Noter til Geometri 1

Sætning 8.4. Lad S være en regulær flade og x : U → U ′ et kort p˚a S. Lad
W ⊆ R n være en ˚aben mængde og f : W → R 3 en C ∞ -afbildning, s˚aledes at
f(W ) ⊆ U ′ .S˚aerx −1 ◦ f : W → U en C ∞ -afbildning.
Bevis. Lad p ∈ W og q ∈ U være punkter, s˚aledes at x(q) =f(p). Lad
Da Jacobi-matricen
x(u, v) =(x(u, v),y(u, v),z(u, v)).
⎛
Dxq = ⎝
∂u (q)
∂x
∂u (q) ∂x
∂y ∂y
∂z
∂u (q)
∂v (q)
∂v (q)
⎞
⎠
∂z
∂v (q)
er forudsat at have rang 2, har mindst én af de tre matricer
∂x
∂u (q) ∂x
∂v (q)
∂y
∂u (q)
∂y
∂v (q)
,
∂x
∂u (q) ∂x
∂v (q)
∂z
∂u (q)
∂z
∂v (q)
,
∂y
∂u (q)
∂y
∂v (q)
∂z
∂u (q) ∂z
∂v (q)
rang 2. Vi antager, at det er den første matrix, som har rang 2, alts˚a er
invertibel. I modsat fald kan vi blot ombytte koordinaterne i R 3 .Vibetragter
afbildningen
F : U × R → R 3 ; F (u, v, t) =(x(u, v),y(u, v),z(u, v)+t)
Dens Jacobi-matrix i punktet (q, 0) er
⎛
DF(q,0) = ⎝
og udvikling efter sidste søjle viser, at
∂x
det DF(q,0) =
∂x
∂u (q) ∂x
∂v
∂y
∂u (q)
∂y
∂v
∂z
∂u (q) ∂z
∂v
∂u (q) ∂x
∂y
∂u (q)
⎞
(q) 0
(q) 0 ⎠ ,
(q) 1
∂v (q)
∂y
∂v (q)
=0.
Fra invers funktions sætning følger, at der findes en ˚aben omegn V1 af (q, 0)
i R 3 ,s˚a V2 = F (V1) er˚aben, og
F|V1 : V1 → F (V1) =V2
er en diffeomorfi. Lad V1 ∩ (U ×{0}) =U1 ×{0}. DaerU1 ⊆ R 2 ˚aben. Vi
bemærker, at x(u, v) =F (u, v, 0) for (u, v) ∈ U1. NuerU ′ ⊆ S ˚aben og x :
U → U ′ en homeomorfi, s˚a x(U1) ⊆ S er ˚aben. Dermed er W2 := f −1 (x(U1))
˚aben i R n . Endvidere er
x −1 ◦ f|W2 = π ◦ (F|V1 )−1 ◦ (f|W2 ),
44