Noter til Geometri 1

More documents

Recommendations

Info

Det er velkendt, at det euklidiske talrum R n med den sædvanlige afstandsfunktion (1.1) er fuldstændigt. Vektorrummet C(K, R n ) af kontinuerte funktioner fra det lukkede interval K =[a, b] medL 2 -normen f2 fra Eksempel 1.5 er derimod ikke fuldstændigt. Hvis vi giver C(K, R n ) supremumsnormen og den <strong>til</strong>hørende afstandsfunktion s˚agælder: d(f,g)∞ = f − g∞ =sup{|f(t) − g(t)| t ∈ K} (2.1) Sætning 2.5. Det metriske rum C(K, R n ) med afstandsfunktionen i (2.1) er fuldstændigt. Bevis. Lad {fk} være en Cauchy følge i C(K, R n ). Til ε>0 findes N ∈ N, s˚a fn − fm∞
Sætning 2.6 (Fikspunktssætningen). En kontraktion T p˚aetfuldstændigt metrisk rum har præcist et fikspunkt. Bevis. Vi viser først eksistensen af et fikspunkt. Vælg et vilk˚arligt x0 ∈ X. Dette giver en følge {xn} i X ved at sætte x1 = Tx0, x2 = Tx1 osv., dvs. xn = T n (x0). Vi p˚ast˚ar, at {xn} er en Cauchy følge. For vilk˚arlige n, k ∈ N giver trekantsuligheden, at og derfor induktivt, at d(xn+k,xn) ≤ d(xn+k,xn+k−1)+d(xn+k−1,xn), k−1 d(xn+k,xn) ≤ d(xn+i+1,xn+i). (2.4) i=0 Nu er xn+i = T n+i (x0), s˚a (2.3) viser, at Induktivt f˚ar vi derfor uligheden d(xn+i+1,xn+i) ≤ βd(xn+i,xn+i−1). d(xn+i+1,xn+i) ≤ β n+i d(x1,x0). Fra (2.4) ser vi, at d(xn+k,xn) ≤ (β n + β n+1 + ...+ β n+k−1 )d(x1,x0) =β n k 1 − β d(x1,x0). 1 − β Højre side af denne ulighed konvergerer mod nul for n →∞,s˚a {xn} er en Cauchy følge i X. DaX er forudsat at være fuldstændigt, er følgen konvergent: xn → x for n →∞. Det følger fra (2.3), at T er en kontinuert funktion og at d(Txn,Tx) → 0for n →∞,s˚a Txn → Tx for n →∞. Men Txn = xn+1, s˚a følgen {Txn} har samme grænsepunkt som {xn}, dvs. Tx = x. Vi har hermed fundet et fikspunkt for T . Antag, at x og y begge er fikspunkter for T . Fra (2.3) ses, at d(x, y) =d(Tx,Ty) ≤ βd(x, y). Da β
Page 1 and 2: Noter til Geometri 1 Ib Madsen Maj
Page 3 and 4: 1 Metriske rum I det euklidiske tal
Page 5 and 6: p˚a vektorrummet V . Vi minder om,
Page 7 and 8: Definition 1.8. En delmængde A ⊆
Page 9: 2 Fuldstændige metriske rum I dett
Page 13 and 14: 3 Eksistens- og entydighedssætning
Page 15 and 16: Bevis. (for Sætning 3.1) (i) Lokal
Page 17 and 18: Vi vælger D0 og K som i beviset fo
Page 19 and 20: 4 Den globale eksistenssætning I d
Page 21 and 22: Som vi har set, er der en 1 − 1 k
Page 23 and 24: 5 Topologiske rum Et topologisk rum
Page 25 and 26: (iii) Afslutningen af A er mængden
Page 27 and 28: f er kontinuert ⇐⇒ i ◦ f kont
Page 29 and 30: Den kanoniske projektion π : R n
Page 31 and 32: 6 Kompakte rum Hvis x og y er forsk
Page 33 and 34: af A, ogdaAer forudsat at være kom
Page 35 and 36: Beviset opdeles i en række selvst
Page 37 and 38: 7 Den inverse funktions sætning I
Page 39 and 40: Lemma 7.3. Lad U være en ˚aben ko
Page 41 and 42: Vi sætter W = B(u0,δ)ogf˚ar, at
Page 43 and 44: Definition 7.6. En afbildning F : W
Page 45 and 46: Sætning 8.4. Lad S være en regul
Page 47 and 48: 9 Opgaver 1.1. Lad X være en mæng
Page 49 and 50: 5.4. En afbildning mellem topologis
Page 51: Litteratur [dC] Manfred P. do Carmo

Noter til Geometri 1

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?