Einfžhrung i n die Astrophysik Teil 1

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H. Heintzmann
Institut für theoretische Physik
Universität zu Köln
( 12. September 2003)

Vorwort
Das Ende eines Jahrhunderts, welches gleichzeitig mit dem Ende eines Jahrtausends zusammenfällt,
ist ✬eine
gute Gelegenheit, einen✩ Blick zurück zu werfen auf das erreichte und gleichzeitig einen Blick
in die Zukunft auf das nun mögliche zu riskieren. Die Astrophysik und
Der Krieg ist der Vater aller Dinge,
hier ganz besonders die Kosmologie sind hiefür hervorragend geeig-
die Mutter ist die Wissenschaft und
die Kinder sind Bomben net: nirgendwo ist der Fortschritt gewaltiger (im wahrsten Sinne des
oder bombige Entdeckungen. Wortes) als hier. Vergleichbar, was die Expansion der Vorstellung über
Heraklit plus Eigenzitat die Natur betrifft, ist allenfalls das 17te Jahrhundert (mit Descartes,
✫
✪Huygens,
Newton und Leipniz) und der Beginn des 20ten Jahrhunderts
(mit Einstein, Heisenberg, Schrödinger und Dirac). Ähnlich wie damals ist das außerordentlich
große Interesse der Öffentlichkeit an den Entdeckungen.
• BEISPIEL (INTERESSE DER ÖFFENTLICHKEIT)
Folgende Szene stammt aus einem (absurden) polnischen Film. Die Redaktion eines Pop (Musik) Senders hat sich vorgenommen
ihren Hörern zu erläutern, daß alles mit allem zusammenhängt.
Ein Reporter berichtet, er habe soeben erfahren (breaking news), daß das Universum sich ausdehnt. Sein Umfang nimmt
unaufhörlich zu.
Eine Reporterin pflichtet ihm bei, alles hängt mit allem zusammen: auch die Armut auf der Welt breitet sich aus. Die Zahl
der Armen nimmt ebenfalls unaufhörlich zu.
Nach einer Weile ruft ein Hörer an: Das mit der Ausdehnung des Universums hat ihm gut gefallen. Seine Freundin dehnt
sich auch unaufhörlich aus. Er hat Angst, daß sie platzt. Kann das Universum platzen? (Es kann).
War damals die Theorie führend, so stehen nunmehr die Beobachtung und die Probleme der damit
verbundene Datenverarbeitung im Zentrum der Forschung.
Im Vordergrund dieser Darstellung sollen nun nicht die Menge der neuen Entdeckungen stehen (dies
ist also kein Guiness Buch der Rekorde, obwohl Rekorde als solche aufgeführt werden, wenn daraus
etwas zu lernen ist), sondern ihr Beitrag zu einer Vereinheitlichung der Physik.
Theorie als ordnendes Prinzip, Experiment als verifizierendes Korrektiv und alles, was sich dem
✤nicht
unterordnet in den Orkus: ✜diese
Maxime sind zwar letztendlich Früchte der Aufklärung,
gegen sie wurde (und wird) jedoch immer wieder verstossen. Überlichtgeschwindi
Experiment ohne Theorie ist
(Tachyonen oder Tunneleffekt), und ermüdendes Licht (bei der Rot-
Zoologie, Theorie ohne Experiment
ist Philosophie.
verschiebung von Quasaren), Gravitationswellen von Pulsaren und
W. Pauli von Supernovae (nachgewiesen im Labor wohlgemerkt!), sogar ein
✣
✢magnetischer
Monopol, die Liste jüngster Sünden ließe sich beliebig
fortsetzen. Und das nicht nur im Kosmos, wie Polywasser, wie die fünfte Kraft (entdeckt u. a. im
Weinkeller vom Baron Eötvös) und wie die kalte Fusion gezeigt haben.
In der Astrophysik kommt noch als Erschwerung hinzu, daß Experimente normalerweise durch Beobachtungen
(Astronomie) ersetzt werden müßen. Da aber (im Gegensatz zum Experimentator) der
Beobachter die Anfangsbedingungen nicht unter Kontrolle hat, kann es lange dauern (oft viele Generationen)
bis genügend Daten gesammelt sind, um zu verläßlichen Aussagen zu gelangen.
So hat etwa Halley das Erscheinen seines korrekt vorhergesagten Kometen nicht mehr erlebt. Die in
sich konsistente Beschreibung der Bewegung der Planeten im Sonnensystem hat die Astronomen und
Astrophysiker bis heute beschäftigt (und nebenbei die klassische Mathematik hervorgebracht).
3

Für den Astronomen ist es allerdings dann oft noch der Normalfall, daß er Dinge beobachtet, die zum
Zeitpunkt der Erstbeobachtung noch nicht verstanden sind.
• ZUSATZ (KLASSISCH UNLÖSBARE FÄLLE)
Bekannte Fälle, wo die Erklärung nicht möglich war, da die notwendige Physik noch nicht existierte, sind die folgenden
astronomischen Objekte:
1. Sterne
Kernfusion anstatt Kelvi-Helmholtz Schrumpfen,
2. Weiße Zwerge
Paulischer Entartungsdruck der Elektronen anstatt klassischer – Eddingtonscher – Thermodynamik,
3. Neutronensterne
Paulischer Entartungsdruck der Neutronen.
Ein auch nach mehr als 30jähriger Beobachtung aktuelles Beispiel aus der Kosmologie sind die Quasare.
Dieses Acronym (von H.Y. Chiu) steht für quasi stellar radio source und bezeichnet ein sternartiges
Objekt, d. h. eine Quelle, die zur Zeit ihrer Entdeckung auch mit dem damals besten Teleskop nicht
aufgelöst werden konnte.
• ZUSATZ (PARADIGMA QUASARE: EMPIRIE UND THEORIE)
Zwei wichtige Fragen sind mittlerweile geklärt: die der Identität und die der Entfernung.
1. Identität
Es ist gelungen, die Aussenbereiche bei einigen starken Quellen in Sterne aufzulösen. Es handelt sich bei Quasaren
demnach um die leuchtstarken Kerne von Galaxien.
2. Entfernung
Es ist klar geworden, daß Quasare wirklich so weit weg sind, wie immer angenommen wurde und wie ihre Rotverschiebung
erwarten läßt. Einige von ihnen sind nämlich Quelle einer Gravitationslinse (in bekannter Entfernung),
d. h. sie liegen hinter der Linse und erscheinen mehrfach bei gleicher Rotverschiebung.
Was nicht klar ist, ob die heutige Physik bereits ausreicht, die Quasare zu erklären. Die Strahlung ist nichtthermisch und hat
ihr Maximum im Gamma Bereich, die Energie ɛ = hν der Photonen beträgt einige MeV. Das Standardmodell nimmt an,
daß es sich bei einem Quasar um ein akkretierendes, massives Schwarzes Loch handelt. Was akkretiert wird, Sterne oder
Gas, ist nicht klar.
Mit der kosmologischen Entfernung ergibt sich zunächst folgendes Energie Problem. Ein Stern wie die Sonne hat in etwa
3 Kiloparsec (10 22 cm) Entfernung die gleiche scheinbare Leuchtkraft wie ein typischer Quasar in einer Entfernung von
etwa 3 Giga Parsec (10 28 cm), nämlich mV = 18. Das liefert für die wahren (optischen) Leuchtkräfte LQuasar = 10 12 L⊙.
Zum Vergleich: die Milchstraße und die Andromeda Galaxie (M31) haben eine wahre Leuchtkraft von etwa
L∗ = 2.5 · 10 10 L⊙ = 10 44
erg s −1
und die leuchstärksten Ereignisse, die wir aus unserer Nachbarschaft aus Beobachtung kennen, sind Supernova Explosionen,
mit etwa LSupernova = 10 9 L⊙ (im Maximum von L). Der Quasar 3C 273 hat die (bolometrische) Gesamt-Leuchtkraft
L ≈ 10 3 L∗ und die stärksten Quellen erreichen ein dex mehr, L ≈ 10 4 L∗.
Darüber hinaus ist von einigen Quasaren beobachtet (die extremsten Fälle von dem Quasar 3C 279 finden sich auf historischen
Aufnahmen aus den Jahren 1937 und 1943 des Harvard College Observatory), daß sie ihre Leuchtkraft kurzzeitig
(innerhalb von Monaten) um einen Faktor bis zu 25 erhöhen können (und damit fast LQuasar = 10 14 L⊙ erreichen).
Zwischen dem Minimum der Leuchtkraft von Lmin = 40 · L∗ und dem Maximum von Lmax = 1 · 10 4 L∗ beim Quasar 3C
279 liegen nur zwei Jahre. Demnach müßten in zwei Jahren etwa eintausend Supernovae explodiert sein, um die Leuchtkraftänderung
zu erklären. Um das Zeitintervall einzuhalten, müßen diese in einem Radius (vom Zentrum) von weniger als
1 pc stattfinden.
Neben diesem Problem, welches auf einer reinen Energiebetrachtung beruht, ist in neuerer Zeit eine zweite Schwierigkeit
aufgetaucht. Aus spektroskopischen Beobachtungen folgt, daß auch bei den ältesten Quasaren (also denen mit der größten
Rotverschiebung z) bereits alle schweren Elemente (mit Sonnenhäufigkeit) bis zu Fe und sogar Moleküle vorhanden sind.
Da Fe nur in Supernovae erzeugt werden kann, muß die eigentliche Phase der Supernovae bereits vorbei sein. Tatsächlich
stimmt das Spektrum der Supernovae mit denen der Quasare nicht überein, das Maximum der Leuchtkraft liegt bei Quasaren
im MeV Bereich, bei den Supernovae im optischen und bei ihren Überresten im Röntgen Bereich.
Damit sind die rein astronomischen Beobachtungsmöglichkeiten ausgeschöpft. Jetzt hilft empirisch nur noch die Statistik
weiter. Ein Katalog mit allen beobachtbaren Eigenschaften wird anlegt. Mittlerweile sind es mehr als zehn Tausend Objekte
4

(0.2 Quasare pro Quadratgrad), aber der Rosetta Stein, der alles erklären könnte, ist nicht dabei. Die Verteilung scheint sehr
isotrop zu sein, Doppelquasare sind selten (falls es sie überhaupt gibt).
Die räumliche Dichte beträgt (bei besonders sorgfältiger, d. h. bei sehr zeitaufwendiger Analyse) etwa ein Quasar pro (100
Mpc) 3 im Intervall z = 1.8 . . . 3.4. Insgesamt sind das etwa 1 · 10 5 Quasare im beobachtbaren Universum, vergleichbar
mit der Anzahl der Galaxienhaufen. Daraus kann ein wichtiger Schluß gezogen werden. Da wir (d. h. die Milchstraße)
selbst zu einem Galaxienhaufen gehören (dem Virgohaufen) und da sich dort keine Quasare befinden, müßen diese eine
Lebensdauer haben, die deutlich unterhalb dem Alter des Universums liegt. Der nächste Quasar (mit z = 0.05) liegt
außerhalb des Virgosuperhaufens und ist etwa 8 · 10 8 Lichtjahre entfernt.
Damit kommt ein neuer Aspekt ins Spiel, die zeitliche Entwicklung von astronomischen Objekten. Quasare scheinen sich
bei z = 2 zu häufen, d. h. sie wurden zu dieser Zeit geboren. Einer Rotverschiebung von z = 2 entspricht ein Alter des
Universums von etwa 1/3 des heutigen Alters für ein nahezu leeres und von etwa 1/5 für einen Kosmos mit kritischer
Dichte. Wir blicken also in den Frühzustand der Strukturbildung des Universums (Kosmogonie) zurück. Die Quasare in
unserer kosmologisch nahen Umgebung sind demnach längst ausgegangen. Was ist aus ihnen geworden?
Zeitlich parallel zu den Beobachtungen geschieht folgendes. Ein Modell wird entwickelt, welches die wichtigsten Beobachtungsdaten
erklärt. Das heute am meisten diskutierte Modell für Quasare hat ein Schwarzes Loch als Zentralmaschine,
welches aus der Akkretion von Sternen oder Gas gespeist wird.
Im günstigsten Fall führt ein solches Modell zu einer neuen Theorie. Neu heißt hier, daß in ihr (beobachtbare) Elemente
enthalten sind, die noch nicht bekannt waren. Das ist das Beeindruckendste und Schönste, was eine Theorie überhaupt
zu leisten vermag: die korrekte Vorhersage eines bisher völlig unbekannten physikalischen Phänomens, welches durch
Beobachtung anschließend bestätigt wird.
Einige berühmte Beispiele der jüngeren Vergangenheit sind (aus der Laborphysik) die neutralen Ströme
(der Weinberg-Salam Theorie) oder das top Quark und (aus der ART) die Lichtablenkung im Schwerefeld
(1918), die (trotz der Gamowschen Theorie noch zufällige) Entdeckung der kosmischen Hintergrundstrahlung
(1965, endgültig 1992) und der Neutronensterne (Vorhersage von Landau bzw. Baade
und Zwicky) in Form von Pulsaren (1967). Ein interessanter Sonderfall ist die Perihelverschiebung der
Merkurbahn: hier wurde lange vergeblich nach einem 10ten Planeten (Vulkan) gesucht, die Erklärung
der Bahnstörung von Merkur folgt aus der ART. Diese wurde aber nicht deshalb entwickelt.
Umgekehrt kann ein Labor Experiment eine völlig neue Theorie erzwingen. Ein berühmtes Beispiel ist
hier die Aufspaltung der Natrium D Linie. Erst die Entdeckung des halbzahligen Spins des Elektrons
lieferte die Erklärung dafür. Einige bekannte Beispiele seien hier (ohne Bewertung der Rangfolge)
aufgeführt: die Paritätsverletzung und die CP-Verletzung. Ferner Supraleitung und Superfluidität. Alle
diese Erkenntnisse finden ihren Niederschlag in der Astrophysik.
Je nach Stand der Forschung kann dabei die Theorie führend sein (wie z. B. die Quantenmechanik bis
zur Entdeckung der Superfluidität und Supraleitung oder wie die ART bis heute) oder das Experiment
bzw. die Beobachtung, was in der Astrophysik praktisch die Norm ist. Zu allen Zeiten haben Astronomen
Objekte beobachtet, die sie nicht verstehen konnten, weil die Theorie dazu noch fehlte. Neueste
Beispiele in der Astrophysik sind die Gammaburst Quellen und einige extreme Supernovae, manchmal
als Hypernovae bezeichnet und in der Kosmologie Dunkelmaterie und Vakuumenergie.
• ANMERKUNG
Allgemeine Regeln zum Auffinden neuer Theorien oder neuer Objekte gibt es nicht. Die Geschichte lehrt, was nützlich sein
kann:
Baden:
Archimedes entdeckte den Auftrieb beim Baden. Sein Modell vom Kosmos war eine Scheibe, die auf dem Wasser
schwimmt. Damit das Wasser nicht wegfließt, postulierte er einen Rand.
Kirchbesuch:
Galilei fand die Pendelgesetze beim Betrachten des schwingenden Kirchleuchters.
Gartenbesuch:
Newton fand die Gravitationsgesetze durch einen fallenden Apfel im Garten seiner Tante.
Spaziergang (insbesondere über Brücken)
Euler entdeckte dabei das Königsberger Brückenproblem.
5

Mariotte kam auf dem Pont Neuf in Paris auf die Idee, die Niederschlagsmenge an Regen mit der Durchflussmenge
der Seine zu vergleichen.
Hamilton fand seine Quaternionen an der Brougham Bridge in Dublin.
Reisen:
Kekulé kam auf die Struktur von Benzol beim betrachten des Verkehrs am Picadilly Circus.
Neugierde:
Einstein wollte bereits als Kind wissen, wie es ist, wenn man Licht überholt. Er fand, daß dies nicht möglich ist.
Fahrstuhlfahren:
Einstein erläuterte die Äquivalenz von Raumkrümmung und Beschleunigung anhand eines Fahrstuhls.
Das kosmologische Modell des Archimedes wurde merkwürdigerweise nicht überprüft, obwohl das
leicht möglich gewesen wäre. Die Geometrie auf einer Scheibe ist Euklidisch, die Winkelsumme im
Dreieck auf der Erde wurde erst von Gauß bestimmt.
Galileis Pendelgesetze waren für Huygens die Grundlage zum Bau einer Uhr, die (über 1/2 Jahr hinweg)
genau genug ging, daß Ole Römer damit die Lichtgeschwindigkeit messen konnte.
6

Einleitung
Ein Hase sitzt auf einer Wiese
des Glaubens, niemand sähe
diese.
Doch im Besitze eines Zeißes,
betrachtet voll gehaltnen Fleißes
vom vis-à-vis gelegnen Berg
ein Mensch den kleinen
Löffelzwerg.
Ihn aber blickt hinwiederum
ein Gott von fern an, mild und
stumm. Ch. Morgenstern
Die Entdeckung mikroskopischer und makroskopischer Hierarchien und die Bestimmung der wahren
Größendimensionen unseres Universums sind das herausragende Ergebnis der Physik und Astronomie
des 20ten Jahrhunderts. Das Fundament wurde zu Beginn des Jahrhunderts gelegt. Die Welt besteht
aus Atomen, welche mit der Quantenmechanik beschrieben werden. Der Kosmos fliegt seit dem Urknall
auseinander, was durch die Allgemeine Relativitätstheorie beschrieben werden kann. Die Fülle
wesentlicher Entdeckungen und ihre Bedeutung für das Gesamtbild von unserem Universum ist dabei
so groß, daß eine Auswahl und eine Beschränkung auf das wesentliche notwendig sind.
In diesem Teil 1 der Darstellung behandeln wir die Grundlagen der Astrophysik, ohne die ein Verständnis
unsers Kosmos nicht möglich ist: die Astronomie, welche Aussagen über Inhalt und Aufbau liefert und
die Physik, die es erlaubt, Alter und Temperatur zu bestimmen. Dabei betrachten wir im Überblick
nacheinander die vier Grundeinheiten:
Zentimeter, Gramm, Sekunde und Grad Kelvin.
Das Grad Kelvin (Temperatur) wandeln wir explizit mit der Boltzmann Konstanten k B in eine Energie
um.
• ZUSATZ (DIE GRUNDGEBIETE DER ASTROPHYSIK)
Mit der Astrophysik sind die folgenden Grundgebiete verknüpft:
1. die Euklidische (bzw. Riemannsche Differential) Geometrie. Längenmessung (Einheit: cm),
2. die Newtonsche Gravitationstheorie (bzw. die Einsteinsche Allgemeine Relativitätstheorie). Massenbestimmung
(Einheit: g),
3. die Kernphysik. Gamowscher Tunneleffekt, Sternentwicklung. Altersbestimmung. (Einheit: s),
4. die Elektro- und Thermodynaik. Temperaturbestimmung (Einheit: Kelvin).
Die benutzten Einheiten (Gauß) sind natürlich (nämlich dem Vorstellungsvermögen des Menschen
angepasst), aber nicht fundamental. Fundamental und invariant sind dagegen:
die Lichtgeschwindigkeit c, das Plancksche Wirkungsquantum h, die elektrische Ladung
e und die Gravitationskonstante G.
7

Teil 2 der Darstellung behandelt die Physik der klassischen Astrophysik, auf der unsere Erkenntnis
vom Kosmos und seinen Teilen beruht.
Teil 3 der Darstellung behandelt die Mathematik und Physik der relativistischen Astrophysik, also die
Allgemeine Relativitätstheorie und die Kosmologie.
Erkenntnis ist das höchste Ziel der Wissenschaft. Grundlage der Erkenntnis ist das Wissen.
Allerdings gilt, daß nicht alles, was Wissen schafft, deshalb auch Wissenschaft ist.
Forschung nützt oft nur dem Fortkommen der Wissenschaftler, statt dem Fortschritt der
Wissenschaft. Ein wichtiger Gesichtspunkt ist deshalb die adäquate Auswahl, um Wesentliches
vom Unwesentlichen zu trennen: in diesem Sinne kann Ignoranz oder Ignorieren
sogar von Nutzen sein.
Dies gilt ganz besonders für die älteste Disziplin der Naturwissenschaften, die Astronomie. Hier ist im
Laufe der Jahrhunderte eine kaum überschaubare Sammlung von Fakten und Beobachtungen zusammengetragen
worden. Heute wächst die Datenflut derart, daß ihre Archivierung — ganz zu schweigen
von einer adäquaten Auswertung — größte Schwierigkeiten macht.
Bei der Auswahl des Materials haben wir uns von dem Prinzip leiten lassen, daß nicht die Fakten,
sondern ihr Verständnis im Vordergrund stehen soll und damit die Physik, die die Grundlage des Verstehens
liefert. Der Stoff ist deshalb i.w. auf die klassische Astrophysik — die Physik der Sterne —
beschränkt. Von den 3 Stadien Geburt, Leben und Tod ist das zweite heute im wesentlichen verstanden,
– auch wenn es hier noch Überraschungen geben kann – die beiden anderen sind aktuelle Forschungsschwerpunkte
und deshalb von besonderem Interesse.
Geburt, Leben und Tod von Galaxien oder gar von der gesamten Struktur des Kosmos sind weit weniger
gut verstanden — mit einer wesentlichen Ausnahme: die Erzeugung der ersten Elemente. Im
Anschluß an den Urknall wird im Kosmos selbst nach gängiger Anschaung nur Helium erzeugt, Wasserstoff
wird nicht erzeugt sondern bleibt übrig, zunächst in Form von Protonen und Elektronen. Alle
anderen Elemente — die sog. schweren Elemente, die Astronomen oft einfach als Metalle bezeichnen
— werden im Innern von Sternen gekocht und dann an den interstellaren Raum zurückgegeben. Falls
Galaxien nicht alle zum gleichen Zeitpunkt entstanden sind, sollte ihre chemische Zusammensetzung
deshalb ein Indikator für ihr Alter sein.
Grundlage unserer Kenntnis vom Universum sind Messungen und Beobachtungen, im einfachsten Fall
betreffen sie Längen und Winkel (Entfernungen), Gewichte (Massen von Sternen) und Zeiten (Alter
von Sternen). Zu diesen drei physikalischen Grundgrößen Länge, Masse und Zeit kommt noch die
Temperatur, welche wir als eigenständige Einheit betrachten. In einem ersten Überblick werden wir
die Bestimmung dieser Größen an astronomischen Objekten behandeln. Wir werden dabei, falls nicht
ausdrücklich anders vermerkt, das c-g-s-System von Gauß benutzen, zusammen mit dem Grad Kelvin
als Temperatur-Einheit (c g s K). Die Schreibweise N57 bedeutet, daß N in (c-g-s) Einheiten von 10 57
zu nehmen ist und T2 ist dasselbe wie 100 ◦ K.
Diese Masseinheiten sind natürlich (nämlich den Bedürfnissen der Menschen auf der Erde) angepasst,
aber nicht fundamental.
Fundamental sind, wie bereits erwähnt, die Lichtgeschindigkeit c, das Plancksche Wirkungsquantum
h und die Gravitationskonstante G bzw. die elektrische Ladung e. Aus diesen physikalischen Fundamentalkonstanten
läßt sich keine brauchbare Längeneinheit konstruieren und so hat jeder Zweig der
Physik seine eigenen ’natürlichen’ Einheiten.
1. Entfernung
Die natürliche Entfernungseinheit im Sonnensystem ist die astronomische Einheit, AE, (Erde -
Sonne), in unserer Milchstrasse das Parsec (oder, alternativ, das Lichtjahr). Durch moderne Radarmessungen
(aktiv und passiv) ist unser Sonnensystem bis auf Meter genau vermessen. Wie
8

wir sehen werden, sind Entfernungsbestimmungen kosmischer Objekte in unserer Galaxis und
darüber hinaus außerordentlich schwierig. Ihre Genauigkeit nimmt mit der Anzahl der Zwischenschritte
etwa exponentiell ab und so kann man heute nicht sagen, wie groß das beobachtbare
Universum ist, auch wenn optimistische Abschätzungen hier ’nur’ noch um einen Faktor 7/5 =
1.4 voneinander abweichen.
2. Masse
Die Bestimmung der Massen kosmischer Objekte geht mithilfe des Virialsatzes (erstmals für
Galaxien 1933 von Zwicky am Virgo-Galaxienhaufen durchgeführt)
2Ekin + Epot = 0 oder v 2 = GM
R
und ist meist noch ungenauer, da sie die Kenntnis der Entfernungen voraussetzt. Die Allgemeine
Relativitätstheorie liefert zwei bemerkenswerte Ausnahmen, welche ihre Genauigkeit nichtlinearen
Termen der Theorie verdanken. Es sind dies einerseits Doppelsterne und von diesen wieder
einige Binärpulsare, die mithilfe der Keplerschen Gesetze bzw. deren allgemein relativistischer
Version direkt gewogen werden können. Die relative und absolute Genauigkeit beträgt hier wenige
Promille und wächst mit der Zeitspanne der Beobachtung.
Andrerseits kann die Masse und evtl. die Entfernung (über die Laufzeitverzögerung von Explosionsereignissen)
von Gravitationslinsen geometrisch bestimmt werden.
Die Masse des beobachtbaren Universums ist unsicher, wobei die Unsicherheit nicht einmal
quantifiziert werden kann (Faktor 10?). Es ist möglich, daß 90% der gravitierenden Materie noch
unentdeckt sind.
3. Alter und Zeit
Ähnlich ungenau ist die Altersbestimmung kosmischer Objekte. Das Universum selbst ist seit
Hubbles ursprünglicher Bestimmung um etwa einen Faktor 10 älter geworden. Wie wir sehen
werden, gibt es 4 unabhängige Methoden, das Alter kosmischer Objekte und damit Grenzen für
das Weltalter zu bestimmen. Es ist befriedigend, daß, im Rahmen der Ungenauigkeiten, heute alle
Methoden übereinstimmende Ergebnisse liefern: das Weltalter beträgt etwa 12 bis 15 Milliarden
Jahre, vergleichbar mit den ältesten Sternhaufen unserer Galaxis und älter als das Sonnensystem
(4.5 Milliarden Jahre). Es gibt seitens der Beobachtung keine Objekte, die seitens der Theorie z.
B. 50 Milliarden Jahre alt sein sollten. Das ist keineswegs selbstverständlich.
4. Temperatur
Im Gegensatz zu Radius, Masse und Alter des beobachtbaren Universums ist seine Temperatur
sehr genau bestimmt. Das Universum ist im Grossen von einer thermischen Strahlung von
Planckschem Charakter und hoher Isotropie angefüllt. Die Geauigkeit der Realisierung und Bestimmung
(des Planckschen Charakters) übertrifft (dank COBE) die besten Labormessungen
und beträgt heute etwa 2.73 ◦ K. Die Temperaturbestimmungen bei Sternen und Wolken sind
wesentlich ungenauer und haben darüber hinaus manchmal nur formalen Charakter: die formale
Strahlungstemperatur ist nicht thermisch (und kann T ≈ 10 30 ◦ K bei Pulsaren erreichen) oder
sie ist sogar negativ (Maser und evtl. LASER).
9

Kapitel 1
Geometrie: Entfernungsbestimmung
1.1 Die kosmischen Hierarchien
Wir beginnen mit einem Überblick über die Längenhierarchie des Universums in Zehnerpotenzen.
• DEFINITION (DAS GAUSSSCHE MASSSYSTEM)
Anhand des c-g-s-Systems von Gauß, erweitert um K (Grad Kelvin), werden wir im folgenden die wichtigsten astronomischen
Objekte und die sie charakterisierenden physikalischen Prozesse besprechen. Dabei werden wir normalerweise so
vorgehen, daß zunächst die notwendigen Variablen aufgesucht werden, die das Problem beschreiben. Aus einer Dimensionsanalyse
folgt dann die Form und die Größenordnung der Gleichung. Dabei werden alle dimensionsbehafteten Variablen
explizit (d. h. mit ihren korrekten Dimensionen im Gaußschen c-g-s-System) aufgeführt. Die Endformel wird in diesen
Variablen formuliert, mit einem dimensionslosen Faktor f ∗ . Bei der schrittweisen Herleitung kann dieser noch Indizes
erhalten: f ∗ i .
Die beiden wichtigsten Entdeckungen des 20ten Jahrhunderts waren:
in der Astronomie die Erkenntnis (Hubble) der wahren Entfernungen im grossen,
in der Physik die der gequantelten im kleinen, d. h. die Entdeckung des Atoms (Schrödinger und
Heisenberg) und des Photons (Einstein).
Daraus folgt (mithilfe der Allgemeine Relativitätstheorie) in der Kosmologie, daß das beobachtbare
Universum räumlich und zeitlich endlich ist. Der Anfangszustand ist mit den Mitteln der heutigen
Physik nicht beschreibbar.
Die diskrete Natur der Physik im kleinen äussert sich durch eine Quantelung bestimmter Übergänge
(Energie, Frequenz) in atomaren und subatomaren Systemen. Diese Systeme (Atome und ihre Kerne)
sind im gesamten Universum (modulo Rotverschiebung) identisch. Die kosmologische Rotverschiebung
ändert die Wellenlänge nämlich ab in der folgenden Form: λempf = (1 + z)λsend. Daraus folgt,
daß die Quotienten universell sind, in Übereinstimmung mit allen Beobachtungen.
Wir beginnen mit unserem Überblick über die Längenhierarchie anhand ausgewählter Objekte. Die
wichtigsten (weil heute weitgehend verstandenen) sind im Mikrokosmos Atome und Moleküle, im
Makrokosmos Sterne und (mit Einschränkung) Galaxien. In der Natur haben Objekte, die zur gleichen
Klasse gehören, offenbar die Tendenz, sich zu neuen Einheiten höherer Ordnung zusammenzuschließen.
Quarks bilden Atomkerne, diese (zusammen mit Elektronen) Atome, diese wieder Moleküle.
Dann folgt, wenn wir die Biologie überspringen, Staub in Dimensionen bis zu Wolken, ferner Planeten
und Sterne. Diese wieder bilden Galaxien und Galaxienhaufen. Ob es subatomare Teilchen unterhalb
der Quarks (oder ein universelles Elementarfeld wie das Higgs Feld) gibt, oder ob es Superhaufen
(kosmische Strings) ist zur Zeit eine spannende aber unbeantwortbare Frage.
• DEFINITION (ZUM NACHSCHLAGEN)
An atomaren Grundgrößen benutzen wir für Längen:
1

2 KAPITEL 1. GEOMETRIE
1. Fermi: 1 f = 1 · 10 −13 cm. Beispiel: Kernradius R = 1.4A 1/3 f.
2. ˚Angstrøm: 1 ˚A = 1 · 10 −8 cm. Beispiel: Atomradius von H R = 0.5 ˚A.
3. Mikrometer: 1µ = 1 · 10 −4 cm. Beispiel: gal. Staub, Wellenlänge von IR Licht. (1µ = 10 4 ˚A)
und für Massen (die de Broglie Wellenlänge des Elektrons ist λ = ¯h/mv):
1. Masse des Elektrons. me = 9.11 · 10 −28 g.
2. Masse des Protons. mp = 1.67 · 10 −24 g.
Größen, die sich auf die Sonne beziehen, erhalten den Index ⊙.
1. Radius der Sonne R⊙ = 6.9 · 10 10 cm
2. Masse der Sonne, M⊙ = 1.989 · 10 33 g
3. Die entsprechende Anzahl von Baryonen, N⊙ = M⊙/mp = 1 · 10 57 , dient als dimensionslose Richtgröße für
Sterne.
4. Leuchtkraft der Sonne, L⊙ = 3.9 · 10 33 erg s −1 .
Zwei wichtige natürliche Größen in der Astrophysik sind die gravische Feinstrukturkonstante αG (dimensionslos)
αG = Gm2 p
¯hc
= 5.9 · 10 −39
und die Compton-Wellenlänge des Elektrons λe (natürliche Länge für relativistisch entartete Materie)
λ = ¯h
mc
Damit läßt sich die kritische Teilchenzahl für entartete Sterne angeben
NCh = 0.75(2Z/A) 2 α −3/2
G = 1.4(2Z/A)2 N⊙ (1.3)
und für die dazu gehörende Grenzmasse, die Chandrasekhar Masse, gilt
MCh = 0.75(2Z/A) 2 mpα −3/2
G = 1.456(2Z/A)2 M⊙ (1.4)
Die Eddingtonsche Grenzleuchtkraft für Sterne ist die maximale Leuchtkraft, bei der Teilchen der Masse mH noch gravisch
von einem Objekt (Stern oder Galaxienkern) der Masse M an der Oberfläche zurückgehalten werden können:
LEdd = 4πGmHMc
σT h
(1.1)
(1.2)
= 10 4.5
� �
M
L⊙ = 1.3 · 10
M⊙
38
� �
M
mH erg s
M⊙
−1 (1.5)
Als wichtige Anwendung erhalten wir hieraus LEdd für akkretierende entartete Sterne (der Masse MCh) in Fundamentalkonstanten:
LEdd =
9
2α √ αG
2 c
mec = 2 · 10
re
38
erg s −1 (1.6)
Eine weitere universelle Obergrenze für für gravisch erzeugte Strahlung (Akkretion oder Gravitationswellen) ist
in Zahlen
LG = c5
G
LG = c5
G
= 3.63 · 1059
Größen, die sich auf die Milchstraße beziehen, erhalten den Index ∗.
(1.7)
erg s −1 (1.8)
1. Radialentfernung der Sonne zum Zentrum der Milchstraße D∗ = 2 · 10 22 cm = 8 kpc.
Radius (der leuchtende Anteil) R∗ = 4 · 10 22 cm = 12.5 kpc. Dicke h∗ = 2 · 10 21 cm = 0.6 kpc.
2. Die Masse der gesamten Milchstraße, M∗, beträgt 1.9 · 10 11 M⊙, bestimmt aus dem Keplerschen Gesetz.
3. Alter der Milchstraße, A∗ = 12.7 Gyr.

1.1. DIE KOSMISCHEN HIERARCHIEN 3
Erst die Photographie erlaubt es, Photonen aufzuaddieren, was das menschliche Auge nicht kann. Der Dopplereffekt liefert
für die beobachtete Wellenlänge λ und die als bekannt vorausgesetzte Ruhlänge λo die Geschwindigkeit der Quelle (bei
bekanntem Winkel Θ zwischen Geschwindigkeit v und Visionsrichtung) in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit β := v/c:
1 + β cos Θ
λ = λo �
1 − β2 Der Dopplereffekt wurde 1842 von Doppler für Sterne vorhergesagt, von Fizeau genauer für Linienspektren für nachweisbar
erachtet (Sterngeschwindigkeiten sind viel zu klein für einen Nachweis am Kontinuum) und von Huggins 1868 mit
Photoplatte an den H Linien des Sirius entdeckt. Mittlerweile bestimmt man tatsächlich die größten Rotverschiebungen
(mithilfe von Modellannahmen) am Kontinuum von ganzen Galaxien (z > 6).
Für die Rotverschiebung einer bewegten Quelle, die sich radial vom Beobachter weg bewegt, gilt die Doppler Formel
1 + z =
mit der Umkehrung
�
1 + β
1 − β
β = (1 + z)2 − 1
(1 + z) 2 + 1
= z
1 + z
2
1 + z(1 + z
2 )
Ähnlich den Menschen kennt auch die Natur eine strenge Hierarchie mit ausgesprochenem Klassenbewusstsein.
So hat z. B. die Klasse der Sterne einen eng begrenzten Massebereich von einem Zehntel
bis zu Hundert Sonnenmassen, (genauer: 0.08 . . . 120 M⊙), die Klasse der Berge hat eine maximale
Höhe, d. h. Berge werden nicht beliebig hoch (auf der Erde etwa 8 km, auf dem Mars 24 km) und die
Klasse der Atome bzw. der Atomkerne ist endlich: sie werden weder beliebig klein (Atomradius: ˚A
und Kernradius: f, Fermi) noch beliebig groß. Das gilt auch dann noch, wenn sie durch die Gravitation
in Form von Neutronensternen zusammengehalten werden.
Damit ist noch nicht gesagt, daß es auch eine kleinste oder größte Länge gibt. Tatsächlich hat die
Hoffnung, am Ende der Hierarchie angekommen zu sein, bisher jedesmal getrogen. Das Proton ist
nicht elementar (es besteht aus Quarks), vielleicht nicht einmal stabil. Selbst für den Kosmos sind
die Grundbausteine (zunächst Sterne, dann Galaxie, mittlerweile Haufen von Galaxien) immer größer
geworden. Das beobachtbare Universum ist zwar endlich und diskret, da die Lichtgeschwindigkeit c
endlich ist und da, wie wir zeigen werden, das Alter des Universums endlich ist. Damit ist dann auch
die Anzahl aller quantenmechaischer Prozesse seit Geburt (Urknall) in ihm endlich. Das Universum
als Ganzes kann aber sehr wohl unendlich ausgedehnt sein.
• ANMERKUNG (DAS UNIVERSUM IM ÜBERBLICK)
Nach heutiger Kenntnis gilt für das beobachtbare Universum:
1. Radius RUniv ≈ 10 28 cm, Volumen VUniv ≈ 10 85 cm 3
2. Baryonenzahl Nb,Univ ≈ 10 79 , Masse MUniv ≈ 10 22 M⊙ in etwa 10 11 Galaxien zu 10 11 Sternen von 1M⊙.
3. Alter AUniv ≈ 10 10 Jahre (10 bis 15 Gyr).
4. Temperatur TUniv ≈ 2.735 Kelvin; Photonenzahl Nγ,Univ ≈ 10 88 .
Dabei ist erstaunlich, daß wir die Temperatur des Universums viel genauer kennen als z. B. unsere eigene Körpertemperatur,
ganz zu schweigen von der im Zentrum der Erde. Die Temperatur des Universums wird bestimmt von einer universellen (d.
h. unpolarisierten, homogenen und isotropen) Hintergrundstrahlung von etwa 2.7 Grad Kelvin. Die einzigen verbliebenen
Ausnahmen in dieser streng diskreten Hierarchie bilden (bisher jedenfalls):
1. Das Elektron.
Formal kann man dem Elektron zwar leicht einen Radius re zuschreiben. Dazu definiert man
Eel ≡ e2
re
= mec 2 ≡ Erest
Das ist der sog. klassische Elektronenradius,
re = e2
mec 2
(1.9)
(1.10)
(1.11)
(1.12)

4 KAPITEL 1. GEOMETRIE
also derjenige Radius bei dem potentielle (elektrostatische) Energie und Ruhmassenenergie des Elektrons gleich
groß sind. Wir erwarten also
rel = f ∗ re = 2.82 · 10 −13 f ∗
cm
mit f ∗ ≈ 1. Unklar ist aber bei dieser Abschätzung, warum das Elektron überhaupt zusammenhält. Das Analogon
(für das Proton, welches aus Quarks besteht) in der Quantenchromodynamik bildet das Problem des Einschlusses
(confinement). Die Streuexperimente zeigen tatsächlich, daß beim Elektron etwas fundamentales in unserer
Abschätzung noch fehlt, denn der wahre Ladungsradius ist bisher unmessbar klein. Quantitativ gilt bisher:
rel ≪ 10 −15
cm (1.13)
2. Die Raumzeit.
Länge und Zeit werden als kontinuierlich angenommen, da sie bisher nicht quantisiert werden können.
Wir geben zum Nachschlagen im Anhang die wichtigsten Naturkonstanten im
c-g-s-System von Gauß, erweitert um K (Grad Kelvin)
und eine Formelsammlung. Als Einheiten für grosse Zeiträume (yr = year) benutzen wir, wie in der
angloamerikanischen Literatur üblich, die folgenden Abkürzungen (Kilo, Mega und Giga)
kyr = 10 3 yr = 1000 Jahre, Myr = 10 6 Jahre und Gyr = 10 9 Jahre.
Die gesamte Längen - Hierarchie vom Mikrokosmos zum Makrokosmos umspannt demnach mindestens
42 Zehnerpotenzen;
RUniv
re
≈ 10 42
(1.14)
wenn man nämlich von einer noch ausstehende Quantisierung der Gravitation mit der Planck-Länge
�
¯hG
lP = � 1.6 · 10−33 cm (1.15)
c3 absieht, sonst sogar etwa 61 Zehnerpotenzen!
RUniv
l P
≈ 10 61
Einige ausgewählte Längen bzw. Entfernungen sind in Tabelle (1.1) zusammengestellt. Analoge Tabellen
werden wir noch für die Massen kosmischer Objekte, deren Temperaturen und Alter angeben.
Dabei sollte man sich aber der Vorläufigkeit solcher Angaben stets bewusst sein. Die Entfernung zum
galaktischen Zentrum z. B. ist in vielen Lehrbüchern und Tabellen noch mit 10 kpc angegeben; sie
ist in den letzten Jahrzehnten um 20% geschrumpft und dann (nach Messungen mit dem Astrometrie
Satelliten Hipparcos) wieder um 10% gewachsen. Sie liegt jetzt bei etwa 8 ± 1 kpc, der von der IAU ∗
vorgeschlagene Wert beträgt 8.5 kpc. Es sieht so aus, als ob mit einer neuen Generation von Beobachtungsintrumenten
nun eine Phase der Konsolidierung beginnt: verschiedene, unabhängige Methoden
der Entfernungsbestimmung ergeben übereinstimmende Ergebnisse.
Dabei ist bemerkenswert, daß eine typische Galaxie 10 11 Sterne und das Universum etwa 10 11 Galaxien
enthält! Zum Vergleich und zum Merken: das menschliche Gehirn enthält ebensoviel Neuronen.
An Masse scheint im Universum etwa 10mal mehr vorhanden zu sein als man leuchten sieht (Dunkelmaterie),
während das Alter der ältesten Objekte in etwa mit dem Alter des Kosmos übereinstimmt.
∗ International Astronomical Union. Dachorganisation der nationalen astronomischen Gesellschaften. Zu Beginn des
20ten Jahrhunderts gab es etwa 500 (Berufs) Astronomen, zum Ende mehr als 10 000.

1.1. DIE KOSMISCHEN HIERARCHIEN 5
Obwohl eine typische Galaxie 10 11 Sterne enthält, heißt das noch nicht, daß die Masse etwa 10 11
Sonnenmassen beträgt. Die Masse ist (einheitlich für massive Galaxien) um einen Faktor 10 (ein dex)
größer. Die Standarderklärung dafür lautet: es gibt Dunkelmaterie unbekannter Art (und Ursprungs).
Kann man dann überhaupt hoffen, über 42 Zehnerpotenzen hinweg die Natur mit Hilfe der Physik
richtig zu beschreiben (wenn das meiste noch gar nicht gesehen ist)? Grundpostulat muß sein:
Die Grundgesetze der Physik, wie sie im Labor bzw. im Planetensystem der Sonne überprüft
worden sind, gelten unverändert zu jeder Zeit und an jedem Ort im ganzen Kosmos.
Eine wichtige Frage ist dabei, inwieweit die Grundkonstanten der Physik wirklich überall den gleichen
Wert haben bzw. zeitlich konstant sind.

6 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Die folgende Tabelle gibt einige ausgewählte Längen in Gaußschen und den üblichen Einheiten. Die
Formeln für die Fundamentallängen der Quanten Gravitation, Kernphysik und Atomphysik sind im
Anhang nochmals zusammengestellt.
Objekt Länge L Abk. L/c Name /
cm s Bemerkung
Planck-Länge 1.6·10 −33 6·10 −44 l P
Atomkern 10 −13 fm 3·10 −24 s Fermi
Atomhülle 10 −8 ˚A 3·10 −19 s ˚Angstrøm
Staub 10 −4 µ 3·10 −15 s Mikrometer
Mensch 10 2 m Meter
Erde 6·10 8 R⊕ Eichstandard
Erde-Mond 4·10 10 1 s
Sonne 7·10 10 R⊙ 2 s
Erde-Sonne 1.5·10 13 AE 500 s astronomische Einheit
Erde-Pluto 6.5·10 14 6 h
Parsec 3·10 18 pc 3 yr Erdbahnradius unter ′′
α-Centauri 1 pc 4 yr nächster Stern
Milchstraße 5·10 22 15 kpc 50 kyr Radius
LMC 1.5·10 23 50 kpc 150 kyr Große Maghellansche Wolke
Lokale Gruppe 3·10 24 1 Mpc 3 Myr Mega Parsec
Virgo (Haufen) 6·10 25 20 Mpc 60 Myr Eichstandard
Grosse Mauer 1·10 26 30 Mpc 100 Myr max. Struktur im Kosmos
Coma 3·10 26 110 Mpc 250 Myr Eichstandard
Quasar 3C273 3·10 27 1 Gpc 3 Gyr Giga Parsec
Universum 10 28 4 Gpc 12 Gyr
Abb. 1.1: Längenhierarchie
Als abgeleitete Größe geben wir einige Anzahldichten des Kosmos:
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
✻
re
Mensch
Erde
Galaxis
Universum
1. Die Teilchendichte (von H) beträgt für die kritische Dichte, nc, 1 Teilchen pro Kubikmeter:
nc = 10 −6 cm −3 .
2. Dem entspricht 1 Galaxie (mit 10 11 Sternen) pro Kubik Mega Parsek.
3. Die mittlere Sterndichte in Sonnennähe beträgt 0.2 Sterne (mit einer halben Sonnenmasse) pro
Kubik Parsec.
4. Dem entspricht eine mittlere Anzahldichte in Sonnennähe von 7 Teilchen pro Kubik Zentimeter.
5. Die mittlere Gasdichte in Sonnennähe beträgt 1 H Atom pro Kubik Zentimeter.
Solche Dichten sind im Labor unerreichbar. Zum Vergleich: die Teilchenzahldichte der Luft (unter
Normalbegingungen) beträgt 10 19 Teilchen pro Kubik Zentimeter.
• ZUSATZ (WAS SIND GRUNDGESETZE IN DER PHYSIK?)
Wir wollen darunter – etwas unscharf – die grossen physikalischen Theorien wie Thermodynamik, Mechanik bzw. Quantenmechanik,
Maxwellsche Theorie der Elektrodynamik bzw. Quantenfeldtheorie und Newtonsche bzw. Einsteinsche Gravitationstheorie
(ART) verstehen. Quantenchromodynamik und schwache Wechselwirkung haben heute noch Modellcharakter,
gehören aber dazu.
Es entfallen aber z. B. bei der Beschreibung der Kosmos als Ganzes (also bei der Kosmologie) Inflation (Guth, Linde)
oder eine veränderliche Gravitationskonstante (Jordan - Brans - Dicke Theorie) oder Einsteins kosmologische Konstante
(modern: Vakuumenergie). Es werden ferner keine neuen Gesetze eingeführt, wie etwa bei der ’steady state’ Theorie
(Materieerzeugung).

1.1. DIE KOSMISCHEN HIERARCHIEN 7
Zur Beschreibung des Universums als ganzes (Kosmologie) benötigt man die Einsteinsche Allgemeine
Relativitätstheorie (ART), die Newtonsche Gravitationstheorie ist dazu nicht ausreichend. Damit
sind wir aber vor ein ganz neues, in der sonstigen Physik unbekanntes Problem gestellt: wir müssen
die Raumzeit, in der wir leben, erst bestimmen, und das zunächst aus lokalen Messungen. Daß dies
überhaupt möglich ist, liegt daran, daß wir (jedenfalls heute) in einen Kosmos mit hoher Ordnung und
Symmetrie leben.
Für alle anderen Objekte, Galaxien, Sterne usw. kann man einen dimensionslosen Parameter σg definieren,
der besagt, wie stark die Newtonsche Gravitationstheorie von der ART abweicht,
σg = Rs
R
= 2GM
c 2 R
(1.16) Rs = 2GM
c 2
(1.17)
wobei M die gravitierende Masse, R ein Radius oder eine typische Entfernung und c die Lichtgeschwindigkeit
ist. Die Größe Rs heißt Schwarzschild - Radius. Im Limes σg → 0 geht die ART in die
Newtonsche Gravitationstheorie über.
Der Zweig der Astrophysik, der sich mit den Phänomenen beschäftigt, die für nicht verschwindendes
σg auftreten, heißt relativistische Astrophysik. Hierzu gehören neben der Kosmologie und den klassischen
Tests (der ART) im Sonnensystem noch weiße Zwerge, Neutronensterne und schwarze Löcher.
Ein Geschenk des Himmels im wahrsten Sinne des Wortes ist hier der Hulse - Taylor Binär - Pulsar.
Es handelt sich dabei um ein Doppelsternsystem (mit der Bezeichnung PSR 1913+16), welches aus
zwei sich umkreisenden Neutronensternen besteht und welches so eng ist, daß es in der Sonne Platz
hat. An ihm können die wichtigsten Phänomene der ART direkt nachgewiesen werden, indirekt sogar
die bereits von Einstein vorhergesagte Emission von Gravitationswellen.
Für massive Teilchen kann man einen zweiten, dimensionslosen, (speziell) relativistischen Parameter
wie folgt definieren
γ = E
=
mc2 1
√ 1 − β 2
(1.18)
wobei jetzt β = v die Geschwindigkeit in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit c, E die (Gesamt)
c
Energie eines Teilchens und m seine (Ruh) Masse ist. Teilchen mit Rumasse Null (z. B. Photonen)
sind immer relativistisch.
Das Hauptgebiet der relativistischen Astrophysik macht jedoch das Studium von Prozessen aus, an
denen Elementarteilchen mit γ ≫ 1 beteiligt sind. Hierher gehört die kosmische Strahlung (mit γ
bis zu ≈ 1015 ), Paarerzeugung und Vernichtung (im Zentrum der Galaxis) und die γ - Strahlung der
sog. Gamma Burster, aber auch die kohärente Radio - Strahlung der Pulsare. Erzeugt werden solche
Teilchenenergien in starken (oder grossräumigen) elektromagnetischen Feldern (nicht etwa in starken
Gravitationsfeldern).
Der überwiegende Teil des Kosmos – Galaxien, Sterne und Gaswolken – kann durch Newtonsche
Gravitationstheorie ausreichend genau beschrieben werden. Für die (mikroskopische) Behandlung der
Materie selbst reicht die Schrödinger Gleichung.
Die meisten Objekte des Universums werden durch ihre elektromagnetisch Strahlung nachgewiesen,
wozu die Maxwellsche Elektrodynamik zusammen mit der Thermodynamik die Grundlage liefern.
Das Universum selbst ist heute extrem kalt – 2.73◦ Kelvin – und liefert mit seiner Hintergrundstrahlung
eine untere Grenze für die Temperatur seiner Objekte. Zum kalten Universum gehören ferner die
Molekülwolken mit Temperaturen von 10 bis 300 ◦K. Wesentlich heißer – und damit für das menschliche Auge sichtbar – sind die (nichtentarteten) Sterne,
bei denen die (gemessenen) Temperaturen an ihrer Oberfläche von etwa 3000 bis 50000 ◦K reichen. In
der Temperatur zwischen Wolke und Stern gelegen, gibt es noch die Protosterne, Sterne bei denen das
Wasserstoffbrennen noch nicht gezündet hat, die von der schützenden Wolke noch verdeckt werden

8 KAPITEL 1. GEOMETRIE
(sich aber bereits durch einen Infrarot Exzess bemerkbar machen) und seit kurzem die sog. Braunen
Zwerge.
Grundlage zum Studium dieser Objekte ist ihre Kontinuumstrahlung. In gröbster Näherung entspricht
diese der des schwarzen Körpers (Plancksches Strahlungsgesetz) mit der Sonne als Paradigma. Diese
Strahlung heißt thermisch. Sie ist inkohärent und rührt meist aus der Translations - Energie der Atome
bzw. Moleküle her; Sender sind die bei Stößen beschleunigten Elektronen. Einen Sonderfall bildet der
Staub, der wie ein Festkörper erhitzt wird und thermisch strahlt.
Beide, Wolken und Sterne, kann man allerdings wesentlich detaillierter durch ihre Linienstrahlung
untersuchen. Dazu benötigt man die Atom- und Molekülphysik, also die Quantenmechanik (nichtrelativistisch
und – etwa bei der Feinstruktur und der 21 cm Linie – relativistisch erweitert).
Die verschiedenen Dimensionen von Energie E (erg), Temperatur T (Kelvin) und Frequenz ν (Hertz)
bzw. Wellenlänge λ (cm) werden wie folgt ineinander umgerechnet
E = kT = hν = h c
λ
(1.19)
Wieder mit dimensionslosen Parametern und den Grundeinheiten geschrieben, hat man es für Atome
und Moleküle mit den folgenden physikalischen Prozessen zu tun:
1. elektronische Anregung (Grundeinheit); Bereich: optisch bis UV oder Röntgen
Eel ≈ 1
2 Z2 α 2 mec 2
Für Z = 1 (Wasserstoff) ist die übliche Einheit Eel = 13.6 eV.
2. Vibration; Bereich: IR bis optisch
Evib ≈
� me
Amp
Eelekt
3. Feinstruktur; Bereich: IR bis optisch
Efs ≈ α Eelekt
4. Rotation; Bereich: Radio und sub – mm Bereich
Erot = ¯h2
2I
me
≈ Eel
Amp
5. Hyper - Feinstruktur; Bereich: Radio und sub – mm Bereich
Ehfs ≈ me
α
mp
2 Eel
Damit kann man das kalte und das warme Universum hervorragend untersuchen.
• ANMERKUNG (QUANTENMECHANISCHE GRUNDLAGEN)
Alle Felder (und Teilchen als Felder aufgefasst) haben einen diskreten, inneren Freiheitsgrad, Spin genannt. Fermionen
(Quarks und Leptonen) haben halbzahligen Spin, Bosonen (Gluonen, Photon und Weakonen) haben ganzzahligen Spin.
Die Natur scheint mit Spin 1/2¯h für Fermionen und Spin 1¯h für Bosonen auszukommen. Die Gravitation bildet (mit Spin
2¯h) die einzige Ausnahme, ist aber bisher unquantisiert.
Die natürliche Einheit des Bahn-Drehimpulses J ist für Bosonen und für Fermionen ist
J = n¯h mit n = 0, 1, 2, . . .
Der Bahndrehimpuls kann klassisch verstanden werden und darf verschwinden.
Für Photonen ist auch der Spin S ganzzahlig: S = ¯h. Jedes Photon, welches in einem Strahlungsprozeß erzeugt wird, hat
mindestens den (diskreten) Drehimpuls S = 1 × ¯h plus eventuell einen Bahndrehimpuls. Der Spin kann klassisch nicht
verstanden werden.

1.1. DIE KOSMISCHEN HIERARCHIEN 9
Der Spins S des Elektrons ist
S = 1
2 ¯h
Deutet man den Spin klassisch, dann bedeutet dies, daß ein Elektron oder Photon stets drehen muß. (Ein Elektron steht
nach einer Drehung um 360 Grad sogar auf dem Kopf).
Die natürliche Einheit der Energie ist für die elektromagnetische Wechselwirkung die Ruhmassenenergie des Elektrons
Erest = mec 2
Der dimensionslose Parameter, der die Energieniveaus bestimmt, ist die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante
α = e2
¯hc
Dabei ist es wesentlich für das Aussehen unserer Welt, daß α ≈ 1
eines Atoms der Ladung Z kann wie folgt geschrieben werden:
Etot = Erest + Ekin + Epot = mec 2 + p2
2me
− Ze2
r
137
(1.20)
klein ist. Die Gesamtenergie des Elektrons im Feld
Die Bindungsenergie Ebin = Etot − Erest ist eine Funktion von α und es gilt für die Ableitung E ′ bin = 0, d. h. Ebin hängt
in niedrigster Näherung nur von α 2 ab.
Der zweite dimensionslose Parameter ist das Massenverhältnis von Elektron und (reduzierter) Masse der Atomkerne des
Moleküls. Damit ergibt sich eine Überlappung von Vibration- und Feinstruktur bzw. von Rotation- und Hyper - Feinstruktur
Niveaus. Anregung – und damit Strahlung – findet statt, wenn die thermische Energie kT ausreicht, d. h. falls kT ≈ E.
Somit kann man mit Molekülen das kalte Universum untersuchen, mit Atomen die heißen Sternhüllen. Bei Molekülen
beobachtet man nur el. Dipol - Strahlungsübergänge, während man bei atomarem Wasserstoff sogar wegen seiner Häufigkeit
den (im Labor extrem verbotenen, weil durch Stöße unterdrückten) Hyper - Feinübergang eines Elektronen - Spinflips (21
cm Linie) beobachten kann. Bei optisch dünnen Medien sieht man die Linien meist in Emission, sonst in Absorption.
Damit hat man über den gesamten Spektralbereich (Radio bis UV und weiches Röntgengebiet) hervorragende
Thermometer zur Verfügung. Aus der Intensität der Linien kann man darüber hinaus über
die relative Häufigkeit der chemischen Elemente Aussagen gewinnen. Diese (Atomkerne) wurden
bzw. werden bis auf H und He alle im Innern von Sternen erzeugt. Der wichtigste Prozeß im Innern
der Sterne und, bei akkretierenden Neutronensternen (Röntgen - Pulsaren) sogar an deren Oberfläche,
ist die Nukleosynthese, welche durch die Kernphysik mithilfe der Schrödinger Gleichung und
phänomenologischem Kernpotential beschrieben wird. Neben der elektromagnetisch benötigt man dazu
noch die starke und schwache Wechselwirkung.
Der interstellare Raum ist mit einem heißen Gas angefüllt, welches durch Sterne und ihre Explosionen
(Novae und Supernovae) geheizt bzw. nachgefüllt wird. Die heißeste Komponente bildet das Gas in
Supernova Überresten. Hier handelt es sich bereits um ein extrem nichtthermisches Plasma (mit Synchrotronstrahlung):
die kosmische Strahlung gehört ebenfalls dazu und wird eventuell dort erzeugt.
Diese nichtthermische Komponente erzeugt ihrerseits ein galaktisches Magnetfeld, in dem die relativistischen
Elektronen Synchrotronstrahlung erzeugen, welche dann im Radiobereich nachgewiesen
werden kann. Die verschiedenen Komponenten sind zwar im zeitlichen und räumlichen Mittel im thermodynamischen
Gleichgewicht, womit man grob ihre Struktur erklären kann. Die genauere Analyse
hat aber gerade erst begonnen, es ist denkbar, daß von Zeit zu Zeit sich Instabilitäten bilden und explodieren
in Form von Jets oder Bursts. Diese heizen ein dünnes, thermisches Gas, welches die Galaxien
(wie ein Halo) umgibt und welches im Röntgenbereich nachgewiesen wurde.
Wir betrachten als Einführung den Makrokosmos und zwar in dieser Reihenfolge
1. Längenhierarchie (Geometrie)
2. Massenhierarchie (Newtonsche Gravitationstheorie, ART)
3. Alter (Kernphysik)
4. Temperatur (Thermodynamik und Elektrodynamik)

10 KAPITEL 1. GEOMETRIE
• ANMERKUNG (DIE FUNDAMENTALEN KONSTANTEN DER PHYSIK)
Die vier Grundgrößen der Physik
1. c Lichtgeschwindigkeit 3. e Ladung des Elektrons
2. h Plancksches Wirkungsquantum 4. G Gravitationskonstante
sind nicht unabhängig, es gilt für sie die Sommerfeldsche Relation
α = e2
¯hc
Mit der Feinstrukturkonstanten α können wir jetzt für den wahren Ladungsradius des Elektrons
rel = f ∗ re mit f ∗ ≈ α
schreiben. Um eine natürliche Längeneinheit definieren zu können, benötigt man eine natürliche Masse. Die Massen der
heute bekannten Elementarteilchen werden als nicht fundamental angesehen (dafür gibt es zu viele davon), die Planck-
Länge
�
¯hG
l P =
� 1.6 · 10−33
c3 (1.21)
cm (1.22)
ist nicht natürlich (nämlich viel zu klein, lP/re = 10 −20 ).
Zum Schluß betrachten wir die dimensionslosen Verhältnisse der verschiedenen Längen, die sich ergeben, wenn wir eine
spezielle Masse wählen und erhalten die sog. Diracschen grossen Zahlen. Für den Aufbau der Planeten spielt
D1 = e2
≈ 1036
Gm2 ; m = mp (1.23)
die entscheidende Rolle. Für relativistische Materie ist e2 durch ¯hc zu ersetzen, D1 = αD2.
D2 = ¯hc
≈ 1038
Gm2 ; m = mp (1.24)
In groben Zahlen beträgt die Gesamtzahl der Baryonen im beobachtbaren Universum Nb,Univ ≈ 10 79 . Zwei weitere grosse
dimensionslose Zahlen erhält man, wenn man den Radius des Universums R = 10 28 cm ins Verhältnis zum Elektronenradius
re = 10 −13 cm setzt:
D0 = RUniv
re
≈ 10 41
Grössenordnungsmäßig ergibt sich dann die Dirac Relation
Nb,Univ = D0 × D2
wobei bisher niemand weiß, ob es sich hierbei um Zufall oder eine tiefliegende Naturerkenntnis handelt.
1.2 Längen: Radien und Entfernungen
Die Bestimmung von Radien und Entfernungen im Sonnensystem sind mittlerweile (durch Radarpeilung
an Planeten und durch Pulsankunftsmessung bei Pulsaren) so präzise bestimmbar, daß man genau
definieren muß, welche Größe überhaupt gemeint ist (Oberfläche, Schwerpunkt). Eine wichtige Frage
ist dabei die Konstanz dieser Größen in Bezug auf eine durch Atomuhren definierte Zeit.
Einige ausgewählte Längen bzw. Entfernungen haben wir bereits in Tabelle 1.1 zusammengestellt. Die
nebenstehende Tabelle fasst einige nunmehr klassische bzw.
neuer Ergebnisse (vom Astrometrie Satelliten Hipparcos) der
Entfernungsbestimmung, die weiter unten abgeleitet werden,
zusammen.
Die Entfernung Erde-Mond ist bis auf cm genau vermessen
(Lunar ranging experiment), sie schwankt aufgrund der Gezeiten
mit einer Amplitude von etwa einem Meter. Der Entfernung
Erde-Mond (etwa 400 000 km) entspricht eine Lichtlaufzeit
von 1.3 Sekunden. Der Durchmesser der Erdbahn,
also 2 AE, ist 3·10 13 cm oder 1000 Sekunden Lichtlaufzeit
(Ole Römer). Der Wert 1 pc = 3.0856 · 10 18 cm entspricht
Grundlängen der Milchstraße
(1.25)
(1.26)
D bzw. R Wert Bez.
Erde 6 378 km R⊕
Erde-Mond 60.2R⊕ DE-M
Erde-Sonne 2.3 · 10 4 R⊕ AE
Sonne-Hyaden 46.34 ± 0.27 pc GE
Sonne-Gal.Zen. 8.0 ± 0.5 kpc RG
Sonne-LMC 50 ± 0.5 kpc
Tab. 1.1: Grundlängen

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 11
3.26 Lichtjahre. Die theoretische Berechnung der Mondbahn ist auch heute noch zu kompliziert. Der
französische Astronom Charles Delaunay hat die Bahn des Mondes im Feld der Erde und der Sonne
mithilfe einer Störungstheorie 1847 berechnet. Er brauchte 20 Jahre dazu. Eine elegante Diskussion
findet sich in Klein und Sommerfeld: Theorie des Kreisels.
Die Bestimmung der Entfernung Sonne-Galaktisches Zentrum, mit 8.5 ± 0.5 kpc ist immer noch im
Fluß. Der Wert 8 kpc stammt von H2O-Maser Messungen (Trigonometrie und Dopplereffekt an der 1.3
cm Linie, Genauigkeit 1 km s −1 ). Beobachtungen an Radio und Röntgen Pulsaren ergeben dagegen 7.5
kpc. Die beste Bestimmung mit Hipparcos lieferte 8.5 kpc.
Die Große Maghellansche Wolke, mit einer Entfernung von 1.5·10 23 cm (entspr. 50 kpc oder 150 kyr
Lichtlaufzeit), ist da wesentlich genauer vermessen. Aufgrund der Supernova im Jahre 1987 ist auch
hier eine trigonometrische Entfernungsbestimmung möglich. Diese ist genauer als die des Galaktischen
Zentrums, da die Expansionsgeschwindigkeit viel größer ist als die eines Masers.
1.2.1 Entfernungen im Sonnensystem
Heute sind die Entfernungen im Sonnensystem dank Raumfahrt und Pulsaren so genau bekannt, daß
die Spezielle Relativitätstheorie und die Allgemeine Relativitätstheorie damit getestet werden können.
Das Ausmessen unserer nächsten Umgebung, d. h. des Systems Erde - Mond und des Sonnensystems
(mit immer wachsender Zahl an Planeten), hat lange gedauert, praktisch bis
ins 19. Jahrhundert.
Aristarch von Samos hatte als erster um 280 vor Chr. das heliozentrische
Weltbild vertreten; Kopernikus hat diese Hypothese (laut Galilei) nur wiederbelebt
und bekräftigt, keinesfalls erfunden (und das auch nur, wie böse
Zungen behaupten, weil ihm die Epizyklen des Ptolomäus zu unverständlich
waren). Aristarch war auch der Erste, der erkannte, daß die Erde sich am Tag
einmal um ihre Achse und im Jahr einmal um die Sonne dreht. Aristarch
hielt bereits die Sterne für andere Sonnen und schloß aus der Abwesenheit
einer beobachtbaren Parallaxe (bei der Erdbewegung um die Sonne), daß
die Sterne sehr viel weiter entfernt sein müßten als die Sonne. Er nahm ferner
an, daß es Leben auf anderen Planeten (um andere Sonnen) gebe.
Daß es 1800 Jahre dauerte bis — mit Kopernikus — wieder jemand solche
Gedanken äusserte, lag daran, daß schon die Zeitgenossen Aristarchs, die
Abb. 1.2: Erdbahnparallaxe bereits bei der Vorstellung, die Sonne sei so groß wie der Pelepones, außer
sich gerieten, seine Aburteilung wegen Häresie forderten (wie schon vorher bei Anaxagoras und später
bei Giordano Bruno und Galileio Galilei).
In der Abbildung ist π die Parallaxe des Sterns. Basislänge ist der Radius der Erdbahn, Re, bei ihrer
jährlichen Bewegung um die Sonne. Aus der Abwesenheit einer beobachtbaren Parallaxe (bei der
Erdbewegung um die Sonne) schloß man konsequenterweise auf die Richtigkeit des geozentrischen
Modells mit einem Fixsternhimmel (sic!).
Insbesondere Aristoteteles hat seine gesamte Philosophie auf diese eine fehlende Beobachtung gestützt
und damit einer rationalen Weiterentwicklung des Naturbildes enorm geschadet.
Merke: absence of evidence is not evidence of absence!
Ein schönes Beispiel von evidence of absence ist die Verdopplung des Universums durch Baade (durch
eine Neueichung der Entfernungsskala). In Anerkennung seiner Leistung und zum Merken das einge-

12 KAPITEL 1. GEOMETRIE
✛
✘
rahmte Zitat. Die einzelnen Schritte, die später genauer erläutert werden,
The Lord made the universe sind wie folgt. Auf der Entfernungsleiter ganz unten sind die RR Lyrae
but Baade doubled it. Sterne. An ihnen wurden die Cepheiden geeicht. Dazu diente die Kleine
Anonymus
Maghellansche Wolke, genauer die Cepheiden (vom Typ II) in deren Ku-
✚
✙
gelsternhaufen. Daran angeschlossen wurden die Cepheiden (vom Typ I) in
Andromeda (M31) und als Entfernung wurde 250 kpc von Hubble bestimmt. Bei einer Entfernung von
nur 250 kpc zu M31 (der heutige Wert beträgt 770 kpc) hätten dort aber RR Lyrae Sterne direkt beobachtet
werden müßen (und zwar bei m = 22m mit dem Palomar 5m Spiegel). Evidence of absence
führte Baade in diesem Falle zur Entdeckung der Populationen I und II bei Cepheiden (1944).
Nicht alle waren mit ihrer Entdeckung so erfolgreich wie Baade. Der umgekehrte Fall, wo die Evidenz
da war, aber die Zeitgenossen sie nicht glauben konnten (oder wollten), ist recht häufig vorgekommen.
Frühe Beispiele sind die Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit durch Ole Römer, 1650, oder Michells
Entdeckung der Doppelsterne, 1767, (von seiner Hypothese des schwarzen Lochs ganz zu scheigen).
Die Ablehnung Eddingtons der Arbeiten Chandrasekhars über Weiße Zwerge gehört zur neueren Geschichte.
Einsamer Höhepunkt: die Ablehnung der Einsteinschen Relativitätstheorie seitens der Nazi
Physiker.
• ZUSATZ (DER RADIUS DER ERDE ALS GRUNDLÄNGE)
Eratosthenes (300 vor Chr) hatte als erster eine halbwegs richtige Vorstellung von der Größe (heute: R⊕ = 6 378 km
am Äquator) und Form der Erde (Kugel). Allerdings konnte sich sein Weltmodell nicht durchsetzen. Die tatsächliche und
erfolgreiche Erkundung der Erde beginnt mit Kolumbus. Damit war auch die Frage des sich Zurechtfindens auf dem Globus
von fundamentalem (Überlebens)Interesse.
Die moderne Geodäsie geht auf Snellius (1617) zurück. Dabei wird eine (kurze) Strecke genau vermessen. Der Rest sind
Winkelmessungen (incl. Polhöhendifferenz). Daß die Erde aufgrund ihrer Rotation ein (an den Polen) abgeplattetes Ellipsoid
(Newton: Gleichgewicht von Zentrifugalkraft und Gravitationskraft liefert 230:229) sein müsse, sagten erstmals
Huygens und Newton voraus. Picard führte 1669/70 bei Paris die erste moderne Gradmessung der Erde durch. Diese Messungen
wurden von Jaques Cassini (und anderen) in Europa fortgesetz mit dem Ergebnis (1720), daß die Erde die Gestalt
einer Zitrone hatte.
Es entspann sich dann ein Steit zwischen Newtonianern (England) und Kartesianern (Frankreich — Descartes hatte eine
eigene Theorie mit Wirbelkräften). Um die Form der Erde endgültig zu bestimmen, sah man ein, mussten weiter auseinanderliegende
Meridiangrade gemessen werden und so wurden im Auftrag Ludwig XV. von der Pariser Akademie
zwei Expeditionen ausgerüstet, eine nach Peru (1736-1743), die andere nach Lappland (unter der Leitung von Maupertuis
1736/37). Das Ergebnis bestätigte die Newtonsche Gravitationstheorie: Die Abplattung war unstrittig, der Wert leider
nicht (Um den Ruhm einheimsen zu können, wurden die Messungen in Lappland von Maupertuis in größter Eile — gemeinsam
mit Clairault und Celsius — durchgeführt und ergaben einen Wert für die Abplattung, der doppelt so groß wie
der aus der Peru Expedition war). Endgültig wurde er (nach einer Wiederholung der Messungen in Lappland, wobei sich
die Richtigkeit der sorgfältigeren Messung in Peru ergab) 1803 bestimmt. Heute erhält man aus Satelliten-Messungen :
(Re − Rp)/Re = 1/298.25 mit Index e für Äquator und p für Pol.
Die Entfernung zum Mond
• ZUSATZ
Der Öffnungswinkel des Mond Durchmessers beträgt Θ ≈ 0. ◦ 5. Damit ist
DMond
DE-M
= sin Θ = 1
2
π
180
und damit DMond = 0.27D⊕. Hipparchus, der beim Vergleich von historischen Beobachtungen mit seinen eigenen die
Präzession der Äquinoxien entdeckte, konnte Winkel von etwa 240 arc sec mit der Armillasphäre messen. Die ersten
Präzisionsmessungen (auf 6 Stellen Genauigkeit) wurden von Bradley durchgeführt. Er bestimmte dazu sogar Temperatur
und Luftdruck.
Bis heute ist das System Erde - Mond von grossem physikalischen Interesse (Gezeitenreibung). Die
Parallaxe π = R⊕/D Erde-Mond = 3 422 ′′ (Winkelgrad) kann direkt gemessen werden. Die Methode des
Aristarch, der die Abbildung des Erdradius auf den Mond betrachtete, ist sogar noch genauer. Legen
wir den Erdradius R⊕ = 6 400 km als natürliche Grundeinheit für Längenmessungen zugrunde, dann

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 13
dann beträgt die Entfernung Erde-Mond: D E-M = 60.2R⊕ (Eratosthenes, der als erster die Entfernung
zum Mond bestimmte, erhielt 64R⊕). Bei bekanntem Öffnungswinkel des Mondes hat man damit auch
den Radius bestimmt: R = 1 738 km oder R = 0.27R⊕. Damit ist unser Mond größer als Pluto.
Erst Picards Wert des Erdradius war genau genug, Newtons Erklärung der Mondanziehung zu bestätigen
(s.u.). Newton behandelte auch als erster die Gezeitenkräfte im Erde - Mond - Sonne System.
Mit Lagrange und Laplace beginnt die systematische Behandlung des Keplerproblems mehrerer Körper
und damit die analytische Geometrie mit ihren Invarianten der Bewegung. Laplace gelingt es so, gewisse
Diskrepanzen, die Halley aus der Prüfung alter und neuer Mondfinsternisse erschlossen hatte (der
Mond lief früher langsamer um die Erde um, Jupiter schien in die Sonne zu fallen, Saturn das Sonnensystem
zu verlassen), als säkulare (langzeitige) Störungen des Planetensystems zu erklären. Aus Ebbe
und Flut Beobachtungen (die er einige Jahre in Brest anstellen ließ) bestimmte er (als erster direkt) die
Masse des Mondes zu (M⊕/M Mond = 80/1). Der moderne Wert beträgt 81.3.
M⊕
M Mond
= 81.3
Die Mondbahn ist um i = 5◦9 ′ gegen die Erdbahnebene (Ekliptik) geneigt. Die Bahn hat eine Exzentrizität
von e = 0.0549. Vom Schwerpunkt des Erde
- Mond Systems aus gemessen heißt die kleinste
Entfernung Perigäum, die größte Apogäum. Der
mittlere Bahnradius beträgt D = 384 400 km und
die Umlaufgeschwindigkeit v = 1.01 km s−1 Daten des Erde - Mond Systems
.
Perigäum Rp = a(1 − e) = 356.410 km d = 33 ′ 31 ′′
Apogäum Ra = a(1 + e) = 406.697 km d = 29 ′ 22 ′′
Tab. 1.2: Erde - Mond System
Mondumlauf und Rotation sind synchron, des-
halb sieht man von der Erde aus stets die gleiche Seite des Mondes.
Die Geometrie der Bewegung Erde – Mond – Sonne sieht etwa folgendermassen aus:
D E-M = 60R⊕ und D E-S = 23 000R⊕
Daraus ergibt sich eine Kernschattentiefe hinter der Erde von 217R⊕. Bei einer Sonnenfinsternis beträgt
der Kernschatten bei größter Mondannäherung 264 km im Durchmesser. Er wandert mit einer
Geschwindigkeit von 35 km/min über die Erde, die maximale Dauer (an festem Ort) beträgt 265/35 =
7.57 Minuten.
Die Daten für die Sonnenfinsternis von 1999: maximale Dauer 2 Minuten 23 Sekunden, Kernschattenradius
100 km. Nur bei wolkenlosem Himmel wird es im Kernschatten wirklich dunkle Nacht, bei
starker Bewölkung nur neblig grau.
Die Astronomische Einheit
Für die Sonne allerdings beträgt die Parallaxe
π = R⊕/D Erde-Sonne = 8.8 ′′
was unmessbar ist. Eratosthenes, der als erster die Entfernung zur Sonne bestimmte, erhielt 1 160R⊕,
Tycho Brahes Mauerquadrant erlaubte Messungen mit einer Genauigkeit von 25 ′′ . Man kann leider nur
abschätzen, daß die Sonne ’sehr weit’ entfernt ist.
Aus der Größe des Erdschattens auf dem Mond bei einer Mondfinsternis schloß Aristarch, daß die
Sonne viel größer als die Erde sein müsse. Bis zu Newtons Zeit war die Entfernung zur Sonne nur
sehr ungenau bekannt. Um trozdem zum Ziel zu kommen, verwendet man ein in der Astronomie gebräuchliches
Verfahren und legt einen Zwischenschritt ein: man bestimmt zunächst die Entfernung zu
einem Planeten (und dessen Umlaufperiode P um die Sonne).

14 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Nach dem 3. Keplersche Gesetz gilt dann für die Entfernung Erde-Sonne:
� �2/3
P⊕
DErde−Sonne = DErde-Planet. PPlanet Diese Methode wurde 1672 von Cassini am Mars und 1835 von Encke an der Venus (nach dem Vorschlag
von Halley, 1716, in Absorption vor der Sonne) angewandt, mit dem Ergebnis:
1AE = D Erde-Sonne = 2.3 · 10 4 R⊕ = 1.49 · 10 13 cm
Die genauesten Messungen (Fehler am Fernrohr 2 ′′ ) stellte am Anfang des 18. Jahrhunderts Bradley
an, der, im Bemühen Sternparallaxen zu messen,
1. die Aberration des Lichts (1728) und
2. die Nutation der Erde (1747 s.u.)
entdeckte. Bradley kann als Begründer der Präzisionsmessungen gelten. Er erreichte als erster sechsstellige
Genauigkeit und setzte damit den Standard für Beobachtung und Rechnung für künftige Generationen
(Laplace, Bessel, Gauß und Poincaré). Seine Bestimmungen der Aberration des Lichts waren
der erste direkte Nachweis, daß die Erde sich um die Sonne bewgegt.
Der Aberrationswinkel α ist in einfachster Näherung gegeben durch
tan α = v⊥
c
(1.27)
wobei v⊥ die Komponente senkrecht zur Visionsrichtung ist. Die Umlauf - Geschwindigkeit der Erde
um die Sonne beträgt etwa 30 km s −1 , was für v/c etwa 10 −4 ergibt. Ausgedrückt als Winkel sind das
20.47 ′′ . Jeder in der Bahnebene gelegene Stern beschreibt eine Linie, jeder senkrecht auf der Ekliptik
stehender Stern einen Kreis mit dieser Amplitude.
Die Parallaxe, auch der nächsten Sterne, ist sehr viel kleiner. Proxima Centauri hat π = 0.77 ′′ bei
r = 1.3 pc Entfernung (s.u.).
• ZUSATZ (ENTDECKUNG DER PLANETEN UND GENAUIGKEIT IHRER BAHNEN)
Mit dem Bau immer leistungsfähigerer Teleskope, der auch heute noch nicht abgeschlossen ist, wurden immer neue Objekte
entdeckt.
Eine der (bis heute unbeantworteten) Urfragen (Kepler) an die Kosmogonie war die Frage, ob es eine Gesetzmäßigkeit beim
Aufbau des Planetensystems der Sonne gibt. Nach dem Titius-Bode Gesetz (1772) kann man die Entfernung der Planeten
von der Sonne rp durch folgende Formel beschreiben:
rp(n) = 0.1 × (4 + 3 × 2 n ) AE mit n = −∞, 0, 1 . . . 7 (1.28)
Dieses ’Gesetz’, das keines ist, war jedenfalls eine Orientierungshilfe beim Entdecken neuer Objekte im Sonnensystem. Es
waren dies unter anderem:
1. Uranus: Herschel, der größte Astronom der Neuzeit, entdeckt ihn 1781 durch Zufall.
2. Piazzi in Italien entdeckt den ersten Asteroiden (Ceres). Die Anzahl von Piazzis Beobachtungen und die damalige
Mathematik reichten nicht aus, um die Bahn zu bestimmen. Die Entdeckung drohte verloren zu gehen. Davon hörte
Gauß und im November 1801 lieferte er die allgemeine Lösung. Der Asteroid wurde daraufhin wiedergefunden.
3. Neptun wurde von Leverrier (1846) berechnet und von Galle (in Berlin) sofort gefunden.
4. Pluto wurde von Lowell (1930) bestimmt und von Tombaugh entdeckt. Neuerdings wird Pluto nicht mehr zu den
Planeten gezählt, er ist das größte Mitglied (Asteroid) im Kuiper Gürtel.
Begleitet wurden die Himmelsbeobachtungen durch die Ausarbeitung einer Himmelsmechanik – der Lehre von der Bewegung
der Himmelskörper – durch Lagrange und Laplace und ihre Schüler. Laplace konnte so aus den Störungen der
Planetenbahnen die Masse der Sonne (ähnlich wie beim Mond!) direkt bestimmen. Diese Rechnungen wurden durch seine
Schüler immer weiter vervollkommnet und gipfelten in der korrekten Vorhersage (Herschel hatte Uranus noch durch Zufall
gefunden!) der Position zweier Planeten (aufgrund von Bahnstörungen): Neptun wurde von Leverrier (1846) berechnet und
von Galle (in Berlin) sofort gefunden; Pluto wurde von Lowell (1930) bestimmt und von Tombaugh entdeckt.

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 15
Die Rechnungen Leverriers stimmten mit den Beobachtungsdaten hervorragend überein, mit einer Ausnahme: bei Merkur
ergab sich eine Abweichung im Voreilen des Perihels um 43 ′′ (von insgesamt 5599 ′′ ). Leverrier vermutete daraufhin einen
weiteren Planeten als Grund der Störung und berechnete seine Position (näher an der Sonne als Merkur, deshalb am besten
in Absorption vor der Sonne zu beobachten). Vulkan, wie Leverrier seinen Planeten nannte, wurde nie gefunden (trotz vieler
gegenteiliger Behauptungen). Daß es sich nicht um Beobachtungsfehler handelte, zeigte Einstein in seiner Arbeit (1915)
’Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie’. Bis heute halten sich Spekulationen,
daß im Sonnensystem ein zweiter unsichtbarer Stern (mit Namen Nemesis) verborgen sein könnte.
In neuerer Zeit haben Oort (Oortsche Wolke) und Kuiper (Asteroidengürtel) auf das Vorhandensein weiterer Ansammlungen
von Materie (Kometen Reservoir) hingewiesen.
Bis 1961 waren Messungen am Asteroiden Eros, einem erst 1898 entdeckten ziegelähnlicher Brocken
mit den Abmessungen 22 km (Länge) mal 6 km (Durchmesser), die genauesten, da Eros sich bis auf
0.12 AE der Erde nähert. Die Reduktion der Daten zwischen 1901 und 1945 ergab π = 8.8 ′′ . Seitdem
haben Radarmessungen die Genauigkeit so weit gesteigert, daß Entfernungen im Sonnensystem heute
auf etwa 1 km genau sind:
1AE = 149597892 km (1.29)
dabei sind 1 km etwa durch die Unebenheiten der Planeten gegeben.
• ZUSATZ (DATEN ZUR ERDBAHN)
Für die Erdbahn ergibt sich folgendes:
Periheldistanz Rp = a(1 − e) = 147 · 10 6 km; vp = 30.3 km s −1 Periheldurchgang: Anfang Januar
Apheldistanz Ra = a(1 + e) = 152 · 10 6 km; va = 29.3 km s −1 Apheldurchgang: Anfang Juli
Damit beträgt die lineare Dopplerverschiebung β = v/c ≈ 10 −4 .
1.2.2 Die nächste Umgebung der Sonne
Normalerweise versteht man unter der nächsten Umgebung der Sonne, rein phänomenologisch, diejenige
Entfernung, die noch mit geometrischen Mitteln (Parallaxe) direkt bestimmt werden kann. Dazu
zählten bis vor kurzem einzelne Sterne mit bis zu 25 pc Entfernung und Sternhaufen mit bis zu maximal
1 kpc Distanz. Für weitergehende Entfernungsbestimmungen musste ein kompliziertes System
von Eichkerzen verwendet werden. Messungen mit dem Astrometrie Satelliten Hipparcos haben hier
enorme Fortschritte gebracht.
Der enorme technische Forschritt, zusammen mit einigen (für den Astronomen glücklichen) Ereignissen
(wie der Supernova 1987A), ermöglicht neuerdings (seit mit VLBI im radio und mit dem HST im
optischen Bereich Präzisionsmessungen auf einer Skala von µas bzw. mas zu Verfügung stehen) auch
kinematische Entfernungsbestimmungen bis zu 4 Mpc! Dabei wird die Expansion einer Kugel einerseits
direkt über die Winkeländerung (Parallaxe), andererseits über die Dopplerverschiebung bestimmt.
Die Änderung des Radius ist dann gegeben durch R = vt = ∆θd.
Relevante Beispiele, wo diese Methode bereits Ergebnisse gebracht hat, sind:
1. H2O-Maser (Orion, gal. Zentrum).
2. Nova mit Planetarem Nebel (stingray nebula).
3. Supernovae mit Supernova Überresten (SN 1987A in LMC und SN 1993J in M81).
Diese erlauben mittlerweile Entfernungsbestimmungen zu ausgewählten Gebieten mit einer formalen
Genauigkeit von weniger als 1% über grosse Entfernungen hinweg.
Wir fassen im folgenden zunächst kurz die klassischen Ergebnisse zusammen. Betelgeuze und Rigel
sind sehr bekannte Sterne im Sternbild Orion. Sie gehören zu den scheinbar und absolut hellsten Sternen
unserer Milchstraße und sie werden uns noch häufiger beschäftigen.

16 KAPITEL 1. GEOMETRIE
• ANMERKUNG (FRÜHE VORSTELLUNG VON DER ENTFERNUNG ZUM NÄCHSTEN STERN)
Roger Bacon (1214 - 1294, nicht zu verwechseln mit Francis Bacon) zitiert (den arabischen Philosophen) Alfar’abi (870
- 950) in seinen ’Opus Majus’, der die Entfernung zur Fixsternsphäre mit d = 130 715 000 römischen Meilen (zu 1000
rechten Füßen) bestimmte. Das ist 0.2 AE, also etwa 10 −6 der Entfernung zum nächsten Stern und 10 −10 zum galaktischen
Zentrum!
Eine realistische Bestimmung der Entfernung zum nächsten Stern hat naturgemäß am längsten gebraucht.
Die Sterne der Sonnenumgebung haben keinen gemeinsamen Ursprung. Es handelt sich also um eine
zufällige Ansammlung irgendwelcher Sterne, welche sich wahllos relativ zueinander bewegen. In
einigen Myr (1Myr = 10 6 Jahre) werden es ganz ande-
re Sterne sein. Allerdings ist die Lage der Sonne insofern
ausgezeichnet, als sie sich nur 500 pc von einem
massiven Wolkenkomplex entfernt befindet (dem Orion
Nebel mit dem Trapezium Komplex). Exotische Objekte
wie Geminga oder massive Schnellläufer könnten von
dort gekommen sein.
In der nebenstehenden Tabelle bedeutet D Distanz von
der Sonne; ly: Lichtjahr, 1 ly = 9.4605 · 10 17 cm (1 pc
Name D π mv
ly ′′ mag
Sonne −26.72
Proxima Cen 4.22 0.772 11.05
α–Cen (A,B) 4.35 0.75 −0.01
Barnards Stern 5.98 0.545 9.54
Sirius 8.65 0.377 −1.46
= 3.26 ly = 3.0856 · 1018 cm); und π: Parallaxe in Bogensekunden
(π/1 ′′ = 1pc
Arkturus 36 0.1 −0.20
Wega 26 0.125 0.03
). Die scheinbare visuelle Hel-
D Betelgeuze 310 0.012 0.10
ligkeit mv ist in Magnituden angegeben. Aufgeführt sind Canopus 600 0.006 -0.73
die nächsten (mit gemessener Parallaxe) bzw. die hell-
Rigel 900 0.003 0.15
sten Sterne. Barnards Stern hat die größte Eigenbewegung.
Mit µ = 10.25 Bogensekunden pro Jahr, was mit
Tab. 1.3: Bekannte Sterne
v = µ/π einer (orthogonal) Geschwindigkeit von 89 km s−1 entspricht, hat dieser Stern fast schon die
Geschwindigkeit von Pulsaren. Betelgeuze (α Ori) und Rigel (β Ori) sind viel langsamer und liegen
im Sternbild Orion, letzterer gehört (mit vielen anderen Sternen von Kopf, Gürtel und Schwert) auch
physisch zu Orion.
Wega (α Lyrae) liegt im Sternbild Leier und Canopus (α Car) im Sternbild Carina. Es handelt sich um
besonders leuchtstarke Sterne, Canopus hat die absolute Helligkeit von M = −8.5, was L = 105L⊙ entspricht. Wega ist nur 8 pc entfernt und wird mittlerweile als Eichstern benutzt.
Betelgeuze (M = −5.28; L = 104L⊙) ist der erste Stern (außer der Sonne), dessen Radius direkt (also
nicht interferometrisch oder über Spekle Interferometrie) gemessen wurde (1996, mit dem HST).
Die nächsten Sterne
Eine erste Vorstellung von der relativen Entfernung bekam bereits Huygens dadurch, daß er die Helligkeit
der Sonne (deren Entfernung er allerdings nicht genau kannte) mit der des Sirius verglich. Dazu
bohrte er Löcher in eine Messingplatte und schwächte das Sonnenlicht weiter durch eine Glasperle.
Er kam so zu der Auffassung, daß Sirius etwa 27 664mal so weit entfernt sei wie die Sonne, was einer
Entfernung von 1/2 Lichtjahr entspricht. Tatsächlich ist Sirius 8.8 Lichtjahre entfernt (und heller als
die Sonne).
Durch eine geniale (Variante der Huygenschen) Idee des schweizer Astronomen Jean-Philippe Löys de
Chéseaux (1744) war es diesem möglich die Entfernung zum nächsten Stern zu bestimmen, 100 Jahre
bevor Bessel eine direkte Messung gelang: die Entfernung zwischen Erde und Mars ändert sich und
damit die relative Helligkeit des Mars. Chéseaux kannte D = Entfernung Erde-Mars, R = Entfernung
Mars- Sonne und b = Radius von Mars. Die scheinbare Helligkeit des Mars ist dann gegeben (bei
idealer Reflektion) durch
f Mars = (πb 2 )
�
L⊙
4πR2 � �
1
4πD2 �
(1.30)

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 17
Die Gleichung ist folgendermassen zu verstehen: Wie im Abschnitt Eichung der Sternhelligkeiten ausgeführt,
wird mit Leuchtkraft, L, Einheit: erg s −1 , der totale Energieverlustrate eines Sterns, L = ˙ E,
bezeichnet. Bei isotroper Abstrahlung kommt im Abstand D (bei Euklidischer Geometrie) ein Strahlungsfluß
f beim Beobachter an, also
f = L
4πD 2
(1.31)
Der Strahlungsfluß f (Einheit: erg cm −2 s −1 ) ist also das Maß zur Bestimmung der Leuchtkraft L des
Sterns, wenn man seine Entfernung D kennt. Im Falle Sonne Mars ist der einfallende Strahlungsfluß
fein also fein = L⊙/4πR 2 . Die Fläche senkrecht zum Einfall ist πb 2 . Bei idealer Refektion beträgt
dann die Leuchtkraft L Mars = (πb 2 )(L⊙/4πR 2 ). Auf dem Weg zur Erde wird sie nochmals reduziert um
den letzten Faktor. Setzt man diese gleich der scheinbaren Helligkeit des Sterns, f = (Ls/4πd 2 ), so
folgt unter der Annahme Ls = Sternhelligkeit = Sonnenhelligkeit = L⊙ für den unbekannten Abstand
d zum Stern:
d = 2 RSonne−Mars
DErde−Mars
bMars
(1.32)
Chéseaux erhielt so einige Lichtjahre (in Übereinstimmung mit der wahren Entfernung der nächsten
Sterne), allerdings war seine Annahme über die Leuchtkraft des nächsten Sterns nicht korrekt (gleiches
gilt für den Refektionskoeffizienten des Mars). Beide Fehler heben sich in etwa auf. Die Formel von
Chéseaux ist mittlerweile wieder hochaktuell, wie folgende Anmerkung zeigt.
• ANMERKUNG (DIREKTER NACHWEIS VON EXTRASOLAREN PLANETEN)
Der Nachweis extrasolarer Planeten beruht bisher darauf, die Dopplerverschiebung an möglichst vielen Linien des Primärsterns
zu messen. Neuerdings kennt man auch Fälle, wo der Primärstern seine Planeten verschlingt (Kannibalismus).
Zum direkter Nachweis von extrasolaren Planeten kann man versuchen, das am Planeten reflektierte Licht eines Primärsterns
zu beobachten. In der Form
fPlanet = A(πb 2 )
� LStern
4πR 2
� �
1
4πD2 �
wobei A der Reflexionskoeffizient (die Albedo) ist, kann die Chéseaux Formel als Grundlage dienen, zur Abschätzung der
Möglichkeit, ob das reflektierte Licht eines extrasolaren Planeten direkt von der Erde aus nachgewiesen werden kann. Das
Licht des Zentralsterns muß dazu ausgeblendet werden.
Aus seinen Messungen konnte Bradley schließen, daß Fixsternparallaxen kleiner als 1 ′′ sein müßten.
Beim Vergleich seiner Positionsbestimmungen von Sirius, Procyon und Arcturus mit denen von Hipparch
stellte Halley (1718) fest, daß diese keineswegs fix sind, sondern eine Pekuliarbewegung aufweisen.
• BEISPIEL (STERNE MIT GROSSER PEKULIARBEWEGUNG)
Die größte Pekuliarbewegung (also meßbare Parallaxe) haben
1. Kapteyns Stern (D = 4 pc) hat 8 ′′ , 89 yr −1 (entspricht v = 245 km s −1 und
(1.33)
2. Barnards Stern (D = 1.5 pc) hat 10 ′′ , 3 yr −1 (entspricht v = −108 km s −1 . Es handelt sich hierbei um Schnellläufer.
Es handelt sich hiebei um besonders nahe Sterne.
Pulsare sind schnell, allerdings nicht unbedingt nah. Der Pulsar PSR J0633+1746 (Geminga) ist der nächst gelegene (Entfernung
D = 157 pc) γ−ray Pulsar mit einer Periode von P = 237 ms und einem formalen Alter von 30 kyr. Seine
Pekuliarbewegung ist messbar
µα = 0.138 ′′ yr −1 , µδ = 0.097 ′′ yr −1
Die Pekuliargeschwindigkeit beträgt damit v = 122 km s −1 .

