Noter til Geometri 1

4 Den globale eksistenssætning
I denne paragraf antager vi som hidtil at I =(a, b) eret˚abent interval, og
at
f : R n × I → R n
er kontinuert.
Definition 4.1 (Lipschitz betingelsen). Vi siger, at f opfylder den globale
Lipschitz betingelse, hvis der for ethvert lukket og begrænset interval
K ⊆ I findes en konstant cK ∈ R, s˚aledes at
for alle x, y ∈ R n og alle t ∈ K.
|f(y, t) − f(x, t)| ≤cK|y − x| (4.1)
Sætning 4.2. Lad f opfylde den globale Lipschitz betingelse. Hvis K er et
lukket og begrænset delinterval af I, t0 ∈ K og x0 ∈ R n ,s˚a vil operatoren
T : C(K, R n ) → C(K, R n ) givet ved
Tx(t) =x0 +
t
have præcist ét fikspunkt i C(K, R n ).
t0
f(x(s),s)ds, x ∈ C(K, R n ), t ∈ K
Bevis. Lad k ∈ N og x, y ∈ C(K, R n ). Vi vil vise
T k y − T k x∞ ≤ ckℓk k! y − x∞, (4.2)
hvor ℓ er længden af K og c = cK fra (4.1). Faktisk viser vi, at
|T k y(t) − T k x(t)| ≤ ck |t − t0| k
y − x∞,
k!
hvorfra (4.2) følger umiddelbart.
t ∈ K (4.3)
Vi bruger induktion over k. Tilfældet k = 0 er oplagt. Under antagelsen
18