Noter til Geometri 1

9 Opgaver
1.1. Lad X være en mængde, og d : X × X → R funktionen d(x, y) =0
hvis x = y og d(x, y) =1hvisx = y. Visat(X, d) er et metrisk rum.
1.2. Lad (X, d) være et metrisk rum og lad a>0. Lad da : X × X → R
være givet ved
d(x, y)
da(x, y) =
a
hvis d(x, y) 0ogK>0s˚aatkN1(v) ≤ N2(v) ≤ KN1(v)
(a) Vis at dette er en ækvivalensrelation p˚a mængden af normer, og
at hvis dN1 er ækvivalent til dN2 s˚aerN1 ækvivalent til N2.
(b) Vis at normerne (eller metrikkerne) fra Eksempel 1.11 alle er ækvivalente.
2.1. Vis at Q ⊂ R er en fuldstændiggørelse.
2.2. Lad l2 være vektorrummet af følger {xk} af reelle tal med ∞ k=1 x2k <
∞. Visatl2har et indre produkt givet ved
∞
〈{xk}, {yk}〉 = xkyk.
Vis at l 2 er fuldstændigt m.h.t. den inducerede norm {xk}2 =( x 2 k )1/2 .
2.3. P˚a vektorrummet Mn(R) af reelle n × n matricer defineres
|A| =sup|Ax|,
|x|=1
hvor |Ax| er den euklidiske norm p˚a Rn . Vis at dette definerer en norm
p˚a Mn(R), som kaldes operatornormen.
46
k=1