Noter til Geometri 1

More documents

Recommendations

Info

Da DFu er invertibel, og Dψu =0,m˚avihaveF (u) =a. Viharvist,at B(F (x0),ε) ⊆ F (int K). Dette afslutter beviset for p˚astand 2. Vi sætter V = F (W ). Det er en ˚aben mængde, og F|W : W → V er bijektiv. Da F (W ′ )er˚aben for enhver˚aben delmængde W ′ ⊆ W ,erF|W en ˚aben afbildning, cf. Definition 6.10, s˚a G =(F|W ) −1 : V → W er kontinuert. Vi har <strong>til</strong>bage at vise P˚astand 3. G =(F|W ) −1 : V → W har klasse C1 . Lad x, x0 ∈ W og y = F (x), y0 = F (x0). I p˚astand 1 viste vi, at Φ(x, x0) er injektiv. Ligningen medfører derfor, at y − y0 = F (x) − F (x0) =Φ(x, x0)(x − x0) G(y) − G(y0) = Φ(G(y),G(y0)) −1 (y − y0). (7.6) Af definitionen af differentiabilitet følger fra (7.6), at G er differentiabel i y0 og DGy0 = Φ(G(y0),G(y0)) −1 . Dette viser, at afbildningen DG : V → Mn(R) er givet som sammensætningen DG : V G −→ W DF −→ GLn(R) (·)−1 −→ GLn(R). (7.7) Matrixinvertering er C∞ ,ogDF er kontinuert, s˚a (7.7) medfører, at G er C1 . Addendum 7.5. Hvis vi i Sætning 7.4 antager, at F har klasse C k ,s˚a har (F|W ) −1 ogs˚a klasse C k . Bevis. Lad G =(F|W ) −1 : V → W . Vi ved fra Sætning 7.4, at G har klasse C 1 , og viser induktivt, at den har klasse C k .DaF ◦ G = IdV fortæller kædereglen, at DFG(v) ◦ DGv =Id, og dermed, at DGv =(DFG(v)) −1 . Antag induktivt, at G har klasse C l ,1≤ l
Definition 7.6. En afbildning F : W → V mellem ˚abne mængder V,W ⊆ R n kaldes en diffeomorfi, hvis F er bijektiv, og b˚ade F og F −1 har klasse C ∞ . Med denne sprogbrug siger addendum 7.5, at hvis F har klasse C ∞ og DFu0 er invertibel, s˚a erF en lokal diffeomorfi. 42
Page 1 and 2: Noter til Geometri 1 Ib Madsen Maj
Page 3 and 4: 1 Metriske rum I det euklidiske tal
Page 5 and 6: p˚a vektorrummet V . Vi minder om,
Page 7 and 8: Definition 1.8. En delmængde A ⊆
Page 9 and 10: 2 Fuldstændige metriske rum I dett
Page 11 and 12: Sætning 2.6 (Fikspunktssætningen)
Page 13 and 14: 3 Eksistens- og entydighedssætning
Page 15 and 16: Bevis. (for Sætning 3.1) (i) Lokal
Page 17 and 18: Vi vælger D0 og K som i beviset fo
Page 19 and 20: 4 Den globale eksistenssætning I d
Page 21 and 22: Som vi har set, er der en 1 − 1 k
Page 23 and 24: 5 Topologiske rum Et topologisk rum
Page 25 and 26: (iii) Afslutningen af A er mængden
Page 27 and 28: f er kontinuert ⇐⇒ i ◦ f kont
Page 29 and 30: Den kanoniske projektion π : R n
Page 31 and 32: 6 Kompakte rum Hvis x og y er forsk
Page 33 and 34: af A, ogdaAer forudsat at være kom
Page 35 and 36: Beviset opdeles i en række selvst
Page 37 and 38: 7 Den inverse funktions sætning I
Page 39 and 40: Lemma 7.3. Lad U være en ˚aben ko
Page 41: Vi sætter W = B(u0,δ)ogf˚ar, at
Page 45 and 46: Sætning 8.4. Lad S være en regul
Page 47 and 48: 9 Opgaver 1.1. Lad X være en mæng
Page 49 and 50: 5.4. En afbildning mellem topologis
Page 51: Litteratur [dC] Manfred P. do Carmo

Noter til Geometri 1

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?