Noter til Geometri 1

Bemærk at (5.8) er “dualt” til (5.7) i den forstand at det fremkommer fra
(5.7) ved at erstatte A med B og vende alle pilene.
Kvotienttopologi optræder i forbindelse med ækvivalensrelationer p˚a et
topologisk rum Y . Vi minder om at en ækvivalensrelation p˚a Y ,erenrelation
mellem Y ’s punkter, som opfylder
(i) y ∼ y
(ii) y1 ∼ y2 ⇒ y2 ∼ y1
(iii) y1 ∼ y2 og y2 ∼ y3 ⇒ y1 ∼ y3.
Eksempel 5.13. Lad Z n ⊂ R n betegne punkterne x =(x1,...,xn) ∈ R n
med xi ∈ Z for i =1,...,n.S˚a defineres der en ækvivalensrelation p˚a R n
ved følgende
x ∼ y ⇐⇒ x − y ∈ Z n
En ækvivalensrelation p˚a Y definerer en opdeling af Y i disjunkte delmængder
(ækvivalensklasserne). Lad nemlig
[y] ={y ′ ∈ Y |y ′ ∼ y}
Dette kaldes ækvivalensklasserne bestemt af y. Bemærk fra (i)–(iii), at y ∈ [y]
og at [y1] =[y2] ⇐⇒ y1 ∼ y2. Hvisp˚a den anden side y1 ≁ y2 s˚aer
[y1] ∩ [y2] =∅, day ∈ [y1] ∩ [y2] medføreraty ∼ y1 og y ∼ y2, ogdermedat
y1 ∼ y2. Viser,atY er en disjunkt forening af sine ækvivalensklasser. Lad
B = Y/∼ := {[y]|y ∈ Y }
og lad π : Y → B, der kaldes den kanoniske projektion, være givet ved
π(y) =[y]. Dette er en surjektiv afbildning.
Omvendt definerer en surjektiv afbildning π : Y → B en ækvivalensrelation
p˚a Y ved
y1 ∼ y2 ⇐⇒ π(y1) =π(y2),
og B = Y/∼. Der henvises til [L], §2.2 for en mere detaljeret gennemgang af
ækvivalensrelationer.
Eksempel 5.14. Mængden af ækvivalensklasser R n /∼ af ækvivalensrelationen
defineret i Eksempel 5.13 betegnes R n /Z n . Dette bliver en abelsk gruppe
ved at definere
[x]+[y] =[x + y], −[x] =[−x], 0=[0],
27