Noter til Geometri 1

Vi bemærker, at (X, T ) ikke nødvendigvis er en “mængdealgebra” som
kendt fra statistik og sandsynlighedsregning, da U ∈T ikke medfører at
komplementær mængden X − U ∈T.
En mængde X med en topologi T ⊆ P(X) kaldesettopologisk rum.
Delmængderne U fra T kaldes de˚abne mængder, og vi siger at en delmængde
C ⊆ X er lukket s˚afremt differensmængden X − C er ˚aben.
Ethvert metrisk rum (X, d) er ogs˚a et topologisk rum, nemlig ved at sætte
T = Td, hvorTd er familien af ˚abne mængder som defineret i Definition 1.6.
Vi kalder Td den inducerede topologi p˚a X (opgave 5.1).
To metrikker d1 og d2 p˚a samme mængde X kan godt føre til samme
inducerede topologi, dvs. Td1 = Td2. Dette sker ifølge Sætning 1.10, hvis d1
og d2 er ækvivalente.
I Eksempel 1.11 indførte vi tre forskellige metrikker p˚a R n . Disse er alle
ækvivalente (Opgave 5.2), s˚a Td1 = Td2 = Td3. Dette kaldes den euklidiske
topologi p˚a R n .
Som vi har set giver ethvert metrisk rum et induceret topologisk rum,
og man kan spørge om ethvert topologisk rum fremkommer p˚a denne m˚ade.
Dette er ikke tilfældet – topologiske rum er et mere generelt begreb end
metriske rum (opgave 5.3).
Definition 5.2. (i) Lad x ∈ X være et punkt i et topologisk rum (X, T ). En
omegn N af x er en delmængde af X som indeholder x, og med den egenskab
at der findes U ∈T,s˚a x ∈ U ⊆ N.
(ii) En ˚aben omegn af x er en mængde U ∈T som indeholder x.
Ifølge Definition 1.6 vil Bd(x, ε) ∈Td, dvs.deer˚abne mængder i den
inducerede topologi, s˚a deer˚abne omegne af x; Bd(x, ε) erogs˚aenomegn
af x i(X, Td).
Definition 5.3. En følge af punkter {xk}k∈Æ i et topologisk rum X kaldes
konvergent med grænsepunkt x ∈ X, hvisderforenhveromegnN af x findes
et K, s˚a xk ∈ N for alle k>K.
Det skal bemærkes, at punktfølger dog ikke spiller den samme centrale
rolle i topologiske rum som de gør i R n .
Definition 5.4. Lad A være en delmængde af det topologiske rum X =(X, T ).
(i) Et punkt a ∈ A kaldes et indre punkt i A, hvisA er en omegn af a.
Mængden af indre punkter i A betegnes int(A) eller ◦
A.
(ii) Randen ∂A af A er mængden
∂A = X − (int(A) ∪ int(X − A))
23