Noter til Geometri 1

More documents

Recommendations

Info

Den yderste kasse er Bd2(0, 1), den inderste kasse er Bd3(0, 1) og cirkelskiven er enhedskuglen hørende til d1. 7
2 Fuldstændige metriske rum I dette afsnit studerer vi konvergens af følger i metriske rum X =(X, d). Definition 2.1. En følge {xk} af punkter i X siges at konvergere mod x ∈ X, hvis der til ethvert ε>0 findes et tal N ∈ N, s˚aledes at xk ∈ B(x, ε) for k ≥ N. For to forskellige punkter x, y ∈ X giver trekantsuligheden, at B(x, ε) ∩ B(y, ε) =∅ n˚ar ε< 1 2d(x, y). En konvergent følge {xk} kan derfor kun konvergere mod ét punkt x ∈ X. Dette kaldes grænseværdien for {xk}, ogman skriver ofte xk → x for k →∞. I §1 definerede vi begrebet lukket delmængde af et metrisk rum, Definition 1.8. Lukkede mængder kan ogs˚a karakteriseres ved følgers grænseværdi p˚a følgende vis: Lemma 2.2. En delmængde A af et metrisk rum X er lukket, hvis og kun hvis A opfylder følgende betingelse: Lad {xk} være en vilk˚arlig konvergent følge i X med grænseværdi x. Hvisxk ∈ A for k ∈ N, s˚avilx ∈ A. Bevis. Antag at X −A er˚aben, at xk ∈ A for alle k,ogatxk → x for k →∞. Vi skal vise, at x ∈ A. Antag modsætningsvis, at x ∈ X − A. DaX− A er ˚aben, findes der et ε>0, s˚aledes at kuglen B(x, ε) ⊆ X − A. Dax er grænseværdien for {xk}, m˚a xk ∈ B(x, ε) forktilstrækkeligt stor i modstrid med, at xk ∈ A for alle k. Vislutterheraf,atx∈ A. Lad os omvendt antage, at A ⊆ X er en delmængde, som opfylder betingelsen i lemmaet, og vælg et punkt x ∈ X − A. Vi skal finde et ε>0, s˚a B(x, ε) ⊆ X − A. Antag modsætningsvis, at dette ikke kan lade sig gøre. S˚a er B x, 1 ∩ A = ∅ for alle k. k Vælg et xk i denne mængde. Følgen {xk} af elementer i A konvergerer mod x. Thi for ethvert ε>0er1 >εfor k>1 . Dette er en modstrid. k ε Definition 2.3. En følge {xk} af punkter i X kaldes en Cauchy følge,s˚afremt der til ethvert ε>0 findes et N ∈ N, s˚aledes at d(xn,xm)
Page 1 and 2: Noter til Geometri 1 Ib Madsen Maj
Page 3 and 4: 1 Metriske rum I det euklidiske tal
Page 5 and 6: p˚a vektorrummet V . Vi minder om,
Page 7: Definition 1.8. En delmængde A ⊆
Page 11 and 12: Sætning 2.6 (Fikspunktssætningen)
Page 13 and 14: 3 Eksistens- og entydighedssætning
Page 15 and 16: Bevis. (for Sætning 3.1) (i) Lokal
Page 17 and 18: Vi vælger D0 og K som i beviset fo
Page 19 and 20: 4 Den globale eksistenssætning I d
Page 21 and 22: Som vi har set, er der en 1 − 1 k
Page 23 and 24: 5 Topologiske rum Et topologisk rum
Page 25 and 26: (iii) Afslutningen af A er mængden
Page 27 and 28: f er kontinuert ⇐⇒ i ◦ f kont
Page 29 and 30: Den kanoniske projektion π : R n
Page 31 and 32: 6 Kompakte rum Hvis x og y er forsk
Page 33 and 34: af A, ogdaAer forudsat at være kom
Page 35 and 36: Beviset opdeles i en række selvst
Page 37 and 38: 7 Den inverse funktions sætning I
Page 39 and 40: Lemma 7.3. Lad U være en ˚aben ko
Page 41 and 42: Vi sætter W = B(u0,δ)ogf˚ar, at
Page 43 and 44: Definition 7.6. En afbildning F : W
Page 45 and 46: Sætning 8.4. Lad S være en regul
Page 47 and 48: 9 Opgaver 1.1. Lad X være en mæng
Page 49 and 50: 5.4. En afbildning mellem topologis
Page 51: Litteratur [dC] Manfred P. do Carmo

Noter til Geometri 1

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?