Noter til Geometri 1

Lemma 7.3. Lad U være en ˚aben konveks delmængde af R n og F : U → R m
af klasse C 1 . Til hvert par af punkter x, a ∈ U findes der en m × n matrix
Φ(x, a), s˚aledes at
(i) Φ:U × U → Mm,n(R) er kontinuert
(ii) Φ(a, a) =DFa
(iii) F (x) − F (a) =Φ(x, a)(x − a) for x, a ∈ U.
Bevis. Da U er konveks er a + s(x − a) ∈ U for 0 ≤ s ≤ 1, og da U ogs˚a er
˚aben, findes der et ε>0s˚a {a+s(x−a) −ε