Noter til Geometri 1

Da DFu er invertibel, og Dψu =0,m˚avihaveF (u) =a. Viharvist,at
B(F (x0),ε) ⊆ F (int K). Dette afslutter beviset for p˚astand 2.
Vi sætter V = F (W ). Det er en ˚aben mængde, og
F|W : W → V
er bijektiv. Da F (W ′ )er˚aben for enhver˚aben delmængde W ′ ⊆ W ,erF|W en
˚aben afbildning, cf. Definition 6.10, s˚a G =(F|W ) −1 : V → W er kontinuert.
Vi har tilbage at vise
P˚astand 3. G =(F|W ) −1 : V → W har klasse C1 .
Lad x, x0 ∈ W og y = F (x), y0 = F (x0). I p˚astand 1 viste vi, at Φ(x, x0)
er injektiv. Ligningen
medfører derfor, at
y − y0 = F (x) − F (x0) =Φ(x, x0)(x − x0)
G(y) − G(y0) = Φ(G(y),G(y0)) −1 (y − y0). (7.6)
Af definitionen af differentiabilitet følger fra (7.6), at G er differentiabel i y0
og
DGy0 = Φ(G(y0),G(y0)) −1 .
Dette viser, at afbildningen DG : V → Mn(R) er givet som sammensætningen
DG : V G
−→ W DF
−→ GLn(R) (·)−1
−→ GLn(R). (7.7)
Matrixinvertering er C∞ ,ogDF er kontinuert, s˚a (7.7) medfører, at G er
C1 .
Addendum 7.5. Hvis vi i Sætning 7.4 antager, at F har klasse C k ,s˚a har
(F|W ) −1 ogs˚a klasse C k .
Bevis. Lad G =(F|W ) −1 : V → W . Vi ved fra Sætning 7.4, at G har klasse
C 1 , og viser induktivt, at den har klasse C k .DaF ◦ G = IdV fortæller
kædereglen, at
DFG(v) ◦ DGv =Id,
og dermed, at DGv =(DFG(v)) −1 .
Antag induktivt, at G har klasse C l ,1≤ l