Noter til Geometri 1

Beviset opdeles i en række selvstændige lemmaer.
Lemma 6.15. Hvis X1 og X2 er Hausdorff rum, s˚a erX1 × X2 Hausdorff.
Bevis. Lad (x1,x2) = (x ′ 1 ,x′ 2 ). Hvis x1 = x ′ 1
U1 og U ′ 1 af henholdsvis x1 og x ′ 1 i X1. S˚aerpr −1
1 (U1) ogpr −1
1 (U ′ 1
˚abne omegne af henholdsvis (x1,x2) og(x ′ 1,x ′ 2). Tilsvarende hvis x1 = x ′ 1
men x2 = x ′ 2 .
, findes disjunkte ˚abne omegne
) disjunkte
Lemma 6.16. Projektionen pr 1 er lukket, dvs. pr 1(C) er lukket i X1 for
enhver lukket delmængde C ⊆ X1 × X2.
Bevis. Lad C ⊆ X1 ×X2 være lukket. Vi skal vise, at X1 −pr 1(C) eren˚aben
omegn af ethvert af sine punkter. Lad x1 ∈ X1 − pr 1(C) være et fast punkt,
og lad y ∈ X2 være vilk˚arligt. Da BX1×X2 i (5.9) er en basis for X1 × X2, og
(x1,y) tilhører den ˚abne mængde X1 × X2 − C, findes der Uy × Vy ∈BX1×X2
med (x1,y) ∈ Uy × Vy ⊆ X1 × X2 − C. Nuer{Vy}y∈X2 en ˚aben overdækning
af X2, ogdaX2 er (quasi-) kompakt findes der endeligt mange, som allerede
overdækker: X2 = Vy1 ∪···∪Vyk .Vilader
Det er en ˚aben mængde i X1, og
Ux1 = Uy1 ∩···∩Uyk .
Ux1 × X2 = Ux1 × (Vy1 ∪···∪Vyk ) ⊆ Uy1 × Vy1 ∪···∪Uyk × Vyk
⊆ X1 × X2 − C.
Det følger, at Ux1 ⊆ X1 − pr 1(C).
Lemma 6.17. Lad X og Y være topologiske rum, Y quasi-kompakt, og lad
f : X → Y være en kontinuert og lukket afbildning. Antag at f −1 (y) er
quasi-kompakt for ethvert y ∈ Y .S˚aerX quasi-kompakt.
Bevis. Lad {Uα}α∈I være en ˚aben overdækning af X, lady ∈ Y .Daf −1 (y)
er quasi-kompakt, findes der en endelig delmængde Jy ⊆ I, s˚a {Uα}α∈Jy
overdækker f −1 (y). Vi definerer
U(y) =
Det er en ˚aben delmængde af X, der indeholder f −1 (y). Da X − U(y) er
lukket, og (X − U(y)) ∩ f −1 (y) =∅, erf(X − U(y)) en lukket delmængde af
Y , som ikke indeholder punktet y. Dens komplement
α∈Jy
Uα.
Vy = Y − f(X − U(y))
34