Noter til Geometri 1

Sætning 3.3. Til hvert (x0,y0) ∈ V ×R n og t0 ∈ I findes et˚abent delinterval
t0 ∈ J ⊆ I og en to gange differential kurve x : J → V s˚aledes at
(i) x ′′
(t) =g(x(t),x ′
(t),t),
(ii) x(t0) =x0 og x ′
(t0) =y0
Hvis x1,x2 : I → U opfylder (i) og (ii), s˚a erx1 = x2.
Bevis. Hvis x(t) opfylder (i) og (ii), s˚a vilkurvenx(t),y(t) ⊆ V × R n ,hvor
y(t) =x ′
(t), opfylde ligningerne
x ′
(t) =y(t)
y ′
(t) =g(x(t),y(t),t)
(3.14)
Hvis omvendt (x(t),y(t)) opfylder 3.14, s˚a opfylder x(t) ligningen 3.13. Heraf
ses at Sætning 3.3 følger fra Hovedsætning 3.1.
Tilsvarende eksistens- og entydighedssætninger kan bevises for nth ordens
differentialligninger.
17