Noter til Geometri 1

Sætning 2.6 (Fikspunktssætningen). En kontraktion T p˚aetfuldstændigt
metrisk rum har præcist et fikspunkt.
Bevis. Vi viser først eksistensen af et fikspunkt. Vælg et vilk˚arligt x0 ∈ X.
Dette giver en følge {xn} i X ved at sætte x1 = Tx0, x2 = Tx1 osv., dvs.
xn = T n (x0).
Vi p˚ast˚ar, at {xn} er en Cauchy følge. For vilk˚arlige n, k ∈ N giver trekantsuligheden,
at
og derfor induktivt, at
d(xn+k,xn) ≤ d(xn+k,xn+k−1)+d(xn+k−1,xn),
k−1
d(xn+k,xn) ≤ d(xn+i+1,xn+i). (2.4)
i=0
Nu er xn+i = T n+i (x0), s˚a (2.3) viser, at
Induktivt f˚ar vi derfor uligheden
d(xn+i+1,xn+i) ≤ βd(xn+i,xn+i−1).
d(xn+i+1,xn+i) ≤ β n+i d(x1,x0).
Fra (2.4) ser vi, at
d(xn+k,xn) ≤ (β n + β n+1 + ...+ β n+k−1 )d(x1,x0) =β n
k 1 − β
d(x1,x0).
1 − β
Højre side af denne ulighed konvergerer mod nul for n →∞,s˚a {xn} er en
Cauchy følge i X. DaX er forudsat at være fuldstændigt, er følgen konvergent:
xn → x for n →∞.
Det følger fra (2.3), at T er en kontinuert funktion og at d(Txn,Tx) → 0for
n →∞,s˚a
Txn → Tx for n →∞.
Men Txn = xn+1, s˚a følgen {Txn} har samme grænsepunkt som {xn}, dvs.
Tx = x. Vi har hermed fundet et fikspunkt for T .
Antag, at x og y begge er fikspunkter for T . Fra (2.3) ses, at
d(x, y) =d(Tx,Ty) ≤ βd(x, y).
Da β