Noter til Geometri 1

p˚a vektorrummet V . Vi minder om, at et indre produkt opfylder følgende
betingelser
(i) 〈v, v〉 ≥0og〈v, v〉 =0⇒ v = 0 (tro)
(ii)
〈v1 + v2,w〉 = 〈v1,w〉 + 〈v2,w〉,
〈v, w1 + w2〉 = 〈v, w1〉 + 〈v, w2〉,
〈λv, w〉 = λ〈v, w〉
〈v, λw〉 = λ〈v, w〉
(bilinearitet)
(iii) 〈v, w〉 = 〈w, v〉 (symmetri)
I et vektorrum med indre produkt (V,〈·, ·〉) gælder Cauchy-Schwarz’ ulighed:
|〈v, w〉| ≤ |v|·|w|, |v| = 〈v, v〉 1/2
(1.4)
Beviset for (1.4), som skulle være kendt fra Mat 10, er som følger. Fra (i) og
(ii) ser vi, at
〈w, w〉t 2 +2〈v, w〉t + 〈v, v〉 = 〈v + tw, v + tw〉 ≥0
Funktionen At2 +2Bt + C har minimum i punktet t = −B/A med værdien
B2 /A − 2B2 /A + C ≥ 0. Dette giver B2 ≤ AC, som medfører (1.4).
Et vektorrum med indre produkt bliver et normeret vektorrum med normen
N(v) =〈v, v〉 1/2 .
Trekantsuligheden for N følger fra Cauchy-Schwarz’ ulighed.
Et normeret vektorrum (V,N) er et metrisk rum med afstandsfunktionen
dN : V × V → R ,dN(v, w) =N(v − w)
Eksempel 1.4. Den euklidiske norm |·| p˚a R n med tilhørende afstandsfunktion
d fra (1.1) kommer fra det sædvanlige indre produkt p˚a R n ,
Herertoandrenormerp˚a R n :
〈x, y〉 = x · y = xiyi.
|x|∞ = max{|xi| i =1,...,n}
|x|1 = |x1| + ...+ |xn| , x =(x1,...,xn).
Eksempel 1.5. Lad K =[a, b] væreetlukketintervalp˚a den reelle akse.
Det uendeligt dimensionale vektorrum C(K, Rm ) af kontinuerte funktioner
fra K ind i Rm har et indre produkt:
〈〈f,g〉〉2 = f(t) · g(t)dt
K
4