18 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Auf dem Wege zur Parallaxenbestimmung wurden auch noch eine Klasse besonders wichtiger Sterne
entdeckt: die Doppelsterne (bzw. Mehrfach - Sternsysteme). Erstmals beschrieben wurde mit
Omikron Ceti (1596) von David Fabricius ein
veränderlicher Stern. Riccioli löste 1650 Mizar
Daten zu Algol (βPer)
(Zeta Ursae Majoris, der vorletzte Stern in der Parameter Primärstern Begleiter
Deichsel des grossen Wagens) in zwei Kom- Masse 6.54·10
ponenten auf (was Indianer Nordamerikas mit
blossem Auge konnten und als Sehtest benutzten).
Der im Jahre 1667 von dem Bologneser Astronomen
Gemiani Montanari als veränderlich beschriebene
Algol (Beta Persei) wurde 1782 von
John Goodricke als Kurzzeit Bedeckungsveränderlicher
33 g 1.64·1033 g
Radius 2.51·1011 cm 2291·1011 cm
Sp Typ B8V K2III
Leuchtkraft 5.95·1035 erg s−1 2.44·1034 erg s−1 Rotationsperiode 2.8673 d 2.8673 d
Abstand 1.02·1012 cm; Orbitalperiode 2.8673 d
Tab. 1.4: Algol
(Periode: 2.86 Tage, Dauer der Bedeckung: 9.8 Stunden) erkannt. Ein weiteres Jahrhundert verging,
bis man seiner Deutung Glauben schenkte.
Heute weiß man, daß Algol ein Tripel System ist, der dritte Stern hat eine Periode von 1.9 Jahren.
Algol ist ein wichtiger Vertreter und Namensgeber für aktive halbgetrennte Systeme, da es ein naher
Bedeckungsveränderlicher ist. Alle Bahnparameter können sehr genau bestimmt werden. Algol ist sogar
ein Radio und Röntgen Stern, mit starken Ausbrüchen in beiden Frequenzbereichen (etwa alle zwei
Bahnumdrehungen). Die Änderungen im optischen kommen dagegen rein geometrisch zustande. Die
Röntgenleuchtkraft beträgt im Maximum eines Ausbruchs LX = 3 · 1032 erg s−1 gesamten Leuchtkraft des Begleiters, Algol B.
, das sind 1% der
Wir wollen das Doppelsternsystem Alcor (arab: das Reiterchen) und Mizar genauer betrachten. Das
menschliche Auge kann Winkel von 1’ gerade noch auflösen. Bei genauerer Analyse mit dem Teleskop
stellt sich heraus, daß die beiden Sterne nur zufällig zusammenstehen (Zufallsprojektion). Es handelt
sich um einen optischen Doppelstern (optical double) oder optisches Binärsystem (Abstand 11’).
Mizar ist allerdings dennoch, wie man im Teleskop entdeckt, ein enges Doppelsternsystem, bestehend
aus Mizar A und Mizar B. Hier können beide Komponenten getrennt und spektroskopiert werden, es
handelt sich um ein visuelles Doppelsternsystem (Abstand 14”5, Periode 3 kyr). Schaut man sich die
Dopplerverschiebung genauer an, dann ist jeder der beiden nochmals ein Doppelsternsystem (Periode
von Mizar A 20.5 d)). Da der Begleiter hier nur über die Dopplerverschiebung erkennbar ist, handelt
es sich um ein spektroskopisches Doppelsternsystem. Insgesamt handelt es sich demnach ein hierarchisches
Quadrupelsystem und falls Alcor dazu gehört (gleiche Geschwindigkeit), dann sogar um ein
in Auflösung begriffenes Quintupel.
Aufgrund statistisch korrekter Überlegungen interpretierte J. Michell 1767 solche und viele andere
als physische Doppelsterne, d. h. gravisch gebundene Systeme. Von Christian Mayer wurden diese
ab 1777 systematisch beobachtet (welche er in einem Katalog mit 80 sogenannten ’Fixsterntrabanten’
veröffentlichte), aber niemand glaubte daran, insbesondere William Herschel (der bedeutendste
Beobachter der Neuzeit) nicht.
Aufgrund 25-jähriger Beobachtungen (um die jährliche Parallaxe der erdnächsten zu bestimmen) wurde
Herschel 1803 zu der Erkenntnis gezwungen, daß es sich bei vielen scheinbar zusammenstehenden
Sternen tatächlich um physische (d. h. gravisch gebundene) Doppelsterne handelte. So konnte er an
Castor (α Geminorum) die Separation von 4, ′′ 58 direkt messen und ihre zeitliche Änderung feststellen.
Damit war die Existenz von Doppelsternen etabliert. Mittlerweile kennt man schon Doppelsterne
mit Planeten.
Bessel hat dann 1839 an 61 Cygni die erste Parallaxenbestimmung vorgenommen, mit dem Ergebnis
π = 0.296 ′′ . Solche Messungen benutzen die Erdbahn als Grundlinie (1 AE = 1.5·10 13 cm) und sind
Relativmessungen (bezogen auf die Fixsterne).

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 19
• ANMERKUNG
Um die Leistung von Bessel zu ermessen, mache man sich folgendes klar: Das theoretische Auflösungsvermögen eines
Teleskops mit Durchmesser D beträgt für Licht der Wellenlänge λ:
Θmin = 1.22 λ
D und 1′′ =
2π
360 · 60 · 60 =
1
≈ 4.85 · 10−6
206 265
also können auch die größten Teleskope (D = 10 m) bei einer Wellenlänge von λ = 5000 ˚A = 5 · 10 −5 cm bestenfalls
Θmin ≈ 10 −7 ≈ 0.02 ′′ auflösen. Die Auflösung des HST (D = 2.4 m) beträgt 0.1”, im UV 0.05”.
Dabei setzt die (Turbulenz der) Erdatmosphäre eine Grenze – das sog. seeing – von 0.01 ′′ für kurzzeitige Beobachtung und
von 1 ′′ für lange Zeiten). Um die Parallaxe von 61 Cyg zu messen, benötigt man ein Teleskop mit 35 cm Durchmesser.
Tatsächlich kann man man Winkel natürlich nicht mit absoluter Genauigkeit messen, sondern nur relativ zu echten Fixsternen
und zwar mit einem Mikrometer im Strahlengang. Man benötigt also einen Fundamentalkatalog, dessen Positionen
vorher durch Sterndurchgang bestimmt wurden.
Umgekehrt würde ein Stern mit Radius 1 AE (roter Riese) im Teleskop auf 1” abgebildet, falls er 1 Parsec entfernt ist. Der
nächste rote Riese ist allerdings 100 pc entfernt (Betelgeuze = α Ori im Sternbild Orion), somit kann man Sterne gerade
(von der Erde aus) nicht auflösen, sie sind Punktquellen. Mit Interferometrie oder mit dem HST ist das aber möglich.
Es ist in der Astronomie üblich, die Namen von Objekten, die (wie die Sterne) nicht aufgelöst werden können mit der
Endsilbe ar zu versehen: Quasar, Pulsar, Blasar . . .
Dabei ist ein Pulsar (oder Magnetar) wirklich ein Stern (dazu noch mit Radius 10 km), ein Quasar (oder Blasar) jedoch eine
Galaxie in kosmologischer Entfernung.
Als neue Grundeinheit haben wir so das Parsec, pc, (Parallaxen Sekunde).
Ein Parsec ist die Entfernung unter der die Astronomische Einheit, AE, (also der Bahnradius!)
unter einem Winkel πo von einer Bogensekunde erscheint:
sinπo = AE/pc = 1/206 265
Der Wert 1 pc = 3.0856·10 18 cm entspricht 3.26 Lichtjahre.
Erscheint umgekehrt der Durchmesser D eines Objekts unter einem Winkel α Bogensekunden und
kennt man die Entfernung d, dann gilt zunächst
D = αd
206 265
oder in Parsec, Astronomischen Einheiten und Bogensekunden
D
pc
= 2α d
AE
Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts war eine Bogensekunde die Auflösungsgrenze der Teleskope und
demnach die Entfernung der allernächsten Sterne gerade messbar. Der nächste Stern, Proxima Centauri,
ist 270.000 AE von der Sonne entfernt!
Zur Bestimmung der Parallaxe eines Sterns wird dieser im Abstand von 1/2 Jahr fotografiert, und seine
Position mit echten Fixsternen (d. h. sehr weit entfernten Sternen) verglichen. Die besten (langbrennweitigen)
Instrumente bilden immer noch mehr als 13 ′′ pro Millimeter ab, sodaß die Auflösung bei
0.04 ′′ (entsprechend 25 pc) liegt. Die scheinbare Eigenbewegung senkrecht zur Blickrichtung erhält
man nach mehreren Jahren, während die Radialgeschwindigkeit mithilfe des Dopplereffekts gemessen
werden kann.
Damit erhält man ein vollständiges Bild der Dynamik der (sichtbaren) Sterne in Sonnennähe. Unter
den 5776 mit blossem Auge sichtbaren Sterne sind weniger als 400 sonnennah (Entfernung < 25 pc).
Mehr als die Hälfte aller (entdeckten) Sterne in Sonnenumgebung sind Doppelsterne, viele Begleiter
sind Weiße Zwerge.
Die beiden Sterne mit den größten Eigenbewegungen sind nicht nur nah sondern auch noch besonders
schnell (Schnellläufer = engl. runaway stars). Es stellt sich damit die Frage, wieviel sonnennahe Sterne
gibt es wirklich, d. h. wieviele hat man bis jetzt übersehen (Dunkelsterne)?
(1.34)

20 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Synopsis: Sonnennahe Sterne
Sonnennahe Sterne sind seit der Entdeckung von Planeten um einige von ihnen wieder von besonderem
Interesse. Dabei muß berücksichtigt werden, daß es sich bei diesen nur um Sterne mit nachweisbaren
(also hinreichend massiven und kurzperiodischen) Trabanten handelt. Typische Abstände sind 10 pc
und mehr, der nächste ist Gliese 876 in einer Entfernung von 4.7 pc (der erste, 51 Peg, ist 15.4 pc
entfernt).
Name Entfernung Helligkeit Farbindex Spekt.Typ
Bezeichnung Lichtjahr mv Mv B-V
zum Vergleich
Sonne 1.5 · 10 −5 -26.72 4.85 0.65 G2
Mond -12.7
Venus -4.07
Die nächsten Sterne
Proxima Centauri 4.22 11.05 15.49 1.97 M5
α–Centauri A † 4.35 −0.01 4.37 G2
α–Centauri B † dito 1.33 5.71 K6
Barnards Stern 5.98 9.54 13.22 M5
Die hellsten (mv) Sterne der Galaxis
Sirius A ‡ 8.65 −1.46 1.4 0.00 A1
Sirius B ‡ DA
Canopus 200 −0.73 −4.6 F0 I
Arkturus 36 −0.06 0.1 K0
Wega 26 0.03 0.5 0.00 A0
Rigel 900 0.1 −7.0 B8
Deneb 1800 1.26 −7.2 A2
Die historisch ersten Parallaxen
π/ ′′ Entdecker Jahr
61 Cygni 11.2 5.2 0.29 Bessel 1838
Wega 26 0.03 0.12 Struve 1839
α–Centauri 4.35 -0.01 0.76 Henderson 1840
Die größten Eigenbewegungen
π( ′′ /y) v(km/s)
Kapteyns Stern 12.7 8.8 0.256 8.89 245 ♯
Barnards Stern 5.98 9.54 0.552 10.31 −108 ♯
† : Doppelstern; ‡ Weißer Zwerg Begleiter: ♯ : Schnellläufer (runaway)
Der Stern Wega (alternative Bezeichnungen: α Lyrae = BD +38 3238 = HD 172 167) ist ein wichtiger
Eichstern. Er wird später noch genauer betrachtet.
Castor (α Geminorum), einer der hellsten Sterne der Galaxis, ist ein 6faches Sternsystem. Es handelt
sich dabei um ein hierarchisches Tripelsystem. Die beiden hellsten Komponenten laufen mit einer

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 21
Periode von etwa 300 Jahren umeinander, und um diese läuft die dritte Komponente in 10 000 Jahren
um. Jede dieser Komponenten ist selbst wieder ein Doppelstern.
Vermutlich handelt es sich hier, wie zuerst von Ambartzumian diskutiert, um ein Überbleibsel von einem
offenen Sternhaufen. Die Erzeugung solcher hierarchischer Multisysteme ist sehr selten, normalerweise
laufen solche Sternsysteme nach einigen Myr auseinander, wie Komputersimulationen gezeigt
haben (s. Trapezium Sterne).
Betelgeuze (α Ori) im Sternbild Orion
Ein Stern von beträchtlichem Interesse ist der Rote Überrriese Betelgeuze (engl: Betelgeuse). Er liegt
im Sternbild Orion und bildet den Schulterstern des Jägers (gr. Orion). Direkt messbar sind die folgenden
klassischen Daten:
1. Koordinaten (1900) : α = 5 h 49.8, δ = 7 ◦ 7 ′ .23. Liegt räumlich vor Orion.
2. Parallaxe. Sie beträgt π = 0.047 ′′ , was eine Entfernung von d = 100 pc liefert.
3. Eigengeschwindigkeit. Es ist µ = 0.032 ′′ yr −1 , oder v = µd = 15 km s −1 .
4. Die scheinbare Helligkeit beträgt mV = 0.7. (MV = −4.1).
Neu sind die folgenden beobachteten Eigenschaften des Sterns selbst. Alle Parallaxen werden wir hier
in mas (MilliArcSec) angeben. Im UV ( λ = 2 550 ˚A) kann das HST die Chromosphäre auflösen. Der
Durchmesser beträgt 113 mas. Gleiches gilt für Radiobeobachtungen mit dem VLA (Beamsize: 45
mas, bei λ = 7 mm). Bei einer Entfernung von D = 100 pc ist das ein Radius von 370 R⊙ (Marsbahn).
Die Chromosphäre reicht (im UV) sogar bis 800 R⊙ (Jupiterbahn).
Die Leuchtkraft beträgt (Entfernung D = 100 pc) L = 10 4 L⊙ oder (MV = −4.1), die Oberflächentemperatur
ist 3200 Kelvin. Der Stern ist deutlich deformiert, und zwar ist er in einfachster
Näherung eine Ellipse. Er zeigt (für sein geschätztes Alter extrem) starken Massenverlust, die Rate
beträgt ˙ M = 2 · 10 −7 M⊙ yr −1 . Der Stern oszilliert, der Anregungsmechanismus dafür ist unbekannt.
Die spektroskopische Klassifizierung ist M2 Iab. Die aktuelle Masse kann damit zu M = 9M⊙ abgeschätzt
werden. Nach Modellrechnungen von I. Iben braucht ein solcher Stern 21 Myr bis zum
Verlassen der Hauptreihe und nochmals 0.6 Myr bis zur Entwicklung des Roter Riese Stadiums in dem
er sich jetzt befindet. In 27 Myr kann Betelgeuze mit 15 km s −1 = 15 pc Myr −1 bequem die Differenz
zwischen 500 pc (Entfernung zu Orion) und aktueller Entfernung D = 100 pc zurücklegen.
Orion (der Jäger) enthält vermutlich vier Generationen von Sternen:
1. Betelgeuze (α Ori) und andere, die Orion bereits verlassen haben. Alter etwa 30 Myr.
2. Rigel (β Ori, blauer Riese) und die drei Gürtelsterne (δ, ɛ und ζ Ori) und viele andere haben ein
geschätztes Alter von etwa 5 Myr.
3. Die Schnellläufer (engl. runaway stars) µ Columbae, AE Aurigae und 53 Arietis sind (nach
Blauw) vor etwa 3 Myr aus Orion hervorgegangen. Die Pekuliargeschwindigkeiten betragen bis
zu 200 km s −1 . Nach einem Vorschlag von Zwicky könnten sie aus einem engen Vielfachsystem
nach einer Supernova Explosion hervorgegangen sein.
4. θ 1 Orionis (im Schwert) ist der hellste der vier Trapezium Sterne. Alter etwa 2 Myr. Auflösung
des Systems in einigen Myr.
Sterneigenbewegung und
der Local Standard of Rest
Betrachtet man die Sterne der Sonnenumgebung, so kann man keinerlei physikalische Gemeinsamkeiten
feststellen. Es handelt sich also um eine zufällige Begegnung irgendwelcher Sterne, welche sich
wahllos relativ zueinander bewegen.

22 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Daß sich die Sonne relativ zu weit entfernten Sternen (Fixsterne) bewegt, hat als erster (1783) W.
Herschel gemessen. Sein Ergebnis wurde von Argelander in Bonn (1837) anhand eines viel umfangreicheren
Materials bestätigt. Typische Eigengeschwindigkeiten belaufen sich auf 30 km/sec oder 30
pc/Myr (relativ zur Sonne), sodaß die Sterne der Sonnenumgebung nach etwa einer Million Jahre ganz
andere sein werden.
In einer Kugel mit dem Radius 5 pc um die Sonne als Zentrum sind bisher 62 Objekte entdeckt: nämlich
32 Einzelsterne, 12 Doppelsterne und 2 Tripelsterne. Dem entspricht eine Anzahldichte von 0.12 Sterne
pro pc 3 . Schätzt man deren Massen (s.u.), dann erhält man für die lokale, gesehene Massendichte etwa
ρlokal = 0.1M⊙pc −3 . Der Literaturwert der gesehen Masse beträgt
ρlum = 0.09M⊙ pc −3
Der beste Wert der von Hipparcos (aufgrund der Stellardynamik sonnennaher Sterne) ermittelt wurde
ist sogar kleiner: ρdyn = 0.076M⊙ pc −3 . Dem entspricht in cgs Einheiten ρ = 10 −23 g cm −3 , was (mit
einem mittleren Molekulargewicht von µ = 2 · 10 −24 ) eine Teilchendichte von n = 5 cm −3 ergibt.
ρdyn = 10 −23
g cm −3 , ndyn = 5 cm −3 (1.35)
Der Wert vor Hipparcos war ρdyn = 0.12M⊙ pc −3 , sodaß 30% Dunkelmaterie bereits in allernächster
Sonnenumgebung impliziert wurde.
Da nun die Sonne kein ausgezeichneter Stern ist, legt dies nahe, ein lokales Ruhsystem zu definieren
(local standard of rest, LSR). Dazu werden besonders ausgewählte, sonnennahe Sterne herangezogen
und ihr Geschwindigkeitschwerpunkt als LSR genommen. Im LSR hat die Sonne eine Pekuliargeschwindigkeit
von 20 km s −1 . Der Wert, der vom Satelliten Hipparcos neuerdings ermittelt wurde, ist
(nur unwesentlich) kleiner: 14 km s −1 .
Sterne mit Planeten
Wenn es stimmt, daß Einzelsterne Planeten benötigen, in denen (wie bei der Sonne) der Drehimpuls
gespeichert wird, dann sollte es um alle (Einzelsterne) Trabanten geben. Eventuell werden bei der
Bildung einige das System verlassen (interstellare Planeten). Wie können diese nachgewiesen werden?
Aktuelle Grundlage zum Nachweis extrasolarer Planeten ist der Dopplereffekt. Über die statistische
Messung sehr vieler Linien und ihrer Dopplerverschiebung kann man damit noch Massen bis zu einer
halben Jupitermasse herab bestimmen. Entdeckt werden mittlerweile immer mehr (27 Sterne mit
Planeten, 2 Pulsare und 3 Sterne mit Planet und Staubscheibe. Stand: 22 Okt. 1998).
Es stellt sich dann, bei so vielen positiven Entdeckungen, die Frage, ob es auch Sterne ohne Planeten
gibt. Die Antwort ist ja, bei 21 Sternen (mit gleicher Methode) konnten keine Dopplerverschiebung
gefunden werden. Das heißt aber nicht, daß hier keine sind. Zur Erinnerung: absence of evidence is not
evidence of absence!
Synopsis: Die lokale Entfernungsskala
Die Griechen um 300 BC hatten bereits das richtige, nämlich ein heliozentrisches, Weltbild. Die Entfernungen
stimmten allerdings nicht.
Aristarch nahm die Entfernung zur Sonne (AE: Astronomische Einheit) zu 20 EM (Entfernung
Erde-Mond) an. Bei Archimedes ist um 215 BC die Sonne im Zentrum eines statischen, sphärischen

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 23
Universums. Erde und Planeten umkreisen die
Sonne, die Sterne sind fest. Eratosthenes misst
den Durchmesser der Erde. Damit gibt es erstmals
eine natürliche Länge in dieser Kosmologie.
Der Grund, warum das richtige Modell
wieder aufgegeben wurde, war das Fehlen einer
messbaren Parallaxe, d. h. die vollkommen
falschen Vorstellungen von den wahren Entfernungen.
Dies ändert sich erst für die Entfernung
zur Sonne (AE) mit Christian Huygens
und Ole Römer (1650) und für die Entfernung
zum nächsten Stern mit Friedrich Wilhelm
Bessel (1839).
In der zusammenfassenden Tabelle bedeuten:
RE: Radius der Erde (6.378 km), EM: Entfernung
Erde-Mond (60.3 RE), AE: Astronomische
Einheit (23.455 RE = 390EM), pc: Par-
sec als Maß zu den nächsten Sternen (206.265
Die lokale Entfernungsskala
Jahr Autor RE EM AE pc
-300 Aristarch 0.5 0.05
-250 Eratosthenes 0.95
-140 Hipparchos 1.1 0.9
140 Ptolemäus 0.95 1.05 0.05
1250 Bacon 10 −8
1532 Kopernicus 0.95 1.05 0.06
1596 Kepler 0.95 1.04 0.12
1650 Huygens 1 0.13
1671 Picard 0.9999
1673 Cassini 0.99 0.98
1744 Chéseaux 0.9
1835 Encke 0.99 0.99
1839 Bessel 1.01
Tab. 1.5: Entfernungs
AE). Angegeben ist der Quotient f := (damaliger Wert/heutiger Wert).
Hipparchos kann bereits Sonnenfinsternisse berechnen (129 BC). Die Fixsterne werden erstmals von
Hipparchos katalogisiert. Ptolomäus führt diese Arbeit fort. Sein Katalog enthält etwa 1000 Sterne.
Er (oder aber bereits Hipparchos, so klar ist das nicht) führen wieder das geozentrische Weltbild ein,
welches von Aristoteles favorisiert wird und welches bis Kopernikus bestehen bleibt.
Das Weltbild des Kopernikus (mit Epizyklen) wird von Galilei populär gemacht, Alternativmodelle
stammen von Tycho Brahe (geozentrisch, die anderen Planeten umkreisen jedoch die Sonne) und
Johann Kepler (heliozentrisch, Ellipsenbahnen). Ein wichtiger Punkt betrifft die Bewegung der Himmelskörper.
Nach Aristoteles kommt ein Körper (vermittels Reibung) zum Stillstand. Damit dies nicht
geschieht, muß also ständig eine Kraft wirken (und Arbeit leisten). Galilei fand mit seinen Roll und
Gleitexperimenten heraus, daß ein reibungsfreier Körper sich stetig bewegt. Dies ist Grundlage für
Newtons erstes (Bewegungs) Axiom. Es lautet:
Jeder Körper beharrt in seinem Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Bewegung,
wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern.
Zu Newtons Zeit gab es drei wichtige, rivalisierende Weltmodelle: das von Descartes (Wirbel), von
Leibniz (Monaden) und Newton (Fernwirkung). Alle enthielten explizit Gott als Schöpfer und Lenker.
Insbesondere Leibniz meinte, daß diese Welt die beste aller möglichen Welten sei (worüber Voltaire
sich in senem Candide lustig macht). Bei Newton ist Gott nur noch dafür zuständig, dafür zu sorgen,
daß seine Schöpfung nicht in Unordnung gerät. Seine Aufgabe bestand darin, von Zeit zu Zeit
einzugreifen, um Feinreparaturen vorzunehmen.
Kant und Laplace waren die ersten Weltenschöpfer, die ohne Gott auskamen (Urnebel Hypothese). Die
Abplattung der Milchstraße erklärten sie mit der Rotation der Galaxis (in Analogie zum Sonnensystem).
Auf die Frage Napoleons, wo denn in seiner Welt Gott vorkomme, antwortet Laplace mit den Worten:
Diese Annahme benötige ich nicht, Sire und von Kant stammt der Ausspruch: Gebt mir Materie und
ich will euch die Welt daraus machen.
Bis zum 18ten Jahrhundert gab es keinen Anlaß zu glauben, das Universum als Ganzes (Sterne inklusive)
sei nicht statisch (Newtons kosmisches Ruhsystem bzw. sein absoluter Raum, dessen Existenz er
mit dem Eimerversuch nachwies). W. Herschel war der erste, der in der Lage war, Eigenbewegungen

24 KAPITEL 1. GEOMETRIE
von Sternen zu messen. Und das nur, weil er nicht glauben konnte, daß es Doppelsterne gibt, wie von
Michell behauptet. Die Expansion des Weltalls wurde von Hubble um 1930 etabliert (allerdings um 1
dex zu schnell) und wird heute Hubble Flucht genannt. Die logische Konsequenz dieser Fluchtbewegung
ist der Urknall: vor etwa 10 Gyr war das Universum sehr klein (und sehr heiß).

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 25
1.2.3 Die Milchstraße, unsere Heimat-Galaxie
Was die Sonne für die Erde und die Milchstraße für die Sonne, das ist der Virgo Haufen für die Milchstraße
bzw. für die gesamte Lokale Gruppe. Dabei liegen wir ziemlich am Aussenrand (20 Mpc entfernt)
und das gravische Zentrum des Virgo Haufens ist vermutlich nicht allein für die Anziehung
verantwortlich: eine ’Grosser Attraktor’ genannte (aber nicht gesehene) Massenkonzentration in Richtung
Hydra-Centaurus Superhaufen in etwa 50 Mpc Entfernung liefert einen wesentlichen Anteil. Der
Grosse Attraktor wird später noch genauer besprochen.
Die Milchstraße und die Andromeda Galaxie (M31) sind die zentralen Objekte der Lokalen Gruppe
(Abstand der Zentren: etwa 770 kpc; Relativgeschwindigkeit der Zentren: etwa −120 km s −1 ; für den
LSR ist vpec = −299 km s −1 ). Diese selbst besteht aus mehr als 40 (meist leuchtschwachen) Zwerggalaxien
und befindet sich am Rande des Virgo Haufens, der von der Zentralgalaxie M87 (Abstand etwa
20 Mpc) dominiert wird. Die wichtigsten (d. h. hellsten und massivsten) Begleiter der Milchstraße sind
die Große Maghellansche Wolke und die Kleine Maghellansche Wolke. Ihnen entspricht bei der Andromeda
Galaxie das Paar M33 (entspricht LMC) und M32 (gleicht SMC). Die beiden Zentren (von
Milchstraße und M31) bewegen sich auf langgestreckten Ellipsen (oder auf Hyperbeln?) aufeinander
zu, vermutlich ein Indiz dafür, daß das System noch nicht relaxiert ist (Kreisbahn).
Da sich in den Zentren einiger (eventuell aller) Galaxien je ein supermassives Schwarzes Loch befindet,
welches in einigen Frequenzbereichen direkt nachgewiesen werden kann, ist die Entfernung
(langfristig jedenfalls) sehr genau bestimmbar.
Neben der Milchstraße (mit M = 2.6 · 10 6 M⊙) sind NGC 205 und M32 die bisher besten Schwarz-
Loch-Kandidaten mit vergleichbarer Masse.
Das Zentrum vom Virgo Haufen wird von M87 gebildet, der massivsten Galaxie mit M = 3 · 10 13 M⊙
Dunkelmaterie. Diese E0 Galaxie (M87 = NGC 4486 = Virgo A) enthält im Zentrum den bisher
massivsten, galaktischen Schwarz-Loch-Kandidaten mit einer Masse von M = 5 · 10 9 M⊙. M87 ist
damit die bisher einzige Galaxie im Virgo Haufen, die früher einmal ein Quasar gewesen sein kann.
Neuere Ergebnisse der Entfernungsbestimmung im Überblick
Die Andromeda Galaxie (M31), die Große Maghellansche Wolke (LMC) und die Kleine Maghellansche
Wolke (SMC) bilden, zusammen mit der Entfernung zum Zentrum der Milchstraße, die Grundlage
für die Eichung der wichtigsten Längenskalen bis hinaus in den gesamten Kosmos.
Diese Skala, die auf den lokalen Eigenschaften der Sterne (UnterZwerge) unserer Umgebung beruht,
wird die kurze Entfernungsskala genannt, die lange benutzt die Eigenschaften der RR Lyrae Sterne
(und damit die Entfernung zur LMC).
Im Gegensatz dazu gibt es die kosmologische Entfernungsskala, die Eigenschaften von Objekten grosser
Rotverschiebung (und demnach früherer Entstehung) benutzt, welche jedoch wieder in unserer
Umgebung geeicht werden (Cepheiden in Virgo, Supernovae vom Typ Ia).
Die Messungen des Astrometrie Satelliten Hipparcos und Beiträge des HST (Hubble Space Teleskop)
haben diese auf eine neue, gut gesicherte Basis gestellt, mit dem Fazit: die lokalen Entfernungen sind
um 10 % größer als Vor-Hipparcos Bestimmungen, die Alter der Kugelsternhaufen um 10 % jünger
(nämlich etwa 13 Gyr).
Die wichtigsten Daten sind:
DGC = 8 kpc, Entfernung zum Galaktischen Zentrum
und als neue, gesicherte Eichstandards die Entfernung zu den Maghellanschen Wolken
DLMC = 50 kpc, DSMC = 57 kpc
und zur Andromeda Galaxie (M31)

26 KAPITEL 1. GEOMETRIE
DM31 = 770 kpc.
• ZUSATZ (MASSIVE SCHWARZ-LOCH-KANDIDATEN IM ZENTRUM EINER GALAXIE)
Die Kugelsternhaufen einer Galaxie zeigen eine Konzentrationszunahme zu ihrem Zentrum hin. Die Anzahldichte fällt mit
dem Abstand vom Zentrum, r, wie r−3 ab. Gleiches gilt für Sterne der Population II und für Röntgenquellen.
Es ist wahrscheinlich, daß das Zentrum der Galaxie und die Kugelsternhaufen zusammen enstanden sind (nach einem Modell
entsteht der Bulge (zentrale Auswölbung) sogar aus der Verschmelzung
solcher Kugelsternhaufen). Ursprünglich nahm man deshalb an, daß
die Zentren der Andromeda Galaxie und der Milchstraße nur alte Sterne
enthalten, ganz so, wie die Kugelsternhaufen. Eine Korrelation zwischen
Schwarz-Loch-Kandidaten, Masse einer
Galaxie und Zahl ihrer Kugelsternhaufen
den drei in der nebenstehenden Liste aufgeführten Parametern wäre dann
verständlich.
Die Liste von massiven Schwarz-Loch-Kandidaten im Zentrum einer Galaxie
zeigt, daß die Anzahl der Kugelsternhaufen korreliert ist mit der
Name
M87
gal. Masse
M⊙
2 · 10
SLK Masse
M⊙
N
KGH
Masse der gesamten Galaxie und mit der Masse des zentralen Schwarzen
Lochs. Die in der Liste zugrunde gelegte Anzahl an Kugelsternhaufen
bezieht sich auf die nach einheitlichen Kriterien optisch entdeckten Objekte.
MWG bedeutet Milchstraße= Milky Way Galaxy und M31 ist die
Andromeda Galaxie. Bei beiden ist nur die Halo Masse berücksichtigt
(nicht die viel größere Korona Masse).
13 5 · 109 6000
M31 4 · 1011 3 · 107 325
MWG 2 · 1011 2.6 · 106 LMC 2 · 10
130
10 2 · 105 SMC 3 · 10
? 14
9 3 · 104 ? 1
Tab. 1.6: gal. Schwarz-Loch-Kandidaten
Sollte sich herausstellen, daß die Anzahl der Kugelsternhaufen einer Ga-
laxie mit ihrer Masse korreliert ist, dann stellt dies eine weitere entfernungsunabhängige Methode der Massenbestimmung
dar.
Eine weitere Größe, die mit der Anzahl der Kugelsternhaufen korreliert ist, ist die Röntgen Leuchtkraft der LMXB, nicht
aber die Leuchtkraft der Zentralquelle. Im Falle der MWG ist nur im Radiobereich diese Leuchtkraft auffällig: die Zentralquelle
ist SgrA ⋆ mit Lradio = 10 29 erg s −1 .
Die Zentralquelle SgrA ⋆ hat ihr Leuchtkraft-Maximum im IR mit LIR = 10 36 erg s −1 . Mittlerweile ist auch die Röntgenleuchtkraft
von Chandra bestimmt worden: LX = 10 32 erg s −1 .

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 27
Die klassischen Daten
Harlow Shapley hat erstmals (1918) die Lage des Zentrums unserer Galaxis korrekt bestimmt. Ihm
diente dazu die Verteilung der Kugelsternhaufen. Er fand, daß sich in Richtung des Sternbildes Schütze
(Sagittarius) etwa 30% aller damals bekannten Kugelsternhaufen befanden (in einer Fläche, die nur 2%
der Himmelssphäre ausmacht). Die Sonne liegt ziemlich genau in der galaktischen Ebene (20 Parsec
oberhalb) und zwar zwischen zwei Spiralarmen, dem Sagittarius-Carina Arm und dem Perseus Arm,
am Innenrand eines dritten, sehr kleinen Spiralarms, dem Orion Arm.
Das Zentrum der Galaxis ist optisch nicht zu sehen (die Absorption durch Staub schwächt die Strahlung,
abhängig vom Weg durch Staubwolken, um bis zu 20 dex = 100 Magnituden), es liegt in Richtung
Sagittarius (Schütze) etwa 8.5 kpc entfernt. Von der Nordhalbkugel aus ist es im Sommer sichtbar, im
Winter ist das Antizentrum mit Orion (und der Perseus Arm) zu sehen. Der Sagittarius Arm und der
Perseus Arm sind jeweils etwa 2 kpc von der Sonne entfernt, der Durchmesser des Orion Arms beträgt
gut 500 Parsec. Die Namen erhalten die Spiralarme nach den Konstellationen (Sternbild s. u.), in denen
sich ihre Segmente befinden. Die genaue Erforschung der Topologie dieser Spiralarme ist noch nicht
abgeschlossen. In ihnen ist die Sterndichte höher als außerhalb (Dichtewellen Theorie von Ch. Lin und
F. Shu), sodaß hier bevorzugt Sterne (aus molekularen Gaswolken) entstehen.
• DEFINITION (DIE NAMEN DER KONSTELLATIONEN UND DER STERNE)
Die Himmelssphäre wird heute in insgesamt 88 Konstellationen (lat. von con stella = Sternbild) eingeteilt. Viele davon
gehen auf Mythen und Sagen zurück, andere wurden später hinzu erfunden, insbesondere am Südhimmel, um die Lücken
am Himmel auszufüllen. Ursa Major ist die größte und Crux die kleinste Konstellation. Die Bezeichnung Milchstraße (lat.
via lactae) kommt aus der griechischen Mythologie. Hera, Schwester und Gemahlin des Zeus, soll in der Hochzeitsnacht in
Samos die Milch verspritzt haben (als Nahrung für die Erde?).
Berühmt sind die 12 Konstellationen des Zodiak (griechisch: Tierkreis), die auch heute noch gebräuchlichen sog. Tierkreiszeichen.
Sie stehen beiderseits nahe (über oder unter) der Ekliptik. Von der
Erde aus gesehen, durchläuft die Sonne die Tierkreiszeichen in der hier angebenen
Reihenfolge innerhalb eines Jahres, beginnend am Frühlingspunkt (heute
mit Aquarius) und – ein halbes Jahr später – im Herbstpunkt (heute Leo). Nach
Beobachtungen der alten Babylonier hat die Stellung der Sonne im Zodiak zum
Zeitpunkt der Geburt Einfluß auf das Schicksal und den Charakter des dann
Geborenen. Welchen Einfluß genau, das sagt die Astrologie (bzw. der Astrologe
gegen Entgelt). Ferner war noch der Aszendent wichtig. Vor 2000 Jahren,
als die Astrologie ihre endgültige Fassung erhielt, lag der Frühlingspunkt allerdings
im Sternbild des Schützen (Aries). Da sich also die Stellung der Sonne
im Zodiak in den letzten zwei Jahrtausenden entscheidend (um zwei Sternbilder)
geändert hat, ist die Astrologie zumindest überholungsbedürftig. Merke
für die Astrologie: Aus Stier mach Krebs.
Anmerkung: Saturn war (frühem Aberglauben zufolge) der verderblichste aller
Planeten. Deshalb war ursprünglich Samstag = Saturntag der Ruhetag (Sabbath).
Der Brauch, den Sonntag zum Ruhetag zu wählen, wurde offiziell erst
im Jahr 321 eingeführt. Eine self-fulfilling prophecy ist eine Prophezeiung, die
deshalb wahr wird, weil der Betroffene daran glaubt (nicht weil das Schicksal
es so will).
Konstellationen im Zodiak
Aquarius Aqu Wassermann
Pisces Pis Fische
Aries Ari Widder
Taurus Tau Stier
Gemini Gem Zwillinge
Cancer Can Krebs
Leo Leo Löwe
Virgo Vir Jungfrau
Libra Lib Waage
Scorpius Sco Skorpion
Sagittarius Sag Schütze
Capricornus Cap Steinbock
Tab. 1.7: Tierkreiszeichen
Die bekanntesten Persönlichkeiten der Geschichte, die solch einer Prophezeiung zum Opfer fielen, waren Tschingis-Khan
(1226, weil Jupiter dabei war, Saturn zu überholen, was Unglück bedeutet, brach er seinen Eroberungsfeldzug ab) und
Wallenstein (1634, ihm wurde für dieses Jahr von Johannes Kepler grosse Unordnung vorhergesagt, was Wallenstein in
derart tiefe Depressionen stürzte, daß er von seinen Offizieren, die fürchteten den Krieg zu verlieren, ermordet wurde).
Die Namen der Sterne in den Konstellationen sind ein Muster archaischer Methodologie. Viele besonders helle Sterne tragen
noch arabische Namen. Der grosse Wagen (Ursa Major) besteht aus den folgenden 7 hellsten Sternen: Dubhe, Merak,

28 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Phecda, Megrez, Mizar und Alkaid. Johann Bayer ersann 1603 ein rationaleres
System, welches kleine griechische Buchstaben und den Namen
der Konstellation benutzt. Der hellste kommt normalerweise zuerst: also
α Ursae Majoris (grosser Bär = großer Wagen). So ist α Librae sicher
sinnvoller als Zubenebelgenubi.
Da das griechische Alfabet aber nur 24 Buchstaben hat, kann man damit
nur die hellsten Sterne bezeichnen. Weniger helle bekommen Zahlen
anstatt griechischer Buchstaben. Um auch die schwachen Sterne zu eindeutig
zu kennzeichnen, wurden im Laufe der Zeit umfangreiche Sternkataloge
angelegt. Die Sterne wurden dann nach der Katalognummer
bezeichnet, oder nach ihren Himmelskoordinaten.
So von F. W. Argelander die Bonner Durchmusterung (1859/62) mit
ihren BD Nummern von 320 000 Einträgen. Diese wurde für den
Südhimmel durch die Südliche Bonner Durchmusterung (SD) und
durch die Cordoba Durchmusterung (die CD mit 580 000 Einträgen)
ergänzt. Hier werden Sterne nach steigender Rektaszension gradweise
eingeteilt. Der Stern α Lyrae = Wega hat die Bezeichnung BD +38
3238. Der Henry Draper Katalog ist mit seinen HD Nummern (durchlaufend
gezählt, geordnet ebenfalls nach Rektaszension) fast noch gebräuchlicher.
Wega hat hier die Bezeichnung HD 172 167. Neben der
Bezeichnung spielt auch die genaue Position eines Sterns eine wichtige
Rolle.
Konstellationen am Nordhimmel
Andromeda And Andromeda
Aquila Aql Adler
Cassiopeia Cas Cassiopeia
Coma Berenices Com Haar der Berenice
Cygnus Cyg Cygnus
Hercules Her Hercules
Lacerta Lac Leopard
Ophiuchus Oph Schlangenträger
Perseus Per Perseus
Ursa Major UMa Grosser Bär
Konstellationen am Südhimmel
Canis Major CMa Grosser Hund
Carina Car Schiffskiel
Circinus Cir Kompass
Doradus Dor Schwertfisch
Fornax For Chemischer Ofen
Monoceros Mon Einhorn
Orion Ori Jäger
Puppis Pup Schiffsheck
Vela Vel Schiffssegel
Tab. 1.8: Konstellationen
• DEFINITION (DIE FUNDAMENTALKATALOGE: MODERNE BEZEICHNUNG DER STERNE)
Beginnend mit Bessel, der 1818 den ersten Fundamentalkatalog (FK) mit dem Titel Fundamenta Astronomiae herausgab,
wurden dazu ausgewählte Sterne besonders genau absolut vermessen. Die Nachfolger hießen FK 1, FK 2 . . . und mittlerweile
ist FK 5 (im Astronomischen Rechen-Institut Heidelberg) in Arbeit.
Bezogen auf diese Sterne kann man dann die restlichen differentiell vermessen, was sehr viel einfacher ist. Ein wichtiges
Hilfsmittel ist ferner der Palomar Observatory Sky Survey (POSS). Er wurde (ab 1950 in mehreren Jahren) aufgenommen
und enthält auf 579 Doppelseiten (mit Blau und Rotfilter) den vollständigen Nordhimmel bis herunter zur Deklination
δ = −33 ◦ in Segmenten von 6 ◦ × 6 ◦ . Dieser wurde nach 1980 nochmals aufgenommen, sodaß Sterneigenbewegungen
(innerhalb von 30 Jahren) studiert werden können.
Mittlerweile ist man teilweise dazu übergegangen, astronomische Objekte strikt nach ihren astronomischen Koordinaten
zu bezeichnen. Das geht eine Weile gut, da aber alle 50 Jahre die Äquinoktien neu angepasst werden müßen, führt diese
Methode auch nicht zum Ziel einer dauernden, einheitlichen Bezeichnung.
Der Pulsar, der in 1950er Koordinaten die Bezeichnung PSR B0458+46 trägt, hat in den neuen (Äquinoktium 2000)
Koordinaten die Bezeichnung J0502+4654, sodaß er kaum wiederzuerkennen ist.
Bei den Bezeichnungen des Äquinoktiums steht B für Bessel, J für Julianischer Kalender. Langfristig wird man zu extragalaktischen
Koordinaten übergehen, die etwa in Quasaren verankert werden können.
• ANMERKUNG (HISTORISCHE FEHLBEZEICHNUNGEN BEI STERNEN)
Viele Objekte, offene Sternhaufen, Kugelsternhaufen und sogar Galaxien sind in einer Zeit, da die Auflösung der Teleskope
unzureichend waren, mit Bezeichnung versehen worden, die für Sterne reserviert sind. Dazu gehören die folgenden,
wichtigen Objekte, die weiter unten aufgeführt sind: τ CMa und h-χ Per (Offene Sternhaufen), 47 Tuc und ω Cen (Kugelsternhaufen).
Weitere Beispiele finden sich im Katalog von Charles Messier.
Bevor Galaxien als solche erkannt werden konnten, wurden allgemein diffuse Objekte als Nebel (oder
Wolken) bezeichnet, da man annahm, daß es sich bei ihnen um eine Ansammlung von leuchtendem
Gas handelte. Die Bezeichnungen für solch diffuse (und zum Teil spektakuläre) Objekte gehen auch
heute noch auf die ersten Kataloge zurück. Dabei steht
1. M für den Katalog von Charles Messier (einem Kometenforscher aus Frankreich, 1784), mit 109
Objekten
2. NGC für ’New General Catalogue’ von dem dänischen Astronomen Johan L. E. Dreyer (publiziert
in Irland, 1888, hervorgagangen aus dem Katalog der Herschels, Vater Sir William und
Sohn Sir John, 1864) mit 7840 Objekten
3. IC die Fortsetzung des NGC. IC steht für ’Index Catalogue’. Er enthält zusätzlich 5086 Objekte.

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 29
• ZUSATZ (OBJEKTE AUS DEM KATALOG VON CHARLES MESSIER)
Hier seien einige wichtige Beispiele (mit kurzer Erläuterung, worum es sich dabei wirklich handelt) angeführt. Sie sind
aus dem Katalog von Ch. Messier, der sie notiert hat, da es sich nicht um Kometen handelte (er sie als Kometenforscher
füglich ignorieren durfte). Es handelt sich um Bezeichnungen von Objekten, die später noch betrachtet werden. Die Zahl
steht dabei für die Nummer (des Eintrags im Katalog). Der Krebsnebel, M1, hat die Nummer eins.
der Krebsnebel M1 = NGC 1952, ein Supernova Überrest mit Neutronenstern
der Orion Nebel M42 = NGC 1976, die nächste massive Molekülwolke
der Ring Nebel M57 = NGC 6720, ein Nova Überrest in Lyra mit weißem Zwerg
der Adler Nebel M16 = NGC 6611, offener Sternhaufen in Serpens
die Plejaden M45, offener Sternhaufen (Eichstandard) mit Reflektionsnebel
der offene Sternhaufen M67 = NGC 2682, (ältester offener Haufen, A = 5 Gyr)
der Kugelsternhaufen M3 = NGC 5272, (sehr alt, A = 15 Gyr)
der Andromeda Nebel M31 = NGC 224, Nachbargalaxie
der Triangulum Nebel M33 = NGC 598, Nachbargalaxie, M = 5 · 10 10 M⊙
Whirlpool Galaxy M51 = NGC 5194, Nachbar-Doppelgalaxie in Canes Venatici
die Sombrero Galaxie M104 = NGC 4594 in Virgo
M106 = NGC 4258 ist der bisher beste, galaktische Schwarz-Loch-Kandidat mit einer Masse von M = 3.9 · 10 7 M⊙
innerhalb von einem Radius von R = 0.12 pc.
M61 = NGC 4303 Galaxie in Virgo mit Supernova im Jahre 1961
der Virgo Haufen (wird dominiert von M84 = NGC 4374, M86 = NGC 4406 und M87)
M87 = NGC 4486 = Virgo A ist der bisher massivste, galaktische Schwarz-Loch-Kandidat mit einer Masse von M =
5 · 10 9 M⊙.
M82 = NGC 3034 ist eine nahe Starburst-Galaxie.
M101 = NGC 5457 ist die nächste (D = 7 Mpc) Riesengalaxie.
M92 ist ein naher Kugelsternhaufen, D = 8 kpc, geeignet zur Parallaxenbestimmung mit Hipparcos. (Sehr alt, A = 16
Gyr)
Es handelt sich also um eine Sammlung extrem verschiedener Objekte.
Die Bezeichnung Nebel wird heute nur noch benutzt für
1. Dunkelwolke (dark nebula)
2. Emissionsnebel (z. B. der Orionnebel),
3. planetare Nebel bzw.
4. Supernova Überreste
5. und Reflektionsnebel (z. B. der Electra Nebel um die Plejadensterne Electra (17 Tau) oder NGC 6888 mit dem
Wolf-Rayet Stern HD 192 163).
Da dieselben Objekte auch im New General Catalogue von J. L. E. Dreyer und auch in anderen Katalogen (Radio oder
Röntgen) verzeichnet sind, gibt es gelegentlich Schwierigkeiten, ein bestimmtes Objekt wiederzuerkennen.
Die Verteilung der Sterne
Für die Beobachtung unserer Galaxis sind drei Drehimpulsvektoren bestimmend: der Spin der Erde,
�S⊕, der des Planetensystems (Umlauf der Planeten in der Ekliptikebene um die Sonne, Bahndrehimpuls
der Erde � J⊕) und der unserer Milchstraße, � G. Ob die Galaxis als ganzes, also mit Halo, einen
Drehimpuls hat, ist nicht klar.
Der Stern in Richtung des Spins der Erde heißt Polaris (Polarstern). Der Inklinationswinkel zwischen
dem Spin der Erde, � S⊕, und dem Bahndrehimpuls der Erde � J⊕ beträgt 23.5 ◦ und der mit dem unserer
Galaxis (galaktischer Nordpol), � G beträgt δp = 62.6 ◦ .
Alle drei Drehimpulsvektoren stehen jeweils senkrecht auf einer Ebene. Diese heißen
1. Erdäquator Ebene (Spin der Erde, � S⊕),
2. Ekliptik Ebene (Bahndrehimpuls der Erde � J⊕) und
3. galaktische Äquator Ebene (galaktischer Nordpol, � G).

30 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Zwei Ebenen schneiden sich jeweils in einer Geraden. Diese wird benutzt um den Nullpunkt der Rektaszension
zu definieren. Die Bahn der Sonne, projeziert auf die Erdäquator Ebene, heißt Ekliptik,
die beiden Schnittpunkte sind der Frühlingspunkt (oder Widderpunkt genannt) und der Herbstpunkt
(Löwe). Die Rektaszension wird vom Frühlingspunkt aus gezählt, für den galaktischen Nordpol beträgt
sie αp = 192.5 ◦ . Die Deklination δ wird vom Himmelsäquator aus gemessen.
Da sich der Frühlingspunkt aufgrund der Präzession der Erde im Feld des Mondes und der Sonne
retrograd um 50·(360/26000) = 40 ′ pro 50 Jahre verschiebt, muß das Referenzjahr angegeben werden.
Diese Anpaßung wird alle 50 Jahre vorgenommen. Ältere Kataloge haben als Referenz das Jahr 1900,
die meisten Angaben beziehen sich auf 1950, neuerdings ist es der Beginn des Jahres 2000 (zum
Zeitpunkt 1. Jan. um 0 h .00). In 1950-er Koordinaten gilt für den galaktischen Nordpol (Index gp)
αgp = 12 h 49 m ; δgp = 27 ◦ 24 ′
(1.36)
Der Winkel zwischen Himmelsnordpol (Polaris) und galaktischem Nordpol beträgt demnach γp =
90 − δp = 62.6 ◦ . Für den Nullpunkt der galaktischen Länge gilt (Index gl)
αgl = 17 h 42 m 26.603 ′′
; δgl = −28 ◦ 55 ′ 0.45 ′′
(1.37)
Zur Umrechnung von Stundenwikel t in Rektaszension α wird die Sternzeit Θ = Θ(t) benötigt, d. h.
der Stundenwinkel des Frühlingspunktes. Die Rektaszension α ist wie folgt definiert:
t = Θ − α
• DEFINITION (ASTRONOMISCHE KOORDINATENSYSTEME)
Die hier vorgestellten Koordinatensysteme stellen wir mit ihren Eigenschaften und Bezeichnungen tabellarisch zusammen.
Koordinatensysteme
System Grundkreis Nullpunkt Koordinaten
Horizontal Horizont Meridian Azimut A, Höhe h
Äquatorial fix Äquator Meridian Stunde t, Dekl. δ
Äquatorial var Äquator Frühlingspunkt Rektas. α, Dekl. δ
Ekliptikal Ekliptik Frühlingspunkt Länge λ, Breite β
Galaktisch gal. Äquator gal. Zentrum Länge l, Breite β
Erst mit der Bestimmung der Entfernungen der Sterne erhalten wir ihre wahre räumliche Verteilung in
unsere Galaxis. Wie wir sehen werden, sind die Sterne, abgesehen von dem optischen Phänomen der
Spiralarme, nicht gleichmäßig verteilt. Man unterscheidet zwischen echten gravischen Verdichtungen,
Haufen genannt und Ansammlungen seltener Sterne, den sog. Assoziationen (wo die Sterne zusammen
sind, da sie gemeinsam geboren wurden, die aber langsam auseinander laufen):
1. OB, W-R und T Tauri Assoziationen (sehr jung, etwa 100 Objekte bekannt)
2. offene Sternhaufen (etwa 100 Mitglieder bekannt, bis 2 Myr alt)
3. Kugelsternhaufen (sehr alt, etwa 200 Mitglieder bekannt)
Dieser Anordnung entsprechen in etwa Alter und Anzahl der Sterne. Die Kugelsternhaufen sind die
ältesten bisher gefundenen Objekte im Kosmos, daher das grosse Interesse an ihnen. Im Gegensatz
dazu gehören OB und T Tauri Assoziationen (neben planetaren Nebeln und Supernova Überresten)
zu den jüngsten Objekten. Eine OB Assoziation noch ohne Wolf Rayet Sterne ist etwa 1 bis 2 Myr
alt, mit W-R Sternen ist sie etwa 3 bis 4 Myr alt. Als extremes Gegenbeispiel sind RR Lyrae Sterne
in Kugelsternhaufen bis zu 12 Gyr alt, bestimmt aus dem Abknickpunkt auf dem Hauptast des
Hertzsprung-Russel-Diagramms.

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 31
Die Hyaden und die Plejaden
Die Hyaden sind der sonnennächste offene Sternhaufen. Die Entfernung zu den Hyaden, GE (46 pc),
hat damit (ähnlich wie die astronomische Einheit, AE, für das Sonnensystem) die Bedeutung eines
Eichmasses für die Galaxie als ganzes. Zum galaktischen Zentrum ist es dann ’nur noch’ etwa 200 GE
weit; zum Vergleich sind es zum nächsten Stern immerhin 270.000 AE. Der moderne Wert für GE ist
46 pc, mit einer Unsicherheit von nur 0.27 pc (zum Schwerpunkt der Hyaden, nach Messungen vom
Astrometrie Satelliten Hipparcos):
GE = 46.34 ± 0.27 pc
Die Bedeutung der Hyaden liegt darin, daß es der einzige Sternhaufen ist, der einerseits eine messbare
Parallaxe aufweist und andererseits genügend reich (an Sternen) ist, daß noch Sterne der Spektralklassen
G bis A (einheitlich) überdeckt werden. Die Geschwindigkeitsdispersion beträgt nur
σv = 0.3 km s −1
Bezogen auf den Schwerpunkt der Hyaden konnte keine systematische Expansion festgestellt werden.
Die halbe Masse ist innerhalb eines Radius von 6 pc konzentriert, der Kernradius beträgt 2.7 pc. Chemie
und Alter: Y = 0.26 (Helium), Z = 0.024 (Metalle) und Alter 625 Myr.
Da die Hyaden keine O und B Sterne enthalten, nimmt man noch die Plejaden als zweiten Eichstandard
hinzu. Die Entfernung zu den Plejaden (M45) beträgt:
D = 116.34 ± 3.3 pc
ebenfalls nach Messungen vom Astrometrie Satelliten Hipparcos.
Die offenen Sternhaufen
Ein (unverstandenes aber willkommenes) Phänomen war (und ist) die Existenz von offenen Sternhaufen
(von denen viele schon Messier und W. und J. Herschel entdeckt hatten).
Man kennt heute etwa 1000 offene Sternhaufen. Einige bekanntere davon sind bereits in Messiers
Katalog verzeichnet. Die meisten Haufen sind mehr als 1 kpc von der Sonne entfernt. Eini-
ge der bekannteren sind in der nebenstehenden Tabelle aufgeführt.
Die Einträge haben folgende Bedeutung: Θ ist der Öffnungswinkel
in Bogenminiuten, ( ′ ), unter dem der Haufen von der Erde aus
erscheint. D ist die Entfernung in Parsec (pc) zum Schwerpunkt
und N ist die Anzahl der Sterne im Haufen. T ist der
Logaritmus des Alters des Haufens in Jahren. Dabei ist Alter
≈ Relaxationszeit ≈ Entwicklungszeit der Sterne gesetzt und
Te ist der Logaritmus der Evaporationszeit (in Jahren), d. h.
die Zeit zum Verdampfen des gesamten Haufens.
Die Namen sind wie folgt: UMa Cl. = Ursae Majoris Cloud,
die Hyaden heißen auch Taurus Cloud (Wolke), die Plejaden
Name Θ
′
D
pc
N T
yr
Te
yr
Einzelhaufen
UMa Cl. 1000 22 100 8.2 9
Hyaden 400 46 218 8.8 9
Plejaden 120 116 120 7.8 10
Praesepe 90 158 100 8.4 10
τ CMa 7 1500 30 6.1 9
M67 18 830 80 9.6 10
Doppelhaufen
h-χ Per 30 2360 240 7.1
Tab. 1.9: Offene Sternhaufen
= M45, Praesepe = M44 und τ CMa = τ Canis Majoris (der jüngste Haufen). Der Doppelhaufen h-χ
Perseus ist mit T = 10 Myr einer der jüngsten (er enthält noch Sterne mit fast 20 Sonnenmassen), M67
der älteste, er reicht an den Kugelsternhaufen M3 heran.
Die Daten sind, falls nicht durch Hipparcos vermessen, (Ref. [Kov98]), nach Trümpler (1930), von
dem die ursprüngliche Untersuchung stammt, zusammengestellt. Zu finden in den Standard Referenzen:
Lang, (Ref. [Lan78], Table 55) und Allen (Ref. [All73] §130).

32 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Die hier benutzte Formel für die Evaporationszeit, d. h. die Zeit, die der Sternhaufen mit Radius R und
mittlerer Geschwindigkeit v zum verdampfen benötigt, lautet
tEvap =
� �
8R N
v ln(N/2)
(1.38)
Die Größe 2R/v ist die Zeit, die ein Stern benötigt, den Haufen zu durchqueren (crossing time). Diese
Formel werden wir später ableiten.
Die Bezeichnung Sternstrom geht auf Kapteyn (1904) zurück und die erste Parallaxenbestimmung an
einem Sternstrom wurde von Boss (dessen ’Preliminary General Catalogue’ von 1910 lange Zeit das
Standardwerk für Örter und Bewegungen der helleren Sterne war) an den Hyaden (1915) vorgenommen.
Boss hatte nämlich (1908) entdeckt, daß (nach Korrektur der Erd- und Sonnenbewegung) die
Mitglieder der Hyaden (Taurus Strom) sich alle parallel zueinander bewegen. Die eigentliche Parallaxe
liegt dabei mit π = 0.024 ′′ an der Grenze des Messbaren. Die neue Idee ist, daß man die Änderung
∆Θ des scheinbaren Winkel-Durchmessers Θ über mehrere Jahre t hinweg (relativ zu den Fixsternen)
misst. Es gilt dann für die Entfernung (und kleine Winkeländerung)
tan Θ
d = vt
∆Θ
Nach 10 Jahren hat man so einen Faktor 10 in der Auflösung gewonnen. In Zahlen:
d = 1
4.74
v
kms −1
(t/yr)
(1.39)
tan Θ
∆Θ/ ′′ pc (1.40)
Die nebenstehende Abbildung zeigt die Geometrie zur Sternstromparallaxe an einem offenen Sternhaufen. Der
Einfachheit halber sei die Geschwindigkeit rein tangential vom Beobachter
weg gerichtet und das bei senkrechter Aufsicht. Der Beobachter
sieht einen Kreis, dessen Radius im Winkelmaß relativ zur den dahinter
liegenden Fixsternen im Laufe der Zeit kleiner wird. Der wahre Radius
des offenen Sternhaufens ändert sich während der Beobachtungszeit
nicht.
Die Seitenansicht erläutert die räumliche Situation. In der Zeit t entfernt
sich der Sternhaufen um σ = vt. Die Winkeländerung beträgt
Abb. 1.3: Sternstromparallaxe
∆θ = θ − θ ′ , dabei ist θ der Öffnungswinkel des offenen Sternhaufens
zu Beginn der Beobachtung. Daraus folgt für die Winkelgeschwindigkeit µ für kleine Zeiten ∆θ = µt.
Verbindet man die zu einem Stern gehörenden Örter mit einer Geraden, so schneiden sich alle Geraden der verschiedenen
Sterne in einem Punkt, dem Fluchtpunkt. Im hier betrachteten Fall ist das das Zentrum des offenen
Sternhaufens.
Möglich wurde diese Bestimmung erst durch zwei technische Entwicklungen, welche die Astronomie
ähnlich revolutionierten wie die Erfindung des Teleskops:
1. die Benutzung der Photoplatte (H. Draper, 1840; Whipple, 1850) und
2. die Anwendung des Dopplerprinzips zur Messung von Radialgeschwindigkeiten (W. Huggins,
der dabei die Linien-Spektroskopie der Sterne entscheidend weiterentwickelte).
Die Photographie erlaubt es, Photonen aufzuaddieren, was das menschliche Auge nicht kann. Der
Dopplereffekt liefert für die beobachtete Wellenlänge λ und die als bekannt vorausgesetzte Ruhlänge
λo die Geschwindigkeit der Quelle (bei bekanntem Winkel Θ zwischen Geschwindigkeit v und Visionsrichtung)
in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit β := v/c:
1 + β cos Θ
λ = λo √
1 − β2 (1.41)

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 33
An den galaktischen Sternhaufen hat Trümpler die Standardkerzen der Galaxis geeicht und dabei nebenbei
(1930) die interstellare Absorption AV durch Staub bestätigt! Diese war bereits 1847 von Struve
aus Sternzählungen deduziert worden (mit der korrekten Größenordnung für die mittlere Extinktion
von Av ≈ 1 m pro kpc), wurde aber erst durch die Arbeiten von Trümpler allgemein anerkannt.
Eichung der Sternhelligkeiten
Mit Leuchtkraft, L, Einheit: erg s −1 , bezeichnet man die totale Energieverlustrate eines Sterns, L = ˙ E.
Für isotrope Abstrahlung kommt im Abstand D (bei Euklidischer Geometrie) ein Strahlungsfluß f an,
f = L
(1.42)
4πD2 Der Strahlungsfluß f (Einheit: erg cm−2 s−1 ) ist also das Maß zur Bestimmung der Leuchtkraft L des
Sterns, wenn man seine Entfernung D kennt, und weiß, daß die Strahlung isotrop ist
L = 4πD 2 f (1.43)
Der Strahlungsfluß wird oft auch mit S bezeichnet (Poyntingfluß).
Die astronomischen Bezeichnungen für dieselben Größen sind die wahre und scheinbare bolometrische
Helligkeit, Mbol und mbol, allerdings werden sie mit anderen Masseinheiten angegeben (nämlich so, s.
u., daß der optische Astronom leicht erkennen kann, ob ein Objekt noch mit blossem Auge erkennbar
ist oder ob er ein besonders gutes Teleskop benötigt).
Die Strahlung eines Sterns kann (jedenfalls in einfachster Näherung) durch die Plancksche Schwarzkörperstrahlung
approximiert werden: Es sei L die Leuchtkraft, R der Radius, T die Temperatur und σ die Stefan-
Boltzmann Konstante, dann gilt näherungsweise
L = 4πR 2 σT 4
(1.44)
Die Größe Φ = σT 4 ist der Gesamtstrahlungsstrom an der Oberfläche des Sterns. Die Energiedichte
der Strahlung (im Innern des Sterns) ist u und es gilt der folgende Zusammenhang
u = aT 4
; B = c
c
u ; Φ = u (1.45)
4π 4
mit der Strahlungsenergiedichte-Konstante
15¯h 3 c3 = 7.56 · 10−15 erg cm −3 K −4
(1.46)
Wir greifen vor und geben hier bereit die Spektralverteilung für einen Stern mit Radius R, welcher
Schwarzkörperstrahlung der Temperatur T emittiert. Sie sieht wie folgt aus:
a = π2 k 4
Iν = Bν(T ) = 2hν3
c2 1
ehν/kT − 1
Φ = σT 4
L = 4πR 2 Φ
und Φν(R) = πBν
• ZUSATZ (STERNHELLIGKEITEN BEI HIPPARCH UND PTOLOMÄUS)
Der Katalog von Hipparch enthält 1022 Sterne mit geschätzten (visuellen) Helligkeiten. Dieser Katalog wurde von Ptolomäus
ergänzt und durch eigene Beobachtungen verbessert. Seine Eintragungen wurden von Pogson so geeicht, daß sich
Übereinstimmung bei der 6. Größenklasse (den schwächsten und damit den meisten Sternen) ergab. Pogson nahm an, daß
die Empfindlichkeit des Auges exakt dem Weber-Fechnerschen Gesetz folgt, also daß
1 m = 1
5√ 100 = 10 −0.4 = 1 : 2.512 Magnitude
gilt, was nicht stimmt. Da es sehr viel mehr leuchtschwache m = 6 Sterne gibt, hat man die Anschlusseichung bei diesen
vorgenommen, um möglichst viele antike Beobachtungen korrekt zu übernehmen. Einige der leuchtstarken Sterne sind
dann allerdings falsch. So kommt es, daß Sirius sogar eine negative Magnitude von −1.4 hat.

34 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Die Einteilung der Sternhelligkeiten in ’Größen’ geht auf Hipparch zurück, der die
Sterne in 6 Klassen einteilte: die hellsten Sterne als 1. Größe und die schwächsten als
6. Größe.
Dieses System wurde auch nach Erfindung des Fernrohrs i.w. beibehalten, um den
Anschluß an historische Beobachtungen nicht zu verlieren, es wurde nach der Aufdeckung
der Zusammenhänge beim physiologischen Sehen im Weber-Fechnerschen
Gesetz (1834) auf Vorschlag von Pogson (1854) so geeicht, daß einem Unterschied
von 1 Größenklasse (Magnitude) das Intensitätsverhältnis 1:2.512 mit dem Logarithmus
0.4 entspricht:
1 m = 10 −0.4 = 1 : 2.512 Magnitude
Zur Fixierung des Nullpunkts der Größenskala wurde ursprünglich der Polarstern
gewählt, bis man entdeckte, daß dieser veränderlich ist, dann die Polsequenz ausgewählter
polnaher Sterne und heute besondere Eichsterne (z. B. Wega, s. u.). Der
Polarstern hat nach dieser Eichung eine visuelle scheinbare Helligkeit von m = 2.12.
Der grosse Vorteil dieser Methode, Sterne zu klassifizieren ist der, daß man nur noch
Relativmessungen durchzuführen hat, der grosse Nachteil, daß man die Entfernung
nicht kennt und damit nichts über die primäre Größe, die Leuchtkraft, aussagen kann.
Deshalb ist man bemüht, eine Methode zu finden, die es gestattet, unabhängig von der
Kenntnis der Entfernung die Leuchtkraft zu bestimmen. Eine solche Klassifikation der
Sterne liefert die Harvard Spektral - Klassifikation.
Moderne Teleskope erreichen mvis = 20 als visuellen Grenzwert (Beobachtung mit
dem Auge), mph = 24 (mit der Photoplatte nach langer Belichtung) und mph = 27
(mit CCD) und mR = 29 (mit HST nach 10 Tagen Belichtung).
Tab. 1.10: Klassifikation der Sternhelligkeiten
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
Sonne
Vollmond
Venus
Sirius
✛
Polarstern
Auge
Fernglas
Pluto
Teleskop vis
Teleskop ph
Galilei war der erste, der ein (selbst gebautes) Teleskop an den Himmel richtete und damit die Vorstellungen
über die Objekte des Kosmos revolutionierte. Newton, Huygens, Fraunhofer und Herschel
haben alle ihre Teleskope selbst gebaut. Mit dem Aufkommen neuer Techniken und dem Bau immer
leistungsfähigerer (und teurerer) Teleskope wurde der Schwerpunkt astronomischer Beobachtung (und
als Folge astrophysikalischer Forschung) immer stärker in die USA verlagert. Pickering (ab 1880) stellte
die Photometrie auf eine exakte Grundlage und vermisst dazu mit dem Meridianphotometer 80 000
Sterne. Unter seiner Leitung wurde der ’Henry Draper Catalogue’ (HD) geschaffen, der auf einer halben
Million Platten die Grundlage einer Klassifikation der Sterne (Harvard Klassifikation) lieferte.
Solche Sternkataloge gibt es mittlerweile in digitalisierter Form (für ROSAT und HST). Sie benötigen
etwa 600 Giga Byte Speicher.
Die Einordnung der Sternspektren wurde, basierend auf Secchis Arbeiten, zunächst von Miss A. Maury
übernommen, dann von Miss Annie Cannon weitergeführt und revidiert. Die Klassifizierung wurde versucht
zu einer Zeit, wo die Physik der Sterne nicht existent war, musste also nach rein phänomenologischen
Gesichtspunkten geschehen. Die Klassifikation wurde dabei so vorgenommen, daß man die Spektren
in einer linearen Sequenz so anordnete, daß von einem zum nächsten Spektrum möglichst wenig
Änderungen auftraten. Da die Beschreibung der einzelnen Klassen von Miss Mauri bereits festlag (im
wesentlichen nach abnehmender Temperatur geordnet) geriet bei der endgültigen Sequenz das Alfabet
etwas durcheinander:
O B A F G K M R N S
Ein zweites Hindernis (neben der fehlenden Physik) war, daß auch die Entfernungen der Sterne unbekannt
waren. Der entscheidende Durchbruch, Sterne zu eichen, wurde erst möglich, als genügend
Sterne einheitlicher Entfernung (bzw. genau vermessener Parallaxe) gefunden werden konnten. Hertzsprung
(1905 –an Riesen- und Zwergsternen) und Russel (1913 –an von ihm selbst besonders genau

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 35
trigonometrisch vermessenen Sternen) fanden so den Zusammenhang zwischen Temperatur (astron.:
Spektraltyp oder Farbe) und Leuchtkraft (astron.: Helligkeit). Er wird Hertzsprung-Russel-Diagramm
oder kurz H-R-Diagramm, allgemeiner Farben-Helligkeits-Diagramm genannt und stellt ein wichtiges,
wahrscheinlich das wichtigste Arbeitsmittel des (optischen) Astronomen dar.
Mit Karl Schwarzschild, der 1904 die photographische Sternphotometrie mit der ’Göttinger Aktinometrie’
begründete, beginnt die moderne Astrophysik. Schwarzschild versucht, die Quantenmechanik
auf die Physik der Sterne anzuwenden und erkennt, daß der Farbindex ein Maß für die Temperatur
darstellt (Theorie des Strahlungsfeldes der Sternatmosphäre). Sieht man von der chemischen Zusammensetzung
der Sternmaterie einmal ab, dann bedeutet die Aussage des H-R-Diagramms, daß ein Stern
auf der Hauptreihe durch einen einzigen Parameter bestimmt ist, z. B. seine effektive Temperatur. Daraus
folgen alle anderen Größen wie Radius, Masse und Leuchtkraft.
Der holländische Astronom Kapteyn vermisst an der Südhalbkugel insgesamt 455 000 Sterne (in 12jähriger
Arbeit) und macht (1922) ein Modell der Galaxis: Das sog. Kapteynsche (Insel) Universum (auf dem
auch das hierarchische Universum von Charlier basiert) mit der Sonne im Zentrum.
Wie aus dem H-R-Diagramm folgt, kann man nicht alle Sterne mit einem einzigen Parameter, T , klassifizieren.
Diese Möglichkeit gilt nur für die Hauptreihensterne, also für die überwiegende Mehrzahl, allerdings
auch dafür nur bei Vernachläßigung ihrer chemischen Entwicklung. Kohlschlütter und Adams
entdeckten die Leuchtklasse (d. h. die Leuchtkraft L) als zweiten Parameter zur Sternklassifikation.
Morgan, Keenan und Kellman führten schließlich (1943) die Leuchtklasse (I bis V) als zweiten Parameter
zur Sternklassifikation in ihrem ’Atlas of Stellar Spectra’ ein. Die Klassen sind nach fallender
Leuchtkraft L der Sterne geordnet.
Man erhält den zusätzlichen Parameter, die Klasse, ebenfalls rein spektroskopisch: aus der Breite,
Schärfe oder Unschärfe bestimmter Eichlinien. Die Genauigkeit der Bestimmung liegt bei etwa 0.1
Gößenklassen bei den Klassen III bis V.
Baade entdeckt dann noch (1944, zunächst an der Galaxie Andromeda) den Unterschied zwischen
alten (Population II) und jungen (Population I) Sternen, die er Populationen nennt. Sie unterscheiden
sich in ihren Metallhäufigkeiten (Chemische Entwicklung der Galaxis). Er findet so (1952), daß es
in der Milchstraße zwei Typen von Cepheiden gibt, δ-Cephei Sterne (jung, Metallhäufigkeit solar,
konzentriert in der galaktischen Ebene) und W-Virginis Sterne (alt, Metalle stark unterhäufig, im Halo),
deren Leuchtkräfte sich um einen Faktor 4 unterscheiden.
Damit ist das rein empirisch gewonnene Bild der optischen Sternklassifikation vollständig. An ihm
hat sich bis heute nichts mehr geändert, es ist allerdings mit wachsendem Verständnis der zugrunde
liegenden Sternentwicklung verfeinert worden.
Mittlerweile geht man daran, ein analoges Klassifikationsschema für Galaxien (zunächst nach ihrer
Farbe und zusätzlich nach ihrer Form) zu erstellen. Wichtige Stationen auf dem Weg dahin sind die
jüngsten und ältesten Bestandteile der Milchstraße, die Molekülwolken und die in ihnen geborenen
massiven Sterne bzw. die Kugelsternhaufen und die in ihnen verbliebenen RR Lyrae Sterne.
Das Hertzsprung-Russel-Diagramm
Bei bekannter Entfernung D und gemessener scheinbarer Helligkeit, m, kann die absolute Helligkeit
M eines Sterns bestimmt werden.
� �2 D
M = m − 2.5 log
(1.47)
10pc
Als Grundlage zur Eichung dienen die hellsten Sterne bekannten Spektraltyps in Sonnenumgebung mit
messbarer Parallaxe π
5 log π = M − m − 5 (1.48)

36 KAPITEL 1. GEOMETRIE
oder Sterne gleicher Entfernung (offene Sternhaufen, Kugelsternhaufen). Die stillschweigende Annahme,
die hier eingeht, ist die, daß die Sterne in Sonnenumgebung nicht nur typisch für die Milchstraße
sind, sondern auch für weit entfernte Galaxien.
Die offenen Sternhaufen haben den Vorteil, daß alle Mitglieder praktisch bei gleicher Entfernung gesehen
werden, daß man also die Entfernung nur einmal bestimmen muß. Ferner sind die Sterne alle
chemisch gleich, da sie aus dem gleichen Wolkenmaterial
entstanden sind.
Die Einträge in der nebenstehenden Tabelle haben
folgende Bedeutung:
Nbek ist die Anzahl bekannter Objekte,
Ntot deren geschätzte Gesamtzahl,
T ist das Alter in Jahren (yr), Pop. ist die Sternpopulation,
met. bedeutet hier ausnahmsweise die
Häufigkeit an Elementen schwerer als O,
M ist die mittlere Sternmasse (in Einheiten der
Parameter offene Kugel OB
Sternhaufen Sternhaufen Assoziationen
Nbek 1039 125 70
Ntot 3000 10 5 − 10 6 300
T 10 6 − 10 9 10 10 10 6 − 10 7
Pop. I II I
met. reich arm extrem reich
M/M⊙ 1 M⊙ 0.5 M⊙ 5 M⊙
Ort Scheibe Halo Scheibe
Tab. 1.11: Haufencharakteristika
Sonnenmasse M⊙), Ort gibt die räumliche Verteilung an.
Trägt man nun, wie Trumpler es zuerst (1930) getan hat, mB − mV gegen M auf, d. h. 1/T gegen L,
so stellt man fest, daß die Sterne in einen schmalen Band liegen. Die Größe mB − mV (meist B − V
abgekürzt) ist unabhängig von der Entfernung, diese wird nur zur Bestimmung von M benötigt.
Die Bandbreite ist i. w. bestimmt durch die chemische Zuammensetzung und durch nichtaufgelöste
Doppelsterne, (s. u.). Vergleicht man nun einen offenen Sternhaufen der scheinbaren Helligkeit mo mit
einem Eichhaufen mit Helligkeit me (z. B. den Hyaden mit gut bekannter Entfernung), so kann man im
H-R-Diagramm den einen vertikal so lange verschieben bis seine Hauptreihe mit der des Eichhaufens
zur Deckung kommt. Die Differenz in scheinbarer Helligkeit ∆m = mo − me heißt Entfernungsmodul.
Damit kann man dann die Entfernung (in Einheiten der Entfernung zum Eichhaufen) bestimmen.
Einem Faktor von z. B. 100 in der Leuchtkraft, ∆m = 5, entspricht ein (Do/De) 2 = 10 2 , ein Faktor
10 in der Entfernung, Do = 10De.
• BEISPIEL (WEGA ALS EICHSTERN ZU A0)
Die Entfernung beträgt 8 pc. Damit unterscheiden sich scheinbare, m, und absolute Helligkeit, M, um etwa eine halbe
Magnitude: m − M = 5 log(0.8) = −0.48.
Astronomische Daten : Wega
Mv B − V BC Te Tc Mb L R M
0.7 0.00 −0.7 0.97 1.5 0.0 90L⊙ 3R⊙ 3M⊙
Mv: absolute visuelle Helligkeit, entspricht 3600 Jy im V Band; Mb: absolute bolometrische Helligkeit,
B − V Farb Index, BC bolometrische Korrektion,
Te effektive Temperatur, Tc Farb - Temperatur in Einheiten 10000 K.
Da die Hyaden keine O und B Sterne enthalten, nimmt man noch die Plejaden als zweiten Eichstandard
hinzu. Ein prinzipiell unlösbares Problem ist allerdings noch, daß –selbst bei vorausgesetzter chemischer
Homogenität– die Sterne nicht eine eindeutig bestimmte Leuchtkraft mV bei gegebener Temperatur
(B − V ) besitzen. Das liegt daran, daß es viele unaufgelöste Doppelsterne gibt. Damit kommt
man entfernungsmäßig bereits durch die ganze Galaxie. Es ergibt sich jedoch eine Schwierigkeit: die
interstellare Absorption A. Diese verschiebt die Hauptreihe horizontal und es gilt näherungsweise
m − M = 5 log (D/10pc) + A (1.49)
Empirisch stellte Baade (1944) so fest, daß es zwei Typen von Sternen gibt, welche er mit Population I
und Population II bezeichnete. Insbesondere Cepheiden der Population I sind in der Milchstraße wegen
der starken interstellaren Absorption in der Scheibe schwer zu finden.

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 37
1. Population I, wozu die Sonne gehört, umfasst die hellen (jungen) Sterne der galaktischen Scheibe.
Diese Sterne haben ’normale’ chemische Häufigkeiten (metallreich wie die Sonne) und befinden
sich in der mit Gas und Staub durchsetzten Scheibe der Galaxis. Die Population I wird
manchmal nochmals unterteilt in Spiralarm- und Scheiben-Population.
2. Population II Sterne sind leuchtschwächer (und metallarm und masseärmer), weshalb sie erst
später entdeckt wurden (daher die Bezeichnung II). Sie befinden sich (hauptsächlich) im Bulge,
im Halo und in Kugelsternhaufen.
Neben diesen beiden beobachteten Populationen vermutet man noch eine bisher nicht gesehene Population
III, welche Sterne aus reinem H und He beinhalten sollten (kosmisches Ursprungsmaterial).
Bisher sind jedoch keine Anzeichen dafür vorhanden, daß es einmal eine Phase im Universum ohne
schwere Elemente gegeben hat. Selbst Eisen, Fe, (oder sgar Moleküle wie CO) sind immer schon
vorhanden, wenn auch in geringerer Häufigkeit (im Vergleich zur Sonne 2 dex bis 3 dex weniger).
Eine feinere Aufteilung der beiden Grund-Populationen und ihre physikalischen Eigenschaften enthält
die nebenstehende Tabelle.
Z ist der Betrag des Abstands von der galaktischen
Ebene und ˙ Z ist die Komponente
der Geschwindigkeit senkrecht zur galaktischen
Ebene. M ist der geschätzte Massenanteil
der Komponente.
Zur extremen Stern Population I kommt noch
die Komponente des interstellaren Gases hinzu,
mit einer Masse von je etwa 109 Astronomische Feineinteilung der Populationen
mit ihren physikalischen Eigenschaften
Population Z Z˙ M A
pc km s
M⊙ für
neutralen H und für H2. Hierher gehören die
Progenitoren der Supernovae vom Typ II (und
Ib). Ferner die massivsten Sterne der Milch-
−1 109M⊙ Gyr
extreme Pop I 120 8 3 < 0.1
ältere Pop I 160 10 10 0.1 . . . 1
Scheibenpopulation 400 16 40 2 . . . 6
jüngere Pop II 700 25 40 6 . . . 9
extreme Pop II 2000 75 20 10 . . . 12
Tab. 1.12: Populationen
straße.
Die Scheibenpopulation enthält den Hauptteil der (sichtbaren) Sterne, die Zentralsterne der planetaren
Nebel und die Novae.
Zur extremen Population II gehören die RR Lyrae Sterne und die Progenitoren der Supernovae vom
Typ Ia. Ferner die Sterne in Kugelsternhaufen und die ms Pulsare.
Ein weiteres wichtiges Kriterium ist die Metallhäufigkeit der einzelnen Populationen. Sie nimmt mit
wachsendem Alter ab.
Die Kugelsternhaufen
• DEFINITION (EIN MASS FÜR DIE METALLHÄUFIGKEIT)
Die numerische Häufigkeit eines Elements wie Fe sei n(Fe) und das von Wasserstoff sei n(H). Die relative Häufigkeit von
Fe bezogen auf H ist dann n(Fe)/n(H). Dies wird ins Verhältnis gesetzt zu den Werten der Sonne. Der Logaritmus davon
wird mit [Fe/H] bezeichnet.
[Fe/H] = log[n(Fe)/n(H)] − log[n(Fe)/n(H)]⊙
In Kugelsternhaufen ist [Fe/H] ein Maß für ihr Alter. Der Wert für [Fe/H] reicht von -2.19 (bei M92) bis -0.40 (NGC 6838).
• DEFINITION (KING FUNKTION)
Die Massenverteilung wird bei gravischen Systemen wie Kugelsternhaufen wie folgt approximiert (King Modell)
n = no
�
1 + r2
a2 �b
; b = 3β
2
Die King Funktion hat drei freie Parameter: no, die Dichte im Zentrum; a, der effektive Radius und β (bzw. b) für die
Konzentration. Diese Parameter sind nicht direkt beobachtbar.
(1.50)

38 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Neben den offenen Sternhaufen (mittelalt) gibt es noch die Kugelsternhaufen (sehr alt). Sie unterscheiden
sich durch die in den Tabellen (1.11) und (1.9) gegebenen physikalischen Parameter. Abgesehen
von der Möglichkeit lokale Eichkerzen zu vermessen, sind sie wichtig zur Altersbestimmung.
Die Kugelsternhaufen enthalten die für die Galaxis wichtigsten lokalen Eichkerzen: RR Lyrae Sterne
(alt) und Cepheiden (vom Typ II). Sie haben zwar den Vorteil, daß alle Mitglieder praktisch bei
gleicher Entfernung gesehen werden, daß man also die
Entfernung nur im Mittel bestimmen muß, aber die
Sterne sind nicht alle chemisch gleich, obwohl die Kugelsternhaufen
vermutlich aus dem gleichen Urmaterial
entstanden sind.
Die Kugelsternhaufen stammen aus der Frühzeit der
Galaxis, denn 10 5 bis 10 6 Sterne werden heute in unserer
Galaxis selbst in den massivsten Wolken nicht mehr
geboren. Einige vermuten, daß die Kugelsternhaufen
sogar vor den Galaxien gebildet wurden. Die einfachste
Erklärung für die beobachtete chemische Inhomo-
genität der Haufen ist die, daß die Sterne in ihnen in
NGC Name Entfernung log(L/ Anzahl
Nr kpc L⊙) Veränderl.
6121 M4 2.2 5 43
6656 M22 3.2 6.8 24
6752 4.1 1
104 47 Tuc 4.5 11
5139 ω Cen 4.8 164
5904 M5 7.0 5 97
5272 M3 9.2 6.3 187
7006 48.0 40
2419 58.0 36
Tab. 1.13: Eichhaufen
mehreren Perioden (und damit aus unterschiedlich stark angereichertem Urmaterial) entstanden sind.
Heute enthalten sie allerdings kein Gas mehr, obwohl noch Sternentwicklung stattfindet.
Ihre Durchmesser betragen zwischen 15 und 150 pc. Ihre Gesamtmasse in Scheibe und Halo wird auf
nur M = 5 · 10 7 M⊙ geschätzt. In der Tabelle sind einige ausgewählte Eich - Exemplare aufgeführt,
mit Leuchtkräften L (in Einheiten der Sonnenleuchtkraft, L⊙ = 3.9 · 10 33 erg s −1 ) und der Anzahl
gefundener Veränderlicher.
Nach heutiger Vorstellung nehmen Kugelsternhaufen nicht an der galaktischen Rotation teil, gemessen
ist das aber noch nicht (Dopplereffekt). Sie bewegen sich auf langgestreckten Tauchbahnen (Ellipsen)
und gehören damit zur Halo Population. Einige (z. B. ω Cen, NGC 6522 und NGC 6528) durchqueren
gerade die galaktische Ebene. Etwa hundert Kugelsternhaufen befinden sich im Halo (zwischen 20 und
220 kpc vom Zentrum der Galaxis entfernt) und ebenso viele liegen in oder in der Nähe der Scheibe.
Die Verteilung der Kugelsternhaufen bestimmt somit das Zentrum der Galaxis (falls wir nämlich nicht
uns selbst zum Zentrum machen).
Der hellste Kugelsternhaufen in der Nähe der Sonne ist Omega Centauri (ω Cen) in einer Entfernung
von 4.8 kpc. Er enthält einige Hunderttausend Sterne innerhalb von einem Radius von nur 15 Parsec.
Zum Vergleich (s. u.): Der Schwarz-Loch-Kandidat im Zentrum der Galaxis hat einen Radius von RZ
von 0.005 pc bei einer Masse von M = 2.6 · 10 6 M⊙.
Die der Sonne am nächsten gelegenen Kugelsternhaufen sind etwa 2 bis 3 kpc entfernt (NGC 6397 mit
2.2 kpc ist der nächste).
Man erhält mithilfe der Kugelsternhaufen als
Entfernung zum Zentrum D = 8.5 ± 1.5 kpc
(früher D = 10 kpc, Tendenz fallend).
• ANMERKUNG (ENTFERNUNGSBESTIMMUNG DER KUGELSTERNHAUFEN)
Die Bestimmung der Entfernungen der Kugelsternhaufen (und ihrer Bewegung um das Zentrum) ist von zentraler astrophysikalischer
Bedeutung, da die Ausdehnung (die linearen Abmessungen) Rückschlüße auf die zeitliche Entwicklung
derselben erlauben. In insegesamt 46 Kugelsternhaufen sind etwa 1200 RR Lyrae Sterne nachgewiesen, das sind ein Drittel
aller bekannten.
Kennt man die Entfernungen der Kugelsternhaufen, dann ist es möglich, ihre (Anzahl und Massen) Dichte zu bestimmen.
Für die Milchstraße hat man eine Verteilung n(r) der Form
n(r) = no (Ro/r) 3

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 39
gefunden, was auch auf die RR Lyrae Sterne zutrifft.
Genauer unterscheiden wir zwischen
1. Bulge (mit einem Radius von Ro = 2.5 kpc),
2. Feld (Ro < r < 15 kpc),
3. Halo (r bis etwa 30 kpc) Population.
Der Radius ist bezogen auf das Zentrum der Galaxis. Dazu kommt die Korona mit Kugelsternhaufen, Zwerggalaxien und
Wolken (high velocity clouds).
Eine bessere Approximation des Dichteverlaufs ist die sog. King Profilfunktion:
n = no
�
1 + r2
a2 �b
; b = 3β
2
wobei in unserem Fall Ro = a und β = 1 zu setzen ist.
Übersichtartikel dazu: [San86] und [VBS96].
Ein bisher unverstandenes Phänomen ist, neben der bereits erwähnten chemischen Inhomogenität, daß
Objekte in Kugelsternhaufen auftreten, die eigentlich dort nicht mehr sein sollten.
Dazu gehören die Blauen Nachzügler, (engl.: ’blue straggler’). Das sind Sterne, oberhalb des Abknickpunkts
(turn off point) im H-R-Diagramm. Vermutlich handelt es sich um reanimierte
Binärobjekte oder verschmolzene Sterne.
Dazu zählen sogar Radiopulsare, Gamma- und Röntgensterne. Der erste Radiopulsar, der in einem
Kugelsternhaufen endeckt wurde, war PSR J1824-2452 in M28 mit einer Periode von nur 3 ms.
1987 wurde er sogar als Röntgenpulsar von ROSAT nachgewiesen.
• ANMERKUNG (DIE ’BLUE STRAGGLER’ IN KUGELSTERNHAUFEN)
Entdeckt wurden sie von Sandage (1953) in M3. Es sind Sterne, die 2 bis 2.5 Magnituden oberhalb des Abknickpunkts
(turn off point) im H-R-Diagramm liegen. Bisher ist nur ein ’blue straggler’ als Variabler, also als Doppelstern, (in ω Cen)
bekannt.
(1.51)

40 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Das Zentrum der Galaxis
In bis zu 3 Parsec Abstand vom Zentrum der Galaxis finden sich die dichtesten Sternansammlungen
und die massivsten H II Regionen (Molekülwolken) der Galaxis. Auch die Kugelsternhaufen haben
hier ihr Dichtemaximum. Gleiches gilt für Röntgenpulsare und Röntgenburster.
• BEISPIEL (DER ARCHES HAUFEN)
In 25 pc Entfernung vom Zentrum der Galaxis liegt der Sternhaufen G0.121+0.017, der Arches Haufen (Bogenhaufen).
Dieser enthält etwa 100 bis 120 massive O Sterne (mit einer Einzelmasse M > 20M⊙), die zusammen eine Masse von
5 · 10 3 M⊙ haben. Extrapoliert man (mithilfe der IMF) auf nicht gesehene, masseärmere Sterne, so erhält man eine Gesamtmasse
von bis zu 6 · 10 4 M⊙. Das ist die Masse eines kleinen Kugelsternhaufens (und nicht ganz vergleichbar mit dem
Zentrum von 30 Doradus mit dem Sternhaufen R136). Dabei ist das Alter des Arches Haufens nur einige Myr (vergleichbar
mit 30 Dor) und der Kernradius beträgt nur 0.23 pc (entspricht 6 ′′ bei D = 8 kpc Entfernung).
• BEISPIEL (DER QUINTUPLET HAUFEN)
Ähnlich wie der Arches Haufen, aber nicht so kompakt, ist der Quintuplet Haufen. Er enthält den Pistol Stern, den hellsten
Stern der Milchstraße. Das Alter beträgt etwa 6 Myr und damit sind die massivsten Mitglieder alle kurz davor zu
explodieren.
Das Zentrum der Galaxis (SgrA ⋆ ) ist damit einzigartig in der Milchstraße: Es ist nicht nur ein Ort alter
Sterne, sondern gleichzeitig massivster Sternbildung. Sgr B2 ist ein massiver Wolkenkomplex (Masse
3 · 10 6 M⊙, Durchmesser 35 pc) mit H2O Masern.
• ANMERKUNG (ZENTRUM DER GALAXIS: DATEN DER UMGEBUNG)
Für die Grobeinteilung benutzen wir zentraler Bulge (Auswölbung), Core (Kern) und Zentrum mit den folgenden Werten.
1. Bulge: erscheint von der Erde aus unter einem Öffnungswinkel von etwa 23 ◦ , was einem Durchmesser von D ≈
1.5 · 10 22 cm bzw. einem Radius von 2.5 kpc entspricht. Masse M = 2 · 10 10 M⊙. Im Kernbereich des Bulge mit
Radius von 1 kpc ist die Masse M = 1 · 10 10 M⊙.
2. Kern: Öffnungswinkel etwa 2 ◦ , Durchmesser D ≈ 1.3 · 10 21 cm bzw. Radius von 220 pc. Masse M = 1 · 10 8 M⊙.
Hauptsächlich molekular.
3. Zentrum der Galaxis: Winkel etwa 0.1 ′′ , Radius RZ ≈ 1.2 · 10 16 cm bzw. 0.005 pc, Masse M = 2.6 · 10 6 M⊙.
Damit ein Schwarzes Loch.
Das Zentrum der Galaxis liegt in SgrA ⋆ in D = 8 kpc Entfernung, der Winkel zwischen Zentrum und den nächsten noch
aufgelösten Sternen beträgt etwa 0.1 ′′ , was einem Radius von nur RZ ≈ 1.2 · 10 16 cm (oder 5 Lichttagen) entspricht. Die
Keplergeschwindigkeit erreicht hier 1500 km s −1 , was eine Zentral - Masse von M = 2.6 · 10 6 M⊙ ergibt. Es ist damit ein
guter, wenn auch leuchtarmer, Schwarz-Loch-Kandidat.
Zum Vergleich: Der Kugelsternhaufen Omega Centauri enthält ein Zehntel an Sternen innerhalb des 50fachen Radius. Die
Andromeda Galaxie hat in einem Radius von 0.5 pc etwa halb so viele Sterne.
Wenn die Galaxis ein wohldefiniertes gravisches Zentrum besitzt, dann sollte die Materie, also Sterne,
Gas etc. um dieses Zentrum kreisen. Das ist aber bei der Milchstraße nicht der Fall: die Hauptmasse
steckt im Halo bzw. in ungesehener Form in der Korona.
Trozdem ist das Zentrum der Milchstraße ausgezeichnet: es gibt dort ein (und nur ein) Schwarzes Loch,
ferner junge, massive Sterne (aber viel zu wenig Röntgenstrahlung).
Die geometrische Definition des Zentrums der Galaxis und die damit verbundene Erkenntnis, daß die
Sonne nicht selbst das Zentrum der Galaxis ist, geht auf den amerikanischen Astrophysiker Harlow
Shapley zurück. Er benutzte die Verteilung der Kugelsternhaufen (und die Cepheiden als Eichkerzen)
und fand das geometrische Zentrum in Sagittarius, in einer Entfernung von etwa 13 kpc von der Sonne.
Dieser Wert ist im Laufe der Zeit mehrfach revidiert worden und liegt jetzt bei 8 kpc.
Die Entfernung zum Zentrum der Galaxis, also zu SgrA ⋆ und IRS16, kann man zwar bisher nicht
direkt messen, mit der Quelle Sgr B2 kommt man aber sehr nahe (0.3 pc). H2O - Maser sind heu-

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 41
te das genaueste Mittel um Entfernungen in unserer Galaxis zu
bestimmen. Über die Dopplerverschiebung erhält man den Radialanteil
der Bewegung der Maser, die beiden senkrechten Komponenten
bestimmt man aus der Eigenbewegung (Einheit in Mikro-
Bogensekunden pro Jahr). Die Genauigkeit beträgt bei VLBI etwa
10 −6 ′′ , bezogen auf ein Feld mit einem Durchmesser von 3 ′′ .
Man findet, daß Maser etwa einen Durchmeßer von einer AE, also
etwa 10 13 cm, haben und sich geradlinig von einem neu geborenen,
heißen, anregenden Stern weg entfernen. Die erste solche
Eich-Messung an IRc2 in Orion ergab, mithilfe eines einfachen
Modells für die Expansion, eine Entfernung von 480 ± 80 pc, in
Übereinstimmung mit bisherigen Bestimmungen.
Die Entfernung zu Sgr B2 wurde von Reid et al. 1988 zu 7.2±0.7
Entfernung zum Zentrum der Galaxis
Methode Entfernung
[kpc]
H2O - Maser 7.2 ± 0.7
RR Lyrae 7.8 ± 0.4
Kugelsternhaufen 8.0 ± 0.8
Cepheiden 8.0 ± 0.5
IR Sterne 8.4 ± 0.4
Pulsare 8.5 ± 0.7
Hipparcos 8.5 ± 0.4
Tab. 1.14: Entfernung gal. Zentrum
kpc bestimmt, und von Gwinn et al. wurde die Entfernung zum bisher stärksten H2O - Maser der
Galaxis, in W49, zu 11.1 ± 1.2 kpc gemessen. Dieser liegt zwar nicht im Zentrum der Galaxis,
(l, v) = 0. ◦ 66, 55 km s −1 , man kann aber seine kinematische Geschwindigkeit benutzen, die Entfernung
zum Zentrum abzuschätzen: sie erhalten 8.1 ± 1.1 kpc.
Damit erhält man für die Umlaufgeschwindigkeit der Sonne um das galaktische Zentrum ˙ Θ = 220 km
s −1 und als Entfernung zur LMC d = 49.4 kpc. Die Relativgeschwindigkeit zwischen LSR und LMC
ist zufällig vergleichbar, nämlich etwa v = 270 km s −1 . Zwischen dem Zentrum der Galaxis und LMC
dagegen gilt v = 140 km s −1 .
• ZUSATZ (VORGRIFF: DIE ZENTREN ANDERER GALAXIEN)
Das Standard Modell für einen Quasar ist eine massive Galaxie mit einem Schwarzes Loch im Zentrum. Was ist die Evidenz
bisher für ein solches Modell?
Nach der Bestimmung der Entfernung, D, zum Zentrum unserer Galaxis und damit ihrer Masse, M, vergleichen wir
hier noch zum Abschluß die Eigenschaften
einiger galaktischer Zentren, im Hinblick auf
mögliche Schwarz-Loch-Kandidaten, und zwar
Schwarz-Loch-Kandidaten im Zentrum einer Galaxie
geordnet nach ihrer Entfernung. Die Bestim- Name alternativ Distanz Masse Radius Dichte
mung von M ist analog, die Bestimmung von
Entfernung D und Radius, R, ist wesentlich
schwieriger.
M⊙ pc M⊙ pc
Die ersten beiden Galaxien sind im Virgo
Haufen gelegen und besitzen ebenfalls H2O
- Maser. Die Radien wurden mit VLBI bestimmt.
Wie ersichtlich, sind sowohl Entfernung
und Radius als auch Masse und Entfernung
korreliert, was aber unverständlich ist.
−3
M87 NGC 4258 20 Mpc 5 · 109 3 5 · 107 M106 NGC 4258 7 Mpc 3.9 · 107 0.12 4 · 109 Andromeda M31 770 kpc 3 · 107 0.05 5 · 10 10
Milchstraße 8 kpc 2.6 · 106 0.005 5 · 1012 Stern-Dichte: (Masse/Volumen)
Tab. 1.15: gal. Schwarz-Loch-Kandidaten
Vermutlich sind die Radien und Massen nur
eine obere Grenze.
Besonders deutlich wird dies bei der abgeleiteten Größe der der Stern-Dichte, ρ = Masse/Volumen.
Da die Bestimmung der Masse, M, von galaktischen Schwarz-Loch-Kandidaten die Kenntnis ihrer
Entfernung D voraussetzt, (Bestimmung von R nach Kepler III)
und
R = GM
v 2
tan Θ = R
D
wird sich hier im Laufe der weiteren Entwicklung (der Interferometrie) noch einiges ändern. Wir halten
uns an die Empfehlung der IAU (oder nehmen für die Entfernung zum Zentrum der Galaxis D den
Mittelwert der Tabelle) und verwenden im folgenden

42 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Entfernung zum Zentrum der Galaxis D = 8 kpc.
Umlaufgeschwindigkeit der Sonne Θ = 220 km s −1 .
Dauer eines Umlaufs T = 225 Myr.
Eingeschlossene Masse M = 1 · 10 11 M⊙.
als geeignete Mittelwerte (sehr unterschiedlicher Bestimmungen).
Fenster aus der Galaxis
Die Verteilung der ISM in der Galaxis ist stark inhomogen. Je nach Frequenz (Radio, optisch, Röntgen)
gibt es Löcher, durch die man weitgehend ungehindert aus der Galaxis herausschauen kann. Im verallgemeinerten
Sinne wollen wir darunter auch diejenigen Felder am Himmel verstehen, wo ’nichts
zu sehen’ ist. Mittlerweile berühmte Beispiele sind die beiden Hubble Felder: das Hubble Deep Field
(North) und und das Hubble Deep Field (South).
• BEISPIEL (BAADES FENSTER)
Da die Wolken stark geklumpt sind, gibt es auch bei niedrigen Breiten b Löcher, durch die man durch die Galaxis hindurchsehen
kann (mit einer Extinktion AV < 2). Das zentrumnächste Fenster (Baades Fenster) liegt bei l = 0 ◦ .9 und b = −3 ◦ .9,
der Sehstrahl passiert das Zentrum der Galaxis im Abstand von 700 pc. Die Flächengröße beträgt ein Viertel Quadratgrad,
etwa 100 mal 100 Parsec in Zentrumsnähe. Im Sehstrahl liegen der Kugelsternhaufen NGC 6522 (Entfernung 6.5 kpc) und
insgesamt etwa 120 RR Lyrae Sterne (die meisten in der Nähe des Zentrums).
Für die Anzahldichte der RR Lyrae Sterne folgt daraus zu n = 120(100) −3 = 10 −4 pc −3 . Am Ort der Sonne folgt daraus
mit n ∝ D −3 etwa n < 10 −7 pc −3 . Der Literaturwert beträgt n = 10 −8 pc −3 .
Die Anzahl der RR Lyrae Sterne in der Milchstraße ist dann
N = 4π10 −8 (10 4 ) 3 ln(10 3 ) = 10 6
Frühere Schätzungen, die den Anstieg zum Zentrum unberücksichtigt ließen, ergaben nur 10 5 . Dies sind alles Feldsterne,
weniger als 1% befindet sich in Kugelsternhaufen. Mit einer Lebensdauer von 10 7 yr müßen insgesant 1000mal soviel
Sterne durch diese Phase gegangen sein: also insgesamt 10 9 Sterne.
• BEISPIEL (LOCKMANS LOCH)
Das absolute Minimum der interstellaren Säulendichte und damit der Absorption im Röntgenbereich liegt in Richtung
Grosser Wagen. Lockmans Loch ( l = 149 ◦ b = 53 ◦ ) ist wichtig für die Röntgenbeobachtung der Hintergrundstrahlung.
Die Säulendichte beträgt hier N (H) = 0.6 · 10 20 cm −2 , sie ist damit um 1 dex niedriger als im Mittel in der Milchstraße.
Am Nord-Ekliptikalen Pol beträgt sie z. B. N (H) = 4 · 10 20 cm −2 und bis zum Galaktischen Zentrum N (H) = 2 · 10 21
cm −2 .
Damit ist Lockmans Loch am besten geeignet für Langzeitmessungen am Röntgenhintergrund. Eine solche Messung mit
ROSAT von 150 ks hat etwa 1200 Quellen in 10 Quadratgrat gefunden. Mehr als 90 % der Quellen sind extragalaktisch (was
allerdings nur durch Folgeuntersuchungen im Radio und optischen Bereich gefunden werden kann). Über die Verteilung
logN (Anzahl) logS (Leuchtkraft) kann man nach Abzug der identifizierten Quellen eine Aussage über eine mögliche
kosmologische Restkomponente erhalten.
Mit seiner Messung am Lockman Loch konnte ROSAT (für diese Richtung jedenfalls) den Anteil einer mögliche kosmologischen
Komponente an der diffusen Hintergrundstrahlung auf maximal 25% beschränken (Aschenbach, 1992).
• BEISPIEL (PLAUTS FENSTER)
Plauts Fenster bei (l = 0 ◦ b = −8 ◦ ) markiert den Übergang zwischen Bulge und Kern der Milchstraße und verläuft
etwa 1 kpc unterhalb der galaktischen Ebene. Falls es gelingt, für die Sterne in dieser Zwischenschicht die Hauptreihe zu
bestimmen, dann kann man Aussagen über das Alter und über die Bildung des Kerns gewinnen.
• BEISPIEL (DAS HUBBLE DEEP FIELD (NORTH))
Das Hubble Deep Field (North) bei (l = 125.9 ◦ b = 54.8 ◦ ) wurde während 10 Tage Dauerbelichtung vom HST aufgenommen.
Die Grenzleuchtkraft betrug im optimalen Fall 30 Magnituden.
• BEISPIEL (DAS HUBBLE DEEP FIELD (SOUTH))
Das Hubble Deep Field (South) enthält mehr Quellen als das nördliche Pendant.

