Noter til Geometri 1

forudsat at længden ℓ(K) af intervallet K opfylder uligheden ℓ(K) ≤ rS−1 .
Her er r radius i D0 og S er supremum af {|f(x, t) | (x, t) ∈ D0 × I0}. I(3.7)
fandt vi at T er en kontraktion forudsat at cℓ(K) < 1.
Vi vælger nu K s˚a lille, at begge uligheder er opfyldt, dvs.
1 r
ℓ(K) < min , . (3.9)
c S
Vi ønsker at bruge fikspunktssætningen, Sætning 2.6, p˚a afbildningen T i
(3.8). Dette kræver, at C(K, D0) er fuldstændigt. Vi ved fra Sætning 2.5,
at C(K, Rn ) er fuldstændigt, og ifølge Lemma 2.7 er det nok at vise, at
C(K, D0) er en lukket delmængde af C(K, Rn ). Vi bruger Lemma 2.2 og
antager at {xk} er en følge af elementer i C(K, D0), som konvergerer mod
x ∈ C(K, Rn ),
x − xk∞ → 0fork→∞ Da |x(t) − xk(t)| ≤x− xk∞ for ethvert t ∈ K, servi,at
xk(t) → x(t) fork →∞
Da xk(t) ∈ D0 og D0 ⊆ Rn er lukket, følger at x(t) ∈ D0. Dette gælder for
ethvert t ∈ K, s˚a x ∈ C(K, D0) ogC(K, D0) erlukketiC(K, Rn ), og dermed
fuldstændigt.
En anvendelse af Sætning 2.6 fortæller, at der findes et x ∈ C(K, D0)
med Tx = x. Ifølge (3.5) har vi derfor for dette x ligningen
x(t) =x0 +
t
t0
f(x(s),s)ds; t ∈ K. (3.10)
Højre side i (3.10) er en stamfunktion til funktionen g(t) =f(x(t),t), s˚a ved
differentiation f˚as
x ′ (t) =f(x(t),t). (3.11)
Dermed er x(t) en løsning til differentialligningen defineret p˚a intervallet K,
og vi har bevist den lokale eksistenssætning.
(ii) Global entydighed: Vi antager, at vi har givet to differentiable
funktioner x1,x2 ∈ C(I,U), som begge løser differentialligningen:
x ′ 1 (t) = f(x1(t),t)
x ′ 2(t) = f(x2(t),t), t ∈ I.
(3.12)
Vi antager at x1(t0) =x2(t0) =x0, ogskalvise,atx1(t) =x2(t) for alle
t ∈ I. Først viser vi, at x1(t) ogx2(t) stemmer overens i en omegn af t0 ∈ I.
15