Noter til Geometri 1

2 Fuldstændige metriske rum
I dette afsnit studerer vi konvergens af følger i metriske rum X =(X, d).
Definition 2.1. En følge {xk} af punkter i X siges at konvergere mod x ∈ X,
hvis der til ethvert ε>0 findes et tal N ∈ N, s˚aledes at xk ∈ B(x, ε) for
k ≥ N.
For to forskellige punkter x, y ∈ X giver trekantsuligheden, at B(x, ε) ∩
B(y, ε) =∅ n˚ar ε< 1
2d(x, y). En konvergent følge {xk} kan derfor kun konvergere
mod ét punkt x ∈ X. Dette kaldes grænseværdien for {xk}, ogman
skriver ofte xk → x for k →∞.
I §1 definerede vi begrebet lukket delmængde af et metrisk rum, Definition
1.8. Lukkede mængder kan ogs˚a karakteriseres ved følgers grænseværdi p˚a
følgende vis:
Lemma 2.2. En delmængde A af et metrisk rum X er lukket, hvis og kun
hvis A opfylder følgende betingelse:
Lad {xk} være en vilk˚arlig konvergent følge i X med grænseværdi
x. Hvisxk ∈ A for k ∈ N, s˚avilx ∈ A.
Bevis. Antag at X −A er˚aben, at xk ∈ A for alle k,ogatxk → x for k →∞.
Vi skal vise, at x ∈ A. Antag modsætningsvis, at x ∈ X − A. DaX− A
er ˚aben, findes der et ε>0, s˚aledes at kuglen B(x, ε) ⊆ X − A. Dax er
grænseværdien for {xk}, m˚a xk ∈ B(x, ε) forktilstrækkeligt stor i modstrid
med, at xk ∈ A for alle k. Vislutterheraf,atx∈ A.
Lad os omvendt antage, at A ⊆ X er en delmængde, som opfylder betingelsen
i lemmaet, og vælg et punkt x ∈ X − A. Vi skal finde et ε>0, s˚a
B(x, ε) ⊆ X − A. Antag modsætningsvis, at dette ikke kan lade sig gøre. S˚a
er
B x, 1
∩ A = ∅ for alle k.
k
Vælg et xk i denne mængde. Følgen {xk} af elementer i A konvergerer mod
x. Thi for ethvert ε>0er1 >εfor k>1 . Dette er en modstrid.
k ε
Definition 2.3. En følge {xk} af punkter i X kaldes en Cauchy følge,s˚afremt
der til ethvert ε>0 findes et N ∈ N, s˚aledes at d(xn,xm)