Noter til Geometri 1

er en ˚aben omegn af y.
Vi kan finde et s˚adant Vy for ethvert y ∈ Y og f˚ar dermed en ˚aben overdækning
af Y .DaY er quasi-kompakt, overdækker allerede endeligt mange.
Ved at bruge (5.2) og (5.3) ser vi, at
Y = Vy1 ∪···∪Vyk
X = f −1 (Y )=f −1 (Vy1) ∪···∪f −1 (Vyk ),
Da f −1 (f(X − U(y))) ⊇ X − U(y) er
f −1 (Vy) =X − f −1 (f(X − U(y))).
X − f −1 (f(X − U(y))) ⊆ U(y),
s˚a X ⊆ U(y1) ∪···∪U(yk).
Hvert U(yi) er en endelig forening af Uα’er, s˚a alt i alt har vi fundet, at
endeligt mange Uα overdækker X.
Det følger induktivt fra Sætning 6.14, at et endeligt produkt af (quasi-)
kompakte rum Xi er (quasi-) kompakt. Det samme gælder endda for uendelige
produkter af (quasi-) kompakte rum. Dette udsagn kaldes Tychonoffs
Sætning.
Sætning 6.18 (Heine-Borel). I det euklidiske talrum med den sædvanlige
topologi gælder at en delmængde A er kompakt, hvis og kun hvis den er lukket
og begrænset.
Bevis. Hvis A er kompakt, s˚a er A lukket ifølge Sætning 6.8. Men A m˚a ogs˚a
være begrænset, thi hvis vi overdækker R n med kugler af radius 1, s˚a vilen
ubegrænset mængde ikke kunne overdækkes af endelig mange. Hvis omvendt
A er lukket og begrænset, s˚a erA indeholdt i [−K, K] n for tilstrækkeligt stort
K>0. Fra Eksempel 6.4 ved vi at [−K, K] er kompakt, og Sætning 6.14
fortællerat[−K, K] n er kompakt. Da A ogs˚a er lukket, følger fra Sætning
6.8 at A er kompakt.
Korollar 6.19. Lad X være et kompakt rum og f : X → R en kontinuert
funktion. S˚a antager f b˚ade sin supremumsværdi og sin infimumsværdi.
Bevis. Fra Sætning 6.9(i) ved vi at f(X) ⊆ R er en kompakt mængde og
derfor begrænset og lukket ifølge Sætning 6.18. Det følger, at
Tilsvarende for infimum.
sup f(X) < ∞, ogat supf(X) ∈ f(X).
35