Noter til Geometri 1

6 Kompakte rum
Hvis x og y er forskellige punkter i et metrisk rum (X, d), s˚a findes ˚abne
mængder Ux og Uy i X, s˚a Ux ∩ Uy = ∅, thivikanblotvælgeUx = Bd(x, r)
og Uy = Bd(y, r), hvor r ≤ 1
d(x, y).
2
Denne p˚astand er ikke rigtig i ethvert topologisk rum, f.eks. ikke i det
trivielle topologisk rum, hvor TX = {∅,X}, med mindre X blot best˚ar af ét
punkt.
Definition 6.1. Et topologisk rum X kaldes et Hausdorff rum, s˚afremt der
for ethvert par af forskellige punkter x, y ∈ X findes ˚abne omegne U af x og
V af y med U ∩ V = ∅.
Lemma 6.2. Lad f : A → X være en injektiv kontinuert afbildning. Hvis X
er Hausdorff, s˚a erA Hausdorff.
Bevis. Lad a1 = a2 være forskellige punkter i A. S˚aerf(a1) = f(a2) og,
da X er Hausdorff, findes ˚abne disjunkte omegne U1 og U2 af henholdsvis
f(a1) ogf(a2). Da f er kontinuert, er f −1 (U1) ogf −1 (U2) ˚abne omegne af
henholdsvis a1 og a2, og de er disjunkte.
Bemærk specielt at enhver delmængde af et Hausdorff rum bliver et Hausdorff
rum i sportopologien.
Lad X =(X, T ) være et topologisk rum, og A en delmængde af X. En
familie af ˚abne delmængder Uα ∈T, α ∈ I kaldes en ˚aben overdækning af A,
s˚afremt A ⊆
α∈I Uα.
Definition 6.3. En delmængde A af et topologisk rum kaldes quasi-kompakt,
hvis der til enhver ˚aben overdækning {Uα|α ∈ I} af A findes en endelig
delmængde J ⊆ I, s˚a {Uα|α ∈ J} allerede er en ˚aben overdækning af A.
Hvis A = X i Definition 6.3, s˚a kaldesX et quasi-kompakt rum.
Eksempel 6.4. Et lukket begrænset interval [a, b] ⊆ R er en kompakt
delmængde. Thi lad {Uα|α ∈ I} være en ˚aben overdækning af [a, b]. Betragt
den begrænsede ikke tomme mængde
M = {x ∈ [a, b] | [a, x] er overdækket af endelig mange Uα’ere}.
Lad m =supM. Der findes et β ∈ I s˚aatm ∈ Uβ. DaUβ er ˚aben indeholder
Uβ et ˚abent interval (m − ε, m + ε) ogm − ε ∈ M. Derforer[a, m − ε]
overdækket af endelig mange Uα’ere, og [a, m+ε/2] vil derfor være indeholdt
i disse forenet med Uβ. Vip˚ast˚ar endelig at m = b. Hvis nemlig m