Noter til Geometri 1

5.4. En afbildning mellem topologiske rum X =(X, TX) ogY =(Y,TY ),
f : X → Y kaldes kontinuert i punktet x ∈ X, s˚afremt f −1 (V )eren
omegn af x for enhver omegn V af f(x). Vis at dette stemmer overens
med (1.8), hvis X og Y er metriske rum med de tilhørende topologier
fra opgave 5.1.
Vis, at en afbildning f : X → Y er kontinuert, hvis og kun hvis den er
kontinuert i alle sine punkter.
5.5. Lad (R n ,d) være den euklidiske metrik. Find ∂Bd(x, r), int Bd(x, r) og
Bd(x, r). Samme spørgsm˚al for Bd(x, r), se (1.7).
5.6. Vis, at TX i (5.5) er en topologi, og at det er den groveste topologi,
hvor f bliver kontinuert.
Vis, at TY i (5.6) er en topologi og den fineste, hvor f er kontinuert.
5.7. Bevis Lemma 5.12
5.8. Vis, at de ˚abne kugler Bd(x, r) i et metrisk rum (X, d) udgør en basis
for Td.
5.9. Vis, at B = {B(x, ε) x ∈ Q n ,ε∈ Q, ε>0} udgør en basis for den
euklidiske topologi p˚a R n .
5.10. Lad (X1,d1) og(X2,d2) være metriske rum. Vi definerer en metrik p˚a
X1 × X2 ved
d((x1,x2), (y1,y2)) = max(d1(x1,y1),d2(x2,y2))
Vis, at (X1 × X2, Td) er produkttopologien.
5.11. Lad X og Y være topologiske rum, f : X → Y en afbildning, og antag
at X = X1 ∪ X2 for to delmængder X1 og X2 af X.
(a) Antag, at X1 og X2 er ˚abne delmængder af X. Vis,atfer kontinuert,
hvis og kun hvis f|X1 og f|X2 er kontinuerte m.h.t. sportopologierne
for X1 og X2.
(b) Antag, at X1 og X2 er lukkede delmængder af X. Vis,atfer kontinuert, hvis og kun hvis f|X1 og f|X2 er kontinuerte i sportopologierne.
5.12. Lad X være et topologisk rum og A ⊆ X en delmængde.
(a) Vis, at x ∈ A, hvis og kun hvis enhver omegn af x i X indeholder
punkter fra A; is˚afald kaldes x et berøringspunkt.
48