Noter til Geometri 1

Lad GLn(R) ⊆ Mn(R) være gruppen af invertible (n × n)-matricer. Determinantafbildningen
det : Mn(R) → R
er et polynomiumsudtryk i matricens indgange og derfor C∞ . Specielt er den
kontinuert, og GLn(R) =det −1 (R −{0}) eren˚aben delmængde af Mn(R) =
Rn2. Vi er nu klar til at bevise invers funktions sætning, som fortæller, at en
Ck-afbildning, k ≥ 1, F : U → Rn lokalt omkring a har en invers afbildning,
hvis og kun hvis differentialet DFa : Rn → Rn er en isomorfi. Vi begynder
med C1-udgaven. Sætning 7.4. Lad U ⊆ R n være en ˚aben mængde og F : U → R n en C 1 -
afbildning. Antag at DFu0 er invertibel for et punkt u0 ∈ U.
Da findes der ˚abne omegne u0 ∈ W ⊆ U og F (u0) ∈ V ⊆ R n ,s˚aledes at
(i) F (W )=V
(ii) F|W : W → V er bijektiv
(iii) F −1
|W : V → W har klasse C1 .
Hvis der omvendt eksisterer ˚abne omegne, s˚a (i)–(iii) er opfyldt, s˚a erDFu0
invertibel.
Bevis. Vi opdeler beviset i tre mindre p˚astande, som bevises hver for sig.
P˚astand 1. Der findes en ˚aben omegn u0 ∈ W ⊆ U, s˚aledes at F|W er
injektiv, og s˚a matricerne DFx, Φ(x, a) begge er invertible for x, a ∈ W .
Da F er C1 , er afbildningen,
DF : U → Mn(R),
som til u ∈ U tilordner Jacobiantmatricen DFu, kontinuert. Da GLn(R) er
˚aben i Mn(R), er DF −1 (GLn(R))˚aben. Da vi forudsatte, at DFu0 er invertibel
ligger u0 i DF −1 (GLn(R)), og der findes en ˚aben kugleomegn B = B(u0,ε) ⊆
U med detDFu = 0foru ∈ B.
Vi anvender nu Lemma 7.3,
F (x) − F (a) =Φ(x, a)(x − a) (7.4)
for (x, a) ∈ B × B. LadD =Φ −1 (GLn(R)). Dette er en ˚aben delmængde af
U × U, ogdaΦ(u0,u0) =DFu0 ∈ GLn(R) ligger (u0,u0) iD. DaD er ˚aben,
kan vi vælge et δ>0, s˚a
B(u0,δ) × B(u0,δ) ⊆ D.
39