Noter til Geometri 1

Den kanoniske projektion
π : R n → R n /Z n
er en homomorfi af abelske grupper med π −1 (0) = [0] =Z n .Forn =1har
vi π : R → R/Z, ogvigiverR/Z kvotienttopologien. Enhedscirklen er en
delmængde S 1 af R 2 .Vigiverdensportopologien,ogladeri : S 1 → R 2 være
inklusionen. Betragt nu
e : R → S 1 ; e(t) = (cos(2πt), sin(2πt)).
Denne er kontinuert ifølge Lemma 5.10, da i ◦ e er kontinuert, og den er
surjektiv. Da e er periodisk,
e(t + n) =e(t) ⇐⇒ n ∈ Z,
kan vi definere en afbildning e : R/Z → S1 ved e([x]) = e(x). Der gælder, at
e ◦ π = e, oge er en bijektion og en homomorfi af grupper, hvor gruppestrukturen
p˚a S1 induceres af multiplikationen i C = R2 . Det følger fra Lemma
5.12, at e er kontinuert. Vi skal se i næste paragraf, at den inverse afbildning
e−1 ogs˚a er kontinuert (sml. [L], Eksempel 3.4.5).
Vi afslutter denne paragraf med at definere den s˚akaldte produkt topologi
p˚a det Cartesiske produkt af to topologiske rum. Vi har brug for:
Definition 5.15. Lad X være en mængde. En familie af delmængder B⊆
P(X) kaldesenbasis for X, s˚afremt
(i) For B1,B2 ∈Bog x ∈ B1 ∩ B2, findes der B ∈Bs˚a x ∈ B ⊂ B1 ∩ B2
(ii)
B∈B B = X.
Lemma 5.16. Lad B være en basis for en mængde X. S˚a udgør ∅ samt
alle mængder af formen
α∈I Bα, Bα ∈Ben topologi T p˚a X. Dette kaldes
topologien induceret fra B.
Bevis. T1 er oplagt. T2 følger fra (i) i ovenst˚aende definition. Thi for x ∈
B1 ∩ B2, findes der et B(x) ∈Bmed x ∈ B(x) ⊆ B1 ∩ B2, og der gælder
derfor, at
B1 ∩ B2 =
B(x) ∈T
x∈B1∩B2
Endelig viser den mængdeteoretiske identitet
∩ =
α∈I
Bα
β∈J
Bβ
(α,β)∈I×J
Bα ∩ Bβ
at T2 er opfyldt. Betingelse (ii) i Definition 5.15 garanterer at T3 er opfyldt.
28