Noter til Geometri 1

Det er velkendt fra Mat11, se f.eks. Sætning 4.3 [KT], hvordan man udregner
de partielle afledede af (G ◦ F )j, nemlig
∂(G ◦ F )j
(u) =
∂xi
m ∂Gj
k=1
∂xk
(F (u)) ∂Fk
(u) (7.2)
∂xi
Vi ser, at G◦F har klasse C1 ,hvisb˚ade G og F har klasse C1 . Men (7.2) giver
ogs˚a, at G ◦ F har klasse C2 ,hvisFog G har klasse C2 . Man differentierer
(7.2) m.h.t. x, ogbemærkerat ∂ af højre side bliver kontinuert. Induktivt
∂x
ser vi, at hvis F og G har klasse Ck ,s˚a gælder det samme for G ◦ F .
Lemma 7.2 (Kædereglen). For Jacobimatricerne gælder
D(G ◦ F )u = DGF (u) · DFu.
Bevis. Det ji’te element i produktet DGF (u)·DFu er den j’te række i DGF (u)
multipliceret med den i’te søjle i DFu. Det er præcis højre side i 7.2.
Hvis vi betragter Jacobimatricerne som lineære afbildninger (differentialerne)
DFu : R n → R m , DGF (u) : R m → R l
s˚a fortæller Lemma 7.2, at differentialet af en sammensætning er sammensætningen
af differentialerne. Dette udtrykkes skematisk i (7.3): En “kommutativ
trekant af C k -funktioner overføres i en kommutativ trekant af lineære afbildninger”:
F
U
V
H
G
Rn DFu
R
DHu
m
D(−)u
Rl Rl DG F (u)
(H = G ◦ F ⇒ DHu = DGF (u) ◦ DFu).
(7.3)
Vi minder om, at U ⊆ R n kaldes konveks, hvis der for to vilk˚arlige punkter
x, y ∈ U gælder, at liniestykket mellem dem er indeholdt i U, dvs.
[x, y ]={tx +(1− t)y 0 ≤ t ≤ 1} ⊆U.
Kuglerne B(x, r) ={y ∈ R n ||y − x ≤ r} er konvekse.
37