Noter til Geometri 1

f er kontinuert ⇐⇒ i ◦ f kontinuert, forudsat at A har sportopologien fra
Y ,ogi er inklusionsafbildningen.
Bevis for Lemma 5.10. Inklusionsafbildningen i er kontinuert, da i −1 (U) =
A∩U. Sammensætning af kontinuerte afbildninger er kontinuert, s˚a hvisf er
kontinuert er i◦f kontinuert. Antag omvendt at i◦f er kontinuert. Lad U ⊆ Y
være en˚aben mængde, U ∈T.S˚aer(i◦f) −1 (U) =f −1 (i −1 (U)) = f −1 (U ∩A)
˚aben i Z. Daenhver˚aben mængde i A har formen U ∩ A følger heraf at f er
kontinuert.
Vi bemærker, at en mængde der er ˚aben i A mht. sportopologien, ikke
behøver at være ˚aben i Y . F.eks. er den øvre lukkede halvkugle
A = {x =(x1,x2) ∈ R 2 | x2 > 0, |x| ≤1}
˚aben i enhedskuglen B(0, 1) udstyret med sportopologien fra R 2 ,daA =
B(0, 1) ∩ R 2 + , og da den øvre halvplan R2 + af punkter (x1,x2) medx2 > 0er
˚aben i R 2 ,menA er ikke ˚aben i R 2 .
Hvis p˚a den anden side X er en ˚aben delmængde af Y ,ogW ⊆ X er
˚aben i sportopologien, s˚a erW ogs˚a˚aben i Y ,daW = W ′ ∩ X for en ˚aben
mængde W ′ af Y .
Definition 5.11. Lad π : Y → B være en surjektiv afbildning, og TY en
topologi p˚a Y .S˚akaldes
for kvotienttopologien p˚a B.
TB = {V ⊆ B | π −1 (V ) ∈TY }
I lighed med Lemma 5.10 har afbildningen π : Y → B den universelle
egenskab:
Lemma 5.12. Lad π : Y → B være surjektiv, Y et topologisk rum, og lad
B have kvotienttopologien. Hvis Z er et topologisk rum og f : B → Z en
afbildning, s˚a erf kontinuert, hvis og kun hvis f ◦ π er kontinuert.
Bevis. Der henvises til opgave 5.7
I lighed med (5.7) kan den universelle egenskab med fordel illustreres i
diagrammet
Y
f◦π
π
B f
Z
26
(5.8)