Noter til Geometri 1

Lemma 6.5. En delmængde A af et topologisk rum X er quasi-kompakt, hvis
og kun hvis A er et quasi-kompakt rum i sportopologien.
Bevis. Lad A ⊆ X være en quasi-kompakt delmængde af X. LadUα =
A ∩ Vα, α ∈ I være ˚abne mængder i A (med sportopologien), og antag
α∈I Uα = A. S˚aer{Vα|α ∈ I} en ˚aben overdækning af A, og der findes en
endelig delmængde J ⊆ I s˚a
α∈J Vα ⊇ A. Det følger, at
α∈J Uα = A, s˚a A
er et quasi-kompakt topologisk rum. Antag omvendt, at A er quasi-kompakt
i sportopologien, og lad {Vα|α ∈ I} være ˚abne mængder i X som overdækker
A. S˚aer{Vα ∩ A|α ∈ I} ˚abne mængder i A, og der findes en endelig J ⊆ I
med
α∈J (Vα ∩ A) =A. Mens˚aer
α∈J Vα ⊇ A.
Definition 6.6. Et topologisk rum kaldes kompakt hvis det er Hausdorff og
quasi-kompakt. En delmængde af et topologisk rum kaldes kompakt hvis den
er kompakt i sportopologien.
Lemma 6.7. Lad X være et Hausdorff rum, og A ⊆ X en delmængde. S˚a
er følgende to udsagn ækvivalente:
(i) A er en kompakt delmængde.
(ii) A er et kompakt rum i sportopologien.
Bevis. Følger fra Lemma 6.2 og Lemma 6.5
De følgende to sætninger anvendes uhyre ofte i den matematiske litteratur,
ofte uden yderligere bemærkninger.
Sætning 6.8. Lad X være et Hausdorff rum.
(i) Hvis A ⊆ X er kompakt, s˚a erA en lukket delmængde af X.
(ii) Hvis X er kompakt, og A ⊆ X er en lukket delmængde, s˚a erA en
kompakt delmængde.
Bevis. (i): Antag at A er kompakt. Vi skal vise, at X − A er ˚aben i X. Ifølge
Lemma 5.5 er det nok at vise, at X − A =int(X − A), eller at X − A er en
omegn af ethvert af sine punkter. S˚a ladx ∈ X − A være et fast punkt. Vi
skal finde en ˚aben mængde U x ⊆ X − A, s˚a x ∈ U x .
Da X er Hausdorff, findes der til hvert a ∈ A,˚abne omegne Va af a og Ua
af x med Va ∩ Ua = ∅. Det er klart, at {Va|a ∈ A} er en ˚aben overdækning
31