Noter til Geometri 1

5 Topologiske rum
Et topologisk rum er den mest generelle matematiske struktur, hvor begreberne
“omegn” og “kontinuitet” har en mening. Det kan sammenlignes med
de mest generelle matematiske strukturer, hvori man regner. Her er strukturerne
“gruppe”, “ring” og “vektorrum” velkendte.
Inden vi giver definitionen, er det praktisk at samle en række mængdeteoretiske
udsagn, som det overlades til læseren at bevise.
For en mængde X lader vi P(X) betegne familien af alle delmængder af
X inklusiv ∅ og X selv. En afbildning f : X → Y giver anledning til en
afbildning
f −1 : P(Y ) →P(X) (“urbilledet”)
hvor for V ∈P(X)
f −1 (V )={x ∈ X f(x) ∈ V } (5.1)
For delmængder Aα ∈P(X), α∈ I har vi deres foreningsmængde ∪Aα ∈
P(X) afelementeriX, som er indeholdt i mindst ét Aα, deres fællesmængde
∩Aα af elementer i X, som tilhører alle Aα. Endelig har vi differensmængden
(eller komplementærmængden) X − A af elementer i X, som ikke ligger i A.
Der gælder
X −
Aα =
(X − Aα), X −
Aα =
(X − Aα). (5.2)
α∈I
α∈I
α∈I
α∈I
Urbilledafbildningen fra (5.1) har følgende egenskaber:
f −1
=
f −1 (Bα)
f −1
α∈I
Bα
Bα
α∈I
=
f −1 (Bα) (5.3)
α∈I
α∈I
f −1 (Y − B) = X − f −1 (B).
Definition 5.1. En topologi p˚a enmængdeX best˚ar af en familie T af
delmængder af X, T ⊆ P(X), som opfylder
(T1) Uα ∈T,α∈ I ⇒
α∈I Uα ∈T
(T2) U1,U2 ∈T ⇒U1 ∩ U2 ∈T
(T3) ∅∈T,X∈T.
22