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 43
Sternassoziationen (OB Assoziationen)
Die OB Assoziationen (entdeckt 1947 von Ambartsumian) sind Gruppierungen von sehr jungen, leuchtstarken
O und B Sternen mit ausgeprägter Konzentration in der galaktischen Scheibe, s. Tabelle (1.9),
und dort wieder in den Spiralarmen. Im Gegensatz zu den Sternhaufen handelt es sich bei den Assoziationen
nicht um eine Verdichtung an Sternen, sondern um eine sphärische Ansammlung seltener
(massiver, leuchtstarker) Sterne. Beispiele sind:
1. Orion Ori OB1 (Entf. D = 500 pc, 1000 Sterne)
2. Perseus (α Persei = Per OB2)
3. Sco-Cen (Sco OB2 ist mit D = 160 pc die nächste Assoziation)
Sie fliegen mit etwa 10 bis 15 km/sec auseinander, sie sind sehr jung (Entwicklungsalter < 10 Myr) und
meist noch mit der Molekülwolke assoziiert (dynamisches Alter), in der sie entstanden sind. Spektroskopisch
und dynamisch kann man obere Altersgrenzen angeben, die einige Myr nicht überschreiten.
Besonders interessant sind hier die Schnellläufer. Da bei ihnen Richtung und Geschwindigkeit messbar
sind, können sie zur Ursprungswolke zurück extrapoliert werden. (Beispiel Orion: AE Aurigae und µ
Columbae). Man kennt etwa 10 2 Assoziationen mit 10 bis 10 3 Mitgliedern. Auf ihre Bedeutung für die
Kosmogonie hat erstmals Ambartsumian (1947) hingewiesen. Sie sind bisher der direkteste Nachweis
dafür, daß auch heute noch Sterne geboren werden.
RR Lyrae Sterne
RR Lyrae Sterne sind wichtige Eichkerzen (konstanter Leuchtkraft, SpTyp A2 bis F2, im Mittel MV =
0.6) zur Entfernungsbestimmung und zur Altersbestimmung. Sie gehören zur Population II (Halo mit
Konzentration zum galaktischen Zentrum) und kommen sowohl als Feldsterne als auch in Kugelsternhaufen
vor. Es handelt sich um massearme Sterne, 0.6M⊙ < Masse < 0.9M⊙, die sich vom Hauptast
des Hertzsprung-Russel-Diagramms fortentwickelt haben (bis zum Horizontalast, wo sie im Zentrum
He zu C verbrennen) und mit Perioden zwischen 0.05 und 1.1 Tage (1.5 bis 25 h) pulsieren.
Da ein Stern mit weniger als einer Sonnenmasse mehr als 10 Gyr Jahre (also länger als das Universum
alt ist) auf der Hauptreihe verbringt, ergibt sich ein Problem, das noch bei vielen anderen Sternen
auftritt: der Stern muß beträchtlich Masse verloren haben, um heute in einem derart fortgeschrittenen
Stadium angekommen zu sein. Wie er dort hingekommen ist (oder ob er schon einmal in dieser Phase
war) ist ihm aber nicht anzusehen. Starker Masseverlust wird bisher nur bei Sternen beobachtet, die die
Hauptreihe bereits verlassen haben (Riesen und Überriesen). Diese Entwicklung ist aber sehr schnell
im Vergleich zur Verweildauer bein H Brennen. Somit kann über die Vorläufer (Progenitoren) nichts
gesagt werden: man schätzt für Feldsterne (aufgrund ihrer Häufigkeit) 1.5M⊙ < Masse < 2M⊙. Für
Sterne in Kugelsternhaufen kann der Weg direkt aus dem Hertzsprung-Russel-Diagramm abgelesen
werden. Sie verbrennen He im Innern, müßen also genügend He angesammelt haben zum Zünden
(etwa 0.5M⊙) und den He Zündvorgang (He Flash) überlebt haben ohne zerrissen zu werden.
Beim Zünden gilt (nach Rechnungen von Iben und Renzini) für die minimale Masse an Helium
Mcore = 0.476 − 0.221(Y − 0.3) − 0.009(3 + log Z) − 0.023(M − 0.8) (1.52)
Die Massen sind hier in Einheiten von M⊙ zu nehmen, Y ist der Massenanteil an Helium und Z der an
Metallen. Ein typischer Wert für RR Lyrae Sterne ist Mcore = 0.5. Das liefert die untere Massengrenze.
Die Dauer auf dem Horizontalast (horizontal branch, index HB) kann wie folgt abgeschätzt werden
log(tHB/yr) = 7.74 − 2.2(Mcore − 0.5) (1.53)

44 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Die Pulsation wird, wie bei Cepheiden, durch den Eddingtonschen Kappa Mechanismus ermöglicht.
Empirisch gilt für die Periode (die Näherungsformel, die van Albada und Baker 1973 bestimmten)
log(Π/d) = 0.84(log(L/L⊙) − 0.68(log(M/M⊙) − 3.48(log(Teff) (1.54)
Etwa 1200 RR Lyrae Sterne sind in Kugelsternhaufen bekannt, es gibt jedoch auch isolierte Feldsterne
(mehr als 3200). Diese sind stark zum galaktischen Zentrum hin konzentriert. RR Lyrae Sterne entwickeln
sich im H-R-Diagramm von rechts nach links aufgrund von starkem Massenverlust, der bis
zu ˙ M = 10 −4 M⊙ yr −1 erreichen kann. Ein massearmer Weißer Zwerg ist die Endstation der immer
schneller verlaufenden Entwicklung.
Als theoretische Näherungsformel für Sternpulsationen von RR Lyrae Sternen gilt allgemein (nach
Rechnungen von Iben) für die Fundamentalmode
log(Π/d) = −0.34 + 0.825(log(L/L⊙) − 1.7) (1.55)
−3.34(log(Teff) − 3.85) (1.56)
−0.63(log(M/M⊙) + 0.19) (1.57)
Dabei ist Π die Periode in Tagen. Daraus kann anhand der Beobachtungsdaten die untere und die obere
Grenzmasse (aller RR Lyrae Sterne) bestimmt werden.
Die physikalischen Parameter eines typischen RR Lyrae Sterns sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.
RR Lyrae Sterne sind wegen ihrer konstanten Leuchtkraft ideale
Standardkerzen in der Galaxis, leider aber auch praktisch nur
dort. Die hellsten erreichen scheinbare bolometrische Helligkeiten
von mV = 7m , sind also gerade nicht mehr mit naktem
Auge sichtbar. Der Namensgeber RR Lyrae variiert zwischen
mV = 7m .1und8m RR Lyrae Sterne: Daten
Periode P 12 h
.0.
RR Lyrae Sterne wurden zuerst von S. Bailey (1895) in Kugelsternhaufen
entdeckt und sie wurden anschließend von Shapley
Masse M
Radius R
Temperatur Teff
Puls-Amplitude
Leucht-Amplitude
0.6M⊙
4M⊙
log(Teff ) = 3.85
∆R/R = 0.1
∆L/L = 1.
(1918) benutzt, um die Entfernungen der Kugelsternhaufen zu
bestimmen (nach Eichung mit Hilfe der Cepheiden).
Tab. 1.16: RR Lyrae Daten
Es gilt (heutiger Wert) für die absolute Leuchtkraft MB im blauen bzw. die gesamte Leuchtkraft L
MB = 0.8 ± 0.15 d. h. L = 100L⊙ (1.58)
Mit RR Lyrae Sternen war es erstmals möglich, eine realistische Vorstellung über den Aufbau unserer
Milchstraße zu gewinnen. Absorption kannte man allerdings damals
noch nicht. Aus der Definition des Entfernungsmoduls,
∆m = m − M = 5 log (D/10pc),
entnehmen wir, wann die Grenzempfindlichkeit für die in der Tabelle
gegeben Beispiele erreicht wird. IC 5152 ist die bisher am weitesten
entfernte Zwerggalaxie der Lokalen Gruppe.
Unter der Annahme MV = 0m und mV = 22m (für ein gutes Teleskop)
kommt man 250 kpc weit, und das reicht für die beiden Maghellanschen
Wolken (die Große Maghellansche Wolke mit m − M = 18. m5 und die
Kleine Maghellansche Wolke mit m − M = 18. m9), die Andromeda
Galaxie (M31) ist allerdings 770 kpc entfernt (m − M = 24. m43). Nur
die hellsten Sterne können hier noch aufgelöst werden.
Einige wenige RR Lyrae Sterne sind tatsächlich in den Maghellanschen
Wolken gefunden worden (Relativgeschwindigkeit v = 275 km s−1 Entfernungsmodul
zu Nachbargalaxien
Name m − M Dist
mag
GC 14.52 8 kpc
15 10 kpc
LMC 18.45 50 kpc
20 100 kpc
M31 24.43 770 kpc
25 1 Mpc
IC 5152 26.01 1.6 Mpc
),
und zwar 10 in LMC und 3 in SMC. Die Übereinstimmung mit anderen
Methoden der Entfernungsbestimmung ist für RR Lyrae Sterne nicht gut.
Tab. 1.17: Entfernungsmodul

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 45
Cepheiden
Cepheiden sind periodisch Veränderliche (SpTyp F6 bis K2, Periode 1 bis 50 d) mit besonders grosser
Leuchtkraft (von MV = −6 bis etwa 0). Etwa ein Dutzend sind in unserer Galaxis mit blossem
Auge sichtbar. Sie wurden in der SMC (Kleine Maghellansche Wolke) von Miss Henrietta Leavitt als
mögliche Standardkerzen (1912) entdeckt. Sie fand eine Korrelation zwischen scheinbarer Helligkeit,
m und Periode, P : je größer die Periode, um so größer die Leuchtkraft. Auch hier war die entscheidende
Entdeckung nur möglich, weil Sterne einheitlicher Entfernung gefunden werden konnten. Wichtig
war hier noch das Fehlen von Staub (Absorption, wie in LMC).
Leider gibt es zwei Klassen von Cepheiden (was man bei ihrer Entdeckung nicht wusste, sondern von
W. Baade erst 1952 endgültig herausgefunden wurde): Population I und Population II. Sie unterscheiden
sich in der Leuchtkraft um einen Faktor 4 (und in der Konstanz der Periode). Die zwei Typen von
Cepheiden sind
1. die δ-Cephei Sterne (jung) und
2. W-Virginis Sterne (alt).
In der Milchstraße sind die δ-Cephei Sterne auf die galaktische Ebene (und dort auf die Spiralarme)
konzentriert, Skalenhöhe etwa |z| = 100 Parsec. Die W-Virginis Sterne haben eine Verteilung (Halo
Sterne) wie die Kugelsternhaufen, in denen sie auch vorkommen.
Sie liefern eine von Absorption unverfälschte Leuchtkraftbestimmung durch ihre Periode - Leuchtkraft
Beziehung. Misst man bei verschiedenen Frequenzen, so kann man die Absorption herauskorrigieren.
Man unterscheidet Cepheiden der Population I (junge Sterne mit extremer Konstanz der Periode, konzentriert
in der galaktischen Ebene) und solche der Population II (alte Sterne in Kugelsternhaufen,
welche ursprünglich zur Anschlusseichung benutzt wurden) an der Form der Lichtkurve.
Es gilt empirisch MV = −1.67 − 2.54 log(P/day) oder, grob genähert, für die bolometrische Helligkeit
LI = 500L⊙(P/day) (1.59)
Genauer gilt (für die visuelle Helligkeit)
MV = −2.47 − 3.53 log (P/day) + 2.647(B − V ) (1.60)
und ebenfalls grob genähert für die bolometrische Helligkeit der Cepheiden der Population II, die W-
Virginis Sterne
LII = 125L⊙(P/day) (1.61)
Cepheiden werden heute geeicht anhand der offenen Sternhaufen, (s. (1.9)), welche selbst wieder durch
’main sequence fitting’ an die Hyaden angeschlossen werden.
Die Bestimmung an 220 Cepheiden mit Hipparcos lieferte (Feast und Catchpole, 1997)
MV = −1.43 − 2.81 log(P/day) (1.62)
Empirisch weichen einzelne Objekte um ± 1/2 Magnitude vom Mittelwert ab, man muß also viele
Objekte messen, um verläßliche Werte zu erhalten.
Beispiele klassischer Cepheiden sind RS Puppis (mit P = 41 d , 38 in Pup OB III) und Namensgeber δ
Cephei (mit mV = 3 m .6 . . . 4 m .4 und einer Periode von 5.37 Tagen).
Die Zahlen für die Maghellanschen Wolken sind: Beide enthalten jeweils mehre Tausend Objekte. Im
Falle von LMC wurden zur Eichung Cepheiden in offenen Sternhaufen ausgesucht, 14 in NGC 2031,
9 in NGC 1866 und 3 in NGC 2157.

46 KAPITEL 1. GEOMETRIE
• ANMERKUNG (RADIENBESTIMMUNG)
Rechnet man die Helligkeitsschwankungen um in Temperatur- und Radiusschwankungen, dann kann man den Radius direkt
bestimmen. Aus
L = 4πR 2 σT 4
folgt für adiabatische Änderungen (P = nkT und P ∝ n 5/3 ) zunächst T ∝ n 2/3 ∝ R 2 und daraus L ∝ R 10 . Genauer
kann man aus
m1 − m2 = −2.5 log(R 2 1Φ1/R 2 2Φ2)
mithilfe der Wienschen Näherung der Planck Formel
Φ ∝ exp(−hν/kT )
differentiell, d. h. für gegebene Frequenz ν, für die beiden Zustände 1 und 2
m1 − m2 = 1.086 hν
�
1
−
k T1
1
�
− 5 log(R1/R2)
T2
erhalten. Daraus kann der Radius bestimmt werden.
Für δ Cephei ergibt sich R = R⊙ und eine Amplitudenschwankung des Radius von
R − Rmin
∆ = = 0.1.
Rmax
Dies gilt allgemein für Cepheiden der Population I. Bei anderen Variablen können die relativen Amplitudenschwankung
aber wesentlich größer sein. Für W Virginis z. B. ist ∆ = 0.5 beobachtet.
In unserer Galaxis gilt für die hellsten Vertreter Pmax = 45 d (für SV Vul in Vul OB1), während in
der Galaxie M31 (Andromeda) Pmax = 150 d gilt. Beispiele von Typ II Cepheiden (auch W Virginis
Veränderliche genannt) sind neben W Virginis noch RV Tauri und Mira Ceti (welche bei genauerer
Klassifizierung wieder Unterklassen darstellen).
Mira Sterne
Eine Besonderheit weisen die langperiodischen Mira Sterne auf. Ihre absolute Helligkeit ist nahezu
konstant. Mira z. B. hat Mbol ≈ −5, das entspricht L = 7.7 · 10 3 L⊙, ihre visuelle Helligkeit, d. h. ihr
optisches Erscheinungsbild, schwankt dagegen stark, mit einer typischen Amplitude von ∆mV = 3 m .
Mira Ceti (Omicron Ceti = o Cet) selbst variiert sogar um ∆mV = 7 m , d. h. Mira ist ein Stern der
periodisch (alle 11 Monate) am Himmel erscheint (mit mV = 3 ist er mit blossem Auge gut sichtbar),
um dann wieder zu verschwinden (mit mV = 10 ist er selbst mit Feldstecher unsichtbar). Das war im
Altertum ein unverständliches Phänomen, deshalb der Name Mira = der Wunderbare.
Die genaue Klassifizierung von Mira ist M6e III, ein roter Riesenstern mit extremen Daten. Seine
Strahlung hat ihr Maximum im Infraroten bei 1µ, mit Schwankungen zwischen 0.69 µ (T = 2000 K)
und 1.44 µ (T = 3000 K). Da das Maximum im Infraroten liegt, bekommt das Auge wenig von den
eigentlichen Schwankungen mit, es sieht den Wienschen Ast.
Dementsprechen groß ist der Radius. Er kann (als einer der ganz wenigen Sternradien) interferometrisch
bestimmt werden: R = 390R⊙ (also 2AE!).
Die Oberflächentemperatur von o Cet schwankt maximal zwischen 2100 und 2700 K. Es handelt sich
um einen Doppelstern, dadurch kann sogar seine Masse bestimmt werden: M = 1 · R⊙. Die Oszillationen
sind nicht streng periodisch, was sich damit erklären läßt, daß Mira Sterne konvektiv sind.
Es gibt etwa so viele Mira Sterne wie RR Lyrae Sterne. Der SpTyp reicht von M0e bis M10e. Dazu
kommen die Typen N, R, S. Das kleine e bedeutet, daß Mira Sterne Emissionslinien (z. B. von dem
Molekül TiO) zeigen, einige haben zirkumstellare Hüllen. Die Verteilung ist jedoch anders. Mira Sterne
befinden sich auf dem Weg, ein Weißer Zwerg zu werden.
(1.63)

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 47
Die hellsten Sterne
Klassifikation: Variable Sterne
Name Periode Pop SpTyp MV
RR Lyrae 1.5 – 25 h II A2 – F2 0.6
δ Cephei 1 – 50 d I F6 – K2 −6 bis −0.5
W Virginis 2 – 45 d II F2 – G6 −3 bis 0
RV Tauri 205 – 150 d II G – K −3
Mira 100 – 700 d I und II M,N,R,S −3 bis −1
Die Oszillationen sind radial. Miras sind konvektiv.
Für die hellsten RR Lyrae Sterne haben wir unter der Annahme MV = 0 m und mV = 22 m als Maximalentfernung
250 kpc bestimmt. Eine Cepheide (vom Typ I) hat für P = 20 Tage etwa MV = −5,
damit kommt man bei gleicher Annahme über die Teleskop-Empfindlichkeit mit
D1
D2
= 10 0.2(M2−M1)
(1.64)
einen Faktor 10 weiter, also bis 2.5 Mpc.
Als Maximalhelligkeit (für P = 150 Tage) gilt etwa MV = −7 und damit Dmax = 4 Mpc.
Kosmologisch interessante Entfernungen liegen jedoch jenseits von 100 Mpc. Cepheiden reichen demnach
nicht aus, um den entscheidenden Schritt zur kosmologischen Entfernungsbestimmung zu vollziehen.
Hubble benutzte deshalb die hellsten Sterne einer ganzen Galaxie (einige waren allerdings H
II Regionen bzw. unaufgelöste Sternhaufen). Er fand MV = −6 m , 1, was etwa L = 10 4 L⊙ entspricht.
Heute gilt dagegen MV = −8 m , 5 und für
blaue Überriesen MV = −9 m , 3 ± 0.1 (1.65)
In unserer Galaxie gehören zu den hellsten Sternen:
1. HD 97950, ein Stern mit MV = −7 m , 9; vom SpTyp O3, Masse ≈ 80M⊙ in NGC 3603.
2. Eta Carinae, ein Stern vom SpTyp O3, Masse ≈ 100M⊙.
3. ζ Pup und χ Vel ein Doppelsternsystem mit MV = −7 m , 3; SpTyp O5.
Zu unserer nächsten Nachbarschaft gehört die Große Maghellansche Wolke. Die hellsten Sternen dort
sind:
1. Mk42, ein Stern mit SpTyp O3, Masse ≈ 110M⊙, T = 42000 K, L = 2.3 · 10 6 L⊙ (MV =
−7 m , 1).
2. R136a1, ein Stern mit SpTyp O3, Masse ≈ 100M⊙ im Sternhaufen R136 im Zentrum des 30-
Doradus-Nebels.
3. R127 = HDE 269858, ein variabler Stern mit SpTyp OIafpe und mit bipolarem Ausfluß (im
Zentrum des 30-Doradus-Nebels).
Die Entfernung zu diesen Sternen ist damit gut bekannt. Es ist allerdings fraglich, ob diese Sterne
wirklich als Eichstandards zu gebrauchen sind. Sie sind nicht mehr im hydrostatischen Gleichgewicht,
sie pulsieren und verlieren Masse mit einer Rate von bis zu ˙ M = 3 · 10 −4 M⊙ yr −1 . Die Massenverlust-
Rate ist hier so groß, daß die Entwicklungszeit von 1 Myr für solche Sterne deutlich unterschritten
wird, die Leuchtkraft wird damit eine Funktion der Zeit. Der Stern R127 = HDE 269858 war 1989 der
hellste in LMC.
Hier können (langfristig) Typ Ia Supernovae weiterhelfen. Sie haben
Typ Ia Supernovae MV = −19 m ; Dmax = 250 Mpc
damit kann dann die Hubble Konstante bestimmt werden.

48 KAPITEL 1. GEOMETRIE
• FORMELN (INDIKATOREN ERSTER ORDNUNG)
Die derzeit wichtigsten Indikatoren erster Ordnung sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt.
Die Eichklassen erster Ordnung sind in der Tabelle nach Reichweite geordnet. RR
Lyrae Sterne und Cepheiden vom Typ I sind auch in den Maghellanschen Wolken
vermessen worden. Dort entfällt eine Unsicherheit: Es sind alle Sterne gleich weit
entfernt und es ist sogar möglich, zwischen Feldsternen und Sternen in Kugelsternhaufen
zu unterscheiden. Es zeigt sich, daß diese keineswegs gleiche Helligkeit besitzen.
Gleiches gilt für Novae. Insgesamt kennt man (bis 1991) 18 Novae in den
Maghellanschen Wolken, 14 in LMC und 4 in SMC. Ihre Eigenschaften sind vergleichbar
mit denen der Milchstraße. Wichtige Ausnahme ist die Nova 1991 in LMC
mit Mv = −9 m im Maximum, eine Magnitude heller als die hellsten Novae in der
Milchstraße.
Primäre Eichstandards
Sternklasse Mv Dmax
RR Lyrae 0 m .5 200 kpc
Cepheiden −7 m 4 Mpc
Überriesen −7 m 2 Mpc
Novae −8 m 4 Mpc
Supernovae −19 m 250 Mpc
Tab. 1.18: Eichklassen
Eine interessante Fragestellung, die nunmehr mit den zur Verfügung stehenden Beobachtungsinstrumenten geklärt werden
kann, ist die Abhängigkeit der Leuchtkraft vom Ort des Eichstandards (chemische Zusammensetzung). Da es sich um die
jeweils hellsten Objekte einer Klasse handelt, ist hier die Malmquist Verfälschung besonders zu berücksichtigen.
Ein gutes Beispiel dafür ist der bereits erwähnte 30-Doradus-Nebel in der Große Maghellansche Wolke. Ursprünglich (Feast
et al. 1960), als dieser noch nicht aufgelöst werden konnte, wurde als Modell ein supermassiver Stern von M = 2 · 10 4 M⊙
vorgeschlagen. Um 1990 war der Kern in 111 OBA Sterne aufgelöst, der Kern R139 enthielt aber immer noch etwa die gleiche
Masse. Erst mit dem Hubble Space Teleskop konnte R139 aufgelöst werden. Das Ergebnis wird später weiter diskutiert
werden.
Von den Eichklassen erster Ordnung sind die wichtigsten, nämlich die Supernovae, noch am wenigsten gut verstanden (weil
sie so selten bzw. so weit weg sind).
1.2.4 Daten einiger wichtiger Nachbargalaxien
Mit den primären Eichstandards kommen wir bequem bis M31. Wir geben hier einen kleinen Ausblick, die eigentliche Behandlung
der Entfernungsbestimmung in unserer Metagalaxie verschieben wir, bis wir Galaxien bei anderen als optischen
Frequenzen behandelt haben.
Die Andromeda Galaxie (M31, mit ihren beiden Begleitern M32 und M33) bildet zusammen mit der Milchstraße (plus
LMC und SMC) ein Doppelgalaxie System. Solche Systeme sind häufig in Galaxienhaufen. Das Gesamtsystem wird zur
Lokalen Gruppe zusammengefasst. Weitere Gruppen in unserer Nähe (wie M81 mit M82 und NGC 2403 oder die Maffei
Gruppe mit NGC 6946) werden wir später kennenlernen.
Wir beschließen diesen Überblick mit einer Tabelle von Daten der wichtigsten Nachbargalaxien und Literatur für genauere
Angaben.
Die Koordinaten der folgenden Tabelle enstammen der SIMBAD Datenbank. Die Gesamtmasse der lokalen Gruppe, mit
nunmehr insgesamt 40 Mitgliedern, wird in diesem
Modell zu
MLG = 5 · 10 12 M⊙
angenommen. Die Rektaszension α in Spalte 2
und die Deklination δ in Spalte 3 beziehen sich
auf das Jahr 2000. Spalte 4 und 5 geben die galaktischen
Koordinaten l und b in Grad. Die letzte
Spalte gibt die Beträge der Entfernungen Dist
(in Mpc). Sie sind hier auf den Schwerpunkt der
lokalen Gruppe bezogen. Die angegebenen Geschwindigkeiten
V⊙ (in km s −1 ) sind dagegen
bezogen auf den LSR (local standard of rest).
Der Einflussbereich der lokalen Gruppe reicht
bis etwa 1.8 Mpc vom Schwerpunkt, Galaxien,
die weiter entfernt sind, gehören zum Virgo Haufen.
Die Masse des Virgo Haufens beträgt in diesem
Daten der wichtigsten Nachbargalaxien
Name α δ l b V⊙ Dist
J2000 J2000 deg deg Mpc
MWG 17 h 45 m .7 −29 ◦ 00 0.00 0.00 16 0.440
LMC 05 h 23 m .6 −69 ◦ 45 280.46 −32.89 278 0.469
SMC 00 h 52 m .6 −72 ◦ 48 302.80 −44.30 158 0.468
M31 00 h 42 m .7 41 ◦ 16 121.18 −21.57 −301 0.329
M32 00 h 42 m .7 40 ◦ 52 121.15 −21.98 −200 0.326
M33 01 h 33 m .8 30 ◦ 39 133.61 −31.33 −181 0.436
Geschwindigkeit V⊙ (in km s −1 ) bezogen auf LSR
Dist (in Mpc) bezogen auf Schwerpunkt
Tab. 1.19: Nachbargalaxien
Modell etwa MV irgo = 1 · 10 15 M⊙. Wir kommen auf die Bestimmung später zu sprechen.
• LITERATUR (FÜR GENAUERE ANGABEN)
Marcy, G. W. und R. P. Butler, [MB98] Detection of extrasolar Planets.
Woolf, N. und J. R. Angel, [WA98] Astronomical Searches for Earth-like Planets ans Signs of Life.
J. Kovalevski, [Kov98] First Results from Hipparcos.
T.R. Geballe, [Geb85] Das Zentrum der Milchstrasse.

1.2. LÄNGEN: RADIEN UND ENTFERNUNGEN 49
B.J. Bok, [Bok85] Die Milchstrassengalaxie.
B. Westerlund, [Wes97] The Magellanic Clouds.
P.W. Hodge, [Hod85] Die Andromedagalaxie.
M. Rowan-Robinson, [RR85] The cosmological distance ladder.
E. K. Grebel, [Gre97] Star Formation Histories of Local Group Galaxies.
M. Mateo, [Mat98] Dwarf Galaxies of the Local Group.
D. Branch, [Bra98] Type Ia Supernovae and the Hubble constant.

50 KAPITEL 1. GEOMETRIE
1.3 Galaxien bei anderen Frequenzen
1.3.1 Entdeckung neuer Objekte
Jeder neu erschlossene Frequenzbereich und jede wesentliche Verbesserung bei der Untersuchung
(wie spektrale Auflösung, Nachweisempfindlichkeit oder Positionsgenauigkeit) des elektromagnetisch
Spektrums hat einerseits bisherige Vorstellungen in der Astrophysik bestätigt und präzisiert, hat aber
darüber hinaus auch zur Entdeckung völlig neuer Objekte geführt, die zunächst nicht verstanden wurden.
Darunter sind einige Quellen, die im gesamten heute zugänglichen Frequenzbereich, der mittlerweile
von 10 6 Hz bis zu 10 25 Hz reicht, beobachtbar sind und damit für den Beobachter den Status von
Standards erhalten haben (ähnlich wie die Sonne). Dazu gehört der Krebsnebel mit seinem Pulsar
(galaktisch, D = 2 kpc ) und der Quasar 3C 273 mit seinem Jet (extragalaktisch, z = 0.158 entspricht
etwa 0.9 Gpc).
Hier ein kurzer Abriss der Entwicklung der Astronomie in Frequenzbereichen außerhalb des optischen.
Viele der entdeckten Quellen sind in kosmologischer Entfernung, d. h. ihre optischen Linien, die ein
Beobachter (Index o) misst, sind um
1 + z = λo
λe
= ωe
ωo
(1.66)
gegenüber der des Emitters (Index e) verschoben. Das führt bereits auf das bisher ungelöste Problem
der kosmologischen Entfernungsbestimmung.
Was wir sehen, besser, was wir bisher (in kosmologischer Entfernung) gesehen haben, ist nur die
Spitze des Eisbergs. Manches werden wir nie sehen können, selbst wenn wir alle möglichen Beiträge
des Sonnensystems berücksichtigen.
Der Grund dafür ist folgender: Als Beobachter sitzen wir am Innenrand eines hellen Spiralarms. Das
ist so, als wenn wir aus einem erleuchteten Zimmer heraus den Sternhimmel betrachteten. Quantitativ
gibt es dafür eine universelle Flussgrenze,
flim = 10 −12 erg s −1
was 1 Jy im Radio (100 GHz) entspricht. Von Quellen, deren Fluß wesentlich kleiner ist als flim, muß
man die Position genau kennen und lange messen.
Zusätzlich zu diesem Hintergrundrauschen kommt im Bereich von 0.1 eV bis 10 keV die Absorption
des H Atoms. Für ein Gas kosmischer Häufigkeiten und einer Dichte von 1 Teilchen pro cm 3 fällt
die Absorptionslänge von 10 24 cm (300 kpc) auf 10 22 cm (3 kpc) kurz vor 10 eV (Lyα) um dann auf
10 17 cm (0.03 pc) zu springen. Im UV kann man also nicht einmal die nächste Umgebung der Sonne
betrachten. Bis 10 keV wächst die Absorptionslänge wieder auf 10 24 cm.
1.3.2 Probleme der Bestimmung grosser Entfernungen
Definitionen und Formeln
Zum Nachschlagen vorweg einige Definitionen und Formeln, mit denen wir uns dabei behelfen müßen
und die hier nur zur Illustration benutzt werden. Sie werden später hergeleitet, wobei die hier angegebenen
Beispiele untersucht werden.
• FORMELN (PARAMETER DER HUBBLE EXPANSION)
Mit den Bezeichnungen H = Ho für die Hubble Konstante (der Index o erinnert an Observer und den heutigen Zeitpunkt)
und c für die Lichtgeschwindigkeit gilt, für nicht zu grosse Rotverschiebungen, das lineare Hubble Gesetz
z = H
r (1.67)
c

1.3. GALAXIEN BEI ANDEREN FREQUENZEN 51
für ein Objekt in der Entfernung r vom Ursprung, wo der Beobachter sitzt. In Zukunft wollen wir r = D für die Entfernung
setzen. Hat man erst einmal H bestimmt, dann kann man die Gleichung umkehren und
D = c
Ho
z = 6 1
z Gpc (1.68)
2h
zur Entfernungsbestimmung benutzen. Die Größe h ≈ 0.5 ist die natürliche, dimensionslose Entfernungs - Masseinheit
(Hubble Parameter) für Kosmologen und wird später erklärt. Es gilt dann
Hubble Konstante, H
Als Einheiten wählt man gewöhnlich für die Geschwindigkeit v 100 km s −1 und für die Entfernung l das Mpc,
sodaß H = v/l die Einheit
H100 ≡ 100 km s −1 Mpc −1 (1.69)
hat. Es ist dann üblich
H = h H100 oder H = 1
(2h) H100
(1.70)
2
zu definieren, sodaß h eine dimensionslose Einheit für H ist (und wobei die zweite Version berücksichtigt, daß
2h ≈ 1 ist).
In Zahlen:
1
H = 19.56(2h)−1 Gyr = 6 · 10 17 (2h) −1
und (wenn wir c = 3 · 10 5 km s −1 setzen)
Dichteparameter Ω
c
H = 6(2h)−1 Gpc = 1.85 · 10 28 (2h) −1
Ω = κρa2
3˙a 2
Dezelerationsparameter q:
q = − äa
˙a 2
Für Λ = 0 (keine kosmologische Konstante) gilt für den Dichteparameter Ω
Ω = ρ
ρc
= κρc2
3H 2
und den Dezelerationsparameter q die einfache Relation Ω = 2q.
s (1.71)
cm (1.72)
Die Größe a ist ein nicht meßbarer Skalenfaktor (’Radius des Universums’), der durch beobachtbare Größen ersetzt
werden muß. Er hängt wie folgt
1 + z = ao
=
ae
� �2/3 to
te
mit dem Alter des Universums zum jeweiligen Zeitpunkt zusammen.
Die Größe 1
H = 20 (2h)−1 Gyr ist die obere Grenze für das Alter des Universums.
• FORMELN (ENERGIE, LEUCHTKRAFT UND FLUSS I)
Mit diesen Definitionen gilt für den Zusammenhang zwischen beobachtetem Fluß fo einer Quelle und ihrer Leuchtkraft Le
zum Zeitpunkt der Emission
Le = 4πr 2 A(1 + z) 2 fo
Die Größe rA ist ebenfalls ein nicht meßbarer Skalenfaktor, der durch beobachtbare Größen ersetzt werden muß. Wie wir
zeigen werden, kann hier
(1.73)
(1.74)
(1.75)
(1.76)
Dl = rA(1 + z) (1.77)

52 KAPITEL 1. GEOMETRIE
als Leuchtdistanz interpretiert werden. Die Formel lautet dann
Le = 4πD 2 l fo
Im folgenden werden wir zeigen, wie rA aus der Rotverschiebung z und der Hubble Konstanten, H, in den einfachen Fällen
bestimmt werden kann, wo das kosmologische Modell mit dem Dezelerationsparameter q bestimmt ist.
Die Größe � fodto wird als fluence bezeichnet und spielt bei den Gamma Bursts eine wichtige Rolle. Wir bezeichnen sie
mit
�
E = fodto
Mit der wichtigen Rotverschiebungs Relation für die Eigenzeit dt und Frequenz ν
dte(1 + z) = dto bzw. νe = (1 + z)νo
kann aus ihr auf die Gesamtenergie Ee geschlossen werden
Ee = 4πD 2 �
1
l fodto
1 + z
Für die besonders einfachen Fälle, q = 0, (Milne-Schücking)
rA = c
�
1
1 −
2H (1 + z) 2
�
und q = 1/2, (EdS)
rA = 2c
H
�
1 −
�
1
√
1 + z
kann rA geschlossen analytisch angegeben werden. In beiden Fällen gilt für kleine z die Näherung
(1.78)
(1.79)
(1.80)
(1.81)
rA = c
z (1.82)
H
die wir meistens benutzen werden. Die allgemeine Form ist auch noch für Λ = 0 und p = 0 möglich, (Mattig, 1958)
rA = H −1 q −2 (1 + z) −2 {zq + (1 − q)[(1 + 2qz) 1/2 − 1]} (1.83)
Für den Entfernungsmodul m(z) − M ergibt sich allgemein
m − M = 5 log10Dl(z) − 5 (1.84)
und daraus in zweiter Näherung
z
m − M = 42.38 + 5 log10
h + 1.086(1 − q0)z + . . . (1.85)
wobei 1.086 = 2.5
ln10 ist.
Beispiel
Moderne Werte für MB sind: MB − 5log(2h) = −19.78, −17.18 und −16.19 für Supernovae vom Typ Ia, Ib und Ic.
Mit m = 25 und z = 1 ergibt sich, falls wir MB = −19.78 und 2h = 1 akzeptieren: 44.78 = 43.89 + 1.086(1 − qo) und
damit etwa qo = 0.1.
• FORMELN (ENERGIE, LEUCHTKRAFT UND FLUSS II)
Die Energiedichte der Strahlung, u, ändert sich wie folgt: die Anzahl der Photonen ist erhalten na 3 = const, jedes Photon
wird rotverschoben, insgesamt also
uo = ue
� �4 ae
ao
=
ue
(1 + z) 4
Gleiches gilt damit für die Strahlungsintensität der Quelle
Io = Fo
Ω
= c
4π uo
(1.86)
(1.87)

1.3. GALAXIEN BEI ANDEREN FREQUENZEN 53
Die jeweilige Spektral-Komponente hat einen Faktor (1 + z) mehr, da durch die Frequenz zu teilen ist.
Io,ν = Ie,ν
(1 + z) 3
Für die Fläche folgt
A = a 2 eσ 2 (u)Ω = a2 oσ 2 (u)Ω
(1 + z) 2
und mit Io = Fo/Ω gilt
und
fo =
fo,ν =
Le
4πD2 Le
=
(1 + z) 2 4πD2 l
(1 + z)Le,ν
4πD 2 l
Benutzte kosmologische Formeln
bei der Entfernungsbestimmung
In konkreten Fällen werden wir das nahezu leere Universum mit q = 0, (Milne-Schücking) und, falls
nicht anders angegeben, h = 0.5 zur Berechnung der Entfernung aus der Rotverschiebung z benutzen.
Dl = 6 1 1 + 0.5z
z
2h 1 + z
und mit in fo erg cm −2 s −1
Le = 4 · 10 57 foz 2
(1.88)
(1.89)
(1.90)
(1.91)
Gpc (1.92)
� �2 1 + 0.5z
1 + z
erg s −1 (1.93)
Zum Umrechnen von bolometrischen Magnituden Mb in Leuchtkräfte L gilt
L = 10 10 dex(0.4[−M − 20.3])L⊙
(1.94)
Die Milchstraße hat etwa Mb = −21 oder LMWG = 4 · 10 10 L⊙ und die Leuchtkraft der Sonne beträgt
L⊙ = 3.9 · 10 33 erg s −1 .
Die hellste Galaxie im Shapley-Ames Katalog, NGC 1961, hat Mb = −23.7 oder die optische Leuchtkraft
L = 3 · 10 11 L⊙ und eine Masse M = 2 · 10 11 L⊙. Solche Galaxien, wo die gesamte Masse wie
die Sonne leuchtet, sind insgesamt sehr selten. Es gibt sie auch im Radio- und Röntgenbereich.

54 KAPITEL 1. GEOMETRIE
1.3.3 Radio-Astronomie
So wie es aussieht hat jeder Frequenzbereich, Radio, IR, Optisch, Röntgen und Gamma seine spezifischen
Quellen, die nur in diesem Bereich leuchten. In der Radio-Astronomie sind das mit Sicherheit
die Pulsare, eventuell auch spezielle Galaxien. Die meisten Pulsare sind sogar nur in einem winzigen
Unterbereich der Radiofrequenz Skala (vornehmlich um 400 MHz oder 75 cm) nachweisbar.
Die Radio-Astronomie untersucht einerseits das kalte Universum, wobei die kosmologische Hintergrundstrahlung
allgegenwärtig ist, andererseits die heißesten Objekte, die Supernova Überreste und
die Radiopulsare. Alle Strahlungsarten kommen vor: kohärent und inkohärent, polarisiert und unpolarisiert,
Kontinuum und Linienstrahlung, thermisch und nichtthermisch, nichtrelativistisch und relativistisch
erzeugt. Eine neue, unverstandene Klasse sind die (reinen) Radio Supernovae. In NGC 6052 =
Mrk 297 (eine nahe Starburst-Galaxie) wurde 1979 eine solche Supernova entdeckt.
In der Regel ist die Energie der Strahlung unbedeutend, Ausnahme sind die kalten Molekülwolken, die
nur mit CO und Staub kühlen können, was für die Sternbildung (und Planeten) wichtig ist. Punktquellen
sind in der Radio Astronomie die Ausnahme (Pulsare und Maser), die häufigsten Quellen sind Galaxien
in grosser Entfernung (Median Rotverschiebung: z = 0.8). Die starke Polarisation der Strahlung weist
auf das Vorhandensein entweder starker (Pulsare) oder grossräumiger (Galaxien) Magnetfelder hin.
Wie diese Felder einmal entstanden sind ist unklar, sicher ist nur, daß, falls sie erst einmal existieren,
sie nicht so schnell (Pulsare) oder gar nicht (Galaxien) zerfallen.
Die (geschätzte) Radio Leuchtkraft der Milchstraße ist mit Lradio = 10 38 erg s −1 bescheiden, für M31
wird sie auf Lradio = 10 40 erg s −1 veranschlagt. Das Spektrum ist bei den meisten Quellen ein typisches
Synchrotron Spektrum von der Form
Φν ∝ ν α
; α = 0.75 ± 0.2 (1.95)
die Milchstraße hat α = 0.7.
Die grossen, ausgehnten Radioquellen (Ausdehnung bis zu Mpc) sind wesentlich leuchtstärker und
erreichen die optische Leuchtkraft Lopt: Cygnus A (stärkste Radioquelle s. u.) hat Lradio = Lopt = 10 45
erg s −1 .
Der Beginn der Radio-Astronomie
• ZUSATZ (DIE PIONIERE DER RADIO-ASTRONOMIE)
Die Amerikaner Karl Jansky und Grote Reber sind die Pioniere der Radio Astronomie. Jansky (ein Ingenieur bei Bell Labs)
fand die Radio Strahlung (λ etwa 10 Meter) zufällig beim Versuch, das Antennenrauschen zu unterdrücken, im Jahr 1931.
Frühere Versuche, Radio Strahlung von der Sonne nachzuweisen, waren wegen ungenügender Empfindlichkeit der Apparatur
fehlgeschlagen (Nordmann, 1901, auf dem Mt Blanc). Jansky dagegen entdeckte eine atmosphärische Komponente in
Richtung Sagittarius. Reber war der erste, der ein richtiges Radio Teleskop (λ etwa 1.87 Meter) baute. Er fand die Strahlung
der Milchstraße, hauptsächlich in der galaktischen Ebene konzentriert. Die Radio Strahlung von der Sonne konnte er erst
1943 nachweisen, die Galaxis strahlt im Meterwellenbereich stärker als die Sonne. Diese frühen Entdeckungen blieben ohne
grosse Resonanz seitens der Astronomen, der eigentliche Aufschwung der Radio-Astronomie kommt nach dem Zweiten
Weltkrieg (zunächst in England und Australien, mit 20 Jahren Verzögerung dann auch in den USA).
Zu Beginn der Radio-Astronomie war der Charakter einer Radio Quelle natürlich nicht klar. So kommt
es, daß die besonders starken Quellen, ähnlich wie im optischen bei Messier, verschiedene Arten von
astronomischen Objekten erfassen (Sterne, Supernova Überreste und Galaxien). Sie wurden am Anfang
nach dem Sternbild, in dem sie gefunden wurden und mit grossen Buchstaben in der Reihenfolge
ihrer Entdeckung bezeichnet. Cen A ist also die erste Radio Quelle, die in Centaurus gefunden wurde
(von Hey, Parsons und Phillips, 1945 in England und 1948 von Bolton, Stanley und Slee in Australien).
Bolton, Stanley und Slee identifizierten die ersten drei mit Taurus A (NGC 1952 = Krebsnebel), Centaurus
A (NGC 5128) und Virgo A (NGC 4486). Diese Identifizierungen wurden zunächst mit Skepsis
aufgenommen, das änderte sich erst mit den Arbeiten von Baade und Minkowski.

1.3. GALAXIEN BEI ANDEREN FREQUENZEN 55
Cen A (Typ dE) ist auch überhaupt die erste und damit die hellste extragalaktische Radio Quelle am
Himmel. Das ist erstaunlich, es handelt sich hierbei nämlich um eine 4 Mpc entfernte Radio Galaxie.
Ihr optisches Pendant war bis dahin unbekannt, es wurde erst 1953 von Baade und Minkowski als
peculiar galaxy identifiziert. Im optischen ist Cen A etwa 100 kpc langgestreckt mit Andeutung von
Materieauswurf, im Radio ist die Ausdehnung sogar 700 kpc lang. Die Leuchtkraft im Radio (von 10
MHz bis 10 GHz) beträgt L = 10 42 erg s −1 .
Radio Galaxien mit vergleichbarer Leuchtkraft, L = 10 42 erg s −1 , sind Fornax A (NGC 1316, Typ cD)
und Perseus A (3C 84, NGC 1275).
Der zweite Radio Stern und der scheinbar hellste überhaupt war Cas A, 1947 entdeckt von Ryle und
Smith und von Minkowski später als Supernova Überrest identifiziert (3C 361 = 3U 2321 + 58).
Cygnus A (stärkste Radioquelle, 1954 optisch entdeckt von Baade und Minkowski) mit
Lradio = Lopt = 10 45
erg s −1
und Virgo A (M 87, 1949 endeckt von Bolton et al.) sind weitere bekannte Beispiele für Radio Galaxien.
Die Bezeichnung Tau A (3C 144), der dritthellste im 3C Katalog, im Falle des Krebsnebels ist
nicht mehr üblich, Cas A und Puppis A für die entsprechenden Supernova Überreste sind aber noch
gebräuchlich (mangels anderer Namen).
Entdeckung neuartiger Quellen
Cen A in einer Entfernung von 4 Mpc und Cyg A (z = 0.0562) in einer Entfernung von 340 Mpc
sind typische Beispiele leuchtstarker Radio Galaxien, die einfach mit optischen Quellen identifiziert
werden konnten. Die Identifizierung der Quasare war wesentlich schwieriger.
• ZUSATZ (AUF DEM WEG ZUR IDENTIFIZIERUNG DER QUASARE)
Zu Beginn der Radio-Astronomie (1950) waren die Positionen nicht mit genügender Genauigkeit bekannt, um sie mit
optischen Objekten identifizieren zu können. Ein wichtiger Fortschritt war hier der dritte Cambridge Katalog (1960). Die
bisher genannten Galaxien konnten identifiziert werden:
1. Vir A = NGC 4486 = M87 = 3C 274
2. Cen A = (keine M Nummer, da von Paris aus nicht zu sehen) = NGC 5128
3. Cyg A = (keine NGC Nummer, neuer Typ) = 3C 405
Am Anfang der sechziger Jahre konnte durch Interferometrie die Genauigkeit in der Positionsbestimmung im Radiobereich
so verbessert werden (Matthews, 1960 an 3C 48), daß die ersten optischen Identifikationen mit scheinbar = quasi stellaren
Objekten möglich wurde. Es zeigte sich, daß Quellen wie 3C 48 vorher optisch nicht untersucht bzw. bekannt waren.
Sandage fand (1961) das optische Gegenstück zu 3C 48. Es handelte sich um eine neue Kategorie von Quellen, bei 3C
48 um einen Stern 16ter Größe mit völlig unbekanntem Spektrum, und dazu noch variabel. Bis 1963 wurden eine Reihe
weiterer Objekte optisch mit Punktquellen unverständlichen Spektrums identifiziert.
• ZUSATZ (DER QUASAR 3C 273)
Die Identifizierung der Rotverschiebung gelang anhand der heute berühmtesten Quelle 3C 273. Diese wird vom Mond
bedeckt und somit konnte eine extrem genaue Radio (Hazard, 1963) und optische Position bestimmt werden. M. Schmidt
fand dann am bereits früher aufgenommenen Spektrum dieses Sterns 13ter Größe, daß die Linien Hɛ, Hδ, Hγ und Hβ alle die
gleiche Rotverschiebung aufwiesen: z = 0.158. Die Hα Linie wird bereits bei dieser Rotverschiebung ins IR verschoben,
sie wurde später von Oke (1963) bestätigt. Die Quellen wurden Quasar, für Quasi stellar radio source benannt (Acronym
von H.Y. Chiu).
Wenden wir unserer Gleichung (1.92) auf 3C 273 an, dann erhalten wir Dl = 0.9 Gpc, also etwa ein Giga Parsec. Für 3C
48 ist z = 0.368 und das liefert etwa das Doppelte, Dl = 2.2 Gpc.
• ZUSATZ (ENTDECKUNG DER BL LAC OBJEKTE)
1969 wurde (zufällig, bei einem Hochfrequenz Survey) eine neue Klasse von Radio Galaxien entdeckt: die BL Lac Objekte,
die später Blasars genannt wurden (E. Spiegel). In dieses Jahr fällt auch die Entdeckung der Radiopulsar durch J. Bell. Der
erste Linsen Quasar wurde bei einem 960 MHz Survey in Jodrell Bank entdeckt.

56 KAPITEL 1. GEOMETRIE
In nicht einmal 20 Jahren hat damit die Radio-Astronomie durch die Entdeckung völlig neuer Objekte
wie
Quasare, Pulsare, BL Lac und Gravitationslinsen
die Astronomie revolutioniert. Die meisten bisher entdeckten Radio Quellen sind weit entfernt. Von 40
Tausend Quellen mit f > 25 mJy bei 4.85 GHz sind weniger als 1 % mit Galaxien innerhalb von 100
Mpc korreliert. Die median Rotverschiebung der Radio Quellen liegt bei z = 0.8, d. h. am Rande des
Universums (Dl = 5 Gpc).
Die 21cm Linie des neutralen Wasserstoff stellt ein wichtiges Hilfsmittel der Entfernungsbestimmung
dar in den Fällen, wo ein optisches Spektrum fehlt (Staub). So findet man die Entfernung zu den
riesigen IR Quellen (und damit ihre Massen von bis zu 10 11 M⊙).
Die Entdeckung der kosmischen Hintergrundstrahlung
Wie wir mittlerweile wissen, geschah die erste Entdeckung der kosmischen Hintergrundstrahlung, wie
sie von Gamow vorhergesagt worden war, anhand von (optischen) Absorptionsmessungen an dem
Radikal CN (Klemperer, 1941). Sie wurde damals von den Chemikern nicht verstanden und bei den
Astronomen war sie unbekannt.
Beim Versuch, eine rauscharme Übertragung im Mikrowellenbereich zu ermöglichen, finden Penzias
und Wilson (1964) unerwartet eine universelle Schwarzkörper Hintergrundstrahlung von 2.7 K. Den
definitiven Nachweis, daß diese Strahlung der Überrest des Urknalls ist, lieferte allerdings erst COBE.
Auf den Beitrag von COBE zur Aufklärung des Planckschen Charakters der Hintergrundstrahlung
kommen wir später zurück. Wir erwähnen ihn hier, weil als Alternative auch ein galaktischer Ursprung
dieser Strahlung (von Layzer) diskutiert wird. Die Röntgen-Astronomie hat hier ein Problem: es gibt
ebenfalls einen (im Rahmen der Auflösung) isotropen Röntgenhintergrund.

1.3. GALAXIEN BEI ANDEREN FREQUENZEN 57
1.3.4 Röntgen-Astronomie
Die Röntgen-Astronomie untersucht das heiße Universum. Die Strahlung der beobachteten Quellen
kann ✗ thermisch ✔ (Bremsstrahlung) und nichtthermisch (Synchrotron) sein. Von den neuartigen Quellen,
die nur im Röntgenbereich entdeckt werden, sind die wichtigsten die Burster (ein neu-
Bereit sein
er Typ kataklysmischer Variabler) und das heiße intracluster Gas. Eine Besonderheit der
ist alles.
Hamlet Röntgenquellen ist die extreme Variabilität, die bis zu Millisekunden bei den Neutronen-
✖ ✕sternen
und zu bis zu 30 Sekunden bei ganzen Galaxien (AGNs) herunter reicht. Ein Film
aus der Anfangszeit der Röntgen-Astronomie zeigt den Himmel (im Zeitraffer), wie er im Hochenergiebereich
blitzt und funkt. Er wurde von Terrell und Priedhorsky aus den Militär Daten des Vela Satelliten
aus den Jahren 1969 bis 1979 zusammengestellt. Optisch ist davon allerdings nichts zu bemerken.
In der Röntgen-Astronomie ist es üblich, Frequenzen in Energien auszudrücken. Weiche Röntgen-
Strahlung reicht von etwa 100 eV bis einige keV. Eine nützliche Umrechnung für ɛ in keV, λ in
˚Angstrøm und ν in Hertz ist
ɛ = 12.4
λ = 4.13 · 10−18 ν (1.96)
• BEISPIEL (RÖNTGENEMISSION DER SONNE)
Die Solarkonstante, also der auf der Erde gemessene Strahlungs Fluß beträgt f⊙ = 1.36·10 6 erg cm −2 s −1 . Die Röntgenemission
der Korona der ruhigen Sonne beträgt dagegen nur fX = 0.1 erg cm −2 s −1 . Das ist mehr als 7 dex weniger als im optischen:
fopt/fX > 7 dex.
Aus der Leuchtkraft der Sonne L⊙ = 4πD 2 f⊙ = 3.85 · 10 33 erg s −1 wird somit LX = 3 · 10 26 erg s −1 . Das Maximum
liegt bei 400 eV, was 30 ˚A entspricht. Die Leuchtkraft der Sonne im harten Röntgenbereich beträgt nur 10 −5 davon.
In Flares (Dauer etwa 10 3 s) kann die Sonne bis zu 3 dex mehr emittieren, also LX = 3 · 10 29 erg s −1 . Sogar Gamma
Strahlung ensteht in solchen Flares. Die Gesamtenergie eines Flares beträgt etwa 10 32 erg.
• BEISPIEL (RÖNTGEN FLARES VON ALGOL)
Algol ist der Prototyp eines halbgetrennten, weiten Systems mit Eklipse (Typ EA). Typische Flares dauern auf der Sonne
etwa 15 Minuten, das Maximum liegt bei 400 eV. Bei Algol dagegen dauert ein Flare (des Begleiters) 8 Stunden, mit
dem Energiemaximum bei etwa 1 keV. Die Eisenlinie (bei 6.7 keV) ist extrem stark (und breit). Die maximale Röntgen
Leuchtkraft (in einem Flare von Algol B) beträgt LX = 3 · 10 32 erg s −1 , die Gesamtenergie des gesamten Flares beträgt
etwa EX = 1.5 · 10 37 erg.
• BEISPIEL (RÖNTGEN FLARES VON UX ARIETIS)
UX Ari = HD 21242 ist vom RS CV Typ, ein Binärsytem (G5V + K0IV) im Abstand von 50 Parsec mit einer Umlaufperiode
von 6.44 d. Die Dauerleuchtkraft beträgt etwa LX = 1 · 10 31 erg s −1 , in Flares 1.3 dex mehr. Besonderheit:
hartes Spektrum, bis 15 keV nachgewiesen. Die weiteren Daten für UX Ari sind: Dauer der Flares 13 h, Gesamtenergie
EX > 5 · 10 36 erg.
Zu den Punktquellen gehören zunächst zwei Klassen von Sternen, die auch vor dem Beginn der
Röntgen-Astronomie bekannt waren.
1. Leuchtkräftige, normale Sterne, die Röntgenstrahlung aus ihrer Korona mit Leuchtkräften von
etwa Lx = 10 28 erg s −1 bis Lx = 10 33 erg s −1 emittieren.
2. Weiße Zwerge in Binärsystemen, hauptsächlich kataklysmische Variable (also mit entwickeltem
Begleitstern).
Neu als Klasse sind:
1. Die Neutronensterne, die praktisch zweimal unabhängig von einander entdeckt wurden, einmal
als Radiopulsar zum andern als Röntgenpulsar.
2. Und schließlich die Schwarz-Loch-Kandidaten. Es mag sich bei ihnen tatsächlich um ein Schwarzes
Loch handeln oder, falls nicht, um etwas neues.

58 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Die Quellen leuchten im Röntgenbereich, weil sie akkretieren, jedenfalls ist das der Normalfall. Materie,
die auf Weiße Zwerge oder Neutronensterne fällt, wird spätestens an ihrer Oberfläche gestoppt und
bringt diese zum Leuchten. Die Eddingtonsche Grenzleuchtkraft für Sterne ist die maximale Leuchtkraft,
bei der Teilchen der Masse mH noch gravisch an der Oberfläche gelangen können:
LEdd = 4πGmHMc
= 10 4.5
� �
M
L⊙ = 1.3 · 10 38
� �
M
mH erg s−1 (1.97)
σT h
M⊙
Akkretiert wird Wasserstoff (Masse mH) und typische Temperaturen, die dabei entstehen, sind einige
keV für Neutronensterne. Ein Schwarzes Loch hat aber keine Oberfläche, deshalb muß hier die
Strahlung aus der Akkretionsscheibe stammen.
Eine eher lästige Erfahrung, die man gleich zu Beginn der Röntgen-Astronomie gemacht hat, war die,
✤daß
manche Quellen ✜eine
Zeit lang sehr stark sein können, anschließend aber nicht mehr nachweisbar
sind. Dies stand im krassen Gegensatz zu dem, was man vom optischen Verhalten
Wer zu spät kommt,
von Sternen gewohnt war und kam auch bei Radio Sternen bis dahin kaum vor. Da
den bestraft das
Leben.
die ersten Beobachtungen mit Ballonen oder Raketen gemacht wurden, bedeutete
M. Gorbatschow das für den Beobachter, daß alles umsonst war, wenn der Start außerhalb des Zeit-
✣
✢fensters
lag. Ein bekanntes Beispiel ist hier Her X-1, eine Bedeckungsveränderliche
mit Präzession.
Eine weitere neue Klasse von Röntgen Punktquellen, galaktisch und extra galaktisch, wurde erst relativ
spät, von ROSAT, entdeckt: die supersoft Röntgensterne, mit riesiger Leuchtkraft (Lx = 5 · 1038 erg
s−1 ), aber mit Spektren im Bereich von 20 bis 60 eV. Bei ihnen könnte es sich um akkretierende Weiße
Zwerge (mit massivem Begleiter) handeln.
Die bisher entdeckten Punktquellen gehorchen dem Gesetz der Malmquist Verfälschung: je weiter
entfernt, desto leuchstärker sind sie (Super Eddington Leuchtkräfte mit Lx > 1038 erg s−1 ).
Zu den ausgedehnte Quellen in der Milchstraße gehören die Supernova Überreste. Viele liegen um
die galaktische Ebene herum, mit Leuchtkräften von etwa Lx = 1 · 1035 erg s−1 bis Lx = 5 · 1038 erg s−1 (Cas A). Ein wichtiger Beitrag der Röntgen-Astronomie war (mit ROSAT), bisher unentdeckte
Supernova Überreste gefunden zu haben. Allerdings wurde kein wirklich junger (viel jünger als Cas
A) Supernova Überrest gefunden.
Zu den ausgedehnten, leuchtstarken Röntgen Quellen gehören besondere Typen von Galaxien (AGN)
und, erstaunlicherweise, ganze Galaxienhaufen. Bei normalen Galaxien
kommt die Strahlung vornehmlich aus dem Kern und den
Supernova Überresten.
Um die Galaxien herum (in der Korona) hat man eine ausgedehnte,
thermische Halo Strahlung gefunden, die auch in Galaxienhaufen
nachgewiesen werden kann. Sie stammt von einem extrem
dünnen, heißen Elektronengas. Die dazu (aus Neutralitätsgründen
gehörenden) Protonen haben eine Masse, die mit der der gesamten
Galaxie vergleichbar ist. Diese Intergalactic Matter (IGM), oder
von uns auch mit Intracluster Gas bezeichnet, liefert auch wertvolle
Information über die Chemie der Korona. Die Daten der Tabelle
stammen vom Einstein Satelliten.
Zum Umrechnen: L38 = 1038 erg s−1 Weitere Daten der Lokalen Gruppe
Name D Lopt L38
kpc L⊙ erg s
entspricht der Eddington
−1
MWG 8 2.5 · 10 10 30
LMC 50 3 · 109 66
SMC 57 6 · 108 0.6
M31 770 4 · 109 360
M32 710 3 · 108 0.5
M33 730 2.5 · 10 10 110
Tab. 1.20: Die Lokale Gruppe
Leuchtkraft eines Sterns mit einer Sonnenmasse, L = 2.5 · 104L⊙. Setzt man den Wirkungsgrad mit
0.1 der Ruhmassenenergie an, dann entspricht dieser Leuchtkraft eine Massen-Akkretionsrate ˙ M von
˙M = 1018 g s−1 , das sind etwa ˙ M = 10−8M⊙ yr−1 .
Mit der Röntgen-Astronomie beginnt die hektische Phase der Astronomie. Als Paradigma hat sich
herausgestellt: Je höher die Energie, desto kürzer die Zeitspanne, in der sie vom Beobachter nachgewiesen
werden kann. Die entscheidende Beobachtungs Größe für solche Kurzzeitphänomene hat im
M⊙

1.3. GALAXIEN BEI ANDEREN FREQUENZEN 59
Englischen den Namen ’fluence’. Sie ist das Integral von Leuchtkraft und Zeit (Dimension erg cm−2 ).
Viele Phänomene (Aktivität genannt) spielen sich innerhalb von Stunden oder gar Minuten ab, und das
oft nur ein einziges Mal: Wer zu spät kommt, den bestraft das Leben.
Bei den Gamma Bursts, die teilweise harte (100 keV bis 1 MeV) Röntgen Bursts sind, ist die Situation
noch extremer: viele sind kürzer als eine Sekunde.
Solche Gamma Bursts werden klassifiziert nach dem Flussintegral, engl. ’fluence’ genannt. Die Größe
’fluence’, Energie pro Fläche,
�
E = fodto
hat bisher kein eigenes Symbol, mangels besserem wird es hier mit E bezeichnet.
Die Entdeckung der ersten Quellen
Die erste (von H. Friedmann) untersuchte Quelle von Röntgenstrahlung war natürlich die Sonne. Der
mittlere Röntgen Fluß in der Entfernung der Erde beträgt 10 6 Photonen pro cm 2 und Sekunde. Abgesehen
davon und analog zur Radio-Astronomie beginnt auch die Röntgen Astronomie mit der völlig
unerwarteten Entdeckung einzelner starker Quellen unbekannter Art. Sterne wie die Sonne wären bereits
in 1 Parsec Entfernung nicht mehr beobachtbar gewesen (mit der damaligen Technologie).
• DEFINITION (NOMENKLATUR)
Die Röntgen Astronomie beginnt mit Ballon und Raketenbeobachtungen im weichen Röntgenbereich. Hier wurde als Nomenklatur
z. B. für die erste Quelle, die in der Konstellation Scorpius entdeckt wurde, Sco X-1 gewählt. Analoges gilt für
die erste Quelle in Herkules, Her X-1 und die Quellen in Cygnus wurden mit Cyg X-1, Cyg X-2 und Cyg X-3 bezeichnet.
Da das Alfabet dafür bekanntlich nicht geeignet ist, hat man anschließend die frühe Pulsar Nomenklatur (α, δ) mit individueller
Katalogbezeichnung, die den Namen des Instruments bzw. der Beobachter erkennen läßt, gewählt.
Im harten Röntgenbereich und im Gammabereich, wo die Positionsgenauigkeit wesentlich geringer ist, hat man allerdings
anstatt (α, δ) die galaktischen Koordinaten l und b gewählt. Besonders viele Quellen wurden in der Nähe des galaktischen
Zentrums gefunden: Sie erhielten Bezeichnungen, die in Andeutung der gal. Koordinaten gewählt wurden, wie GX9+1
oder GX5−1.
Die eigentliche Entdeckung (akkretierender Neutronensterne) kam mehr aus Neugier, die mögliche
Existenz von Röntgenquellen, die mit der damaligen Technologie hätte nachgewiesen werden können,
war theoretisch nicht vorhergesehen und als Extrapolation der Sonnendaten auch nicht zu erwarten
gewesen. Pulsare waren 1960 noch nicht entdeckt.
Die Pioniere der Röntgen Astronomie waren Bruno Rossi (MIT und AS&E), Herbert Friedmann (NRL)
und, als Entdecker der ersten Röntgen Quelle, Riccardo Giacconi (AS&E) und seine Gruppe von Mitarbeitern.
Die erste Röntgen Quelle, die (mit einer Raketenbeobachtung und zwei Geiger Zählern) 1961 gefunden
wurde, war unerwartet stark. Sie ist die bis heute die hellste, persistente
Röntgen Quelle in der Milchstraße und liegt in der Konstellation Scorpius.
Ausgerechnet die stärkste Quelle ist ein extremer Ausnahmefall. Erst
1975 gelang die endgültige und eindeutige optische Identifizierung mit
dem Veränderlichen Stern V818Sco (als Begleiter).
Die meisten Punkt Quellen in der Milchstraße sind mittlerweile mit akkretierenden
Neutronensternen identifiziert, die ausgedehnten mit Supernova
Überresten. Eine wichtige Grobeinteilung der Punkt Quellen ist
nach der Masse des Begleiters, eine andere nach dem Alter und dem Magnetfeld
des Neutronensterns. Viele starke Punkt Quellen sind Pulsare.
Die hellste, persistente Röntgen Quelle, Sco X-1, hat einen Fluß von
spektral fν ≈ 20.000 µJy und integral f = 3 · 10−7 erg cm−2 s−1 Daten zu Sco X-1
Sco X-1 = 3U 1617−15
= X 1617−155 = V818Sco
l Grad 359.09
b Grad 23.77
D pc 800
fν mJy 20
Lx erg s
. Die
Entfernung beträgt nur D ≈ 800 pc, was eine Röntgen Leuchtkraft von
−1 3 · 1037 Lx/Lopt
500
Porb d 0.787
Tab. 1.21: Sco X-1

60 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Lx ≈ 3 · 10 37 erg s −1 , also fast ein drittel der Eddington Leuchtkraft (für eine Sonnenmasse) ergibt.
Die Bahnperiode beträgt 0.787 d. Der Begleiter ist ein massearmer, entwickelter Stern. Die optische
Leuchtkraft stammt wahrscheinlich von der Akkretionsscheibe, und nicht vom Begleiter.
Da die extragalaktischen Quellen (scheinbar) wesentlich schwächer sind, ist es bei ihrer Benennung
aber nicht zu Verwechselungen des Charakters gekommen.
Die extragalaktischen Quellen
Die hellsten Punkt Quellen in der Milchstraße sind akkretierende Neutronensterne. Die hellsten davon
wieder liegen in ihrem Zentrum, mit Eddington Leuchtkraft und darüber. Die leuchtkräftigsten, ausgedehnten
Quellen sind die Supernova Überreste mit vergleichbarer Leuchtkraft. Solche Objekte sind
noch bis M31 nachweisbar. Überrascht hat allerdings zunächst, daß auch ganze Galaxien und sogar
Galaxienhaufen gesehen wurden.
• ZUSATZ (ERSTE EXTRAGALAKTISCHE QUELLEN)
Bereits bei den ersten Raketen und Ballonbeobachtungen ergab sich, daß auch ausgedehnte, extragalaktische Quellen im
Röntgenbereich nachweisbar sein könnten. Am 12. Dezember 1970 wurde der erste Röntgen Satellit (von Giacconi gebaut)
von der NASA in den Weltraum gebracht. Ein früher Katalog, nach dem viele Quellen heute benannt werden, ist der daraus
resultierende Uhuru Katalog. Starke extragalaktische Quellen sind hierin
1. Cen A = NGC 5128 = 3U 1322 − 42
2. Cyg A = 3C 405 = 3U 1957 + 40
3. Vir A = NGC 4486 = M87 = 3C 274 = 3U 1228 + 12
Vir A hat eine Röntgenleuchtkraft von LX = 1 · 10 10 L⊙.
Normale Galaxien haben dagegen Röntgen Leuchtkräfte (s. Tab. (1.33), L⊙ = 3.9 · 10 33 erg s −1 , Leuchtkraft der Sonne)
im Bereich 2.5 · 10 8 L⊙ > LX > 2.5 · 10 4 L⊙, erreichen also nur wenige % der optischen Leuchtkraft. Die Milchstraße
liegt im median, M31 im oberen Bereich.
Die Große Maghellansche Wolke und die Kleine Maghellansche Wolke, unsere beiden Nachbargalaxien, enthalten beide
viele Röntgen Punkt Quellen. LMC ist sogar stärker als MWG. Sie wurden zunächst (in der Reihenfolge ihrer Entdeckung)
mit LMC X-1 . . . bzw. SMC X-1 . . . bezeichnet. Der Zwillingspulsar zum Krebs wurde zuerst im Röntgenbereich gefunden.
Bis M31 konnten noch Röntgen Punkt Quellen (M31 X-1 . . . ) nachgewiesen werden, Perioden allerdings bisher nicht. Dazu
reicht die Empfindlichkeit nicht.
Eine besonders leuchtstarke Galaxie ist IRAS 13224 − 3809 mit fast LX = 10 11 L⊙, noch 10mal heller als Vir A. Die
Rotverschiebung beträgt z = 0.06 (Entfernung D = 360 Mpc). Sie variiert um einen Faktor zwei in der Leuchtkraft und
das in 800 Sekunden. Die IR Leuchtkraft ist mit LIR = 5 · 10 11 L⊙ = 1.5 · 10 45 erg s −1 noch 5mal größer.
Vom isotropen Röntgenhintergrund sind mittlerweile zwei drittel des Beitrags geklärt: ein drittel stammt
von lokalen Quellen der Milchstraße und ein weiteres drittel von den Halos und Koronen der Galaxien.
Neuere Röntgen Satelliten
Neuere Röntgen Satelliten nach UHURU und EINSTEIN sind:
GINGA (Jap. Galaxie) mit Gamma Ray Burst Detector.
ROSAT (Röntgen Satellit).
ASCA (Advanced Satellite for Cosmology and Astrophysics).
RXTE (Rossi X-ray Timing Explorer).
BeppoSAX (Beppo Satellite di Astronomia X).
CHANDRA (ursprünglich AXAF: Advanced X-ray Astronomical Facility).
NEWTON (MMX: multi mirror X-ray) Satellite

1.3. GALAXIEN BEI ANDEREN FREQUENZEN 61
Eine Beschreibung der wichtigsten Eigenschaften erfolgt an der Stelle, wo sie benötigt werden und im
Glossar.
Ein wichtiger physikalischer Effekt, der Photoeffekt mit dem Compton Streuquerschnitt, erlaubt es,
Entfernungen Röntgen-spektroskopisch zu bestimmen und chemische Elemente (insbesondere Fe)
nachzuweisen.

62 KAPITEL 1. GEOMETRIE
1.3.5 Infrarot Astronomie
Meilenstein der Infrarot Astronomie war IRAS, der Infrared Astronomical Satellite, eine holländischenglisch-amerikanische
Kollaboration für den IR Messbereich [100 µm bis 10 µm].
Bereits bei der ersten Eichmessung (Januar 1983) an Wega (ein A0 V Hauptreihenstern in 8 pc Entfernung
mit einem Alter von 1 Gyr) wurde eine Staubscheibe (gedeutet als Planetensystem bei der
Bildung) entdeckt.
• BEISPIEL (NEUE TYPEN VON IR QUELLEN)
Viele Entdeckungen, die (seit 1984) im IRAS Survey katalogisiert wurden, sind noch nicht mit anderen Objekten identifiziert.
Unter den 600 Tausend Quellen des IRAS Katalogs befinden sich über 20 Tausend neue (d. h. vorher nicht bekannte)
IR Galaxien. Diese werden klassifiziert in
1. Hyper Luminous IR Galaxy, HyLIG, falls LIR > 10 13 L⊙,
2. Ultra Luminous IR Galaxy, ULIG, falls LIR > 10 12 L⊙,
3. Luminous IR Galaxy, LIG, falls LIR > 10 11 L⊙, ferner
4. normale (Sb bis Sd Galaxien, median LIR/Lopt = 0.4) bis
5. schwache (elliptische Galaxien, LIR/Lopt < 0.1) IR Quellen sonst.
Die klassischen Starburst-Galaxien M82 (LIR = 10 10.3 L⊙) und NGC 253 (LIR = 10 10.8 L⊙, D = 3 Mpc, mV = 8.04)
haben etwa LIR/Lopt 3 und 5.
Hyligs sind selten (5 Objekte im ersten IRAS survey), z. B. IRAS 15307+3252 und IRAS 10214+4724;
ULIGs sind etwa so häufig wie optische Quasare, z. B. Arp 220 und NGC 6240;
LIGs sind so häufig wie Seyfert Galaxien, z. B. Mrk 231 und IRAS 13224 − 3809, die wir schon kennengelernt haben.
Neun IR Quellen haben LIR/Lopt > 50 und sind bis heute nicht identifiziert.
Ref.: [SM96], Sanders, D. B. and Mirabel, I. F., Luminous infrared galaxies, Ann.Rev.A.A. Vol34, (1996), 749
Zu den bemerkenswertesten Entdeckungen von IRAS gehören die Megamaser und Gravitationslinsen
mit CO in kosmologischer Entfernung.
• ZUSATZ (MASER UND MEGAMASER)
Das Molekül OH hat zwei starke Maserlinien bei den Frequenzen 1665 und 1667 MHz (mit ∆F = 0 und zwei schwache
bei 1612 und 1720 MHz mit ∆F = ±1). Es handelt sich um die Hyperfeinaufspaltung eines l = 18 cm Übergangs (Λ
Verdopplung des 2 Π 3/2 Grundzustands). Die stärksten Quellen mit Linienstrahlung sind die sog. Megamaser. Die (isotrope)
Leuchtkraft in extra galaktischen Quellen kann L = 10 4 L⊙ erreichen. Das ist etwa 1 Million mal die Leuchtkraft
galaktischer Quellen: deshalb der Name Megamaser. Der erste Hydroxyl Megamaser wurde 1982 in der Galaxie Arp 220
gefunden (Baan, Wood und Haschick).
Mehr als 20 Mega-Maser hat man mittlerweile in Galaxien mit starkem IR Exzess gefunden.
Bei dem Objekt III Zw 35 konnte mithilfe der OH Maserlinie ein Kerngebiet von nur 15 pc Radius aufgelöst werden.
Interpretiert man die Linienbreite als Rotation, dann beträgt die dynamische Masse M = 1 · 10 9 M⊙. Die Entfernung
beträgt bei z = 0.03 etwa 170 Mpc und vrot = 450 km s −1 .
Ein Beispiel für einen H2O Maser in kosmologisch interessanter Entfernung ist IRAS 22265-1826 mit z = 0.025 (entspr
D = 150 Mpc bei h = 0.5 nach der Formel D = 6(2h) −1 z Gpc) und einer Leuchtkraft von L = 6 · 10 3 L⊙.
Der H2O Maser in M106 (NGC4258) erlaubt eine rein geometrische Bestimmung aller relevanten Größen, wie der Entfernung
zum Zentrum, D = 7.2 Mpc, dem Inklinationswinkel i = 82 Grad und der Zentrumsmasse,
MZentrum = 3.9 · 10 7 M⊙
�
D sin(i)
7.2Mpc sin(82)
�2 Der stärkste OH Maser, IRAS 20100-4156, hat eine kosmologische Fluchtgeschwindigkeit von 38650 km s −1 (Rotverschiebung
z = 0.129). Bei einer Flussdichte von 200 mJy entspricht das einer (isotropen) Leuchtkraft von L = 10 4 L⊙ in
einer Linie der Dopplerbreite 1500 km s −1 ! Die Gesamt IR-Leuchtkraft beträgt L = 3 · 10 12 L⊙.
• ZUSATZ (GRAVITATIONSLINSEN)
Vollkommen unerwartet war 1991 Entdeckung einer Protogalaxie, Quelle F10214+4724 im IRAS Katalog, mit einer Rotverschiebung
von z = 2.286. Gesehen wird hier der CO(3 → 2) Rotationsübergang, welcher von λr = 850µm nach λ = 3
mm verschoben ist. Mittlerweile gibt es eine ganze Reihe von Kandidaten und drei weitere Quellen mit CO: das Kleeblatt
(s.u.), MG0414 + 0534 mit z = 2.64 und der Linsenbogen BR1202 − 0725 mit z = 4.69.

1.3. GALAXIEN BEI ANDEREN FREQUENZEN 63
Folgeuntersuchungen wurden bzw. werden von folgenden Satelliten durchgeführt
1. COBE
Bei Wellenlängen länger als 100 µm hat DIRBE (Diffuse Infrared Background Experiment an
Bord von COBE) von 1989 bis 1995 die Staubstrahlung des Universums untersucht.
2. ISO
Danach hat ISO, das Infrared Space Observatory (1995 - 1998) der ESA die Beobachtungen im
IR fortgeführt. ISO war ein auf 2 Kelvin gekühlter Satellit mit 60 cm Teleskop. Bereich: Infrarot
[240 µm . . . 2.5 µm]. Die Winkel Auflösung betrug 17 ′′ .
3. SIRTF
Geplant für das Jahr 2002 ist SIRTF, die Space Infrared Telescope Facility, das nach Comptel,
Hubble und Chandra noch fehlende Grossinstrument für den IR Bereich der NASA.
4. FIRST
Geplant (von der ESA) für das Jahr 2005 ist FIRST (zusammen mit dem PLANCK surveyor),
das Far InfraRed Space Telescope.
• BEISPIEL (IR QUELLEN MIT STAUB)
Einige Quasare mit grosser Rotverschiebung (maximal z = 4.693) sind starke IR Quellen mit Staub. In einigen Fällen wird
zusätzlich CO entdeckt.
Typische Staubtemperaturen liegen bei 50 K und die Masse des Staubs beträgt etwa 3 · 10 7 M⊙. Dauraus schließt man auf
eine molekulare Masse von etwa M(H2) = 3 · 10 9 M⊙.
Die Gesamt IR-Leuchtkraft beträgt wie bei ULIGs etwa L = 3 · 10 12 L⊙. Der Fluß bei 1.25 mm beträgt einige Milli Jansky.
• BEISPIEL (IR QUELLEN MIT CO)
Bei einem 5 − 4 Übergang beträgt die Ruhfrequenz ν = 576 GHz. Diese wird bei z = 4.3 nach ν = 106 GHz verschoben.
Der über die Linienbreite (von etwa 200 km s −1 ) integrierte Fluß bei 3 mm (Frequenz um ν = 106 GHz) beträgt einige
[Jansky km s −1 ].
1.3.6 UV Astronomie
Nicht nur die Erdatmosphäre sondern auch die ISM absorbiert stark (Photoeffekt an H und He).
Man unterscheidet FUV (far ultraviolet) und EUV (extreme ultraviolet) nach physikalischen Gesichstpunkten:
FUV ist der Bereich von 6 bis 13.6 eV, EUV oberhalb von 13.6 eV (etwa 80 nm) bis etwa
200 eV (6 nm), dem Beginn des Röntgenbereichs.
• ZUSATZ (MISSIONEN)
Folgende Missionen wurden durchgeführt:
1. TD-1; (von 1968 bis 1973) all sky survey mit 31215 Quellen. Bereich 150 nm bis 280 nm.
2. Copernicus, OAO 3; UV Satellit (1972 bis 1982); Untersuchung diffuser Wolken (ISM).
3. EUVE Extreme Ultraviolet Explorer (1991 bis 1994) Bereich: 7 nm bis 70 nm (18 bis 170 eV).
Die Mehrzahl der identifizierten Objekte von EUVE sind G, K und M Sterne. Nur 17 % sind Weiße Zwerge. Keine extragalaktische
Quelle wurde bisher im EUV entdeckt.

64 KAPITEL 1. GEOMETRIE
1.3.7 Gamma Astronomie
Die frühen Entdeckungen
• ZUSATZ (DIE ZIVILE FRÜHPHASE)
Vor 1967 wurde nicht ein einziges extrasolares Photon mit einer Energie jenseits von 100 keV (harte Röntgenstrahlung)
detektiert. Auch die Gamma Astronomie beginnt mit Ballon und Raketenbeobachtungen um 1967 und am Anfang wurden
die einzelnen Photonen, nicht die Quellen, gezählt. Das änderte sich erst 1972 mit SAS-2 (mit 8000 Photonen und 4 Punkt
Quellen) und besonders 1975 mit COS B, dem ESA Satelliten (der insgesamt bereits 10 5 Photonen, 4 identifizierte und 20
nicht identifizierte Quellen nachweisen konnte) für Energien jenseits von 100 MeV (harte Gammastrahlung).
Weiche Gammastrahlung konnte (mangels geeignetem Satelliten) bis zum Start von HEAO-4 (1977 bis 79) und Compton
Observatory (1991 bis auf weiteres) nur mit Ballon und Raketenbeobachtungen untersucht werden, was bei variablen Quellen
frustrierend sein kann, wenn der Start in eine Phase fällt, wo die Quelle ein Minimum durchläuft. Eine variable Quelle
im galaktischen Zentrum (GX1+4 = 4U 1728 − 24 = V2116 Oph ?) bereitete besondere Schwierigkeiten, sie wurde bei
der Zerstrahlungsenergie von Elektron und Positron bei 511 keV zwischen 1970 und 1990 wahlweise entdeckt (1970 bis
1980; 1988 bis 1990) oder auch nicht (1981 bis 1988 und seit dem Start von Compton Observatory).
In geheimer Mission wurde der Röntgen und Gammabereich von Spähsatelliten im Rahmen des Atom
Teststop Abkommens (engl. Outer Space Treaty) zwischen den USA (Vela 5A und 5B) und der UdSSR
(Konus) von beiden Seiten ab 1968 untersucht. Hier wurden erstmals die Gamma Bursts entdeckt. Die
Daten sind später (1973) freigegeben worden und enthalten einige interessante Beobachtungen hoher
Qualität, die in Zeiten fallen, wo kein ziviler Satellit Beobachtungen angestellt hat. Auch die Quantität
der Daten übertrifft die zivilen Möglichkeiten der damaligen Zeit.
Einige der besonders interessanten Beobachtungen:
1. der Burst GRB790613
war einer der kürzesten überhaupt mit einer (nicht aufgelösten) Anstiegszeit tr < 20 ms und
einer Dauer von nur ∆t = 0.5 s.
2. die Bursts GRB730721 und 730725
mit einer Dauer von ∆t = 8 s und ∆t = 4 s stammen vermutlich aus derselben Quelle. Sie waren
damit der insgesamt längste Puls überhaupt, mit verschwindender Amplitude zwischendrin, oder
es handelt sich um einen Wiederholungstäter (engl. repeater).
3. die Radio Galaxie Cen A
war in der Zeit von 1973 bis 75 besonders hell und aktiv, sie könnte damit ein Blasar sein.
4. Bei Cyg - X1
wurde neben der Bahnperiode von 5.6 Tagen noch eine weitere Periode von 294 Tagen erstmals
entdeckt.
Nach diesen frühen Entdeckungen, die bereits zeigten, wie wichtig die Hochenergie Astrophysik für
das Verständnis wesentlicher Aspekte der Stern und Galaxien Entwicklung ist, beginnt 1991 eine neue
Phase mit dem Start des Compton Observatory der NASA und seinen 4 Instrumenten.
Das Compton Observatory
• ZUSATZ (KURZBESCHREIBUNG: DAS COMPTON OBSERVATORY)
Start April 1991. An Bord des Compton Observatory befinden sich
1. BATSE das Burst and Transient Source Experiment [15 keV . . . 2 MeV], 0.6 sterad,
2. COMPTEL das Compton Imaging Teleskop [1 MeV . . . 30 MeV], 1 sterad,
3. OSSE das Oriented Scintillation Spectrometer Experiment [0.1 MeV . . . 10 MeV] 4 ◦ ×11 ◦
4. EGRET das Energetic Gamma Ray Experiment [20 MeV . . . 30 GeV].
Die Abbildungsgenauigkeit beträgt etwa 1 Quadratgrad.

1.3. GALAXIEN BEI ANDEREN FREQUENZEN 65
Jedes der vier Instrumente an Bord des Compton Observatory hat wesentliche Entdeckungen gemacht,
die ohne es nicht möglich gewesen wären. Es zeigt sich aber, daß Astronomie ganz wesentlich bisher
auf optischer Identifizierung aufgebaut ist.
EGRET:
Das Energetic Gamma Ray Experiment
EGRET, das Hochenergie Gamma Experiment hat bei seiner Himmelsdurchmusterung gezeigt, daß es
Quellen gibt, die auch noch bei 30 GeV strahlen. Beispiele dafür sind der Krebsnebel in der Milchstraße
und der Quasar 3C 273 in kosmologischer Entfernung (z = 0.158). Insgesamt 50 Punktquellen in der
(Ebene der) Milchstraße mit Strahlung oberhalb von 100 MeV wurden entdeckt, aber nur 6 konnten
identifiziert werden. Es sind dies klassische Pulsare, die vorher schon bekannt waren, und die in der
Tabelle, (1.23), bei COMPTEL mit aufgeführt sind.
Die Leuchtkraft der Milchstraße (MWG) oberhalb 100 MeV beträgt insgesamt L = 10 39 erg s −1 oder
2.5 · 10 5 L⊙. Das ist nur 10 −5 der optischen Leuchtkraft.
MWG: Lγ = 10 −5 Lopt
Beeindruckend ist im Vergleich dazu, daß die Leuchtkraft bei einigen AGN im Gammabereich ein dex
höher ist als im optischen.
Ebenfalls in (Ebene der) Milchstraße gibt es eine diffuse Hintergrundstrahlung, die gut mit der Gasverteilung
korreliert. Quelle dieser extrem hochenergetischen Strahlung sind unterhalb von 150 MeV
Elektronen der kosmischen Strahlung (Bremsstrahlung an Atomen)
und oberhalb die Protonen (Nukleon - Nukleon Wechselwirkung) der Grenzempfindlichkeit
kosmischen Strahlung.
einiger Surveys
Die nebenstehende Tabelle gibt die Grenzempfindlichkeit einiger Name log ν [Hz] νIν [cgs]
wichtiger Surveys. FIRST steht für ’Faint Images of the Radio Sky FIRST 9 −17
at Twenty Centimeters’, ein Radio Katalog mit dem VLA. POSS ist IRAS 13 −11
der ’Palomar Observatory Sky Survey’.
POSS I 14.5 −13.5
Ferner wurden 40 AGN von EGRET (AGN = active galactic nucleus) ROSAT 17.5 −14.5
entdeckt, alle vom Blasar Typ und in kosmologischer Entfernung. EGRET 23.5 −10.5
Die hochenergetische Strahlung wird vermutlich durch inverse Compton
Streuung von optischen Photonen an relativistischen Elektronen Tab. 1.22: Surveys
in den AGN erzeugt. Beeindruckend ist auch hier wieder, daß die Leuchtkraft bei einigen AGN ein dex
höher ist als im optischen. Die Radio Galaxie PKS 0528 + 134 hat im Gammabereich eine Leuchtkraft
von Lγ = 1011L⊙. • BEISPIEL (AGN ENTDECKT VON EGRET)
Bei Gamma Energien E > 100 MeV wurden insgesamt 40 Quellen von EGRET entdeckt. Von diesen gibt die folgende
Tabelle einige wichtige Beispiele. Bestimmt wird jeweils der spektrale Photonenfluß, den wir mit ˜ f bezeichnen wollen, mit
hν = E:
˜f = dfν/dν
Ein Maß für die Leuchtkraft ist
ν 2 ˜ f = νfν = f
Typische Werte bei 1 GeV (2 × 10 23 Hz), die EGRET spektral nachweisen kann, sind 10 −7 [Photonen cm −2 s −1 GeV −1 ].
Jedes Photon hat 10 −3 erg und für die Flussdichte f ergibt sich als typische Einheit f = 10 −10 cm −2 s −1 (entspr 10 13
JyHz).
Der erste Eintrag in der Tabelle ist ein Quasar aus dem Parkes Katalog von Radio Quellen, PKS 0208 − 512. Sein spektraler
Fluß von 10 MeV bis 30 GeV ist ein reines Potenzgesetz, mit Spektralindex α = −1.7
˜f = 10 −7 (E/GeV) −1.7 .

