Noter til Geometri 1

af, at uligheden er gyldig for k, finder vi at
|T k+1 y(t) − T k+1 x(t)| = |T (T k y)(t) − T (T k x)(t)|
t
≤
(f(T
t0
k y(s),s) − f(T k
x(s),s))ds
t
≤
|f(T
t0
k y(s),s) − f(T k
x(s),s)|ds
t
≤ c
|T
t0
k y(s) − T k
x(s)|ds
t
≤ c
c
k
k! |s − t0| k
y − x∞ds
Dette afslutter beviset for (4.3). Da
=
t0
c k+1
(k +1)! |t − t0| k+1 y − x∞.
c
lim
k→∞
kℓk k! =0,
er T k en kontraktion for tilstrækkelig stort k, og vi kan anvende Sætning 2.6.
Lad x være det entydigt bestemte fixpunkt for T k .S˚aerxogs˚a et fixpunkt
for T .ThiTk (Tx)=T (T kx)=Tx,s˚a Tx er ogs˚a et fixpunkt for T k .Da
fixpunkter for T k er entydige, er Tx = x. Hvis omvendt x er et fixpunkt for
T ,s˚aerx ogs˚a et fixpunkt for T k og dermed entydigt bestemt.
Sætning 4.3. Antag at f : R n × I → R n er kontinuert og tilfredsstiller
(4.1). For ethvert t0 ∈ I og x0 ∈ R n findes en og kun en differentiabel kurve
x : I → R n ,s˚aledes at
x ′ (t) =f(x(t),t) og x(t0) =x0.
Bevis. Lad x : I → R n være en differentiabel kurve med
S˚aer
x ′ (t) =f(x(t),t)ogx(t0) =x0. (4.4)
x(t) =x0 +
t
t0
f(x(s),s)ds; t ∈ I.
Betragt nu vektorrummet C(I,Rn ) af kontinuerte afbildninger fra I til Rn og operatoren T
Tx(t) =x0 +
t
t0
f(x(s),s)ds; t ∈ I. (4.5)
19