Noter til Geometri 1

hvor π betegner projektionen π(x, y, z) =(x, y).
Højre side er nu en sammensætning af C ∞ -funktioner og derfor C ∞ ,s˚a
x −1 ◦ f|W2 er C ∞ .DaW2 er en ˚aben omegn af p, har vi vist, at x −1 ◦ f er
C ∞ i ethvert punkt af W .
Korollar 8.5. Lad W ⊆ R n være ˚aben, og lad f : W → R 3 være en kontinuert
afbildning med f(W ) ⊆ S, hvorS er en regulær flade. S˚a erf : W → R 3
en C ∞ -afbildning, hvis og kun hvis der for ethvert kort (Uα, xα) p˚a S gælder,
at
er C ∞ .
x −1
α ◦ (f |W ∩f −1 (U ′ α)) :W ∩ f −1 (U ′ α ) → Uα
Bevis. Det følger fra foreg˚aende sætning, at sammensætningen
x−1 α ◦ (f |W ∩f −1 (U ′ α)) erC∞ ,s˚afremt f er C∞ . Det omvendte udsagn følger,
fordi xα : Uα → U ′ α ⊆ R3 er C∞ .
45