66 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Für den Quasar PKS 0528 + 134 gilt ganz analog ein reines Potenzgesetz, mit gleichem Fluß bei 1 GeV und mit ˜ f =
10 −7 (E/GeV) −2.4 .
Wo liegt das Maximum der Emission? Für PKS 0208 − 512 ist die Antwort einfach und erstaunlich: das Maximum liegt
am oberen Ende der Nachweismöglichkeit von EGRET, bei 30 GeV. Die beiden Quasare 3C 273 und 3C 279 haben kein
so einfaches Potenzgesetz und hier ist COMPTEL zuständig. Der Quasar 3C 273 hat sein Maximum der Leuchtkraft bei 1
MeV (2 × 10 20 Hz), 3C 279 bei 10 MeV.
AGN bei E > 100 MeV entdeckt von EGRET
Name alt. l b f−6 α z L48 Rem
Bez. Grad Grad cm −2 s −1 erg s −1 Rem
0208 − 512 PKS 276 −62 0.4 −1.7 1.00 2 a)
0528 + 134 PKS 191 −11 0.4 −2.4 2.06 4 b)
1226 + 023 3C 273 290 +64 0.3 −2.4 0.158 0.008 c)
1253 − 023 3C 279 305 +57 0.6 −1.8 0.54 0.3 d)
1633 + 382 4C+38.41 61 +42 0.4 −2.0 1.81 3 e)
Der Photonenfluß, f−6, ist in 10 −6 cm −2 s −1 angegeben. Dem entspricht der Energiefluß 10 −10 erg cm −2 s −1 .
Anmerkungen zur Tabelle:
a) stark variable (f−6 von 0.4 bis 0.9) Radio Quelle mit hartem Spektrum.
b) stark variable (f−6 von 0.4 bis 1.6) Radio Quelle mit weichem Spektrum; L48(max) = 13.
c) als einziger Quasar von COS B vor 1991 entdeckt.
d) stark variabler (f−6 von 0.4 bis 4.9) Quasar mit hartem bis flachem Spektrum und variablem Index (α von −1.7 bis
−1.98).
e) stark variabler (f−6 von 0.4 bis 1.4) Quasar; L48(max) = 11.
Der extremste Fall von Variabilität liegt beim Quasar 3C 279 vor: Innerhalb von Tagen variiert die Leuchtkraft (fast um
einen Faktor 7) zwischen L = 3 × 10 47 erg s −1 und L = 2 × 10 48 erg s −1 , dabei variiert der Spektralindex α zwischen
α = −1.98 und α = −1.7. Ein solcher Strahlungsausbruch (wie der vom 16 bis 28 Juni 1991) setzt eine Energie von
2 × 10 48 × 10 5 erg oder 0.1M⊙c 2 im harten Gamma Bereich frei. Die Energie in den Bursts ist vergleichbar, nicht aber die
Zeitskala oder das Spektrum.
COMPTEL:
Das Compton Teleskop
Die Ergebnisse der Himmelsdurchmusterung sind ähnlich für COMPTEL und EGRET. Zusätzlich kann
COMPTEL allerdings Linien im Bereich 1 bis 30 MeV spektroskopieren. Für niedrigere Energien ist
dagegen OSSE zuständig.
Zwei radioaktive Elemente wurden entdeckt: 26 Al bei 1.809 MeV und 44 Ti bei 1.156 MeV. Die Halbwertszeit
von 26 Al beträgt 0.770 Myr (e-folding time: 1 Myr) und die von 44 Ti nur 90 yr. Mit seiner
grossen Halbwertszeit kann 26 Al benutzt werden, die Anreicherung der ISM aus Supernovae mit
schweren Elementen wie 26 Al zu untersuchen. 44 Ti ist dagegen ein Indikator für junge Supernova
Überreste. Tatsächlich findet man 26 Al entlang der galaktischen Ebene, in Richtung Orion und in Richtung
der Spiralarme, 44 Ti wurde zuerst in Cas A entdeckt.
• ZUSATZ (DIE 44 TI LINIEN)
Der Zerfall von 44 Ti, bei dem 3 Linien entstehen, sieht folgendermassen aus
44 T i K 44 Sc I K 44 Ca
Dabei bedeutet K Konversion (Elektron Einfang) und I Isomerie (Emission eines Photons). 44 Ti hat zwei (Konversions)
Linien bei 78.4 keV und 67.9 keV. Die Zerfallszeit beträgt τ = 85 yr. Im Gammabereich ist eine (Isomerie) Linie bei 1.156
MeV (mit einem τ etwa 5.7 yr).
Die 44 Ti Gamma- Linie (bei 1.156 MeV mit einem Gesamt - τ von etwa 90 yr) ist 1994 im Supernova Überrest Cas A und
1998 in einem bis dahin unbekannten Supernova Überrest RX J0852.0 - 4622 gefunden worden. Die beobachtete Menge
von 10 −4 M⊙ stimmt mit theoretischen Rechnungen, die vor der Entdeckung liegen, überein.

1.3. GALAXIEN BEI ANDEREN FREQUENZEN 67
Eine der ersten Quelle, die von COMPTEL 1991 untersucht wurden, war Cen A. Beim Vergleich mit
Messungen aus dem Jahre 1981 mit COS B zeigte sich, daß der Fluß sowohl variabel in der Intensität
als auch im Spektralindex α ist.
˜f = 10 −4 (E/MeV) α
[Photonen cm −2 s −1 MeV −1 ]
Die frühen Messungen ergaben α = −1, COMPTEL fand dagegen α = −7/4, das ist fast der doppelte
Wert.
Die Identifizierung von Quellen, deren Positionsgenauigkeit nur ein Quadrat Grad am Himmel beträgt,
ist nur möglich, falls sie variabel sind, und das am besten simultan in verschiedenen Frequenzbereichen
(Radio oder optisch). Wie die folgende Tabelle zeigt, sind von insgesamt 16 Radiopulsaren, die sonst
noch außerhalb des Radio Bereichs strahlen, insgesamt 7 im Gamma Bereich über ihre Pulsperiode
eindeutig nachgewiesen. Der Gamma Pulsar GRO J1744−28 ist dabei ein Sonderfall: seine Periode
wurde sogar anhand der Gamma Daten gefunden. Wir kommen später auf ihn zurück.
Die Identifizierung von extragalaktischen Quellen ist dagen sehr viel schwieriger, da diese keine reguläre
Variabilität zeigen. Hier helfen Multiwellenlängen Beobachtungen weiter, wie wir bei BATSE
besprechen werden.
• ZUSATZ (IDENTIFIZIERTE QUELLEN)
Ein extremes Beispiel, das zeigt, wie schwer es ist, eine mit dem Compton Observatory gefundene Quelle zu identifizieren,
ist Geminga, der einzige isolierte Neutronenstern, der bisher aufgrund seiner Gammastrahlung entdeckt wurde. Die
Quelle wurde erstmals 1975 mit dem SAS-2 Satelliten als Gamma Punktquelle (damals mit der Bezeichnung γ195 + 5)
nachgewiesen. Die Periode wurde 1991 von ROSAT gefunden und von EGRET (nicht von COMPTEL) bestätigt.
Der Pulsar PSR J0633+1746 (Geminga) ist der nächst gelegene (Entfernung D = 157 pc) γ−ray Pulsar mit einer Periode
von P = 237 ms und einem formalen Alter von 30 kyr. Er ist mittlerweile in allen Frequenzbereichen nachgewiesen. Es
handelt sich hierbei um einen nahen (die Parallaxe von 6 ′′ .4 · 10 −3 entspricht D = 157 pc), isolierten Neutronenstern, von
dem nach 20 Jahren heroischer Anstrengungen alle astronomisch relevanten Daten gemessen sind.
α = 06 : 33 : 54, δ = +17 : 46 : 11; (l = 195 ◦ b = 4.27 ◦ ) µα = 0.138 ′′ yr −1 , µδ = 0.097 ′′ yr −1
Die Pekuliargeschwindigkeit beträgt v = 122 km s−1 , seine Periode von P = 237 ms ändert sich um ˙ P = 1.099 · 10−14 s
s−1 . Für das Alter, τ = P/2 ˙ P , ergibt das 30 kyr. Dem entspricht ein Rotationsenergieverlustrate von Lrot = 3.2 · 1034 erg
s −1 und eine Magnetfeldstärke von B = 1.5 · 10 12 Gauß. Die Verlustrate ist um 4 dex geringer als die des Krebspulsars,
Geminga ist einer der schwächsten Pulsare.
Die Leuchtkraft im Gamma Bereich beträgt, unter der Annahme isotroper Abstrahlung, Lγ = 1.5·10 34 erg s −1 . Vermutlich
ist die Strahlung gebeamt (azimutal auf einen kleinen Öffnungswinkel konzentriert), da sonst der Wirkungsgrad der Umsetzung
von Rotationsenergie in Gamma Energie unwahrscheinlich hoch wäre (Drehimpulstransport). Im optischen beträgt
die bolometrische Leuchtkraft Lbol = 1 · 10 31 erg s −1 , was einer Temperatur von Teff = 2.5 · 10 5 K entspricht.
Vollkommen unverstanden ist, warum Geminga praktisch keine Radiostrahlung hat, nachgewiesen wurde ein stark variabler
Fluß bisher nur bei 102 MHz (extrapoliert auf 400 MHz ergibt das L400 = 0.1 mJy·kpc 2 oder L400 = 1 · 10 24 erg s −1 ).
Eine Möglichkeit wäre die sehr spezielle Blickrichtung des Beobachters: Puls und Interpuls sind um exakt 180 auseinander,
und wir scheinen es hier mit einem exakt orthogonalen Rotator zu tun zu haben.
Die 16 Radiopulsare, für die Multiwellenlängen Nachweise außerhalb des Radiobereichs existieren, sind in der nebenste-

68 KAPITEL 1. GEOMETRIE
henden Tabelle aufgeführt. Es handelt sich bei allen Objekten der
Tabelle um isolierte Neutronensterne (keine Akkretion). Die Ein- Liste der 16 Multiwellenlängen PSRs
träge sind nach dem Alter vorgenommen. Die jüngsten Pulsare PSR B opt EUV X X γ γ
sind der Krebspulsar und sein Zwilling in LMC (LMC = Große 1950 soft hard soft hard
Maghellansche Wolke).
0531+21 P P P P P
P bedeutet gepulst, D steht für Dauerquelle (wahrscheinlich ther- 0540-69 P P
mische Strahlung). Alle sind also mindestens im Radio und im 1509-58 D P P P
weichen Röntgenbereich nachgewiesen.
0833-45 P P P P
Der Gamma Pulsar PSR J0633+1746 = Geminga ist ein Sonder- 1706-44 D P
fall. Er wurde 1975 als hellste γ-ray Quelle vom Compton Tele- 1800-21 D
skop (Compton Observatory) entdeckt. Es dauerte dann bis 1995, 1823-13 D
bis der Pulsar als nächst gelegene γ-ray Quelle auch optisch iden- 2334+61 D
tifiziert werden konnte.
1951+32 D P
Die optischen Nachweise, die mit H gekennzeichnet sind, stam- 0656+14 H D P P
men vom Hubble Space Teleskop (HST), die Röntgennachweise Geminga H P P P
von ROSAT und Einstein.
1055-52 P P
Geminga ist auch im extremen UV von EUVE und im Röntgenbereich0355+54
D
als gepulste Quelle nachgewiesen, drei weitere sind Dauerquel- 1929+10 H D P
len. Ob damit eine neue KLasse von Neutronensternen entdeckt 0823+26 D
wurde (mit hoher räumlicher Dichte), muß sich erst noch zeigen. 0950+08 H D D
Ganz neu ist die Entdeckung des Radiopulsars J1124−5916 mit
einer Periode von 135 ms (und einem nominellen Alter τ=2.9 Tab. 1.23: 16 Multiwellenlängen PSR
kyr) im Supernova Überrest G292+1.8 (Expansionsalter 1.6 kyr). Dieser Pulsar war vorher als Röntgen Punktquelle (von
Chandra) entdeckt worden.
BATSE:
das Burst and Transient Source Experiment
BATSE, mit einem Energiebereich von 15 keV bis 2 MeV, wurde speziell zur Untersuchung der Gamma
Bursts gebaut, die in diesem Energiebereich ihr Maximum haben.
Mehrere Tausend Bursts sind mittlerweile registriert, die Rate beträgt 1 bis 2 pro Tag.
Es scheint mindestens drei verschiedene Klassen von Gamma Burst Quellen zu geben: soft Repeater
(bisher drei an der Zahl, die hier in der Tabelle
aufgeführt sind), ein echter Gamma Pulsar mit Pe-
Daten zu den Gamma Repeatern
riode P = 467 ms und, bisher jedenfalls, alle et-
und zum Gamma Pulsar
wa 2000 anderen Einzel Bursts. Die Einzel Bursts Name Bemerkung D
können nochmals in kurze und lange unterteilt wer- SGR 0525−66 SNR N49 in LMC 50 kpc
den (wobei die langen mit der Ebene der Supergala- SGR 1806−20 SNR G10.0−0.3 17 kpc
xie korreliert sind).
SGR 1900+14 SNR + GRS 1915 + 105
Hier nur einige kurze Anmerkungen zu den soft
Repeatern vorweg. Bei diesen handelt es sich nach
Tab. 1.24: γ Repeater
gängiger Meinung um Neutronensterne in Supernova Überresten. SGR 0525−66 in LMC ist die Quelle
vom berühmten (5. März 79) Burst, einem der scheinbar hellsten überhaupt (mit periodischer Struktur
von 8 s). Der eigentliche Burst dauerte nur 0.2 Sekunden, das gepulste Nachglühen etwa 200 s.
Eine Analyse im Jahre 1995 von Fenimore (mit grossem Komputeraufwand) ergab ein typisches Burst
Spektrum mit < E > = 200 keV. Insgesamt 17 Burst wurden von SGR 0525−66 nachgewiesen.
Die beiden anderen soft Repeater Quellen sind in der Milchstraße ziemlich weit weg gelegen. Für die
Leuchtkräfte gilt als grobe Abschätzung (für nicht kosmologische Quellen) Lγ = 1 · 1039 (D/1kpc) 2
erg s−1 . Die Leuchtkräfte liegen damit zwischen Lγ = 1 · 1041 und Lγ = 1 · 1043 erg.
Der Gamma Pulsar GRO J1744−28 liegt in Richtung galaktisches Zentrum und ist etwa 8 kpc entfernt.
Diese transiente harte Röntgenquelle (Energie: 20 bis 75 keV) wurde am 2ten Dezember 1995 anhand
eines Ausbruchs von BATSE entdeckt, ist also als Gamma Burster zu klassifizieren. Es handelt sich
dabei um einen neuen Typ von Röntgen-Transient, den ersten echten (Hochenergie) Röntgenpulsar mit

1.3. GALAXIEN BEI ANDEREN FREQUENZEN 69
einer Periode von P = 467 Milli Sekunden, der gleichzeitig Bursts (vom Typ II) hat. Die Drehfrequenz
wurde schneller (Akkretion mit Drehimpuls Übertrag) im Beobachtunszeitraum, ˙ν = 9.22·10 −12 s s −1 ,
nach etwa 60 Tagen war eine deutliche Abflachung zu erkennen. Auch die Orbitalperiode konnte (von
Finger et al., 1996) aus den Gamma Daten bestimmt werden: Porb = 11.8 d. Aus den Binärdaten (asini
= 2.6 lt sec und f(m) = 1.3 · 10 −4 M⊙) folgt, daß der Begleitstern eine Masse von mindestens 1M⊙
gehabt haben muß, um den Roche Lobe füllen zu können. Der optische Begleiter ist bisher noch nicht
identifiziert.
Letztere, die normalen Bursts und ihre kosmologischen Quellen (also die non Repeater), wollen wir im
weiteren nur noch betrachten (weil sie evtl. in kosmologischer Entfernung liegen).
Drei wichtige Punkte konnten mithilfe von BATSE geklärt werden:
1. keine Wiederholung der Bursts innerhalb von 20 Jahren,
2. die vollkommene Isotropie der Bursts und
3. die Verteilung im Raum über logN - logf.
Die Quellen konnten aber nicht identifiziert werden, d. h. es wurde kein Wirt (Galaxie oder Stern)
in einem anderen Frequenzbereich gefunden. Astrophysikalisch ist dies eine interessante (und häufig
anzutreffende) Situation. Eine neue Klasse von Objekten wird entdeckt, für die eine physikalische
Erklärung fehlt. Hier hilft dann nur die Statistik weiter. Eine Frage, die schnell geklärt ist, ist die der
Winkelverteilung der Quellen. Sind die Quellen isotrop verteilt? Falls ja, wie in diesem Falle, kommen
praktisch nur drei Erklärungen infrage, die im Laufe der Zeit alle versucht wurden:
1. das kosmologische Modell (relativistischer Feuerball)
2. das galaktische Halo Modell (tote Neutronenstern)
3. das solare Modell (unbekannte Objekte in der Oortschen Wolke).
Wirkliche Isotropie ist dabei nur beim kosmologischen Modell gewährleistet. Beim Halo Modell stört
die Andromeda Galaxie die beobachtete Isotropie, von der Verteilung der Kometen in der Oortschen
Wolke ist zu wenig bekannt. Gegen das kosmologische Modell spricht hauptsächlich die Energiebilanz:
Bei einer Leuchtkraft von
Lγ = 1 · 10 39 (D/1kpc) 2
erg s −1 (1.98)
erhält man für einen typischen Burst mit 1 s Dauer und isotroper Strahlung
Eγ = 1 · 10 40 (D/1kpc) 2
erg s −1 (1.99)
Bei einer kosmologischen Entfernung führt dies (D = 10 7 kpc) zu extremen Anforderungen an den
Burst Mechanismus. Die freigesetzte Energie entspricht etwa M⊙c 2 , was schwierig zu bewerkstelligen
ist, insbesondere bei Abwesenheit eines sichtbaren Wirts.
Der 28 Februar 1997 brachte mithilfe von BeppoSAX (Beppo Satellite di Astronomia X) einen ersten
Durchbruch bei der Identifizierung eines Gamma Bursts: GRB970228. BeppoSAX ist ein Gamma und
Röntgen Beobachtungssatellit, der speziell auf das Aufspüren solcher Quellen konzipiert wurde: neben
einem Gamma Detektor (Weitwinkel) hat er eine extrem genaue Röntgenkamera (Auflösung etwa 1 ′ )
für die Untersuchung eines etwaigen Röntgennachglühens. In den in der Tabelle (1.25) aufgeführten
Fällen ist es damit 1997 gelungen, anhand von Folgeuntersuchungen, die Quellen der Ausbrüche optisch
und im Radiobereich zu identifizieren und damit das kosmologische Modell zu bestätigen.
Der 23 Januar 1999 brachte mithilfe von ROTSE den zweiten Durchbruch bei der Identifizierung eines
Gamma Bursts: GRB990123. Das Robotic Optical Transient Search Experiment beinhaltet 4 zusammengeschaltete
opt. Teleskope mit CCD, die innerhalb 3 Sekunden jeden Punkt am Himmel erreichen
können. Die Grenzhelligkeit beträgt 15 Magnituden.

70 KAPITEL 1. GEOMETRIE
• ZUSATZ (GAMMA BURSTS)
Gamma-ray bursts (GRB) sind einmalige Ausbrüche hochenergetischer Gamma Strahlung, sie werden nach dem Datum
ihrer Registrierung katalogisiert.
Beispiel: GRB970228 ist der Ausbruch vom 28. Februar 1997.
Gamma Bursts wurden erstmals 1969 von Militärs registriert und ihre Existenz 1973 veröffentlicht. Die primären Gamma
Bursts bestehen aus Photonen mit Energien zwischen 0.1 und 1 MeV.
Der Ausbruch vom 28. Februar 1997 markiert eine erste Wende, im Versuch herauszufinden, woher die GRBs kommen.
Mithilfe des BeppoSAX wurde zunächst die dem Gamma Burst zugeordnete Röntgen Quelle entdeckt, und mit dieser
Position wurde dann das optische Gegenstück gefunden.
Zur Illustration der Leuchtkraft und Energie Verhältnisse betrachten wir den bisher energetischsten, den Gamma Burst
GRB990123, mit einer Absorptions Rotverschiebung von z = 1.6. Es
ist der letzte Eintrag in nebenstehender Tabelle.
Im optischen wäre er mit mV = 8.86 mit einfachem Feldstecher (allerdings
nur wenige Minuten lang) zu sehen gewesen. Auf die Entfernung
von 11 Gpc umgerechnet (was z = 1.6 bei 2h = 1 entspricht), sind
das im optischen Lopt = 5·10 49 erg s −1 . Dem entspricht eine optische
Leuchtkraft von mehr als Lopt = 10 16 L⊙. Das Maximum im optischen
war um 700 Sekunden zeitversetzt zum Gamma Burst. Dieser wurde
von ROTSE bereits 20 Sekunden nach dem Ausbruch im Gamma Bereich
(also noch auf dem im optischen ansteigenden Ast) entdeckt.
Im Radio konnte GRB990123 ebenfalls nachgewiesen werden. Der
Fluß betrug allerdings nur f = 2 · 10 −4 Jy bei etwa 8 GHz, was derzeit
an der Nachweisgrenze liegt.
Das Energie Maximum liegt allerdings im Gamma Bereich. Starke
Gamma Bursts wie dieser, haben Flüsse von fγ = 4 · 10 −6 erg cm −2
Daten zu optisch
identifizierten Gamma-ray bursts
Burst E−7 z E
Datum erg cm −2 erg
GRB970508 20 0.835 2 · 10 51
GRB971214 100 3.418 1 · 10 53
GRB980425 40 0.0085 7 · 10 47
GRB980703 500 0.966 1 · 10 53
GRB990123 40 1.6 4 · 10 54
Tab. 1.25: opt. GRBs
s −1 und Fluß Energien (engl. fluence) von E = f · ∆t = 3 · 10 −4 erg cm −2 . Für eine Dauer von etwa 100 Sekunden war
die Leuchtkraft bei Lγ = 2 · 10 52 erg s −1 oder Lγ = 10 19 L⊙. (Im Verhältnis zum optischen mit Lopt = 5 · 10 49 erg s −1
oder Lopt = 10 16 L⊙ ist das ein Promille). Etwa 20 Sekunden nach Ausbruch betrug Lγ sogar (etwa 5 Sekunden lang)
Lγ = 10 20 L⊙, das ist mehr als alle Galaxien des Universums im optischen ausstrahlen. Die Gesamtenergie belief sich auf
Eγ = 3 · 10 54 erg (oder auf E = 1.5M⊙c 2 ) am Ort der Quelle.
Das Nachglühen des Gamma Bursts GRB990123 wurde im Radio (bei 4.8 GHz und 15 GHz), im optischen und im Röntgen
Bereich nachgewiesen. Der mittlere Spektralindex für den Fluß, fγ ∝ ν β , zwischen Radio (ab 100 GHz), optisch und
Gamma beträgt β = −0.671.
Der GRB980425 in einer Entfernung von nur 50 Mpc (z = 0.0085) mit einer Energie von E = 7·10 47 erg ist ein Sonderfall,
wie aus der Tabelle hervorgeht.
• ZUSATZ (NACHGLÜHEN DER GAMMA BURSTS)
Die Dauer des Gamma Bursts GRB990123 ist energieabhängig. Sie betrug etwa 40 Sekunden bei der höchsten Energie, im
Kanal 320 keV bis 1.8 MeV, und 100 Sekunden im Kanal 25 bis 230 keV.
Das Nachglühen im optischen, um 700 Sekunden zeitversetzt zum Gamma Burst, kann für diesen Burst beschrieben werden
durch eine Funktion der Form
m = mo(t/to) α
; α = −1.14 ; to = 1 d ; mo = 21
• ZUSATZ (AUSFÜHRLICHE RECHNUNG ZUR KOSMOLOGIE: ENERGIE DER GAMMA BURSTS)
Die Gesamt Fluß Energie (fluence) des Gamma Pulses beträgt
E = f · ∆t = 3 · 10 −4
erg cm −2
(2 MeV cm −2 ), etwa 0.3% der optische Anteil, und der Fluß ist
fγ = 4 · 10 −6
erg cm −2 s −1
Umgerechnet auf die Entfernung
Dl = (1 + z) zc
H = 5 · 1028 (2h) −1
beträgt demnach die Leuchtkraft im Maximum
Lobs = 4πfoD 2 l = 1 · 10 53
erg s −1
cm = 11 Gpc

1.3. GALAXIEN BEI ANDEREN FREQUENZEN 71
Mit unserer Formel für die Gesamtenergie und obigem Dl = 11 Gpc ergibt sich
Ee = 4πD 2 �
1
l
1 + z
fodto = 3 · 10 54
erg
Überträgt man dieses Ergebnis auf GRB als astronomische Klasse, dann reichen, wie Pachynski vorhergesagt hat, die
Energien sogar darüber hinaus, was wichtig ist für ein mögliches Erklärungsmodell.
OSSE:
Das Oriented Scintillation Spectrometer Experiment
Mit einem Spektralbereich von [0.1 MeV bis 10 MeV] und einer Winkelauflösung von (4 ◦ ×11 ◦ ) ist
OSSE das am noch besten geeignete Instrument zum Nachweis der Positronium Vernichtungslinie bei
0.511 MeV.
Am 25 November 1970 wurde erstmals in Richtung Galaktisches Zentrum die Positronium Vernichtungslinie
bei 0.511 MeV nachgewiesen. Der Fluß an Gamma Quanten betrug etwa 10 −2 cm −2 s −1 (bei
einem Hintergrund von etwa der Hälfte dieser Rate). Mit leichten Intensitätsschwankungen (Maximum
1977) wurde die Quelle bis zum 20 November 1981 in 7 Messungen von unabhängigen Gruppen nachgewiesen.
Von diesem Datum an, wo die Quelle erstmals verschwunden war, blieb sie bis zum 1 Mai
1988 bei drei Messungen unentdeckt. Danach war sie bis zur letzten Messung am 29 Oktober 1988
aktiv, allerdings bei reduzierter Rate (nämlich von 1.46·10 −2 cm −2 s −1 auf 0.99·10 −2 cm −2 s −1 ).
Seit dem Start des Compton Observatory im Jahr 1991 ist die Quelle inaktiv. Was nachgewiesen wird,
mit besserer spektraler Auflösung und besserer Richtgenauigkeit ist eine ausgedehnte, diffuse Linienstrahlung
• ZUSATZ (DIE 26 AL LINIE)
Der Zerfall von 26 Al, bei dem eine Gamma Linie von 1.81 MeV entsteht, sieht in 82 % der Fälle folgendermassen aus:
26 Al β + 26 Mg ∗
I
26 Mg
Dabei bedeutet I Isomerie (Emission eines Photons). Die Zerfallszeit beträgt τ = 0.74 Myr.

72 KAPITEL 1. GEOMETRIE
1.4 Die Metagalaxie
1.4.1 Die 3 Stufen der Hierarchie im Überblick
Die Milchstraße heißt ab jetzt MWG und die Andromeda Galaxie M31. Die nächsten Stufen der Hierarchie,
die wir betrachten werden, sind
1. die Lokale Gruppe mit MWG und M31 als Zentren (mit einem Radius R = 1.8 Mpc),
2. der Virgo Haufen (R = 20 Mpc) mit (M49, M58, M60, M84, M86, M87, M100, M101) und
3. der Virgo Superhaufen (R = 60 Mpc).
Das führt bereits auf das bisher ungelöste Problem der kosmologischen Entfernungsbestimmung.
1.4.2 Superhaufen
Die größte bisher gefundene (Dichte) korrelierte Volumeneinheit haben die Superhaufen mit einer
Abmessung von etwa (100 Mpc) 3 = 10 6 Mpc 3 . Dabei kann ein Superhaufen sowohl einen positiven
Dichtekontrast gegenüber seiner Umgebung aufweisen, als auch einen negativen: man spricht dann im
letzteren Fall von Leerraum (engl. void). Um solche Räume aufzufinden, reicht es nicht, zwei dimensionale
(2D) Korrelationen zu betrachten (wie das früher nur möglich war), sondern die Rotverschiebung
muß als dritte Dimension hinzukommen. Das bedeutet, es müßen Spektren bestimmt werden (von ohnehin
schwachen Quellen, nämlich von Sternen in Galaxien oder von der 21 cm H Gas Linie). Eines
der Grossprojekte ist hier der Sloan Digital Sky Survey, SDSS, der von 200 Millionen Sternen Position
und Leuchtkraft in 5 Frequenzbändern bestimmt, mit Rotverschiebungen von 1 Million Objekten.
Das ist zeitaufwendig, erste Ergebnisse (von sehr kleinen Himmelsausschnitten) liegen aber bereits
vor. Der Durchmesser des Virgo Superhaufens, bei dem wir als Mitglied am Rande liegen, beträgt
etwa 120 Mpc. So weit reichen lokale Methoden der Entfernungsbestimmung (noch) nicht, die hellsten
Cepheiden kann man noch bis zum Virgo Haufen in etwa 20 Mpc Entfernung nachweisen.
1.4.3 Daten und Kataloge
Optische Kataloge
Einige Kataloge optischer Quellen haben wir schon im Zusammenhang mit der Entfernungsbestimmung
innerhalb der Milchstraße kennengelernt. So die Bonner Durchmusterung (1859/62) von F. W.
Argelander mit ihren BD Nummern. Für den Südhimmel die Südliche Bonner Durchmusterung (SD)
und die Cordoba Durchmusterung (CD). Ferner der Henry Draper Katalog mit seinen HD Nummern.
Hierbei handelt es sich um Sternkataloge. Ferner den berühmten Katalog von Messier, der nebelartige
Objekte enthält, die bis zum Virgo Haufen reichen.
• ANMERKUNG (BEZEICHNUNGEN UND KATALOGE)
Viele der bekannteren (optischen) Kataloge sind mittlerweile historisch. Mit M werden die Objekte im Katalog von Messier
bezeichnet. M33 (Triangulum Nebel) ist das Objekt mit der Nummer 33 in diesem Katalog und wirklich ein Nebel. Messier
war Kometenforscher und der Katalog war eine Zusammenstellung von nebelartigen Objekten, die er nicht zu beachten
brauchte, da es sich nicht um Kometen handelte.
M1 ist der Krebsnebel in der Milchstraße, M32 und M33 sind Begleitgalaxien zu Andromeda (M31) im Abstand von etwa
700 kpc.
Auch der Virgo Haufen im Abstand von R = 20 Mpc ist mit M49, M58, M60, M84, M86, M87 vertreten. Das Zentrum
wird von M87 gebildet.
Weitere berühmte (optische) Kataloge (für Galaxien = Nebel) sind
1. GC für ’General Catalogue’, ein Katalog von (Vater und Sohn) Herschel.

1.4. DIE METAGALAXIE 73
2. NGC für ’New General Catalogue’ von J. L. E. Dreyer (Irland, 1888)
3. IC für ’Index Catalogue’, die Fortsetzung von NGC.
Daneben gibt es (optische) Spezialkataloge, z. B. von Abell und Zwicky (Galaxienhaufen) und von Arp
(peculiar galaxies), die selbst wieder auf früheren Katalogen beruhen (plus eigenen Beobachtungen).
Der Hubble Atlas of Galaxies (Sandage, 1961). Der Reference Catalogue of Bright Galaxies. (G. de
Vaucouleurs, A. de Vaucouleurs und G. Corwin, 1976)
Der Shapley-Ames Catalog (SA) enthält 1249 Galaxien heller als 13te Magnitude, also die hellsten Galaxien.
Sandage und Tammann haben ihn überarbeitet und erneut herasgegeben als Revised Shapley-
Ames Catalog (RSA), mit einem Appendix von weiteren 827 Galaxien. Anhand des Shapley-Ames
Catalogs, der 1932 erstellt wurde, hat de Vaucouleurs den Virgo Superhaufen identifiziert. Die Milchstraße
liegt auch hier am Rande. Ähnlich wie wir in Richtung galaktisches Zentrum mehr Sterne sehen
als in Rischtung Antizentrum, so sieht man in Richtung Virgo Superhaufen mehr helle Galaxien als in
Gegenrichtung.
Anhand von 342 Galaxien des Shapley-Ames Katalogs, die alle zum Virgo Haufen gehören und deren
Blauhelligkeiten mB < 16 erfüllen, haben van den Berg und Tammann, [VT91], (bis 1991) folgende
Mittelwerte für Leuchtkraft
L = 2.5 · 10 10 L⊙(B) (1.100)
und Supernova Raten R bestimmt:
R = 25[100yr10 10 L⊙(B)] −1
(1.101)
Das liefert 80 Supernovae pro Jahr für alle 342 Galaxien. Die Aufteilung in die verschiedenen Typen
ist wie folgt
II:Ib/c:Ia 4.0:0.8:1.8
Ein wichtiges Hilfsmittel ist ferner der Palomar Observatory Sky Survey (POSS). Er wurde (ab 1950
in mehreren Jahren) aufgenommen und enthält auf 579 Doppelseiten (mit Blau und Rotfilter) den
vollständigen Nordhimmel bis herunter zur Deklination δ = −33 ◦ in Segmenten von 6 ◦ × 6 ◦ . Dieser
wurde nach 1980 nochmals aufgenommen, sodaß Sterneigenbewegungen (innerhalb von 30 Jahren)
studiert werden können.
Der POSS war die Grundlage für Abell (1958, mit 2712 Einträgen) und für Zwicky et al. (1961 bis
1968, mit 9134 Einträgen) bei der Zusammenstellung ihrer Kataloge von Galaxienhaufen. Abell wählte
Rotverschiebungen im Bereich 0.02 < Z < 0.2, was ein Volumen von fast 10 9 Mpc 3 ergibt.
Radio Kataloge
Stellvetretend für die vielen Radio Kataloge seien 2 nunmehr historische und 2 moderne Kataloge von
Radioquellen erwähnt
1. 3C für ’Third Cambridge Catalogue’ (Nordhalbkugel, 1959), 471 Quellen bei 177 MHz mit
I > 9 Jy.
2. PKS, ditto von Parkes (Südhalbkugel);
3. NVSS (NRAO/VLA Sky Survey) mit 2 Millionen Einträgen,
4. FIRST (Faint Images of the Radio Sky at 20 cm Catalog) mit 270 Tausend Einträgen.
Röntgen Kataloge
Die historischen Kataloge von Röntgenquellen, nach denen die stärksten ihre Namen haben, sind
1. 3U für ’Third Uhuru Catalogue’
2. 2E Einstein

74 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Moderne Kataloge
Die ESA Mission (von 1989.85 bis 1993.21) des Astrometrie Satelliten Hipparcos hat zwei Kataloge
erbracht: den Hipparcos Catalogue ( J. Kovalevski, [Kov98] ’First Results from Hipparcos’)
mit 120 000 Einträgen besonders genau vermessener Sterne und den Tycho Catalogue mit 1 052 031
Einträgen. Die Positionsgenauigkeit des Hipparcos Catalogue beträgt 2 mas für 117 955 Sterne mit
m < 8.5 Magnitude, bei den hellsten ist sie besser als 1 Milli Bogensekunde (mas). Die mittlere Sterndichte
(an Referenzsternen) beträgt mit dem Hipparcos Catalogue 3 Sterne pro Quadratgrad. Etwa 10%
sind visuelle Doppelsterne (12 195). Für den Tycho Catalogue lauten die Daten: Positionsgenauigkeit
(im Mittel) 26 mas mit m < 11.5 Magnitude.
• LITERATUR (EIN KATALOG DER KATALOGE)
Einen Überblick über moderne Kataloge findet man im IAU Symp. Nr. 179, (abgehalten in Baltimore, 1996) mit dem Titel
’New Horizons from multi-wavelength sky surveys’; [MG98].
Die ADC Datenbank enthält Zugang zu mehr als 300 Katalogen.
Der HST Guide Star Catalog (GSC) enthält 40 Millionen Sternpositionen, Genauigkeit 0.25 arcsec.
Der USNO-A1.0 Katalog (des U. S. Naval Observatory) enthält 488 006 860 Einträge.
Der Palomar Observatory Sky Survey liegt mittlerweile in digitalisierter Form vor.
Neu und sehr nützlich ist
1. Skyview, ein Internet Zugang zu verschiedenen Archiven unter http:
skyview.gsf.nasa.gov mit Daten von IRAS, ROSAT, COBE, EUVE und EGRET.
2. Die Milchstraße in verschiedenen Frequenzen unter http:
adf.gsfc.nasa.gov/adf/adf.html als Poster.
Galaxienklassifizierung
Die ursprüngliche Galaxienklassifizierung von Hubble kannte 4 Typen:
1. normal elliptisch (E), Unterteilung (E0) bis (E7),
2. lenticular (L), später aufgeteilt und in (S0) bzw. (SB0) umbenannt,
3. Spiralsysteme mit den beiden Klassen
(a) normale Spiralsysteme (S),
(b) Balken Spiralsysteme (SB),
jede nochmals mit der Fein Unterteilung (Sa) bis (Sc),
4. irreguläre Systeme (I).
Wir führen sie hier auf, da sie häufig noch zur groben Klassifizierung benutzt werden.
• ZUSATZ (ELLIPTIZITÄT (En) BEI ELLIPTISCHEN GALAXIEN)
Die Elliptizität bei normal elliptisch (En) Galaxien ist definiert durch
n =
a − b
a
wobei a die grosse Halbachse, b die kleine Halbachse der Ellipse sind. In guter Näherung sind solche elliptische Galaxien
Rotationsellipsoide, welche unter dem Inklinationswinkel i gesehen werden. Flachere Ellipsoide als n = 7 (E7) sind
nicht bekannt. Eine wichtige Eigenschaft, die Auskunft über die Entwicklung gibt, ist: elliptische Galaxien haben kein
(nachweisbares) Gas und keine jungen (massiven) Sterne.

1.4. DIE METAGALAXIE 75
• ZUSATZ (BEDEUTUNG DES KERNS BEI SPIRALSYSTEMEN)
Die Bedeutung des Kerns nimmt bei Spiralsystemen von S0 → Sc ab, die der Spiralarme nimmt zu.
Der Buchstabe B in (SB) bedeutet Balken. SB-Galaxien haben zusätzlich zum Spiralsystem noch einen Balken im Zentrum.
(S0) und (SB0) Galaxien haben ebenfalls kein (nachweisbares) Gas und keine jungen (massiven) Sterne.
Ab (Sa) gibt es Gas und junge (massive) Sterne in den Galaxien, die irregulären Systeme (I) und (IB)
werden von jungen Sternen dominiert. Der Gasanteil (in Form von HI) in verschiedenen Galaxientypen
wächst von Null (E und S0 Typ) auf etwa 20% bei irregulären. MWG (Gasanteil 5%) und Andromeda
wurden von Hubble als (Sb) klassifiziert, LMC und SMC als (Im).
Die Hubble Sequenz teilt sich ab E7 auf in Spiralgalaxien ohne und mit Balken
E0 . . . E3 . . . E7
S0 - Sa - Sb - Sc - I
SB0 - SBa - SBb - SBc - IB
Dieses grundlegende Schema der Galaxienklassifizierung wurde von Hubble in seinem Buch The
Realm of the Nebulae erstmals vorgestellt. Die Vorstellung war die einer Entwicklung (analog der der
Sterne), Galaxien ganz links wurden als frühe, solche ganz rechts als späte Typen bezeichnet. Die Einordnung
des Typs (S0) ist problematisch. Tatsächlich gibt es Eigenschaften, die sich längs der Hubble
Sequenz stetig ändern:
1. Der Gasanteil nimmt von (E0) nach (Im) zu.
2. Die Supernova-Rate nimmt ebenfalls zu.
3. Die Radio bzw. Röntgen Leuchtkräfte nehmen (von links nach rechts) zu.
4. Die Alter der Objekte nehmen ab.
Die dieser Galaxienklassifizierung zugrunde liegenden Photoplatten wurden posthum von Sandage im
The Hubble Atlas of Galaxies veröffentlicht. Im Shapley-Ames Catalog (SA) sind alle Galaxien von
Sandage und Tammann nach diesem Hubble Schema klassifiziert.
In Konkurrenz dazu gibt es Galaxienklassifizierungen von G. de Vaucouleurs, von Morgan (Yerkes
Klassifizierung) und von S. van den Bergh (DDO Klassifizierung).
• ZUSATZ (BAADES KONZEPT DER POPULATIONEN)
1943 gelang es Baade erstmals, bestimmte Sternklassen in M31 und den Begleitgalaxien M32, NGC 147, 185 und 205
aufzulösen. Er fand, daß verschiedene Galaxientypen verschiedene Typen von Sternen beherbergen, die er Populationen
nannte.
Population I
beinhaltet junge, massereiche Sterne (Typ O und B) oder Überriesen (Typ K und M). Sie kommen in irregulären
Systemen und in den Armen von Spiralsystemen vor. Sie sind die Progenitoren der Supernovae vom Typ II und Ib/c.
Population II
enthält alte, massearme Sterne im Riesenstadium (Typ G5 bis K5). Sie kommen in normal elliptischen (E) und
lenticularen (S0) Galaxien, in den Kernen von Spiralsystemen vom Typ Sa und Sb und in den Kugelsternhaufen der
Milchstraße vor. Sie sind die Progenitoren der Supernovae vom Typ Ia.
Ausnahmen von der Regel sind junge Sterne in den Kernen von Spiralsystemen vom Typ Sa und Sb (z. B. im Zentrum der
Milchstraße) und Pulsare bzw. ’blue straggler’ (vermutlich junge Objekte) in (alten) Kugelsternhaufenen. Dazu gehören
ferner Supernovae vom Typ II und massive Röntgensysteme weit weg von der Galaktischen Ebene. Hier bietet sich als
Erklärung an, daß diese durch Schnellläufer (Binärsysteme nach einer ersten Supernova Explosion) dorthin transportiert
wurden (wie z. B. im Falle des Krebsnebels plus Pulsar).
Neben diesen 4 Hubble-Typen, mit denen der Grossteil der Galaxien abgedeckt wird, gibt es noch Son-

76 KAPITEL 1. GEOMETRIE
derfälle, engl. peculiar galaxies. Diese sind besonders interessant, es handelt
sich um gestörte Galaxien (Kollision oder Verschmelzung). Sie geben (heute
noch) Auskunft über die Wechselwirkung und Dynamik von Galaxien unter
extremen physikalischen Bedingungen, wie sie bei der Urbildung im Kosmos
geherrscht haben mögen.
Die extremsten Exemplare in der Metagalaxie (bis zu 100 Mpc Entfernung
von der Milchstraße) sind die elliptischen cD Galaxien, die sich im Zentrum
von Galaxienhaufen befinden (c = cluster), mit einer riesenhaft ausgedehnten
Hülle (D = diffus), deren Radius etwa 1 Mpc erreicht (mit einer Masse von
bis zu 1 · 1013M⊙). Das A hinter dem Namen des Galaxien-Haufen bedeutet,
daß die Galaxie als starke Radio Quelle bekannt ist. Typische Radioleuchtkräfte
sind 1042 erg s−1 Typ cD Galaxien
NGC Galaxien
Nummer Haufen
253
4486
5128
1316
4881
1265
Sculptor
Virgo A
Centaurus A
Fornax A
Coma A
Perseus A
.
Tab. 1.26: cD Galaxien
Die Tabelle enthält einige bekannte Galaxien Haufen und die NGC Nummer der Zentralgalaxie vom
Typ cD.
NGC 253 ist eine nahe, gut untersuchte Starburst-Galaxie mit einem beträchtlichen Anteil an Gas und
Staub. Sie ist die dominierende elliptische Galaxie der Sculptor Gruppe.
• FORMELN (UMRECHNUNG WAHRE HELLIGKEIT)
Zum Umrechnen von Magnituden M in optische Leuchtkräfte L gilt genähert für Galaxien
L = 10 10 dex(0.4[−M − 20.3])L⊙
(1.102)
Eine einfache Begründung dieser empirischen Formel folgt.
Für die Milchstraße mit ihren N∗ = 1011 leuchtenden Sternen ist die Sonne ein typischer Vertreter. Ihre Daten sind der
nebenstehenden Tabelle zu entnehmen. U − B ist eine abgekürzte Schreibweise für
mU − mB.
Für die Klassifizierung von ganzen Galaxien nach Leuchtkräften und Farbe ist die
astronomische Daten der Sonne
Sonne und ihr Spektrum demnach für Galaxien (vom Typ der Milchstraße) eine geeignete
Grundlage für die einfachste Näherung, in der alle Sterne gleich sind. Um
nach Morgan das integrierte Spektrum alle N∗ Sterne der Galaxis zu erhalten, werden
wir also annehmen, daß für die Leuchtkraft der gesamten Galaxie
L⊙ 3.9·1033 erg s−1 f⊙ 1.36·106 erg cm−2 s−1 V⊙ −26.78
MV 4.79 BC = −0.07
L∗ = N∗ × L⊙
gilt und daß das Spektrum mit dem der Sonne übereinstimmt. In nächster Näherung U − B = 0.10; B − V = 0.62
kann man dann Korrekturen, je nach Galaxientyp, für Blau- und Rot-Helligkeit anbringen,
die nicht mit denen der Sonne übereinstimmen müßen.
Tab. 1.27: Sonne
Für die Umrechnung Leuchtkraft L aus absoluter Helligkeit M gilt (mit den Werten der Tabelle)
L = 3.02 · 10 35 · 10 −0.4M erg s −1 (1.103)
mit der Umkehrung
Mbol = 4.72 m − 2.5 m lg(L/L⊙) (1.104)
und Analoges für die verschiedenen Farbhelligkeiten. Für die Umrechnung wahre Helligkeit f aus scheinbarer Helligkeit
m gilt
f = 2.52 · 10 −5 · 10 −0.4m erg cm −2 s −1 (1.105)
• FORMELN (DIE GALAKTISCHE LEUCHTKRAFTFUNKTION Φ(L))
Achtung: mit M ist hier Magnitude, nicht Masse, gemeint.
Die galaktische Leuchtkraftfunktion Φ(M) ist die Anzahldichte (von Galaxien) im Magnituden-Intervall [M, M + dM].
Die Normierung ist also
�
Φ(M)dM = (N/V )
Dabei ist N die Anzahl der Galaxien im Volumen V . In guter Näherung gilt die von Schechter (1976) gefundene Funktion
Φ(M) = Φ ∗ (0.4ln10) exp(−dex[0.4(M ∗ − M)]) (1.106)

1.4. DIE METAGALAXIE 77
mit empirischen Konstanten Φ ∗ und M ∗ . Äquivalent dazu gilt für die Leuchtkraft
Φ(L) = (Φ ∗ /L ∗ )(L ∗ /L) exp(−L/L ∗ ) (1.107)
Diese Verteilung muß irgendwo für kleine L abbrechen, da das Integral logaritmisch divergiert; die Leuchtkraft ist allerdings
endlich.
= −20.3 +5log(2h) mit
Für die Blau-Helligkeit sind die empirischen Konstanten Φ∗ = 5 · 10−3 (2h) 3 Mpc−3 und M ∗ B
den Beobachtungen des SA-Katalogs verträglich. Einem M ∗ B = −20.3 entspricht L∗B = 5 · 1010L⊙. Besser geeignet sind die IR Werte, da hier die Mehrzahl der Sterne einer Galaxie strahlt. Man findet für das K-Band
identische Werte für Φ∗ = 5 · 10−3 (2h) 3 Mpc−3 und für M ∗ K = −24.6 +5log(2h). Galaxien sind zwar intrinsisch rot, die
Blau-Helligkeit ist aber ebenfalls zur Charakterisierung geeignet.
Wir haben bewusst vereinfacht, der Ansatz für die allgemeine Schechter Funktion lautet
Φ(L) = (Φ ∗ /L ∗ )(L/L ∗ ) α exp(−L/L ∗ ) (1.108)
Neurere, wesentlich umfangreichere Beobachtungen, haben gezeigt, daß selbst dieser Ansatz für die Leuchtkraft Funktion
insbesondere für den leuchtschwachen Anteil (MR > −17.5) ungeeignet ist. Die Daten des Las Campanas Redshift Survey
(1996) von 19 Tausend Galaxien liefern darüber hinaus α = −0.7 (anstatt α = −1) für MR < −17.5.

78 KAPITEL 1. GEOMETRIE
• ANMERKUNG (DIE GALAXIENKLASSIFIZIERUNG VON HUBBLE)
Ein Versuch, Galaxien zu klassifizieren, ist nach morphologischem Galaxientyp (Hubble und Zwicky: Aussehen auf der
Photoplatte) und nach Leuchtkräften bzw. Farbe (Morgan: integrierte Spektren der Sterne). Nach Morgan werden irreguläre
Systeme mit Typ a (Sternspektren B, A, F) bezeichnet. Elliptischen Galaxien, S0-Galaxien und die Kerne von Sa-Galaxien
haben Typ k (Sternspektren wie K-Riesen). Daneben gibt es Zwischentypen af, f, fg, g und gk. Dem entspricht eine Variation
der Farbe von Blau nach Rot.
Die Tabelle gibt repräsentive Beispiele für die 4 Typen der Galaxienklassifizierung von Hubble. Angegeben sind NGC
Klassifizierung und numerische Verschlüsselung der Galaxientypen
Morphologischer Kode vis. H. Radius Bsp. Masse
Galaxientyp Hubble de Vauc. T MV kpc NGC M⊙
extrem kompakt elliptisch cE −6
zwergenhaft elliptisch dE E −5 −17.5 147
normal elliptisch En −4 4486 4 · 10 12
riesenhaft elliptisch E + / cD S0 − −3 1000 4881 1 · 10 13
Spiralsysteme S0/a S0 + 0 4976 4 · 10 12
Scheiben mit Spiralarmen Sa Sa 1 15 2811 2 · 10 12
Sa-b Sab 2 (1291)
(ohne: S bzw. mit: SB Sb Sb 3 −21.9 20 2841 6 · 10 11
Balken) Sb-c Sbc 4 (1300)
Sc Sc 5 −21.5 30 628 3 · 10 11
Sc-d Scd 6 (7741)
Sd Sd 7 7793
Sc-Irr Sdm 8 1 · 10 10
Sm 9
irreguläre Systeme Irr Im 10 −16.5 1 · 10 9
irreguläre kompakte Systeme cI 11
vis. Helligkeit MV (Sonne) = 4.79; Hubble Konstante 2h = 1
Beispiele in Klammern: Galaxien mit Balken
Tab. 1.28: Galaxientypen
Nummern für jeweils die Haupttypen, in Klammern sind Galaxien mit Balken aufgeführt.
Die Werte für die Radien und Massen in der Tabelle sind Mittelwerte für 2h = 1. Bei den Scheiben mit Spiralarmen ist die
leuchtende Masse gemeint.
Die Leuchtkraftklassen reichen von I (gut ausgeprägte Spiralstruktur, hohe Flächenhelligkeit) bis V (Zwergsysteme).
Galaxien, deren absolute Helligkeit M < −15 erfüllt (entspricht etwa L > 10 8 L⊙) haben ausgeprägte Kerne (Gebiete
hoher Sterndichte), weniger helle haben keine Kerne.

1.4. DIE METAGALAXIE 79
1.4.4 Überblick: Komponenten der Metagalaxie
Die Bezeichnung Metagalaxie ist heute nicht mehr gebräuchlich. Wir benutzen sie hier für den Bereich,
der noch mit der Newtonsche Gravitationstheorie beschrieben werden kann, bis z = 0.3. Das ist gerade
der Bereich, der durch die klassischen Kataloge abgedeckt wird. Bis hierher reicht auch die 21cm H-
Linie zur Entfernungsbestimmung.
Vergleichsquellen
Zwei Quellen haben den Status universeller Prototypen erlangt, auf die Messungen an anderen Objekten
oft bezogen werden: Der Krebsnebel in einer Entfernung von 2 kpc und der radio-laute Quasar 3C
273 in einer Entfernung von 0.9 Gpc. Sie sind dadurch ausgezeichnet, daß sie besonders stark sind und
im gesamten bisher überhaupt nachgewiesenen elektromagnetisch Spektrum lückenlos aktiv sind.
Von 10 12 Hz bis 10 21 Hz verläuft das Spektrum bei beiden praktisch parallel, an den beiden Enden, bei
10 8 Hz und bei 10 24 Hz, gewinnt der Quasar 1 dex.
Von historischen Aufnahmen ist bekannt, daß beide Quellen stark variabel sind. Im Krebsnebel werden
die Klumpungen, die da leuchten, wisps genannt und deren zeitliche Änderung activity (Aufleuchten).
Bei 3C 273 hat man erstmals zeitliche Änderungen in einem jet (Strahl) mit Überlichtgeschwindigkeit
gefunden. Die Zeitskala der Intensitäts- Änderungen beträgt Wochen bis Jahre, die Amplitude 0.3 dex.
• ZUSATZ (DER KREBSNEBEL)
Bei einer Entfernung von 2 kpc gilt für die Gesamtstrahlung des Nebels (optisch plus Röntgen)
L Crab = 10 38
erg s −1 = LEdd(M⊙) (1.109)
Das entspricht der Eddingtonschen Grenzleuchtkraft für einen akkretierenden Neutronenstern. Die Synchrotron Strahlung
des Nebels im Röntgenbereich, wo das Maximum liegt, wird erzeugt von relativistischen Elektronen. Diese haben eine
Lebensdauer, die viel geringer ist, als das Alter des Nebels. Relativistische Elektronen müßen also ständig nachgeliefert
werden. Das war ursprünglich ein Problem, da die Quelle nicht bekannt war. Heute wissen wir, daß die Leuchtkraft aufrecht
erhalten wird durch den Verlust an Rotationsenergie des Radiopulsars
L Crab = ˙ Erot = IΩ ˙ Ω ; Erot =
�
I
2 Ω2
�
(1.110)
Die Größen Ω = 2π/P und ˙ Ω sind direkt meßbar, das Trägheitsmoment von etwa I ≈ M⊙R2 = 1045 g cm2 folgt aus der
Theorie der Neutronensterne.
Der Krebsnebel (M1 = NGC 1952), ist ein Supernova Überrest aus dem Jahr 1054 mit einem Neutronenstern als Radiopulsar
im Zentrum. Der Krebsnebel ist dabei im optischen fast mit blossem Auge zu sehen, mV
starke Quelle. Die Radioleuchtkraft (bis 10 GHz) des Nebels ist 3 dex
= 8, ist also eine extrem
kleiner, L10GHz = 1 · 1035 erg s−1 .
Der Pulsar im Nebel ist ebenfalls extrem stark (und mit einem guten
Spektrum des Krebsnebels
UKW Empfänger zu empfangen). Im Radiobereich ist der Pulsar un- von bis Φν Index
terhalb von 100 MHz sogar stärker als der gesamte Krebsnebel, im (Hz) (Hz) Jansky n
Röntgenbereich beträgt die gepulste Komponente etwa 10% des Nebels,
ab etwa 1 MeV sind 100% gepulst. Die Ränder des Spektrums
werden also durch den Pulsar bestimmt.
Das Spektrum reicht bis VHE (very high energy, GeV) und UHE (ultra
high energy, TeV). Diese Photonen werden mit atmosphärischen
107 1012 1040 · (ν/109 ) n 2 · 10
−0.30
13 3 · 1015 1.8 · (ν/1015 ) n 10
−0.85
16 1019 1.2 · (ν/1018 ) n −1.15
Schauer Experimenten anhand der erzeugten Čerenkov-Strahlung
Tab. 1.29: Krebsnebelspektrum
nachgewiesen. Die TeV Komponente ist mit L TeV = 2 · 10 34 erg s −1 noch enorm hoch, sie erreicht 10% der gesamten
Radioleuchtkraft des Nebels.
Der Quasar 3C 273 ist im Radiobereich eine Doppelquelle, die durch einen jet verbunden ist. Der Anfang
(Komponente B) fällt mit dem optischen Quasar zusammen, das Ende (Komponente A) mit der
Radio Quelle. Die Radio Leuchtkraft der Komponente A ist 4mal stärker als die optische (Komponente

80 KAPITEL 1. GEOMETRIE
B). Beide Komponenten scheinen sich mit zehnfacher Lichtgeschwindigkeit voneinander wegzubewegen.
Diese beobachteten (scheinbaren) Überlichtgeschwindigkeiten stellten zunächst ein grosses Problem
dar, da die Spezielle Relativitätstheorie solches nicht erlaubt, jedenfalls nicht als Signalgeschwindigkeit.
Die heute allgemein akzeptierte Erklärung des Phänomens lautet denn auch, daß es sich um eine
relativistische Phasengeschwindigkeit entlang eines Strahls handelt. Beobachtet wird das Aufleuchten
des jet, was senkrecht zur Sichtlinie zu einer Winkeländerung der Quelle von
dθ = dte(v/re) sin θ und zu dx = re∆θ = dte(v sin θ)
wobei re der Abstand zwischen Quelle und Beobachter ist. Die dazu benötigte Zeit ist die aus der
Hertzschen Lösung bekannte retardierte Zeit
to = te + re
c mit ∆to = ∆te + ∆re
c = ∆te(1 − β cos θ)
Damit wird die Phasengeschwindigkeit
vo = dx
dto
β sin θ
= c
1 − β cos θ
Falls β und θ geeignet gewählt werden, kann dabei vo ≫ c erreicht werden.
• ZUSATZ (DER QUASAR 3C 273)
Er wurde als Radioquelle entdeckt, da war seine Entfernung allerdings noch nicht bekannt
L 10GHz = 1 · 10 44
3C 273 ist mit mV = 13 der hellste optische Quasar
f 3C273
vis
= 1 · 10 −10
erg s −1 (1.111)
erg s −1 cm −2
Im Gegensatz zum Krebsnebel ist er aber nur von grossen Observatorien aus nachweisbar (etwa COMPTEL im Gamma Bereich
oder IRAS im Infraroten). Mit z = 0.158 beträgt seine Entfernung 0.9 Gpc. Daraus folgt für die optische Leuchtkraft
etwa
Lopt = 10 46
erg s −1 (1.112)
Das ist die Leuchtkraft von etwa 10 9 Krebsnebeln. (Ähnlich wie beim Krebsnebel gibt es auch einen IR Exzess.) Die
Röntgen Leuchtkraft, [1. . . 10] keV, ist etwa doppelt so groß
LX = 2.5 · 10 46
erg s −1 (1.113)
Der Quasar 3C 273 hat sein Maximum der Leuchtkraft jedoch erst bei Eγ = 1 MeV, was ν = 2 × 10 20 Hz entspricht.
Lγ = 10 47
erg s −1 (1.114)
Das ist an beiden Enden des Spektrum die Leuchtkraft von etwa 10 11 Krebsnebeln.
Das aktuelle Modell der Milchstraße
Im folgenden gilt, daß Größen, die sich auf die Milchstraße beziehen, den Index ∗ erhalten. Bisher
haben wir die Milchstraße in zwei Komponenten aufgeteilt: die stark abgeplattete Scheibe mit ihren
Spiralarmen, (hauptsächlich Sterne der Population I, Höhe je nach Sternklasse bis zu 1 kpc), mit einem
Radius von etwa 10 kpc und den sphärischen Halo (Sterne der Population II) mit einem Radius von
etwa 20 kpc. Diese Vorstellung galt bis etwa zur der Mitte des 20ten Jahrhundert, das Konzept der
Sternpopulationen wurde von Baade zunächst an Andromeda entdeckt und dann auf die Milchstraße
übertragen. Bis etwa 1976 glaubte man, daß der direkte gravische Einfluß unserer Galaxis höchstens

1.4. DIE METAGALAXIE 81
bis etwa 50 kpc reicht, also nicht bis zu den beiden Maghellanschen Wolken, LMC und SMC. Diese
selbst wurden als eigenständige, nicht mehr an die Milchstraße gebundene Galaxien angesehen.
Der Bereich jenseits 20 kpc bis etwa 200 kpc wird jetzt Korona (um ihn vom Halo zu unterscheiden)
genannt und es wurde frühzeitig spekuliert, daß hier ein grosser Teil der Dunkelmaterie versteckt sein
könnte. Aus der sichtbaren (d. h. leuchtenden) Materie, mit einer Leuchtkraft von etwa
L∗ = 2.5 · 10 10 L⊙ = 10 44
erg s −1
innerhalb einem Radius von etwa 10 kpc, kann man nämlich nur auf eine Masse von maximal
M∗ = 2 · 10 11 M⊙
schließen. Es ist üblich, die Masse M auf die spezifische Leuchtkraft zu normieren und diese auf
diejenige der Sonne (M⊙/L⊙) zu beziehen, also für die Milchstraße innerhalb einem Radius von etwa
10 kpc
M∗/L∗ = 8(M⊙/L⊙)
Dieses Verhältnis nimmt nach außen um 1 dex zu. Nach der dazu gehörenden Dunkelmaterie der Korona
wird intensiv gesucht.
Die direkte Methode, schwach leuchtende Objekte zu finden, besteht darin, eine Langzeitbeobachtung
an ausgewählten Stellen am Himmel durchzuführen. Beispiele solcher Untersuchungen sind
1. das Hubble Deep Field (North)
2. das Hubble Deep Field (South) im optischen und
3. Lockmans Loch mit ROSAT.
Eine (indirekte) Methode, unsichtbare gravitierende Objekte aufzuspüren, bietet das Mikrolensing (Abbildung
von starken optischen Hintergrundquellen durch Sterne im Halo oder in der Korona der Milchstraße).
Seitdem findet man aber immer weiter entfernte Kugelsternhaufen und Satelliten (Zwerggalaxien), deren
Pekuliargeschwindigkeiten (bezogen auf das galaktische Zentrum) Keplersch sind. Etwa hundert
Kugelsternhaufen befinden sich im Halo zwischen 20 und 220 kpc
vom Zentrum der Galaxis entfernt, und zwischen 100 und 220 kpc
sind es immerhin noch vier Zwerggalaxien und zwei Kugelsternhaufen.
Um diese noch gravisch zu dominieren, muß an Dunkelmaterie etwa
20mal soviel (im Halo bzw. in der Korona) vorhanden sein, also
etwa M = 2 · 10 12 M⊙, davon M = 4.5 · 10 11 M⊙ innerhalb von 50
kpc (LMC), Tendenz steigend.
Das aktuelle Modell der Milchstraße sieht damit wie in der Tabelle
Modell der Milchstraße
Komponente Radius Masse
kpc 10 11 M⊙
Scheibe 10 1
Halo 20 2
Korona 250 20
Tab. 1.30: Modell der MWG
angegeben aus. Die Höhe der Scheibe beträgt etwa 1 kpc, die Masse der Korona ist bestimmt an 12
Zwerggalaxien.
Unter Metagalaxie verstehen wir im folgenden alles, was über unsere Galaxis (MWG = milky way
galaxy) hinausgeht und noch als Sternansammlung aufgelöst (und spektoskopisch vermessen) werden
kann.
Nachbargalaxien
Zur Metagalaxie zählen wir hier zunächst die Lokale Gruppe (MWG plus SMC, LMC und Andromeda
= M31 plus M32 und M33). Ferner alle Galaxien bzw. Galaxiengruppen bis zum Zentrum des Virgo
Haufens (M84, M86, M87).

82 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Die Milchstraße ist, ebenso wie die Andromeda Galaxie, Zentralgalaxie der Lokalen Gruppe, welche
mittlerweile aus mindestens 40 weiteren Galaxien besteht (es werden auch hier immer neue, leuchtschwache
Zwerggalaxien entdeckt).
• BEISPIEL (DIE WICHTIGSTEN NACHBARGALAXIEN: DIE LOKALE GRUPPE)
Im folgenden geben wir einige Daten der wichtigsten Galaxien der Lokalen Gruppe. Die vielen leuchtschwachen Zwerggalaxien
spielen bei der Dynamik keine Rolle, sie sind ideale Testmassen zum Ausmessen des Gravitationsfeldes. Erstaunlicherweise
unterscheiden sich die Zwerggalaxien sehr stark in ihrer Chemie; das gilt mittlerweile auch für die Kugelsternhaufen.
Die bekanntesten Exemplare der Lokalen Gruppe sind in der nebenstehenden Tabelle aufgeführt. Es handelt sich um die
nach Leuchtkraft L und Masse M wichtigsten Mitglieder
der Lokalen Gruppe: wir = MWG und M31 plus jeweils
zwei nahe Satelliten. Alle anderen bisher bekannten Mitglieder
sind Zwerggalaxien.
Die Masse, M, der Galaxie ist hier in Einheiten von
M⋆ = 10 9 M⊙ angegeben, das ist die typische Einheit
für Zwerggalaxien. Gleiches gilt für die Leuchtkraft: L ist
in Einheiten von L⋆ = 10 8 L⊙ angegeben.
D ist der Durchmesser in kpc und Dist ist die Entfernung
in kpc. und h der Abstand von der gemeinsamen Ebene
(welche senkrecht zum Gesamt Drehimpuls steht) in
kpc. Die Lokale Gruppe ist physisch praktisch eine Doppelgalaxie,
die dominanten Mitglieder sind wir (MWG =
Milchstraße) und M31 (Andromeda), mit einem Abstand
von etwa 770 kpc. Allerdings handelt es sich vermutlich
nicht um eine Kreisbahn, auf der die beiden Zentren sich
Daten der Lokalen Gruppe
Name Typ M D Dist MV L h
M⋆ kpc kpc L⋆ kpc
MWG Sb 200 30 – −20.5 250 0
LMC Irr 20 7 50 −18.8 30 3
SMC Irr 2 3 57 −16.8 6 −60
M31 Sb 400 30 725 −21.2 250 0
M32 E3 2 8 725 −16.4 3 +35
M33 Sc 40 14 795 −19.1 40 +160
M⋆ = 10 9 M⊙; L⋆ = 10 8 L⊙
Tab. 1.31: Nachbargalaxien
bewegen, sondern eher um einen zentralen Stoß (Relativgeschwindigkeit der Zentren: etwa 120 km s −1 ).
Mit Typ ist hier die Klassifizierung von Hubble gemeint (S steht für spiral und E für elliptisch). Für die zwei Maghellanschen
Wolken ist hier noch Irr = irregulär angegeben, eine neuere Klassifikation ist für LMC: Sb(s)m und für SMC:
Sb(s)mp.
Weitere, hier nicht aufgeführte, Mitglieder der Milchstraße sind: Sagittarius, Ursa Minor, Draco, Sextans, Sculptor, Carina,
Fornax, Leo II, Phoenix und NGC 6822. Beide, Milchstraße und M31 haben jeweils 12 Satelliten. Dazu kommen noch
leuchtschwache, isolierte Zwerggalaxien wie Leo I, Tucana, Pegasus.
Die Milchstraße hat zwei größere, nahe Satelliten: die Große Maghellansche Wolke (LMC) und die Kleine Maghellansche
Wolke (SMC). (Relativgeschwindigkeit LSR - LMC v = 275 km s −1 ). Dem entsprechen bei Andromeda (M31) die
Satelliten M32 und M33. Die Masse von Andromeda ist etwa doppelt so groß wie die der Milchstraße, auch die Zahl
der bekannten Kugesternhaufen ist doppelt so groß (355 im Vergleich zu 150).
Die Mitglieder der Lokale Gruppe liegen praktisch in einer Ebene. Wir (d. h. das Zentrum der Milchstraße)
bewegen uns mit etwa 120 km s −1 (ältere Abschätzungen geben 90 km s −1 ) auf Andromeda
zu (Relativgeschwindigkeit der beiden Schwerpunkte), was eine Zeit von etwas weniger als 5 Gyr bis
zur Kollision ergibt (das allerdings nur, falls die Bewegung wirklich hauptsächlich radial ist). Diese
Geschwindigkeit ist jedoch nicht direkt bestimmbar, für den LSR ist vpec = −299 km s −1 .
Die Große Maghellansche Wolke, die Kleine Maghellansche Wolke, Andromeda (M31) mit M32 und
Triangulum (M33) sind heute das, was die offenen Sternhaufen und die Kugelsternhaufen einmal für
Sterne waren (und jetzt für Pulsare sind): Sie sind ideal geeignet zur Eichung und zum Vergleich
(Chemie, zeitliche Entwicklung) iher astronomischen Mitglieder, da ihre Entfernungen gut bekannt
und für alle Mitglieder gleich sind. Es reichen dann Vergleichsmessungen.
• ZUSATZ (WICHTIGE NEUERE ENTDECKUNGEN)
Die folgende Liste ist, um einen ersten Eindruck zu vermitteln, eine nicht repräsentative Aufzählung wichtiger neuerer
Entdeckungen an Objekten und an Eigenschaften von Objekten in unserer nächsten Nachbarschaft, die zeigen, wie wichtig
diese für Astrophysik (und Kosmologie) sind (eine systematische Darstellung folgt):
1. Kleine Maghellansche Wolke: Erstentdeckung einer neuen Klasse von Röntgensternen: den supersoft sources (SSS).
Die erste SSS, die als solche (von ROSAT) erkannt wurde, war RX J0048.4−7332. Auch die erste Röntgenquelle
in SMC, SMC X-1, gehört dazu. Eine weitere (RX J0058.6−7146) wurde beobachtet, wie sie innerhalb eines Tages
anging.

1.4. DIE METAGALAXIE 83
2. Große Maghellansche Wolke: Erste Supernova seit Kepler (1604), die mit unbewaffnetem Auge ( m = 4.74) 1987
etwa 124 Tage lang (Maximum, mit m = 3, am 86ten Tag) beobachtbar war. Und damit möglich: Erste rein geometrische
Entfernungsbestimmung anhand der Expansion der Schale des Supernova Überrests von SN 1987A. D = 50
kpc. Erster extragalaktischer Neutrino Nachweis. Erster Nachweis radioaktiver Elemente und Entdeckung von Gamma
Linienstrahlung.
3. Andromeda: (Entfernung 770 kpc. Entfernungsmodul m − M = 24.48.) Letzte Supernova 1885. Wichtigste Begleitgalaxien
sind M32 und M33. Weitere 9 Satelliten sind bekannt. In bzw. um M31 kennt man (Stand 1999) 335
Kugelsternhaufen, 403 offene Sternhaufen (Assoziationen) und 150 Röntgenquellen. Auch die Masse des Zentrums
von M31 hat man versucht zu bestimmen. Es wird vermutet, daß auch hier im Zentrum ein Schwarz-Loch-Kandidat
vorhanden ist, mit einer Masse von 3 · 10 7 M⊙ (früher 2 · 10 8 M⊙).
4. M32: Sogar die kleine Begleitgalaxie M32 ist ein Schwarz-Loch-Kandidat, allerdings mit einer Masse von 8 ·
10 6 M⊙.
5. M33: In M33 (Triangulum Nebel) wurde das erste extragalaktiche Molekül entdeckt, H2O. Mithilfe von H2O Masern
wurde erstmals eine extragalaktische Entfernung geometrisch (interferometrisch) bestimmt.

84 KAPITEL 1. GEOMETRIE
1.4.5 Die Lokale Gruppe
Überblick
Die wichtigsten Mitglieder der Lokalen Gruppe haben wir in Tabelle (1.31) bereits kennengelernt.
Die beiden uns am nächsten benachbarten Galaxien sind:
1. die Große Maghellansche Wolke, (LMC = large magellanic cloud)
Masse: M = 2 · 10 10 M⊙; Modul: m − M = 18. m 5, Entfernung D = 50 kpc.
2. die Kleine Maghellansche Wolke, (SMC = small magellanic cloud)
Masse: M = 2 · 10 9 M⊙; m − M = 18. m 9, Entfernung D = 57 kpc.
Die SMC, mit etwa 10 % an Masse von LMC, ist selbst Satellit von LMC (also gravisch an sie gebunden)
und nur etwa 7 kpc weiter (von unserem LSR) entfernt. Die Entfernungsangabe bezieht sich
auf das jeweilige Zentrum der Galaxie. Dies wird, je nach Autor und Bestimmungsmethode, etwas
unterschiedlich angegeben, dadurch ergeben sich auch heute noch kleine Abweichungen für die Entfernungsangaben
in der Literatur (und in unserer Darstellung).
• ANMERKUNG (BEZEICHNUNGEN UND KATALOGE)
Die Maghellanschen Wolken wurden bereits von Herschel (1847) untersucht und ihre Objekte (meist Sternhaufen) katalogisiert.
Sein New General Catalogue of Nebulae and Clusters, NGC, enthält 919 für LMC und 214 für SMC. Moderne
Spezialkataloge gibt es für fast alle Arten von astronomisch interessanten Objekten: Sternhaufen, Sterne und Supernova
Überreste.
1.a. Sternhaufen
Moderne Kataloge von Sternhaufen gibt es von
1. Kron (1956) K
2. Lindsay (1958) L
3. Brück (1975, 1976) Br
4. Shapley und Lindsay (1963) SL
5. Lynga und Westerlund (1963) LW
6. Hodge (1988) H
Die ersten drei beziehen sich auf SMC und enthalten zusammen etwa 601, die letzten drei auf LMC mit 2000 Sternhaufen.
Der neueste, umfassende Katalog von Sternhaufen von LMC stammt von Kontizas (1990) mit 1762 Sternhaufen.
1.b. OB Stern Assoziationen
Der Katalog von Lucke und Hodge ist die Standardreferenz für OB Stern Assoziationen in LMC
1. Lucke und Hodge (1970) LH
mit 122 Objekten. Die Radien der Assoziationen liegen zwischen 1’ und 20’, was bei D = 50 kpc etwa 15 und 300 pc
entspricht. Die Identifizierung der Assoziationen ist hier im Vergleich zur Milchstraße wesentlich erleichtert. Helle, blaue
Sterne sind selten und ihr Dichtekontrast kann sehr gut bestimmt werden. Das Alter der Assoziationen ist nur für wenige
bestimmt worden und liegt zwischen 2 (für LH10) und 5 Myr (für LH9 und LH58).
Für SMC gibt es nichts vergleichbares, da die Anzahl der OB Stern Assoziationen gering ist. Die Identifizierungen gehen
noch auf Shapley (1956) zurück (NGC 346, NGC 456-460-465 und NGC 602). Das Alter liegt zwischen 5 und 10 Myr. Das
Tripel NGC 456-460-465 könnte ein Beispiel für sequentielle (d. h. getriggerte) Assoziationenbildung (auf einer Zeitskala
von 10 Myr) sein.
2. Sterne
Ein wichtiger Katalog für Sterne ist von Feast et al. (1960) erstellt worden, mit der Bezeichnung R (Radcliffe Observatorium)
für seine Objekte.
1. Feast et al. (1960) R
2. Sanduleak, Nicholas (1969) Sk
Der Stern Sk−69 ◦ 202 (also Stern Nr. 202 im Katalog Sanduleak) ist der Progenitor der Supernova SN 1987A in LMC.
3.Röntgenquellen
Ein wichtiger Katalog für (ursprünglich 97) Röntgenquellen (Sterne und Supernova Überreste), basierend auf den Daten des
Einstein Satelliten, stammt von Long, Helfand und Grabelsky (1981), [LHG81],. Er wurde von Wang und Helfand (1991),
[WH91], überarbeitet und auf 105 Einträge erweitert. Diese tragen die Bezeichnungen CAL (Columbia Astrophysical
Laboratory) für seine 105 Objekte. Viele neue Quellen wurden von ROSAT (Röntgen Satellit) gefunden.

1.4. DIE METAGALAXIE 85
Es handelt sich hier (bei den Maghellanschen Wolken) um eigenständige Galaxien mit von unserer
Milchstraße stark abweichender chemischer Entwicklungsstufe, eigenständiger Sternbildung, Molekülwolken,
Pulsaren etc. und deren Alter. Selbst Kugelsternhaufen werden hier anscheinend noch
geboren, wie in M31 auch.
Ein Gasstrom, der sog. Magellanic Stream, entdeckt 1974 von Mathewson et al. und mit einer geschätzten
H - Masse von M = 10 8 M⊙, reicht in seiner Länge etwa bis zur Milchstraße, ist aber entgegengesetzt
gerichtet (Schwanz). Das derzeit beste Modell erklärt diesen als Auswirkung der Gezeitenkraft
der Milchstraße auf die beiden Wolken. Der in diesem Modell zu erwartende Kopfstrom wurde 1998
von Putman und 25 weiteren Radioastronomen, [PGBa98], mithilfe der 21 cm Emission von neutralem
Wasserstoff (HI) entdeckt und vermessen. Die Säulendichte beträgt NH = 10 18 cm −2 und die
geschätzte Masse beträgt 1/25 vom Stream (Schwanz).
Das zeigt, daß Milchstraße, Große Maghellansche Wolke und Kleine Maghellansche Wolke in starker
Wechselwirkung begriffen sind (ein echtes, hierarchisches 3-Körper System). In einem Modell von Lin
und Lynden-Bell (1977) bilden LMC und SMC ein lose gebundenes System, welches die Galaxis auf
einer elliptischen Bahn umläuft. Die größte Annäherung (Perigalaktikon) beträgt 50 kpc, die größte
Entfernung 125 kpc. Der Maghellansche Strom ist in diesem Modell Gas, welches die Kleine Maghellansche
Wolke an die Große Maghellansche Wolke durch Gezeitenkräfte verloren hat. Dieser Strom
ist dann durch unsere Galaxis zu ihr hin abgelenkt worden. Die Umlaufzeit beträgt etwa 4.5 Gyr und
die Masse der Galaxis, die innerhalb von 50 kpc liegt und damit die Bewegung bestimmt, beträgt in
diesem Modell M = 7 · 10 11 M⊙.
• LITERATUR (ORIGINAL)
1. D.N. Lin und D. Lynden-Bell, [LL77c],
Simulation of the Magellanic Stream to estimate the total mass of the Milky Way.
2. Gardiner, L.T. und Noguchi, M., [GN96],
N-body Simulations of the Small Magellanic Cloud and the Magellanic Stream.
3. Putman, M.E., Gibson, B.K. und 24 weitere Autoren, [PGBa98]
Tidal disruption of the Magellanic Clouds by the Milky Way.
Der Kugelsternhaufen 47 Tuc mit (l,b) = (305.92, −44.89) liegt räumlich
vor SMC mit (l,b) = (303.5, −43.8). Dadurch ist ein direkter Vergleich der Eigenschaften ihrer Objekte
(wie Sterne, Pulsare etc.) möglich.
Die Große Maghellansche Wolke
Die uns am nächsten liegenden Galaxie ist die Große Maghellansche Wolke (LMC). Mit einer Masse
von 2 · 10 10 M⊙ hat LMC etwa 10% der leuchtenden Masse, und etwa 4% der gravitierenden Gesamtmasse
der Milchstraße. Dabei ist hier mit Gesamtmasse die gravitierende Masse der Milchstraße, also
inklusive Halo, bis zur Entfernung der LMC, D = 50 kpc, gemeint.
Es ist deshalb erstaunlich, daß 1987 dort eine Supernova explodierte (und nicht etwa in der Milchstraße
mit 10-mal mehr Masse oder in Andromeda mit 20-mal mehr Masse).
Die Koordinaten des Zentrums von LMC sind von van den Bergh
anhand von Novae zu 5 h 28 m Rektaszension und −69 ◦ 06 ′ Deklination
bestimmt. Andere Objekte (wie Kugelsternhaufen) geben etwas
abweichende Daten.
Mit i ist hier der Inklinationswinkel der Scheibe relativ zur Milchstraße
gemeint. Beide sind fast parallel, während SMC senkrecht
dazu steht. Die Fläche der LMC beträgt etwa 100 deg 2 und die
Flächenhelligkeit B = 0.9 Magnituden. Der Öffnungswinkel Θ, un-
ter dem LMC erscheint, beträgt 10 Winkelgrad, was einem Durchmesser
von d = 9 kpc entspricht.
Steckbrief der LMC
α 25:24:8 l 280.5
δ −69:06 b −32.9
Vp 275 i 40 Grad
D 50 kpc M 2 · 10 10 M⊙
Θ 10 Grad d 9 kpc
Tab. 1.32: LMC: Daten

86 KAPITEL 1. GEOMETRIE
LMC hat mindestens 8 Kugelsternhaufen als Begleiter: NGC 1466, NGC 1786, NGC 1835, NGC 1841,
NGC 2210, NGC 2257, Hodge 11 und Reticulum. Weitere Kandidaten sind NGC 1754, NGC 1898,
NGC 1916, NGC 2005 und NGC 2019. Das Alter beträgt mehr als 10 Gyr und alle haben RR Lyrae
Sterne. Die Radialgeschwindigkeiten (im LSR) dieser Kugelsternhaufen liegen zwischen 200 und 280
km s−1 .
Bezogen auf das Zentrum von LMC (lokaler Schwerpunkt) sind die Radialgeschwindigkeiten der Mitglieder
von LMC klein, v < 50 km s−1 . Mithilfe der SN1979A als Hintergrundquelle konnte z. B. die
Relativgeschwindigkeit (mit v = 220 km s−1 ) sogar an Molekülen (CH und CH + ) gemessen werden.
Eine Besonderheit der LMC, die es in dieser extremen Form nicht in unserer Milchstraße nicht gibt, ist
eine riesige HII Region: 30 Doradus (der Name kommt von dem Sternkatalog
des ersten Astronomer Royal, John Flamsteed aus dem Jahr 1712), auch
der Tarantula Nebel genannt, mit einer Gesamtmasse von Mtot = 5·106M⊙. Im Zentrum von 30 Doradus gibt es einige extrem helle Sterne, der hellste
mit der Bezeichnung HD38268 = R136. Um 1900 hielt man ihn für einen
supermassiven O Stern. Mittlerweile ist er in etwa 5 · 106 30 Doradus
Mtot 5 · 10
Sterne (Sonnen)
aufgelöst. Der Durchmesser beträgt 18 Bogenminuten, was bei einer Entfernung
von 50 kpc etwa 270 pc entspricht. Der Kern (Radius 4 pc) enthält
6M⊙ M 1.5 · 104M⊙ L 7.8 · 107L⊙ ρc 1.9 · 104M⊙ pc−3 Tab. 1.33: R136 Daten
165 Sterne, die massiver als 10 Sonnenmassen sind. Von diesen ist R136a besonders bemerkenswert.
Auch diesen hielt man lange für einen supermassiven Stern, mit einer Masse von M = 2·103M⊙. Auch
R136a ist weiter aufgelöst worden, in R136a1 und R136a2 (1984) und R136a1 . . . R136a5 (1998). Die
Masse von R136a1 ist immer noch mit M = 750M⊙ zu hoch. Es handelt sich nochmals um 8 Sterne
von jeweils M = 100M⊙.
Der Haufen muß sehr jung sein, da viele massive Sterne in ihrer Entwicklung noch nicht auf der
Hauptreihe angekommen sind. Das geschätzte Alter beträgt 3 Myr, er enthält mit R136a5 einen O3
Stern (mit einer Massenverlustrate von ˙ M = 2 · 10−5M⊙ yr−1 ). Die Supernova SN1979A ist (18’ West
und 10’ Süd) etwa 300 pc von 30 Doradus entfernt explodiert.
In LMC kennt man 32 Supernova Überreste mit Durchmessern von 2 pc bis 100 pc. Davon sind 27
im Röntgenbereich nachgewiesen, in zweien steht ein Pulsar. Einer (PSR B0540−69) ist dem Krebs
Pulsar sehr ähnlich (P = 50 ms), der andere (PSR J0537−6910) hat mit 16 ms die kürzeste Periode
eines normalen (also jungen, nicht recycled) Pulsars. Sein formales Alter beträgt allerdings 5 kyr. Der
jüngste (PSR J1846−0258, ebenfalls im Röntgenbereich erstmals nachgewiesene) Pulsar ist nur 700 yr
alt, hat aber eine Periode von 325 ms! Die Radioleuchtkräfte unterscheiden sich gewaltig, die beiden
stärksten sind die in LMC.
Die Kleine Maghellansche Wolke
Die Kleine Maghellansche Wolke (SMC) ist nur unwesentlich weiter als LMC von uns entfernt. Mit
einer Masse von 2 · 109M⊙ hat SMC sogar nur 1% der Masse der Milchstraße. Ein besonderes Kennzeichen
(abgesehen vom zerquetschten Aussehen) sind die vielen blauen Sterne.
Ein wesentlicher Unterschied zwischen LMC und SMC besteht im Gasanteil: LMC hat einen Massenanteil
von etwa 8% HI, SMC dagegen 30 %. Der molekulare Anteil (Masse von H2 über CO bestimmt)
beträgt 20 % (oder M = 1.4 · 108M⊙) für LMC, der von SMC nur 5
% (M = 3 · 107M⊙). Die Bestimmung des Massen - Anteils an Staub
(Bestimmung warm: IRAS bzw. kalt: mm) ist schwierig (ungenau)
und liegt zwischen M = 1 · 106M⊙ und M = 1 · 107 Steckbrief der SMC
α 0:51:0 l 302.8
M⊙ im Verhältnis δ −73:1 b −44.3
1:10 für warm und kalt. Dabei enthält SMC trotz der kleineren Masse Vp 148 i 90
absolut mehr warmen Staub als LMC. Im Vergleich haben beide etwa D 57 kpc M 2 · 10
dreimal so viel Gas wie Milchstraße.
Mit i ist hier wieder der Inklinationswinkel der Scheibe relativ zur
9M⊙ Tab. 1.34: SMC: Daten

1.4. DIE METAGALAXIE 87
Milchstraße gemeint. Die Fläche der SMC beträgt etwa 12 deg 2 und die Flächenhelligkeit ist B = 2.9
Magnituden.
SMC hat mindestens einen Kugelsternhaufen als Begleiter: NGC 121.
1.4.6 Andromeda
Überblick
Die Frage, ob es außerhalb der Milchstraße weitere Galaxien gebe, wurde erst 1929 von Hubble definitiv
beantwortet. Hier die wichtigsten logischen Schritte.
1. Auch vor Hubble waren schon viele Anzeichen, die dafür sprachen, daß der Andromeda Nebel
ebenfalls eine Galaxie war, von anderen bemerkt worden. Das wiederholte Aufleuchten von
’Novae’ — und sogar einer von Baade und Zwicky später so genannten ’Supernova’ im Jahre
1885 — in einem so kleinen Raumgebiet, wie dem des Andromeda Nebels, ist einmalig am
Nordhimmel, konnte demnach kein Zufall sein.
2. Hubble entdeckte an NGC 6822, einer Zwerggalaxie der Lokalen Gruppe, daß es sich dabei um
Sterne und nicht um einen Nebel handelte. Daß er das konnte (und nicht jemand in Europa, das
bis dato in der Astronomie führend war), lag daran, daß er das beste Teleskop (und bald auch die
besten Fotoplatten) besaß.
3. Es gelang ihm, die Spiralstruktur des Andromedanebels, also die Aussenpartien von M31, teilweise
in Sterne aufzulösen. 1929 veröffentlichte er seine Arbeit ’Ein Spiralnebel als Sternsystem’,
in der gezeigt wird, daß Andromeda eine eigenständige Galaxie darstellt. Es gelang ihm,
die Entfernung zum Andromedanebel (mithilfe von Cepheiden) zu bestimmen. Dazu bedurfte es
wahrhaft heroischer Anstrengungen: 80 Stunden Belichtungszeit photographischer Platten waren
vor der Entwicklung heutiger CCD Techniken keine Seltenheit. Damit war klar, daß in der
Umgebung unserer Galaxis weitere Galaxien existieren (Metagalaxie).
Die Andromeda Galaxie hat bisher eine wichtige Rolle gespielt bei der Entdeckung der wahren Entfernungen
im Universum. Die wichtigsten Schritte waren dabei
1. Hartwig entdeckt 1885 eine leuchtstarke (Super-) Nova. Es folgen viele schwächere Novae.
2. Hubble kann 1923 die Sterne im Aussenbereich auflösen. Es sind leuchtstarke O und B Sterne.
Die Entfernungsbestimmung mit Cepheiden ergibt 250 kpc.
3. Baade und Zwicky erfinden 1933 die Supernova anhand von S Andromeda.
4. Baade kann 1944 die Sterne im Innenbereich auflösen. Es sind Rote Riesen.
5. Baade entdeckt 1952, daß die Roten Riesen in M31 leuchtschwächer sind als Cepheiden, in der
Milchstraße sind sie jedoch scheinbar gleich.
6. Baade entdeckt in M31 den Ort der Sternentstehung: die Spiralarme, etwa 10 kpc vom Zentrum
entfernt. Das Zentrum von M31 enthält dagegen nur alte Sterne.
Dieses Bild, welches man von M31 leichter erhalten kann, weil man von außen auf die Galaxie schaut,
wurde auf die Milchstraße (wo wir in einem Spiralarm sitzen) erfolgreich übertragen. Es gibt jedoch
auch einige gravierende Unterschiede, die wir später behandeln werden. Es ist sicher, daß M31 =
Andromeda auch weiterhin eine wichtige Rolle spielen wird.

