Noter til Geometri 1

I næste paragraf skal vi anvende fikspunktssætningen p˚a en lukket delmængde
af C(K, R n ), og vi har brug for følgende:
Lemma 2.7. Lad (X, d) være et fuldstændigt metrisk rum og A ⊆ X en
lukket delmængde. S˚a er det metriske rum (A, d) fuldstændigt.
Bevis. Lad {an} være en Cauchy følge af punkter i A. DaX er fuldstændigt
har {an} en grænseværdi x ∈ X. Det følger fra Lemma 2.2, at x ∈ A.
Bemærkning 2.8. Mange interessante metriske rum er ikke fuldstændige.
Herertovigtigeeksemplerp˚as˚adanne:
(i) (Q,d) ; d(x, y) =|x − y|
(ii) C(K, Rn ) ; d2(f,g) =f − g2, hvor.2er normen hørende til det
indre produkt 〈〈f,g〉〉 =
f(t)·g(t)dt,hvorKsom ovenfor er et lukket
K
interval.
Vi afslutter denne paragraf med at formulere en sætning, som fortæller,
at ethvert metrisk rum kan opfattes som delrum af et fuldstændigt metrisk
rum.
En delmængde T af et metrisk rum X kaldes tæt i X, hvisenhver˚aben
mængde i X indeholder punkter fra T . Der gælder nu følgende generelle
Sætning 2.9. Lad (X, d) være et metrisk rum. S˚a findes et fuldstændigt
metrisk rum ( X, d), og en afstandsbevarende afbildning i : X → X,s˚aledes
at i(X) er tæt i X.Tos˚adanne fuldstændiggørelser er isometriske, dvs. der
findes en afstandsbevarende bijektion mellem dem.
I eksemplerne (i) og (ii) fra Bemærkning 2.8 har vi
(Q,d) = R
(C(K, R n ),d2) = L 2 (K, R n )
hvor L 2 (K, R n ) er rummet af funktioner, hvis kvadrat er Lebesgue integrabel.
Sætning 2.9 findes bevist i [BV] (Se ogs˚a Opgave 7.17 eller 10.16 i [R]). At
L 2 (K, R n ) er fuldstændigt er bevist i kurset Analyse 1, se [R].
11