Noter til Geometri 1

Bevis. Da D0 ×I0 ⊆ Rn+1 er lukket og begrænset, har enhver af funktionerne
∂fj
∂xi (x, t) etmaksimumogetminimump˚aD0 × I0, [KT] Sætning 2.11. Der
findes derfor en konstant d ∈ R, s˚a
∂fj
(x, t)
∂xi
≤ d; i, j =1,...,n, (x, t) ∈ D0 × I0.
For x, y ∈ D0 og t ∈ I0 har vi de differentiable funktioner p˚a U,
z ↦→ fj(z, t), j =1,...,n.
Vi p˚ast˚ar, at der findes et punkt z j
t ∈ [x, y] p˚a liniestykket, der forbinder x
med y i D0, s˚aledes at
fj(y, t) − fj(x, t) = ∂fj
i
∂xi
(z j
t ,t)(yi − xi). (3.4)
Dette ses p˚a følgende m˚ade. Liniestykket [x, y] ermængden
[x, y] ={θx +(1− θ)y | 0 ≤ θ ≤ 1}.
Vi lader g t j være restriktionen af fj(−,t)til[x, y],
g t j(θ) =fj(θx +(1− θ)y, t), 0 ≤ θ ≤ 1
Middelværdisætningen fortæller, at der findes et θ t j ∈ (0, 1), s˚a
g t j (1) − gt j (0) = ∂gt j
∂θ (θt j ).
Vi kan bruge kædereglen, [KT] Sætning 4.3, til at udregne differentialkvotienten
af den sammensatte funktion gt j(θ):
∂g t j
∂θ (θt j )=
n ∂fj
(θ
∂xi
t jx +(1−θt j )y, t)(xi − yi).
i=1
Sæt z t j = θt j x +(1− θt j )y. Dette zt j
opfylder nu (3.4), og dermed f˚as
|fj(y, t) − fj(x, t)| ≤d |yi − xi| ≤ √ nd|y − x|,
hvor den sidste ulighed følger fra Cauchy-Schwarz’ ulighed:
|yi − xi| = |〈y − x, 〉| ≤ |y − x|·| | = √ n|y − x|,
hvor =(1, 1,...,1). Det følger s˚a, at
|f(y, t) − f(x, t)| ≤nd|y − x|.
13