88 KAPITEL 1. GEOMETRIE
• ZUSATZ (EINIGE DATEN)
In der griechischen Mythologie ist Andromeda die Tochter der Cassiopeia.
Daten der Andromeda Galaxie
Bezeichnungen: Andromeda, M31 (NGC 224)
α δ l b V⊙ M Dist
J2000 J2000 deg deg M⊙ kpc
00 h 42 m .7 41 ◦ 16 121.18 −21.57 −300 4 · 10 11 770
Der Öffnungswinkel von M31 beträgt 3 Grad, sechsmal soviel wie der Mond. Die Entfernung beträgt etwa 0.7 Mpc, und
damit der Duchmesser 42 kpc. Die sichtbare Masse wird auf M = 2 . . . 4 · 10 11 M⊙ geschätzt. Bezogen auf den LSR ist
V⊙ = vpec = −299 km s −1 , die Relativgeschwindigkeit der beiden Zentren ist (Stand: 1998) vrel = −130 km s −1 .
Supernova Überreste in M31
Obwohl Andromeda (M ≈ 4·10 11 M⊙) etwa doppelt so massiv wie die Milchstraße ist, hat man in M31
keine weitere Supernova seit 1885 (Hartwig in Dorpat) entdeckt. Von S Andromeda abgesehen, hat man
auch keinen jungen Supernova Überrest gefunden. Der Supernova Überrest von SN 1885a wurde im
Radiobereich sogar erst 1989 (von Fesen et al.) entdeckt. Insgesamt nur 7 Supernova Überreste hat
man in M31 optisch gefunden, im Radiobereich (wo sie in der Milchstraße gefunden werden) gehen
sie im Rauschen unter. Die Röntgen-Astronomie kann hier wichtige Beiträge liefern.
M31 im Röntgenlicht
In M31 kennt man etwa 150 starke Röntgen Quellen, 400 weitere sind Kandidaten (d. h. assoziiert im
Feld von M31). 21 sind Bulge Quellen, davon 2 superweiche mit Eddington Röntgen Leuchtkraft. Die
Gesamt Röntgen Leuchtkraft beträgt, ähnlich der Milchstraße, nur LX ≈ 2 · 10 9 L⊙.
1.4.7 Galaxienhaufen
Galaxienhaufen sind die größten gravisch gebundenen, (mehr oder weniger) relaxierten Materieansammlungen.
Ihre Bedeutung liegt, abgesehen von der Frage der Kosmogonie (Entstehung) darin, daß
sie, wie wir sehen werden, ideal zur Massenbestimmung geeignet sind.
Galaxienhaufen werden ähnlich wie Galaxien klassifiziert: von früh (kompakt) bis spät (irregulär).
Frühe Galaxienhaufen haben grosse Radio- und Röntgenleuchtkräfte, späte nur geringe.
Massive Galaxienhaufen haben etwa 10 3 Galaxien
als Mitglieder, Masse Mtot beträgt typisch 10M⋆ =
10 15 M⊙. Für die Volumen Anzahldichte gilt, daß ein
Galaxienhaufen in (100 Mpc) 3 vorkommt. Es gibt
Anzeichen dafür, daß Galaxienhaufen durch Verschmelzen
mit anderen Galaxienhaufen wachsen.
Der Abell Cluster of Galaxies A2256 und der Coma
Haufen (A1656) haben beide einen Subcluster, der
mit ihnen zu verschmelzen (merging) scheint. Solche
Strukturen sind nicht direkt sichtbar, sie erschei-
Röntgen Daten zu massiven Galaxienhaufen
Name Zentral kTX LX RX Mgrav
Galaxie keV L⋆ Mpc M⋆
Virgo M87 2.4 0.3 2 8
Perseus NGC 1275 5.3 14 3 16
A2256 6.9 8.2 4 28
Coma NGC 4839 7.5 8.5 4 30
L⋆ = 10 44 erg s −1 ; M⋆ = 10 14 M⊙
nen erst, wenn man von den Gesamtdaten ein glattes
Tab. 1.35: Galaxienhaufen
Modell abzieht (Kontrastmethode). Nur so kann man noch Verdichtungen, die nur 10 % über dem Mittel
liegen, sichtbar machen.
Die (aufintegrierte Flächen) Leuchtkraft von einigen L⋆ = 2.5 · 10 10L⊙ = 1044 erg s−1 . ist erstaunlich
hoch. Sie stammt von heißem (10 bis 100 Millionen Grad) Zwischenhaufen Gas (IGM). In der Tabelle

1.4. DIE METAGALAXIE 89
ist kTX in Einheiten von keV angegeben, was 10 7 K entspricht. Dieses Gas erlaubt eine unabhängige
Massenbestimmung (Röntgenbild, s.u.) und ist erstaunlich massiv: es beträgt bei allen hier (von RO-
SAT) vermessenen Galaxien bis zu 50 % der Virialmasse, Mgrav.
Die Masse MGas beträgt typisch einige M⋆ = 10 14 M⊙. Damit hat sich das Problem der Dunkelmasse
erheblich reduziert (ähnlich wie in Sonnennähe).
Die Daten der Tabelle stammen vom ROSAT All Sky Survey (U. Briel, 1992).
• FORMELN (MASSENBESTIMMUNG MITHILFE VON RÖNTGENBILDERN)
Das Zwischenhaufen Gas (Inter Galactic Medium = IntraCluster matter = ICM) sitzt in den Potentialmulden des Gravitationsfeldes.
Ausgehend von
GmM
r 2
= −p′
ergibt sich für die grav. Masse
M(r) = − rkBT (r)
Gm
; p = nkBT
� �
d ln n d ln T
+
d ln r d ln r
Dabei ist m die Masse des Atoms.
Die Massenverteilung wird nun wie folgt approximiert (King Modell)
n = no
�
1 + r2
a2 �b
; b = 3β
2
(1.115)
Sie hat drei freie Parameter: no, die Dichte im Zentrum; a, der effektive Radius und β (bzw. b) für die Konzentration. Diese
Parameter sind nicht direkt beobachtbar.
Mehrfachsysteme
Galaxien sind häufig zu mehreren (20 . . . 100), nur etwa 25% sind einzeln oder in kleinen Gruppen,
zusammen. Ein berühmtes Beispiel für eine benachbarte Doppelgalaxie ist M51 = NGC 5194, im englischen
Whirlpool Galaxy genannt. Diese etwa 4 Mpc entfernte Galaxie war das erste Objekt (damals
als Nebel bezeichnet) an dem eine Spiralstruktur entdeckt wurde (1845 von William Parson, 3. Earl
of Rosse, von dem auch die erste Beschreibung der Filamente des Krebs Nebels stammt). Ferner ist
Andromeda ein (enges) Triplett (mit M32 und NGC 205) und eine lose Gruppe u.a. mit M33, NGC
147 und NGC 15. Wir selbst bilden eine lose Gruppe mit LMC und SMC. Berühmt sind z. B. Stephens
Quintett oder Seyferts Sextett. Einen Spezialkatalog solcher Mehrfachsysteme (peculiar galaxies) hat
H. Arp aufgestellt. Das interessante an diesen engen Mehrfachsystemen ist (neben dem beeindruckenden
Aussehen) die Tatsache, daß diese keinesfalls ihre Konfiguration über mehr als 1 Gyr beibehalten
können. Was also passiert mit ihnen in Zukunft (z. B. stossen hier Galaxien zusammen) und wie alt
sind diese Mehrfachsysteme?
Galaxiengruppen und Galaxienhaufen
Als Gruppe bezeichnet man eine räumlich begrenzte Ansammlung von bis zu 50 Galaxien und massive
Galaxienhaufen können einige Tausend Galaxien enthalten. Kriterium für die Zugehörigkeit ist die
gravische Bindung und der räumliche 3dim Dichtekontrast.
Weitere solche nahe Gruppen sind sind in der nebenstehenden Tabelle aufgeführt, alle Entfernungen
sind hier in Mpc angegeben. Die (räumlich) nächsten Galaxiengruppen (Galaxienhaufen) sind M81,

90 KAPITEL 1. GEOMETRIE
die Sculptor und die Ursa Major Gruppe in einer
Entfernung von etwa 2.5 Mpc. Bis hierher reichten
die Teleskope der Vor Kek und HST Ära mithilfe
der Typ I Cepheiden.
In einem Radius von etwa 20 Mpc befinden sich
(mehr als) 50 solcher Haufen, gravisch werden
sie dominiert vom Virgo Haufen (Entfernung 16
Mpc, mit den Mitgliedern M84, M86 und M87)
und dem Grossen Attraktor in Richtung Hydra-
Name Mitglieder D
Lokale Gruppe s.o. 0.4
Sculptor NGC 55, 247, 253 2.4
U Ma (Cam) Maffei (1, 2), NGC (4736, 4258) 3.3
M81 NGC 3031, 2403 3.63
U Ma II NGC 4051, 5053 5.2
Leo NGC 3368, 3623 6.6
Tab. 1.36: Galaxiengruppen
Centaurus Superhaufen, etwa 50 Mpc entfernt. Anhand dieser Galaxienhaufen werden neue Standardkerzen
geeicht.
Die Faber-Jackson (optisch) und die Tully-Fisher (Radio, 21 cm) Relation werden wir ausführlich besprechen.
Auch Typ I Supernovae können hier angeschlossen werden. Die Entfernung zu dem Mitglied
M81 ist neuerdings mithilfe von Cepheiden mit dem HST und direkt (v = 2.42 ± 0.15 µas d −1 entspr.
v = 18000 ± 1000 km/s) anhand der Expansionsgeschwindigkeit der Supernova SN 1993J zu
d = 3.63 ± 0.34 Mpc gemessen worden.
Der Virgo Haufen
Die uns am nächsten gelegene massive Konzentration von Galaxien ist der Virgo Haufen, zu dem wir
selbst gravisch noch gehören. Wir liegen am Aussenrand, etwa 20 Mpc vom Zentrum (M87) entfernt.
Der Kern nimmt eine Fläche von 10 × 12 Grad am Himmel ein und enthält mehr als 1000 Galaxien mit
einer (Virial) Masse von insgesamt M = 2 . . . 8·10 14 M⊙. Bei einer Entfernung von 18 Mpc beträgt der
Radius des Haufenkerns R ≈ 1 Mpc. Die mittlere Geschwindigkeit beträgt 1500 km s −1 , woraus die
Abschätzung für die Masse nach dem Virialsatz folgt. Für die Stosszeit zweier Galaxien im Haufenkern
ergibt sich damit tcol = 1 Gyr.
Der Virgo Haufen wird gravisch dominiert von den Mitgliedern M84, M86 und M87. Eichgalaxie
für die Entfernung ist M100 (mit ihren Cepheiden). Allerdings
scheint auch der Hydra-Centaurus Superhaufen (bzw. der Grosse
Attraktor) für die weiter außen liegenden Galaxien (wie für die
Milchstraße) einen wesentlichen gravischen Einfluß auszuüben.
Die Galaxie M87 in Virgo ist der bisher massivste (galaktische)
Schwarz-Loch-Kandidat mit einer Masse von M = 5 · 109M⊙, die Gesamtmasse von M87 beträgt dabei M = 3 · 1013M⊙. Die
Leuchtkraft ist dagegen bescheiden, L = L∗ = 1 · 1011 Daten zu Virgo A
Vir A = M87 = NGC 4486 = 3C 274
L⊙.
z
Lradio
Lopt
LX
0.003
0.01·L∗
1 · L∗
0.1 · L∗
Um M87 hat man 6000 Kugelsternhaufen entdeckt, viele davon
Tab. 1.37: Vir A
sind bereits aufgelöst. Mit einer Gesamtleuchtkraft aller 6000 Kugelsternhaufen von L = 3 · 109L⊙ erreichen sie nur 3% der Leuchtkraft von M87.
1.4.8 Der Lokale Superhaufen
Der Virgo Superhaufen
Alle diese Gruppen und Haufen (beginnend mit den nahen Haufen M81, M101, M51 . . . ) werden zum
Lokalen Superhaufen (local supercluster) gerechnet, der vom Virgo Haufen (mit etwa 2500 Galaxi-

1.4. DIE METAGALAXIE 91
en und M/L = 20(M⊙/L⊙) dominiert wird und etwa tausend
Gruppen und Haufen enthält, mit einem Durchmesser von 30
Mpc.
Wir selbst befinden uns ziemlich am Rande vom Virgo Haufen
und fallen mit 200 km s −1 (vom LSR aus etwa 500 km s −1 ) in
den Schwerpunkt des Virgo-Haufens hinein.
Die Daten der Tabelle stammen von Sandage und Tammann
(1982). Sie erhielten für die Entfernung zum Zentrum des Virgo
Haufens DV irgo = 21 Mpc. Der HST Wert beträgt 16 Mpc.
Damit ergibt sich für die lokale Bestimmung des Hubble Para-
Hellste Galaxien in Nachbarhaufen
Name m − M MV v
mag mag km s −1
Leo 31.50 −23.24 926
Dorado 31.21 −22.71 950
Virgo 31.32 −23.09 1019
Fornax 31.21 −22.69 1527
Tab. 1.38: Nachbarhaufen
meters h = 0.5 (bzw. HST: h = 0.8) und als Abstandsgesetz D = DV irgo(v/1000), wobei v in km s −1
aus der Tabelle entnommen werden kann.
Die direkte Entfernungsbestimmung zum Kern (Zentrum des Virgo Haufens) ist 1994 erstmals mit
Cepheiden geglückt.
1. Bestimmung mit dem Kek Teleskop (Mauna Kea) von Pierce et al.
(a) Galaxie NGC 4571
(b) Entfernung d = 14.9 ± 1.2 Mpc.
(c) H = 87 ± 7 km s −1 Mpc −1
(d) Basis: 3 Cepheiden
2. Bestimmung mit dem HST von Freedman et al.
(a) Galaxie M100
(b) Entfernung d = 17.1 ± 1.8 Mpc.
(c) H = 80 ± 17 km s −1 Mpc −1
(d) Basis: 20 Cepheiden mit Perioden zwischen 20 und 65 Tagen
Daraus folgt für den Durchmesser des Haufenkerns D ≈ 2 Mpc. Zum Umrechnen geben wir folgende
Relation
1000 km s −1 = 1 kpc (Myr) −1 = 1 Mpc (Gyr) −1
Mit Relativgeschwindigkeiten der Mitglieder von maximal 1000 km s −1 kann der Virgo Superhaufen
(selbstbei einem Alter des Universums von etwa 15 Gyr) nicht virialisiert sein. Superhaufen sind
also gerade im Begriff sich gravisch zu organisieren. Die kausale Entstehung von Strukturen der
Größenordnung 100 Mpc ist damit aus Störungen der Dichte im Ortsraum (Rayleigh-Jeans) nicht
möglich.
Der Grosse Attraktor
Der Grosse Attraktor wurde entdeckt (1986 von Dressler et al., den sog. 7 Samurai) aufgrund einer
Anomalie im Strömungsfeld der Galaxien im und um den Virgo Haufen. Er liegt in Richtung
der Hydra-Centaurus Superhaufen, etwa 50 Mpc entfernt und hat eine Masse von M = 1 · 10 17 M⊙.
Der Durchmesser des Virgo Superhaufens beträgt etwa 120 Mpc. Er ist damit eine der bisher größten
(kausal) zusammenhängenden Ansammlung von massiven Objekten (an nicht gesehenen Galaxien) im
Kosmos. Vergleichbar damit sind nur noch die Grosse Mauer, die größte bisher optisch nachgewiesene
Struktur im Kosmos (mit R ≈ 180 Mpc und Ngal ≈ 3962 an gesehenen Galaxien) und wenige, weiter
entfernt gelegene Superhaufen.

92 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Sekundäre Eich-Normale
Bis hierher, D = 20 Mpc, reichen noch hellste Sterne zur Bestimmung der Entfernung, danach müßen
neue Kerzen benützt (und mit den bereits besprochenen geeicht) werden. Diese sind die klassischen,
rein phänomenologisch gefundenen, Indikatoren hellste Kugelsternhaufen mit einer maximalen visuellen
Helligkeit MV = −9.8 mit einer Reichweite von bis zu 20 Mpc und die hellsten H II Regionen
(Riesen Molekülwolken) mit bis MV = −12 mit einer Reichweite von bis zu 30 Mpc. Diese Objekte
können noch direkt an die primären Eich-Normalen angeschossen werden.
Noch weiter kommt man mit Indikatoren dritter Ordnung. Dazu zählen die hellste Galaxien (ScI) eines
Haufens. Mit MV = −21.68 kommt man dann etwa 1 Gpc weit. Vielversprechend, weil qualitativ
physikalisch verstehbar, sind die folgenden neueren Methoden.
1. Die Tully-Fisher Methode
Nach Brent Tully und Richard Fisher (1977) ist die Breite der 21 cm HI Linie einer ganzen
Spiralgalaxie ein Maß für die Radio Leuchtkraft. Es gilt die Tully-Fisher Relation
M = −3.5 − 6 log(W/ sin i) (1.116)
Dabei ist W die mittlere Breite der 21-cm Radio Linie in elliptischen Galaxien in km/sec und i
der Inklinationswinkel der Galaxie.
Es ist (zum Umrechnen): m − M = 5 log(D/10pc), also m − M = 30 entspricht D = 10 Mpc.
Mit L⋆ = 10 10 L⊙ kann dies auch wie folgt
vc = 220(L/L⋆) 0.22
km s −1 (1.117)
geschrieben werden. Dabei ist vc die Rotationsgeschwindigkeit des H-Gases außerhalb des Kerns
der Galaxie. Damit kommt man etwa 200 Mpc weit, entsprechend einer Hubble Fluchtgeschwindigkeit
von 10 4 km s −1 .
2. Die Faber-Jackson Methode
Nach Sandra Faber und Jackson (1976) gilt im Zentralteil der Galaxie die Faber-Jackson Relation
vc = 220(L/L⋆) 0.25
für die Breite der optischen Linien-Strahlung.
km s −1 (1.118)
3. Supernovae (vom Typ Ia)
Diese werden wir noch ausführlich besprechen. Mit einer Leuchtkraft (im visuellen, wo das
Maximum liegt) von MV = −19.3 (entspr. 10 10 L⊙) kommt man damit fast 1 Gpc weit. Die
Messungen an Supernovae (vom Typ Ia) liefern für die dimensionslose Hubble Konstante h
MV = −19.3 + 5 log(h/0.6)
Sie sind an nahen Galaxien (z. B. an Virgo), deren Entfernung bereits bekannt ist, geeicht. (Ref.:
D. Branch, [Bra98]).
Für die Grenzempfindlichkeit wurde bei unseren obigen Abschätzungen mv = 22 zugrunde gelegt.
Mittlerweile kommt man aber mit den besten Teleskopen 5 Magnituden (also einen Faktor 100) weiter,
und damit durch das ganze Universum hindurch, bis zu kosmologischen Rotverschiebungen (z = 1).

1.4. DIE METAGALAXIE 93
• FORMELN (DIE WICHTIGSTEN INDIKATOREN)
Hier zunächst eine Zusammenfassung aller besprochenen Indikatoren:
hellste Kugelsternhaufen MV = −9.8 (Reichweite bis 40 Mpc),
hellste H II Regionen MV = −12 (Reichweite bis 100 Mpc),
die Tully-Fisher Relation (W : mittlere Breite der 21-cm Radio Linie)
M = −3.5 − 6 log(W/ sin i) (1.119)
oder, mit L⋆ = 10 10 L⊙ und vc Rotationsgeschwindigkeit
vc = 220(L/L⋆) 0.22
die Faber-Jackson Relation (vc Rotationsgeschwindigkeit)
vc = 220(L/L⋆) 0.25
Supernovae (vom Typ Ia) mit MV = −20. (Reichweite bis 800 Mpc),
hellste Galaxien (ScI) MV = −23 (Reichweite bis 1 Gpc),
Gravitationslinse mit Lauzeitdifferenz,
der Sunyaev - Zeldovich Effekt.
km s −1 (1.120)
km s −1 (1.121)
Allen Indikatoren ist gemeinsam, daß sie die Leuchtkraft L als Entfernungsnormal für die Entfernung
D nach der Formel L = 4πD 2 f benutzen, wobei f der gemessene Fluß ist. Ein Fehler in der Entfernung
D eines Indikators pflanzt sich quadratisch für alle folgenden fort. Eventuelle Absorption oder
Rötung muß separat herauskorrigiert werden.
Wir können zwei verschiedene Skalen unterscheiden : die kurze (lokal), mit einer Basislänge von etwa
100 Mpc (Eichnormale: Virgo und Coma) und die weite (kosmologisch), mit einer Basislänge von
mehr als 1 Gpc (Eichnormale: Supernovae, Gravitationslinsen und Sunyaev - Zeldovich Effekt).
Die wichtigsten lokalen Eichnormale, die mit geometrischen Mitteln verifiziert sind, sind die Große
Maghellansche Wolke mit 50 kpc und die Andromeda Galaxie (M31) mit 770 kpc Entfernung.
Deshalb ist es wichtig, im nächsten Schritt (bis zum Coma Haufen) möglicht viele Objekte mit Überschneidungen
der einzelnen Intervalle zu haben. Ein grosses Manko war z. B. bisher, daß in den wichtigsten Eichnormalen
der Zwischenschritte, wie sie in der folgenden Tabelle aufgeführt sind, keine Supernovae (vom
Typ Ia) beobachtet wurden.
Was man mit diesen Indikatoren findet sind zunächst einmal Entfernung und Durchmesser der Objekte.
Man findet eine Hierarchie von Galaxienhaufen und sogar Haufen von Haufen, Superhaufen
genannt.
In der Tabelle ist D die Distanz in Mega Parsec (vom
Zentrum der Milchstraße aus gerechnet, bis zum Zentrum
des Galaxien-Haufens), L die optische Gesamtleuchtkraft
in Einheiten von L⋆ = 10 10 L⊙ (mit L⊙ = 3.9 · 10 33 erg
s −1 , Sonnenleuchtkraft) und R der Radius (bestimmt aus
Öffnungswinkel und Distanz D). Die letzte Spalte, v3, ist die
Fluchtgeschwindigkeit (mittlere Rotverschiebung der Galaxien
im Haufen) in Einheiten von 10 3 km s −1 .
Virgo und Coma sind die bereits besprochenen Eich-Haufen
(zum Vergleich). Für Hydra ergibt sich bereits 1/5 der Licht-
Name D L R v3
Mpc L⋆ Mpc km s −1
Virgo 19 120 1.07 1.2
Perseus 97 100 1.00 5.5
Coma 110 490 2.63 6.5
Centaurus 250 13.7
Ursa Major 270 71 1.31 15.0
Boötes 675 39.0
Hydra 1080 61.0
geschwindigkeit und die daraus bestimmte Hubble Konstan- Tab. 1.39: Galaxienhaufen
te hat den Wert 61 km s−1 Mpc−1 . Die Daten (und viele mehr) wurden von Alan Sandage und Gustav
Tammann gewonnen. Der Mittelwert der aus der Tabelle bestimmten Hubble Konstante hat sogar den
Wert von nur 50 km s−1 Mpc−1 , also 2h = 1.
Nimmt man die Entfernung (Rotverschiebung) als dritte Dimension mit hinzu (was außerordentlich
zeitaufwendig ist), dann löst sich das, was auf zweidimensionalen Bildern von Galaxien wie verstreutes
Salz auf einem Blatt Papier aussieht, auf in langgezogene Fäden (Spinnennetz) mit viel Dunkelraum
dazwischen. Superhaufen von Galaxien sind also weder kugelförmig (was etwa die Jeans Instabilität

94 KAPITEL 1. GEOMETRIE
in naivster Vorstellung über das Anwachsen von Dichteschwankungen liefern würde) noch pfannkuchenartig
(sog.. ’Blini’, wie Zeldovich als erster aufgrund theoretischer Überlegungen gefunden hat)
sondern fadenförmig.
Solche fadenförmigen Strukturen (Strings) können nur sehr schwer aufgrund gravischer Instabilitäten
erklärt werden, evtl. handelt es sich hier um die verstärkten Überbleibsel (Phasenübergänge als topologische
Defekte) des frühen Universums. Superhaufen sind bisher die größten, gravisch gebundenen
bzw. statistisch korrelierten Gebilde im Universum, die wir kennen. Ihre Mitglieder nehmen nicht an
der Expansion des Universums teil.
In der nebenstehenden Tabelle sind die bisher gefundenen Beispiele von Superhaufen aufgeführt. Superhaufen
werden meist nach den wichtigsten, d. h. den massivsten Mitgliedern bezeichnet: z. B. der
Coma-A1367 Superhaufen nach dem Coma Haufen und dem
Haufen Abell 1367 (A1367) in einer Entfernung von etwa 100
Mpc.
Sie haben gewaltige Ausmasse an der Himmelskugel. Das Band
des Pisces-Perseus Superhaufens z. B. reicht über fast ein Drittel
der Himmelskugel, was bei der Entfernung etwa einer Länge
von 60 Mpc (und einer Beite von 10 Mpc) ausmacht. In der Tabelle
ist D die Distanz (von der Milchstraße aus bis zum geo-
metrischen Zentrum des Superhaufens)In der letzten Spalte ist
Name D v3
Mpc km s −1
Pisces-Perseus 100 5.0
Coma-A1367 130 6.5
Hydra-Centaurus
Herkules
Tab. 1.40: Superhaufen
v3 die Fluchtgeschwindigkeit (mittlere Rotverschiebung der Haufen) in Einheiten von 10 3 km s −1 .
Neben den Superhaufen (als Ansammlung von Haufen von Galaxien) gibt es auch grosse Gebiete, wo
die Materie fehlt: Leerräume (engl. voids), die ebenfalls Abmessungen von einigen 100 Mpc erreichen
können. Ein bekanntes Beispiel ist in Richtung Boötes, die Rotverschiebungs-Lücke reicht hier von
v3 = 12 bis v3 = 18 km s −1 , was etwa einer Tiefe von 120 Mpc entspricht.
Supernovae, die leuchtkräftigsten Entfernungsindikatoren
Nach einem Paradigma, welches allerdings langsam an Gültigkeit verliert, ist ein astronomisches Objekt
erst dann vollständig determiniert, wenn es optisch (mit Spektrum) nachgewiesen ist. Also, im
wahrsten Sinne des Wortes, wenn man es gesehen hat. Jedenfalls ist dann die Position hinreichend
genau bestimmt.
Gammaburst Quellen, Quasare und Supernovae sind, in dieser Reihenfolge, die leuchtkräftigsten Objekte
im Universum und demnach auch bei grosser Rotverschiebung noch gut zu beobachten (nicht
unbedingt aber zu spektroskopieren). Gammaburst Quellen mit gemessener Rotverschiebung sind allerdings
noch zu selten, als daß etwas über ihre Eignung als Entfernungsindikatoren gesagt werden
könnte und Quasare sind bisher als Entfernungsindikatoren ungeeignet, da ihre Leuchtkräfte um mehr
als 2 dex für gegebenes z variieren.
Gleiches gilt zwar auch für die maximalen optischen Leuchtkräfte der Supernovae als ganzes, d. h. für
Typ I und II zusammen genommen. Es ist allerdings gelungen, eine rein empirische (nämlich spektroskopische)
Unterteilung der optischen Supernovae in zwei verschiedene Typen mit weiteren Unterklassen
vorzunehmen, die auch theoretisch verstehbar erscheint. Von diesen besitzt der Typ Ia die besten
Eigenschaften für eine Standardkerze, seine Progenitoren sind allerdings am wenigsten verstanden.
Statistisch läßt sich zunächst folgendes sagen: jede Sekunde explodiert im beobachtbaren Universum
(bis z = 5) eine Supernova, jeden Tag wird der Blitz einer Gammaburst Quelle entdeckt. Die Zahl der
beobachtbaren Quasare wird auf eine Million geschätzt (im Vergleich zu 10 11 Galaxien). Es handelt
sich also um sehr seltene Phänomene, die hier als Standardkerzen dienen sollen, evtl. liegen diesen
sogar extrem zeit- und ortsabhängige physikalische Prozesse zugrunde.
Moderne Werte für die absolute Helligkeit im Blauen, MB, sind für Supernovae der verschiedenen

1.4. DIE METAGALAXIE 95
Typen:
−19.78 Ia (1.122)
MB − 5log(2h) = −17.18 I(b,c) (1.123)
−16.19 II(P,L) (1.124)
−15.50 IIb (1.125)
Ein rein empirisches Klassifikationsschema wurde erstmals von Minkowski (1941) eingeführt und von
ihm zusammen mit Baade und Zwicky im Laufe der Zeit modifiziert. Sie gaben auch die theoretische
Begründung: in jedem Fall wird in einer Supernova ein Neutronenstern geboren. Diese Deutung wird
heute allgemein akzeptiert. Das Hauptunterscheidungsmerkmal der Klasseneinteilung ist die Abwesenheit
(Typ I) bzw. Anwesenheit (Typ II) von Wasserstoff Linien in den Spektren. Die Theorie erklärt
dies dadurch, daß
1. beim Typ Ia ein Weißer Zwerg geringer Masse und mit wasserstoffarmer Atmosphäre,
2. beim Typ II ein massiver O oder B Stern, mit einer Masse von mehr als 8 M⊙ und mit viel H in
der ausgedehnten Hülle,
explodiert. In beiden Fällen entsteht radioaktives 56 Ni und der Zerfall des Tochterelements 56 Co (Halbwertszeit
78 d) bestimmt die Lichtkurve.
Diese klassische Einteilung (von Baade) in nur zwei Typen kann empirisch nicht mehr aufrecht erhalten
werden, was seitens der Theorie mittlerweile auch verständlich ist. Auch massive (Wolf Rayet)
Sterne können, wie man aus Beobachtung plus Komputersimulationen weiß, ihre Wasserstoff Hülle
(und nicht nur diese) verlieren, sodaß H im Spektrum fehlt. Hinzu kommt nunmehr beim Typ I Abbzw.
Anwesenheit von He Linien (und als zusätzliches Kriterium evtl. sogar Ab- bzw. Anwesenheit
von Fe).
Um Supernovae als Standardkerzen benützen zu können, muß folgendes gewährleistet sein:
1. Die Leuchtkraft L(t) der Supernova muß bereits vor dem Maximum bekannt sein, um das Maximum
Lmax der Leuchtkraft bestimmen zu können.
2. Dieses Lmax sollte empirisch als Funktion der Entfernung (d. h. der Fluchtgeschwindigkeit cz)
eindeutig sein.
Bei beiden Typen wird seitens der Theorie das Maximum Lmax der Leuchtkraft bestimmt aus der
Menge an radioaktivem 56 Ni, welches in der Supernova erzeugt wurde. Beim Typ Ia ist die Masse des
explodierenden Sterns eindeutig: die kritische Chandrasekhar Masse von M = Mch = 1.4M⊙ = 2.8 ·
10 33 g muß bei der Akkretion erreicht werden, damit es zum Kollaps kommt. Bei den anderen Typen
liegen auf diesem Kern mit kritischer Masse noch weitere Massenschalen plus einer ausgedehnten
Hülle. Die erzeugte Menge an radioaktivem 56 Ni hängt jedoch von der Chemie und damit von der
Vorgeschichte des Sterns bis zur Explosion ab.
Nach bisherigen Beobachtungen (und nach der Theorie) kommen am ehesten Supernovae vom Typ
Ia in Frage. Hier schwankt die erzeugte Masse an radioaktivem 56 Ni (modellabhängig) zwischen 0.49
und 0.67 M⊙. Um Übereinstimmung mit den empirischen Daten zu erhalten, MB = −19.5, erfordert
dieses Modell eine Masse von 0.6 M⊙ an 56 Ni für das dazu gehörende Lmax. Zum Vergleich: in SN
1987A ist an radioaktivem 56 Ni etwa 0.075M⊙ freigesetzt worden.
Supernovae vom Typ Ia sind durch folgende Eigenschaften charakterisiert:
1. Spektrum
kein H, P Cygni Profil mit starker Absorption bei λ = 6150 ˚A.

96 KAPITEL 1. GEOMETRIE
2. Vorkommen
in allen Galaxien und dort überall (im Zwischenarm Bereich und im Halo).
3. Explosionsgeschwindigkeit der ausgeworfenen Materie
vex ≥ 10 4 km s −1 .
4. Lichtkurve und absolute Helligkeit
steiler Anstieg, Abfall um ∼ 0 m .1 d −1 die ersten 30 Tage, dann expontieller Abfall um ∼ 0 m .02
d −1 . Maximal bis MV = −20 m (homogenes Erscheinungsbild).
5. Keine Radiostrahlung im ersten Jahr.
Alle 5 Kriterien sind wichtig. Das Vorkommen in allen Galaxien und dort wieder überall, im Zwischenarm
Bereich und im Halo, erlaubt praktisch nur massearme Sterne als Vorläufer. Das folgende
Modell ist theoretisch einleuchtend, empirisch aber bisher nicht verifiziert: ein Weißer Zwerg geringer
Masse wird von einem Begleitstern mittels Masseüberfluß über die kritische Chandrasekhar Masse
Mch gebracht. Möglich sind
1. ein Hauptreihenstern
(Masse ≈ 2.5M⊙) in engem Orbit, Porb = 0.3 bis 3 d,
2. ein entwickelter Stern
(Roter Riese mit Masse ≈ 1M⊙) in weitem Orbit, Porb = 100 bis 1000 d,
3. ein weiterer Weißer Zwerg
mit Verschmelzung aufgrund von Gravitationsstrahlung.
Das breite Absorptionsminimum bei λo = 6150 ˚A wird gedeutet als blau verschobenes Si II (einfach
ionisiertes Si mit λrest = 6355 ˚A), was vex ≥ 104 km s−1 liefert, sollte es sich jedoch um C II
(λrest = 6580 ˚A) handeln, dann wäre die Blauverschiebung etwa doppelt so groß, vex ≥ 2 · 104 km
s−1 .
In der Milchstraße selbst hat es seit Kepler keine Supernova mehr gegeben, deshalb kann nur noch
der Ort (nicht aber mehr der Typ) bestimmt werden. Falls der Supernova Überrest in der galaktischen
Ebene (und dort in einem Spiralarm) liegt, dann kann es sich
um Typ II handeln, in allen anderen Fällen ist Typ Ia nahelie-
Nahe SNe vom Typ Ia
gend.
NGC Konstel- SN
Mit der wachsenden Zahl an untersuchten Supernovae ist die Nr lation Jahr
Einteilung in Typen komplexer geworden. Beim Typ Ib und Ic 3627 Leo Gruppe 1989B
ist das räumliche Vorkommen in Sternentstehungsgebieten wie 4639 Virgo 1990N
beim Typ II, es fehlt zusätzlich das Absorptionsminimum bei 1380 Fornax 1992A
λo = 6150 ˚A und beim Typ Ic fehlt auch noch He im Spek- 4526 Virgo 1994D
trum.
extreme SN vom Typ Ic
In der nebenstehenden Tabelle sind Beispiele von besonders
ESO184-G82 D = 40 Mpc 1998bw
gut untersuchten, besonders nahen Supernovae vom Typ Ia aufgeführt.
Für diese gibt es auch unbhängige Entfernungsbestim-
Tab. 1.41: Typ Ia SNe
mungen mittels Cepheiden, sodaß die Anschlusseichung gewährleistet ist (mit dem Ergebnis h = 0.5).
Zwei Ausnahmen, die nicht ins Konzept (von Standardkerzen) passen, sind SN1991bg in NGC 4374
(in Virgo) und NGC 5128 = Cen A mit SN 1986G. Diese waren zu schwach und zu rot (also eine Art
Fehlzündung). Spektroskopische Besonderheit von SN1991bg war das Auftreten von Ti II Absorptions
Linien (bei 4200 ˚A. Diese Ausnahmen werden nunmehr als peculiar, alle anderen Supernovae vom Typ
Ia als normal bezeichnet.

1.4. DIE METAGALAXIE 97
Eine weitere Klasse sind die Hypernovae, die am ehesten zum Typ Ic passen, die allerding die hellsten
Supernovae überhaupt darstellen, also viel zu hell für ihren Typ sind (und damit das genaue Gegenteil
einer Fehlzündung darstellen). Als mögliche Deutung wurde hier ein Schwarzes Loch als Endprodukt
angenommen, wobei für die Bildung ein Begleiter massgeblich gewesen sein kann. Als Beispiel wird
in der Tabelle Supernova 1998bw aufgeführt (in der Galaxie mit der Bezeichnung ESO184-G82, im
Abstand D = 40 Mpc). Ein Beispiel für einen Supernova Überrest mit Schwarz-Loch-Kandidat, der
aus einer Hypernova hervorgegangen sein könnte, wird GRO J1655 − 40 = Nova Scorpii 1994, aufgrund
seiner chemischen Anomalien diskutiert. Hier fehlt Fe, welches ein Schwarzes Loch schlucken
kann, ein Neutronenstern jedoch nicht.
In der Milchstraße ist, bei einer geschätzten Supernova-Rate von einer Explosion pro (50 bis 100)
Jahre, die Anzahl der tatsächlich beobachteten jungen Überreste (ganz zu schweigen von den Supernovae,
die mittlerweile auch über ihre Neutrinos nachgewiesen werden können) gering. Selbst bis zur
Andromeda Galaxie gibt es nur zwei Supernovae, die mit dem Teleskop (also mit modernen Mitteln)
untersucht wurden. Beide waren vom Typ II, also für die Eichung ungeeignet. Um zu statistisch relevanten
Aussagen zu kommen, ist man also gezwungen, weit entfernte Supernovae zu untersuchen.
• ANMERKUNG (DAS LINEARE HUBBLE GESETZ FÜR SUPERNOVAE)
Für nicht zu grosse Rotverschiebungen gilt das lineare Hubble Gesetz
z = H
r (1.126)
c
welches wir mit Supernovae als Entfernungsindikatoren überprüfen wollen.
Aus historischen Gründen wird bei Supernovae oft noch die Fluchtgeschwindigkeit cz als Variable (und Dl als Leucht-
Entfernung) benützt.
v = cz = HDl
Für den Entfernungsmodul m(z) − M ergibt sich allgemein für eine Standardkerze im linearen Bereich
in Zahlen
m − M = 5log(Dl/10pc) = 5 log(cz/10H) (1.127)
m − M = 43.89 + 5 log(z/2h) (1.128)
wobei 2h = 1 die im folgenden Beobachtungen an Supernovae in etwa wiedergibt.
Supernovae vom Typ Ia haben MV = −19.78 und damit (nach unserer Formel mit 2h = 1), falls man mv = 20 zugrunde
legt, m − M = 4.11 + 5 log(z). Das liefert z = 0.14, was einer Reichweite von 0.8 Gpc entspricht. Die besten Teleskope
(z. B. das Keck Teleskop) erreichen mv = 25, sodaß sogar kosmologische Entfernungen erreicht werden.
Zwei Gruppen von Astronomen,
1. Pierce et al., Projektname ’The High−z Supernova Search Team’ (hochauflösende Kamera am Keck Teleskop) und
2. Freedman et al., ’The Supernova Cosmology Project’ (HST)
haben Cepheiden im Virgo Haufen entdeckt und vermessen.
Die ersten Messungen ergaben zu große Werte für die Hubble Konstante H.
1. Pierce et al., (1994) erdgebundene Bestimmung an NGC 4571 liefert H = 87 km s −1 Mpc −1 .
2. Freedman et al., (1994) Bestimmung an M100 mit dem Hubble Space Telescope liefert H = 80 km s −1 Mpc −1 .
Das endgültige Ergebnis lautet H = 72 km s −1 Mpc −1 .
Die aus der Beobachtung von Cepheiden in 18 Galaxien gewonnenen Daten kombinierten Freedman und ihre Kollegen mit
verschiedenen anderen Messungen. Nach der Auswertung, die das Team (2001 im ’Astrophysical Journal’) veröffentlichte,
beträgt die Hubble-Konstante 72 Kilometer pro Sekunde und Megaparsec - und liegt damit ziemlich genau in der Mitte der
früheren Schätzungen.
Basierend auf diesen lokalen Eichmessungen haben
zwei Gruppen, The Supernova Cosmology Project (geleitet von S. Perlmutter) und The High−z Supernova Search Team
(Teamchef Brian Schmidt) haben Typ Ia Supernovae entdeckt und vermessen, die zu einer Zeit explodiert sind, z = 0.83,

98 KAPITEL 1. GEOMETRIE
wo das Universum nur halb so alt war wie heute. Damit kann dann die Dichte des Universums bestimmt werden. 1998
haben sie ihre ersten Ergebnisse (Sources and Detection of Dark Matter in the Universe) veröffentlicht.
Ref.: [PAm98], Perlmutter, S. and Aldering, G. and 14 more authors, Discovery of a supernova at half the age of the
Universe, Nature 391, 51 (1998)
und
Maesurements of Ω and Λ from 42 High-redshift Supernovae, Ap. J. 517, 565 (1999)
Supernovae haben ihr Maximum der Leuchtkraft im sichtbaren Bereich (und nicht etwa im UV). Dies
weiß man von den Supernovae in kosmologischer Entfernung über ihre Rotverschiebung. Der UV
Blitz beim Ausbruch der Photonen aus der opaken Hülle ist bisher nur indirekt über sein Lichtecho
nachgewiesen.
Radioaktives 56 Ni zerfällt wie folgt in stabiles Eisen:
56 Ni (νβ + )
� �� �
6.1d
56 Co (νβ + )
� �� �
77d
56 Fe (1.129)
mit (aus dem Labor bekannten) Halbwertszeiten. Die mittlere Energie (Wärmetönung) beim Zerfall
von 56 Ni beträgt ∆E1 = 1.72 MeV, bei 56 Co sind es ∆E2 = 3.59 MeV.
Die Menge an zerfallenden Atomkernen (der Spezies i = 1 oder 2)
Ni(t) = m −1
p M( 56 Ni) exp(−t/τi) (1.130)
liefert mit der beim radioaktiven Zerfall freigesetzten Energie ∆Ei die Energie(verlust)rate
˙Ei = ∆Ei ˙ Ni
(1.131)
Für die Leuchtkraft liefert unser einfaches Modell Li = − ˙ Ei, wobei angenommen ist, daß die Gamma
Photonen im Plasma des Supernova Überrests geeignet degadadiert werden:
Li(t) = τ −1
i ∆EiNi(t) (1.132)
Auch die Zeitdilatation an der Lichtkurve
τo = (1 + z)τe
ist für Supernovae mit z > 0.1 gut bestätigt.
(1.133)

1.5. GEOMETRIE DER RAUMZEIT 99
1.5 Geometrie der Raumzeit
Das folgende Kapitel ’Konventionen und Definitionen’ ist zum Nachschlagen der wichtigsten Begriffe
und Formeln gedacht.
1.5.1 Konventionen und Definitionen (SRT und ART)
Die Spezielle Relativitätstheorie
Die Spezielle Relativitätstheorie wird im folgenden mit SRT und die Allgemeine Relativitätstheorie
mit ART abgekürzt. Die Metrik der SRT ist
ds 2 = ηikdx i dx k = c 2 dt 2 − (dx 2 + dy 2 + dz 2 ) (1.134)
Hier wird die Summationskonvention benutzt:
ds 2 =
3� 3�
ηikdx
i=0 k=0
i dx k
d. h. über doppelt vorkommende Indizes (einer ko- und einer kontravariant) wird summiert. Die Komponenten
des Tensors ηik sind:
ηik = diag ( + 1, − 1, − 1, − 1) (1.135)
sind. Die Vorzeichen, mit denen Zeit und Raumkomponenten eingehen,
(+ − − −) (1.136)
heißen Signatur der Metrik.
Für die Norm der 4-er Geschwindigkeit folgt, nach Division von ds 2
dx
ηik
i dx
ds
kds = ηiku i u k = u 2 = 1 (1.137)
und entsprechendes für den 4-er Impuls
p i = meu i
oder kurz p = meu
eines massiven Teilchens mit Ruhmasse me
p 2 = m 2 ec 2
• BEISPIEL (KOVARIANTE FORMULIERUNG DER MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN I)
In 3-er Schreibweise lauten die Maxwellschen Gleichungen:
1. Die inhomogenen Gleichungen.
Quelle des Feldes sind q, die Ladungsdichte im 3-dim. Raum und der Strom, für eine einzelne Ladung durch �j :=
q(d�x/dt) gegeben
div � E = 4πq (1.138)
1 ∂
c
� E
∂t = rot � B − 4π
c �j (1.139)
2. Die homogenen Gleichungen.
div � B = 0 (1.140)
− 1 ∂
c
� B
∂t = rot � E (1.141)

100 KAPITEL 1. GEOMETRIE
3. Ladungserhaltung.
Aus den Maxwellschen Gleichungen folgt die Ladungserhaltung, welche durch den Strom wie folgt gewährleistet
wird:
∂q
∂t + div�j = 0 (1.142)
Eine relativistische Bewegung wird kovariant mithilfe der Weltlinie x i = x i (s) beschrieben, wobei s die Eigenzeit des
Punktteilchens ist. Die Komponenten der 4-Geschwindigkeit sind
u i = dxi
ds
u i u k gik = 1 (1.143)
Die relativistischen Bewegungs - Gleichungen, also Lorentzkraft, K i , und 4–Beschleunigung, a i = ˙u i , lauten für ein
Elektron mit Masse me
K i = eF ik uk Lorentzkraft (1.144)
me ˙u i = 1
c Ki Bewegungsgleichung ˙u i = dui
dτ
In 3-Schreibweise, nichtrelativistisch, reduziert sich das auf
�
d�ve
me = e �E +
dt �ve
c × � �
B
Die Ladung beschreiben wir mit der Weltlinie x i = x i (T ) und der 4–er Stromdichte
j i �
(X) = ec
(1.145)
(1.146)
δ 4 (X − x(T ′ ) dxi
dT ′ dT ′ = ecδ 3 ( � X − �x(T ))β i (T ) (1.147)
wobei wir β i = u i /u 0 definiert haben. Diese Form der Darstellung der Quellfunktion für die Ladung ist besonders geeignet
zur Untersuchung relativistischer Bewegungen. Kovariant geschrieben lauten die Maxwellschen Gleichungen in gleicher
Reihenfolge
1. Die inhomogenen Gleichungen.
F ik ,k = − 4π
c ji
2. Die homogenen Gleichungen.
(1.148)
∗ F ik ,k = 0 (1.149)
Mit dem zu F dualen Pseudotensor
∗ F ik = 1
2 ɛiklm Flm
Man erhält den dualen Tensor ∗ F durch die Substitution E → −H und H → E. Der 4er Tensor ɛ iklm ist der
(vollständig antisymmetrische) Levi-Civita Pseudotensor
ɛ iklm = ±1 ; ɛ 0123 = +1
3. Ladungserhaltung.
j i ,i = 0
Die homogenen Gleichungen sind automatisch erfüllt über den Potential-Ansatz
Fik = Ak,i − Ai,k
Die Wellen–Gleichung für das 4-er Potential A, in der Lorentz-Eichung
(1.150)
A i ,i = 0 (1.151)
lautet für jede Komponente A i = f
also
✷f = −∆f + ∂2 f
∂t 2
✷A i = 4π
c ji
(1.152)

1.5. GEOMETRIE DER RAUMZEIT 101
Grundlage der klassischen Mechanik ist die Existenz eines Inertialsystems. Kräftefreie Körper bewegen
sich in ihm geradinig und mit konstanter Geschwindigkeit. Eine geradinige Bewegung ist
äquivalent mit einer Geodäten im Euklidischen Raum. Kartesische Koordinaten sind also dadurch ausgezeichnet,
daß sie Geodäten darstellen. Jedes Bezugsystem, das sich zu einem Inertialsystem mit
konstanter Geschwindigkeit bewegt, ist selbst ein Inertialsystem.
• BEISPIEL (HERLEITUNG AUS DEM HAMILTONSCHEN WIRKUNGSPRINZIP)
Wir beginnen mit den nichtrelativistischen Bewegungs - Gleichungen, formulieren diese anschließend kovariant um und
betrachten schließlich den Übergang vom Teilchen zum Feld.
Nichtrelativistisch wird die Bahn des Teilchens durch x(t) beschrieben. Die Wirkung S ist durch die Lagrange-Funktion L
L = T − V = m
2 �v2 − V (x) (1.153)
bestimmt. Die nichtrelativistische Lagrange-Funktion ist die Differenz von T (kinetische Energie) und V (potentielle Energie).
S =
� T
0
L(�x, .
�x, t) dt (1.154)
Die Bewegungsgleichungen, die Euler-Lagrange Gleichungen, folgen aus der Variation der Wirkung S nach der Bahn x(t)
bei festgehaltem Anfangs- und Endpunkt.
δS = 0 (1.155)
durch Nullsetzen derselben.
δS =
Sie lauten für
∂L
∂�v δ�x
�
�
�
�
Ende �
Anfang
Ende
Anfang
�
− d
� �
∂L ∂L ∂L
+ δ�x dt +
dt ∂�v ∂�x
∂�v δ�x
�Ende Anfang
= 0
also z. B. für δ�x = 0 am Anfangs- und Endpunkt
�
d ∂L
dt ∂ .
�
=
�x
∂L
∂�x
Die Bewegungsgleichungen lauten explizit
m d
�v = −∂V
dt ∂�x
V = 0 ist die Lagrange-Funktion des freien Massenpunktes und
(1.156)
(1.157)
�v = �vo ; �x = �vot (1.158)
ist die Bahn. Mit drei geeignet gewählten Bahnen kann ein (inertiales) Kartesisches System realisiert werden.
Analog zur Galileischen Mechanik gehen wir wieder von einem Hamiltonschen Wirkungsprinzip aus mit der Wirkung
S und mit der Lagrange-Funktion L. Daraus folgen wieder Bewegungsgleichungen und Feldgleichungen. Für ein freies
Teilchen ist die Wirkung gegeben durch den einzig möglichen Lorentz–Skalar: die Eigenzeit, τ, des Teilchens.
S = −mc 2
�
�
dτ = −
mc
�
ηik
dx i
dλ
dxk dλ (1.159)
dλ
Hier ist λ = s = cτ und kann durch einen beliebigen affinen Parameter zur Beschreibung der Teilchenbahn ersetzt werden.
Die Variation ergibt
d ∂L ∂L
=
dλ ∂u ∂x
(1.160)

102 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Für ein freies Teilchen ist
u = uo ; x = uoτ
die Bahn. Mit drei geeignet gewählten Bahnen kann ein (inertiales) Minkowski System realisiert werden.
Der 4-Impuls ist
p i = mcu i in Komponenten: (E/c, �p) (1.161)
wobei m = me die Ruhmasse ist und
E = meγc 2
und �p = meγ�v
die nichtrelativistischen Komponenten sind.
Die Lagrange-Funktion bzw. Dichte für die Kopplung zwischen geladenem Teilchen und el. mag. Feld kann nicht durch
Invarianzforderungen bestimmt werden, sie beruht auf experimenteller Erfahrung.
Der folgende Ansatz berücksichtigt die Beobachtung, daß es el. Ladungen gibt, aber keine mag. Monopole:
S = − e
c
�
Ai ˙x i dτ = − 1
c
� �
Aij i d 3 xdt
mit der 4-Stromdichte ji für eine Punkt - Ladung. Für die Maxwellschen Gleichungen ist demnach die Gesamt - Wirkung
S gegeben durch
S = −mc 2
�
dτ − e
�
Aidx
c
i − 1
�
(FikF
16π
ik )d 3 xdt (1.162)
bzw. wenn wir die Wechselwirkung als Dichte schreiben
S = −mc 2
�
dτ − 1
�
(Aij
c
i )d 3 xdt − 1
�
16π
Die Lagrange-Dichte der elektromagnetischen Feldes ist
Λem = − 1 ik
FikF
16π
(FikF ik )d 3 xdt (1.163)
(1.164)
der einzige Lorentz Skalar, der zu linearen Gleichungen führt.
Die Bewegung der Elektronen ergibt sich aus der Variation der Bahn x(τ), mit u(τ) = ˙x(τ) und mit δA i (x) = A i k δxk
nach partieller Integration zu
� �
δS = δxi mcú i − e
c F ik �
uk
und liefert die kovariante Form der Lorentzkraft und die Bewegungsgleichung.
Die Allgemeine Relativitätstheorie
(1.165)
Die logische Erweiterung der SRT ist die Riemannsche Differential-Geometrie. Die Metrik wird hier
zum Feld und die Feldkomponenten gik = gik(x) sind jetzt ortsabhängig
ds 2 = gikdx i dx k
(1.166)
Das Feld kann (in einem gekrümmten Raum) nicht mehr global (d.h. für alle x) auf Diagonalform mit
konstanten Koeffizienten gebracht werden, wohl aber noch in einem Punkt (punktal).
Die Einsteinschen Feldgleichungen folgen, wie jede gute Theorie, aus einem Wirkungsprinzip
δS = 0 ; S = 1
�
Λ
c
√ −gdΩ ; dΩ = d 4 x = cdtdV (1.167)
wobei die Wirkung S die Summe aus den verschiedenen Feldanteilen ist. Alle Felder tragen (in linearer
Superposition) bei
�
S = (Λg + Λm + Λv) √ −g dΩ
(1.168)
c
Wir geben hier vorerst nur drei Felder explizit an:

1.5. GEOMETRIE DER RAUMZEIT 103
1. das metrische Feld
Λg = − 1
R (1.169)
2ˆκ
2. das elektromagnetischen Feld
Λem = − 1 ik
FikF
16π
3. das ’Vakuum’, mit Λv = const
Sv = − 1
�
ˆκ
√ dΩ
Λv −g
c
(1.170)
(1.171)
mit dem Index g für Geometrie, em für elektromagnetisch und mit dem Index v für Vakuum.
Die Materie (mit Index m) wird meist phänomenologisch als Staub behandelt. Die Größen Λv (Einsteins
Kosmologische Konstante) und R (Ricci Skalar) haben die Dimension eines inversen Längenquadrats,
die metrischen Koeffizienten gab sind dimensionslos. Die dimensionelle Umrechnung auf die Energiedichte
Λem geschieht mit ˆκ
κ = 8πG
= 1.86 · 10−27
c2 cm g−1 ; ˆκ = κ
= 2 · 10−48
c2 cm 3 g −1 s −2 (1.172)
anstelle der Gravitationskonstanten G. Die Wirkung S ist ein Skalar, was garantiert, daß das Plancksche
Wirkungsquantum h der Quantisierung unabhängig vom Bewegungszustand ist.
Die Einsteinschen Feldgleichungen lauten, mit der Gravitationskonstanten der ART (relativistische
Kopplungskonstante ˆκ)
Gab = ˆκTab
Der Energie-Impulstensor des Vakuums erscheint auf der rechten Seite als:
Tab = 1
ˆκ Λvgab
(1.173)
(1.174)
Bei Einstein (in seinem statischen Universum) war er auf der linken Seite als −R −2
E gab.
Im isotropen Kosmos gilt folgendes: im mitbewegten System ist der gesamte Energie-Impulstensor
(Materie plus Photonen) diagonal mit Komponenten
T i k = diag(ɛ, − p, − p, − p) (1.175)
Das (Robertson-Walker) Linienelement, ds 2 , ist von der Form:
ds 2 = gikdx i dx k = c 2 dt 2 − a(t) 2 dl 2 (k) (1.176)
dl 2 (k) = dχ 2 + σk(χ) 2 (dΘ 2 + sin 2 Θdφ 2 ) (1.177)
Damit lauten die (einzigen nichttrivialen) Einsteinschen Gleichungen
G 0 �
′ a
0 = 3
a
G 1 1 = 2 a′′
a +
�
′ a
a
� 2
� 2
� �2 1
+ 3k
a
� �2 1
+ k
a
= ˆκT 0 0 = ˆκɛ (1.178)
= ˆκT 1 1 = −ˆκp (1.179)
Sie wurden erstmals von Friedmann aufgestellt und gelöst (Urknall) und von Lemaître (Atome primitif)
auf den Kosmos angewandt.

104 KAPITEL 1. GEOMETRIE
• FORMELN (DAS FRIEDMANN - LEMAÎTRE UNIVERSUM)
Die Isotropie des Raums führt auf das Robertson-Walker Linienelement, ds 2 :
ds 2 = gikdx i dx k = c 2 dt 2 − a(t) 2 dl 2 (k) (1.180)
dl 2 (k) = dχ 2 + σk(χ) 2 (dΘ 2 + sin 2 Θdφ 2 ) (1.181)
Daraus folgen die Friedmannschen Gleichungen
� ′ a
3
a
2 a′′
a +
� ′ a
a
� 2
� 2
�
1
+ 3k
a
�
1
+ k
a
� 2
� 2
= ˆκɛ (1.182)
= −ˆκp (1.183)
Setzt man die kosmologische Konstante gleich Null, so erhält man das Friedmann-Lemaître Universum. Es ist heute das
Standardmodell (F-L Modell) für den Kosmos. Zur Beschreibung definiert man zwei dimensionslose Parameter, den Dichteparameter
Ω
Ω = κρa2
3˙a 2
und den Dezelerationsparameter q:
q = − äa
˙a 2
(1.184)
(1.185)
Beide Parameter sind in Wahrheit zeitabhängig, ebenso die Hubble Konstante. Ihre Bestimmung zum heutigen Zeitpunkt,
Index o, legt das Standard F-L Modell eindeutig fest. Gewöhnlich benutzt man die direkt messbare Hubble Konstante H
Ω = ρ
ρc
= κρc2
3H 2
und eine kritische Dichte ρcr:
ρc = 3H2
c 2 κ
Der Zusammenhang zwischen den Parametern q, k und H ist
(1.186)
(1.187)
kc 2
a 2 = (2q − 1)H2 = H 2 (Ω − 1) (1.188)
• BEISPIEL (KOVARIANTE FORMULIERUNG DER MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN II)
Die inhomogenen Gleichungen lauten explizit
F ik ;k = − 4π
c ji
(1.189)
dabei bedeutet das Semikolon die kovariante Ableitung. Da F ik ein anti-symmetrischer Tensor (2ter Stufe) ist, gilt eine
besonders einfache Form
F ik ;k = 1 �√ ik √ −gF
−g
�
= −4π
,k c ji
Daraus folgt die kovariante Form der Ladungserhaltung
(1.190)
1 �√ k √ −gj
−g
�
= 0 (1.191)
,k

1.5. GEOMETRIE DER RAUMZEIT 105
1.5.2 Kosmologie und Geometrie
Der Euklidische Raum
Bisher haben wir stillschweigend angenommen, daß der Raum, in dem wir Längenmessungen durchführen,
ein Euklidischer Raum ist und daß die Messungen instantan sind (was unendliche Signalgeschwindigkeit
beim synchronisieren der Uhren voraussetzt).
• ANMERKUNG (DIE FÜNF AXIOME DER EUKLIDISCHEN GEOMETRIE)
Euklid (330 - 270 vor Chr) benötigt zum Aufbau seiner Geometrie nur fünf Axiome. Diese bestimmen also die Geometrie
eindeutig.
Die fünf Axiome seiner Geometrie lauten original:
1. Daß man von jedem Punkt nach jedem Punkt die Strecke ziehen kann.
2. Daß man eine begrenzte Linie zusammenhängend gerade verlängern kann.
3. Daß man mit jedem Mittelpunkt und Abstand den Kreis ziehen kann.
4. Daß alle rechten Winkel einander gleich sind.
5. Daß es zu einer Geraden g und einem Punkt P nur eine Gerade durch diesen Punkt P gibt, der die Gerade g nirgends
schneidet. (Parallelenaxiom).
Zwei weitere Axiome waren für Euklid selbstverständlich und wurden nicht einmal erwähnt, nämlich:
1. Daß man ein ebenes Gebilde frei von einem Ort zum andern bewegen kann, ohne seine Form zu ändern (Bewegungsgeometrie).
2. Daß gleich-ortigkeit gleich-zeitig (d. h. instantan) feststellbar ist, d. h. daß Signalübermittlung mit unendlicher
Geschwindigkeit stattfindet.
Diese fünf Axiome hatten mehr als 2000 Jahre ihre Gültigkeit behaupten können. In dieser Zeit hat es zahllose ’Beweise’
gegeben, daß man ohne das Parallelenaxiom auskommen kann, daß also vier Axiome zur Bergründung der Geometrie
ausreichen.
Läßt man das Parallelenaxiom fallen, dann gibt es genau drei verschiedene Geometrien, welche durch
die ersten vier Axiome bestimmt werden: die Flächen konstanter Krümmung (Gauß, Bolay und Lobatschewski).
Übertragen auf den 3dim Raum gelangen wir so zu den Räumen konstanter Krümmung.
Räume konstanter Krümmung
Solche Räume sind in der Kosmologie von besonderem Interesse: sie erfüllen das kosmologische
Prinzip (Einstein), welches verlangt, daß kein Raumpunkt vor dem anderen ausgezeichnet sei. Infinitesimal
gilt dabei stets die Minkowskische Raum-Zeit (ds 2 = ηikdx i dx k mit Euklidischer Geometrie),
lokal wird die Geometrie durch einen Riemannschen Raum (Differential-Geometrie mit Metrik
ds 2 = gikdx i dx k ) beschrieben.
Das kosmologische Prinzip führt (in der ART) zwingend auf die Homogenität und Isotropie des Raums.
Diese wiederum führt eindeutig auf das Robertson-Walker Linienelement, ds 2 :
ds 2 = gikdx i dx k = c 2 dt 2 − a(t) 2 dl 2 (k) (1.192)
dl 2 (k) = dχ 2 + σk(χ) 2 (dΘ 2 + sin 2 Θdφ 2 ) (1.193)
mit dem Raum-Linienelement a(t) 2 dl 2 (k). Es beschreibt die Metrik eines Raums örtlich konstanter,
dl 2 (k), (aber durch den Vorfaktor zeitlich veränderlicher) Raumkrümmung mit Radius a(t) und mit der
topologischen Invarianten k. Diese ist (in der ART) diskret, k = 0 oder k = ±1 mit der dazugehörigen
Massstabsfunktion σk(χ):
σ1(χ) = sin χ (1.194)
σ0(χ) = χ (1.195)
σ−1(χ) = Sinhχ (1.196)

106 KAPITEL 1. GEOMETRIE
wobei k = 1 ein geschlossenes Universum, k = 0 ein flaches (Minkowski) und k = −1 ein offenes
Universum konstanter negativer Raumkrümmung ergeben. Zu verschiedenen Zeiten können die
Raumschnitte (der Krümmungsradius a(t)) verschieden sein. Es wird im Standardmodell, d. h. den
Friedmannschen Lösungen der ART realisiert. Im Rahmen der ART kann der Charakter einer Raumzeit
nicht geändert werden, k ist eine topologische Invariante.
Bestimmung der Raumkrümmung
Tatsächlich ist aber Geometrie (Raum) nichts Absolutes, wie etwa Galilei und Newton annahmen noch
folgt sie aus philosophischen Prinzipien. Die Allgemeine Relativitätstheorie Einsteins zeigt, daß die
Geometrie durch die Verteilung der Masse verbogen wird und es ist nötig (und möglich), durch Messungen
(von Längen und Winkeln) im Grossen (D > 1000 Mpc) festzustellen, in welcher Geometrie
wir wirklich leben. Das kosmologische Prinzip findet seine beste Stütze in der Isotropie der Hintergrundstrahlung.
• FORMELN (TESTS DER GEOMETRIE)
Der einfachste Test, herauszufinden, in welcher Geometrie wir leben, ist, die Winkelsumme im Dreieck zu bestimmen. Ein
solches Dreieck sollte allerdings als Basislänge von einigen Gigaparsec haben (Gauß versuchte 1827 eine solche Bestimmung
am Brocken im Harz). Alternativen sind Anzahlmessungen von Standardkerzen, N(z), oder scheinbare Durchmesser
von Standardlängen als Funktion der Rotverschiebung z.
1. N(< z) = nV ∝ z3 .
2. logN - logf Anzahl N von Objekten der Leuchtkraft L bis zum Fluß f.
N(> f) = nV = 4π
3 r3n = 4π
3 n
� �3/2 L
4π
oder
(1.197)
N(< m) ∝ dex(0.6m) (1.198)
3. Öffnungswinkel α(z) einer Standardlänge d
d(1 + z)
α(z) =
Dl
∝ 1
z
Ob die Geometrie allerdings vollständig durch die Massenverteilung bestimmt wird, wie zuerst von
Newton vermutet (Eimerversuch), dann von Ernst Mach postuliert und schließlich von Einstein in
seinem ersten Modell vom Kosmos realisiert, ist im Rahmen der ART eine offene Frage. Denkbar und
erlaubt ist z. B. ein Universum, welches von Gravitationswellen in der Frühphase dominiert wird. Das
ist möglich da die Anfangsbedingungen des Universums unbekannt sind.
Newtonsche Kosmologie
Kosmologie ist die physikalische Beschreibung der Welt als Ganzes, also des Universums (lat. ’Alles’)
bzw. des Kosmos (gr. ’das Schöne’, ’das Wohlgeordnete’).
Eine Kosmologie, die diesen Namen verdient, gibt es erst seit Beginn dieses Jahrhunderts. Die mathematische
Beschreibung geschieht mithilfe der Riemannschen Differential Geometrie. Die Grundgleichungen
wurden von Einstein (1915) als Allgemeine Relativitätstheorie (ART) bezeichnet. Damit wird
betont, daß die ART als diejenige Erweiterung der Spezielle Relativitätstheorie zu verstehen ist, die es
erlaubt, die Gravitation mit einzubeziehen.
Die Einsteinsche Gravitation führt keine neue Fundamentalkonstante ein, sie übernimmt die Lichtgeschwindigkeit
c von der SRT und die Gravitationskonstanten G
G = 6.6732 · 10 −8
der Newtonschen Gravitation.
cm 3 g −1 s −2 (1.199)

1.5. GEOMETRIE DER RAUMZEIT 107
Für die Kosmologie ist folgendes wichtig. Es handelt sich um Differentialgleichungen 2ter Ordnung,
bestimmt wird der dynamische Teil der Metrik. Wir definieren dazu die relativistischen Kopplungskonstanten
κ = 8πG
= 1.86 · 10−27
c2 cm g−1 ; ˆκ = κ
= 2 · 10−48
c2 cm 3 g −1 s −2 (1.200)
anstelle der Gravitationskonstanten G.
Die (heutigen) Anfangsbedingungen für den Raum, Homogenität und Isotropie, wurden ebenfalls von
Einstein erstmals formuliert und werden heute noch in dieser Form akzeptiert.
In Einsteins Allgemeiner Relativitätstheorie ist das Gravitationsfeld ein metrisches Tensorfeld gab (vom
Spin 2) mit der Energie–Impuls Tensordichte Tab als Quelle. Es kann lokal (etwa in einem frei fallenden
Fahrstuhl) wegtransformiert werden, für die anderen Felder gilt dann die Spezielle Relativitätstheorie,
d. h. die Feldgleichungen haben punktal die Minkowski Form (wie in einem Raum ohne Gravitation).
Wir werden hier die Newtonsche Form der Einsteinschen Kosmologie betrachten.
Der Grund dafür, daß es eine sinnvolle Newtonsche Näherung der Kosmologie überhaupt gibt, liegt
darin, daß bei sphärischer Symmetrie der Materieverteilung so wie bei Newton auch in der ART die
Materie außerhalb einer Kugelschale keinen Beitrag zur Kraft innerhalb derselben liefert (Birkhoffscher
Satz). Beschränkt man sich demnach auf genügend kleine Unterbereiche des Kosmos, dann sollte
die Dynamik Newtonsch zu beschreiben sein.
Wir benutzen die während der Expansion des Universums erhaltene Masse M
M = 4πρ
3 r3
(1.201)
als Referenz für den Radius r. Der Index o bezieht sich auf den heutigen Zeitpunkt und Beobachter.
Aus der Massenerhaltung folgt für alle Zeiten t
ρr 3 = 3M
4π = ρor 3 o
(1.202)
Da nach dem kosmologischen Prinzip die Materiedichte ρ nur eine Funktion der Zeit sein kann, folgt,
daß die Bewegung jeder Massenschale homolog verlaufen muß:
� �1/3 ρo
r(t) = ro = f(t)ro
(1.203)
ρ(t)
mit f(to) = 1. Für die Geschwindigkeit ˙r erhält man
˙r = ˙
fro = ( ˙
f/f)r = Hr (1.204)
Damit haben wir das Hubble Gesetz erhalten: für jedes r gilt zum Zeitpunkt t für die Bewegung
˙r = H(t) r (1.205)
Unser nächstes Ziel ist es, in dieser Newtonsche Kosmologie die Funktion H(t) zu bestimmen.
Bei Kugelsymmetrie lautet die Bewegungsgleichung des Radius a
ä = − GM
= −4πG ρa (1.206)
a2 3
Zu einem gegebenen Zeitpunkt ist die rücktreibende Beschleunigung proportional zum Abstand. Zur
Integration gehen wir aus von der konstanten Masse M mit räumlich konstanter Dichte ρ = ρ(t). Die
Bewegung hat das erste Integral mit der willkürlich so normierten Integrationskonstanten −kc2 :
˙a 2 = 2GM
− kc2
(1.207)
a
welches unschwer als Energiesatz der ART wiedererkannt werden kann, falls man a geeignet wählt.

108 KAPITEL 1. GEOMETRIE
• ANMERKUNG (ZEITVARIABLE)
Es ist üblich in der ART Dimensionen zu benutzen, wo G = c = 1 ist. Aus didaktischen Gründen wollen wir die
Abhängigkeit von den Fundamentalkonstanten (zur bequemeren Nachprüfbarkeit) stets vollständig angeben. Wir definieren
stattdessen ξ = ct für die Zeitvariable, sodaß ′ die Ableitung nach ξ = ct bedeutet. Damit schreibt sich obiger Energiesatz
der ART in pseudo Einsteinscher Form
(a ′ ) 2 + k = 2GM
c 2 a = κρa2 = ˆκɛ 2
Hier ist ɛ = ρc 2 die Energiedichte. Sie enthält in der ART jegliche Form an Energie.
Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik (für die Energie und Materie im Universum) lautet:
T k
i ;k = 0 ; (ɛa 3 ) ′ = −3pa 2 a ′
oder in bekannter Form
(1.208)
(1.209)
˙E = (ɛa 3 )˙ = −p(a 3 )˙ = −p ˙ V (1.210)
In der ART folgt er notwendig aus den Einsteinschen Feldgleichungen.
• ZUSATZ (DIE EINSTEINSCHEN FELDGLEICHUNGEN)
Die Einsteinschen Feldgleichungen lauten
Gab = ˆκTab
(1.211)
Im isotropen Kosmos ist der gesamte Energie-Impulstensor (Materie plus Photonen) im mitbewegten System diagonal mit
Komponenten
T i k = diag(ɛ, − p, − p, − p) (1.212)
Damit lauten die (einzigen nichttrivialen) Einsteinschen Gleichungen
G 0 0 = 3
G 1 1 = 2 a′′
a +
� a ′
a
� ′ a
a
� 2
� 2
�
1
+ 3k
a
�
1
+ k
a
� 2
� 2
= ˆκT 0 0 = ˆκɛ (1.213)
= ˆκT 1 1 = −ˆκp (1.214)
Einfache Umformungen liefern die folgenden nützlichen, expliziten Relationen für den Skalenfaktor a:
(a ′ ) 2 = −k + ˆκ
3 ɛa2
(1.215)
a ′′ = − ˆκ
(ɛ + 3p)a (1.216)
6
(a 2 ) ′′ = −2k + ˆκ
(ɛ − 3p)a2
3
(1.217)
Die erste Gleichung enthält den Druck überhaupt nicht. Sie ist formal identisch mit der Newtonschen. Der Druck steckt
implizit über den 1. Hauptsatz der Thermodynamik in der Bewegung von a(t). Geeignet uminterpretiert geht sie in die
Newtonsche Bewegungsgleichung über und zwar kann sie dort als Energiesatz des Kosmos bezeichnet werden.
Die zweite Gleichung kann als Kraftgleichung (Beschleunigungsgleichung des Kosmos) interpretiert werden: sie enthält
die Kombination ɛ + 3p, also auch den Druck, als aktive gravitierende Masse (fehlt bei Newton, stammt aus der SRT) und
ist unabhängig von der 3er-Geometrie k.
Bei bekannter Zustandsgleichung können die Gleichungen leicht gelöst werden.
Oft wird anstelle von a(t) die Bezeichnung R(t) für den Radius der Raumkrümmung benutzt. Der Hubble Expansionsparameter
H und die kritische Dichte des Universums wird damit wie folgt definiert:
H = ˙ R
R
; ρc = 3
8πG H2
; Ω = ρ
ρc
= 8πG
3 ρH−2
(1.218)

1.5. GEOMETRIE DER RAUMZEIT 109
Wir sehen, daß es drei fundamental verschiedene Bewegungen gibt, welche durch die Gesamtenergie,
bei Einstein durch die Geometrie
Etot = Ekin + Epot
des Systems bestimmt werden:
1. Etot < 0 (gebundenes System, k = +1).
Die Expansion verläuft bis zu einem maximalen Radius, dem Schwarzschild Radius Rs der Masse
M,
a = amax
ct =
(1 − cos η)
2
(1.219)
amax
(η − sin η)
2
(1.220)
amax = 2GM
c2 = Rs (1.221)
und rekollabiert dann (wieder in eine Singularität).
2. Etot > 0 (ungebundenes System, k = −1).
Im Falle positiver Gesamtenergie expandiert das System für alle Zeiten mit von Null verschiedener
Grenzgeschwindigkeit: ˙a(∞) = c.
Dabei ist
a = a1(cosh η − 1) (1.222)
ct = a1(sinh η − η) (1.223)
a1 = GM 1
=
c2 2 Rs
(1.224)
3. Etot = 0 (indifferentes System, k = 0).
Im Grenzfall verschwindender Gesamtenergie ist die Lösung besonders einfach. Die Bewegungsgleichung
(Energiesatz) lautet:
˙a 2 = 2GM
a
Mit der Lösung
a =
= c2 Rs
a
�
3√
�2/3
2GM t =
2
8πGρ
= a
3
2 = H 2 a 2
�
3�
�2/3
Rsct
2
Das System expandiert für alle Zeiten, allerdings mit Grenzgeschwindigkeit Null: ˙a(∞) = 0.
(1.225)
(1.226)
In unserer Näherung ist ein kosmologisches Modell durch zwei Parameter eindeutig bestimmt, welche
zu beliebigem Zeitpunkt gemessen werden können. Diese sind z. B.
1. die Hubble Konstante H(to) = Ho und
2. die Dichte ρo = ρ(to).

110 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Die für k = 0 auftretende Dichte
ρc = 3H2
c 2 κ
(1.227)
stellt eine kritische Dichte dar: ein Kosmos mit höherer Dichte rekollabiert wieder (in unserer jetzigen
Näherung). In Zahlen
ρc = 3H2
8πG = 5 · 10−30 (2h) 2
gcm −3
Wir definieren damit den dimensionslosen Dichteparameter Ω = Ω(t)
Ω = ρ
ρc
= κρc2
3H 2
(1.228)
(1.229)
Damit ist demnach ein kosmologisches Modell eindeutig durch die dimensionslosen Parameter h und
Ω zum heutigen Zeitpunkt festgelegt. Wir wollen im folgenden versuchen, die Parameter h(to) und
Ω(to) zu bestimmen, wir werden dabei den Index weglassen, falls keine Missverständnisse möglich
sind. Dazu definieren wir zunächst nützliche Einheiten für Masse und Leuchtkraft (von Galaxien und
Galaxienhaufen).
• ANMERKUNG (DIE ZUSTANDSGLEICHUNG DES KOSMOS)
Die Bestimmung der Zustandsgleichung aller Komponenten eines Universums extrem hoher spezifischer Entropie, nγ/nb ≈
10 8 . . . 10 10 ist besonders einfach. Jedenfalls gilt dies für die sichtbare Materie. Die Bestimmung gelingt weitgehend mit
den Hauptsätzen der Thermodynamik. Die genauere Behandlung folgt später. Hier geben wir die einfachsten Anteile.
Sowohl die Sterne (oder die Galaxien) als ganzes als auch das Plasma aus Protonen und Elektronen (plus kleiner Beimengungen)
kann als eine ideale Flüssigkeit approximiert werden. Insbesondere ist heute P = 0 vollkommen ausreichend.
Für Zustandsgleichung und Entropiedichte s der Photonen gilt
p = 1
3
ɛ ; s =
3 4
ɛ
T
Dabei ist ɛ die Energiedichte und p der Druck.
Die Zustandsgleichung des Vakuums ist p = −ɛ = const.
Wir betrachten die allgemeine Zustandsgleichung der Form p = γɛ. Dafür wird Glchg. (1.210)
(ɛa 3 ) ′ = −γɛ(a 3 ) ′ mit ɛ = ɛo
Für alle drei Grenzfälle
� �
ao
3(1+γ)
a
1. p = 0, d. h. γ = 0, (Näherung für heute, Staubuniversum)
� �
ao
3
ɛ = ɛo
a
2. P = ɛ/3, d. h. γ = 1/3, (frühes Universum, strahlungsdominiert)
� �
ao
4
ɛ = ɛo
a
3. P = −ɛ, d. h. γ = −1, (Vakuum, dominiert die Zukunft)
ɛ = ɛo
können die Einsteinschen Gleichungen geschlossen gelöst werden.
(1.230)
(1.231)

1.5. GEOMETRIE DER RAUMZEIT 111
Kosmologisch geeignete Einheiten für Masse und Leuchtkraft
Wir werden im folgenden die Hubble Relation zur Entfernungsbestimmung
Dl = 6 1 1 + 0.5z
z
2h 1 + z
und für die Leuchtkraft
Le = 4πD 2 l fo
Gpc (1.232)
(1.233)
benutzen. Der Index o bezieht sich auf den Beobachter, fo ist der (der direkt messbare) Fluß (einer
Linie), z ist die Rotverschiebung und h ist die natürliche, dimensionslose Entfernungs - Masseinheit
(Hubble Parameter) für Kosmologen. Sie wird später erklärt.
Mit h = 0.5 als Richtwert ergibt sich
Le = 4 · 10 57 foz 2
� �2 1 + 0.5z
erg s
1 + z
−1 (1.234)
Eigentlich sollte diese Relation erst ab D = 100 Mpc verwendet werden (also ab z = v/c = 1/30 oder
v = zc = 10 4 km s −1 für die Fluchtgeschwindigkeit), sie dient mangels besserem hier als Richtwert
und scheint durchaus geeignet zur Entfernungsbestimmung ab Virgo Haufen (z = 1/150).
Wir nehmen an, daß die Milchstraße typisch für Galaxien ist, ähnlich wie die Sonne für Sterne. Für das
folgende führen wir damit neue, praktische Einheiten ein
1. für die Gesamtleuchtkraft
L∗ = 2.5 · 10 10 L⊙ = 10 44
2. und die Gesamtmasse (Dunkelmasse inklusive)
erg s −1 (1.235)
M∗ = 1 · 10 12 M⊙ = 2 · 10 45 g (1.236)
Für die Milchstraße und für M31 gilt dann L ≈ L∗ und (inklusive Dunkelmasse) M ≈ M∗. Der
Quasar 3C 273 hat dagegen L ≈ 10 3 L∗ und die stärksten Quellen erreichen ein dex mehr, L ≈ 10 4 L∗
an Dauerleuchtkraft. Allerdings liegt das Maximum der Strahlung im Gammabereich.
1.5.3 Galaxien
Für die Kosmologie sind Galaxienhaufen die Grundbausteine, sie folgen nicht der kosmologischen
Expansion. Ob Galaxien oder einzelne ihrer Objekte (wie Sterne, Novae, Supernovae usw.) als Standardkerzen
taugen, hängt letztlich davon ab, ob sie physikalisch verstanden werden können.
Direkt beobachtbar an Galaxien sind die Flächenhelligkeit (bzw. aufintegriert ihre Leuchtkraft), die
Dopplerverschiebung, die Breite von Linien und die chemische Häufigkeit der Elemente.
• ANMERKUNG (INTEGRALE EIGENSCHAFTEN DER GALAXIEN)
Bisher haben wir Galaxien betrachtet, wie sie in unserer näheren Umgebung vorkommen. Das Hauptanliegen war, ihre
Entfernung zu bestimmen und daraus, wenn möglich, neue Eichkerzen zu finden.
Wir geben zunächst eine tabellarische Zusammenfassung der integralen Eigenschaften für die Galaxien unserer näheren
Umgebung, wie wir sie leicht ableiten können, falls die
Entfernung bekannt ist.
D ist hier der optische Durchmesser der Galaxie, das
Klasse Mv(min) Mv(max) Dmin Dmax
Doppelte des sog. Holmberg Radius. Dieser ist definiert
mag mag kpc kpc
durch den Abfall der Flächenhelligkeit auf einen phänomenologischen Elliptisch −16 −22 10 50
Festwert. Die nach dem Virialsatz bestimmten Massen reichen
von M = 1 · 10 10 M⊙ bis etwa M = 1 · 10 12 M⊙, der
Rekord beträgt dabei M = 3 · 10 13 M⊙ für M87. In diesen
Massen ist die Dunkelmaterie enthalten.
Zwerg Galaxien sind nochmals leichter. Über Dunkelmaterie
ist bei ihnen nichts bekannt. Sie bilden den Übergang
Spirale −16 −21 10 30
Irregulär −14 −18 5 20
Zwergsystem −10 −16 1 10
Tab. 1.42: Galaxien-Eigenschaften

112 KAPITEL 1. GEOMETRIE
zu den Kugelsternhaufen, für die entsprechendes gilt.
Eine cD Galaxie ist eine (vorangestelltes c bedeutet cluster) riesenhaft elliptische Galaxie mit hellem Kern und diffusem
(D) Rand. Ein Galaxienhaufen hat meist eine cD Galaxie im Zentrum. Man nimmt an, daß solche Galaxien durch Kannibalismus
so groß geworden sind, damit dürfte die Leuchtkraft von der Umgebung und der Vorgeschichte abhängen. Als
Standardkerze scheiden cD Galaxien damit aus. Eine cE Galaxie ist eine extrem kompakte Galaxie, eine dE Galaxie ist
zwergenhaft elliptisch.
• BEISPIEL (OBJEKTE DES VIRGO HAUFENS)
In der näheren Umgebung des Virgo Haufens mit der Lokalen Gruppe am Rand (in einem Radius von maximal 50 Mpc)
befinden sich, neben vielen Gruppen
1. der grosse Attraktor und gegenüberliegend
2. der Pisces-Perseus Haufen,
3. die grosse Mauer und
4. ein Leerraum von 100 Mpc.
Diese Objekte sind alle erst kürzlich als solche erkannt worden (hauptsächlich über die dritte Dimension: die Bestimmung
der Rotverschiebung an vielen Mitglieds Galaxien).
Es zeigt sich aber, daß es darüberhinaus noch weite Objekte (und Strukturen) gibt, wahrscheinlich
Galaxien in einem anderen Entwicklungszustand, die in unserer Nähe nicht vorkommen. Es handelt
sich zwar nur um eine sehr geringe Anzahl (etwa 2%) solcher Objekte, dafür sind ihre Charakteristika
um so erstaunlicher.
Kollidierende Galaxien
Die Kollision (Zusammenstoss) von zwei Sternen ist selbst in Kugelsternhaufen so selten, daß kein einziges
Ereignis bisher beobachtet wurde. Ganz anders sieht es bei Galaxien in Galaxienhaufen aus. Es
mag deshalb überraschen, daß es viele Beispiele von kollidierende Galaxien gibt, den sog. Starburst-
Galaxien, (engl. burst: Schwall, Ausbruch). Gemeint sind allgemein Sterngeburten mit extrem hoher
Rate, die nach bisheriger Interpretation durch einen Stoß getriggert wurden. Obwohl es direkte optische
Evidenz für kollidierende Galaxien seit langer Zeit gibt, so haben doch erst moderne Beobachtungstechniken
im Radio- und vor allem im Röntgen-Bereich zu einem befriedigenden und eindeutigen
Gesamtbild geführt. Ursprünglich wurden Galaxien dieses Typs als explodierende Galaxien
von Ambartsumian interpretiert. Typisch für stossende Galaxien sind gravische Verformung, Jets und
Starbursts.
• DEFINITION (STARBURST)
Nach Larson und Tinsley versteht man unter einer Starburst-Galaxie eine Galaxie, in der ein Burst (Ausbruch) an Sternbildung
von einer Dauer von 10 bis 100 Myr abläuft, bei dem mehr als 5% der Masse der Galaxie umgesetzt wird. Analoges
gilt für einen Starburst in einer massiven Molekülwolke.
Der Starburst kommt hier praktisch durch den Zentralstoß zweier Galaxien zustande (auf kleinerer
Skala sind auch Wolken denkbar). Wichtig ist dabei das Massenverhältnis der Stosspartner, wie man
aus Komputersimulationen schließen kann. Jets entstehen, falls eine Galaxie die Masse der anderen
dominiert, M1 ≫ M2. Nachgewiesen sind Jets, die aus Sternen und solche, die aus leuchtendem Gas
bestehen. Bei vergleichbaren Massen, M1 ≈ M2, verschmelzen die beiden Galaxien zu einer Riesengalaxie
(engl. merger).
Ein noch dramatischeres Szenario ist folgendes. Falls eine solche Riesengalaxie (meist vom Typ cD)
in einem dichten Galaxienhaufen eingebettet ist, kann es zu Kannibalismus kommen, wobei die Riesengalaxie
ganze Galaxien des Haufens verschlingt, sodaß ihre Masse wächst.
• BEISPIEL (GALAXIEN IN KOLLISION)
Viele Beispiele von Galaxien in Kollision bzw. im Stadium der Verschmelzung (engl. merger) sind von IRAS gefunden
worden
Ein wichtiges Ergebnis der IRAS Mission war dabei die Erkenntnis, daß diese Galaxien extren leuchtstark sind, mit IR

1.5. GEOMETRIE DER RAUMZEIT 113
Leuchtkräften L ≈ 10 12 L⊙. Solch hohe Leuchtkräfte kann entweder
durch das Vorhandensein vieler (insgesamt etwa 10 Mio)
massiver Sterne mit Leuchtkräften L ≈ 10 5 L⊙ oder aber eines
AGN erklärt werden.
Die Galaxie NGC 253 ist (wie M82) eine nahe, gut untersuchte
Starburst-Galaxie mit einem beträchtlichen Anteil an Gas und
Staub. Sie ist die dominierende elliptische Galaxie der Sculptor
Gruppe, die sonst nur noch viele Zwerggalaxien enthält. Mit 1 ′′
kann man noch Strukturen von 15 Parsec auflösen. Man kann
so einzelne Regionen von Sternentstehungsgebieten mit extremer
Geburtsrate auflösen. Sie enthalten mehr Sterne (mehrere
Tausend mit Leuchtkräften L > 10 5 L⊙) im Volumen als 30
Dor in LMC. Die Supernova Rate ist entsprechend hoch, etwa
1 SN in 5 Jahren. Diese Sternentstehungsgebiete liegen in einem
Abstand von etwa 200 pc um die beiden Kerne von NGC
253 herum. Der Abstand der Kerne beträgt etwa 10 kpc, ihre
Leuchtkräfte jeweils L = 10 11 L⊙ und die Stossgeschwindig-
keit (Relativgeschwindigkeit der beiden Kerne) beträgt 150 km s −1 .
Antennae ist eine Starburst-Galaxie mit starker Radio und Röntgen Emission.
In NGC 6052 = Mrk 297 wurde 1979 eine Radio-Supernova entdeckt.
NGC 7252 wird interpretiert als Stoß zweier Galaxien mit Jets.
Galaxien (mit AGN) in Kollision
NGC alternative D Bemerkung
Nummer Bezeichnung Mpc
253 3 Starburst-Galaxie
3034 M82 3 Starburst-Galaxie
1068 20 Seyfert 2
1316 Fornax A 26 Verschmelzung
2623 Antennae 58 Starburst-Galaxie
6052 Mrk 297 100 Starburst-Galaxie
6240 140 Starburst-Galaxie
7252 Stoß (mit Jets)
Tab. 1.43: Galaxien in Kollision
• BEISPIEL (M82 UND NGC 253)
Diese klassischen Beispiele einer Galaxie mit AGN wurden ursprünglich als explodierende Galaxie interpretiert. Die
Strömungsgeschwindigkeit des H Gases vom Zentrum weg, ließ auf eine Explosion vor etwa 2 Myr schließen (Burbidge,
1964).
Mittlerweile werden sie als Prototypen einer neuen Klasse interpretiert: Starburst-Galaxieen.
NGC 3034 = M82 und NGC 253 sind beide auch eine starke Radio Galaxie (3C231). Das legte schon früh den Verdacht
nahe, daß die Strahlung nichtthermisch ist.
M82 war die erste Galaxie, bei der Polarisation im optischen (von Sandage und Miller, 1964) nachgewiesen werden konnte.
Damit war der nichtthermische Charakter im gesamten Frequenzbereich dieser Klasse von Quellen etabliert.
M82 (LIR = 10 10.3 L⊙) und NGC 253 (LIR = 10 10.8 L⊙, D = 3 Mpc, mV = 8.04) haben etwa LIR/Lopt 3 und 5.
In NGC 253 ist erstmals (von BeppoSAX 1998) die Fe XXV K-Linie bei 6.7 keV (Breite 300 eV) nachgewiesen worden.
Die Röntgen Leuchtkraft beträgt im Imtervall [0.2 . . . 10] keV LX = 10 6.6 L⊙ = 10 40 erg s −1 . Für M82 gelten ähnliche
Werte.
Im Gamma Bereich ist NGC von OSSE nachgewiesen.
• BEISPIEL (FORNAX)
Ein besonders gut untersuchtes Beispiel für eine bereits abgeschlossene Galaxien Verschmelzung ist Fornax A (NGC 1316,
PKS 0320 − 37, Arp 154).
Es handelt sich hier um eine der am nächsten gelegenen und hellsten (scheinbare Helligkeit) Radio-Galaxien, Lradio =

114 KAPITEL 1. GEOMETRIE
2 · 10 42 erg s −1 . NGC 1316 liegt am Rande des armen Fornax Haufens (arm = arm an
Galaxien) in 24 Mpc Entfernung. Diese Situation ist vergleichbar mit der Milchstraße
plus M31 am Rande des Virgo Haufens (mit der Zentralgalaxie M87).
In der nebenstehenden Tabelle sind Daten zum Fornax Haufen gesammelt. Die Haufen
Koordinaten (1950) sind:
α = 03:20:47.2, δ = −37 : 23 : 08.
Die Fluchtgeschwindigkeit beträgt 1422 km s −1 , was einem z = 5 · 10 −3 entspricht.
Die Tabelle gibt die Mitglieder im Zentrum. Zentralgalaxie ist NGC 1399 mit einer
Masse von M = 6 · 10 12 M⊙ und einer Gas Masse (im Halo bis 125 kpc) von M ≈
1.6 · 10 11 M⊙. Die Röntgenleuchtkraft beträgt LX = 4 · 10 41 erg s −1 .
NGC 1317 ist eine 6 ′′ entfernte Begleitgalaxie zu Fornax A und liegt praktisch am Rand
von NGC 1316. Beide haben viele Kugelsternhaufen um sich. Optisch ist NGC 1316
eine cD Galaxie mit einem schwachen AGN Kern. AGNs werden weiter unten erklärt.
Bei einem Abstand von D = 23 Mpc beträgt die Auflösung für eine Bogensekunde
100 pc. Der Abstand der beiden Radio Ohren beträgt 30 ′ , was 240 kpc entspricht. Die
Radio Emission ist polarisiert und kommt aus Filamenten, die korreliert (ausgerichtet)
sind. Das optische Gegenstück, NGC 1316, ist eine D Galaxie (MB ≈ −22.7) in
der Mitte zwischen den beiden Radio Ohren. Der morphologische Typ passt in kein
Klassifikationsschema. Der Kern der Galaxie NGC 1316 ist aktiv in praktisch allen
Frequenzbereichen (optisch, UV, Röntgen). Er ist von einem Röntgen Halo geringer
Ausdehnung umgeben (geschätzte Gas Masse allerdings nur M ≈ 1 · 10 9 M⊙ bei einer
Temperatur von 1 · 10 7 K). Die Röntgenleuchtkraft beträgt LX = 2 · 10 41 erg s −1 .
Radio-Galaxien
Daten zum Fornax Haufen
NGC Nr MB Typ
1399 −21.35 E1
1374 −19.89 E0
1375 −18.81 S0
1379 −20.03 E0
1380 −20.98 S0/Sa
1380A −18.56 Spiral
1381 −19.44 S0(10)
1382 −18.09 E
1386 −19.78 Sa
1387 −20.20 SB0
1389 −19.46 S0/SB0
1404 −21.35 E2
1427 −20.09 E5
1427A −18.63 Irr
Tab. 1.44: Fornax
Galaxien strahlen, von wenigen Ausnahmen abgesehen, hauptsächlich im optischen Bereich. Für die
optische Gesamtleuchtkraft typischer Galaxien hatten wir
L∗ = 2.5 · 10 10 L⊙ = 10 44
definiert und für die Gesamtmasse (Dunkelmasse inklusive) ist
erg s −1 (1.237)
M∗ = 1 · 10 12 M⊙ = 2 · 10 45 g (1.238)
die Einheit.
Die Radiostrahlung aus dem Kernbereich der Galaxien ist gering, der Hauptbeitrag kommt zudem von
nichtthermischen Quellen (Synchrotron Strahlung von relativistischen Elektronen, erkennbar am Spektralindex
und an der Polarisation). Als Beispiel sei hier M31 (Andromeda) angeführt. Im optischen Bereich
gilt (genauer als vorher angegeben) Lopt(M31) = 2.5Lopt(MW G) = L∗. Die Radioleuchtkraft
beträgt nur 10 38 erg s −1 , d. h. Lrad(M31) = 2.5 · 10 −6 Lopt(MW G).
Es war deshalb eine Überraschung, daß es Galaxien gibt, die fast ausschließlich im Radiobereich strahlen
und die dazu noch extrem ausgedehnt sind. Es handelt sich dabei meist um eine Doppelstruktur:
zwei riesige Ohren (engl. lobes) strahlen, im Zentrum sitzt eine (oft auch optisch nachweisbare) Punktquelle
als Sender. Prototyp ist Cen A, eine nahe aktive Galaxie, die sowohl im Radio als auch im
Röntgenbereich (seit 1961) gut untersucht ist.
• DEFINITION ( N-GALAXIEN )
Zur Klasse der Radio-Galaxien gehören die von Morgan so bezeichneten N-Galaxie (N steht für Nukleus = Kern).
Es handelt sich (im optischen) um AGN Galaxien, mit hellem Kern und deutlich schwächerer Umgebung.

1.5. GEOMETRIE DER RAUMZEIT 115
Zu diesem morphologischen Typ gehören verschiedene Klassen von
Galaxien,
Seyferts wie 3C382 und
Galaxien mit (M82 und NGC 1275) ohne Linienspektrum (NGC
4782-83).
In der nebenstehenden Tabelle sind einige Röntgen Daten angegeben.
Der Unterschied zu echten Quasaren ist nicht sehr groß. Zum
Vergleich: QSR 3C351 hat bei einer Rotverschiebung z = 0.371
eine Röntgen Leuchtkraft Log(LX/erg s −1 ) = 44.96 und QSR
PKS1510−089 hat z = 0.361 mit Log(LX/erg s −1 ) = 45.32. Beide
Daten zu N-Galaxien
Name Rotverschiebung Log(LX)
z erg s −1
3C445 0.057 42.83
3C227 0.085 43.30
PKS1417 − 190 0.119 44.50
3C109 0.306 45.23
rahmen damit die N-Galaxie 3C109 ein.
Tab. 1.45: N-Galaxien
Seyfert Galaxien sind im Mittel etwas schwächer, BL Lacs und Quasare etwas stärker.
Grosse Galaxienhaufen sind starke Radio- und Röntgen-Emitter. Wir selbst sind Mitglied des Virgo
Haufens.
Die uns am nächsten gelegene Radio-Galaxie, Cen A = NGC 5128, ist etwa 4 Mpc entfernt und hat
Lrad = 7 · 10 41 erg s −1 . Sie kann noch gut aufgelöst werden. Sie besteht aus drei Doppelquellen
(aufgereiht wie Perlen auf einer Schnur) mit einer Gesamtausdehnung von etwa 1 Mpc.
Weitere bekannte nahe Haufen sind Perseus und Cygnus (Schwan). Perseus enthält die stärkste bisher
gefundene Röntgenquelle (NGC 1275).
• BEISPIEL (CYGNUS A)
Cygnus ist mit 8400 Jy die stärkste bisher gefundene Radioquelle (Cygnus A). Selbst bis z = 1 gibt es neuerdings nur eine
Radioquelle (3C 280 mit Lradio = 4·L∗), die (absolut) stärker ist als Cyg A. Die Radioquelle 8C1435+635 hat L ≈ 10 1 L∗
im Radiobereich.
Das Erstaunliche an der Radio-Galaxie Cygnus A ist, bei der grossen scheinbaren Helligkeit, ihre Entfernung, welche sich
auf D = 340 Mpc beläuft. Bei dieser Entfernung beträgt die Auflösung für eine Bogensekun-
de 1.5 kpc (d. h. es gilt 1 ′′ � 0.75h −1 kpc und wir benutzen h = 0.5).
Mit VLBI sind noch 10 −3 einer Bogensekunde, 1 mas, mit 1 mas � 1.5h −1 Parsec (bei starken
Quellen wie Cygnus A) möglich. Der Durchmesser beträgt R = 206 kpc.
Die Leuchtkraft L∗ enthält noch den Faktor h −2 , sodaß in der Tabelle L∗ = 2.5 · 10 10 L⊙ =
10 44 erg s −1 noch mit um diesen Faktor zu korrigieren ist, falls h von 0.5 verschieden ist. Die
Galaxie wird im gesamten Spektrum nachgewiesen, im IR beträgt der Fluß (bei 60 µ) 2.85
Jy.
Daten zu Cygnus A
Cyg A NGC 5128
z 0.0562
Lradio
LX/Lopt 0.8
20 · L∗
LX 24 · L∗
• BEISPIEL (NAHE RADIO-GALAXIEN)
Tab. 1.46: Cygnus A
Ein besonders gut untersuchtes Beispiel für das den Zusammenstoß von zwei Galaxien im Frühstadium ist Antennae (NGC
4038/39). Dieses System ist Prototyp und Namensgeber einer ganzen Klasse von Starburst-Galaxien und liegt im Abstand
von D = 29 Mpc vom Zentrum der Lokalen Gruppe (Index LG). Die Fluchtgeschwindigkeit beträgt vLG = 1439 km
s−1 , was mit h = 0.5 eine Entfernung von 29 Mpc ergibt. Es handelt sich hier um eine der am nächsten gelegenen,
hellen (scheinbare Helligkeit) Galaxien (mit Emission im gesamten elektromagnetisch Spektrum, von Radio bis Röntgen),
LX = 1 · 1041 erg s−1 .
Bei einem Abstand von D = 29 Mpc beträgt die Auflösung für eine Bogensekunde 140 pc und einer Bogenminute entspricht
8.4 kpc. Der Ausdehnung der beiden Radio Antennen (Jets) beträgt 20 ′ , was 240 kpc entspricht. Die beiden optische
Galaxien, NGC 4038 und NGC 4039, sind 15 kpc voneinander entfernt und jeweils von einem Ring H II Plasma mit eingelagerten
hellen optischen Knoten (MV ≈ −16) umgeben, die Gesamtleuchtkraft beträgt MB ≈ −22.4). Die Gas Masse
beträgt M(H) ≈ 4 · 109M⊙ und steckt hauptsächlich in den Antennenflügeln (Ende der Jets).
Der morphologische Typ ist Sc/Sc mit Gezeitenverformung (Klassifikation von Sandage und Tammann). Mit dem HST
können die optischen Knoten aufgelöst werden. Ein Knoten besteht typisch aus einem Dutzend Sternhaufen (Sternentstehung
mit einer Intensität die 30 Doradus im Tarantula Nebel weit übertrifft). Diese sind in molekulares Gas (nachgewiesen
über CO) von insgesamt M(H2) ≈ 4 · 109M⊙ eingebettet. Die Kerne der beiden Galaxien NGC 1316 sind aktiv (d. h.
sie zeigen Emissionslinien und sind variabel) in praktisch allen Frequenzbereichen (optisch, UV, Röntgen). Sie haben eine
geschätzte Masse von jeweils nur M ≈ 7 · 10 10M⊙. Weitere wichtige Beispiele sind:
1. M82 = NGC 3034 Starburst-Galaxie in einer Entfernung von D = 3 Mpc.
2. Centaurus A = NGC 5128 D = 4 Mpc.
3. Fornax A = NGC 1316 D = 23 Mpc. (s. o. merger). Lradio = 2 · 10 42 erg s −1 .
4. Arp 244 = VV245 = Antennae = NGC 4038/39 Starburst-Galaxie im Frühstadium. D = 29 Mpc.

