemærker fra Definition 8.1, at S er overdækket af koordinatomegne
xα(Uα),
S =
xα(Uα), xα(Uα) =U ′ α,
α
da ethvert punkt af S er indeholdt i en koordinatomegn.
Lemma 8.3. En delmængde W ⊆ S er ˚aben i S, hvisogkunhvisx−1 (W )
er ˚aben for ethvert kort (U, x).
Bevis. Antag, at W ⊆ S er ˚aben i S. S˚aerW ∩ U ′ ˚aben i S for ethvert kort
x : U → U ′ .Daxer kontinuert, er
x −1 (W )=x −1 (W ∩ U ′ )
˚aben. Hvis omvendt x−1 α (W )er˚aben for alle kort (Uα, xα), s˚a er
xα(x −1
α (W )) = W ∩ U ′ α
˚aben i U ′ α .DaU ′ α er ˚aben i S, erW ∩ U ′ α
er derfor ˚aben i S.
W =
α
43
˚aben i S, og
W ∩ U ′ α

Sætning 8.4. Lad S være en regulær flade og x : U → U ′ et kort p˚a S. Lad
W ⊆ R n være en ˚aben mængde og f : W → R 3 en C ∞ -afbildning, s˚aledes at
f(W ) ⊆ U ′ .S˚aerx −1 ◦ f : W → U en C ∞ -afbildning.
Bevis. Lad p ∈ W og q ∈ U være punkter, s˚aledes at x(q) =f(p). Lad
Da Jacobi-matricen
x(u, v) =(x(u, v),y(u, v),z(u, v)).
⎛
Dxq = ⎝
∂u (q)
∂x
∂u (q) ∂x
∂y ∂y
∂z
∂u (q)
∂v (q)
∂v (q)
⎞
⎠
∂z
∂v (q)
er forudsat at have rang 2, har mindst én af de tre matricer
∂x
∂u (q) ∂x
∂v (q)
∂y
∂u (q)
∂y
∂v (q)
,
∂x
∂u (q) ∂x
∂v (q)
∂z
∂u (q)
∂z
∂v (q)
,
∂y
∂u (q)
∂y
∂v (q)
∂z
∂u (q) ∂z
∂v (q)
rang 2. Vi antager, at det er den første matrix, som har rang 2, alts˚a er
invertibel. I modsat fald kan vi blot ombytte koordinaterne i R 3 .Vibetragter
afbildningen
F : U × R → R 3 ; F (u, v, t) =(x(u, v),y(u, v),z(u, v)+t)
Dens Jacobi-matrix i punktet (q, 0) er
⎛
DF(q,0) = ⎝
og udvikling efter sidste søjle viser, at
∂x
det DF(q,0) =
∂x
∂u (q) ∂x
∂v
∂y
∂u (q)
∂y
∂v
∂z
∂u (q) ∂z
∂v
∂u (q) ∂x
∂y
∂u (q)
⎞
(q) 0
(q) 0 ⎠ ,
(q) 1
∂v (q)
∂y
∂v (q)
=0.
Fra invers funktions sætning følger, at der findes en ˚aben omegn V1 af (q, 0)
i R 3 ,s˚a V2 = F (V1) er˚aben, og
F|V1 : V1 → F (V1) =V2
er en diffeomorfi. Lad V1 ∩ (U ×{0}) =U1 ×{0}. DaerU1 ⊆ R 2 ˚aben. Vi
bemærker, at x(u, v) =F (u, v, 0) for (u, v) ∈ U1. NuerU ′ ⊆ S ˚aben og x :
U → U ′ en homeomorfi, s˚a x(U1) ⊆ S er ˚aben. Dermed er W2 := f −1 (x(U1))
˚aben i R n . Endvidere er
x −1 ◦ f|W2 = π ◦ (F|V1 )−1 ◦ (f|W2 ),
44

hvor π betegner projektionen π(x, y, z) =(x, y).
Højre side er nu en sammensætning af C ∞ -funktioner og derfor C ∞ ,s˚a
x −1 ◦ f|W2 er C ∞ .DaW2 er en ˚aben omegn af p, har vi vist, at x −1 ◦ f er
C ∞ i ethvert punkt af W .
Korollar 8.5. Lad W ⊆ R n være ˚aben, og lad f : W → R 3 være en kontinuert
afbildning med f(W ) ⊆ S, hvorS er en regulær flade. S˚a erf : W → R 3
en C ∞ -afbildning, hvis og kun hvis der for ethvert kort (Uα, xα) p˚a S gælder,
at
er C ∞ .
x −1
α ◦ (f |W ∩f −1 (U ′ α)) :W ∩ f −1 (U ′ α ) → Uα
Bevis. Det følger fra foreg˚aende sætning, at sammensætningen
x−1 α ◦ (f |W ∩f −1 (U ′ α)) erC∞ ,s˚afremt f er C∞ . Det omvendte udsagn følger,
fordi xα : Uα → U ′ α ⊆ R3 er C∞ .
45

