Noter til Geometri 1

3 Eksistens- og entydighedssætningen for 1.
ordens differentialligninger
Lad U ⊆ R n være ˚aben (m.h.t. den sædvanlige afstandsfunktion) og lad
I =(a, b) væreet˚abent interval i R. Vi betragter en kontinuert funktion
f : U × I → R n
(3.1)
I denne paragraf skal vi undersøge, i hvilket omfang der findes differentiable
kurver x : I → U, s˚a
x ′ (t) =f(x(t),t); t ∈ I (3.2)
Vi tænker p˚a f som givet og ønsker at finde alle løsninger x, som opfylder
ligningen (3.2). En s˚adan ligning kaldes en ordinær differentialligning
(p˚a engelskOrdinary Differential Equation). Vi skal arbejde under følgende
antagelse p˚a f:
Afbildningen f : U × I → R n er kontinuert, de partielle afledede
∂f
(x, t), i=1,...,n, eksisterer for alle (x, t) ∈ U × I (3.3)
∂xi
og er kontinuerte p˚a U × I.
Bemærk at der ikke gøres nogen antagelse om eksistensen af den afledede
af f med hensyn til t. Hovedsætningen siger nu følgende:
Hovedsætning 3.1. Lad U være en ˚aben delmængde af R n , I ⊆ R et ˚abent
interval og
f : U × I → R n
en funktion som opfylder antagelsen (3.3). Da har vi
(i) (Lokal eksistens) Til x0 ∈ U og t0 ∈ I findes et ˚abent interval J ⊆ I,
som indeholder t0, og en differentiabel kurve x : J → U med x(t0) =x0,
og som løser (3.2).
(ii) (Global entydighed) Hvis x1,x2 : I → U er løsninger til (3.2), og der
findes et t0 med x1(t0) =x2(t0), s˚aerx1 = x2.
Beviset tager resten af denne paragraf. Først har vi brug for et lemma.
Lemma 3.2. Lad D0 = B(x0,r) ⊆ U og I0 =[t0 − a, t0 + a] ⊆ I. Under
antagelsen (3.3) findes der en konstant c, s˚a
|f(y, t) − f(x, t)| ≤c|y − x| for x, y ∈ D0, t∈ I0
12