116 KAPITEL 1. GEOMETRIE
5. Cygnus A D = 170h −1 Mpc.
6. Super Antennae = IRAS 19254−7245; ULIG mit L ≈ 50L∗ = 10 12 L⊙ und M(H2) ≈ 4 · 10 10 M⊙.
7. Arp 220 = IC4553/4554 Mit D = 77 Mpc nächste ULIG, sonst wie Super Antennae.
Die meisten Radio-Galaxien sind allerdings in kosmologischer Entfernung.
Sie stellen hier eine wichtige Unterklasse der
Quasare, die sog. radio-lauten Quasare. Zwei
wichtige Kataloge, nach denen die Radio Quellen
bezeichnet werden sind der dritte Cambridge
Katalog für den Nordhimmel (Code 3C, mittlerweile
bei 8C) und der Parkes Katalog (Code
PKS) für den Südhimmel.
Die hier aufgeführten Radio-Galaxien werden
PKS Nr alt. z mV LX
Name erg s −1
0305 + 03 NGC 1218 0.029 13.84 3 · 10 42
0625 − 35 OH 342 0.055 16.50 5 · 10 43
1648 + 05 Her A 0.154 18.50 3 · 10 44
Tab. 1.47: Radio-Galaxien
wir weiter unten genauer besprechen.
Starke Radio Galaxien (Lradio > 1 · 10 41 erg s −1 (mit Fluß Φradio > 1 · 10 32 erg s −1 Hz −1 am Ort der
Quelle bei 1 GHz) und QSOs haben Eigenschaften, die denen der ULIGs ähneln.
• BEISPIEL (STARKE RADIO GALAXIEN)
Ein berühmtes Beispiel für eine explodierende Galaxie ist NGC 1275. Weitere Beispiele sind:
1. NGC 326 (Dumbbell Galaxy),
2. Mrk 1014,
3. QSO 3C 48,
4. PKS 1345+12.
Mrk steht hier für Markarian.
• BEISPIEL (NGC 326, DIE HANTEL GALAXIE)
NGC 326, (engl. Dumbbell Galaxy), ist die hellste Galaxie im Zwicky Haufen Zw 0056.9+2636. Die Rotverschiebung
beträgt z = 0.047, was mit h = 0.5 eine Entfernung von etwa 300 Mpc ergibt.
Daraus folgt für die Leuchtkräfte im Röntgen
LX = 6 · 10 9 L⊙ = 1.6 · 10 43 erg s −1 und im Radio
Lradio = 2 · 10 41 erg s −1 .
Röntgen-Galaxien
Gewöhnliche Galaxien haben Leuchtkräfte von einigen 10 39 erg s −1 , was mit 10 hellen Röntgensternen
der Eddingtonleuchtkraft erreicht wird (s. Tab. 1.33). Sie liegen im Bereich 2.5 · 10 8 L⊙ > LX >
2.5 · 10 4 L⊙ und erreichen also nur wenige % der optischen Leuchtkraft. Die Milchstraße liegt im
median, M31 im oberen Bereich.
Die leuchtstärksten Galaxien in Virgo und Coma haben Leuchtkräfte von einigen 2.5 · 10 8 L⊙ = LX =
10 41 erg s −1 .
Der Blasar PKS 0528+134 (mit z = 2.07) ist stark variabel, im Maximum erreicht er 2.5 · 10 16 L⊙ =
Lγ = 10 49 erg s −1 und zwar im Bereich MeV bis GeV.
1.5.4 AGN:
Aktive Galaxien Kerne
Das Acronym AGN steht für Active Galactic Nucleus. Zu den Aktiven Galaxien(kernen) gehören Seyfert
Galaxien (Typ I und Typ II), BL Lac Objekte (Blasare) und Quasare (QSRs und QSOs). Die ersten
Quellen wurden als Radio Galaxien entdeckt, heute unterteilt man die verschiedenen AGN zusätzlich
in radio-laut und leise.
Daneben gibt es noch Übergangs Stufen wie Markarian Galaxien und die Klasse der LINER (low ionization
nuclear emission region) Objekte, eine Untergruppe der Seyfert Galaxien. Die verschiedenen

1.5. GEOMETRIE DER RAUMZEIT 117
Typen sind entweder nach ihren Entdeckern (Carl Seyfert, USA und Markarian, Armenien) oder nach
Prototypen wie BL Lac oder mit Kunstnamen (Quasar, Blasar) benannt. Aktivität bedeutet hier variabler
Energieausstoß, am besten polarisiert (also keine Sternstrahlung). Dieser wird nach nunmehr
50jähriger Anstrengung, die Zentralmaschine des AGN Phänomens zu verstehen, mit einem vereinheitlichten
Modell erklärt. Danach wird die Energie durch Akkretion auf ein supermassives Schwarzes
Loch erzeugt. Vermutlich können Typen alle mit diesem Einheitsmodell beschrieben werden, wenn
man annimmt, daß die Blickrichtung der entscheidende Parameter ist.
• ZUSATZ (ABSCHÄTZUNG DER LEUCHTKRAFT)
Eine einfache Abschätzung der Leuchtkraft erhält man wie folgt: die Gravitationsenergie Egrav und die Einfallgeschwindigkeit
vinf beträgt etwa
2 GM
Egrav = −
R
; v 2 inf = GM
R
wobei M die Masse und R der Abstand ist. Für die Leuchtkraft ergibt sich (eine skaleninvariante Relation)
Lgrav = vinf
R (−Egrav) = v5 inf
G
mit der universellen Obergrenze
LG = c5
G
(1.239)
Die Bezeichnungen und Namen stammen noch aus der Zeit, da die Objekte nicht verstanden wurden
(BL Lac = BL Lacertae selbst ist also kein variabler Stern, wie man nach der Bezeichnung vermuten
würde, sondern eine Galaxie, die bei geringer Auflösung punktförmig erscheint). Als Oberbegriff hat
sich AGN eingebürgert.
Aktive Galaxien (AGN) sind genauer Galaxien, die wenigstens zwei der folgenden Kriterien erfüllen:
der helle Kern überstrahlt den Rest der Galaxie,
Emissionslinien nichtstellaren Ursprungs,
variable Leuchtkraft auf einer Zeitskala von 10 4 bis 10 6 Sekunden,
nichtthermische Emission aus dem Kern.
Viele Quasare, Seyfert Galaxien und Radio Galaxien sind bekannt, die alle Kriterien erfüllen und das
bei verschiedenen Frequenzen. Manche zeigen Jets in denen sich Knoten mit scheinbaren Überlichtgeschwindigkei
vom Zentrum wegbewegen.
Seyfert Galaxien
Die ersten Linienspektren wurden an extragalaktischen Objekten (ohne es zu wissen) 1907 von Fath an
NGC 1068 und 1917 von Slipher am gleichen Objekt mit besserer Spektralauflösung gemacht. Slipher
bemerkte die grosse Breite der Spektrallinien (und erklärte sie mit Druckverbreiterung im Nebel).
1943 gab Seyfert die erste Liste von 12 Galaxien mit breiten Spektrallinien (300 bis 3000 km s −1 )
heraus.

118 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Die nebenstehenden Exemplare aus dieser Liste (waren im nachhinein korrekt und)
erfüllen die folgenden, von Seyfert aufgestellten, empirischen Kriterien über das Linienspektrum:
es gibt Emissionslinien von He II und [Ne V], die besonders hohe
Anregungsenergien verlangen. Ferner findet man die verbotenen Linien von [O II],
[Ne III], [N II], [S II] und [O III] (wie sie auch in planetaren Nebeln vorkommen).
Die Arbeiten von Carl Seyfert wurden zunächst weitgehend ignoriert. Das Interesse
wuchs erst mit der Untersuchung von Radiogalaxien. Zwei Objekte in Seyferts Liste
(hier mit RG = Radiogalaxie gekennzeichnet) gehören dazu: NGC 1068 = 3C71 mit
Lradio = 1 · 10 40 erg s −1 und NGC 1275 = 3C 84 = Per A mit Lradio = 3 · 10 42 erg
s −1 . Die Besonderheiten der breiten Spektrallinien wurden aber immer noch ignoriert.
Das änderte sich erst mit den Arbeiten von Morgan über N-Galaxie und endgültig mit
der Entdeckung der Quasare.
Seyferts sind heute per Difinitionem Galaxien mit hellen Kernen und Emissionsli-
nien. Etwa 1 % aller hellen Galaxien sind Seyfert Galaxien. Die Leuchtkräfte von
Erste Seyferts
NGC Rem
1068 RG
1275 RG
3227
3516
4051
4141
5548
7469
Tab. 1.48: Seyferts
Seyfert Galaxien liegen zwischen 10 42 erg s −1 und 10 45 erg s −1 . Die bisher kürzeste Zeitskala für Intensitätsvariationen
bei Seyferts wurden bei NGC 6814 mit 800 Sekunden und bei NGC 4051 mit 10 3
Sekunden gemessen. Die Seyfert Galaxie M106 = NGC 4258 ist der bisher beste, galaktische Schwarz-
Loch-Kandidat mit einer Masse von M = 3.9 · 10 7 M⊙ innerhalb von einem Radius von R = 0.12 pc.
Ihre zeitliche Veränderlichkeit im harten Röntgenbereich skaliert mit 7.3 dex ähnlich wie die Masse
mit dem besten stellaren Schwarz-Loch-Kandidat, Cyg X-1.
Seyfert Galaxien werden nochmals (rein spektroskopisch) unterteilt in zwei Typen.
Seyfert I haben erlaubte, breite Linien (entspr. von 1000 bis 5000 km s −1 Linienhalbwertsbreite) und
Seyfert II haben erlaubte und verbotene, schmale Linien (entspr. 300 bis 1000 km s −1 Linienhalbwertsbreite).
Im Standardmodell werden die beiden Typen wie folgt gedeutet. Bei Seyferts vom Typ 1 sieht man direkt ins Zentrum. Die
Säulendichte NH ist normal. Dort befindet sich ein Schwarzes Loch
mit einer Masse von dex(6 - 9)M⊙. Um das Zentrum, im Abstand
von einigen Parsec, befindet sich ein Torus aus undurchsichtigem
Gas (optisch dick). Bei Seyferts vom Typ 2 sieht man auf diesen
Torus. Die Säulendichte NH ist anormal groß. Der Kern bleibt unsichtbar,
seine Existenz folgt aus einer Energiebilanz. Eine ähnliche
Einteilung gilt für Radio Galaxien mit AGN.
Die Tabelle gibt Beispiele von leuchtschwachen Radio Galaxien,
wo man vermutlich den Torus sieht, den Kern aber nicht. Bei PKS
0305+03 handelt es sich um eine isolierte Galaxie mit heißer Korona,
die anderen Quellen sind alle Mitglieder eines Galaxienhau-
fens.
Radio Galaxien mit Dunkelkern
PKS Nr alt. Bez. z mV
0305 + 03 3C78, NGC 1218 0.029 13.84
0620 − 52 0.051 15.50
0625 − 53 0.054 15.54
0625 − 35 OH 342 0.055 16.50
1648 + 05 3C58, Her A 0.154 18.50
Tab. 1.49: AGN Kerne
Die Röntgen Leuchtkraft, LX, beträgt im Extremfall für Her A 3 · 10 44 erg s −1 . NGC 1218 hat LX = 3 · 10 42 erg s −1 und
OH 342 hat LX = 5 · 10 43 erg s −1 .
• BEISPIEL
Neben den reinen Typen Seyfert 1 mit breiten Linien und Seyfert 2 mit schmalen Linien, gibt es als
Sonderfälle Seyfert 1 mit schmalen Linien und Seyfert Galaxien mit beidem: gleichzeitig schmale und
breite Linien. Ein Beispiel für letzteren Typ ist NGC 4151.
• BEISPIEL (SEYFERTS I)
Eine besonders leuchtstarke Seyfert 1 Galaxie ist IRAS 13224 − 3809 mit fast LX = 10 11 L⊙, die wir schon kennen. Die
Rotverschiebung beträgt z = 0.06 (Entfernung D = 360 Mpc). Sie variiert um einen Faktor zwei in der Leuchtkraft und
das in 800 Sekunden. Die IR Leuchtkraft ist mit LIR = 5 · 10 11 L⊙ = 1.5 · 10 45 erg s −1 noch 5mal größer als im Röntgen.

1.5. GEOMETRIE DER RAUMZEIT 119
• BEISPIEL (SEYFERTS II)
Eine besonders leuchtstarke Seyfert 2 Galaxie ist NGC 1068. Der Fluß beträgt im IR bis sub mm Bereich etwa f(30µ) =
10 −8 erg cm −2 s −1 , etwa 2 dex mehr als 3C273 in diesem Bereich.
Ein weiteres Beispiel ist Mrk 3 (z = 0.0135). Die Wasserstoff Säulendichte beträgt NH = 10 24 cm −2 . Die Quelle ist stark
variabel (High/Low = 1.5dex) und hat eine extrem starke und breite Fe Röntgen Linie.
LINER:
Die Low Ionization Nuclear Emission Regionen
Als Untergruppe der Seyfert Galaxien haben LINER stark variablen Fluß und Emissionslinien. Es handelt
sich um normale Sternsysteme, wobei die Emissionslinien allerdings nicht von Sternen stammen.
Etwa 1/3 aller AGN gehören zu diesem Typ.
• BEISPIEL (DIE SOMBRERO GALAXIE M104)
Die Sombrero Galaxie M104 sei hier als Beispiel einer Galxie mit Low Ionization Nuclear Emission Regionen vorgestellt.
Sie ist ein besonders gut untersuchter, massiver Schwarz-Loch-Kandidat.
Zur Klasse der LINER gehört die (wegen ihres Aussehens) berühmte Sombrero Galaxie.
Ihre Bezeichnungen lauten M104 = NGC 4594. Sie gehört zum Virgo Haufen. Sie ist eine
leuchtstarke Sa Galaxie,
Lopt = 2 · 10 11 L⊙,
von der Kantenseite gesehen in einer Entfernung von D = 18 Mpc.
Der Kern von M104 ist ein Schwarz-Loch-Kandidat mit geschätzter Masse von
MBH = 5 · 10 8 M⊙.
Die Röntgen Leuchtkraft des LINER von M104 beträgt etwa
LX = 10 7 L⊙ = 3.5 · 10 40 erg s −1 .
Die dazu notwendige Akkretionsrate ist sehr gering (falls nicht der Hauptteil absorbiert wird):
er beträgt nur 10 −7 der kritischen Eddington Rate,
˙M = 10 20 g s −1 .
Daten zu M104
D 18 Mpc
α 12:39:59
δ −11 : 37 : 23
Lopt 2 · 10 11 L⊙
LX
10 8 L⊙
Tab. 1.50: M104
Das ist ungewöhnlich niedrig, es scheint, daß M104 eine Hungerperiode durchmacht (ähnlich wie das Zentrum unserer
Milchstraße).
• BEISPIEL (DIE GALAXIEN NGC 4528 UND NGC 3998)
Eine mit M104 vergleichbare Galaxie ist NGC 4528. Die Daten sind hier
LX = 10 7 L⊙ = 4 · 10 40 erg s −1 und MBH = 1.4 · 10 7 M⊙.
Weitere LINER sind die Galaxie Fornax A, die wir schon besprochen haben, und die S0 Galaxie NGC 3998 in 35 Mpc
Entfernung. Diese hat eine Gesamt Leuchtkraft von LX = 2 · 10 8 L⊙ = 8 · 10 41 erg s −1 und und einen Kern (AGN
im Röntgen) mit LX = 1 · 10 41 erg s −1 . Falls der Kern mit der kritischen Eddington Rate gefüttert wird, dann muß
MBH = 1 · 10 4 M⊙ sein.
Damit variieren die geschätzten Massen der Schwarz-Loch-Kandidaten um 4 dex allein bei den LINER
Galaxien.
BL Lac Galaxien
Die BL Lac Galaxien gehören zu den extremsten Objekten, die man bisher gefunden hat. BL Lac selbst
ist ein sternähnliches Objekt (optische Punktquelle) ohne Spektrallinien (weder in Emission noch in
Absorption) mit starker (aperiodischer) Variabilität der Leuchtkraft (∆Lopt = 1 dex). Andere BL Lac
Galaxien können sogar um ∆Lopt = 2 dex variieren.
• BEISPIEL (BL LAC OBJEKTE)
BL Lac und AP Librae (mit LX = 10 43 erg s −1 ) sind die bekanntesten Beispiele für zunächst nicht erkannte, stark variable
Galaxien.
Daß BL Lac kein variabler Stern ist, wurde eher 1969 zufällig entdeckt.

120 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Bis dahin galt BL Lac als ein Stern ohne Linienspektrum
(ähnlich wie Baades south preceding star im Krebsnebel). Man
fand, daß dieser mit einem Objekt in einem Radio Katalog (des
Vermilion River Observatory) übereinstimmte. Es handelte sich
dabei um eine polarisierte Radio Quelle mit extrem flachen
Spektrum. Damit konnte BL Lac kein Stern sein.
Ein weiteres bekanntes aber zunächst nicht erkanntes Beispiel
ist AP Librae. Erst wesentlich später wurde diese Quellen auch
anhand schwacher Linien identifiziert. Es handelt sich um einen
Blasar mit z = 0.05 bzw. z = 0.069. Bei einigen anderen
Blasars hat man bis heute noch keine Linien finden können (und
damit ist ihre Entfernung unbestimmt. Beispiel: 4C20.29).
Die in der Tabelle aufgeführten BL Lac Galaxien (Blasars) sind
leuchtstark praktisch im gesamten Frequenzbereich, 10 13 Hz bis
BL Lac Objekte
Name z mV fradio fX
Jy 10 −12
AP Lib 0.050
BL Lac 0.069 14.9 4.8 9.8
PKS 2005 − 489 0.071 14.4 1.2 105
PKS 1144 − 379 1.048 17.4 1.6 5.8
fradio bei 5 GHz; fX in [0.1 bis 10] keV
Tab. 1.51: Blasars
10 18 Hz, wie die Tabelle an ausgewählten Exemplaren zeigt. Der spektrale Radiofluß, fradio ist bei 5 GHz in Jansky und
der Röntgenfluß, fX im Intervall [0.1 bis 10] keV in Einheiten von 10 −12 erg cm −2 s −1 angegeben. Das Maximum liegt
im IR (bei 5·10 13 Hz) und ist dort (also im IR) für BL Lac selbst mit der Leuchtkraft von 3C 273 vergleichbar.
Die folgenden drei Eigenschaften:
1. stellares Aussehen (optische Punktquelle),
2. Variabilität und Polarisation (im optischen Bereich) und
3. starke Radioquelle mit flachem Spektrum.
wurden zum Kennzeichen einer ganzen Klasse von Objekten, die schnell als extragalaktisch erkannt
wurden.

1.5. GEOMETRIE DER RAUMZEIT 121
• BEISPIEL (TEV BLASARS)
Bei den Blasars Mkn 501, Mkn 421 und 1ES2344+514 reicht das Spektrum sogar bis in den TeV Bereich. Sie wurden in
dieser Reihenfolge von EGRET entdeckt.
• BEISPIEL (EXTREM VARIABLE GALAXIEN)
Das BL Lac Objekt H0323+022 hat mit 30 Sekunden die bisher kürzeste Zeitskala für Intensitätsvariationen bei AGN.
Blasars sind wesentlich seltener als Quasare.
Röntgen und optische Daten für Blasars
Objekt mV fo(V ) fo(X) L(V ) L(X) L(X)/L(V )
Name mag. f∗ f∗ L∗ L∗
PKS0548 − 322 15.5 1.32 4.05 2.70 8.31 3
Mrk 501 13.8 6.31 3.82 3.14 1.90 0.6
Mrk 421 13.5 8.32 4.20 3.22 1.62 0.5
3C 371 14.9 2.29 0.96 2.47 1.03 0.4
PKS0521 − 365 16.0 0.83 0.89 1.08 1.16 1
PKS0537 − 441 15.5 1.32 0.64 0.5
PKS2155 − 304 14.5 4.25 10.3 2.4
f∗ = 10 −10 erg cm −2 s −1 ; L∗ = 10 44 erg s −1
Tab. 1.52: Blasars
Die Tabelle (1.52) vergleicht Röntgen und optische Daten für besonders starke Blasars. Bei den beiden
letzten Objekten ist die Entfernung nicht bekannt (keine Linien).

122 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Quasare: radio-laut und leise
QSR und QSO
Mit Quasar im strengen Sinne werden die Quasi stellar radio sources, QSRs, also radio-laute Objekte
und mit QSO die Quasi stellar optical sources bezeichnet. Quasare sind die stärksten Dauerquellen im
Kosmos mit Leuchtkräften im IR, optischen und Röntgen von 1047 erg s−1 und mehr, das Maximum
liegt im Gamma Bereich.
Die untere Grenze für QSO liegt bei MV
bezeichnet.
= −23, AGN mit MV > −23 werden meist als Seyferts
Oft wird Quasar aber verallgemeinernd für alle sternartigen Objekte Emissionslinien von Quasaren
grosser Rotverschiebung gebraucht.
Atom λ Rem.
Die lange Kontroverse, ob Quasare lokaler Natur sein können, ist zugun-
Angst.
sten der kosmologischen Erklärung beendet. Die grosse Rotverschie- OIII 5007 *
bung bedeutet demnach grosse Fluchtgeschwindigkeit. Die folgenden Hβ 4861
beiden Indizien, Gravitationslinsen und der Lα forest, liefern den Beweis.
Für den Nachweis gibt die Tabelle einige ausgewählte Emissionslinien
von Quasaren. In manchen Quasaren findet man keine verbotenen Linien
(in der Tabelle mit * gekennzeichnet). Sie sind schwächer als die
NeIII
MgII
CIV
Lyα
3869
2798
1549
1216
*
stark
stark
stark
erlaubten, ähnlich den Seyfert Galaxien.
Tab. 1.53: Linien von QSR
Das Erstaunlichste ist, daß die aus den Linienstärken abgeschätzten Häufigkeiten mit denen der Sonne
übereinstimmen.
• ZUSATZ (ERSTES INDIZ: GRAVITATIONSLINSEN)
Das Auffinden von (immer mehr) Gravitationslinsen mit Quasaren als Leuchtquelle im Hintergrund, erlaubt es, die Entfernung
der Linse größenordnungsmäßig abzuschätzen, da die Entfernung der Linse (meist ein Galaxienhaufen) bekannt ist.
Selbst die Laufzeitdifferenz längs der beiden verschiedenen Wege konnte in einigen Fällen bestimmt werden.
• ZUSATZ (ZWEITES INDIZ: DER Lα FOREST)
Quasare sind wegen ihrer enormen Leuchtkraft ideale Punktquellen, um das dazwischen liegende Medium (IGM) über
kosmologische Entfernungen hinweg zu untersuchen. Dieses Gas ist, wie man findet, nicht homogen verteilt.
Das Element mit der größten Häufigkeit im Universum ist Wasserstoff, H. Zwei Energien des H Atoms sind wichtig: die
Ionisationsenergie (13.6 eV) und die Energie beim Übergang 1s nach 2p, Absorption, oder 2p nach 1s, Emission. Diese
Linie heißt Lα.
Quasare haben jeweils (mindestens) eine rotverschobene Emissionslinie, Lα, bei λα = (1 + z)1215.67 ˚Angstrøm (entspr.
10.2 eV im Ruhsystem) und (oft) eine Vielzahl von Absorptionslinien (die alle bei kleineren Rotverschiebungen liegen).
Daß die stärkste Emissionslinie die Lyman α Linie ist, ist dank der Häufigkeit von H im Universum verständlich. Gleiches
gilt für die Vielzahl von Absorptionslinien: die nachgewiesene Anzahl ist mittlerweile so groß, daß sie mit Lα forest
bezeichnet wird.
In wenigen Fällen hat man die absorbierende Wolke gefunden und damit die Entfernung bestimmen können.
Eine wichtige, von der Beobachtung nunmehr zu beantwortende Frage ist, ob Quasare mit anderen
Objekten in Verbindung gebracht werden können, ob sie etwa eine besondere Entwicklungsphase von
speziellen Galaxien darstellen.
Das Auffinden von Quasaren ist, darin sind sie den Pulsaren ähnlich, bis heute eine Kunst geblieben.
QSR sind radio-laute Objekte und können aus Radio Katalogen extrahiert werden, bei genügend genauen
Positionsangaben durch einen Abgleich mit optischen Katalogen. QSO sind radio-leise Objekte
und können an spektralen Besonderheiten (UV-Exzess, Polarisation oder besonders breiten Linien)
entsprechenden Katalogen heraus gefiltert werden. Quasare sind ferner starke Röntgen und Gamma
Strahler, auch hiermit hat man neue Quasare finden können.
Die bisherige Suche hat (anhand von etwa 10 Tausend gefundenen AGN Objekten) ergeben, daß bei
z = 2 ein deutliches Maximum in der Quasarverteilung N(z) liegt, mit steilem Abfall bis z ≈ 5.

1.5. GEOMETRIE DER RAUMZEIT 123
Der nächste Quasar, 2S 0241+622 liegt 250 Mpc entfernt (z = 0.04), also bereits weit außerhalb
unseres lokalen Superhaufens. Er wurde erst 1978 (und zwar als Röntgenquelle) entdeckt. Seit 1991
wurde kein Quasar mit größerer Rotverschiebung als der von PC1247+3406 mit z = 4.897 gefunden.
Damit liegen Quasare im Intervall 0.04 ≤ z ≤ 5. Für festes z variieren ihre Leuchtkräfte um etwa 2
dex. Die meisten Objekte im Kosmos gibt es doppelt, in kleinen Gruppen oder in Haufen.
• BEISPIEL (DOPPEL-QUASAR KANDIDATEN)
Machen Quasare eine Ausnahme? Gibt es Doppel-Quasare oder gar Quasarhaufen?
Wie die Tabelle zeigt, gibt es tatsächlich Doppel-Quasare (jedenfalls Kandidaten). Die nebenstehende Tabelle gibt den Na-
men (d. h. die Koordinaten) der beiden Quasare, ihre Rotverschiebung Ze und
den maximalen Winkelabstand ∆θ (in Bogensekunden).
Auch bei mehr als N = 10 000 bekannten Quasaren ist es statistisch unwahrscheinlich,
daß zwei von ihnen um weniger als 10 Bogensekunden bei nahezu
gleichem Abstand (d. h. bei gleichem z = Ze) zusammenstehen. Die Kugeloberfläche
enthält 5 · 10 11 arcsec 2 und eine Dopplerdifferenz von 100 km s −1
entspricht einer Radiusdifferenz von ∆r/R = 1/3000. Damit ist die Wahrscheinlichkeit,
zufällig zwei Quasare innerhalb der angegeben Volumengrenzen
Doppel-Quasar Kandidaten
Name Ze ∆θ
QSO 1343 + 164 2.03 9.5
QSO 1145 − 071 1.35 4.2
QSO 1146 + 111 1.01 157
QSO 1548 + 114 1.90 (0.44) 4.8
zu finden, W = N(∆V/V ) ≈ 5 · 1011 .
Tab. 1.54: Doppel-Quasare
Beim Doppel-Quasar QSO 1145 − 071 mit z = 1.35 ist einer radio-laut der andere nicht.
• ANMERKUNG (DIE LEUCHTKRAFT DER QUASARE)
Die scheinbare visuelle Helligkeit von den bekannten Quasaren liegt zwischen mV = 13 und mV = 20. Erstaunlicherweise
ist für die nächsten (mit Rotverschiebungen logz < −1.2) die Variation in der (optischen) Helligkeit, sie variieren im
gesamten Intervall (von mV = 13 bis mV = 20). Als Standardkerzen sind sie damit denkbar ungeeignet.
Die visuellen Leuchtkräfte von den bekannten Quasaren liegen zwischen 10 45 erg s −1 und 10 49 erg s −1 oder in Magnituden
−24 > MV > −32. Zur Erinnerung:
Die Leuchtkraft der Milchstrasse beträgt etwa LGal = 2.5 · 10 10 L⊙ = 10 44 erg s −1 .
Die Leuchtkraft von L = 10 49 erg s −1 muß etwa t = 1 Myr (3·10 13 ) aufrecht erhalten werden, das liefert für die benötigte
Energie:
E = Lt ≈ 3 · 10 63
erg, oder E ≈ 1.5 · 10 9 M⊙c 2
(1.240)
Setzt man grosszügig als Wirkungsgrad 10% an, dann muß zum Schluß das Schwarzes Loch im Zentrum eine Masse von
10 10 M⊙ besitzen.
• ANMERKUNG (GESCHICHTE DER ROTVERSCHIEBUNGSREKORDE)
Bei Galaxien und Quasaren sind neue Rotverschiebungsrekorde meist mit Fortschritten bei der technologischen Entwicklung
verbunden gewesen.
Hubble hatte mit dem 100-inch Teleskop auf dem Mount Wilson das größte Teleskop zur Verfügung. In seiner
Veröffentlichung von 1929 ist das Maximum von cz 1200 km s −1 (entspricht formal
z = 4.5 · 10 −3 ), was als Entfernung das Zentrum vom Virgo Haufen liefert. Hubble
kam bis cz 6000 km s −1 , bis zur Entfernung zum Zentrum vom Coma Haufen. Humason
und Mayall konnten das Maximum bis auf cz = 6000 km s −1 im Jahre 1935
steigern. Dann folgt ein Quantensprung der Rotverschiebung mit der Inbetrienahme
des 200-inch Teleskops auf dem Mount Wilson. 1950 war cz = 60000 km s −1 oder
z = 0.2 erreicht. (Ref. Humason, Mayall und Sandage; Ap.J.61, 97, 1956). 1965 lag
z für Galaxien bei 0.5 und 1970 bei 1.
Die ersten QSR wurden 1961 gefunden (Sandage fand das optische Gegenstück zu
3C 48). Die Identifizierung der Rotverschiebung gelang M. Schmidt 1963 anhand der
Quelle 3C 273 (mit z = 0.158). Für 3C 48 ist z = 0.368. Ab jetzt dominieren Quasare
die Rotverschiebungsrekorde, wie die Tabelle zeigt. Von anfänglich einer Hand
voll, auf über 1500 im Jahr 1977 und 7300 im Jahr 1993 ist die Gesamtzahl bis auf
Rotverschiebungsrekorde
Galaxien
Name z Jahr
G1 und G2 4.92 1997
6C0140+326 4.41 1996
8C1435+635 4.25 1994
4C41.17 3.8 1991
F10214+4724 2.286 1991
3C 472.1 1.175 1982
über 10 Tausend im Jahr 1998 gestiegen.
Tab. 1.55: Rotverschiebung I
Das grosse Interesse an ihnen beruht nicht zuletzt darin, die Hubble Konstante mit ihnen vielleich bestimmen zu können
(Entdeckung neuer Standardkerzen) und den Anfang der Stern- oder Galaxienbildung zu finden.
Quasare hatten lange Zeit die größten Rotverschiebungen, wie aus der nebenstehenden Tabelle hervorgeht. Der letzte
Rekord stammt allerdings aus dem Jahr 1991 und wurde von Schneider D.P., Schmidt, M. und Gunn, J.E. aufgestellt.

124 KAPITEL 1. GEOMETRIE
Ref. Astr.J. 102, 837-840 (1991). Mittlerweile unterscheiden sie sich nicht mehr so
stark wie früher in ihrem maximalen z von Galaxien, im Gegenteil. Der extremste
Fall ist der des Galaxienhaufens MS1358 (als Linse), entdeckt von Frankx (1997).
Die beiden Bilder, G1 und G2, im Abstand von 1 ′′ Rotverschiebungsrekorde
haben eine Rotverschiebung von
Quasare
4.92.
Name z
Vollkommen unerwartet war 1991 die Entdeckung einer Protogalaxie, Quelle F10214+4724
im IRAS Katalog, mit einer Rotverschiebung von z = 2.286. Ref. Solomon et PC1247+3406 4.897
Jahr
1991
al Nature 356, 318 (1992). F10214+4724 ist eine der hellsten Galaxien überhaupt
4.43 1987
(verstärkt durch eine Gravitationslinse). Gesehen wird hier der CO(3 → 2) Rotationsübergang,
welcher von λr = 850µm nach λ = 3 mm verschoben ist.
Die Radio Galaxie aus dem 6ten Cambridge Katalog, 6C, mit den Koordinaten
0140+326, ist ebenfalls verstärkt durch eine Gravitationslinse und noch extremer.
PKS2000+330
OQ 172
PKS0237 − 23
3.78
3.53
2.23
1982
1971
1970
Sie hat eine Rotverschiebung von z = 4.41. Sie wurde von Rawlings, S. et al. entdeckt.
Ref. Nature 383, 502 (1996). Es handelt sich um eine Radio Galaxie ohne
Tab. 1.56: Rotverschiebung II
Kontinuum Strahlung im optischen Bereich, also ohne Sterne. Gesehen werden lediglich einzelne (rotverschobene) Linien,
wie Lyα, C IV und O [II].
1.5.5 Das kosmologische Entfernungsnormal
✛Für
nicht zu grosse✘Entfernung D existiert (nach Vorhersage der ART und nach Beobachtung) ein
linearer Zusammenhang zwischen D und der Fluchtgeschwindigkeit v einer Ga-
Kosmologen irren oft,
laxie, wie sie mithilfe der Rotverschiebung z = v/c = β bestimmt wird. Diese
aber zweifeln nie.
L.D. Landau von Hubble erstmals bestimmte Konstante ist die Basis der Entfernungsmessung
✚
✙in
der Kosmologie.
Die Allgemeine Relativitätstheorie, oder besser Einsteins Gravitation, erlaubt es erstmals, eine selbstkonsistente
Kosmologie zu formulieren. Die weitreichendste Aussage der Einsteinschen Gravitation
betrifft den Anfang des Kosmos. Dieser war räumlich singulär (die Dichte war formal unendlich) vor
endlicher Zeit (etwa 20 Gyr). Diese Aussage wird durch mehrere Entdeckungen, die teilweise vorhergesagt
wurden, gestützt.
Bestimmung kosmolgischer Entfernungen
Mit den Bezeichnungen H für die Hubble Konstante und c für die Lichtgeschwindigkeit gilt, wenn wir
D = r für nicht zu grosse Entfernungen setzen
z = H
r (1.241)
c
Hat man erst einmal H bestimmt, dann kann man die Gleichung umkehren und
D = c
Ho
z = 6 1
z Gpc (1.242)
2h
zur Entfernungsbestimmung benutzen. Die Größe h ist die natürliche, dimensionslose Entfernungs -
Masseinheit (Hubble Parameter) für Kosmologen und wird später erklärt.
• BEISPIEL (ENTFERNUNGSBESTIMMUNG VON CYGNUS A)
Mit v3 haben wir früher die Fluchtgeschwindigkeit in Einheiten von 10 3 km s −1 definiert. Damit (und mit c = 3 · 10 5 km
s −1 ) gilt
D = 20 v3
2h
Mpc (1.243)
Die Radio Galaxie Cygnus A hat eine Rotverschiebung von z = 0.0562. Dem entspricht nach obiger Formel eine Entfernung
von D = 340(2h) −1 Mpc, was für die Auflösung für eine Bogensekunde etwa 0.4(2h) −1 kpc liefert, d. h.
1 ′′ � 0.75h −1 kpc.

1.5. GEOMETRIE DER RAUMZEIT 125
• BEISPIEL (EISEN IN ABELL 370)
Zur Erinnerung: unsere Haufen Masseneinheit ist M⋆ = 10 14 M⊙, die der (Flächen) Leuchtkraft ist L⋆ = 2.5 · 10 10 L⊙ =
10 44 ) erg s −1 und die Temperatur wird in keV = 10 4 K gemessen.
Der Haufen A370 ist eine Gravitationslinse mit einer Rotverschiebung von z = 0.37. Die (Virial) Masse beträgt (bei einer
Geschwindigkeits Dispersion von 1350 km s −1 ) Mvir = 15M⋆ (innerhalb von 2.25 Mpc). Die Temperatur des intracluster
Gases wurde von ASCA (1994) zu 9 keV bestimmt. Die Leuchtkraft innerhalb eines Radius von 5’ = 2 Mpc beträgt 10L⋆
und innerhalb von 12.5’ = 4.5 Mpc etwa 13L⋆. Das Verhältnis von Gasmasse zu Virialmasse ist 0.21.
Die Fe Linienemission ergibt eine Masse an Fe von MFe = 2 · 10 11 M⊙. Dies ist der bisher früheste Nachweis von Eisen im
intracluster Gas und ist ein Beweis für massiver Sternentstehung (mit zusammen mit Supernovae vom Typ II). Der Haufen
A370 enthält überproportional viele blaue Galaxien. Butcher-Oemler Effekt.
Der Coma-Haufen
Der letzte Eichstandard ist der Coma-Haufen.
Coma (Abell A1656) mit z = 0.023.
Seine Bedeutung für die Kosmologie liegt darin, daß er einerseits noch
nah genug ist, um in einzelne Galaxien aufgelöst werden zu können, andererseits
ist er aber weit genug enternt, sodaß man annehmen darf, daß
seine Fluchtgeschwindigkeit kosmologischen Ursprungs ist.
Die Mitglieder von Coma in der Tabelle sind geordnet nach ihrer optischen
Leuchtkraft, die Röntgendaten stammen von ROSAT (1993). Die
beiden ersten Galaxien sind supergiant.
Die Koordinaten des Zentrums (α = 12:54:05.7, δ = 28:08:59) beziehen
sich auf das Äquinoktium 1950 und fallen zusammen mit NGC 4889.
Um von Virgo zu Coma zu kommen, müßen sekundäre Eichnormale be-
Mitglieder von Coma
Nummer LX,40
NGC 4889 20
NGC 4874 30
NGC 4839 29
NGC 4911 16
NGC 4848 8
α = 12:54:05.7, δ = 28:08:59
nutzt werden. Zwei physikalisch verstehbare Methoden sind Supernovae Tab. 1.57: Coma
vom Typ Ia und die Tully-Fisher Relation für die Breite der 21 cm Radiolinie. Beide liefern in etwa
übereinstimmende Ergebnisse.
Der Entfernungsmodul ∆m beträgt für Virgo und Coma ∆m = 3.7 oder
DComa = 5.5DVirgo
(1.244)
Daraus folgt (nach Pierce) für Coma eine Entfernung D = 82 Mpc (und einem Durchmesser d = 8
Mpc, m − M = 35.27, m = 14.7). Wenn wir h = 0.5 setzen und DVirgo = 20 Mpc benutzen, erhalten
wir dagegen DComa = 110 Mpc. Dies ist der Wert, den wir in Zukunft zugrunde legen werden.
Bzw. (nach Freedman) D = 94 Mpc. Der gemessenen Rotverschiebung entspricht eine Fluchtgeschwindigkeit
von v = 7 146 km s −1 .
Die (geschätzte) Masse M = 4·10 15 M⊙ liefert ein Masse/Leuchtkraftverhältnis M/L = 400(M⊙/L⊙).
Rotverschiebung: Das Hubble Gesetz
Wir definieren die Rotverschiebung z durch
λe
= ωe
ωo
(1.245)
wobei λo die Ruhwellenlänge (observiert im Laborsystem) und λe die emittierte Wellenlänge (der
1 + z = λo
Galaxie) ist. Dem entspricht in der SRT
�
1 + β
1 + z =
1 − β
oder umkehrt
β = (1 + z)2 − 1
(1 + z) 2 + 1
= z
1 + z
2
1 + z(1 + z
2 )
(1.246)
(1.247)

126 KAPITEL 1. GEOMETRIE
1929 publizierte Hubble sein Gesetz über den linearen Zusammenhang von Entfernung r und Rotverschiebung
z (unter Benutzung der Messungen der Rotverschiebung z von Slipher, gestützt auf die
Beobachtungen seines Mitarbeiters Humason und geleitet von Vorhersagen der Einsteinschen allgemeinen
Relativitätstheorie, ART):
oder
z = H
r (1.248)
c
v = Hr (1.249)
Die Größe H heißt Hubble Konstante, v ist die Flucht–Geschwindigkeit der Galaxie und c ist die
Lichtgeschwindigkeit. H −1 hat die Dimension einer Zeit und ist ein Maß für das Alter des Kosmos (s.
u.). Als Einheiten wählt man gewöhnlich für v 100 km/sec und für die Entfernung r das Mpc, sodaß H
die ’natürliche’ Einheit H = (100 km/sec)/Mpc oder
H −1 = 0.98 · 10 10
hat. Die entsprechende Längeneinheit ist
cH −1 = 0.9 · 10 28
yr = 9.8 Gyr (1.250)
cm = 2.6 · 10 9
pc (1.251)
Trotz vielfacher Anstrengungen in den letzten 50 Jahren konnte die Hubble Konstante H bestenfalls
bis auf einen Faktor zwei bestimmt werden, man schrieb deshalb
Ho = hH mit 0.5 < h < 1.0
Selbst die erste Bestimmung mit dem HST ergab einen viel zu grossen Wert. Mit der Entfernung
D = 82 Mpc (für den Coma-Haufen) und v = 7 146 km/sec (z ≈ 7/300) liefert das H0 = v/D = 87
km s −1 Mpc −1 , d. h.
h = 0.87 (1.252)
entsprechend einem Alter des Kosmos von etwa 10 Gyr (s. u.).
• ZUSATZ (ANMERKUNGEN)
Hubbles ursprünglicher Wert von h war 5 und damit das Alter des Universums nur 1.5 Gyr, kleiner als das Alter der Erde
(nach Berechnungen der Geologen damals). Hubble hat seinen zu kleinen Wert dennoch vertreten.
Nimmt man das Standardmodell des Kosmos, dann ist das Alter, welches aus h = 0.87 folgt, t = 2
3h H−1 und das liefert
nur 7.5 Gyr, wesentlich weniger als 10 Gyr, die man für ein offenes Modell erhält.
Mithilfe der Rotverschiebung z kann man (im linearen Bereich z ≪ 1 jedenfalls) die Entfernung eines
Objekts angeben, falls z gemessen ist. Quasare haben lange Zeit (als Klasse) die größten gemessenen
Rotverschiebungen, insbesondere für z > 1 gehabt. Aber auch die lichtschwächeren Galaxien
erreichen mittlerweile z = 5, einzelne (durch eine Linse verstärkte) übertreffen sogar die Quasare.
Indirekt kann man sogar mittlerweile die Existenz von Galaxien mit z ≈ 5 . . . 6 nachweisen (über ihre
Leuchtkraft und ihre Farbe).
Vollkommen unerwartet war 1991 Entdeckung einer Protogalaxie, Quelle F10214+4724 im IRAS Katalog,
mit einer Rotverschiebung von z = 2.286. Gesehen wird allerdings der CO(3 → 2) Rotationsübergang,
welcher von λr = 850µm nach λ = 3 mm verschoben ist. Erste Abschätzungen ergaben,
daß die gesamte bolometrische Leuchtkraft der Quelle im IR sich auf L ≈ 10 14 L⊙ belaufen müßte.
Dem würde ein vollkommen neuer Typus von Galaxie (im Urzustand?) entsprechen. Mittlerweile weiß
man aber, daß die Strahlung durch eine Gravitationslinse gebündelt (um einen Faktor von etwa 10
. . . 30 verstärkt) wird.

1.6. SYNOPSIS UND AUSBLICK 127
1.6 Synopsis und Ausblick
Wir haben gesehen, wie sich die Vorstellung von Größe und Beschaffenheit des Universums im Laufe
der Jahrhunderte geändert hat. Die Erde ist aus ihrer zentralen Rolle verdrängt. Sie kreist im Abstand 1
AE in einem Jahr um die Sonne, diese im Abstand von 8000×206 265 AE (= 8 kpc) in 250 Myr um das
Galaktische Zentrum. Dieses wieder kreist um den Schwerpunkt Milchstraße - Andromeda (Abstand
700 kpc, Periode 5 Gyr). Die Bewegung dieses Schwerpunkts selbst wird vom (ungesehenen) Grossen
Attraktor bestimmt, die Milchstraße fällt mit etwa 200 bis 250 km s −1 ins Zentrum des Virgo Haufens.
Die Bewegung des Schwerpunkts Virgo plus Grossem Attraktor hat eine vergleichbare Geschwindigkeit
(von etwa 300 km s −1 , in Richtung auf Hydra-Centaurus hin). Insgesamt bewegt sich die Lokale
Gruppe mit etwa 600 km s −1 (die direkt messbare Geschwindigkeit des LSR beträgt dagegen 370 km
s −1 ).
Der grosse Attraktor bewegt sich im Feld des Virgo Haufens. Dieser wiederum gehört zu einem Superhaufen.
Damit ist die Dimension lokaler Verdichtungen auf 100 Mpc angewachsen und die Masse auf
10 15 M⊙. Eines der Hauptziele beim Bau des Hubble Space Teleskops war die verläßliche Bestimmung
dieser Entfernungen anhand von Eichstandards. Nach anfänglichen Schwierigkeiten konvergieren die
Messdaten (besser: ihre Interpretation) nunmehr in Richtung einer Hubblekonstanten von H = 50 km
s −1 , entsprechend h = 0.5.
Ähnliche Werte liefert eine unabhängige Methode, die Entfernungen quer durch das Universum mithilfe
von Supernovae vom Typ Ia als Eichstandards benutzt. Dabei stellt sich heraus, daß alle in unserer
näheren Umgebung entdeckten Objekte wie Atome (im Plasma und Sternatmosphären), Moleküle (in
Wolken), Sterne (in Galaxien) usw. bereits zu sehr früher Zeit, wo das Universum noch sehr viel jünger
war, vorhanden sind. Die eigentliche Geburt muß demnach sehr schnell verlaufen sein.
Bis zu Entfernungen von 100 Mpc ist die Newtonsche Gravitationstheorie eine adäquate Beschreibung
der Dynamik. Damit ergeben sich neue Möglichkeiten, Entfernungen zu bestimmen. Gleichzeitig liefert
die Dynamik aber auch Zeitskalen. Diese sind, wie später genauer gezeigt wird, meist zu kurz.
Daraus folgt das (nicht neue) Altersproblem des Universums: der Kosmos scheint Objekte zu beherbergen,
die älter sind als er selbst zu der Zeit, da die Objekte ihre Strahlung ausgesandt haben.
Ein Beispiel ist die Radiogalaxie 53W091, die etwa doppelt so alt ist (4 Gyr) wie das Universum zu
der Zeit, die der Rotverschiebung (2 Gyr bei z = 1.55) entspricht.
• LITERATUR (RADIOGALAXIE 53W091)
1. Dunlop, J. and Peacock, J. and Spinrad, H. and 4 authors, [DPSa96]
A 3.5 Gyr-old galaxy at redshift 1.55, Nature 381, 581 - 584, 1996
2. Kennicutt, R.C., [Ken96]
An old galaxy in a young Universe, Nature 381, 555 - 556, 1996
3. Kennicutt, R.C.
A meeting of Hubble constants, Nature 381, 555, 1996
Auch die Einmaligkeit der Erde ist aufgehoben, niemand zweifelt mehr an der Existenz extrasolarer
Planeten mit erdähnlicher Beschaffenheit. Neben Astrophysik und Astrochemie gibt es deshalb
mittlerweile eine eigenständige Astrobiologie (und ein Programm ’SETI at home’ für die Suche nach
extraterrestrischem Leben).
1.6.1 Synopsis
Die Entfernungshierarchie in lokalen Einheiten
Zum Schluß betrachten wir die Entfernungshierarchie nochmals vom Standpunkt der Erde aus.
Wir gehen zurück auf die Erde mit ihrem Radius und ihrer Atmosphäre. Vergleicht man nun

128 KAPITEL 1. GEOMETRIE
die lokale Entfernungsskala (Grundmaß Erdradius
R⊕ = 6.378 · 108 cm) mit der kosmischen Entfernungs-Vergleich in lokalen Einheiten
Entfernungsskala (Grundmaß Parsec, pc, abgeleitet
von der Bahn der Erde um die Sonne und
dem Auflösungsvermögen von Teleskopen aufgrund
der Erdatmoshäre), so stellt man erstaunliche
(aber zufällige) Parallelen fest. Anstelle der
Grundmasse Erdradius R⊕ und Parsec kann man
auch die beiden Bahnradien Umlauf der Erde um
die Sonne (AE) und Umlauf der Sonne um das
Grundmaß
R⊕
Mond
Sonne
Maßzahl
60
2·10
Grundmaß
Parsec
Hyaden
Maßzahl
50
Zentrum der Galaxis (8 kpc) benutzen: die nächsten
4 gal. Zentrum 104 Oort- Virgo Haufen 2·107 Wolke 108 Coma Haufen 108 Stern 6·109 Radius Universum 4·109 Tab. 1.58: Entfernungs-Vergleich
Sterne haben dieselbe Parallaxe von der Erdbahn aus gesehen wie die entferntesten Quasare von der
Sonnenbahn aus gesehen. Leider dauert der Umlauf der Sonne um das Galaktische Zentrum 250 Myr.
Die Stufen der kosmischen Entfernungsleiter
• FORMELN (DIE KOSMISCHE ENTFERNUNGSLEITER)
1. Primäre Standards
Grundeinheit: Erdradius RE = 6.4 · 10 8 cm.
Entfernung Erde-Mond DErde−Mond = 60.2 RE (Eratosthenes).
Die Astronomische Einheit: Entfernung Erde-Sonne
1 AE := DErde−Sonne = 1.49 · 10 13 cm
Theorie zur Bestimmung:
DErde−Sonne = (PErde/PP lanet) 2/3 DErde−P lanet
Messung: 1672 von Cassini am Mars und 1835 von Encke an der Venus
Ergebnis: 1 AE = (damals) 23.000 RE (heute, Radar)
1AE = 149 597 892 km
Die Erdbahn als Basis der Parallaxensekunde liefert das Parsec, pc
1pc = 206 265 AE
wobei der Umrechnungsfaktor (360·60·60/2π) ist. Die Entfernung zum nächsten Stern beträgt etwa 270.000
AE.
2. galaktische Entfernungseinheit, GE
Die Entfernung zu den Hyaden. 1 GE = 46 pc. (enthält keine Veränderlichen Sterne)
main sequence fitting an den Plejaden und an Praesepe liefert Entfernungsmodule bis D = 180 pc.
RR Lyrae Sterne haben L = const mit L = 100L⊙.
Cepheiden (I und II). Standardkerze LI = 500L⊙(P/day) und LII = 125L⊙(P/day).
3. Sekundäre Standards (bis zum Virgo Haufen)
Die hellsten Sterne
Hubble benutzte M = −6.1 heute M = −9.3.
hellste Kugelsternhaufen haben MV = −9.8.
hellste Galaxien (ScI Galaxien) haben MV = −21.68
4. moderne Alternativen

1.6. SYNOPSIS UND AUSBLICK 129
die Tully-Fisher Relation
benutzt die Breite der 21 cm HI Linie einer ganzen Spiralgalaxie. Es gilt empirisch
M = −3.5 − 6 log(W/ sin i) (1.253)
Hier ist W die mittlere Breite der 21-cm Radio Linie in elliptischen Galaxien in km s −1 und i der Inklinationswinkel
der Spiralgalaxie. Damit kommt man etwa 200 Mpc weit, entsprechend einer Hubble Fluchtgeschwindigkeit
von 10 4 km s −1 bei h = 0.5.
Faber-Jackson Relation
optisches Analogon zur Tully-Fisher Relation.
5. kosmologische Standards
Der Coma-Haufen
Der letzte Eichstandard (kurze Skala) ist der Coma-Haufen. Entfernung D = 140 Mpc, v = 7.000 km/sec,
(z = 7/300 = 0.025). Durchmesser d = 8 Mpc, m − M = 35.27, m = 14.7. Die Rotverschiebung entspricht
einer Fluchtgeschwindigkeit von v = 7.000 km/sec.
Rotverschiebung
das kosmologische Entfernungsnormal, Def.:
1 + z = λo
λe
= ωe
ωo
z = Hr/c oder v = Hr. (H : Hubblekonstante; c : Lichtgeschwindigkeit).
(1.254)
das Alter des Kosmos, H −1 .
(Einheiten v: 100km/sec; r : Mpc; H : (100km/sec)/Mpc). Obige Entfernung für den Coma-Haufen liefert
H = 7000/140 = 50 km/secMpc entsprechend einem Alter des Kosmos von 20 Gyr (für ein nahezu leeres
Universum).
1.6.2 Ausblick
Die beiden Hauptziele beim Bau des Hubble Space Teleskops waren
1. Bestimmung kosmolgischer Eichstandards,
2. Nachweis der Dunkelmaterie.
Beide Ziele wurden nicht erreicht, was nicht am HST liegt, sondern an Erkenntnissen, die erst im
Nachhinein verständlich werden.
Bestimmung kosmolgischer Eichstandards
Nachweis der Dunkelmaterie

130 KAPITEL 1. GEOMETRIE

Kapitel 2
Gravitation: Grundlage der Astrophysik
2.1 Einleitung
Mechanik und Gravitation wurden als erste physikalische Theorien konzipiert und als Himmelsmechanik
ausgearbeitet. Mit diesen werden wir uns im folgenden befassen. Sie sind auch heute noch Grundlage
der Massenbestimmung kosmischer Objekte wie Kometen, Planeten, Sterne und sogar Galaxien.
Endziel solcher Beobachtungen ist es, das Universum als Ganzes zu wiegen, d. h. seinen Masseninhalt
nebst Hierarchie zu bestimmen.
Sieht man von den beiden Disziplinen Mechanik und Gravitation einmal ab, dann hat es bis zur Jahrhundertwende
keine richtige Astrophysik gegeben. Das ist nicht verwunderlich, da zum Verständnis
der Sterne die Quantenphysik unabdingbar ist.
• ANMERKUNG (ARCHAISCHE BEZEICHNUNGEN IN DER ASTRONOMIE)
So ist es verständlich, aber nicht nur für Studenten außerordentlich hinderlich, daß die Astronomie einen Wust archaischer
Bezeichnungen und falscher physikalischer Begriffe mit sich herumschleppt. Hier eine kleine Liste:
• Anomalie.
Wahre und exzentrische Anomalie sind zwei Beispiele aus der Urzeit der Planetenbewegung. Sie sind ein Maß für
die Abweichung von der Kreisbahn, welche als normal (genauer als wünschenswert bzw. perfekt) angesehen wurde.
• Verbotene Linien.
Solche Linien im Spektrum bedeuten keinesfalls, daß hier gegen Gebote der Physik verstossen wird, sondern, daß
sie empirisch unter Laborbedingungen nicht auftreten.
• Präzession und Nutation.
Die erzwungene Präzession der Erde im Feld des Mondes heißt Nutation, während die freie Nutation der Erde
Chandler Wobble genannt wird.
• Galaxie und galaktisch.
Bis zum Beginn des 20ten Jahrhundert waren die Bezeichnungen Milchstraße (Milch der gr. Göttin Hera) und Galaxie
synonym. Heute unterscheidet man zwischen Galaxis = Milchstraße und (einer extragalaktischen) Galaxie.
Beim Adjektiv galaktisch versagt diese Möglichkeit, in älteren Darstellungen wird manchmal galaxisch (engl. galaxian)
verwendet.
Super-Novae, Pulsare, kosmische Maser, Quasare und kosmische Ausbrüche von γ - Strahlung, (engl.
γ–ray bursts), sind aktuelle Beispiele von Objekten bzw. Phänomenen, die man (auch nach bis zu
50 Jahren nach ihrer Entdeckung) heute nicht erklären kann. Ob die Bezeichnung immer korrekt ist,
darf bezweifelt werden: Pulsare pulsieren nicht, sie rotieren. Falls die Objekte aber in Binärsystemen
auftreten oder falls sie als Gravitationslinse fungieren, dann kann wenigstens ihre Masse bestimmt
werden.
Da das Binärsystem nicht direkt vermessen werden kann, sind noch einige zusätzliche Überlegungen
notwendig. Direkt beobachtet wird nämlich nur die zeitliche Abbildung des Systems (mithilfe von
131

132 KAPITEL 2. GRAVITATION
Licht oder Radiowellen) parallel oder senkrecht zum Sehstrahl. Und zwar entweder die Dopplerverschiebung
von Spektrallinien bzw. die Pulsankunftszeiten von Signalen (Radiopulsen) oder (bei nahen
Doppelsternen und Planetensystemen) die Parallaxe.
Die Spektroskopie und damit die Chemie der Sterne geht zwar auf Fraunhofer bzw. Kirchhoff und
Bunsen zurück, verstanden werden konnte sie jedoch nur mit der Quantenmechanik, also ebenfalls erst
zu Beginn dieses Jahrhunderts.
Wie wir später zeigen wollen, werden Sterne in dichten Wolken geboren, welche aus Material bestehen,
welches selbst wieder in Sternen gekocht wurde. Wie wir aus Beobachtungen von solchen
Molekülwolken wissen, ist das Hauptausgangsmaterial heute Wasserstoff, H, und Helium, He, mit einer
Beimischung von schwereren Elementen wie C, N, O mit etwa 10 −3 Massenanteil und mit bis zu
1% Staub. Die numerische kosmische Häufigkeit von Fe und Si beträgt etwa 3·10 −5 , was einer Massenhäufigkeit
von ebenfalls etwa 1:1000 entspricht. Obwohl sie nur als Spurenelemente vorkommen,
sind die Metalle für das Aussehen und Kühlen der Sterne wesentlich. Bei Molekülwolken übernimmt
Staub diese Rolle.
Zum Nachweis des Vorhandenseins bestimmter chemischer Elemente benötigt man das Spektrum der
Elemente, welches für jedes Element so charakteristisch ist, wie der Fingerabdruck oder der genetische
Code beim Menschen. Dabei kann man aus dem Dopplereffekt an einer einzelnen Linie auf die
Geschwindigkeit der Wolke oder des Sterns schließen; für den Quotienten zweier Linien kürzt dieser
sich jedoch heraus: so kann man zeigen, daß im gesamten Universum die gleichen Atome und
Moleküle vorhanden sind und es keine anderen gibt.
Die Linienintensitäten schließlich geben Auskunft über die kosmische Häufigkeit und die Anregungsbedingungen.
Zur quantitativen Bestimmung der Häufigkeiten, welche aus der Linienstärke resultiert,
muß man neben den Anregungsbedingungen des Mediums, also atomare Wirkungsquerschnitte, Dichte
und Temperatur, auch den Strahlungstransport verstehen (Quantenmechanik). Dazu ist bei Atomen
und Molekülen die Saha Gleichung die wesentliche Grundlage.
Damit erst kann man dann auch die Linienform zur Interpretation der physikalischen Bedingungen heranziehen.
Man findet in Sternatmosphären, Wolken, Nebeln und Supernova - Überresten Bedingungen,
wie sie im Labor nicht zu realisieren sind. In der Sprache der Astronomen entdeckt man ’verbotene Linien’,
also Linien, die im Labor nicht vorkommen, da die Physik dort meist stossdominiert ist. Man
findet auch Elemente, die im Labor nur schwer oder gar nicht herzustellen sind, etwa Radikale wie H −
in der Sonnenatmosphäre.
Bei noch extremeren Situationen, wie sie bei akkretierenden Röntgensternen oder bei Radio Pulsaren
vorliegen, ist die Physik noch weitgehend unverstanden. Dies gilt auch für die kosmischen Maser. So
ist es z. B. bis heute noch nicht gelungen, eine Linie vorherzusagen, die anschließend auch beobachtet
wurde.
2.2 Mechanik und Newtonsche Gravitationstheorie
• DEFINITION (ZUM NACHSCHLAGEN)
Wir definieren zum Nachschlagen für diese Kapitel folgende Größen.
α, Kopplungskonstante, α = GmM = Gm1m2, (Newton)
oder α = Z1Z2e 2 (Coulomb)
T , kinetische Energie T = (m/2)�v 2 ,
U, Gravitationsenergie U(r) = −α/r,
oder elektrische Wechselwirkungsenergie U(r) = Z1Z2e 2 (Coulomb)
M, Gesamtmasse M = m1 + m2 und
m, reduzierte Masse m = m1m2/M,
r, Abstandsvektor, gerichtet von 1 nach 2, �r = �x2 − �x1,
v, Relativgeschwindigkeit �v = d�r/dt
R, Schwerpunktsvektor � R := (m1�x1 + m2�x2)/M,

2.2. MECHANIK UND NEWTONSCHE GRAVITATIONSTHEORIE 133
P, Umlaufperiode,
V , Schwerpunktsgeschwindigkeit � V = d � R/dt.
Die hier benutzte Größe α ist also nicht wie sonst die Feinstrukturkonstante, sondern die vorzeichenlose Kopplungsstärke.
Die Wechselwirkungsenergie U(r) kann mithilfe des Potentials Φ auch wie folgt geschrieben werden.
U = m1Φ bzw. U = Z1eΦ
Die beiden Massenpunkte haben die Indizes 1 und 2. Für ein Teilchen gelten die folgenden Definitionen.
Für ein Teilchen
Impuls (Massenpunkt 1)
�p1 = m1�v1
Drehimpuls (Massenpunkt 1)
�j1 = �r1 × �p1
Für beide Massenpunkte mit Wechselwirkung zusammen
Gesamtenergie
oder
E = T + U = 1
E = − α(1 − e2 )
2p
Gesamtdrehimpuls
mit
2m1
(2.1)
(2.2)
p 2 1 + m2
2 v2 2 + U(|�x2 − �x1|) (2.3)
= − α
2a
�J = �r1 × �p1 + �r2 × �p2
PJ = 2mπab = 2mπp2
(1 − e 2 ) 3/2
Die Bahn ist eine Ellipse
p
= 1 + e cos φ (Kepler I) (2.7)
r
wo e die Exzentizität und p der Parameter der Ellipse sind. Damit gilt für die rein geometrischen Größen
p = α
� �2 J
m α
;
�
e = 1 + 2Ep
α
und letzteres umgekehrt in rein physikalischen Größen
und
e 2 − 1 =
2
G2m2 2
EJ
M 3
P = 2πa 3/2
� �
m m
= πα
α |E| 3
Die Newtonsche Gravitationstheorie ist eine Fernwirkungstheorie, die Kraft zwischen zwei Teilchen
wirkt instantan. Die Newtonsche Bewegungsgleichung zweier Massenpunkte mit Indizes 1 und 2 und
dem Abstand r = |�x1 − �x2| für den Fall rein gravischer Wechselwirkung lautet:
d�v1
m1
dt
d�v2
m2
dt
�x1 − �x2
= −Gm1m2
r3 12
�x2 − �x1
= −Gm1m2
r3 21
(2.4)
(2.5)
(2.6)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
Addition der beiden Gleichungen liefert ˙ V = 0, oder für die Schwerpunktsgeschwindigkeit � V =
d � R/dt = const. Im Schwerpunktsystem ist (per definitionem) const = � V = 0 und zusätzlich � R = 0.

134 KAPITEL 2. GRAVITATION
• ANMERKUNG (REDUKTION AUF DAS 1- KÖRPERPROBLEM)
Die Gesamtenergie ist wegen der Zeitunabhängigkeit, der Gesamtdrehimpuls wegen der Drehinvarianz erhalten. Für dieses
2- Körperproblem gibt es eine exakte Lösung, da es auf das 1- Körperproblem im gegebenen, statischen Potential
zurückgeführt werden kann. Newton selbst hat alle Beweise rein geometrisch geführt, die analytische Darstellung geht
auf Euler zurück. Eine besonders elegante Methode wurde von Lagrange gefunden. Sie wird bis heute zum Auffinden
physikalischer Theorien benutzt.
Aus der Lagrange-Funktion L für die beiden Massen
L = T − U = m1
2 v2 1 + m2
2 v2 2 − U(|�x2 − �x1|) (2.12)
wird die reduzierte 1-Teilchen Lagrange-Funktion
L = m
2
. 2
��r + M
2
. 2
��R −U(r) (2.13)
Die Schwerpunkt Koordinate R ist zyklisch, ∂L/∂R = 0, sodaß die Schwerpunkt- Geschwindigkeit (und Schwerpunktsenergie)
erhalten ist.
Wir gehen ins Schwerpunktsystem und setzen V = 0 und R = 0. Wir behandeln zunächst das reduzierte 1-Teilchen
Problem. Wir geben später die allgemeine Behandlung des Kepler Problems.
In sphärischen Koordinaten lautet die Lagrange-Funktion L:
L = 1
�
˙r
2m
2 + r 2 Θ˙ 2 2 2
+ r sinΘ φ˙ 2 �
− U(r) (2.14)
Zusätzlich zur Energie E und zum Drehimpuls J ist (als Besonderheit des Potentials U) noch der Laplace - Lenzsche
Vektor erhalten:
�LL = m�v × (�r × �v) + U�r ; U = α
r
Er hat den Betrag αe und ist vom Brennpunkt zum Perihel gerichtet. Physikalisch bedeutet der Erhaltungssatz, daß die
Bahnlage stabil ist: der Massenpunkt kehrt zu seinem Ausgangspunkt zurück.
Die Konstanz des Laplace-Lenzschen Vektors bedeutet also, daß die Bahn geschlossen ist und (wie
wir später zeigen werden) daß die Exzentrizität e bei kleinen
Störungen erhalten bleibt. Mathematisch impliziert dies, daß die
Bahn durch elementare Funktionen ausgedrückt werden kann.
Die einzige weitere Ausnahme, bei der beliebige Bahnen stets
geschlossen sind, ist der harmonische Oszillator (mit der Frequenz
ω). Dort ist (wie wir ebenfalls später zeigen werden) der
zusätzlich erhaltene Parameter E/ω.
In der nebenstehenden Abbildung ist (zur Illustration übertrieben)
Abb. 2.1: Keplerbahn
der Fall gezeigt, wo die Bahn pro Umlauf um 15 Grad fortschreitet.
Ein beliebiges Zentralpotential führt dagegen auf elliptische Integrale. Ein interessanter Fall, der exakt
gelöst werden kann, ist ein Potential der Form U = −αr−2 . Hier stürzt das Teilchen ins Zentrum, falls
ein kritischer Wert für den Drehimpuls unterschritten wird.
Die Bedeutung der beiden Potentiale, U = −ωr2 und U = −αr−1 wird später noch klar werden. Es
ist nicht übertrieben, zu sagen, daß etwa 90% der Physik mit diesen abgedeckt werden.
2.2.1 Die Keplerschen Gesetze
Im folgenden ist M die Gesamtmasse und m die reduzierte Masse
M = m1 + m2 ; m = m1m2
m1 + m2
(2.15)
(2.16)

2.2. MECHANIK UND NEWTONSCHE GRAVITATIONSTHEORIE 135
In die Newtonsche Bewegungsgleichung geht die reduzierte Masse m als inertiale Masse ein, die im
Feld der Gesamtmasse M beschleunigt wird. Sie lautet, im Bezugssystem, wo für die Schwerpunkt-
Geschwingigkeit V = 0 gilt:
m d�v
dt
= −GmM �r
r 3
Die inertiale Masse m fällt heraus.
• BEISPIEL (ELEMENTARE BERECHNUNG VON ENERGIE UND DREHIMPULS)
1. Skalarmultiplikation von (2.17) mit �v liefert mit �v = d�r
dt
m�v d�v
dt
den Energiesatz,
oder
= −GmM �r
r 3
d�r
dt
˙E = d
� �
1 GmM
m�v − = 0
dt 2 r
(2.17)
E = T + U = const (2.18)
2. Vektormultiplikation von (2.17) mit �r liefert d � J/dt = 0, d. h. den Drehimpulserhaltungssatz, also
�J = �r × �p = const (2.19)
Die Bewegung verläuft in einer Ebene senkrecht zu � J. Schwieriger ist es, die Erhaltung des Laplace - Lenzschen Vektors
�LL
zu zeigen.
�LL = m�v × (�r × �v) + U�r ; U = α
r
Wir nutzen die Symmetrie aus und betrachten die Lösung in sphärischen Koordinaten (r, Θ, φ) in der
Äquatorebene (Θ = π/2). Die Lagrange-Funktion L = T − V
L = m
2
(2.20)
�
˙r 2 + r 2 ˙ φ 2 �
− U(r) (2.21)
enthält den Winkel φ und die Zeit t nicht explizit, was zwei der drei Konstanten der Bewegung liefert.
Die dritte muß man direkt ausrechnen. Wir haben dann die folgenden Konstanten der Bewegung:
1. Drehimpuls J :
2. Energie E :
J = mr 2 ˙ φ (2.22)
E = m
2
�
˙r 2 +
3. Laplace - Lenzscher Vektor � LL:
2 J
m2r2 �
+ U(r) (2.23)
�LL = m�v × (�r × �v) + U�r ; U = α
r
(2.24)

136 KAPITEL 2. GRAVITATION
Die Bahn überstreicht das infinitesimale Flächenelement dF = (r 2 /2)dφ, sodaß aus der zeitlichen
Konstanz vom Drehimpuls J der Flächensatz, Kepler II, folgt:
F ˙ = 1
2m J = const = r2φ ˙ (2.25)
Nach einem Umlauf in der Zeit P beträgt die Fläche F = πab, woraus J/m berechnet werden kann.
Damit erhalten wir für J
PJ = 2mπab = 2mπp2
(1 − e 2 ) 3/2
(2.26)
mit der Periode P. Die beiden Konstanten der Bewegung (2.22) und (2.23) liefern die Bahngleichung
in Polarkoordinaten in der Bahnebene:
dφ
dr =
J
r2 �
2m[E − U(r)] − (J/r) 2
(2.27)
Falls es sich bei U(r) um ein 1/r Potential (Kepler- bzw. Coulomb- Problem) oder ein r 2 Potential
(harmonischer Oszillator) handelt, erhält man einen Kegelschnitt. Die beiden wichtigsten Typen sind
Ellipse und Hyperbel, mit den Sonderfällen Kreis bzw. Parabel.
• ANMERKUNG (HAUPTACHSENDARSTELLUNG)
Für die Kegelschnitte gilt die Darstellung in kartesischen Koordinaten
x 2
a
2 ± y2
= 1
b2 Diese Darstellung heißt Hauptachsendarstellung, a ist die große Hauptachse und b die kleine Hauptachse. Das Pluszeichen
liefert eine Ellipse. Die Polargleichung von Ellipse (+) bzw. Hyperbel (−) vom Mittelpunkt aus mit ρ für den Abstand und
θ für den Winkel
ρ 2 = ±
b 2
1 − e 2 cos 2 θ
Man erhält
1. für E < 0 eine Ellipse (Kepler I) bzw.
2. für E > 0 eine Hyperbel und
3. für E = 0 als Sonderfall eine Parabel.
Die Kreisbahn ist darurch ausgezeichnet, daß sie die größte Bindungs - Energie besitzt. Für gebundene
Bahnen, E < 0, lautet die Parameterdarstellung der Ellipse bezogen auf den Brennpunkt
p
= 1 + e cos φ (Kepler I) (2.28)
r
wo e die Exzentizität und p der Parameter der Ellipse sind. Dabei gilt
p = α
m
� �2
J
α
; e =
�
1 + 2Ep
α
(2.29)
wo für die Bahngleichung r vom Brennpunkt aus gemessen wird.
Für E < 0 ist e < 1 und für E > 0 ist e > 1. Die Variable φ heißt wahre Anomalie (Winkel bezogen
auf den Brennpunkt der Ellipse, ab Perihel im Gegenuhrzeigersinn gemessen).
Wie Glchg. (2.29) zu ersehen, ist der Parameter der Ellipse p für gegebene Kopplungsstärke α und
Masse m ausschließlich durch den Drehimpuls gegeben. Löst man Glchg. (2.29) nach E auf
E = − α(1 − e2 )
2p
so findet man die physikalische Bedeutung der Exzentizität:
(2.30)

2.2. MECHANIK UND NEWTONSCHE GRAVITATIONSTHEORIE 137
Von allen Bahnen zu gegebenem p, d. h. zu gegebenem J und α (geometrische Gesamtmasse:
α = GmM = Gm1m2) hat die Kreisbahn die größte Bindungsenergie.
Falls ein Binärsystem nur seine Energie, nicht aber seinen Drehimpuls, dissipieren kann (z. B. weil der
Hebelarm wie beim Erde - Mond System fehlt), wird das System immer runder (und weiter).
Die kleine Halbachse b und die grosse Halbachse a der Ellipse kann man durch Energie E und Drehimpuls
J wie folgt ausdrücken, s. Glchg. (2.29):
a = p α
=
1 − e2 2|E|
; b =
p
√ 1 − e 2 =
Eliminiert man E und benutzt J = 2mπab,
PJ = 2mπab = 2mπp2
(1 − e 2 ) 3/2
so folgt das dritte Keplersche Gesetz
� �2 2π
= Ω
P
2 = GM
a3 J
�
2m|E|
(2.31)
(2.32)
(2.33)
Die Extrema, f ′ (rmin) = f ′ (rmax) = 0, von r, vom Brennpunkt aus gemessen, heißen Librationspunkte.
Für sie gilt
und
rmin = p
1 + e
rmax = p
1 − e
= a(1 − e) Perihelabstand (2.34)
= a(1 + e) Aphelabstand (2.35)
Aus ihnen kann die Exzentrizität der Bahn bestimmt werden. Für die Bindungsenergie ergibt sich dann
E = − α(1 − e2 )
2p
= − α
2a
(2.36)
und es gilt 2T + U = 0 (Virialsatz).
Damit haben wir eine vollständige Beschreibung der Bewegung mithilfe der geometrischen Größen
p und e erhalten. Für die direkte Beobachtung (Dopplerverschiebung
an optischen Binärsystemen oder Pulsankunftszeit an Radiopulsaren
mit Begleitern) ist diese Beschreibung der Bewegung
aber nicht geeignet. Gesucht werden möglichst einfache Ausdrücke
für die Orts- und Geschwindigkeitsvariablen x und y, bzw.
˙x und ˙y, als Funktion der Zeit des Beobachters t.
Dazu betrachtet man nach Bessel die exzentrische Anomalie Φ.
Bisher war φ die wahre Anomalie (Winkel bezogen auf den
Brennpunkt der Ellipse, ab Perihel im Gegenuhrzeigersinn gemessen),
jetzt wird stattdessen Φ, die exzentrische Anomalie
(Winkel bezogen auf Mittelpunkt zwischen beiden Brennpunk-
Abb. 2.2: Anomalie
ten eines Kreises mit Radius a) betrachtet.
In der Abbildung ist zu den Winkeln jeweils π hinzuzuzählen, zur besseren Lesbarkeit ist hier vom
Aphel nicht vom Perihel aus gezählt.

138 KAPITEL 2. GRAVITATION
In Parameterform gilt damit für die Bahn:
r = a(1 − e cos Φ) (2.37)
x = a(cos Φ − e) y = a √ 1 − e2 �
sin Φ (2.38)
t = ma3 /α(Φ − e sin Φ) + to
�
(2.39)
T = 2π ma3 /α M = 2πt/T (2.40)
Der Winkel Φ heißt exzentrische Anomalie. Der Winkel ist bezogen auf den Mittelpunkt zwischen
beiden Brennpunkten eines Kreises mit Radius a, ab Perihel im Gegenuhrzeigersinn gemessen:
und es gilt:
ae + x = acosΦ (2.41)
cos Φ =
sin Φ =
tan Φ
2 =
e + cos φ
1 + e cos φ
√
1 − e2 sin φ
1 + e cos φ
�
1 − e φ
tan
1 + e 2
Als dimensionslose Zeit definiert man (nach Bessel) die Größe M. Sie heißt mittlere Anomalie.
(2.42)
(2.43)
(2.44)
• ANMERKUNG (RECHNUNG)
Zum Beweis dieser Formeln beachte man folgendes: Glchg. (2.42) ist die Definition von Φ, Glchg. (2.43) folgt durch
Quadratur; bleibt Glchg. (2.44) zu beweisen. Dazu benutzt man die Formel für den halben Winkel:
tan Φ
2
=
sinΦ
1 + cosΦ
quadiert diese und ersetzt sin 2 Φ durch 1 − cos 2 Φ = (1 + cosΦ)(1 − cosΦ) und kürzt einmal. Das liefert
1 − cosΦ
1 + cosΦ
Auflösen nach z liefert
cosΦ =
= 1 − e
1 + e
1 − z
1 + z
1 − cosφ
1 + cosφ
= z
und das schließlich Glchg. (2.42).
Die Umkehrformeln zu Glchg. (2.42) und (2.43) erhält man durch die Substitution e → −e.
sin φ = � 1 − e2 sin Φ
1 − e cos Φ
cos φ =
cos Φ − e
1 − e cos Φ
Im folgenden benutzen wir Die Bezeichnungen
1. für die Periode: P bzw.
2. für die Umlauf - Frequenz: Ω und
3. für die grosse Halbachse: a.
(2.45)
(2.46)

2.2. MECHANIK UND NEWTONSCHE GRAVITATIONSTHEORIE 139
Sie sind durch Kepler III wie folgt verknüpft:
� �2 2π
= Ω
P
2 = GM
a3 (2.47)
wie man aus Glchg. (2.39) erhält. Ersetzen von a in der Kepler Formel (mithilfe von Glchg. (2.33))
liefert, daß die Periode
P = 2πa 3/2
� �
m m
= πα
α |E| 3
(2.48)
nur von der Energie abhängt, im Falle gravischer Wechselwirkung hängt diese darüber hinaus nur von
der Gesamtmasse ab!
• ANMERKUNG (NÜTZLICHE FORMELN ZUR BERECHNUNG DES LAPLACESCHEN VEKTORS AM PERIHEL)
Zur Berechnung des Laplace-Lenzschen Vektors und für späteren Gebrauch geben wir einige nützliche Formeln.
und
˙φ = J
=
mr2 2π
P (1 − e2 (1 + e cos φ)2
) 3/2
vφ = r ˙ φ = J J
= (1 + e cos φ)
mr mp
Damit wird der erste Term des Laplace-Lenzschen Vektors
rv 2 φ =
� �2 J
p(1 + e cos φ) = α(1 + e cos φ)
mp
Am Perihel also, wo ˙r = 0, wird LL = rv 2 φ − α und daraus folgt LL = eα.
Ferner folgt
e = rmax − rmin
=
rmax − rmin
vmax − vmin
vmax − vmin
Daraus kann, bei normaler Lage der Ellipse, die Exzentrizität bestimmt werden.
2.2.2 Streuung: Die Rutherford-Formel
• ANMERKUNG (KOORDINATEN)
Die Polarkoordinaten r und φ beziehen sich auf den Brennpunkt; φ gemessen ab Perihel; x, y, Φ sind kartesische Koordinaten
bezogen auf den Koordinatenursprung. Im folgenden ist wieder M die Gesamtmasse und m die reduzierte Masse
M = m1 + m2 ; m = m1m2
m1 + m2
Die Kopplungskonstante ist α = GmM = Gm1m2 (Newton) oder α = Z1Z2e 2 (Coulomb).
Für Streuzustände gilt E > 0, d. h. Exzentrizität e > 0. Die Hyperbel hat im Falle von Anziehung die
Bahngleichung:
p
r
mit rmin = p
e+1
(2.49)
= 1 + e cos φ (2.50)
= a(e − 1) und
x = a(e − cosh Φ) y = a(e 2 − 1) 1/2 sinh Φ (2.51)
t = (ma 3 /α) 1/2 (e sinh Φ − Φ) + to (2.52)

140 KAPITEL 2. GRAVITATION
Der Zusammenhang zwischen den Winkeln φ (wahre Anomalie) und Φ (exzentrische Anomalie) ist:
sinh Φ = √ e2 sin φ
− 1
1 + e cos φ
cosh Φ
tan
=
e + cos φ
1 + e cos φ
Φ
2 =
�
e − 1 φ
tan
e + 1 2
Der differentielle Streuquerschnitt dσ ist definiert als
dabei ist
die Anzahl der ins Winkelelement do gestreuten Teilchen pro Stromstärke und Zeiteinheit
Stromstärke = Teilchenzahldichte×Geschwindigkeit = nv des Strahls der Teilchen.
dσ = 1
nv
(2.53)
(2.54)
(2.55)
dN
do (2.56)
dt
Gewöhnlich schreibt man dies in der Form
dN
= n v
dt
dσ
do
Diese Definition des Streuquerschnitts bezieht sich auf die Streuung an einem einzelnen Targetteilchen.
Die Streurate an Nj Targetteilchen erhält man also duch Multiplikation mit Nj = njV wenn V das
Volumen ist. Bezeichnen wir die Streuteilchen noch mit Index i und den Betrag der Relativgeschwindigkeit
mit vij, so kann man das wie folgt schreiben:
˙Ni =
1
σvijninjV (2.57)
1 + δij
Dabei haben wir berücksichtigt, daß bei der Streuung identischer Teilchen nur die Hälfte Streuteilchen
und die andere Hälfte Targetteilchen sind. Die Formel ist symmetrisch in Streu- und Targetteilchen,
Division durch Ni = niV liefert die Stossrate
1
τ = ˙ Ni
Ni
=
1
1 + δij
α
mv 2 i ρ
σ vij nj
(2.58)
oder einfacher
1
= nσv (2.59)
τ
In dieser Form werden wir sie in Zukunft für einfache Abschätzungen benutzen. Falls die Teilchen
Elementarteilchen mit halbzahligem Spin sind, dann muß dies im Wirkungsquerschnitt berücksichtigt
werden.
Bei der Streuung werden alle Teilchen, die einlaufend mit der Anfangsgeschwindigkeit vi den Zylinder
mit Ringfläche 2πρdρ durchsetzen, um den Winkel χ = π −2φ abgelenkt, dh. ins Raumwinkelelement
do = 2πsinχdχ gestreut.
Wir integrieren Glchg. (2.27) und erhalten für die Änderung des Winkels φ bis zum Perihel für Coulombstreuung:
�
drJ(r)
∆φ =
r2 h
�
= arccos
2m[E − U(r)] − (J/r) 2 (1 + h2 , (2.60)
) 1/2
h =
E = m
2 v2 i J = mρvi (2.61)

2.2. MECHANIK UND NEWTONSCHE GRAVITATIONSTHEORIE 141
wobei E und J durch die physikalischen Parameter Anfangsgeschwindigkeit vi und Stossparameter ρ
ersetzt wurden. Der Ablenkwinkel χ ergibt sich zu χ = π − 2∆φ und mit Glchg. (2.60) kann man das
umrechnen in
oder
π − χ
ctg∆φ = h = ctg
2
tan χ
2
= h = α
mv 2 i ρ
Daraus folgt schließlich die Rutherfordsche Formel
dσ = 2πρdρ =
� α
2mv 2 i
� 2
do
4 χ
sin 2
(2.62)
(2.63)
wobei do das Raumwinkelelement ist.
Der Wirkungsquerschnitt ist nicht vom Vorzeichen abhängig und stimmt auch quantenmechanisch,
falls die Teilchen verschieden sind. Für Coulombstreuung ersetzen wir noch α = e 2 und schreiben mit
dem klass. Elektronenradius re = e 2 /mc 2 und der Fläche σe = r 2 e
dσ = σe
� �
c 4 do
v sin4 (χ/2)
(2.64)
Im Schwerpunktsystem wird die Energie der Teilchen nicht geändert (elastischer Stoss), sondern nur
die Richtung des Impulses.
Wir betrachten jetzt die Energie, die das einlaufende Teilchen (Index 1) an das Target Teilchen (Index
2) überträgt und zwar für ein ursprünglich ruhendes Teilchen 2 (Laborsystem). Es gilt, falls v die
Geschwindigkeit von 1 ist
v2 = ∆v = 2(m/m2)v sin(χ/2) (2.65)
Zusammen mit Glchg. (2.62) hat man somit eine Parameter Darstellung Stossparameter ρ und Geschwindigkeitsübertrag
∆v. Für kleine Ablenkwinkel ergibt sich
∆v ≈ 2Gm1
ρv
Mit der reduzierten Masse m und der Gesamtmasse M geben wir nun nützliche Relationen für Impulsund
Energieübertrag, die wir später benötigen.
∆v
v
∆E
E
= 2 m1
m1 + m2
�
m
= 4
m2
sin(χ/2) (2.66)
� 2
sin 2 (χ/2) (2.67)
Von der Anfangsenergie (m1/2)v 2 wird also maximal der Bruchteil Q
übertragen.
Q = 4m1m2 m
= 4
(m1 + m2) 2 M
≤ 1 (2.68)
• ANMERKUNG (MAXIMALER ENERGIEÜBERTRAG)
Das Maximum wird beim zentralen Stoß erreicht, wo das Teilchen reflektiert wird. Q = 1 gilt für m1 = m2. In diesem
Fall kann die gesamte Energie von Teilchen 1 auf Teilchen 2 übertragen werden.

142 KAPITEL 2. GRAVITATION
• ANMERKUNG (GRAVISCHER STOSSQUERSCHNITT)
Für eine Ablenkung um 90 Grad ergibt sich ein minimaler Radius:
Gm
v 2 = ρmin (2.69)
Damit lautet die Formel für den gravischer Stossquerschnitt
σ = 2πr 2 min
und daraus erhalten wir als erste grobe Näherung für die Stosszeit zweier Sterne der Masse m
τ = 1
nσv
v 3
= fp
G2m2n ; fp = 1
π
Die Formel kann mithilfe des Schwarzschild Radius RS wie folgt geschrieben werden
τ = 2
π
�
v
�3 1
c cR2 Sn Für die Milchstraße ergibt sich mit v = 20 km s −1 und n = 0.1 Stern pro pc 3 etwa 3·10 14 Jahre. Bei 10 11 Sternen ist das
ein Stoß alle 3000 Jahre. Im Gegensatz dazu sind Stöße von Galaxien (wie etwa im Virgo Haufen) durchaus möglich. Dort
ist (mit v = 1500 km s −1 und n = 1000 Mpc −3 ) die Stosszeit nur 1 Gyr.
Im folgenden wollen wir eine stark vereifachte Situation behandeln. Schnelle Teilchen streuen an ruhenden,
schweren Teilchen. Die schnellen verlieren dabei Energie ∆E = ɛ, die schweren bleiben
liegen. Wir wollen den differentielle Wirkungsquerschnitt dσ als Funktion des Energieübertrags bestimmen,
d. h. wir eliminieren den Streuwinkel mithilfe von Glchg. (2.67) aus Glchg. (2.64). Eine
einfache Rechnung liefert
dσ = 2πρdρ = 2π α2
m2v2 dɛ
ɛ2 und die Energie-Verlustrate pro Weglänge (x = vt) beträgt pro Teilchen,
dE
dx
= dE
(vdt)
= n
max �
min
(2.70)
(2.71)
(2.72)
ɛdσ (2.73)
wobei n die Teilchenzahldichte der Targetteilchen ist. Das Ergebnis ist in dieser Näherung logaritmisch
divergent:
dE
dx
= 2πn α2
m2v 2 ln(∆Emax/∆Emin) (2.74)
Für kleine Ablenkwinkel, d. h. dem Gültigkeitsbereich der klassischen Fomel, kann man
ɛ ≈ (m/2m2)v 2 h 2
nähern, mit h = α/mv 2 i ρ. Für Stöße geladener Teilchen, mit α = Z1Z2e 2 ,
dE
dx = 4πnZ2 1Z 2 2e 4
m2v 2 ln B ; B = ρmax
und bei gravischer WW
ρmin
dE
dt = 4πnG2 m2 1m2
ln B ; B =
v
ρmax
ρmin
(2.75)
(2.76)
Der Wert von B = ρmax/ρmin hängt von der konkreten physikalischen Situation ab, je nachdem ob
Plasma- oder Quanten-Effekte wichtiger sind. Eine genauere Analyse folgt bei der Betrachtung der bei
den Stößen auftretenden Strahlungsverlusten.

2.2. MECHANIK UND NEWTONSCHE GRAVITATIONSTHEORIE 143
Als Beispiele erwähnen wir hier die klassische Formel
bmin = Ze2
mv2 ; bmax = n −1/3
und das Ergebnis von Bethe (1930)
B = 2mv2
¯hω
= v2
v 2 B
(2.77)
(2.78)
Dabei ist ¯hω die Bindungsenergie und vB die Geschwindigkeit des Elektrons im Bohrschen Orbit. In
jedem Fall aber hängt das Ergebnis nur logaritmisch davon ab, welche konkrete Situation vorliegt.
Beispiele
Yukawa Potential
Für ein ’Yukawa Potential’ (abgeschirmtes Coulombpotential)
U(r) = e
r e−κr
z. B. ist die natürliche Grenze für ρmax offensichtlich 1/κ und ρmin wird durch ∆Emax gegeben.
Quantenmechanisch kann das Problem in Bornscher Näherung analytisch gelöst werden. Für den
differentiellen Wirkungsquerschnitt erhält man:
dσ =
� e 2
Ea
� 2
do
(1 + 4(E/Ea) sin 2 (χ/2)) 2 mit Ea = 1
2m (κ¯h)2
Integration über die Winkel liefert ein endliches Ergebnis für den Gesamt - Wirkungsquerschnitt:
� �
2 2
e 1
σ =
1 + 4(E/Ea)
Ea
Die neue Größe Ea hat die Bedeutung einer Abschneide Energie. Im Limes Ea → 0 erhält man
zufälliger Weise das exakte Ergebnis für die Coulombstreuung (zweier Ladungen Z1 und Z2):
�
Z1Z2e
dσ =
2
�2 do
4E sin4 (χ/2)
Die harte Kugel
Klassisch kann man die Streuung harter Kugeln rein geometrisch behandeln. Seien r1 und r2 die
Radien, dann ist R = r1 + r2 die kleinste Entfernung der Zentren, auf die sich die beiden Kugeln
nähern können. Äquivalent dazu ist die Streuung einer Punktmasse an einer Kugel mit Radius
R = r1 + r2.
Der gesamte Streuquerschnitt beträgt also
σ = π(r1 + r2) 2
Für identische Teilchen also
σ = πd 2
wobei d der Durchmesser ist. Die Streuung ist isotrop, d. h. es gilt Einfallswinkel = Ausfallswinkel
und für den Stossparameter gilt ρ = R sin θ; also
ρdρ = R 2 sin θ cos θ dθ
Für den Ablenkwinkel gilt χ = π − 2θ, sodaß für den differentiellen Streuquerschnitt folgt:
dσ
do = (r1 + r2) 2
4

144 KAPITEL 2. GRAVITATION
Mit diesen Streuquerschnitten werden wir in einfachster Näherung die Stöße von Atomen und Molekülen
abschätzen.
• FORMELN (MAKROSKOPISCHE PARAMETER)
Gesamtmasse und Trägheitstensor, I, sind allgemein wie folgt definiert:
und
�
M = ρd 3 x (2.79)
Iab =
�
ρd 3 x(r 2 δab − xaxb) (2.80)
Der Trägheitstensor, I, ist reell und symmetrisch, seine 3 Haupt - Trägheitsachsen �ei sind die Eigenvektoren der Eigenwertgleichung
I �ei = Ii �ei
mit den Haupt - Trägheitsmomenten Ii als Eigenwerten. Mit dem Trägheitstensor, I, ist der Quadrupoltensor, Q, der durch
definiert ist, verknüpft, sodaß
Qαβ = −3Iab + Iχχδαβ
gilt. Im Falle des Newtonschen Gravitationspotentials gibt es keinen Dipolterm und die ersten beiden Terme der Multipolentwicklung
lauten (in der Definition von Landau und Lifschitz)
�
M 1
V (�r) = −G +
r 6 Qαβ
∂2 ∂xα∂xβ �
(2.82)
Für geladene Materie definiert man entsprechend den el. Quadrupoltensor, Q, mit der Ladungsdichte q
�
Qαβ =
(2.81)
d 3 xq(3xαxβ − r 2 δαβ) (2.83)

2.3. DIE MASSENHIERARCHIE 145
2.3 Die Massenhierarchie
Beginnen wir mit der Massenbestimmung wieder vor unserer Haustür, im Sonnensystem.
2.3.1 Mitglieder des Sonnensystems
Wie aus Tabelle 2.1 ersichtlich, dominiert die Sonne mit ihrer gravischen Masse derart das ganze
System, daß es eine gute Näherung ist, die Massen der Planeten dagegen zu vernachlässigen. Die
Sonne bestimmt also den Schwerpunkt und die verschiedenen Mitglieder des Sonnensystems bewegen
sich um ihn auf Ellipsenbahnen.
Objekt Zahl Durchmesser Einzelmasse Gesamtmasse Abstand
g M⊕ AE
Sonne 1 1 400 000 km 2 · 10 33 330 000 —
Planeten 9 5 000 . . . 140 000 km 0.0023 . . . 318M⊕ 448 0.4 . . . 40
Monde 54 10 . . . 5 000 km 7 · 10 25 0.12 0.4 . . . 40
Asteroide 5 · 10 4 1 . . . 800 km 7 · 10 21 0.1 2.9
Kometen 10 9 1 . . . 100 km 5 · 10 15 0.1 bis 40 000
Meteoride 10 −3 . . . 10 3 cm 10 3 10 −9
Erde: Radius R⊕ = 6.378 · 10 8 cm; Masse: M⊕ = 5.997 · 10 27 g
Tab. 2.1: Mitglieder des Sonnensystems
Die Entfernungen im Sonnensystem sind heute durch Radar Tracking sehr genau vermessen. Die Massen
der größeren Objekte kann man aus Bahnstörungen bzw aus dem Umlauf von Monden bestimmen;
die der kleineren muß man schätzen.
Kleinste Partikel.
Beginnen wir mit den kleinsten zuerst. Die Sonne verliert Materie in Form eines Sonnenwindes, das
ist ein Plasma aus Elektronen und Protonen. Der Massenverlust (1.4·10 12 g pro Sekunde oder 10 −4
ihrer Masse seit Entstehung) ist unbedeutend, der Drehimpulsverlust hat eine Abbremszeit von 10 Gyr.
Daneben gibt es interplanetaren Staub, welcher sich bei der Lichtstreuung als Zodiakallicht bemerkbar
macht.
Meteoride.
Als nächstes in der Massenskala kommen die Meteoride. Das sind Gesteinskörner unterschiedlicher
Form und Größe. Dringt ein Meteorid in die Erdatmosphäre ein, beginnt er zu verdampfen und dabei
zu leuchten. Er heißt dann Meteor. Was davon auf dem Erdboden aufschlägt nennt man Meteorit. An
Meteoriten und Staub regnen pro Tag etwa 300 Tonnen auf die Erde.
Asteroide.
Es gibt keine strenge Abgrenzung zur nächst größeren Einheit, den Asteroiden. Diese sind grosse
Gesteinsbrocken, von einigen hundert Metern Durchmesser an aufwärts bis zur Größe der kleinsten
Monde. Die meisten Asteroide befinden sich zwischen Mars und Jupiter, dort wo nach dem Titius -
Bode Gesetz ein Planet sein sollte.
Der Asteroid 243 Ida ist der einzige Asteroid, von dem man weiß, daß er einen Mond (mit Namen
Dactyl; Durchmesser 1.6 km) besitzt. Anhand von Daten von der Jupiter Sonde Galileo ist es gelungen,
erstmals einen Asteroiden zu wiegen und seine mittlere Dichte zu bestimmen.
Radius R = 15.7 km, Dichte ρ = 2.6 g cm −3 . Umlaufperiode T = 227.3 h; Masse M = 4.2 · 10 19 g.
Kometen.
Von den Asteroiden zu unterscheiden sind die Kometen. Nach dem Standard - Modell von F. L. Whipple
bestehen sie aus gasförmiger Koma, mit Radius Rcoma � 10 6 km, und einem Kern, ρ � 2 g cm −3

146 KAPITEL 2. GRAVITATION
und Rnucl � 1 km, aus verschmutztem Eis, H20. Die (beobachtete) Länge des Schweifs eines Kometen
kann 1 AE (von der Sonne bis zur Erde) übertreffen. Von Kometen stammt das Wasser auf der Erde.
Da Kometen verglühen, müßen sie ständig nachgeliefert werden. Ein Ort, wo solche Urkometen gespeichert
sind, ist die Oortsche Wolke. Man schätzt, daß hier etwa 10 11 Kometen in einem Abstand von
10 4 AE die Sonne (in 10 6 Jahren) umkreisen. Durch Bahnstörungen vorbeifliegender Sterne werden
diese dann ins Innere des Sonnensystems abgelenkt. Kometen aus der Oortschen Wolke haben beliebige
Inklinationswinkel zur Ekliptik. Sie stammen vermutlich aus dem Inneren der Scheibe (5 bis 30
AE) und wurden durch gravische Störungen der Planeten nach außen geschleudert.
Davon unterscheiden sich Kometen, deren Inklinationswinkel zur Ekliptik i < 35 ◦ beträgt, mit Perioden
um 200 Jahren. Der holl. Astronom P. Kuiper schlug 1951 vor, diese als Begleiter von dem
Planeten Pluto zu erklären. Heute nimmt man an, daß diese Kometen einen ganzen Gürtel bevölkern,
der von Neptun (30 AE) bis einige 100 AE weit von der Sonne reicht. Pluto ist das prominenteste
Mitglied, mehrere Duzend grosse Kometen mit Durchmesser von mehr als 100 km wurden seit 1992
entdeckt. Die Gesamtmasse MKuiper wird auf 4 Prozent der Erdmasse geschätzt, etwa zwanzigmal die
Masse von Pluto. (MKuiper ≈ 4 · 10 −2 M⊕ ≈ 2.4 · 10 26 g).
Weitere physische Daten sind:
(geschätzte) Masse M � (4π/3)R 3 � 10 16 g und Anzahl N � 10 9 . Typische Geschwindigkeiten sind
v � 30 km/s. Pro Jahr werden etwa 12 entdeckt.
Wir geben einige einfache Anwendungen von Glchg. (2.33),
� �2 2π
= Ω
P
2 = GM
a3 (2.84)
bevor wir mit einer genaueren mathematischen Analyse des Zweikörper Problems beginnen. Wir beschränken
uns auf den Fall der reinen Kreisbewegung und bezeichnen den Radius jetzt mit R. Kepler
III schreiben wir in der Form
v = R Ω =
�
G M
R
oder M = R3 Ω 2
G
(2.85)
Hat demnach ein Zentralobjekt einen Satelliten mit bekannter Umlaufperiode und bekanntem Bahnradius,
dann ist das Objekt gewogen. Damit können die Massen der Planeten, die einen Mond haben,
bestimmt werden, aber auch die der Asteroiden mit einem Begleiter.
• ANMERKUNG (GENAUIGKEIT DER GRAVITATIONSKONSTANTEN)
Die Gravitationskonstante G = 6.6732 · 10 −8 cm 3 g −1 s −2 ist nur auf 4 Stellen genau bekannt. Wesentlich genauer ist die
Bestimmung von GM. Für die Sonne ist die wichtige Größe
GM⊙/c 3 = 4.925490 · 10 −6
s
Die Bindungsenergie E = T + U = −T wird durch Erhöhen der Tangential - Geschwindigkeit um
das √ 2 - fache auf Null gebracht. Ein Objekt dieser Geschwindigkeit verläßt das Gravitationsfeld, falls
dieses stark genug nach außen abfällt, wie es für das Feld der Sonne und der Galaxie der Fall ist. Wir
definieren demgemäß die Entweichgeschwindigkeit
vesc =
�
2GM
R
(2.86)
Für die Erdoberfläche sind das 11.2 km s −1 . Die Rotationsgeschwindigkeit am Äquator beträgt dagegen
nur etwa 0.5 km s −1 , die Erde ist ein langsamer Rotator.

