Noter til Geometri 1

Bevis. Hvis f er kontinuert og C ⊆ Y er lukket, s˚a erX −f −1 (C) =f −1 (Y −
C) ˚aben, og dermed f −1 (C) lukket. Omvendt, hvis f −1 (C) erlukketfor
C ⊆ Y lukket, s˚a erf kontinuert. Thi for V ⊆ Y ˚aben, er Y − V lukket, og
f −1 (Y − V )=X − f −1 (V ) er lukket. Derfor er f −1 (V )˚aben.
Der er normalt mange topologier p˚a en given mængde X. HvisT1 ⊂T2,
s˚akaldesT2 finere end T1 og T1 grovere end T2. Den groveste topologi er
T = {∅,X}, som ogs˚a kaldesdentrivielle topologi. Den fineste topologi er
T = P(X), som ogs˚a kaldesdendiskrete topologi.
I et diskret topologisk rum er alle mængder b˚ade ˚abne og lukkede, men
normalterderdelmængderA ⊆ X, somhverkener˚abne eller lukkede.
En afbildning f : X → Y har lettere ved at være kontinuert, jo finere
topologien p˚a X er, og jo grovere topologien p˚a Y er.
Lad Y =(Y,TY ) være et topologisk rum og f : X → Y en afbildning af
mængder. Vi definerer
TX = {f −1 (V )|V ∈TY }. (5.5)
Det følger fra (5.3), at TX er en topologi. Det er den groveste topologi, hvori
f bliver kontinuert. Omvendt, hvis X =(X, TX) er et topologisk rum, og
f : X → Y er en afbildning ind i en mængde Y .S˚a defineres
TY = {V ∈P(Y )|f −1 (V ) ∈TX}, (5.6)
og TY er en topologi, nemlig den fineste, hvori f er kontinuert (opgave 5.6).
Der er et par særligt vigtige specialtilfælde af (5.5) og (5.6), nemlig:
Definition 5.9. Lad Y =(Y,TY ) være et topologisk rum og A ⊆ Y en
delmængde. S˚a kaldes
TA = {V ∩ A|V ∈TY }
for sportopologien, den inducerede topologi eller underrumstopologien p˚a A.
Lemma 5.10. Lad Y =(Y,T ) være et topologisk rum og A ⊆ Y en delmængde
som vi giver sportopologien. Lad (Z, f) være et par best˚aende af et topologisk
rum Z og en afbildning f : Z → A. S˚aerf kontinuert hvis og kun hvis
i ◦ f : Z → Y er kontinuert.
Den universelle egenskab beskrevet i Lemma 5.10 kan illustreres i diagrammet
Z f
i◦f
A
i
Y
25
(5.7)