9 Opgaver
1.1. Lad X være en mængde, og d : X × X → R funktionen d(x, y) =0
hvis x = y og d(x, y) =1hvisx = y. Visat(X, d) er et metrisk rum.
1.2. Lad (X, d) være et metrisk rum og lad a>0. Lad da : X × X → R
være givet ved
d(x, y)
da(x, y) =
a
hvis d(x, y) 0ogK>0s˚aatkN1(v) ≤ N2(v) ≤ KN1(v)
(a) Vis at dette er en ækvivalensrelation p˚a mængden af normer, og
at hvis dN1 er ækvivalent til dN2 s˚aerN1 ækvivalent til N2.
(b) Vis at normerne (eller metrikkerne) fra Eksempel 1.11 alle er ækvivalente.
2.1. Vis at Q ⊂ R er en fuldstændiggørelse.
2.2. Lad l2 være vektorrummet af følger {xk} af reelle tal med ∞ k=1 x2k <
∞. Visatl2har et indre produkt givet ved
∞
〈{xk}, {yk}〉 = xkyk.
Vis at l 2 er fuldstændigt m.h.t. den inducerede norm {xk}2 =( x 2 k )1/2 .
2.3. P˚a vektorrummet Mn(R) af reelle n × n matricer defineres
|A| =sup|Ax|,
|x|=1
hvor |Ax| er den euklidiske norm p˚a Rn . Vis at dette definerer en norm
p˚a Mn(R), som kaldes operatornormen.
46
k=1

2.4. Vis at operatornormen p˚a Mn(R) opfylder
Vis at |AB| ≤|A|·|B|.
|A| =inf{c ∈ R |Ax| ≤c|x| for alle x ∈ R n }
2.5. Overvej hvorn˚ar en række ∞
k=1 vk er konvergent i et fuldstændigt, nor-
meret vektorrum (V,|.|). Vis at ∞
k=1 vk er konvergent s˚afremt ∞
k=1 |vk|
er konvergent.
3.1. Lad f : R × I → R være funktionen
f(x, t) =a(t)x + b(t),
hvor a, b : I → R er kontinuerte, og I er et vilk˚arligt ˚abent interval. Vis
for t0 ∈ I,x0 ∈ R at differentialligningen (3.2) har en entydig bestemt
løsning med x(t0) =x0. (Hjælp: Antag først at x(t) erenløsningtil
(3.2), og find en differentialligning som
opfylder.)
y(t) =x(t)exp(−
t
t0
a(s)ds)
4.1. Lad Mn(R) være udstyret med operatornormen. Vis at
exp(A) =
er konvergent. Vis at exp(A + B) =exp(A) · exp(B) n˚ar AB = BA.
4.2. Løs differentialligningen
for A ∈ Mn(R).
∞
k=0
A k
k!
x ′ (t) =A · x(t),x(0) = x0
5.1. Lad (X, d) være et metrisk rum, og lad Td være familien af ˚abne
delmængder af X fra Definition 1.6. Vis at Td er en topologi p˚a X.
5.2. Vis, at metrikkerne i Eksempel 1.11 er ækvivalente
5.3. Lad (X, d) være et metrisk rum, og x1 = x2 to forskellige punkter i X.
Vis, at der findes ˚abne mængder U1,U2 ∈Td, s˚a x1 ∈ U1, x2 ∈ U2 og
U1 ∩ U2 = ∅ (Man kan vælge U1 og U2 til at være ˚abne kugler).
Vis, at der findes topologiske rum, som ikke opfylder denne betingelse.
47