2.3. DIE MASSENHIERARCHIE 147
2.3.2 Die Masse der Galaxis
Kennt man die Entfernung und damit das Volumen einer Galaxie, dann kann man durch Sternzählung
die sichtbare Masse einer Galaxie bestimmen. Dabei ist vorausgesetzt, daß man die Masse der Sterne
spektroskopisch bestimmen kann.
Die Sonne
Für die Planetenbahnen im Feld der Sonne hat man
Radius R in AE, 1 AE = 1.495·10 13 cm und Umlaufzeit T in Jahren, 1 siderisches Jahr =
3.155·10 7 s:
T = 1R 3/2
Geschwindigkeit v in km s −1 ,
v = 30 R −1/2
vesc = 42.2 R −1/2
Diese Einheiten sind die natürlichen Einheiten für Planetensysteme.
Die Galaxis
Für die Bahn der Sonne, genauer des LSR, um das glaktische Zentrum gilt
Umlauffrequenz Ω0 in s −1 und Periode in Millionen Jahren.
Die Umlauffrequenz Ω0 kann lokal durch Messung der differentiellen Rotation bestimmt
werden, unabhängig von der Kenntnis des Radius R0 = Entfernung zum galaktischen Zentrum.
Die Oortschen Konstanten A und B sind folgendermassen definiert:
vr = A r sin2l vt = A r cos2l + B (2.87)
Für zirkulare Bewegung des LSR ergibt sich dann
A = − 1
2 R
� �
dΩ
dR
B = −Ω + A (2.88)
und daraus Ω zu
R
Ω = A − B (2.89)
Mit den von Oort bestimmten Werten A = 15 km s −1 kpc −1 und B = −10 km s −1 kpc −1
liefert das
Ω0 = 8.08 · 10 −16 s −1
bzw. P0 = 2π
Ω
Radius R0 in 8 kpc, 8 kpc = 2.46·10 22 cm und
v0 Geschwindigkeit in km s −1 ,
= 250 Myr (2.90)
v0 = 220 vesc = 310 (2.91)
M Masse in M⊙, Masse der Sonne: 1.989·10 33 g
M = 10 11 M⊙ Ω 2 0 R 3 0 (2.92)
Der alte Wert für R0 = 10 kpc liefert v = 250 km s −1 .

148 KAPITEL 2. GRAVITATION
Die lokale Massendichte
• DEFINITION (GALAKTISCHE KOORDINATEN)
Wir benutzen Zylinder Koordinaten r, l für Entfernung und Winkel auf die Sonne bezogen und R, γ auf das galaktische
Zentrum. D = Entfernung der Sonne vom galaktischen Zentrum (8 kpc).
Die Sonne ist ziemlich genau in der galaktischen Ebene, z = 0. Die wahre Entfernung R vom galaktischen Zentrum ist in
der Ebene näherungsweise
R = D − r cos l
Die exakten Relationen lauten (z = 0)
D cos l = R cos(l + γ) ; D sin l = R sin(l + γ)
In einfachster Näherung ist die Bewegung der Sterne in der Galaxie die Überlagerung aus einer Kreisbewegung
um das galaktische Zentrum plus einer Oszillation senkrecht zur galaktischen Ebene. Das
Gravitationsfeld für letztere Bewegung kann als eindimensional angesehen werden. Die Potentialgleichung
lautet dann
d2V = 4πGρ d. h. V = 2πGρz2
dz2 Das ist ein harmonisches Potential,
¨z = −V ′ = −4πGρz
für die Oszillationsfrequenz und die Auslenkung z gelten (im Mittel)
ω =
�
4πGρ ; z = H cos ωt ; v = ˙z = ωH cos ωt (2.93)
Die lokale Massendichte in Sonnenumgebung kann man aus der Bewegung der Sterne senkrecht zur
galaktischen Ebene bestimmen, wenn Halbwertshöhe und Geschwindigkeits - Dispersion gemessen
sind.
Für die Periode ergeben die Beobachtungen für die Periode
P⊥ =
und es gilt
� π
Gρ
= 70 Myr
z = 10pcv5 mit v5 = 10 5 cms −1 = 1kms −1
Man erhält für die gesamte Materie eine Teilchendichte n ≈ 7 cm −3 oder eine Massendichte ρ = 10 −23
g cm −3 oder ρ ≈ 0.1M⊙ pc −3 . 10% der Materie ist in der Gasphase, der Rest in Sternen (bzw. in
Dunkelmaterie wie braune Zwerge).
Mit einem Durchmesser von D ≈ 10 23 und einer Höhe von 10% beträgt das Volumen etwa 0.1D 3 ≈
10 68 cm 3 , was eine Masse von M ≈ 10 45 g oder M ≈ 10 11.5 M⊙. Die Gesamtmasse mit Halo beträgt
Mtot ≈ 10 12.5 M⊙, jeweils für die Milchstrasse und Andromeda.

2.3. DIE MASSENHIERARCHIE 149
Virialmassen
Es ist 1 km s−1 = 1 pc Myr−1 und die Zeit für einen Umlauf
�
Tvir = 2π
R 3
GM ≈ 100 Myr R3 GalM −1
Gal
für unsere Galaxis. Für die lokale Gruppe mit d = 1 Mpc = 10 2 RGal und M = 30MGal liefert das
bereits Tvir ≈ 10 10 Jahre, sie ist also bereits nicht mehr im Virialgleichgewicht. Für die Virialmasse
folgt
M = v2 R
G
(2.94)
wobei v 2 die Geschwindigkeitsdispersion und R der Radius ist. Die genauere Analyse liefert M =
4 · 10 12 M⊙ für die lokale Gruppe. Für den Virgohaufen als ganzes gilt v = 600 km s −1 und R = 30h −1
Mpc und ergibt sich M = 8 · 10 14 M⊙, der Comahaufen etwa viermal soviel M = 3 · 10 15 M⊙.

150 KAPITEL 2. GRAVITATION
2.3.3 Das Zweikörperproblem: Doppelsterne
Unser Ziel ist es im folgenden, die Massen der einzelnen Komponenten in Doppelstern - Systemen
zu bestimmen. Die Astronomen unterscheiden die folgenden Klassen von (echten, d. h. physischen)
Doppelsternen:
1. Visuelle Doppelsterne.
Dies sind Systeme, die so nah sind, daß sie mit dem Teleskop noch aufgelöst werden können.
Beispiele: γ Virginis und α Andromedae.
2. Spektroskopische Doppelsterne.
Sie können nicht mehr aufgelöst werden, haben aber aber (mindesten eine) Spektrallinie, aus
deren Dopplerverschiebung die Natur des Systems hervorgeht. Dabei ’sieht’ man bei ’Einspektren
Systemen’ nur eine Komponente bei ’Zweispektren Systemen’ beide. Beispiel: VV Orionis
(T = 1.485 d).
3. Bedeckungsveränderliche.
Sie sind von besonderem Interesse, da hier der Inklinationswinkel etwa 90 Grad beträgt, der
Beobachter sich also in der Doppelstern - Ebene befindet. Beispiel: Algol = β Persei (T = 2.9
d) und VV Orionis (T = 1.485 d).
4. Binärpulsare.
Dieses sind extrem relativistische Systeme, wo eine Komponente ein Neutronenstern ist (Pulsar)
und wo statt verschobener Spektrallinien die Pulsankunftszeiten von Radio- oder Röntgenpulsen
gemessen werden.
5. Radiopulsare mit Planeten.
Beispiel: BPSR 1257+12 in d = 300 pc Entfernung und PSR B1620−26 in d = 3.8 kpc Entfernung
(im Kugelsternhaufen M4). Die Massen der Planeten sind von der Größenordnung einider
Erdmassen.
6. Sterne mit Planeten.
Indirekt kann man Planeten um Sterne beobachten, wenn man entweder die Dopplerverschiebung
an Linien des (Hauptreihen) Sterns oder die Laufzeitverzögerung eines Signals vom Stern
(Pulsar) misst. Die Auflösungsgrenze liegt bei der Doppler Methode zur Zeit bei 500 cm s −1
und damit kann man etwa Planeten von einer Jupitermasse in einem Sonnensystem nachweisen.
Dazu kommt die Möglichkeit, Staubscheiben um junge Sterne im IR direkt aufzulösen.
• ANMERKUNG (WINKELAUFLÖSUNG: STATE OF THE ART)
Mit optischen Interferometern ist eine Winkelauflösung von 0.1 mas (5 · 10 −10 rad) erreichbar (Pan et al., 1992). Die
Bestimmung der Orbit- und Massenparameter naher Doppelsterne ist damit bis 1% Genauigkeit möglich. Im Radiobereich
(VLBI) ist eine vergleichbare Winkelauflösung (von etwa 0.5 mas) erreichbar.
H2O-Maser Messungen haben eine Genauigkeit von 1 km s −1 beim Dopplereffekt, gemessen mit der 1.3 cm Linie.
Pulsankunftszeiten an ms - Radiopulsaren sind bis auf 1 µs (10 −6 s) genau. Damit erhält man (nach etwa 30 Jahren
Beobachtung an Radiopulsaren) Genauigkeiten der Bahnparameter von wenigen Promille.
Der Extra-solar Planets Catalog von J. Schneider enthält (Stand 22. Okt. 1998) 16 Planeten, 9 braune Zwerge, 2 Pulsar
Planetensysteme und 3 Systeme, die aus Planet plus Staubscheibe bestehen.
• BEISPIEL (DER STERN 55 CANCRI IM STERNBILD KREBS MIT PLANETENSYSTEM)
Als konkretes Beispiel sei das Planetensystem 55 Cancri im Sternbild Krebs erwähnt. Dieser enthält (als erster) einen
weiteren nachweisbaren Planeten.
Trilling und Brown haben erstmals ein Planetensystem vollständig dadurch bestimmt, daß sie den Inklinationswinkel aus

2.3. DIE MASSENHIERARCHIE 151
geometrischen Überlegungen ermitteln konnten. Es handelt sich um den Stern
55 Cancri (im Sternbild Krebs).
55 Cnc (= HD75732) ist ein G8V Stern in einer Entfernung von d = 12.53
pc. Man beachte die Stellen nach dem Komma bei einer Entfernungsangabe.
Mit einer visuellen Helligkeit von MV = 5.95 mag (L = 0.3L⊙) erreicht er
nicht ganz die Leuchtkraft der Sonne (bei praktisch identischer Masse). Das
Alter (chemische Entwicklung) wird auf 3 Gyr geschätzt.
Aus der Dopplerverschiebung der Linien von 55 Cnc folgt der nebenstehende
Datensatz: m ist die Masse in Jupitermassen (MJ = 10 −3 L⊙), a die grosse
Planet und Staubscheibe um 55 Cancri
m a P e i
MJ AE d Grad
1.9 0.11 16.65 0.05 25
5 4 8 (yr) 25
Tab. 2.2: Planet um 55 Cnc
Halbachse in AE, P die Periode in Tagen, e die Exzentrizität und i der Inklinationswinkel (zwischen Normale zur Staubscheibe
und Blickrichtung. Der Beobachter blickt fast senkrecht auf die Staubscheibe).
Beobachtet wird eine zirkumstellare Staubscheibe. Diese ist intinsisch ein Kreis, in der Aufsicht aber eine Ellipse mit
den Achsen 3’.24 (Bogenminuten) und 2’.88 . Bei 12.53 pc Entfernung entspricht das einem Scheibenradius von 40 AE.
Ähnlich dem Kuiper Gürtel im Sonnensystem, erwartet man in einem voll ausgebildeten Planetensystem einen solchen
Gürtel.
• LITERATUR (PLANETEN)
In zeitlicher Reihenfolge Entdeckung (1995) durch Mayor und Queloz, Erklärung des extrem kurzen Abstands des Planeten
vom Zentralstern (1996) durch Lin et al. mit der Vorhersage eines Kuiper Gürtels, Bedeutung für die Möglichkeit und das
Entstehen von Leben auf extrasolaren Planeten
1. Entdeckung 1995: Mayor und Queloz, Nature 378, 355 1995
2. Lin, D. N. C., Bodenheimer, P., Richardson, D. C.; [LBR96]
Orbital migration of the planetary companion of 51 Pegasi to its present location
Nature 380, 606-607 1996
3. Williams, D. M., Kasting, J. F., Wade, R. A.; [WKW97]
Habitable moons around extrasolar giant planets
Nature 385, 234-236 1997
4. Trilling, D. E., Brown, R. H.; [TB98]
A circumstellar disc around a star with a known planetary companion
Nature 395, 775-777 1998

152 KAPITEL 2. GRAVITATION
Bestimmung der Bahnparameter bei Doppelsternen
Zunächst einige Definitionen und Formeln.
Zur Beschreibung der Ellipse im Raum wird (nach Bessel) die folgende Vereinbarung getroffen:
Abb. 2.3: Apex
1. Man zieht vom Beobachter zum Schwerpunkt (Brennpunkt)
des (Doppelstern) Systems eine Gerade �g.
2. Senkrecht dazu steht die x ′ - z ′ Ebene des Beobachters. Diese
schneidet die Bahnnebene in der Knotenlinie und diese wird zur
x ′ − Achse gewählt.
3. Der Winkel zwischen Drehimpulsvektor � J (also die Normale
zur Bahnnebene) und Sehstrahl �g heißt Inklinationswinkel i, die
Verlängerung der Projektion des Sehstrahls auf die Bahnebene ist
die y ′ − Achse.
4. Der Winkel φ, die wahre Anomalie, wird ab Perihel im Gegenuhrzeigersinn
gezählt. Der Winkel zwischen x ′ − Achse (Knotenlinie)
und Hauptachse der Ellipse am Perihel, x− Achse, heißt
Apex und wird mit ω bezeichnet.
Abweichende Bezeichnungen (in der Literatur) sind v anstatt φ und vo anstatt ω, (ferner E anstatt Φ).
Mit diesen Definitionen gilt also für den auf 1 normierten Sehstrahl (Visionsrichtung �g)
�g = sini �ey + cosi �ez (2.95)
und für die Bahngleichung (φ ist die wahre Anomalie, die Koordinaten x und y beziehen sich auf den
Schwerpunkt)
x = r(φ) cos(φ + ω) y = r(φ) sin(φ + ω) (2.96)
mit der Definition
r(φ) = a(1 − e2 )
1 + e cos φ
und der Relation
r 2 ˙ φ = J
m
= 2π
T
√ 1 − e 2 a 2
Für y = D(φ), die Projektion von Bahnvektor �r auf Visionsrichtung �g gilt dann
sin(φ + ω)
D(φ) = K1
1 + e cos φ
(2.97)
(2.98)
(2.99)
K1 = a(1 − e 2 ) sin i (2.100)
oder, wenn man die exzentrische Anomalie Φ benutzt:
D(Φ) = a sin i[sin ω(cosΦ − e) + (1 − e 2 ) 1/2 cos ω sin Φ] (2.101)
mit der die Zeit t wie folgt zusammenhängt (T : Periode)
T (Φ − e sin Φ) = 2π t (2.102)
Für die Parallelkomponente der Geschwindigkeit v = dD/dt erhält man, wenn man die beiden Relationen
J 2π √
= 1 − e2 2
a (2.103)
m T

2.3. DIE MASSENHIERARCHIE 153
und
benutzt:
˙φ =
2π
T (1 − e2 (1 + e cos φ)2
) 3/2
(2.104)
v = K[cos(φ + ω) + e cos ω] (2.105)
K =
2πa sin i
T (1 − e2 ) 1/2
(2.106)
Die Größe K ist die Halbamplitude der Geschwindigkeitskurve:
K = vmax − vmin
2
Exzentrizität e und Apex ω können aus der Bahnform bestimmt werden und damit ist a sin i bestimmt.
Nochmalige Differentiation liefert die Extremalen von v bei ˙v = 0:
˙v = −K ˙ φ sin(φ + ω) = 0 → φmax = −ω + nπ (2.107)
2.3.4 Massenbestimmung in Doppelsternsystemen
Allgemeiner behandeln wir die Massenbestimmung in Sternsystemen mit Begleiter. Dieser kann ein
weiterer Stern, ein schwarzes Loch oder aber ein Planet sein. Bisher haben wir die Bewegung einer
reduzierten Masse m im Feld einer Gesamtmasse M betrachtet. Wir rechnen diese nun um auf die
Bahn der beiden Komponenten mit Index x (beobachtet) und c (companion).
• DEFINITION
Wir wiederholen die Definition der folgenden Größen:
1. i, Inklinationswinkel; x und c die Indizes der Sterne; e die Exzentrizität der Bahn;
2. M, Gesamtmasse M = Mx + Mc und m, reduzierte Masse m = MxMc/M;
3. a, Abstand von mx und mc a = |�rx − �rc| und v, Relativgeschwindigkeit �v = d�r/dt
4. R, Schwerpunktsvektor � R = (Mx�ax + Mc�ac)/M = 0,
5. Mxax = Mcac = ma
Ausgehend von der Lösung des Einteilchen Problems, Bewegung der reduzierten Masse m = MxMc/M im Feld der
Gesamtmasse M = Mx + Mc, wollen wir nun die beobachteten Größen mit denen des reduzierten Problems verknüpfen.
Für Pulsare sind das die Pulsankunftszeiten der Komponente x, für die optischen Begleiter sind es die Amplituden des
Dopplereffekts der Komponente c. Beide, Pulsankunftszeit und Dopplereffekt sind durch
vx = 2πax
T √ sin i (2.108)
1 − e2 verknüpft. Die Umlaufperiode T und die Bahnexzentrizität e können leicht bestimmt werden,
vx = K = 1
2 (vmax − vmin) (2.109)
ist die einzige entscheidende weitere Größe.
Im folgenden wollen wir annehmen, daß die Komponente x beobachtet wird (Radiopulsar oder Röntgenpulsar). Die Amplitude
des Dopplereffekts der Komponente x liefert dann eine Relation, die Massenfunktion f(m):
f(m) =
T K3
2πG
= (a sin i)3
G
� �2 2π
T
(2.110)

154 KAPITEL 2. GRAVITATION
oder
f(Mx, Mc, i) = 4π2
GT 2 (ax sin i) 3 = (Mc sin i) 3
(Mx + Mc) 2
Der beobachtbare Abstand ax der Komponente x vom Schwerpunkte ist durch die Umrechnung
gegeben.
ax =
Mc
Mx + Mc
(2.111)
a (2.112)
Aus dem Schwerpunktsatz folgt dann für die Beträge der Abstände
ma = Mxax = Mcac und mv = Mxvx = Mcvc (2.113)
Für die Amplitude des Dopplereffekts gilt für Komponente x:
vx = 2πax
T √ sin i (2.114)
1 − e2 oder explizit als Ellipse (Φ ist die wahre Anomalie, ω Periastron)
K = vx ; mit: �vx�nbeob = K[cos(Φ + ω) + e cos ω] (2.115)
Dabei ist ax der Abstand von Mx vom Schwerpunkt,
a = Mx + Mc
ax
Mc
und vx die Geschwindigkeit von Mx.
Für a gilt das Keplersche Gesetz, Glchg. (2.33), (Kepler III, reduziert auf das Einteilchen Problem)
� �2 2π
= Ω
P
2 = GM
a3 (2.116)
(2.117)
Die Exzentrizität e kann aus der Bahnform (Geometrie) bestimmt werden (ω, der Periastron ebenfalls)
und damit ist dann ax sin i bestimmt. Die Größe f = f(Mx, Mc, i)
f(Mx, Mc, i) = 4π2
GT 2 (ax sin i) 3 = (Mc sin i) 3
(Mx + Mc) 2
heißt Massenfunktion. Sie enthält nur Beobachtungsgrößen:
f(Mx, Mc, i) = Torb
2πG (vx sin i) 3 (1 − e 2 ) 3/2
(2.118)
und liefert eine Relation zwischen den 3 Unbekannten i, Mx und Mc (die Exzentrizität e muß, wie
bereits betont, aus der Bahnform bestimmt werden).
In Zahlen:
f(Mx, Mc, i) = 10 −7 M⊙(T/d) (Kx/km s −1 ) 3 (1 − e 2 ) 3/2 (2.119)
Wir erhalten sie, indem wir a aus (Kepler III), Glchg. (2.33), in der Form
� �2 2π
=
P
G(Mx + Mc)
a3 eliminieren. Das liefert
f(Mx, Mc, i) = 4π2
GT 2 (ax sin i) 3 = (Mc sin i) 3
(Mx + Mc) 2
(2.120)
(2.121)

2.3. DIE MASSENHIERARCHIE 155
• BEISPIEL (PULSAR BEGLEITER)
Als einfache Anwenung betrachten wir den Fall der Radiopulsare. Hier kann man Mx = Mch annehmen. Wir teilen die
Massenfunktion f(M) = fx(M), Glchg. (2.121), durch Mx und erhalten die Gleichung dritten Grades
q(1 + q) 2 = Mx sin 3 i
≡ α (2.122)
fx(Mx, Mc, i)
für q. Diese Gleichung kann algebraisch gelöst werden:
q = 3
�
�
�
�α
2 +
�
�1 �3 �
α
�2 + +
3 2
3
�
�
�
�α
2 −
�
�1
3
� 3
+
�
α
�2 2
Folgende Näherungen sind nützlich, wenn wir f(m) für die Massenfunktion f(Mx,Mc,i) setzen:
1. q ≈ α falls α ≪ 1
Mc sin 3 = f(m)
2. q ≈ α 1/3 falls α ≫ 1
Mc sin i = [M 2 xf(m)] 1/3
(2.123)
(2.124)
Für α = 1 ergibt sich numerisch q ≈ 0.68. Diese Relationen werden wir im folgenden bei Massenabschätzungen für die
Begleiter von Radiopulsaren häufig benutzen.
Kennt man (z. B. bei visuellen Doppelsternen) auch noch f(Mc), dann ist das Verhältnis der Massen
q = Mx
Mc
=
� �1/3 fx
fc
(2.125)
bestimmt.
Handelt es sich zusätzlich noch um Bedeckungsveränderliche (oder kennt man den Inklinationswinkel
i aus anderen Überlegungen), dann ist mit der Kenntnis von i das System vollständig bestimmt. Bei
Bedeckungsveränderlichen ist der Beobachter in der Bahnebene der Doppelsterne, d. h. sin i = 1 und
das System ist gewogen.

156 KAPITEL 2. GRAVITATION
Anwendung:
Neutronenstern und Schwarz-Loch-Kandidat
Der Röntgenpulsar SAX J1808.4-3658 und der Radiopulsar PSR B1957+20 sind Beispiele für massearme
Begleiter eines Neutronensterns, GRO J1655-40 ein Beispiel für ein Doppelsternsystem mit
einem massiven Begleiter.
Wir betrachten zunächst die Pulsare (also Neutronensterne mit gegebener Masse) mit massearmen
Begleitern (kleine Massenfunktion f(m)). Wir erhalten hier sehr einfache Verhältnisse, da die Masse
des Begleiters sehr gering ist, Mc ≪ Mx. Zusätzlich ist sini = 1 bekannt, da der Pulsar eine Eklipse
zeigt.
Als konkrete Beispiele behanden wir den Fall des Röntgenpulsars SAX J1808.4-3658 und den des Radiopulsars
PSR B1957+20. Beide sind von erheblichem Interesse für die Astrophysik, da es sich hier
um extreme Endzustände der Sternentwicklung handelt. Beides sind Neutronensterne in Wechselwirkung
mit ihrer Umgebung: sie zerstören ihren Begleiter durch Verdampfen. Einer akkretiert und wird
dadurch zum Röntgenpulsar, der andere ist ein Radiopulsar, er erzeugt einen Nebel um sich herum. Es
ist möglich, daß diese beiden unterschiedlichen Phasen bei ein und demselben Binärsystem zyklisch
auftreten können. Die Dauer der jeweiligen Phase kann einige Gyr erreichen, am Ende meherer solcher
Phasen sind die schnellsten Pulsare etwa so alt wie die Galaxis selbst und haben ihren Begleiter
vollständig verdampft.
1. Der Röntgenpulsar SAX J1808.4-3658
Der Röntgenpulsar SAX J1808.4-3658 wurde 1996 von J.J.M. in’t Zant et al. zunächst mit dem
ital.-ned. Röntgen Satelliten Beppo SAX als Röntgen Burst Quelle anhand zweier Bursts entdeckt
und als LMXB klassifiziert. Eine weitere Quelle mit
sehr ähnlichen Koordinaten wurde 1998 vom Rossi XTE
(XTE J1808-369) entdeckt und eine Pulsperiode von
P = 2.49 ms d. h. ν = 401.0 Hz wurde in den Pulsankunftszeiten
aufgefunden. Diese Position war genau genug,
das optische Gegenstück zu identifizieren. Die beiden
Quellen stimmen überein,
SAX J1808.4-3658 = XTE J1808-369
und auch die Umlaufperiode, T = 2 h, konnte anschließend
den Pulsankunftszeiten bestimmt werden. Die
Leuchtkraft der Bursts beträgt L = 6 · 1036 erg s−1 Steckbrief SAX J1808.4-3658
Transient, Burster
α 18:08:4 l 355.7
δ −36:58:0 b −8.7
D 4 kpc z −605 pc
P 2.49 ms T 2 d
Lx 6 · 10
.
36 erg s−1 Lo 4 · 1032 erg s−1 Mo 0.06M⊙ mv 7.22
Tab. 2.3: SAX J1808.4-3658
Das ist stark genug, anhand der Absorption die wahrscheinliche Entfernung zu bestimmen, sie beträgt
4 kpc. SAX J1808.4-3658 ist der erste akkretierende Millisekunden - Röntgenpulsar (und mit
P = 2.5 ms sogar für Radiopulsare extrem) und befindet sich in einer schwachen Recycling Phase.
Seiner normalen Leuchtkraft von L = 1 · 1035 erg s−1 entspricht eine Massenakkretionsrate von nur
˙M = 10−11M⊙yr−1 ).
• ANMERKUNG (HERKUNFT AUS KUGELSTERNHAUFEN NGC 6541)
X-PSR l: 355.7 b: -8.7 D: 4 kpc z: -605 pc
NGC 6541 (Lang p.520) l: 349.3 b: -11.2 D: 4 kpc z: -777 pc
Der Abstand der beiden beträgt Del: 473 pc.
Zum Vergleich: Die bei der Akkretion auf einen Stern freigesetzte Strahlung beträgt
Lakk = GM ˙ M σg
=
R 2 ˙ Mc 2
(2.126)
Für einen Neutronenstern der Masse, MCh, mit und Radius R = 10 km beträgt σg = 0.1. Damit ergibt
sich eine kritische Massenakkretionsrate
˙M = 2 · 10 −8 MCh yr −1 = 2 · 10 18
g s −1

2.3. DIE MASSENHIERARCHIE 157
um die Grenzleuchtkraft von LEdd = 2 · 10 38 erg s −1 zu erhalten.
Wir bestimmen nun die Masse Mc des Begleiters dieses extremen Radiopulsars.
Die Amplitude der Laufzeitvariation der Komponente x (für Radiopulsar) liefert den Wert für die
Massenfunktion f(Mx, Mc, i) = 3.77 · 10 −5 M⊙, wobei
f(Mx, Mc, i) = 4π2
GT 2 (ax sin i) 3 = (Mc sin i) 3
(Mx + Mc) 2
ist. Der Abstand a der beiden Schwerpunkte ist
a = Mx + Mc
ax
Mc
(2.127)
(2.128)
und ax sin i = 62.8 · 10−3 lt sec.
Da die Masse des Begleiters sehr gering ist, Mc ≪ Mx, ist die Gesamtmasse M = Mx + Mc nur
schwach von Mc abhängig. Die Masse des Neutronensterns schätzen wir mit M = MCh = 1.4M⊙ ab.
Aus dem Wert der Massenfunktion folgt dann
� f(Mx, Mc, i)
M
� 1/3
M = 0.05M⊙ = Mc sin i
Mit sini = 1 gilt M/Mc = 28 und damit ax = 28 × 62.8 · 10 −3 lt sec, oder ax = 1.7 lt sec. (Zum
Vergleich: Erde-Mond = 1.3 s).
2. Der Radiopulsar PSR B1957+20
Pulsar (P = 1.6 ms) mit Umlaufperiode T = 9.2 h. Verdamft seinen Begleiter.
Seine Abbrems - Leuchtkraft ist ebenfalls L = 25L⊙ = 1 · 10 35 erg s −1 . Hier ist sini = 1 bekannt,
da der Pulsar eine Eklipse zeigt. Der Wert für die Massenfunktion: f(Mx, Mc) = 5.20 · 10 −6 M⊙ und
ax = 98 · 10 −3 lt sec.
� f(Mx, Mc, i)
M
� 1/3
M = 0.022M⊙ = Mc
ax = 2.4R⊙ = 5 lt sec.
3. Der Radiopulsar PSR B1744-24A
Ein ähnlich extremer Pulsar ist PSR B1744-24A mit P = 11.56 ms und einer Orbitalperiode von 1.8h.
Der Pulsar befindet sich im Kugelsternhaufen Terzan 5, der selbst im Galaktischen Bulge (nahe dem
Galaktischen Zentrum) liegt. Der Wert für die Massenfunktion ist f(Mx, Mc) = 3 · 10 −4 M⊙ und der
Abstand beträgt ax = 110 · 10 −3 lt sec (modulo sini).
Wir geben als nächstes einen Überblick über die Massenbestimmung sowohl von Pulsaren (Binärpulsare),
als auch von Schwarz-Loch-Kandidaten (Röntgen - Binärsysteme mit optischem Begleiter).
4. Der Schwarz-Loch-Kandidat GRO J1655-40
GRO J1655-40 ist ein Bedeckungsveränderlicher mit einem Nova Ausbruch (Nova Scorpii 1994).
In den vorherigen Beispielen war der Pulsar der beobachtete, der Begleiter der unbekannte Stern. Jetzt
ist der Begleiter der optisch beobachtete Stern (Index o), der Begleiter der ungesehene Kandidat für
ein Schwarzes Loch (Index bh).
Die beiden gemessenen Größen sind K = 227 km s −1 und T = 2.6 d für die Umlaufperiode. Die
Massenfunktion hat damit den Wert
f(m) =
T K3
2πG = (Mbh sin i) 3
= 3.16M⊙
(2.129)
(Mbh + Mo) 2
Die Lichtkurve zeigt Bedeckungen, demnach ist etwa sini = 1 erlaubt. Aus der Dopplerkurve folgt
ferner eine Rotverschiebung des Binärsystems von vpec = −141 km s −1 und e = 0 für die Exzentrizität
der Bahn.

158 KAPITEL 2. GRAVITATION
Der Begleiter hat ein Spektrum vom Typ F3 bis F6, die Masse erlaubt die Abschätzung M < 1.5M⊙.
Als Minimum für die Masse des Schwarz-Loch-Kandidaten folgt dann M > 5.4M⊙. Die beste Bestimmung
des Spektraltyps im Ruhezustand ist F6 III bis F7 IV.
Röntgenpulsare
Wir beginnen mit der Massenbestimmung von Röntgenpulsaren und betrachten diejenigen Pulsare, die
Bedeckungsveränderliche (eclipsing binaries) sind. Dann ist sini = 1 und die Masse des Neutronensterns
kann bestimmt werden, falls die Masse des optischen Begleitsterns ermittelt werden kann.
Die Liste enthält die derzeit besten Massenbestimmungen von Röntgenpulsaren, da es sich bei ihnen
um Bedeckungsveränderliche handelt.
Hier ist P die Periode in Sekunden und Lx/Lo
das Verhältnis von Röntgen zu optischer Leuchtkraft.
M ist die Masse der beiden Komponenten,
in Einheiten von M⊙, mit dem Index o für den optischen
Begleiter und x für Pulsar, τ3 ist die Spinup
Zeit, Einheit: 1000 Jahre.
Schwierigkeiten bei der Bestimmung der Masse
macht die Lokalisierung der Quelle der optischen
Strahlung. Diese kann von der Akkretionsscheibe
oder vom Begleitstern stammen.
Radiopulsare
Massen von Röntgenpulsaren
Name P Lx/Lo Mx Mo τ3
SMC X−1 0.717 0.6 1.4 ± 0.3 17 1.3
Her X−1 1.24 20 1.3 ± 0.7 2.2 300
Cen X−3 4.84 0.013 1.4 ± 0.4 18 3
Vela X−1 283 0.00067 1.6 ± 0.4 24 10
1538−52 529 0.0022 2.0 ± 1.0 20 1
Tab. 2.4: Pulsar-Massen I
Bei drei Radio Binärpulsaren kann man ebenfalls den Inklinationswinkel i bestimmen.
Aufgrund allgemein relativistischer Effekte kann man in den beiden Binärpulsaren PSR 1534+12 und
PSR 1913+16 zusätzlich zu v� = vx sin i noch v2 messen. Das System ist damit gewogen.
Bei PSR 0655+64 dient dazu die Szintillation,
allerdings ist die Bestimmung
nicht eindeutig.
Die Liste von Radio Pulsaren enthält folgende
Einträge:
P ist Periode in Millisekunden, die Orbitalperiode,
T , ist in Tagen; e ist die Bahnexzentrizität
in Lichtsekunden (1 lt sec
= 3 · 10 10 Massen von Radio Pulsaren
Name P T e a Mc M∗ i
PSR ms d sec M⊙ M⊙ deg
1534+12 38 0.40 0.27 37.31 1.36 1.32 74
1913+16 59 0.32 0.617 2.34 1.44 1.38 47
0655+64 196 1.03 7.5E-6 4.12 0.75 1.4 62 (84)
cm). Die Masse, M, der Ko-
Tab. 2.5: Pulsar-Massen I
mopnenten ist in Einheiten von M⊙ und der Inklinationswinkel, i, ist in Grad.
Die Originalarbeiten sind:
1) PSR 1534+12: Taylor, Wolszczan, Damour, Weisberg (1992) Nature 355, 132
2) PSR 1913+16: Wolszczan (1991) Nature 350, 688
3) PSR 0655+64: Lyne A.G. (1984) Nature 310, 300
Schwarz-Loch-Kandidaten
Während die Zahl der identifizierten Neutronensterne ständig wächst, etwa 2000 Röntgen Quellen und
Radio Pulsare sind mittlerweile als solche entdeckt worden, ist die Liste an Schwarz-Loch-Kandidaten
stets übersichtlich klein geblieben. Viele solcher Kandidaten sind wieder ausgeschieden, da bei ihnen
Phänomene beobachtet wurden, die nur für Neutronensterne in Frage kommen, z. B. Ausbrüche
(bursts) aufgrund von Kernfusion an der Oberfläche des Sterns oder QPOs (Quasi-periodische Oszillationenbei
Röntgen Quellen).

2.3. DIE MASSENHIERARCHIE 159
Der wichtigste Nachweis schwarzer Löcher beruht praktisch ausschließlich auf ihrer Masse. Zwei Bedingungen
müßen mindestens erfüllt sein, um als stellares schwarzes Loch zu qualifizieren
1. das Objekt muß kompakt sein (Röntgenstrahlung, ms-Variabilität)
2. die Masse M muß (einwandfrei) bestimmt werden (kein Tripelsystem)
Falls die Masse etwa drei Sonnenmassen, M > M⊙, überschreitet, kann man sicher sein, daß man es
mit einem kollabierten Objekt zu tun hat. Sternentwicklungsrechnungen zeigen, daß Sterne bis zu 60
M⊙ noch als Neutronensterne enden. Damit erhält man als Abschätzung ihrer möglichen Anzahl in der
Galaxis etwa 1% der Neutronensterne. Die Progenitor Sterne könnten damit anzahl- und massenmäßig
Wolf-Rayet Sterne sein. Der beobachtete mittlere Abstand zwischen schwarzen Löchern (d. h. den
bekannten Schwarz-Loch-Kandidaten) beträgt 4 kpc.
Die folgende Tabelle gibt eine Liste möglicher stellarer Schwarz-Loch-Kandidaten (Stand 1996) von
Röntgen- bzw. Gamma- Binärsystemen in unserer Galaxis und in der Grossen Maghellanschen Wolke.
Die ersten drei Objekte der Liste, Cyg X-1 (entdeckt als Röntgen Quelle im Jahr 1971), LMC X-3 und
A0620-00 sind schon länger Kandidaten
und haben alle Versuche, als Neutronensterne
identifiziert zu werden, bisher erfolgreich
überstanden.
Spalte eins gibt die Bezeichnung der Quelle.
Die meisten Namen stammen aus den
Entdecker - Katalogen. A steht für ARI-
EL (engl. Satellit, 1964), GS bedeutet
Ginga Source und GRS ist die Bezeichnung
für Gamma Ray Source (vom US
Satelliten COMPTEL).
Es bedeuten ferner T die Orbitalperiode
in Stunden, i der Inklinationswinkel (un-
ter dem das System gesehen wird), Mx
die Masse des Schwarz-Loch-Kandidaten in M⊙ und q = Mx
Mb
Massen schwarzer Löcher
Name T i Mx q Sp d
h deg M⊙ Typ kpc
Cyg X−1 134 35 10 0.57 O9.7Ia 1.9
LMC X−3 40.9 . . . 9 . . . (B3V)? 50
A0620−00 7.75 55 6.1 14 K5 1.2
GRS1124−68 10.4 60 6.0 7.5 K4 6.5
GROJ1655−40 62.7 . . . 4.5 . . . . . . 3.2
H1705−250 12.5 60 7.5 12 K3 8.6
GS2000+250 8.26 66 7.2 20 K5 2.7
GS2023+338 155 . . . 12 . . . . . . 3.0
Tab. 2.6: Schwarz-Loch-Kandidaten
das Massenverhältnis von Röntgenstern
zu optischem Begleiter. Sp ist der Spektraltyp des Begleiters und d die Entfernung des Systems.
Einige der hier aufgeführten Schwarz-Loch-Kandidaten sind auch als Röntgen- und optische Novae
bekannt:
A0620−00 als V616 Mon
GRS1124−68 als Nova Muscae 1991
GS2000+250 Röntgen-Nova 1988
GRO J0422+32 als Nova Persei
Planeten
Von der Bildung eines Planetensystems um einen Stern wie die Sonne ist bisher nur wenig bekannt.
Das liegt daran, daß die wichtigsten Stufen bei sehr niedrigen Temperaturen (2000 . . . 4000 K) ablaufen
und damit nur schwer zu beobachten sind, da sie ins mm- bzw. Infrarot- Gebiet der Strahlung fallen.
Diese sind:
1. Kollaps der Wolke und zünden des Protosterns. T ≈ 2000 K, Dauer 10 4 yr, Durchmesser 400
AE

160 KAPITEL 2. GRAVITATION
2. Ausbildung der Scheibe mit Sternwind (Jet) T ≈ 4000 K, Dauer 10 5 yr
3. Bildung der Planeten, Durchmesser 400 AE, Dauer 10 7 yr
4. Erreichen der Hauptreihe nach 10 9 yr mit Planetensystem
Direkt beobachtet davon sind bisher Scheiben mit Massen an schweren Elementen von 10 −4 . . . 10 −3 M⊙.
Mehr als 100 solcher Scheiben sind bereits nachgewiesen. Beispiele sind die folgenden Sterne in Orion:
β-Pictoris, HH30, 114-426 und 183-405 und die Veränderlichen RY Tauri, DL Tauri und GM Aurigae.
Die optische Emission des Sterns liegt bei 1µ, die der Scheibe bei 20 bis 200 µ.
Indirekt kann man Planeten um Sterne beobachten, wenn man entweder die Dopplerverschiebung an
Linien des (Hauptreihen) Sterns oder die Laufzeitverzögerung eines Signals vom Stern (Pulsar) misst.
Die Auflösungsgrenze liegt bei der Doppler Methode zur Zeit bei 500 cm s −1 und damit kann man
etwa Planeten von einer Jupitermasse in einem Sonnensystem nachweisen. Es ist
∆λ
λ
= v
c
Mpl
M = 10−4 × 10 −3
wenn wir als Entfernung 1 AE (d. h. v = 30 km s −1 ) und für Mpl die Masse von Jupiter wählen.
Beispiele sind 51 Peg, 70 Vir, 47 UMa und 55 Can. Die Massen der Hauptreihen Sterne beträgt M⊙,
die der Planeten liegen zwischen 0.5 und 7 Jupitermassen (10 −3 M⊙). Alle Bahnen liegen innerhalb 2
AE (zum Vergleich: die Jupiterbahn hat 5 AE), die meisten sogar innerhalb der Merkurbahn. Bisher
sind also auf diese Weise keine braunen Zwerge entdeckt worden, es gibt aber erste Hinweise (Massen
etwa 10 −2 M⊙).
Dabei ist wichtige Voraussetzung für die Identifizierung, daß wir die Zustandsgleichung der Materie
und damit auch die möglichen Zustände von Körpern mit geringer Masse kennen.
1992 wurde (für viele vollkommen überraschend) der erste Pulsar mit zwei Planeten entdeckt. Aus
einem Fit der Pulsankunftszeiten von PSR 1257+12 erhält man die folgende Daten für die Plane-
ten. Die Orbitalperioden von Planet B und C stehen
etwa im Verhältnis von 2 : 3, was zu einer charakteristischen
Resonanz in einer Anziehung der beiden
Massen führt, die aus den Pulsankunftszeiten abgelesen
werden kann. Diese wurde korrekt vorhergesagt
und in drei Jahren durch Messungen bestätigt. Damit
gibt es keinen vernünftigen Zweifel mehr an der Realität
von Planeten außerhalb des Sonnensystems. Für
die Planeten gilt: Masseneinheit ist die Masse der Erde,
M⊕ = 5.997 · 10 27 g. Die grosse Halbachse a wird
in Licht-Millisekunden gemessen. Die Orbitalperiode,
Torb, ist in Tagen, der Radius in astronomischen Ein-
Daten des Pulsar Planeten Systems PSR 1257+12
P = 6.218 ms P ˙ = −19 1.14 · 10
D = 500 Parsec DM = 10 pc cm −3
Kepler Parameter der Planeten
Planet A B C
a 0.0035 1.31 1.41
e 0.0 0.018 0.026
Torb (d) 25.34 66.54 98.22
Rorb (AE) 0.19 0.36 0.47
Mpl (M⊕) 0.015 3.4 2.8
heiten (AE) und e ist die Bahnexzentrizität. Die ange-
Tab. 2.7: Pulsar-Planeten
nommene Masse, M, des Pulsars ist M = 1.4M⊙ und der Inklinationswinkel wurde mit sini = 1
festgelegt.
Ref:
Entdeckung des Pulsar-Planeten Systems: A. Wolszczan und D.A. Frail, 1992 Nature 355, 145
Messung der Resonanz: A. Wolszczan, 1994 Science 264, 538
2.3.5 Die ISM
Nach konventioneller Ansicht ist die interstellare Materie derjenige Anteil der Urmaterie der Galaxis,
der noch nicht in Sternen gebunden ist. Ursprünglich bestand die Galaxis nur aus Gas, irgendwann
wird dieses aufgebraucht sein (wie in Kugelsternhaufen).

2.3. DIE MASSENHIERARCHIE 161
Die interstellare Materie (ISM) ist danach in ständigem Austausch mit dem Material der Sterne begriffen.
Langfristig wird sie so mit schweren Elementen angereichert. Die chemische Zusammensetzung
sollte demnach ein Altersindikator sein und insbesondere im Zentrum der Milchstraße sollten nur noch
alte Sterne sein.
Wir besprechen im folgenden einige Aspekte, die beim Nachweis (durch Strahlung) und bei der Vorhersage
(möglicher Konstituenten) der ISM wichtig sind.
Bisher hat sich folgende Aussage noch immer als richtig erwiesen: eine Quelle, die nicht optisch identifiziert
werden kann, bleibt im wahrsten Sinne des Wortes im Dunkeln (also unverstanden). Ein gutes
Beispiel sind die Gamma Bursts. Die Umkehrung gilt nicht uneingeschränkt: Quasare sind seit langem
optisch identifiziert, aber nicht verstanden. Bei den Gamma Bursts ist immerhin ihre Entfernung
nunmehr bestimmt.
Teleskope und Observatorien
Radioastronomie kann vom Erdboden aus betrieben werden. Eine typische Frequenz zum Nachweis
von Radiokontinuumsquellen ist ν = 400 MHz (λ = 75 cm). Die Ionosphäre begrenzt die Durchläßigkeit
der Erdatmosphäre im unteren Frequenzbereich (unterhalb von 30 MHz), Wasserdampf im oberen (ab
300 GHz). Im letzteren Fall kann man interessante Moleküllinien von hohen Bergen (oder neuerdings
sogar vom Südpol) aus noch nachweisen. Die Empfänger erreichen mittlerweile 1 Tera Hz (300 µ) und
schließen damit ans IR an.
• DEFINITION (ZUM UMRECHNEN)
LTE (local thermodynamic equilibrium) herrscht vor, falls sich lokal, d. h. in einem kleinen Volumenelement, die verschiedenen
Konstituenten im thermodynamischen Gleichgewicht befinden. Es gilt dann für die
1. Photonen die Planck Verteilung,
2. Gaskomponente die Maxwell Verteilung und
3. ionisierte Komponente die Saha Gleichung
Der Energieaustausch zwischen den Komponenten kann dann wie folgt
E = hν = kBT = ∆mc 2
umgerechnet werden. Der Energie von 1 eV entspricht 1.602·10 −12 erg im Gaußschen System. Mit νλ = c, w = ν/c und
ɛ = hν erhält man für ɛ = 1 eV
λ = 1240 nm : T = 11605 K : ν = 241 THz : w = 8067 cm −1
1 eV cm −3 ist eine typische Energiedichte für das interstellare Gas, seine magnetische Energie und für das Strahlungsfeld
der Sterne.
Das (sichtbare) optische Spektrum reicht von etwa 800 nm bis 400 nm, der Bereich von 550 bis 500 nm ist grün. Die Balmer
Linie, Hα, liegt bei λ = 6563 ˚Angstrøm (rot).
Radiolinien
Das bei weitem häufigste Element ist Wasserstoff. Ionisierter Wasserstoff wird in der Astronomie mit
HII, atomarer mit HI bezeichnet. HI in kalten Regionen hat nur zwei Anregungsmöglichkeiten:
1. Spin Flip (21-cm Linie, Emission oder auch Absorption gegen starke Quelle),
2. Lyα (Lyman−α in Absorption: der (1s → 2p)−Übergang bei 10 eV oder λ = 1215 ˚A).
Staub und molekularer Wasserstoff, H2, bedingen sich gegenseitig. In kalter Umgebung kann H2 nur
auf Staub gebildet werden, umgekehrt schützt der Staub H2 gegen Dissoziation durch UV-Strahlung.

162 KAPITEL 2. GRAVITATION
• BEISPIEL (DIE 21-CM LINIE)
Wir stellen zunächst einige Eigenschaften des H-Atoms (Z = 1) im Grundzustand zusammen. Dieser wird aufgespalten
durch die Hyperfein Wechselwirkung des mag. Moments des Elektrons, geµe, mit dem des Protons, gpµp. Die (vorzeichenlose)
Größe
µB = e¯h
2mec = 9.273 · 10−21 erg/Gauss (2.130)
heißt Bohrsches Magneton des Elektrons und liefert die Grundeinheit für die Wechselwirkung im Magnetfeld. Mit dem
Landé-Faktor
G(L) = 1 +
J(J + 1) − L(L + 1) + S(S + 1)
2J(J + 1)
(2.131)
gilt für die Energieaufspaltung eines Teilchens mit Spin S, Bahndrehimpuls L und Gesamtdrehimpuls J = L + S im
äusseren Magnetfeld B
∆E = G(L)mJ�µe � B mit mJ = −J, −J + 1, . . . , J (2.132)
Die Größe mJ ist die magnetische Quantenzahl, die Aufspaltung heißt (anomaler) Zeeman-Effekt. Das magnetische Moment
des Elektrons ist gegeben durch µ B..
Teilchen ohne Spin (S = 0) haben g = G = 1 und für L = 0 heißt G auch das gyromagnetische Verhältnis. Für Elektronen
ist ge ≈ 2 und demnach
�µe = −geµ B � S (2.133)
wobei ¯h � S der Spinoperator ist.
Proton und Neutron haben ebenfalls ein magnetisches Moment, welches in Einheiten des Kernmagnetons gemessen wird:
µK = e¯h
2mpc
= 5.05 · 10 −24 erg/Gauss (2.134)
Für die drei Grundbausteine Proton, Neutron und Deuteron gelten die folgenden empirischen Relationen:
Proton: gp = 5.5855 (anstatt 2)
Neutron: gn = −3.8270 (anstatt 0)
Deuteron: gD ≈ gp + gn.
Der Grundzustand von H hat die Quantenzahlen
(n, s, l, j, I, F ) = (1, 1
2
, 0, 1
2
1
, , F )
2
mit den zusätzlichen Quantenzahlen I für Kernspin (Multiplizität 2I+1 = 2) und F für den Gesamtdrehimpuls (F = j+I).
Die pot. Energie eines mag. Dipols im äusseren Magnetfeld des Protons (genähert als zwei Punktdipole, ausgerichtet längs
ihrer Achsen) beträgt klassisch Hdip = −�µ � B. In der Quantenmechanik wird daraus der Operator
HLS = e2
m 2 c 2
1
r 3 (� L � S)
Für die Hyperfeinaufspaltung des mag. Moments des Elektrons, geµe, mit dem des Protons, gpµp, erhält man damit folgende
Energie:
∆Ehfs = m ∗ c 2 � � 5 4
me Z α
gegp
2n5 � �
F (F + 1) − I(I + 1) − J(J + 1)
(2.135)
J(J + 1)(2L + 1)
mp
(m ∗ ist hier genauer die reduzierte Masse des Elektrons!) oder, wenn wir die Bindungsenergie des H-Atoms IH und den
Landé-Faktor einführen, mit
IH = 1
2 α2 m ∗ c 2
und G(F ) =
erhalten wir für die Hyperfeinaufspaltung der Energie
� � 5 2
me Z α
∆Ehfs = gegpIH
G(F )
n5 mp
F (F + 1) − I(I + 1) − J(J + 1)
J(J + 1)(2L + 1)

2.3. DIE MASSENHIERARCHIE 163
mit ge = 2 (Dirac) und gp = 5.6 (empirisch). Es ist G(0) = − 6
2
3 und G(1) = 3 .
Demnach hat der Grundzustand ∆Ehfs(n = 1) für F = 0 (antiparallele Spins) die niedrigste Energie. Der Übergang
F = 1 → 0 hat die
∆Ehfs(n = 1) = −gegpα 4
� �
me
mec 2
(2.136)
in Zahlen
mp
Energie ∆Ehfs(n = 1) ≈ 5.6 · 10 −6
eV oder k∆T = 0.06 K
• DEFINITION (LINIEN ZUM NACHSCHLAGEN)
Die ersten Identifikationen interstellarer Elemente wurden optisch gemacht.
Berühmte Beispiele sind die Identifizierung von Nebulium durch Owen und von H − durch Wildt. Insbesondere für Nebel,
die von einem heißen Stern geheizt werden, sind ganz be-
sondere Anregungsmechanismen wichtig. Charakteritikum
solcher Nebel ist das Auftreten von (im Labor) nicht beobachteten
Linien bzw. Übergängen wie die [O ++ ]-Linie oder
der Zwei - Photonenübergang (2s - 1s) bei H.
Die Radioastronomie hat insbesondere die Molekülphysik
bis hin zur organischen Chemie erweitert.
Interessant ist mittlerweile nicht mehr, was entdeckt wird
(etwa Alkohol, Zucker und Benzol) sondern was fehlt (O2
fehlt und H2O ist viel weniger vorhanden, als ursprünglich
bestimmt).
Einige wichtige Nachweis Linien zur Bestimmung der Temperatur
und der Häufigkeit der Elemente sind in der folgenden
Tabelle aufgeführt.
Damit erreicht man für vollständig ionisiertes Eisen, Z =
26, bei der Rekombination bereits Energien, die im mittleren
Röntgenbereich (E = 9 · 10 3 eV) liegen (und dort auch
selbst bei kosmologischen Quellen beobachtet werden).
Wichtige Nachweis Linien
Name Element E T λ
Bezeichnung Übergang eV Kelvin
atomar
Hyperfein H 5·10 −6 0.06 21 cm
molekular, Rotation
CO 1 → 0 50 2.6 mm
HD 1 → 0 440 µ
H2 2 → 0 500 28 µ
atomar, elektronische Anregung
Hα (Balmer) 2s→3p 3.6 6563 ˚A
Lα (Lyman) 1s→2p 10 10 5 1215 ˚A
Fe XXVI Ka 1s→2p 6.9·10 3 1.79 ˚A
Fe XXVI Kb 1s→3p 8.1·10 3 10 7 1.54 ˚A
relativistisch
Positronium e, ē 5·105 Für das H Atom hat der Grundzustand ∆Ehfs(n = 1) für F = 0 (antiparallele Spins) die niedrigste
Energie. Der Übergang F = 1 → 0 (Spin Flip) hat die Energie
∆Ehfs(n = 1) = −gegpα Tab. 2.8: Cygnus A
4
� �
me
mec
mp
2
(2.137)
was λ = 21 cm entspricht. In Zahlen
Energie ∆Ehfs(n = 1) ≈ 5.6 · 10 −6
eV oder k∆T = 0.06 K
Die dazu gehörende Frequenz ist eine der am genauesten bestimmten Größen der Physik:
νhfs = 1 420. 405 751 786 MHz (2.138)
Auch der Einstein A Koeffizient kann exakt bestimmt werden. Es gilt in Zahlen für die Emission:
A ≈ 2.85 · 10 −15
s −1 (2.139)
was einer Lebensdauer von T = 10 Myr entspricht. Für die Säulendichte NH des Hyperfeinübergangs
bei atomarem Wasserstoff ergibt sich damit in der Beobachtung angepassten Einheiten
N = 1.8 · 10 18
�
(Tsp/K)(dv/kms −1 ) cm−2 (2.140)
Das Molekül OH hat zwei starke Maserlinien bei den Frequenzen 1665 und 1667 MHz (mit ∆F = 0
und zwei schwache bei 1612 und 1720 MHz mit ∆F = ±1). Es handelt sich hierbei um die Hyperfeinaufspaltung
eines l = 18 cm Übergangs (Λ Verdopplung des 2 Π3/2 Grundzustands).

164 KAPITEL 2. GRAVITATION
Die Formel für die Feinstruktur Aufspaltung lautet
∆Enslj = −m ∗ c 2
(Zα) 4
n 4 (2j + 1)
(2.141)
Für die Balmer Linie liefert das eine Aufspaltung um
∆E(P3/2 − P1/2) = m ∗ c 2 (Zα) 4
32) = 4.53 · 10−5 eV (10.9 GHz).
Die Positronium Vernichtungslinie wurde im Zentrum der Milchstraße (allerdings nur zeitweise) gesehen.
Dispersion
Die Laufzeit T des Pulssignals zwischen Radiopulsar und Erde (Entfernung L) wird beeinflusst durch
zwei Effekte, die Auskunft über Dichte der Elektronen und dem Magnetfeld (parallel zum Beobachter)
geben. Die Gruppengeschwindigkeit vg bestimmt die Pulsankunftszeit
vgT = L mit vg = dk
dω
Das Plasma führt zu einer frequenzabhängigen Zeitverzögerung:
∆tD = L ν
2c
2 p∆ν
ν3 D2
= 0.4293
ν −2
∆ν
9 ν
sec (2.142)
wobei L die Distanz und νp die Plasmafrequenz ist. Diese kann durch entsprechend hohe (oder mehrere)
Messfrequenzen ausgeschaltet werden. Für ein Dispersionsmaß von D2 = 100 cm −3 pc beträgt die
Verzögerung (gegenüber dem Vakuum) bei 10 9 Hz etwa 0.43 sec.
2.3.6 Relativistische ISM
White Dwarfs, Neutron Stars and Supernovae
• ANMERKUNG (ZEITTAFEL)
1054 Chinese and American Indian astronomers observe
the Crab supernova explosion
1572 Tycho Brahe discovers his supernova in Cassiopeia
1604 Johannes Kepler’s supernova in Serpens is observed
1862 Alvan Clark observes Sirius B
1866 William Huggins studies the spectrum of a nova and discovers that it is
surrounded by a cloud of hydrogen
1914 Walter Adams determines an incredibly high density for Sirius B
1926 Ralph Fowler uses Fermi-Dirac statistics to explain white dwarf stars
1930 Subrahmanyan Chandrasekhar discovers the white dwarf maximum mass limit
1932 Lev Dadovitch Landau (sofort nach Entdeckung des Neutrons durch Chadwick)
entwickelt das Konzept des Neutronensterns
1933 Fritz Zwicky and Walter Baade propose the neutron star idea and suggest
that supernovae might be created by the collapse of normal stars to
neutron stars—they also point out that such events can explain the
cosmic ray background
1939 Robert Oppenheimer and George Volkoff calculate the first neutron star
models
1942 J.J.L. Duyvendak, Nicholas Mayall, and Jan Oort deduce that the Crab
Nebula is a remnant of the 1054 supernova observed by Chinese astronomers
1962 Riccardo Giacconi, Herbert Gursky, Frank Paolini, and Bruno Rossi
discover Sco X-1
1967 Jocelyn Bell and Anthony Hewish discover radio pulses from a pulsar
1967 J.R. Harries, Ken McCracken, R.J. Francey, and A.G. Fenton discover the

2.3. DIE MASSENHIERARCHIE 165
first X-ray transient (Cen X-2)
1968 Thomas Gold proposes that pulsars are rotating neutron stars
1969 David Staelin, E.C. Reifenstein, William Cocke, Mike Disney
and Donald Taylor discover the Crab Nebula pulsar thus
connecting supernovae, neutron stars, and pulsars
1971 Riccardo Giacconi, Herbert Gursky, Ed Kellogg, R.
Levinson, E. Schreier, and H. Tananbaum discover 4.8 second X-ray
pulsations from Cen X-3
1974 Russell Hulse and Joseph Taylor
discover the binary pulsar PSR1913+16
1977 Kip Thorne and Anna Zytkow
present a detailed analysis of Thorne-Zytkow objects
1982 D.C. Backer, Shrinivas Kulkarni, Carl Heiles, M.M. Davis, and Miller
Goss discover the millisecond pulsar PSR1937+214
1985 Michiel van der Klis
discovers 30 Hz quasi-periodic oscillations in GX 5-1
1987 Ian Shelton discovers supernova 1987A in the Large Magellanic Cloud
Zu einer Zeit, wo noch an der Existenz Weißer Zwerge gezweifelt wurde, wurden Neutronensterne gleich zweimal theoretisch
vorhergesagt. Das erste Mal 1932 von L. D. Landau, sobald das Neutron 1932 von Chadwick entdeckt worden war.
Landau nahm an, daß sich im Innern von ausgebrannten, massiven Sternen ein Kern aus Neutronenmaterie bilden würde.
Das Konzept des Neutronensterns wurde dann 1933 unabhängig von Baade und Zwicky nochmals entwickelt, diesmal
orientiert an astronomischen Beobachtungen.

166 KAPITEL 2. GRAVITATION
2.4 Bestimmung der Masse des Kosmos
Die Allgemeine Relativitätstheorie Einsteins erlaubt es, die Masse des Kosmos als ganzes mithilfe der
Feldgleichungen der ART zu bestimmen. Im einfachsten Fall ist dazu nur eine einzige Messung nötig.
2.4.1 Einleitung
Die Allgemeine Relativitätstheorie führt zu extrem nichtlinearen Gleichungen, was bedeutet, daß es
nur sehr wenige exakte, physikalisch relevante Lösungen (Solitonen) gibt. Daß es überhaupt relevante
Lösungen zur Kosmologie gibt, liegt an einem Prinzip, welches (nach Milne) von Einstein erstmals so
formuliert wurde: der 3-dim Raum besitzt Homogenität (Skalare wie Dichte und Druck sind überall
gleich) und Isotropie (keine Richtung ausgezeichnet, keine Gradienten).
Zum Nachschlagen zunächst eine Formelsammlung.
• DEFINITION (DIE ALLGEMEIN RELATIVISTISCHE GRAVITATIONSKONSTANTE)
Für die in der ART auftretende Kombination aus Newtonscher Gravitationskonstante G und Lichtgeschwindigkeit c definieren
wir zwei neue Größen zur bequemeren Schreibweise der Gleichungen:
κ = 8πG
= 1.86 · 10−27
c2 cm g−1 ; ˆκ = κ
= 2 · 10−48
c2 cm 3 g −1 s −2 (2.143)
die allgemein relativistischen Gravitationskonstanten, welche sich auf den Materie Tensor bzw. den Energietensor in geometrische
Einheiten (Länge) umrechnen.
• FORMELN (DIE GRAVISCHE LAGRANGE-DICHTE)
Das invarianten 4-er Volumelement ist
√ −gdΩ = √ −gcdtdxdydz mit g := det(gab) (2.144)
Die Feldgleichungen (der Metrik gik) der ART können, wie alle fundamentalen Felder, aus einer invarianten Wirkung, Sg,
�
Sg =
√ dΩ
Λg −g
c
(2.145)
mit der gravischen Lagrange-Dichte Λg und (dem invarianten Volumen) √ −gdΩ, Glchg. (2.144) durch Variation der Wirkung
Sg nach der Metrik gik gewonnen werden.
Dabei ist die Lagrange-Dichte Λg gegeben durch den einzig möglichen Skalar in der Riemannschen Geometrie, R, der zu
quasi linearen Differential Gleichungen zweiter Ordnung führt:
Λg = − 1
R (2.146)
2ˆκ
wobei R der Ricci Skalar und ˆκ die allgemein relativistische Gravitationskonstante (bezogen auf die Energiedichte) ist.
Ein Ausdruck des Äquivalenzprinzips ist, daß die Kopplungskonstante im geometrischen Teil der Wirkung
auftritt und nicht im Materieteil. Damit koppelt die Gravitation an alles, was Energie besitzt und der Nullpunkt
der Energie ist nicht mehr willkürlich.
Die gesamte Wirkung, Stot ist linear in den verschiedenen Feldbeiträgen:
�
Stot = Sg + Sf = (Λg + Λf ) √ −g dΩ
c
(2.147)
• FORMELN (DER ENERGIE-IMPULSTENSOR)
Die Variation der Lagrange-Dichte Λf nach der Metrik gik liefert automatisch die symmetrische Energie-Impulstensor-
Dichte,
1√
−g Tab =
2
∂√−g Λf
∂gab welche als Quelle der Gravitation in der ART auftritt.

2.4. DIE MASSE DES KOSMOS 167
Die Lagrange-Dichte Λf für das elektromagnetische Feld ist
Λem = − 1
16π F ab Fab
woraus, mit der Identität
∂ √ −g 1√
= − −g gab
∂gab 2
die symmetrische Energie-Impulstensor-Dichte für das quellfreie Feld (z. B. Photonen)
Tik = 1
�
−FilFk
4π
l + 1
4 (F ab �
Fab)gik
folgt. Wichtig ist hier die Identität (für die Spur)
T i i = 0 d. h. T 0 0 = T 1 1 + T 2 2 + T 3 3
Für ein isotropes Strahlungsfeld folgt damit die Zustandsgleichung für Photonen: ɛ = 3p.
Mit u i bezeichnen wir die 4-er Geschwindigkeit der Materie,
u i = dxi
ds
(2.148)
(2.149)
(2.150)
u i u k gik = 1 (2.151)
und Materie mit Druck p und Energiedichte ɛ (ɛ = ρc 2 ) wird durch einen Tensor der Form
beschrieben.
Tab = (ɛ + p)uaub − pgab
• FORMELN (DIE EINSTEINSCHEN FELDGLEICHUNGEN)
Die Einsteinschen Feldgleichungen für den gravischen Anteil folgen aus
δSg = − 1
�
R
2ˆκ
√ −g dΩ
c
Sie lauten (zusammen mit Materie) mit den Definitionen Glchg. (2.143)
und
Gab = ˆκTab
Rab = Riakbg ik
R = R ik gik
(2.152)
(2.153)
(2.154)
(2.155)
Gab = Rab − 1
2 gabR G ik ;k = 0 (2.156)
Tab = (ɛ + p)uaub − pgab ɛ = ρc 2
(2.157)
Die hier auftretenden Definitionen und Symbole haben folgende Bedeutung:
Rab Ricci Tensor; Gab Riemann oder Einstein Tensor; Tab Energie-Impulstensor einer idealen Flüssigkeit;
ɛ die gesamte Energiedichte, (umgerechnet ρ die gesamte Massendichte);
p (jetzt klein geschrieben) der Druck; die Größe w = ɛ + p ist die Enthalpie pro Volumeneinheit
ua die 4-er Geschwindigkeit (uaubgab = 1) der Materie.
Im Ruhsystem der Materie ist ua = g −1/2
00 δa 0 und die gemischten Komponenten von Tab haben die Komponenten T b a =
diag(ɛ, −p, −p, −p).
Die Bewegungsgleichungen müssen nicht wie in der SRT getrennt postuliert werden, sondern folgen aus den Feldgleichungen:
aufgrund der Bianchi Identität
G k i ;k = 1
√ −g ( √ −gG k i ),k − 1
2 gkl,iG kl = 0 (2.158)
folgen aus den Feldgleichungen die Bewegungsgleichungen
T ik ;k = 0 (2.159)
kovariant geschrieben. Sie sind unabhängig von der Gravitationskonstante, was ein Ausdruck des Äquivalenzprinzips ist.

168 KAPITEL 2. GRAVITATION
• FORMELN (DIE FRIEDMANN GLEICHUNGEN)
Die Metrik (Robertson Walker)
ds 2 = gikdx i dx k = c 2 dt 2 − a(t) 2 dl 2 (k) (2.160)
dl 2 (k) = dχ 2 + σk(χ) 2 (dΘ 2 + sin 2 Θdφ 2 ) (2.161)
wobei σ(χ) die Masstabsfunktion des 3-dim Raums ist:
σ1(χ) = sin χ (2.162)
σ0(χ) = χ (2.163)
σ−1(χ) = Sinhχ (2.164)
Die Ableitung nach ct bezeichnen wir mit ′
Die Friedmann Gleichungen lauten
� � ′ 2 � �2 a 1
3 + 3k = ˆκɛ (2.165)
a a
2 a′′
a +
� � ′ 2 � �2 a 1
+ k = −ˆκp (2.166)
a a
oder, mit expliziter Berücksichtigung des Vakuums
� � ′ 2 � �2 a 1
3 + 3k
a a
2
= ˆκ(ɛ + ɛv) (2.167)
a′′
a +
� � ′ 2 � �2 a 1
+ k
a a
= −ˆκ(p − ɛv) (2.168)
• FORMELN (EINE MINI-LAGRANGE-FUNKTION)
Explizit ist
R00 = −3 a′′
Rαβ =
�
a
a
−
′′ � ′ a
+ 2
a a
R =
�
a
−6
′′
a +
� ′ a
a
� 2
� 2
� � �
2
1
+ 2k
a
� � �
2
1
+ k
a
gαβ
Die verkürzte Wirkung, die nur noch den Skalenfaktor a als Variable enthält (und die 3-Geometrie festhält)
δSg = − 1
� �
a
−6
2ˆκ
′′
a +
� � ′ 2 � � �
2
a 1 3 dΩ
+ k a
a a c
führt zunächst auf die Lagrange-Dichte
Lg = 3
�
a
ˆκ
′′
a +
� � ′ 2 � � �
2
a 1
+ k
a a
(2.169)
(2.170)
(2.171)
(2.172)
(2.173)
und, nach Umintegration, auf die Lagrange-Funktion (zusätzlich mit Quellterm)
Lg = 3 � � ′ 2 3
−a(a ) + ka − ɛa (2.174)
ˆκ
Die (zeitlich erhaltene) Gravitations-Energie ist negativ, die thermische (plus Ruhmassenenergie) ɛa3 ist positiv. Die Allgemeine
Relativitätstheorie verlangt, daß die Summe
′ ∂L 3 � � ′ 2 3
Eo = a − L = −a(a ) − ka + ɛa (2.175)
∂a ′ ˆκ
verschwindet.
Bei der Variation gilt der erste Hauptsatz der Thermodynamik
δ(ɛa 3 ) = −pδ(a 3 ) (2.176)
Damit folgt (nach Kürzen mit 3/ˆκ)
2 a′′
a +
� � ′ 2 � �2 a 1
+ k = −ˆκp (2.177)
a a
Die drei Gleichungen, ((2.175), (2.176) und (2.177)) sind die Friedmann Gleichungen (mit Identität), wenn wir Eo = 0
setzen.

2.4. DIE MASSE DES KOSMOS 169
2.4.2 Dynamik und Hubbles Galaxienflucht
Frühe Modelle
Die einfachste Vorstellung vom Universum ist die eines ewigen, statischen Universums mit bestenfalls
stationären Mitgliedern (wie Sterne und Planeten). Diese Vorstellung war so offensichtlich richtig, daß
das erste kosmologische Modell Einsteins statisch war. Ein statisches Universum hat keinen Anfang
und kein Ende, also muß man auch nicht erklären, wie diese beschaffen (Kosmologie) sind bzw. woher
sie rühren (Kosmogonie).
Die ersten nichtstatischen Lösungen der ART wurden bereits 1922 und 1924 von Friedmann gefunden,
aber von Einstein als ’furchtbar’ verworfen (sie haben einen singulären Anfang, den heute allgemein
akzeptierten Urknall). Die Entdeckung Hubbles (1929) einer allgemeinen Galaxienflucht wurde dann
aber auch von Einstein (de Sitter, Lemaître u.v.a.) sehr bald als Expansion des Kosmos gedeutet.
Hubbles allgemeine Galaxienflucht
Die Entdeckung Hubbles führt zunächst auf die folgende rein kinematische Beschreibung. Das kosmologische
Prinzip (Einsteins Weltpostulat) verlangt, daß im Raum kein Punkt vor dem anderen ausgezeichnet
ist. Das liefert die Homogenität und Isotropie für den Raum zu jedem Zeitpunkt und führt
auf Räume konstanter Krümmung. Für jeden Abstand l zwischen zwei Punkten gilt dann, daß die
Geschwindigkeit ˙ l = v
˙l = v = Hl (2.178)
mit der zwei beliebige Punkte proportional zur Entfernung l dieser Punkte ist. Das gilt auch für den
Krümmungsradius a. Wir betonen, daß dies eine rein kinematische Beschreibung ist. Diese Fluchtgeschwindigkeit
˙ l = v führt zu einer Rotverschiebung und diese wieder zu einem Horizont, ˙ l > c,
jenseits dessen das Universum unbeobachtbar ist.
Die kosmologische Rotverschiebung ist wie folgt definiert:
1 + z = λo
λe
= ωe
ωo
(2.179)
dabei ist λo die vom Observer gemessene, λe die vom Sender emittierte Wellenlänge. Für einen im
Kosmos mitschwimmenden Beobachter und eine ebensolche Quelle ist die Bewegungs-Richtung rein
radial.
Zur Bestimmung der Rotverschiebung z im expandierenden Kosmos reicht die Spezielle Relativitätstheorie.
Dort gilt allgemein
√
1 − β2 νo = νe
(2.180)
1 + β cos θ
wobei θ der Winkel zwischen der Visionsrichtung des Beobachters und der Bewegungsrichtung der
Quelle ist. Für eine Quelle, die sich radial vom Beobachter weg bewegt, ist θ = 0 und es gilt
�
1 + β
1 + z =
1 − β
mit der Umkehrung
β = (1 + z)2 − 1
(1 + z) 2 + 1
= z
1 + z
2
1 + z(1 + z
2 )
(2.181)
(2.182)
Dabei ist β = ˙ l/c direkt messbar, und der Wert für H folgt, wenn l bestimmt werden kann.
Eine solche Bewegung heißt homolog. Anders als bei Kepler, der die kinematischen Gesetze der Planetenbewegung
mithilfe vorhandener Beobachtungen vollständig bestimmen konnte, ist das in der Kosmolgie
nicht möglich: der Kosmos ist dazu zu groß.

170 KAPITEL 2. GRAVITATION
Die Parameter des Standard Modells
Ähnlich wie man die Masse der Planeten und der Sonne bestimmen kann, kann auch die Masse des
Kosmos aus seiner Dynamik bestimmt werden. Grundlage ist die Allgemeine Relativitätstheorie Einsteins.
Im Standard Modell der Kosmologie reichen zwei Parameter, zur Festlegung: die Hubble Konstante
H und die Dichte ρ, die mit dem Parameter Ω
Ω = ρ
ρc
= κρc2
3H 2
(2.183)
parametrisiert wird. Im einfachsten aller Modelle ist Ω = 1 und es genügt eine einzige Größe, die
kritische Dichte, ρc, den Kosmos und seine Dynamik vollständig zu bestimmen.
2.4.3 Zum Nachschlagen
• DEFINITION (PARAMETER DER ART)
1. c die Lichtgeschwindigkeit.
2. G ist Newtonsche Gravitationskonstante
G = 6.6732 · 10 −8
3. ˆκ die relativistische Kopplungskonstante
ˆκ = 8πG
c 4
4. ɛ = ρc 2 die Massen-Energiedichte,
5. ρc die kritische Dichte, (Ω = 1)
cm 3 g −1 s −2 (2.184)
ρc = 3H2
8πG = 5 · 10−30 (2h) 2
gcm −3
6. R oder a Skalenfaktor der Expansion (’Radius’ des Universums)
7. Ω der dimensionslose Dichteparameter, (bestimmt in der ART die Geometrie)
8. H Hubble Expansionsparameter und kritische Dichte des Universums
H = ˙ R
R
; ρc = 3
8πG H2
; Ω = ρ
ρc
= 8πG
3 ρH−2
• FORMELN (DIE KOVARIANTE ABLEITUNG UND DIE CHRISTOFFELSYMBOLE)
Die 4–dim. Raumzeit der Einsteinschen Allgemeinen Relativitätstheorie (ART) beschreiben wir mit den Koordinaten
Die Metrik
(2.185)
(2.186)
(2.187)
x 0 = ct, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z (2.188)
ds 2 = gikdx i dx k
hat die Signatur
(2.189)
(+ − − −) (2.190)
Das invarianten 4-er Volumelement ist
√ −gdΩ = √ −gcdtdxdydz mit g := det(gab) (2.191)
Die Christoffelsymbole Γ i kl
zusammen:
Γ i kl = 1
2 gim
� ∂gmk
∂x
bestimmen den affinen Zusammenhang. Sie hängen wie folgt mit dem metrischen Tensor
∂x
∂x m
∂gml ∂gkl
+ − l k
Damit gilt für die kovariante Ableitung eines Vektors
A i ;l = ∂Ai
∂x l + Γi klA k
�
(2.192)

2.4. DIE MASSE DES KOSMOS 171
und die eines Tensors
A ik ;l = ∂Aik
∂x l + Γk mlA im
Die Christoffelsymbole sind symmetrisch in den unteren Indizes
Γ i jk = Γ i kj
und werden auch affiner Zusammenhang genannt. Vereinfachend werden wir auch die Komma Notation benutzen:
Γ i jk = 1
2 gil (glj,k + glk,j − gjk,l) (2.193)
Die Komponenten des Riemannschen Tensors sind explizit durch den folgenden Ausdruck gegeben:
R i kab = Γ i kb,a − Γ i ka,b + Γ i laΓ l lb − Γ i lbΓ l la
Mit u i bezeichnen wir die 4-er Geschwindigkeit der Materie,
u i = dxi
ds
(2.194)
u i u k gik = 1 (2.195)
Die kovariante Form der Beschleunigung ist der Term auf der linken Seite
D
Ds ui = u i + Γ i jku j u k = 0 (2.196)
Falls sie, wie hier angegeben, verschwindet, dann ist dies die Geodätengleichung für die Bahn x i (s) in einem Raum mit
dem metrischen Tensor gik.
• FORMELN (ROBERTSON-WALKER METRIK UND FRIEDMANN GLEICHUNGEN)
Die Robertson-Walker Metrik, ds 2 (k),
beschreibt die zeitliche Änderung Räume konstanter Krümmung. Die Bewegung ist eine homologe Expansion. Es ist von
der Form (R = a):
ds 2 = gikdx i dx k = c 2 dt 2 − a(t) 2 dl 2 (k) (2.197)
dl 2 (k) = dχ 2 + σk(χ) 2 (dΘ 2 + sin 2 Θdφ 2 ) (2.198)
mit der Masstabsfunktion σk = σk(χ) und k = 1, 0, −1.
σ1(χ) = sin χ (2.199)
σ0(χ) = χ (2.200)
σ−1(χ) = Sinhχ (2.201)
Die Einstein-Friedmann Gleichungen der ART lauten vollständig für die Robertson-Walker Metrik
� ′ a
3
a
2 a′′
a +
� ′ a
a
� 2
� 2
�
1
+ 3k
a
�
1
+ k
a
� 2
� 2
= ˆκɛ (2.202)
= −ˆκp (2.203)
dabei ist ɛ die Massen-Energiedichte, p der Druck und ˆκ die relativistische Kopplungskonstante, mit der Bedeutung, wie
sie in den Definitionen ’Parameter der ART’ aufgeführt sind.
• FORMELN (DIE EINSTEINSCHE FELDGLEICHUNGEN)
Die Feldgleichungen der ART (Einstein, 1915) lauten
Gab = ˆκTab
Der Operator Gab
Gab = Rab − 1
2 gabR
(2.204)

172 KAPITEL 2. GRAVITATION
heißt Riemann- oder Einstein-Tensor, Rab heißt Ricci-Tensor.
Er erfüllt die 4 Bianchi Identitäten
G k i ;k = 1
√ −g ( √ −gG k i ),k − 1
2 gkl,iG kl = 0 (2.205)
welche vermöge der Einsteinschen Feldgleichungen die Bewegungsgleichung
T ik ;k = 0 (2.206)
der Materie liefern. Das Semikolon bedeutet kovariante Ableitung.
T ik
;k = T ik
,k + Γ k mkT im
• FORMELN (DATEN DES KOSMOS)
Der kritischen Massendichte
ρc = 3H2
8πG = 5 · 10−30 (2h) 2
gcm −3
entspricht die kritische Baryonen Teilchendichte
nc = 3H2
= 3 · 10
8πGmp
−6 (2h) 2
cm −3
(2.207)
Die Baryonen Teilchendichte ist nb = Ωnc. Für die Entropie pro Baryon, ˜s = nγ/nb, der Hintergrundstrahlung von
Tbb = 2.735 Kelvin gilt dann:
˜s = nγ
nb
= 1.4 · 10 8 [Ω −1 (2h) −2 ] (2.208)
Im folgenden wollen wir diese mit ihrem Kehrwert parametrisieren
η = nb
nγ
= 8 · 10 −9 [Ω(2h) 2 ] (2.209)
Der Parameter η ist also das Verhältnis von Baryonen- zu Photonenzahl im Einheitsvolumen. Die Elementsynthese im
frühen Universum führt auf die Bedingung 3 < 10 10 η < 4 für die Baryonische Komponente, was Ωb = 0.05 bei h = 0.5
impliziert.
In konkreten Anwendungen werden wir Ω ≈ 0.05 und h = 0.5 annehmen, der Rest ist Dunkelmaterie und Ω < 0.3.
Die Zustandsgleichung lautet:
ρ = ρo
� �3 �
Ro
1 + θm(o)
R
Ro
�
R
und (nur masselose Felder liefern einen Druck, Index γ)
pγ = 1
3 ργc 2 = ɛoθm(o)
� �4 Ro
R
2.4.4 Von Newton zu Einstein
(2.210)
(2.211)
Die Allgemeine Relativitätstheorie Einsteins (ART) führt formal auf die gleiche Dynamik des Kosmos
wie die Newtonschen Theorie. In beiden wird sie durch den Materieinhalt (und dessen Zustandsgleichung)
bestimmt. Daß die Newtonschen Theorie überhaupt zu einer qualitativ korrekten Beschreibung
führt, liegt an folgender wichtigen Eigenschaft der ART (und gilt natürlich auch in der Newtonsche
Gravitationstheorie): bei Kugelsymmetrie liefert die außerhalb der Kugel liegende Materie keinen Beitrag
zum Feld innerhalb (in der ART ist das der Satz von Birkhoff). Bekanntlich ist aber die Newtonsche
Gravitationstheorie eine sehr gute Näherung für schwache Felder und kleine Abstände, hier
müßen beide demnach stetig ineinander übergehen.

2.4. DIE MASSE DES KOSMOS 173
Grundlagen
• ANMERKUNG (AXIOME UND POSTULATE)
1. Axiom: Riemannsche Differentialgeometrie in 1+3 Dimensionen
Die Raumzeit ist punktal durch die Minkowski Raumzeit mit einer Zeit- und drei Raumdimensionen
R4 = R1 × R3
beschreibbar. Die Spezielle Relativitätstheorie wird durch folgende Metrik
ds 2 = ηikdx i dx k = c 2 dt 2 − (dx 2 + dy 2 + dz 2 ) (2.212)
beschrieben. Die Komponenten des Tensors ηik sind also orthogonal und normiert:
ηik = diag ( + 1, − 1, − 1, − 1) (2.213)
Lokal wird daraus eine Riemannsche Differentialgeometrie. Diese 4–dim. Raumzeit (Allgemeine Relativitätstheorie)
beschreiben wir mit den Koordinaten
x 0 = ct, x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z (2.214)
Die Metrik ist dann global durch
ds 2 = gikdx i dx k
(2.215)
gegeben und das invarianten 4-er Volumelement ist
√ −gdΩ = √ −gcdtdxdydz mit g := det(gab) (2.216)
2. Axiom: Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
1. Postulat: Die dynamischen Gleichungen der Physik, nicht nur die der ART, folgen aus einem Wirkungsprinzip.
2. Postulat: Die Wirkung ist ein Skalar.
Die Einsteinschen Feldgleichungen folgen aus einem Wirkungsprinzip
δS = 0 ; S = 1
c
�
Λ √ −gdΩ ; dΩ = d 4 x = cdtdV (2.217)
wobei die Wirkung S die Summe aus den verschiedenen Feldanteilen ist.
3. Postulat: Alle Felder (mit Index g, m und v) tragen in linearer Superposition bei
�
S = (Λg + Λm + Λv) √ −g dΩ
c
(2.218)
Die Feldgleichungen aller Felder folgen normalerweise einzeln aus δSi = 0, wobei i für den Index g, m und v
steht. In der ART sind sie durch die Bianchi Identitäten eingeschränkt. Für Testteilchen gilt, daß diese sich auf den
Geodäten der Raumzeit bewegen.
Geodäten und ihre Gleichungen
Im 3-dim Raum sind Geodäten diejenigen Kurven, die die kürzeste Länge zwischen zwei Punkten A
und B haben.
• DEFINITION (DIE KOORDINATEN DES 3-DIM RAUM)
Griechische Indizes laufen von 1 bis 3. Die Koordinaten werden mit x α bezeichnet. Zur Beschreibung der Geometrie wird
das Linienelement
dl 2 =
3�
3�
α=1 β=1
γαβdx α dx β
benutzt. Unter Koordinatentransformationen ist dl 2 ein Skalar. In Zukunft werden wir die Summenkonvention benutzen.
dl 2 = γαβdx α dx β

174 KAPITEL 2. GRAVITATION
• FORMELN (DIE GEODÄTENGLEICHUNG IM 3-DIM RAUM)
Die Entfernung lAB zwischen zwei benachbarten Punkten A und B ist das Minimum der Länge
lAB =
�B
A
�
γαβ
dx α
dt
dxβ �1/2
dt
dt
aller Kurven x α (t), die A mit B verbinden.
Die Kurve x α (t) erhält man wie folgt. Man betrachtet ’benachbarte’ Kurven x α (t) + δx α (t), bei denen Anfangs und
Endpunkt festgehalten sind:
δx α (tA) = 0 ; δx α (tB) = 0
und berechnen die Variation
�B
�
δlAB = δ
A
γαβ
dx α
dt
dxβ �1/2
dt
dt
Die Variation verschwindet, falls die Kurve x α (t) das Minimum realisiert. Wir nennen den Integranden Lagrange-Funktion
L
L = (γαβ(x) ˙x α ˙x β ) 1/2
und die Variation ist
und
δL = ∂L
∂ ˙x α δ ˙xα + ∂L
δxα
∂xα dx α
dt
= ˙xα
Wir erhalten die Variation bezüglich δx α nach Umintegration
δl =
�B
A
�
− d
�
∂L
dt ∂ ˙x α
�
+ ∂L
∂xα �
δx α dt
oder die Geodätengleichung
− d
�
∂L
dt ∂ ˙x α
�
+ ∂L
= 0 (2.219)
∂xα Da wir den Materieinhalt als Summe nicht wechselwirkender Felder beschreiben, muß jede einzelne
Komponente die Bewegungsgleichung
T ik ;k = 0 (2.220)
aufgrund seiner Feldgleichung erfüllen. Für Testteilchen bzw. Testphotonen ist das die Geodätengleichung.
• FORMELN (DIE GEODÄTENGLEICHUNG IM 4DIM RAUM)
Die Dynamik von Testteilchen der Masse m erhalten wir wie folgt. Die Lagrange-Funktion L folgt in der SRT aus dem
einzigen Lorentz–Skalar den man aus Metrik und 4er Geschwindigkeit eines Teilchens bilden kann
S = −mc 2
�
�
dτ = −
mc
�
ηik
dx i
dλ
dxk dλ (2.221)
dλ
wobei τ die Eigenzeit des Teilchens ist. Durch kovariantes Umschreiben (d. h. durch den Übergang ηik → gik zur Metrik
der ART) wird daraus:
S = −mc 2
� � �
dx
dτ = − mc gik
i dx
dλ
k
dλ (2.222)
dλ
Hier ist λ ein beliebiger affiner Parameter zur Beschreibung der Teilchenbahn. Wählt man dafür die Eigenlänge selbst, dann
wird mit
u i = dxi
ds
u i u k gik = 1 (2.223)

2.4. DIE MASSE DES KOSMOS 175
und mit ds = cdτ, aus der Lagrange-Funktion
L = mc 2 (giku i u k ) 1/2 = mc(gik ˙x i ˙x k ) 1/2
(2.224)
Der Wert der Lagrange-Funktion L ist also L = mc 2 .
Die Geodätengleichung für Testteilchen folgt nun aus der Variation der Lagrange-Funktion nach der Bahn x k (s). Die
Variation ergibt (wenn wir die Indizes an u und x unterdrücken)
d ∂L ∂L
− = 0 (2.225)
ds ∂u ∂x
Explizit mit Indizes ergibt das
d
ds (gaku k ) − 1
oder (in kontravarianter Form)
2 gik,au i u k = 0
gak ˙u k + gak,lu k u l − 1
2 gik,au i u k = 0 (2.226)
Durch Heben des Index erhält man (die kovariante Form)
D
Ds ui = u i + Γ i jku j u k = 0 (2.227)
Dies ist die Geodätengleichung für die Bahn x i (s).
• FORMELN (DIE CHRISTOFFELSYMBOLE DES FRIEDMANN KOSMOS)
Wir benutzen zum expliziten Rechnen die alternative und bequemere Möglichkeit zur Bestimmung der Christoffelsymbole
Γa ik für L den Ausdruck:
also
L = − mc2
2 gik
dxi dx
dλ
k
dλ
= −mc2
2 giku i u k
(2.228)
L ∝ (˙t) 2 − a 2 (t)[ ˙χ 2 + σk(χ) 2 ( ˙ Θ 2 + sin Θ 2 ˙ φ 2 )] (2.229)
Den räumlichen Anteil schreiben wir (ohne a 2 (t)) mit der Metrik
γαβ = diag(1 , σk(χ) 2 , σk(χ) 2 sin Θ 2 )
als Einheitslänge
� �2 dl(k)
dτ
= [ ˙ l] 2 = γαβu α u β = ˙χ 2 + σk(χ) 2 ˙ Θ 2 + σk(χ) 2 sin Θ 2 ˙ φ 2
Wir differenzieren L nach Vorschrift und erhalten für die 0-Komponente:
oder explizit
Daraus folgt
¨t + ˙aa[ ˙ l] 2 = 0
ü 0 + (˙aa)
3�
α=1
γααu α u α = 0
Γ 0 00 = 0 ; Γ 0 αβ = (˙aa)γαβ (2.230)
Und z. B. für die 1-Komponente folgt
¨χ + ˙a
a ˙t[ ˙ l] 2 + σk(χ) dσk(χ)
dχ ( ˙ Θ 2 + sin Θ 2 ˙ φ 2 ) = 0
Daraus folgt (zunächst nur für α = 1)
Γ α 0β = ˙a
a δα β
während für die reinen Raumkomponenten
Γ α βγ = ˜ Γ α βγ
gilt. Dabei wird ˜ Γ α βγ aus der Metrik γαβ gebildet.
(2.231)
(2.232)

176 KAPITEL 2. GRAVITATION
Prinzipien der Kosmolgie
Als Nachkommen von Kopernikus und mit Einstein wollen wir annehmen, daß der Ort, an dem wir
uns im Kosmos befinden, durch nichts ausgezeichnet ist. Das bedeutet, daß die Verteilung jedweder
Art von Energie im Großen unabhängig vom Ort sein muß. Eine Homogenität in der Zeit impliziert
diese Annahme nicht.
Der Zeitpunkt jedoch, zu dem wir den Kosmos betrachten, ist ausgezeichnet. Eine Reihe von Parametern
des Kosmos müßen dazu stark eingeschränkte Werte haben. Das ist qualitativ die Aussage des
anthropischen Prinzips.
• ANMERKUNG (PRINZIPIEN)
Genauer betrachten wir die nebenstehenden Prinzien
Sie sind (in der angegeben Reihenfolge) als relevant für die Kosmologie weitgehend akzeptiert und mit der Beobachtung
in Übereinstimmung. Die ersten 5 gehen alle auf Einstein zurück. Diese
wollen wir etwas genauer erläutern.
1. Das Relativitätsprinzip wird mikroskopisch durch Felder in einer lokal
flachen, 4-dim. Raumzeit realisiert. Ihre Feldgleichungen folgen aus
einem Lorentz-invarianten Wirkungsprinzip. Die Wirkung S (bzw. die
Lagrange-Dichte Funktion Λ) ist bilinear in den Feldern.
2. Das Äquivalenzprinzip verlangt, daß die im Newtonschen Gesetz über
die Bewegung einer Testmasse m im Gravitationsfeld der Masse M auftretenden
3 Arten von Masse
mtr �a = G mpas Makt grad 1
r
(wobei oft mpas und makt als schwere Masse mschw bezeichnet wer-
Prinzipien der Physik
1. das Relativitätsprinzip,
2. das Äquivalenzprinzip,
3. das kosmologische Prinzip,
4. das Prinzip der allgemeinen Kovarianz,
5. das Machsche Prinzip und
6. das anthropische Prinzip
den) gleich sind. Als Test dazu wurde die Periode P von Pendel-
Tab. 2.9: phys. Prinzipien
schwingungen im Gravitationsfeld der Erde von verschiedenen Materialien betrachtet (Bessel, 1830; Eötvös). Das
Äquivalenzprinzip ist in der ART automatisch erfüllt.
3. Das kosmologische Prinzip (Einsteins Weltpostulat) verlangt Homogenität und Isotropie für den Raum zu jedem Zeitpunkt.
Das führt auf Räume konstanter Krümmung mit der Robertson-Walker Metrik ds2 (k) (s. Formelsammlung).
4.Das Prinzip der allgemeinen Kovarianz besagt, daß alle Bezugssysteme äquivalent sind; d. h. es gibt keine ausgezeichneten
Bewegungszustände. Für die Gravitation liefert das Prinzip im wesentlichen die Einsteinschen Feldgleichungen (realisiert
mittels der Riemannschen Differentialgeometrie), für alle anderen Felder die minimale Kopplung (an die Gravitation).
5. Das Machsche Prinzip ist philosophischer Natur. Der Newtonsche Eimerversuch zeigt, daß Trägheit (bei Beschleunigung)
eine absolute Eigenschaft des Raumes ist. Welcher Raum ist gemeint? Die Antwort Machs war: derjenige (absolute)
Raum, der durch die Verteilung der Sterne gegeben ist.
6. Das anthropische Prinzip haben wir bereits erwähnt (und ist ebenfalls philosophischer Natur).
Die ART ist eine klassische Theorie, quantisierte Felder können berücksichtigt werden, indem man den Erwartungswert
ihres (klassischen) Energie-Impulstensors bestimmt.
Kosmolgie im Rahmen der Newtonschen Theorie
Ersetzt man das Relativitätsprinzip durch die Forderung nach Galilei Invarianz, dann können alle aufgeführten
Prinzipien auch auf die Newtonsche Gravitationstheorie angewandt werden. Der Versuch,
den Kosmos als Ganzes im Rahmen der Newtonschen Theorie zu beschreiben, führt dann allerdings
auf ein Problem, welches Newton bereits erkannt hatte, was er aber nur provisorisch lösen konnte. Die
Gravitationskraft ist eine langreichweitige Kraft, für den Kosmos als Ganzes bedeutet das, daß, in einer
Fernwirkungstheorie wie der Newtonschen, jeder Teil des Universums den andern (instantan) anzieht,
bei homogener Dichte dies um so mehr, je weiter die beiden Teile voneinander entfernt sind.
Das führt zu der folgenden paradoxen Situation: die Kraft am Aufpunkt verschwindet einerseits (aus
Symmetriegründen) für jeden Aufpunkt, weit entfernte Massen andererseits werden dagegen beliebig
stark angezogen. Wie wir zeigen wollen, hilft auch die Einsteinsche Allgemeine Relativitätstheorie
hier nicht weiter: es gibt auch bei ihr kein statisches Universum bei langreichweitiger Kraft.
Die eigentliche Lösung des Paradoxons lautet für beide Theorien gleich: es gibt keinen statischen
Kosmos, und dies kann bereits im Rahmen der Newtonschen Theorie erklärt werden.

