Noter til Geometri 1

Alts˚a ladcK∈R, s˚aledes at g(x, t) ≤ cK for t ∈ K og |x| =1.Ladnux, y ∈
Rn være vilk˚arlige, s˚aledes at x = y og t ∈ K. Viserda,atg( y−x
,t) ≤ cK,
|x−y|
hvilket er ækvivalent med, at
som netop er (4.1).
|f(y, t) − f(x, t)| ≤cK|y − x|,
Korollar 4.4. Lad I være et ˚abent interval og A : I → Mn(R) en kontinuert
afbildning. For t0 ∈ I og x0 ∈ R n findes der en entydig bestemt differentiabel
kurve x : I → R n som er løsning til (4.6).
Bemærkning 4.5. Ib˚ade §3 og§4 har vi antaget, at funktionen
f : U × I → R n
er kontinuert, og vi har fundet differentiable løsninger x(t) til differentialligningen
x ′ (t) =f(x(t),t).
Hvis vi antager, at f er uendelig ofte differentiabel, s˚a bliver løsningerne x(t)
ogs˚a uendelig ofte differentiable. Dette følger induktivt fra selve differentialligningen.
21