5.4. En afbildning mellem topologiske rum X =(X, TX) ogY =(Y,TY ),
f : X → Y kaldes kontinuert i punktet x ∈ X, s˚afremt f −1 (V )eren
omegn af x for enhver omegn V af f(x). Vis at dette stemmer overens
med (1.8), hvis X og Y er metriske rum med de tilhørende topologier
fra opgave 5.1.
Vis, at en afbildning f : X → Y er kontinuert, hvis og kun hvis den er
kontinuert i alle sine punkter.
5.5. Lad (R n ,d) være den euklidiske metrik. Find ∂Bd(x, r), int Bd(x, r) og
Bd(x, r). Samme spørgsm˚al for Bd(x, r), se (1.7).
5.6. Vis, at TX i (5.5) er en topologi, og at det er den groveste topologi,
hvor f bliver kontinuert.
Vis, at TY i (5.6) er en topologi og den fineste, hvor f er kontinuert.
5.7. Bevis Lemma 5.12
5.8. Vis, at de ˚abne kugler Bd(x, r) i et metrisk rum (X, d) udgør en basis
for Td.
5.9. Vis, at B = {B(x, ε) x ∈ Q n ,ε∈ Q, ε>0} udgør en basis for den
euklidiske topologi p˚a R n .
5.10. Lad (X1,d1) og(X2,d2) være metriske rum. Vi definerer en metrik p˚a
X1 × X2 ved
d((x1,x2), (y1,y2)) = max(d1(x1,y1),d2(x2,y2))
Vis, at (X1 × X2, Td) er produkttopologien.
5.11. Lad X og Y være topologiske rum, f : X → Y en afbildning, og antag
at X = X1 ∪ X2 for to delmængder X1 og X2 af X.
(a) Antag, at X1 og X2 er ˚abne delmængder af X. Vis,atfer kontinuert,
hvis og kun hvis f|X1 og f|X2 er kontinuerte m.h.t. sportopologierne
for X1 og X2.
(b) Antag, at X1 og X2 er lukkede delmængder af X. Vis,atfer kontinuert, hvis og kun hvis f|X1 og f|X2 er kontinuerte i sportopologierne.
5.12. Lad X være et topologisk rum og A ⊆ X en delmængde.
(a) Vis, at x ∈ A, hvis og kun hvis enhver omegn af x i X indeholder
punkter fra A; is˚afald kaldes x et berøringspunkt.
48

(b) Vis, at hvis x ∈ A, s˚agælderenten(i)eller(ii):
(i) at x er et berøringspunkt for A −{x}
(ii) at der findes en omegn U af x, s˚a U ∩ A = {x}.
I tilfælde (i) kaldes X et fortætningspunkt for A, og i tilfælde (ii)
kaldes x et isoleret punkt i A.
5.13. Lad X1, X2 og X3 være topologiske rum. Vi kan anvende Definition
5.18 (to gange) til at definere en topologi T p˚a(X1 × X2) × X3. Vikan
ligeledes definere en topologi T ′ p˚a X1 × (X2 × X3). Vis, at T = T ′ .
6.1. Lad T være følgende familie a delmængder af C = R 2 .
T = {C − F F endelig eller tom } ∪ {∅}
(a) Vis, at T definerer en topologi p˚a C. Denne kaldes Zariski-topologien.
(b) Vis, at T ikke er Hausdorff.
(c) Vis, at T er quasi-kompakt.
6.2. Vis, at et topologiske rum er Hausdorf, hvis og kun hvis diagonalen
∆(X) ={(x, x) ∈ X × X x ∈ X}
er en lukket delmængde af X × X (i produkttopologien).
6.3. Lad X være en mængde udstyret med den diskrete topologi (TX =
P(X)). Vis, at X er kompakt, hvis og kun hvis X er endelig.
6.4. Et Hausdorff-rum kaldes lokalt kompakt, hvis ethvert punkt har en omegn,
som er en kompakt delmængde.
Lad X være lokalt kompakt, og betragt mængden X∞ = X ⊔{∞},den
disjunkte forening af X og et ekstra punkt ∞. LadT∞ ⊆P(X∞) best˚a
af TX ∪T ′ ,hvorT ′ = {(X − K) ⊔{∞} K ⊆ X kompakt }.
(a) Vis, at T∞ er en topologi p˚a X∞. MankalderX∞ =(T∞,X∞) for
etpunkts-kompaktifikationen af X.
(b) Vis, at X∞ er kompakt.
6.5. Vis, at etpunkts-kompaktifikationen af R er cirklen S 1 .
6.6. Lad Z n ⊆ R n være den additive undergruppe af (x1,...,xn) medxi ∈
Z. Vis,atR n /Z n med kvotienttopologien er homeomorf med T n =
S 1 ×···×S 1 , n faktorer. Her gives T n sportopologien fra T n ⊆ R 2 ×
···×R 2 = R 2n .
49

Litteratur
[dC] Manfred P. do Carmo. Differential Geometry of Curves and Surfaces.
Prentice-Hall, 1976.
[R] H.L.Royden. Real Analysis. Prentice-Hall, 1988.
[L] Niels Lauritzen. Algebra 1. Matematisk Institut, ˚Arhus Universitet,
2000.
[BV] Marcel Bökstedt, Henrik Vosegaard. Notes on point set topology. Matematisk
Institut, ˚Arhus Universitet, 2000.
[KT] Klaus Thomsen. Introduktion til matematisk analyse. Matematisk Institut,
˚Arhus Universitet, 2000.
50