2.4. DIE MASSE DES KOSMOS 177
• ANMERKUNG (VON NEWTON ZU EINSTEIN)
Die folgenden drei Gesichtspunkte sind zum Verständnis einer allgemein relativistischen Gravitationstheorie wichtig:
1. Die Gravitationskraft ist die einzige nicht abschirmbare, langreichweitige Kraft. Auf Längenskalen, die wesentlich
größer als die lokaler Inhomogenitäten, aber wesentlich kleiner als der Kosmos als ganzes sind, l ≈ 100 Mpc, muß
die Newtonsche Gravitationstheorie eine gute Näherung darstellen.
Für gegebene Dichte ρ bzw. dazu gehörender Masse
M = 4π
3 ρl3 c
ist die kritische Länge der Schwarzschildradius:
lc = 2GMc
c2 �
3c
; lc =
2
=
8πGρc
c
H
(2.233)
(2.234)
Dabei ist G die Newtonsche Gravitationskonstante und c die Lichtgeschwindigkeit und H der Hubble Expansionsparameter
(s. Definitionen: ’Parameter der ART’). Anschaulich ist also c/H der Schwarzschildradius des Universums.
Für ein Universum mit kritischer Dichte, ρc = 5 · 10 −30 h 2 g cm −3 , sind das 6000 Mpc = 6 Gpc = 2·10 28 cm.
Äquivalent ausgedrückt sind das 2 · 10 10 Lichtjahre, das Universum ist aber nur 2/3 so alt.
2. Nach der allgemein gültigen Einstein Formel
E = mc 2
(2.235)
wirkt als gravitierende Masse jede Form von Energie, aktiv wie passiv (positiv wie negativ). Insbesondere werden
Photonen im Gravitationsfeld abgelenkt, ihr Energiebeitrag muß bei der Bestimmung des Feldes berücksichtigt
werden.
3. Damit wird der Raum selbst bestimmt durch die Verteilung und Bewegung der Materie (Energie) in ihm, einen
absoluten Raum gibt es nicht mehr. Der einfachste Fall liegt vor, falls der Raum in dem die (leuchtende) Materie im
Mittel ruht (mitschwimmendes Bezugsystem) homogen und isotrop verteilt ist.
2.4.5 Die Bewegungsgleichung des Kosmos
Lokal Newtonsche Dynamik
Die Bewegungsgleichung des Kosmos (im Rahmen der Newtonschen Theorie) folgt am einfachsten
aus dem Energiesatz. Es ist für eine solche homogene und isotrope Materieverteilung in Newtonscher
Näherung
Ekin = 1
2
M�
o
(˙a) 2 dm = 3
10 (˙a)2 M ; Epot = −
M�
0
Gm
a
GM
dm = −3
5
2
a
(2.236)
Hier ist M = 4π
3 ρa3 die konstante Masse innerhalb des Radius a = aof(t), wenn wir benutzen, daß
die Bewegung homolog ist (keine Massenschale überholt die andere) und dm = 4πρa 2 da die Masse
in der Schale mit Radius a und der Dicke da. Die Integration ist für t = const durchzuführen und es ist
zu beachten, daß a = a(t, m) ist.
Der Energiesatz verlangt
oder
Ekin + Epot = K1 mit K1 = const
(˙a) 2 = 2GM
+ K2
a
Die Konstante K bestimmt, ob die Bewegung endlich, K < 0 oder unendlich in Raum und Zeit ist.
Wir betrachten der Einfachheit halber den Fall K = 0. Die Lösung lautet dafür
2
3 a3/2 = √ 2GMt mit t = 2 ˙a
3 a
Zum Zeitpunkt t = 0 ist für alle Lösungen a = 0 und damit ρ(0) = ∞. Das ist der Urknall.

178 KAPITEL 2. GRAVITATION
Die ART
Im Folgenden wollen wir den Übergang zur ART vollziehen, indem wir (ad hoc)
K1 = −kMc 2
bzw K2 = −kc 2
setzen. Die einzige neue Größe ist die Lichtgeschwindigkeit c, sie tritt aber nur auf als Umrechnungsgröße
von Zeit t in Länge x:
˙a → 1
˙a = a′
c
Die klassischen Gleichungen der ART liefern keine fundamentale Länge, deshalb ist die Newtonsche
Näherung (bei geeigneter Interpretation) exakt. In der Einsteinschen Allgemeine Relativitätstheorie
kann k nur die Werte +1 für ein räumlich geschlossenes Universum, k = 0 für das flache Universum
und k = −1 für ein Universum mit negativer Raumkrümmung annehmen.
Die Gleichungen der ART lauten vollständig
�
′ a
3
a
2 a′′
a +
�
′ a
a
� 2
� 2
� �2 1
+ 3k
a
� �2 1
+ k
a
dabei ist ɛ = ρc 2 die Massen-Energiedichte, p der Druck und
ˆκ = 8πG
c 4
= ˆκɛ (2.237)
= −ˆκp (2.238)
(2.239)
die relativistische Kopplungskonstante.
Als Konsequenz folgt der erste Hauptsatz der Thermodynamik für adiabatische Änderung des Zustands
der Materie und es gilt:
(ɛa 3 ) ′ = −p(a 3 ) ′
Für baryonische Materie ist heute (mit Temperatur T = 3 K) der Druck 2p = 3nkT ≈ 0 vernachläßigbar,
Photonen haben die Zustandsgleichung ɛ = 3p. Damit verhalten sich die beiden Komponenten
wesentlich verschieden bei der Expansion: baryonische Materie befolgt ɛa 3 = const; Photonen
dagegen gehorchen ɛa 4 = const., da der Druck stets vergleichbar mit der Energiedichte ist.
2.4.6 Die Massendichte des Universums
In der ART wirkt alles, was Energie oder Masse hat, gravitierend. Alles gehorcht der Einstein Formel,
ɛ = ρc 2 , auch das Vakuum. Es ist deshalb unumgänglich, alle Komponenten des Kosmos zu bestimmen:
der Energienullpunkt ist nicht willkürlich, wie in der Spezielle Relativitätstheorie, er ist absolut. Wir
betrachten im folgenden der Reihe nach die Beiträge: Baryonen, Photonen, Dunkelmaterie und das
Vakuum.
Die Baryonendichte
Die Baryonendichte hat die Anteile Ruhmassenenergie und kinetische Energie: ɛ = mc2n + 3kT
n und
2
die Näherung p ≈ 0 ist so lange ausreichend, wie mc2 ≫ kT gilt. Es gibt drei Möglichkeiten, die
mittlere Dichte des Universums zu bestimmen:

2.4. DIE MASSE DES KOSMOS 179
1. die statische: Abzählen und Aufsummieren der leuchtenden Materie im hinreichend grossen Volumen.
2. die lokal dynamische: Bestimmung des Gravitationspotentials eines hinreichend grossen Volumens
über den Virialsatz oder den Linseneffekt.
3. die global dynamische: Bestimmung der Hubble Konstanten (Expansionsrate des Kosmos) anhand
von Cepheiden oder Supernovae (Standardkerzen).
Eine Möglichkeit, durch direkte (optische) Beobachtung die mittlere Dichte des Universums zu bestimmen,
besteht darin, die Masse eines hinreichend grossen Volumens (über die Leuchtkraft der darin
enthaltenen Galaxien) zu bestimmen.
Unabhängig davon kann man die Virialmasse M (über die Dopplerverschiebung) bestimmen. Das führt
direkt auf das Problem der Dunkelmaterie. Das Verhältnis von Masse zu optischer Leuchtkraft LV
Mvir
LV
= M
L
= f M⊙
L⊙
eicht man zunächst in Sonnenumgebung, was f ≈ 3 ergibt, dann etwa an unserer Galaxis (f ≈ 10
ohne Halo) bzw. Galaxien in unserer Nachbarschaft, so erhält man (je nach Galaxientyp noch differenziert)
f ≈ 5 . . . 30 verglichen mit der Virialmasse. Dieses Verhältnis f wächst mit der Entfernung und
beträgt für Coma bereits f ≈ 400. Licht ist demnach kein verläßlicher Anzeiger (tracer) für Materie.
Wesentlich besser geignet scheint dagegen Röntgenstrahlung zu sein, welche von intergalaktischem,
heißem Gas ausgestrahlt wird.
Im Folgenden wollen wir a mit R bezeichnen. Indirekt kann man die mittlere Dichte des Universums
aus der Dynamik des Kosmos bestimmen. Man definiert dazu den Hubble Expansionsparameter H und
eine kritische Dichte des Universums wie folgt:
H = ˙ R
R
; ρc = 3
8πG H2
; Ω = ρ
ρc
= 8πG
3 ρH−2
dabei bestimmt der dimensionslose Dichteparameter Ω in der ART die Geometie
Ω
⎧
⎪⎨
⎪⎩
> 1 sphärisch (geschlossen)
= 1 Euklidisch
< 1 hyperbolisch (offen)
des Universums. Sie ist eine topologische Invariante.
Die beide Grundgrößen, H
H −1
o = 0.98 · 10 10 h −1
yr
und ρ sind für ein expandierendes Universum zeitabhängig; ebenso die kritische Dichte
ρc = 3H2
8πG = 5 · 10−30 (2h) 2
gcm −3
(2.240)
(2.241)
trotzdem wird, etwas missverständlich, Ho = H(heute) Hubble Konstante genannt (weil sie sich in
den nächsten 10 9 yr nur wenig ändern wird).
Die Aussage ρ = ρc bzw. Ω = 1 ist zeitunabhängig, sonst gilt Ω = Ω(t). Der Beobachtungsbefund, daß
für unser Universum heute Ω(to) ≈ 1 gilt, wird allgemein als Problem angesehen, flatness problem.
Im einfachsten Fall, dem flachen Universum, ist die Dichte also gleich der kritischen Dichte und Ω = 1
= const. gilt für alle Zeiten. Das Alter eines solchen Universums beträgt:
tU = 2
3 H−1 o = 2
10 By (2.242)
3ho

180 KAPITEL 2. GRAVITATION
Wenn man also bereits weiß, daß das Universum flach ist ( z. B. aus einer Theorie wie der Inflationstheorie),
dann benötigt man nur eine einzige Messung, um das Universum auszumessen. Die heutigen
Beobachtungen lassen sich mit diesem einfachsten Einstein - de Sitter Universum nicht mehr
beschreiben. Benötigt wird neben Dunkelmaterie (Anteil Ωm, Zustandsgleichung p = 0) auch noch
Vakuumenergie (Anteil ΩΛ, Zustandsgleichung p = −ɛ).
Die Beobachtungen ergaben 1994 für h folgende Werte:
h = 0.82 ± 0.17 an Cepheiden im Virgo Haufen.
h = 0.67 ± 0.07 an Typ I Supernovae
h = 0.7 ± 0.15 Mittelwert
Der endgültige Wert des HST key projects (2001) ist h = 0.73±0.1, bestimmt an Cepheiden des Virgo
Haufens. Damit erhält man Mv = −19.6 für Supernovae des Typs Ia oder L = 10 10 L⊙. Wie wir später
genauer erläutern, kann man aus der scheinbaren Helligkeit mv als Funktion der Rotverschiebung z
dann die Parameter Ωm für die Dunkelmaterie und ΩΛ für die Vakuumenergie bestimmen. Das Ergebnis
lautet Ωm = 0.3 und ΩΛ = 0.7. Das Universum fliegt hiernach beschleunigt auseinander.
Falls Dunkelmaterie wirklich die Zustandsgleichung p = 0 befolgt, dann hat baryonische Materie
in unserem Kosmos dynamisch nie eine Rolle gespielt (wie die Massendichte der Photonen bis zur
Rekombination). Die Struktur unseres Universums wurde bestimmt durch Materie, deren Herkunft
und Eigenschaften im wahrsten Sinne im Dunkeln liegen (vergleichbar etwa der Situation zur Zeit von
Helmholtz, Kelvin und Emden, die die Physik der Sonne beschreiben wollten).
Die Massendichte der Photonen
Photonen sind Bosonen und werden durch das relle Maxwell Feld beschrieben. Thermische Photonen
gehorchen einer Planckverteilung. Neben Photonen gibt es im Universum als Relikt der heißen Phase
noch (thermische) Neutrinos, welche aber (noch nicht) nachgewiesen sind.
• ANMERKUNG (EIGENSCHAFTEN DER PHOTONEN)
Hier eine Zusammenstellung von Eigenschaften, wie sie aus der Planckverteilung folgen.
Statistisches Gewicht gγ = 2.
Die Temperatur der Hintergrundstrahlung ist Tbb = 2.735K (gemessen).
Maximum der Intensität Iλ liegt bei der Wellenlänge 2 mm.
Die Photonen - Zahldichte nγ, (Bose - Einstein - Verteilung)
� �3 T
nγ ≈ 420
2.735K
< Eγ > , mittlere Energie pro Photon
< Eγ > ≈ 2.7kT ≈ 6 · 10 −4
< ργ > , mittlere Massen-Energiedichte
1
c 2 < ργ > = 4.5 · 10 −34
cm −3 (2.243)
eV (2.244)
g cm −3 = 0.25 eV cm −3
für das Verhältnis der Energiedichten (Photonen plus Neutrinos) folgt heute
θm =
g∗aBT 4
2ρmc 2 = 1.6 · 10−4 [Ω −1 (2h) −2 ] (2.245)

2.4. DIE MASSE DES KOSMOS 181
mit dem effektiven statistischen Gewicht (für alle masselosen Felder zusammen)
�
g∗ = 2 1 + 7
� � �
4/3
4
× 2 × 3 ×
= 3.36 (2.246)
16 11
wobei für die Photonen allein
gilt.
˜θm =
aBT 4
ρmc 2 = 0.9 · 10−4 [Ω −1 (2h) −2 ] (2.247)
Der Energiedichte der Photonen, ɛγ = aBT 4 , entspricht in der ART eine Massendichte
ργ = aB 4
T
c2 welche gravitierend wirkt. Das Verhältnis θm zur Baryonenmassendichte, ρm, ist eine dimensionslose
Zahl. Es gilt
ργ = (1 + z) 4 ργ(to) und ρm = (1 + z) 3 ρm(to)
und wir sehen, daß θm zeitabhängig ist.
θm = (1 + z)θm(to)
Es gilt heute für Photonen plus Neutrinos
θm =
g∗aBT 4
2ρmc 2 = 1.6 · 10−4 [Ω −1 (2h) −2 ] (2.248)
mit To = 2.7K und mit dem effektiven statistischen Gewicht (für alle masselosen Felder zusammen)
�
g∗ = 2 1 + 7
� �4/3 4
× 2 × 3 ×
16 11
�
= 3.36 (2.249)
Bei
1 + z = 5 · 10 3 [Ω(2h) 2 ] oder T = 5 · 10 3 To[Ω(2h) 2 ] K
ist die Energiedichte der Photonen und aller Neutrinos gleich der der Baryonen. Mit Ω = 0.2 und
To = 2.7K ist das bei einer Temperatur von 2700 K, etwa die Temperatur der Rekombination von H.
Das Verhältnis der Anzahldichten, nb und nγ, ist ebenfalls eine dimensionslose Zahl, ˜s, die Entropie
pro Baryon.
˜s = nγ
nb
= 1.4 · 10 8 [Ω −1 (2h) −2 ] (2.250)
Sie ist konstant, und stellt demnach für unseren Kosmos eine Anfangsbedingung dar: sie kann nicht
erklärt werden. Im folgenden wollen wir diese mit ihrem Kehrwert parametrisieren
η = nb
nγ
= 8 · 10 −9 [Ω(2h) 2 ] (2.251)
Der hohe Wert der Entropie bewirkt, daß der Beitrag, den etwa Staubwolken und Sternenlicht dazu
liefern können, gering ist.
Bis zu Photonen Energien von einigen GeV (mpc 2 = 1 GeV) sind die Baryonen nichtrelativistisch. Aus
der Erhaltung der Baryonen- Nb = R 3 nb und der Photonenzahl Nγ = R 3 nγ während der Expansion
ziehen wir nun zwei wichtige Schlüsse:

182 KAPITEL 2. GRAVITATION
1. RT = const = RoTo:
T = To(1 + z)
2. die Zustandsgleichung
� �3 �
Ro
ρ = ρo 1 + θm(o)
R
Ro
�
R
(2.252)
Der Grund für dieses fundamental unterschiedliche Verhalten, auf dem die Physik des heißen Urknalls
beruht, ist die Zustandsgleichung: Baryonen haben p = 0, sodaß
dE = −pdV = 0 → ρm = ρm(0)
� �3
Ro
R
sie leisten also keine Arbeit am Kosmos; Photonen (selbst wenn sie nicht thermisch sind, isotrop
genügt) haben 3p = ɛ und damit gilt
dE = −pdV = − E
3V dV → ργ = ργ(0)
� �4
Ro
R
Was heute nur eine unbedeutende Störung ist, war einmal der Hauptbeitrag, vorausgesetzt, die Photonen
sind nicht später erzeugt worden. Niemandem ist dazu eine überzeugende Methode eingefallen
(wegen der hohen Entropie, nicht aus energetischen Gründen).
Dunkelmaterie
• ANMERKUNG (ZUR ERINNERUNG)
Folgende Daten über unsere Galaxis, die sich auf den Umlauf der Sonne um das Galaktische Zentrum beziehen:
Kreisfrequenz Ω bzw. Periode P
Ω = 8.08 · 10 −16 s −1
Radius der Umlaufbahn
R = 8 kpc, (2.46 · 10 22
bzw. P = 2π
Ω
cm)
v Geschwindigkeit vesc : Entweichgeschwindigkeit
= 250 Myr
v = 220 km s −1 vesc = 310 km s −1
M Masse in M⊙, (M⊙ = 1.989 · 10 33 g) innerhalb der Umlaufbahn
M = 10 11 M⊙ Ω 2 R 3
mittlere Massendichte ρ ≈ 0.1M⊙ pc −3 (≈ 10 −23 cm −3 ).
Teilchendichte, gesamt: n ≈ 10 cm −3 , 90% in Sternen konzentriert plus 10% Gasanteil (HI, H2), davon etwa 3% ionisiert
(HII): ne ≈ 0.03 cm −3 .
Die Umlaufzeit der Sonne um das Galaktische Zentrum beträgt 250 Myr bei einer Entfernung von 8
kpc und es gilt, falls wir annehmen, daß die meiste Masse innerhalb der Umlaufbahn liegt (Kepler III)
P = (4π 2 /GM)R 3/2 = 250(R/8kpc) 3/2 Myr (2.253)
Selbst in einer Entfernung von 40 kpc vom gal. Zentrum (Halo) ist die Bewegung noch vollständig
virialisiert (P ≈ 3 · 10 9 yr). Die Geschwindigkeit weit außerhalb liegender Sterne (oder Haufen) sollte,
falls die Masse mit den leuchtenden Sternen zusammenfällt, wie
v = ΩR = (GM/R) 1/2

2.4. DIE MASSE DES KOSMOS 183
abfallen: was man dagegen beobachtet ist v ≈ const. Das wird allgemein so gedeutet, daß noch Materie
vorhanden ist, die man zwar nicht leuchten sieht, die aber gravitiert. Die dazugehörende Masse wächst
wie der Radius, die Dichte fällt ab wie R −2 .
Untersucht hat man dazu neben der Bewegung von Cepheiden und Sternhaufen (bis R = 35 kpc)
neuerdings auch CO Wolken (R = 18 kpc) und die Maghellanschen Wolken LMC (R = 50 kpc) und
SMC (R = 57 kpc). Die Gesamtmasse beträgt dann im Halo (bis R = 100 kpc) mehr als 10 12 M⊙.
Im Rahmen der Genauigkeit dieser Messungen ist die Dunkelmaterie kugelförmig verteilt. Woraus
besteht sie?
Geht man über zur nächst größeren Entfernungseinheit, der Dimension der Haufen von Galaxien,
D ≈ 20 Mpc, so findet man, völlig unerwartet, ein heißes, thermisches Gas, welches über seine
Röntgenstrahlung nachgewiesen wird. Der Beitrag, den diese Gas zur Dunkelmaterie liefert, beträgt
etwa 10%, seine Längenskala reicht über die der Dunkelmaterie hinaus.
Fassen wir zusammen: wir haben eine Hierarchie von Skalen und dazugehörenden Massen: der Dichte
Beitrag bezieht sich auf die kritische Dichte und die Skala 3000 Mpc (= 3Gpc = Radius des Universums).
Materieverteilung
Objekt Längen Dichte
Skala Beitrag
Photonen 3 Gpc 10 −4
Galaxien (Sterne) 20 kpc 10 −3
Haufen (heißes Gas) 50 Mpc 10 −2
Dunkelmaterie 20 Mpc 10 −1
Falls also nicht noch weitere Materie (auf noch größeren Skalen) gefunden wird, leben wir in einem
offenen Universum, k = −1, das sich für alle Zeiten ausdehnen wird.
Vakuumenergie
Da in der ART alles, was Energie hat, gravitierend wirkt, auch das Vakuum, ist der Energienullpunkt
nicht mehr willkürlich, er ist absolut. Da es sich aber bei der ART um eine klassische, d.h. nicht quantisierte
Theorie handelt, ist es nicht klar, wie Quantenfelder mit ihrer Nullpunktsenergie einzubeziehen
sind. Lokal folgt aus Invarianz unter Lorentz Transformation, daß der Energie-Impulstensor des Vakuums
proportional zur Metrik sein muß.
• ANMERKUNG (HERLEITUNG AUS DER LAGRANGE-FUNKTION)
Phänomenologisch kann man einen kosmologischen Term, Λv, zu den Einsteinschen Gleichungen hinzufügen, ohne die
Konsistenz (wohl aber den physikalischen Gehalt) der Gleichungen zu zerstören.
Tatsächlich kann man zum Ricci Skalar in der Lagrange-Funktion noch eine kosmologische Konstante Λv addieren
Sv = − 1
ˆκ
�
√ dΩ
Λv −g
c
um den Energie-Impulstensor des Vakuums zu erhalten:
Tab = 1
ˆκ Λvgab
(2.254)
(2.255)
Die Gleichungen der ART lauten dann ( ′ Ableitung nach ct)
� � ′ 2 � �2 a 1
3 + 3k
a a
2
= ˆκ(ɛ + ɛv) (2.256)
a′′
a +
� � ′ 2 � �2 a 1
+ k
a a
= −ˆκ(p − ɛv) (2.257)

184 KAPITEL 2. GRAVITATION
oder umgeformt
(a ′ ) 2 = −k + ˆκ
2
(ɛ + ɛv)a
3
(2.258)
a ′′ = − ˆκ
6 (ɛ + 3p − 2ɛv)a (2.259)
Notwendig für eine statische Lösung mit p = 0 ist k = 1, also ein geschlossener Raum (endliches Volumen) mit Radius a.
Es gilt ɛ = 2ɛv oder
κρ
2 = ΛE = 1
a 2
wobei wir jetzt als Index E für Einstein geschrieben haben.
(2.260)
Diesen Energie-Impulstensor des Vakuums kann man nicht leicht interpretieren. Seine Zustandsgleichung
ist p = −ɛ und die Energiedichte des Vakuums ist gegeben durch
ɛv = 1
ˆκ Λv
Diese Zustandsgleichung verlangt, daß entweder die Energiedichte negativ ist oder aber der Druck.
Diskutiert wird heute ein Term positiver Energiedichte (negativer Druck).
Der Energiesatz liefert
(2.261)
(Λa 3 ) ′ = Λ(a 3 ) ′ → Λ = const (2.262)
d. h. obwohl das Universum expandiert, bleibt seine (Vakuum) Energiedichte konstant.
• ANMERKUNG (ANTIGRAVITATION)
Wie das möglich ist, daß die Energiedichte bei beschleunigter Expansion konstant bleibt: der negative Druck liefert die
dazu notwendige Arbeit. Münchhausen läßt grüßen.

Kapitel 3
Kernphysik: Altersbestimmung
3.1 Einleitung
Die klassische Altersbestimmung von Objekten in unserem Universum beruht auf der Bestimmung
radioaktiver Zerfallszeiten von Elementen jenseits von Eisen und der Erzeugung dieser Elemente in
Supernovae.
• DEFINITION (HALBWERTSZEIT UND ZERFALLSZEIT)
Wichtige Beispiele kurzlebiger Isotope in der Geo- bzw. Astrophysik sind:
Daten zu kurzlebigen Isotopen
Element t 1/2 τ
Neutron 623.7 s 900 s
56 Co 77 d 111 d
Tritium 12.46 yr
44 Ti 90 yr
Daten zu kurzlebigen Isotopen
Element t 1/2 τ
14 C 5.568 kyr
26 Al 0.770 Myr 1.1 Myr
10 Be 2.6 Myr
97 Tc 1.8 Myr 2.6 Myr
Tritium und 14 C entstehen in der Erdatmosphäre durch sekundäre Teilchen in einem Schauer, der durch ein primäres CR-
Teilchen ausgelöst wurde. In 1000 km Höhe besteht die harte Komponente der Sekundärstrahlung zur Hälfte aus Neutronen,
die andere aus Protonen. Ähnliche Schauer gibt es beim Durchgang durch Molekülwolken. Direkt nachweisbar ist dort die
π 0 -Komponente über ihre harte Gamma Strahlung.
Technetium, Z = 43, hat überhaupt kein stabiles Isotop, dennoch kommt es in den Photosphären bestimmter
Sterne vor.
Bei einem Zerfallsgesetz der Form
N(t) = No e −λt mit τ = 1
λ
heißt λ Zerfallskonstante und die Inverse dazu, τ, heißt Zerfallszeit (engl. e-folding time). Die ebenfalls gebräuchliche
Halbwertszeit, N(t 1/2) = No/2, (auch mittlere Lebensdauer genannt) ist dann
t 1/2 = τ ln2 ; ln2 = 0.693 (3.2)
Die Bedeutung eines Zerfallsgesetzes obiger Form liegt darin, daß die Zerfallsrate A proportional zur vorhandenen Menge
N ist:
A = − ˙ N = λN (3.3)
In der Kernphysik heißt A Aktivität (beim Kernzerfall). Die Einheit ist Bequerel (Bq) bzw. Curie (Ci)
1Bq = 1s −1 und 1Ci = 3.7 · 10 10 Bq (3.4)
185
(3.1)

186 KAPITEL 3. KERNPHYSIK: ALTERSBESTIMMUNG
Die Umkehrung des Kernzerfalls ist die Kernfusion. Dies führt auf die Möglichkeit, die Alter der
Sterne anhand berechneter Sternentwicklungszeiten, die durch ihre Position im Hertzsprung-Russel-
Diagramm abgelesen werden können, zu bestimmen. Ein Stern wie die Sonne benötigt etwa 10 Gyr
zum Kernbrennen (auf der Hauptreihe), die massivsten Sterne dagegen nur wenige Myr.
Neben der Bildung (der Protosterne, heute vornehmlich in Molekülwolken) und der Entwicklung der
Sterne (nachdem sie ihre Mutterwolke verlassen haben) kann man ihre Kinematik bzw. Dynamik heranziehen,
dynamische Alter zu bestimmen. Für junge Objekte ist ihre Entfernung von der galaktischen
Ebene ein Maß für das Alter (bei bekannter Eigengeschwindigkeit).
Weiße Zwerge, die ihr Kernbrennen beendet haben, können nur noch abkühlen. Hier kann die Temperatur
des Sterns als Altersindikator benutzt werden (da spezifische Wärme und Temperaturleitfähigkeit
berechnet werden können). Eine vollkommen neue Methode beruht auf der Möglichkeit, das Alter bestimmter
Millisekunden Pulsare aus ihrem Abbrems- bzw. Akkretionsverhalten direkt zu bestimmen,
insbesondere wenn sie Begleiter bekannten Alters besitzen.
3.2 Problembestimmung
Neben den Fragen, wie groß (Länge) und wie schwer (Masse) das Universum ist und woraus es besteht,
ist die zentrale Frage: wie alt ist der Kosmos. Die tiefer liegende Frage, was Zeit ist, kann damit
natürlich nicht beantwortet werden. Raum und Zeit sind empirische Gegebenheiten.
• ANMERKUNG (DIE DEFINITION VON ZEIT IM KOSMOS)
Für Newton waren Raum (drei dimensional, Euklidisch) und Zeit (eindimensional) absolut. Der Eimerversuch zeigt dies:
beschleunigte Bewegung (in diesem Fall die Rotation des Eimers und die aus der Rotation folgende Krümmung seiner
Oberfläche) ist relativ zu den Fixsternen (Mach) zu definieren. Eine Uhr wird durch die Rotation der Erde (oder durch ein
Pendel) realisiert.
Für den pragmatischen Physiker mag die Entdeckung des Atoms (mit seinem Kern) oder die Expansion des Universums
(mit seinem Urknall) die bedeutendste Leistung des 20ten Jahrhunderts sein. Für den Philosophen ist dies jedoch die
Vereinigung von Raum und Zeit zur vier dimensionalen Raumzeit. Diese selbst folgt notwendig, wie Einstein gezeigt hat,
aus dem Kausalitätsprinzip.
Allerdings gilt auch hier: Erst ein mit Energie und Materie angefüllter Raum (Kosmos) liefert ein natürliches Bezugsystem.
Und zwar dasjenige System, in dem die Materie im Mittel ruht. Zeit ist dann das, was von mitbewegten Beobachtern mit
Atomuhren gemessen wird; d. h. gleich-zeitig und gleich-ortig bezieht sich auf dieses Bezugsystem. Wie eine Atomuhr sich
in einer solchen Raumzeit verhält, kann mithilfe der Dirac Gleichung (über das Kovarianzprinzip) beschrieben werden.
Das Universum selbst kann dabei zyklisch oder zeitgerichtet sein. Es kann mit und ohne Anfang, singulär oder regulär
sein. Diese Anschauungen haben ihre Entsprechung in Religion und Mythos. Etwa in der christlichen Religion, wo es eine
Entwicklung vom Guten (Paradies) zum Bösen (Apokalypse) gibt. Im Buddhismus ist das Universum (und das Leben)
zyklisch.
Bei der wissenschaftlich fundierten Beantwortung dieser Frage spielt die Kernphysik die entscheidende
Rolle. Sie (die Kernphysik) wird benötigt zur Beschreibung der Fusionsprozesse im Innern von Sternen
und zur Bestimmung der radioaktiven Zerfallszeiten der dort erzeugten Elemente. Da bereits im frühen
Kosmos die leichtesten Elemente erzeugt wurden, geht die Kernphysik auch hier direkt ein (Helium
Häufigkeit).
Von den mehr als 1000 bekannten Atomkernen (die genaue Zahl wächst langsam aber stetig aufgrund
künstlich erzeugter Kerne) sind 268 Kerne stabil. Die restlichen Kerne zerfallen, manchmal in einer
ganzen Kette von weiteren radioaktiven Elementen. Unter den natürlichen ∗ Atomkernen spielt Technetium,
(Z = 43), eine besondere Rolle (in Bezug auf die Kernkräfte): es besitzt überhaupt kein stabiles
Isotop, kann also nur künstlich erzeugt werden (daher der Name).
∗ Zur Bezeichnung:
natürlich = auf der Erde vorkommend; künstlich = nur im Labor durch Kernreaktionen herstellbar.

3.2. PROBLEMBESTIMMUNG 187
Die Bestimmung radioaktiver Zerfallszeiten (und der dazu gehörenden Zerfallsketten) ist eine der grossen
Errungenschaften der Physik des 20ten Jahrhunderts. Die messbaren Zerfallszeiten reichen von
10 −21 s bis 10 15 yr.
Die experimentelle Methode geht auf Rutherford (1900) zurück, die theoretische Erklärung auf Gamow
(Tunneleffekt). Geordnet nach der Stärke der involvierten Wechselwirkung kennt man folgende
Zerfälle, wobei die Notation
A Xy (a b) B Yz
bedeutet, daß der Kern der Atomzahl A und der Ladung Z = y durch Emission der Teilchen a und b
in einen Kern der Atomzahl B und der Ladung Z = z übergeht.
• BEISPIEL (KERNZERFALL)
1. α−Zerfall
Die wichtigsten Halbwertszeiten für Kerne mit α−Zerfall liegen zwischen 10 9 a (Vorkommen auf der Erde) und
10 12 a (Intensität der Strahlung); Kerne mit 10 15 a Halbwertszeit kann man noch nachweisen.
A Xy (α) A−4 Yy−2 Beispiel
224 Ra88 (α) 220 Rn86
Neben dem α−Zerfall gibt es auch den Protonenzerfall, den wir bei den Fusionsreaktionen in Sternen behandeln
werden.
2. n−Zerfall
Die Halbwertszeiten für die Neutronenemission sind extrem kurz: zwischen 10 −21 s und 10 −12 s.
A Xy (n) A−1 Yy Beispiel
5 He2 (n) 4 He2
3. Kernspaltung
Die berühmte Kernspaltungsreaktion von Uran 235 lautet (Hahn u. Strassmann, 1938)
⎧
⎨
235 U92 (n) 236 U92 →
⎩
140 Cs55 (2n) 94 Rb37
144 Ba56 (3n) 89 Kr36
143 La57 (3n) 90 Br35
Bei dieser Spaltung werden etwa 200 MeV freigesetzt (exotherme Reaktion), im Mittel werden 2.47 Neutronen
emittiert. Um daraus einen Reaktor (bzw. die Atom Bombe) zu bauen, muß der Wirkungsquerschnitt für die Kernspaltungsreaktion
von Uran 235 bekannt sein. Umgerechnet ergeben sich 20 kg als kritische Masse.
4. γ−Zerfall
Es handelt sich genauer um Abregung eines angeregten Zustandes mithilfe der elektromagnetischen Wechselwirkung.
X ∗ (γ) X Beispiel
7 Li3
5. β−Zerfall
Neben dem α−Zerfall ist dies der astrophysikalisch wichtigste Zerfall. Hier ist die schwache Wechselwirkung ist
involviert, deshalb sind die Zerfallszeiten astronomisch lang.
A Xy (β − ¯νe) A Yy+1 Beispiel
87 Rb37 (β − ¯νe) 87 Kr36
Eine Liste von Isotopen mit ihren Halbwertszeiten, die für die Kosmologie von Interesse sind, haben wir am Anfang des
Kapitels in Tabelle (3.1) gegeben.
Bei der Anwendung der Kernphysik auf astronomische Objekte wollen wir zunächst eine grobe Einteilung
in 3 Fragenkomplexe vornehmen:
1. Das Alter der Sonne und der Planeten
Die genaueste Methode der Altersbestimmung astronomischer Objekte im Sonnensystem, die
uns direkt zugänglich sind (Erde, Kometen, Meteore) ist der radioaktive Zerfall ausgewählter
Elemente. Die Tabelle (3.1) enthält die wichtigsten, bis auf Kalium (mit Z = 19 und A = 40)
können alle diese Elemente (da sie jenseits von Fe liegen) nur in einer Supernova erzeugt worden
sein. Kennt man die relativen Häufigkeiten der radioaktiven Elemente bei ihrer Erzeugung, dann
kann man das Alter seit ihrer Erzeugung bestimmen.

188 KAPITEL 3. KERNPHYSIK: ALTERSBESTIMMUNG
2. Das Alter der Galaxis
Sterne sind nukleare Fusionsreaktoren, umgeben von einem riesigen Schutzmantel aus H und He.
Die Bestimmung der Sternentwicklungszeit der Hauptreihensterne geschieht ebenfalls im Rahmen
der Kernphysik, allerdings unter Einbeziehung der schwachen Wechselwirkung. Daneben
kann man die chemische Entwicklung von Kugelsternhaufen (das sind die ältesten Mitglieder im
Kosmos überhaupt) bis herunter zu Sternassoziationen und Molekülwolken (den jüngsten astronomischen
Objekten) zur Bestimmung eines Alters heranziehen. Da alle schweren Elemente
(jenseits von He) nur in Sternen erzeugt worden sind, spielt die Kernphysik wieder die entscheidende
Rolle: diesmal bei der Bestimmung der relativen Häufigkeiten der Elemente. Insgesamt
hat man es mit nahezu einem Kontinuum an Altern zu tun: eine Klasse schließt an die andere an.
3. Das Alter des Kosmos
Direkt kann das Alter des Kosmos nur aus der Expansionsgeschwindigkeit (mithilfe der Theorie,
also des Hubble - Gesetzes) bestimmt werden, die Kernphysik liefert dazu allerdings noch eine
wesentliche Einschränkung an die möglichen Modelle.
Denn auch unser Kosmos war einmal ein nuklearer Fusionsreaktor. Im heißen Urknall, der aus
allen wirklich fundamentalen Teilchen (Photonen, Elektronen, Neutrinos und Quarks) bestand,
bildeten sich zunächst beim Abkühlen Protonen und Neutronen. Aus diesen sind in einer kurzen
dynamischen Phase hauptsächlich He und einige Spurenelemente wie 3 He und Deuterium,
D, Beryllium, Be, und Litium, Li, fusioniert worden. Die Bestimmung der Fusionszeit liefert
zunächst eine Aussage über die Baryonenkomponente und damit (mithilfe der ART plus Theorie)
auch über das Alter des Kosmos direkt. Diese Aussage ist allerdings nicht mehr so stringent
wie früher, da neuerdings die Evidenz für Dunkelmaterie und Dunkelenergie einen direkten Zusammenhang
zwischen Alter und baryonischer Materie zerstört.
Die nukleare Altersbestimmung kann auch dazu herangezogen werden, untere Grenzen für das Alter
astronomischer Objekte zu finden. So gibt es Sterne mit Technetium. Weitere bereits (im ISM) nachgewiesene
radioaktive Elemente mit (kosmologisch) kurzer Halbwertszeit sind 44 Ti und 26 Al.
Daneben gibt es noch weitere, unabhängige Methoden (meist dynamischer Art), welche es erlauben,
die Güte solcher Altersbestimmungen zu überprüfen.
3.3 Altersbestimmung
3.3.1 Überblick
• ANMERKUNG (MYTHOLOGIE)
Nach der Schöpfungsgeschichte und nach Berechnungen des Bischofs Wilberforth ist das Universum etwa 6000 Jahre alt.
Genauere Rechnungen, nämlich durch Zählen der Stämme Israels, des Erzbischofs J. Ussher im Jahre 1658 ergaben, daß
die Welt am 23. Oktober 4004 vor Christi Geburt erschaffen wurde.
Newton kam zu einem anderen Ergebnis, das er aber wohlweislich für sich behielt. Er nahm an, daß die Erde im heißen
Zustand gebildet wurde und schätzte die Zeit, die eine Eisenkugel von der Größe der Erde zum Abkühlen braucht, auf etwa
2 · 10 5 Jahre.
Dabei war es für alle (von Kopernikus über Kepler, Galilei, Newton bis zu Einstein) selbstverständlich, daß das Universum
selbst – und nicht nur das Universum – statisch war: für menschliche Beobachtungszeiten bewegen sich Sterne wirklich
nicht. Die ersten, die überhaupt auf die Idee kamen, daß eine Evolution über kosmologisch grosse Zeiträume stattgefunden
hat, waren Geologen und Biologen. Die Geologen des 18. und 19. Jahrhunderts ordneten Gestein- und Fossilienfunde in
chronologischer Reihenfolge und kamen auf Zeiten über 100 Myr. Von den Biologen – zuvorderst und am beeindruckendsten
Charles Darwin – stammt die Ansicht, daß das Leben der Erde eine stetige Evolution durchgemacht hat, worunter eine
Entwicklung vom Einfachen zum Komlexen zu verstehen ist (nicht vom Bösen zum Guten oder umgekehrt).
Die Inder kamen zu einer anderen Auffassung. Der Buddhismus lehrt, daß das Universum zyklisch ist, mit einer erstaunlich
realistischen Zyklusdauer von einem Kalpa, entsprechend 4.3 · 10 9 Jahre (ein Kalpa = ein Tag des Brahma).

3.3. ALTERSBESTIMMUNG 189
Die Frage nach Inhalt und Alter des Universums läßt sich im Rahmen der bestehenden Physik beantworten, viele andere
Fragen dagegen heute nicht. Dies ist z. B. der Fall für die Frage, was vor dem Urknall (Big Bang) war. Sie läßt sich im
Rahmen der klassischen ART nicht beantworten.
Newton war der Erste, dem ein wissenschaftlich fundierter Zugang zum Problem, das Alter der Erde zu
bestimmen, gelang. Darüber hinaus war er der Meinung, daß die Bestimmung der Anfangsbedingungen
des Kosmos als ganzem nicht zum Gebiet der Physik gehört.
• ANMERKUNG (DAS ABKÜHLALTER DER ERDE I: NEWTON)
Newton fand, daß ein Körper (z. B. eine heiße Eisenkugel), sich um so schneller abkühlt (durch Konvektion der Luft und
durch Strahlung), desto größer die Temperaturdifferenz zwischen Körper T und der umgebenden Luft Tu ist.
Das Newtonsches Abkühlungsgesetz
dT
dt
= −K(T − Tu)
führt auf einen exponentiellen Zeitverlauf
(T − Tu) = 1 − (To − Tu)e −Kt
wobei To die Anfangstemperatur ist, ab der die Zeit gezählt wird.
Die Konstante K hängt ab u. a. von Beschaffenheit und Größe der Oberfläche, der spezifischen Wärme des Materials (und
vom Volumen). Insbesondere gilt folgendes Skalierungsgesetz für Oberfläche F und Volumen V
τ = 1
K
∝ V
F
∝ R
Schätzt man, wie Newton, daß eine Eisenkugel von 1 cm Radius etwa 10 6 sec zum Erstarren und Abkühlen auf Zimmertemperatur
benötigt, so braucht die 7 · 10 8 mal größere Erde etwa 20 · 10 6 Jahre - deutlich mehr als die 6000 Jahre der
Genesis.
• ANMERKUNG (DAS ABKÜHLALTER DER ERDE II: HELMHOLTZ UND KELVIN)
Helmholtz und Kelvin schätzten das Abkühlalter der Erde auf 40 Myr (das Doppelte von Newtons Wert) bzw. das Leuchtalter
der Sonne auf 50 Myr. Diese beiden Helmholtz-Kelvin Zeitskalen werden wir noch eingehend betrachten, wir geben
hier vorläufig nur das (empirische) Ergebnis zum Vergleich mit dem von Newton (theoretisch) erhaltenen.
1. Für die Abkühlzeit einer Eisenkugel, welche ihre Wärmeenergie E aus der Gravitation bezogen hat und davon
L = ˙ E abstrahlt, lautet das Ergebnis:
τHK = E
L
= GM 2
2RL
Für die Erde erhält man, wenn man für L etwa die heutige Abstrahlrate, L = 2 · 10 24 erg s −1 nimmt, τHK ≈ 4 · 10 7
Jahre.
2. Für die Schrumpfdauer einer Gaskugel, welche ihre Energie E aus der Gravitation bezieht und davon L = ˙ E
abstrahlt, lautet das Ergebnis:
tHK = E
L
= GM 2
2RL
= − R
2 ˙ R
Für die Sonne erhält man mit den heutigen Werten für M⊙ = 2 · 10 33 g, R⊙ = 7 · 10 10 cm und L⊙ = 4 · 10 33 erg
s −1 etwa tHK ≈ 3 · 10 7 Jahre.
Den entscheidenden Durchbruch bei der Altersbestimmung erzielte Rutherford (1900) mit seiner Messung
radioaktiver Zerfallszeiten, die Entdeckung der Radioaktivität selbst geht auf Becquerel (1896);
ihre Erklärung auf Marie Curie zurück.
Stetige Verbesserung in der Bestimmung radioaktiver Zerfallszeiten, führten dann zu immer längeren
Altern: um 1930 war man bei 2 Gyr angekommen, ein Alter, welches auch noch mit Hubbles Weltalter
übereinstimmte. Das Alter der Sonne erklärte Kelvin damit, daß diese durch Akkretion (von Planeten)
am Leuchten gehalten wird. Damit war ein scheinbar konstistentes Modell des Kosmos seitens der
Astrophysik erreicht: nur die Geologen widersprachen damals, und das zu recht.
Moderne Methoden benutzen den radioaktiven Zerfall langlebiger Atomkerne (Laborphysik), Sternentwicklungszeiten
(theoretische Astrophysik) und die Expansion des Universums (theoretische Physik,
Kosmologie).
(3.5)
(3.6)

190 KAPITEL 3. KERNPHYSIK: ALTERSBESTIMMUNG
3.3.2 Halbwertszeit radioaktiver Elemente
Langlebige Atomkerne
Radioaktive Kerne zerfallen (statistisch) nach dem Gesetz
N(t) = N0 e −(t/τ)
wobei N die Anzahl der Kerne ist. Die Halbwertszeit (auch mittlere Lebensdauer genannt) bzw. Zerfallszeit
τ
t1/2 = τ ln2 = 0.693τ (3.8)
der folgenden Isotope ist für die Kosmologie von besonderem Interesse.
Die Halbwertszeit radioaktiver Elemente wird in einfachster Näherung bestimmt von der Höhe der
Coulomb Potentialbarriere beim Tunneleffekt und von der
Stärke der Wechselwirkung.
In der nebenstehenden Tabelle ist die Halbwertszeit, t1/2 in
Gyr, für die in der Astrophysik wichtigsten Zerfallsprozesse
in der Form
Mutter-Element → Tochter-Element
angegeben. Beim β − − Zerfall wird im Atomkern ein Neutron
in ein Proton vermittels der schwachen Wechselwirkung
umgewandelt, der α− Zerfall hat den Faktor Z 2 = 4
in der Tunnelwahrscheinlichkeit.
(3.7)
Halbwertszeit (in Gyr) radioaktiver Elemente
A Mutter → A Tochter t 1/2
87 Rb β − 87 Sr 49.8
187 Re β − 187 Os 42.9
232 Th α 208 Pb 13.9
238 U α 206 Pb 4.5
40 K β − 40 Ar 1.3
235 U α 207 Pb 0.7
Drei interessante Beispiele für den α− Zerfall sind:
Tab. 3.1: Halbwertszeiten
212Po mit t1/2 = 3 · 10−6 s, Energie 8.78 MeV; 224Ra mit t1/2 = 3 d, Energie 5.69 MeV und 144Nd mit
t1/2 = 6 · 1012 yr, Energie 1.83 MeV.
Der Vollständigkeit halber geben wir auch ein Beispiel für den β + − Zerfall: 13N mit τ = 9.96 Minuten.
Für das Zeitintervall zwischen Produktion (Index i) und Beobachtung (Index f) gilt für das relative
Verhältnis [R] zweier radioaktiver Elemente mit Indizes 1 und 2
∆t = ln[R]i − ln[R]f
τ −1
1 − τ −1
2
Als Beispiel nehmen wir das Verhältnis der beiden Uranisotope 235 U und 238 U. Kernphysikalische
Rechnungenergeben, daß in einer Supernova die beiden Isotope von Uran im Verhältnis [ 235 U/ 238 U] �
1.7 erzeugt werden, während dafür auf der Erde der Wert 0.00723 gefunden wird. Das liefert eine
Zerfallszeit von ∆t � 6.6 Gyr. Die schweren Elemente im Sonnensystem stammen also aus einer Zeit,
die mindestens 7 Milliarden Jahre zurückliegt.
Nimmt man an, daß in einer Supernova stets das gleiche Verhältnis von Radioisotopen erzeugt wird,
dann kann man aus der Streuung der Häufigkeiten der beobachteten Endprodukte auf ein Erzeugungsalter
(der Galaxie) schließen. Addiert man noch das Zerfallsalter hinzu, so erhält man als Ergebnis für
das Alter der Galaxie mithilfe von Radioisotopen
12.6 Gyr < tg < 19.6 Gyr
Es ist eine bemerkenswerte Eigenschaft der Kernkräfte, daß es gerade die Isotope mit den richtigen
Zerfallszeiten gibt, um das Alter des Universums zu bestimmen und eine Besonderheit der Sternentwicklung
(Supernova), daß sie auch in ausreichendem Masse erzeugt werden. Da es auch Kerne mit
noch viel größeren Halbwertszeiten gibt (Indium mit Z = 49 und A = 115 hat τ � 10 14 yr), hat man
damit auch noch eine obere Schranke für das Alter des Universums.

3.3. ALTERSBESTIMMUNG 191
• ANMERKUNG
Die ersten Rechnungen (1957) von B 2 FH sind mittlerweile (1983) revidiert worden mit dem Ergebnis, daß [ 235 U/ 238 U] �
1.1. Es handelt sich um theoretische Rechnungen, den sog. r-Prozeß, wobei die Eigenschaften irdischer Kerne extrapoliert
werden müßen auf die Verhältnisse einer Supernova (Explosion eines Neutronensterns). Nur hier können Elemente jenseits
von Fe gekocht werden.
Kurzlebige Atomkerne
Wir kommen nun zu einigen Besonderheiten, die es sogar erlauben, eine untere Schranke für das Alter
astrophysikalischer Objekte oder Prozesse zu bestimmen. Astronomisch junge Objekte sind (neben den
besonders alten) ebenfalls von beträchtlichem Interesse, da sie es erlauben, die Theorie der Erzeugung
(Kernphysik) direkt durch Beobachtungen zu verifizieren.
Zu den frisch geborenen Objekten gehören die Novae und Supernove. Die Große Maghellansche Wolke
(LMC) ist ein besonders gutes Beispiel, da hier die Entfernung gut bekannt ist. So kann man bestimmen,
daß bei der Supernova in der LMC, mit der Bezeichnung SN 1987A, an radioaktivem 56 Ni etwa
0.075M⊙ freigesetzt worden ist. Dieses 56 Ni zerfällt in Zwischenschritten wie folgt in stabiles Eisen
56 Fe
56 Ni (νβ + )
� �� �
6.1d
56 Co (νβ + )
� �� �
77d
56 Fe (3.9)
mit (aus dem Labor bekannten) Halbwertszeiten, die direkt in der Supernova anhand der Leuchtkurve
beobachtet wurden.
Die freigesetzte Energie liefert einen wichtigen Beitrag zum Energiehaushalt der Supernova
∆Etot( 56 Ni → 56 Fe) = 3.59 MeV ; ∆Eγ = 1.72 MeV (3.10)
Zu den besonders bemerkenswerten kurzlebigen Atomkernen gehört das Element Technetium, (Z =
43), da es überhaupt kein stabiles Isotop besitzt. Die längsten Halbwertszeiten betragen
τ( 97 Tc) = 2.6 · 10 6
yr ; τ( 98 Tc) = 1.5 · 10 6
yr ; τ( 99 Tc) = 2.1 · 10 5
Da solche Zerfallszeiten kurz im Vergleich zu Sternentwicklungszeiten sind, erwarten wir nicht, Tc in
Sternspektren zu finden. Dennoch gibt es eine Reihe später (Spektraltyp M, N, R und S) (Doppel)Sterne
vom Typ Mira, in deren Spektren Tc vorkommt. Sie wurden 1952 von P. Merrill erstmals gefunden. Die
einfachste Erklärung für das Vorkommen von Tc im Spektrum (also in der Hülle) ist (nach Cameron)
die, daß solche (massearme) Sterne voll konvektiv bis zum Zentrum sind und daß dort Tc entsteht. Eine
Möglichkeit der Erzeugung ist
97 Mo42(γ, e) 97 Tc43
Die Halbwertszeit von 26 Al beträgt 0.770 Myr. Im Allende Meteoriten (Gewicht 110 kg, gefunden
1969, benannt nach dem Fundort in Mexiko) wurden Anomalien entdeckt, die auf dieses Element
hinweisen, evtl. wurde dieses Radioisotop sogar direkt nachgewiesen.
Die Halbwertszeit von 129 I (Iod) beträgt 17 Myr. Das Endprodukt des Zerfalls, 129 Xe, wurde in mehreren
Meteoriten gefunden. Da bisher kein Weg bekannt ist, wie flüchtiges 129 Xe in einem Meteoriten
erzeugt werden kann, ist anzunehmen, daß es von festem 129 I stammt.
In beiden Fällen ist es naheliegend, die Erzeugung der Radioisotope einer Supernova, die in der Nähe
der Sonne explodierte, zuzuschreiben. Möglich wäre aber auch ein naher Vorbeiflug eines Tc Stern
ähnlichen Systems, dessen Sternenwind seine Spuren im Sonnensystem hinterlassen hat. Auch die
kosmische Strahlung selbst enthält 26 Al und kommt damit als Ursprung in Frage. Alternativ können
die Elemente durch kosmische Strahlung erzeugt worden sein (mit späterer Einlagerung).
yr

192 KAPITEL 3. KERNPHYSIK: ALTERSBESTIMMUNG
3.3.3 Die kosmische Strahlung
Entdeckung und Eigenschaften
Die kosmische Strahlung (Höhenstrahlung) wurde zufällig von Victor Hess entdeckt. Bei der geplanten
Verbesserung seines Elektoskops fand er eine unbekannte Entladungsquelle, welche er in den Jahren
1911 bis 1913 mit Hilfe von Ballonflügen als Höhenstrahlung kosmischer Herkunft identifizierte. Diese
nimmt zu mit der Höhe über dem Boden, da sie von der Lufthülle abgeschwächt wird. Gesucht hatte er
ursprünglich radioktive Strahlung aus dem Innern der Erde, diese hätte mit der Höhe über dem Boden
abnehmen müßen.
Zunächst diente die kosmische Strahlung den Kernphysikern als Gratisquelle für ihre Streuexperiment
und 1932 wurde das Positron von Anderson (und 1932 von Blackett und Occhialini) damit entdeckt.
Erst als grosse Beschleuniger (ab 1955) verfügbar waren, wurde sie um ihrer selbst willen, also
astrophysikalisch genauer untersucht. Erst 1961 wurde die leptonische Komponente (von Earl und unabhängig,
von Meyer und Vogt) entdeckt. Wichtig dabei ist, daß Elektronen und Positronen nicht gleich
häufig vorkommen: der numerischer Anteil der Positronen beträgt nur etwa 10% der Elektronen (und
diese selbst energetisch nur etwa 10% der Protonen).
Allerdings ist man für höchste Energien (ab 10 TeV) auch heute noch auf sie angewiesen. Der Teilchenfluß
ist mit
2 Protonen pro cm 2 und Sekunde (bei 1 GeV)
allerdings bereits sehr klein und er fällt ab, zunächst wie γ −2.5 und dann wie γ −3.2 für γ > 10 6 . Man
benötigt deshalb gigantische Arrays (viele Quadratkilometer Fläche) von Koinzidenz Detektoren. Die
höchsten damit bisher nachgewiesenen Energien belaufen sich auf ein Zetta Elektronen Volt, (10 21 eV)
und die schwersten Kerne haben etwa Z = 100.
Spektrum
Die kosmische Strahlung hat drei verschiedene Komponenten:
1. Baryonen
Protonen, 10% α-Teilchen und Kerne mit etwa solarer Häufigkeit (etwa ein Promille),
2. Leptonen
1. Elektronen, mit einer Energiedichte von 10% der Protonen,
2. Positronen, numerischer Anteil etwa 10% der Elektronen,
3. Photonen
mit einer Energiedichte von 1% der Positronen.
Die Energie eines Teilchens ist
Eγ = (γ − 1)mpc 2
Damit läßt sich die Spektralintensität IE(θ) der kosmische Strahlung umschreiben in Iγ(θ). Die kosmische
Strahlung ist extrem isotrop, und es gilt (für alle Winkel θ)
Iγ(θ) − Iγ(0)
Iγ(θ) + Iγ(0)
< 10−4
Für relativistische Teilchen, γ ≫ 1, ist der Zusammenhang zwischen Teilchenstrom und Teilchendichte
4πJγ = nγc.

3.3. ALTERSBESTIMMUNG 193
Mit N(γ) bezeichnen wir im folgenden den spektralen Teilchenstrom
N(γ) = ˙ �
NE ; I = E 2 NEdE ˙ (3.11)
wobei I die Flussdichte ist (Einheit erg cm −2 s −1 ).
Das Spektrum (für Protonen) sieht folgendermassen aus
N(γ) ∝ γ −2.5
∝ γ −3.2
für γ < 10 6
für γ < 10 11
(3.12)
(3.13)
mit γ 2 N(γ) = const (konservativ extrapoliert) und N(γ) = 2γ −2.5 cm −2 s −1 ab 10 11 eV (also etwa
γ = 1). Die Energiedichte der Hauptkomponente beträgt damit
u = 4π
c I ; Iγ = γmpc 2 N(γ) (3.14)
etwa 1 · 10 −12 erg cm −3 (für γ = 1 bis 100) ergibt. Das ist fast genau so viel, wie die magn. Energie
des galaktischen Feldes und etwas mehr als die Energiedichte des Sternenlichts (5 · 10 −13 erg cm −3 )
und der kosmologischen 2.7 K Hintergrundstrahlung (4·10 −13 erg cm −3 ). Für die Teilchendichte ergibt
sich damit im unteren Bereich etwa n = 10 −10 cm −3 .
Die Elektronenkomponente fällt bei hohen Energien etwas steiler ab und reicht nur bis etwa 10 TeV (γ
= 10 7 ).
N(γ) ∝ γ −2.5
∝ γ −3.7
für γ < 10 6
für γ < 10 7
(3.15)
(3.16)
Die Energiedichte der Elektronenkomponente beträgt etwa 4 · 10 −13 erg cm −3 , beide Komponenten
zusammen (Protonen plus Elektronen) sind dann vergleichbar mit der des galaktischen Magnetfeldes
(B 2 /8π = 1.2 · 10 −12 erg cm −3 ) falls das Feld 6 µGauß beträgt.
Das Energie Maximum liegt bei den niedrigen Energien, die besonders schwer zu messen sind (Erdmagnetfeld,
Sonnenwind). Die Energiedichte der Elektronenkomponente kann aber aus der Synchrotronstrahlung
der Milchstraße abgeschätzt werden.
Bei E = 10 15 eV ist ein Knick bei der Protonenkomponente, der bisher unverstanden ist.
Neben der direkten Erzeugung radioaktiver Kerne in Fusionsprozessen, können diese auch durch hochenergetische
Teilchen der kosmischen Strahlung erzeugt bzw. verändert werden.
Die Energiedichte der hochenergetischen, diffuse Photonen beträgt dagegen nur 4 · 10 −18 erg cm −3 im
Röntgenbereich und 1 · 10 −18 erg cm −3 im Gammabereich.
Wechselwirkung mit der ISM
Die drei verschiedenen Komponenten der kosmischen Strahlung haben unterschiedliche Wechselwirkungen
mit den Teilchen bzw. den Feldern des interstellaren Raums:
Die Baryonen ionisieren die Atomhülle (Wechselwirkungmit Elektronen) und erzeugen neue chemische
Elemente (Spallation des Atomkerns).
Die Elektronen erzeugen Synchrotronstrahlung.
Die Photonen mit hν > 2mec 2 liefern Paarerzeugung.

194 KAPITEL 3. KERNPHYSIK: ALTERSBESTIMMUNG
Wir betrachten hier die Ionisationsverluste der Baryonen (der Kern-Ladung Z) bei der Streuung an den
Atomen und Molekülen (mit z Hüllenelektronen der mittleren Bindungsenergie I) der ISM.
Die Bethe-Bloch Formel liefert für hochenergetische Teilchen den Energieverlust dE durch Ionisation
pro Weglänge dx
dE
dx = −4πe4 Z2 nzB (3.17)
mc2 Die Energie des kosmischen Teilchens ist E = (γ − 1)Mc 2 , m ist die Masse des Elektrons. Der Faktor
B unterscheidet sich im nichtrelativistischen
B = ln 2mv2
I
und relativistischen Fall
B = ln 2mc2γ2 − 1 (3.18)
I
Numerisch gilt für die Streuung von Protonen (Z = 1) an H (z = 1) der Dichte n
dE
dx = −2.54 · 10−19 [22.5 + 2 ln γ] eV cm −1
oder als Ionisations-Verlustrate
˙E = c dE
dx = 8 · 10−9 [22.5 + 2 ln γ]
Für kosmische Strahlung bei 10 11 eV (γ = 100, Teilchendichte 10 −12 cm −3 ) liefert das − ˙ E = 3 · 10 −7
eV s −1 für n = 1 cm −3 . Mit einem Volumen der Galaxis von VG = 10 69 cm 3 liefert das zunächst eine
Gesamtzahl kosmischer Teilchen von NCR = 10 57 und deren Verlustrate beträgt
˙E = 3 · 10 38
erg s −1
Geht man bis zu 1 GeV herunter, so erhält man sogar 10 40 erg s −1 .
Die Lebensdauer der CR wird allerdings durch die Spallation bzw. inelastische Steung bestimmt. Die
(starke) Wechselwirkung ist kurzreichweitig und wird durch π−Mesonen der Masse mπ vermittelt. Es
gilt deshalb zunächst grob geschätzt
τ = 1
nσc = 3 · 1015 n −1
0 σ−26 s
dabei ist σ−26 der Streuquerschnitt
σ = r 2 π ; rπ = ¯h
mπc
für Spallation bzw. inelastische Streuung. Er ist unabhängig von der Energie. Realistische Lebensdauern
sind 50 Myr für CR-Protonen, 10 Myr für He und 1 Myr für Fe.
Der Energieverlust für die Milchstraße ist vergleichbar mit dem der Ionisationsverluste und geht praktisch
vollständig in Gamma Strahlung über
˙E = LMW G = 3 · 10 38
erg s −1
obwohl die Rate wesentlich größer ist. Der Grund liegt darin, daß das Volumen wesentlich kleiner ist.
Diese Strahlung ist stark auf die Galaktische Ebene konzentriert.

3.3. ALTERSBESTIMMUNG 195
Die chemische Zusammensetzung
Die Bestimmung der chemischen Zusammensetzung der ISM in unserer Milchstraße ist praktisch abgeschlossen,
spannend ist die Frage, wie diese bei anderen Galaxien aussieht.
Drei Quellen der Nukleosynthese, die ihr Material an die ISM zurückgeben, sind definitiv beobachtet:
Kohlenstoff Sterne (Wolf Rayet Sterne), die über einen extrem starken Sternenwind (Massenverlustrate
˙M = 10−5M⊙ pro Jahr) hauptsächlich C abgeben, Novae, die C, N, O
bis Ar abgeben und Supernovae, die vermutlich alle Elemente erzeugen.
Die Standardtabelle der chemischen Zusammensetzung der kosmischen
Strahlung wurde 1974 von Shapiro und Silberberg zusammengestellt,
daran hat sich nichts mehr geändert. Sie ist auf die C - Häufigkeit
(mit 100) normiert.
Die Häufigkeit der chemischen Elemente in der Sonne (und im Sonnensystem)
stimmen recht gut überein mit Eisen und der wichtigen C -
N - O Gruppe. Auch der charakteristische gerade - ungerade Effekt ist
bei beiden vorhanden.
Z
1
2
6
7
8
10
Element-Häufigkeiten I
auf C = 100normiert
Name Sonne CR
H 270000 26000
He 18728 3600
C 100 100
N 32 25
O 182 91
Ne 29 16
Wo die CR erzeugt wird, ist nicht klar. Infrage kommen Superno- 12 Mg 9 19
vae, Pulsare oder auch akkretierende Röntgensterne. Die Bestimmung 14 Si 8.5 14
der Häufigkeitsverteilung der chemischen Elemente in der kosmischen 16 S 4 3
Strahlung liefert wichtige Einschränkungen an die möglichen Erzeu- 25 Mn 0.08 1
gungsmechanismen.
26 Fe 7 11
Überschwere Elemente (nicht mehr aufgeführt) ab Z = 31 sind, ein- 27 Co 0.02 0.2
heitlich selten in der CR und in der Sonne, sie sind nur noch in Spuren 28 Ni 0.4 0.4
vorhanden (weniger als Promille).
Tab. 3.2: Elementäufigkeit I
Auch über das Isotopenverhältnis ist mittlerweile einiges bekannt. In
der CR z. B. beträgt das Verhältnis der beiden Helium Isotope 3 He/ 4 He = 0.1, während es für die
Sonne praktisch verschwindet, 3 He/ 4 He = 10 −5 .
Die Daten der vorstehenden Tabelle sind in die folgenden Blöcke eingeteilt:
1. die primordialen Elemente mit Z = 1 (H) und Z = 2 (He),
2. die C - N - O Gruppe von Z = 6 (C) bis Z = 9 (F),
3. die Si - Gruppe von Z = 10 (Ne) bis Z = 20 (Ca) und
4. die Fe - Gruppe von Z = 21 (Sc) bis Z = 30 (Zn).
Interstellare Nukleosynthese
Da die leichten Elemente Li, Be und B extrem unterhäufig in Sternen (um einen Faktor 10 −5 ) sind
in Bezug auf die kosmische Strahlung, liegt es nahe anzunehmen, daß sie durch Spallation (Zusammenstöße
mit der ISM) erzeugt worden sind. Bei Bildung des Protosterns werden sie (zusammen mit
Deuterium) bereits aufgebraucht, was ihre Unterhäufigkeit im späteren Stern erklärt.
Die Häufigkeit der chemischen Elemente in der Sonne (und in den Meteoriten im Sonnensystem) unterscheiden
sich am stärksten von denen der kosmischen Strahlung bei den nebenstehend aufgeführten

196 KAPITEL 3. KERNPHYSIK: ALTERSBESTIMMUNG
leichten Elementen Lithium, Beryllium und Bor. Diese sind überhäufig
in der CR, bei der Sonne sind sie um bis zu 106−mal unterhäufig. Sie
sind vermutlich sekundär, also durch Spallation mit interstellarem H und
He auf dem Weg von der Quelle zum Sonnensystem erzeugt.
Ebenfalls deutlich unterhäufig sind Sc und V (s. Tabelle), ferner F, P, Cl,
K und Ti. Von ihnen wird ebenfalls angenommen, daß sie sekundär sind.
Überschwere Elemente (nicht mehr aufgeführt) ab Z = 31 sind dagegen
einheitlich selten (etwa 10−4 Element-Häufigkeiten II
Z Name Sonne CR
3 Li 4 · 10
) in der CR und in der Sonne, sie sind nur
noch in Spuren vorhanden (weniger als Promille).
−4 18
4 Be 7 · 10−6 10.5
5 B 3 · 10−3 28
6 C 100 100
21 Sc 3 · 10−4 0.4
23 V 2 · 10−3 0.7
Besonders interessant wegen seiner grossen Halbwertszeit von 4 · 10
Tab. 3.3: Elementäufigkeit II
6 yr ist 10Be. Es ist ebenfalls ein
Spallationsprodukt, seine Häufigkeit kann benutzt werden, um die Verweildauer der CR in der Galaxie
zu bestimmen.
Radioaktivität
Wichtigstes terrestrisches Beispiel ist hier 14 C, t1/2 = 5568 yr, welches 1946 von W. F. Libby erstmals
zur Altersbestimmung benutzt wurde.
Als Beispiel betrachten wir die Erdatmosphäre. Ein hochenergetisches, E > mpc 2 , Teilchen der kosmischen
Strahlung erzeugt eine Kaskade sekundärer Teilchen mit N neuen Teilchen, N � 2(E/mpc 2 ) 1/4 .
Die Neutronenkomponente wird von Stickstoff absorbiert. Diese Transmutation liefert zu 95% das
Kohlenstoffisotop 14 C (Säulendichte - Erzeugungsrate: 2.23 cm −2 s −1 )
14 N + n → 14 C
und zu 5% Tritium (Säulendichte - Erzeugungsrate: 0.2 cm −2 s −1 )
14 N + n → 12 C + 3 H
Oxidation liefert dann radioaktives CO2 und H2O. Die Halbwertszeiten sind 5568 yr für 14 C und 12.46
yr für Tritium. Die Durchsatzzeit der radioktiven Komponente beträgt etwa 25 yr (zwischen Erzeugung
und Ankunft auf der Erde), danach werden sie in organischem Material eingebaut oder in Fels
abgelagert.
3.4 Sternentwicklung
Ein Stern verläßt die Hauptreihe, wenn im Zentrum etwa 1/10 der Masse in He umgewandelt worden
ist, im Innern befindet sich dann ein Kern aus reinem Helium. Für die Sonne dauert das etwa 10 10 Jahre
(10 Gyr), wovon etwa die Hälfte um ist.
3.4.1 Sternentwicklungszeiten
Sterne mit einheitlichem Ursprung, d. h. Mitglieder von Haufen oder Assoziationen, sind vermutlich
in vergleichbar kurzer Zeit in einer Molekülolke entstanden. So wird in einigen 10 Millionen Jahren
vom Orionnebel ein offener Sternhaufen mit etwa 1000 Sternen übrigbleiben. Da massereiche Sterne
sich schneller entwickeln als massearme, werden die massiven Sterne als erste im Hertzsprung-Russel-
Diagramm fehlen: kennt man (aus der Theorie) die Sternentwicklungszeit eines Sterns der Masse M,
so kann man das Alter direkt aus dem Hertzsprung-Russel-Diagramm des Sternhaufens ablesen.
In der Milchstraße sind etwa 650 offene Sternhaufen (Beispiel: Hyaden, Praesepe und Pleijaden) mit
bis zu 1000 Mitgliedern bekannt. Die Kugelsternhaufen (markante Beispiele: ω Cen, M3 und 47 Tucanae)
sind wesentlich älter, gehören zur Halo Population und davon sind etwa 130 schon lange bekannt.

3.4. STERNENTWICKLUNG 197
Viele davon befinden sich in einem der ältesten, teleskopgestützten astronomischen Kataloge, dem Katalog
von Messier und tragen die Bezeichnung M. Wichtige Beispiele für die Altersbestimmung mit
Kugelsternhaufen sind M3, M4, M13, M15, M53 und M92 (letzterer der bisher älteste).
Es kommen aber immer neue, weit entfernte (leuchtschwache) hinzu, zur Zeit sind 150 katalogisiert.
Die Kugelsternhaufen definieren den Schwerpunkt der Galaxis und enthalten 10 5 bis 10 7 (massearme)
Sterne. Die Kugelsternhaufen haben typisch Radien von 30 pc. Man erhält daraus
15 · 10 9 yr < tg < 18 · 10 9 yr
für das Alter (Sternentwicklungszeit) der Kugelsternhaufen.
Die nebenstehenden Eichexemplare sind nach folgenden Gesichtspunkten ausgewählt. Sie sind nah,
einem Entfernungsmodul m − M = 15 entspricht eine
Entfernung von 10 kpc.
Ferner gilt, sie enthalten verschiedene Eichkerzen gleichzeitig
und ihre chemische Entwicklung ist spektroskopisch
gut untersucht. Wichtig ist hier das Verhältnis der
schweren Elemente im Vergleich zu Wasserstoff. Die
wichtigste Größe ist [Fe/H] bezogen auf den Wert der
Sonne (bzw. auf einen ZAMS Stern etwa der Hyaden).
Die Tabelle gibt den Logaritmus dieser Größe.
Die Masse des Kugelsternhaufens, Mcl, ist in Einheiten
von 106M⊙, also die Masse von 47 Tuc: Mcl =
1.3 · 106 Eich - Kugelsternhaufen
Name m − M Alter [Fe/H] Mcl
Gyr log 10
M⊙. Seine Entfernung ist D = 4.5 kpc um et-
6M⊙ M92 14.36 16 -2.19
M15 14.97 15 -2.15
M3 14.85 15 -1.69
M5 14.18 -1.58
47 Tuc 13.33 13 -0.64 1.3
NGC 6838 12.66 -0.40
Tab. 3.4: Alter
wa 10% reduziert im Vergleich zu früheren Werten. Für die Zukunft steht zu erwarten, daß mithilfe von
Weißen Zwergen oder Pulsaren und dem HST sehr genaue Entfernungen und Alter bestimmt werden.
Auch die 3dimensionale Bewegung kann damit erstmals bestimmt werden.
Abgesehen von der Altersbestimmung, sind Kugelsternhaufen auch physikalisch außerordentlich interessante
Systeme, ihre zentrale Dichte ist so hoch, daß Zweierstöße häufig sind und man somit viele
Doppelsternsysteme (Pulsare, CVs) findet. Ihr Relaxationsalter und ihr Evaporationsalter liefern interessante
zusätzliche Altersabschätzungen. Die Formel für die Evaporationszeit
tEvap =
� �
8R N
v ln(N/2)
werden wir später ableiten und diskutieren. Typische Zahlen sind:
(3.19)
1. Offene Sternhaufen (in unserer Galaxis) haben bis zu N = 10 3 Mitglieder zu je etwa 1M⊙, mit
v = 1 km s −1 , was tEvap < 3 Gyr liefert, viele sind schon verdampft.
2. Massivere Kugelsternhaufen dagegenhaben haben bis zu N = 10 6 Mitglieder zu je etwa 0.5M⊙,
mit v = 20 km s −1 , was tEvap = 80 Gyr ergibt.
Massive Kugelsternhaufen werden heute nicht mehr in der Milchstraße geboren, sie (und ihre Mitglieder)
sind primordial. Damit liefert tEvap = 80 Gyr eine obere Schranke für das Alter der Milchstraße.
3.4.2 Einzelsterne
• BEISPIEL
Die Dauer der nuklearen Brennphasen und die zentralen Temperaturen für einen 25M⊙ Stern (gerechnet) gibt die folgende
Tabelle.

198 KAPITEL 3. KERNPHYSIK: ALTERSBESTIMMUNG
Entwicklungszeit eines 25M⊙ Sterns
Brennvorgang Dauer ∆ Temperatur T Energie Q
Wasserstoff Brennen 7 · 10 6 yr 6 · 10 7 K 26.2 MeV
He Flash
He Brennen zu C 5 · 10 5 yr 2 · 10 8 K 7.2 MeV
C Brennen zu Si 600 yr 9 · 10 8 K 7.1 MeV
Ne Brennen 1 yr 9 · 10 8 K 9.1 MeV
O Brennen 0.5 yr 9 · 10 8 K 4.7 MeV
Si Brennen zu Ni 1 Tag 4 · 10 9 K 6.9 MeV
Mit Q = ∆E = ∆Mc 2 haben wir die Energiedifferenz zwischen Ausgangs und Endnuklid bezeichnet. Solche Sterne sind
demnach, astronomisch gesehen, extrem jung.
Für die Leuchtkraft liefern einfache Überlegungen folgende Masseabhängigkeit:
⎧
⎪⎨ M
L ∝
⎪⎩
5.5 /R0.5 massearme – normale Sterne
M 3 massereiche Sterne
M sehr massereiche Sterne
(3.20)
• ANMERKUNG (DIE MASSE - RADIUS - LEUCHTKRAFT RELATION FÜR STERNE)
Die Leuchtkraft L eines Sterns wird bestimmt durch die Gesamt - Energie der Photonen im Volumen V des Sterns vom
Radius R
Uphot = ɛphotV ; ɛphot = aT 4
; V = 4π
3 R3
und der Zeit, τ, die sie benötigen, vom Innern, wo sie erzeugt werden, bis zum Rand, wo sie wegfliegen, zu gelangen.
L = (aT 4 )V
τ
Dies geht nicht im Direktflug, τ = t = R/c, sondern per Diffusion. Die Diffusionszeit der Photonen aus dem Stern heraus
ist
τdiff = 3 R
l
R
c
Der Faktor 3 stammt von der Anzahl der Raumdimensionen, t = R/c, ist die Direktflugzeit und N 2 = (R/l) 2 ist der
Faktor, um den die einzelne Flugstrecke l verlängert wird, da l die freie Weglänge ist. Die Opazität κ hängt mit l wie folgt
zusammen: κρ = l −1 , dabei ist ρ = M/V die Massendichte. Damit wird die Leuchtkraft L eines Sterns gegeben durch
L = c(aT 4 )V
3κρR2 ≈ caR4T 4
κM
Die hier auftretende Temperatur eliminieren wir mithilfe des Virialsatzes für den Druck P V ≈ GM 2 /R
P ≈
GM 2
R 4 und P = ρ
˜µm
a 4
kT + T
3
Das liefert die Relation (3.20), wenn wir für massearme bis normale Sterne den kinetischen Druck und für massereiche
Sterne den Photonendruck benutzen.
Als Mittelwert kann man L ∝ M 3.5 nehmen. Da die zur Kernfusion zur Verfügung stehende Masse
proportional zur Gesamtmasse des Sterns ist, für Hauptreihensterne gilt W ≈ 0.1 · 7 · 10 −3 Mc 2 , erhält
man für die Lebensdauer A des Vorgangs A ∝ M −2.5 . Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse für
gerechnete gerechnete Entwicklungszeiten für Population I Sterne der Leuchtklasse V (Hauptreihensterne)
und zwar Radius und Leuchtkraft als Funktion der Masse.
Für massive Sterne (O3 Sterne z. B. in 30 Doradus) beträgt die Entwicklungszeit nur noch einige Myr.
Diese sollten also extrem selten sein, da sie aber sehr leuchtstark sind, sieht man überproportional viele
von ihnen (Malmquist Verfälschung).

3.4. STERNENTWICKLUNG 199
Typ
M
M⊙
tmax
yr
R
R⊙
O5 50. 1·10 6 18.0
B0 18. 1·10 7 7.5
B5 6. 1.2·10 8 6.5
A0 3.2 6.5·10 8 2.6
A5 2.4 1.3·10 9 2.1
F0 1.7 2.8·10 9 1.4
F5 1.4 5.3·10 9 1.3
Typ
Tab. 3.5: Masse-Alter-Radius
M
M⊙
tmax
yr
R
R⊙
F8 1.2 6.5·10 9 .
G2 1.0 1·10 10 1.1
G5 0.9 1.15·10 10 0.9
K0 0.78 1.8·10 10 0.9
M0 0.42 8·10 10 0.6
M5 0.27 2·10 11 0.4
M8 0.1 8·10 11 0.1
Für massearme Population II Sterne in Kugelsternhaufen gelten andere Anfangsbedingungen. Sie enthalten
kaum schwere Elemente. Für sie gilt
�
L ∝
Z 0.69 X 1.19 T 5.6 CNO-Zyklus
Z 0.36 X −1.52 T 4.11 pp-Zyklus
(3.21)
Die Leuchtkraft wird bei diesen Sternen sehr empfindlich durch den Massenanteil Z der schweren
Elemente, also von Spurenelementen, bestimmt.
• ANMERKUNG (ALTERSBESTIMMUNG AN KUGELSTERNHAUFEN)
Kugelsternhaufen liefern die bisher genaueste Methode, das Alter des Universums nach unten abzuschätzen. Das Verlassen
der Hauptreihe im Hertzsprung-Russel-Diagramm wurde erstmals von Gamow für eine Bestimmung ihres Alters herangezogen.
Für die ältesten Kugelsternhaufen findet man ein Abknicken im Hertzsprung-Russel-Diagramm bei Sternen von
etwa 0.8 M⊙, was einem Alter von 18 Gyr entspricht.
3.4.3 Abkühlen Weißer Zwerge
Die meisten Sterne enden als Weiße Zwerge. Ein Weißer Zwerg hat den Radius der Erde aber die
Masse der Sonne (also etwa 3·10 5 mal mehr Kerne, in denen die Wärme gespeichert ist - die entarteten
Elektronen liefern keinen Beitrag).
Die wichtigsten Parameter Weißer Zwerge sind hier nur zusammengestell, abgeleitet werden sie später.
Mit der gravischen Feinstrukturkonstante αG
αG = Gm2 p
¯hc
= 5.9 · 10 −39
kann man ihre Teilchenzahl mit
(3.22)
NCh = 0.75(2Z/A) 2 α −3/2
G = 1.4(2Z/A) 2 N⊙ (3.23)
und ihre Masse mit
MCh = 0.75(2Z/A) 2 mpα −3/2
G = 1.456(2Z/A) 2 M⊙ (3.24)
Für den Radius gilt
R = ¯h 1/3
Nc = R⊕ (3.25)
mec
Damit erreicht die gravische Bindungsenergie E ≈ 5 · 10 −4 Mc 2 fast die von Deuterium (E ≈ 1.25 ·
10 −3 Mc 2 ).
Neben der Sternentwicklungszeit der Hauptreihensterne, welche stark von der chemischen Zusammensetzung
des Sterns abhängt, kann man auch das Abkühlen Weißer Zwerge benutzen.

200 KAPITEL 3. KERNPHYSIK: ALTERSBESTIMMUNG
Die beobachteten Leuchtkräfte Weißer Zwerge rangieren in der Mehrzahl (Vorsicht ist bei akkretierenden
Objekten geboten) zwischen 10 −1 L⊙ und 10 −4 L⊙ und haben einen cut–off bei etwa 3 · 10 −5 L⊙,
was man dadurch erklärt, daß die Zeit bis zum Erreichen dieser Leuchtkraft (Oberflächentemperatur)
etwa dem Alter der Galaxis entspricht. Kennt man das Abkühlverhalten (Theorie), dann kann man das
Alter bestimmen.
Wir nehmen an, daß ein Weißer Zwerg keine innere Wärmequelle (Fusion, Radioaktivität, usw.) mehr
hat. Er kann demnach nur noch abkühlen. Für reines Abkühlen reicht zur Beschreibung der Energiesatz
in seiner einfachsten Form, ˙ Q = −L, aus, mit
Q = CvT = fNkT und L = 4πσR 2 T 4 eff
Die Wärmeenergie Q eines Gases bzw. eines Plasmas hat f = 3/2, ein Festkörper dagegen hat doppelt
soviel Energie, f = 3. Die beim Phasenübergang freigesetzte Energie verzögert das Abkühlen. Für
den Beobachter bedeutet dies eine größere Anzahl Weißer Zwerge bei gleichem T 4 eff. Danach, falls die
Temperatur unter die Debey Temperatur ΘD gesunken ist, fällt die Wärmekapazität Cv stark ab:
�
T
CvNkT
ΘD
�3
was sich in einem Defizit an leuchtschwachen Weißen Zwergen bemerkbar machen sollte (cut-off). Mit
τ = Q
L
= fMkT
AmpL
haben wir wieder eine charakteristische Abkühlzeit, wenn wir T im Innern eines Weißen Zwergs und
A (das Atomgewicht der Kerne) kennen. Da massive Weiße Zwerge auf jeden Fall bis zum Kohlenstoffbrennen
kommen, können wir A ≈ 12 annehmen. Die dimensionslose Größe, die es dann noch zu
bestimmen gilt, ist T/Teff. Wir verschieben die Analyse (des Strahlungstransports in der Kruste und
der Atmosphäre) auf später und setzen T/Teff ≈ 10 3 . Damit gilt dann für einen Stern mit L = 10 −2 L⊙
Teff ≈ 10 4 K und Tc ≈ 10 7 K. Die Wärmeenergie Q beträgt dann Q ≈ 10 48 erg und für die Abkühlzeit
folgt τ ≈ 10 9 yr.
Beobachtung und Theorie sind mittlerweile in so guter Übereinstimmung, daß man für leuchtschwache
Weiße Zwerge Teff als Altersindikator benutzen kann. Insbesondere in Doppelsternsystemen, wo ein
Begleiter ein WD ist, hat man damit eine Altersabschätzung.
3.4.4 Das Alter von Pulsaren
Pulsare sind rotierende Neutronensterne, welche gepulste Radio- bzw. Röntgenstrahlung aussenden
und damit sehr genau gehende Uhren mit der Periode P darstellen. Ein Alter erhält man für beide, allerdings
stark modellabhängig, durch die gemessene Brems- bzw. Beschleunigungsrate ˙ P der Pulsare.
Das Alter der Radiopulsare
Gewöhnlich bestimmt man das Abbremsalter nach der Larmor Formel für den Energieverlust eines
schiefen magnetischen Rotators
˙Erot = − 2
3c 3 ¨ M 2 = − 2
3c 3 M2 Ω 4
der im Vakuum strahlt, was auf die Gleichung
IΩ ˙ Ω = − 2
3c 3 ¨ M 2
(3.26)

3.4. STERNENTWICKLUNG 201
führt. Dabei ist M = BsR 3 das magn. Dipolmoment senkrecht zur Rotationsachse, R der Radius
und I das Trägheitsmoment des Neutronensterns. Die Drehfrequenz ist Ω = 2π/P und die Bremsrate
ist ˙ Ω. Sie können direkt gemessen werden. Die Werte für I und R folgen nur aus einer Theorie der
Neutronensterne, wozu wieder die Kernphysik die Grundlage liefert.
• ZUSATZ (RECHNUNG)
Mit ¨ M 2 = Ω 4 M 2 o folgt
P ˙
P =
� 8π 2 R 6
3c 3 I
�
B 2 s
mit konstanter rechter Seite. Die Lösung lautet
P 2 = P 2 �
o 1 + 1
�
(t − to)
τ
mit
und
τ =
�
P
2 ˙
�
P o
τ = 3c3 I
16π 2 B 2 s
Damit ist gleich das Magnetfeld mitbestimmt. Zur Bestimmung des Alters ist dagegen nur wesentlich, daß
gilt.
(3.27)
(3.28)
(3.29)
(3.30)
˙Ω = −KΩ 3 mit K = const (3.31)
Unter der Annahme, daß Pulsare schnell rotierend geboren werden, gilt dann nach hinreichender Abbremsphase
für das Alter eines Radiopulsars
�
P
τ =
2 ˙
�
(3.32)
P o
wobei der Index o sich auf den Beobachtungszeitpunkt bezieht. Für extreme Millisekunden Radiopulsare
erreicht τ fast 20 Gyr.
Das Recycling Alter der Röntgenpulsare
Recycling von Neutronensternen benötigt einen Begleitstern, der lange Zeit nah (aber nicht zu nah) am
Pulsar kreist und diesen (von Zeit zu Zeit) mit Materie versorgt. Dabei wird in den meisten Fällen der
Donor vollständig vernichtet (Kannibalismus). Ein Beispiel ist der Transient SAX J1808.4-3658. Für
einen Neutronenstern der Masse, MCh = 1.4M⊙, mit und Radius R = 10 km beträgt σg = GM/Rc 2 =
0.1. Damit ergibt sich als kritische Massenakkretionsrate
˙M = 2 · 10 −8 MCh yr −1 = 2 · 10 18
g s −1
um die Grenzleuchtkraft von LEdd = 2 · 10 38 erg s −1 zu erhalten. 95% der Zeit ist der Pulsar aus, 5%
der Zeit beträgt die Leuchtkraft gut nachweisbare L = 10 37 erg s −1 und seiner beobachteten normalen
(Dauer) Leuchtkraft von L = 1 · 10 35 erg s −1 entspricht demnach eine mittlere Massenakkretionsrate
von nur ˙ M = 10 −11 M⊙yr −1 . Die akkretierte Masse kann leicht abgeschätzt werden: die Gesamtmasse
ma, die akkretiert werden muß, um die Endfrequenz Ω zu erreichen beträgt
ma = 3
4 I
� �
2 2/3
Ω
GM
(3.33)

202 KAPITEL 3. KERNPHYSIK: ALTERSBESTIMMUNG
Und explizit, für typische Neutronenstern Werte:
ma = (0.17M⊙)I45(10 3 P ) −4/3 (M/M⊙) −2/3
(3.34)
Im Falle des Transienten SAX J1808.4-3658 sind das mit P = 2.5 ms ma = 0.05M⊙, woraus mit einer
Rate von ˙ M = 10 −11 M⊙yr −1 als untere Schranke für das Alter 5 Gyr folgt. Falls dies typisch für das
Recycling eines Neutronensterns ist, dann sind viele Radiopulsare sogar primordial.

3.4. STERNENTWICKLUNG 203
3.4.5 Doppelsterne
Ein ähnlich extremer Pulsar wie der Transient SAX J1808.4-3658 = XTE J1808-369 ist der Radiopulsar
PSR B1744-24A mit P = 11.56 ms und einer Orbitalperiode von 1.8h. Der Pulsar befindet sich im
Kugelsternhaufen Terzan 5, der selbst im Galaktischen Bulge (nahe dem Galaktischen Zentrum) liegt.
Der Wert für die Massenfunktion ist f(Mx, Mc) = 3·10−4M⊙ und der Abstand beträgt ax = 110·10−3 lt sec (modulo sini).
Der Radiopulsar B1744-24A = J1748-2446A, mit einer Orbitalperiode von Torb = 1.8 h = 109 min,
hat eine zehnmal längere Umlaufperiode als der schnellste Röntgenburster, 4U1820-30 mit 11.4 min.
Beide sind Mitglied eines Kugelsternhaufens, was kein Zufall sein kann. Die Periode des Radiopulsars
beträgt P = 11.56 Milli Sekunden, (Alter unbekannt, da ˙ P = −1.9dex(−20) < 0 s s−1 ) Entfernung 7
kpc. Nimmt man an, daß die wahre Ableitung unterhalb diesem Betrag liegt, also
˙
Pwahr < 1.9dex(−20) s s −1
so ergibt sich ein Alter T
T = P
2 ˙
P
> 1010
yr
Das ist ein Alter T von mehr als 10 Gyr und entspricht damit dem Alter des Kugelsternhaufen.
• BEISPIEL (NEUTRONENSTERN IN ULTRA-KOMPAKTEN BINÄR-SYSTEMEN)
Röntgen Pulsare mit ultra-kurzer Orbitalperiode
Zwei Prozesse bestimmen die Entwicklung von Röntgenquellen mit ultra-kurzer Orbitalperiode:
1. Massenüberfluss (vom massearmen auf den massiveren Stern) und
2. Gravitationsstrahlung.
Es handelt sich bei den nebenstehenden zwei Röntgenpulsaren bzw. Röntgenburstern
vermutlich um ultrakompakte Doppelsterne, wo der Neutronenstern dabei ist, den
Begleiter zu zermalmen.
Anm: Prot ist die Rotationsperiodes des Neutronensterns, Torb die Orbitalperiode
(a in Lichtsekunden ist der Abstand der beiden Sterne).
Die Quelle 4U1820-30 ist ein Burster, die im Kern des Kugelsternhaufens NGC
6624 liegt.
4U1627-67 zeigt Röntgen - Flares und hat ein extrem starkes Magnetfeld B12 = 1.
Mit f(M) = 1 × 10 −6 M⊙ und Mc < 0.02M⊙ hat 4U1627-67 seinen Begleiter
fast aufgegessen.
Die Akkretionsrate von 4U1627-67 liegt bei − ˙ Mc = 10 −10 M⊙ yr −1 .
Röntgen Pulsare mit ultra-kurzer Orbitalperiode
3.4.6 Das Relaxationsalter der Kugelsternhaufen
Pulsare mit kurzer Orbitalperiode
PSR Prot Torb a
(J2000) ( s) (min) lts
4U1820-30 11.4 0.38
4U1627-67 7.68 41.4 0.01
1E2259+59 6.98 43.2 0.20
4U1915-05 49.8 1.00
Tab. 3.6: Pulsare (kurze Orbitalperiode)
Wir kennen an echten stellaren Verdichtungen in unserer Galaxis mindestens vier verschiedene Typen.
Diese sind
1. der Bulge
(Gesamtmasse etwa 2 · 10 10 M⊙, Radius etwa 2.5 kpc)
2. die Kugelsternhaufen
(etwa 120 im Halo plus weitere 100 in der Korona bekannt),
3. die offenen Sternhaufen
(Anzahl etwa 100, z. B. Plejaden, Hyaden).
4. die Sternassoziationen
(OB, W-R und T Tauri Assoziationen: etwa 100 sehr junge Objekte sind bisher bekannt).

204 KAPITEL 3. KERNPHYSIK: ALTERSBESTIMMUNG
Der Bulge markiert das Zentrum der Galaxis und ist aus der Fusion von Zwerggalaxien entstanden. Die
Kugelsternhaufen sind eventuell ebenfalls aus Zwerggalaxien entstanden, eine Alternative scheint der
Stoß zweier Galaxien zu sein. Die offenen Sternhaufen werden heute noch in massiven Molekülwolken
geboren. Die offenen Sternhaufen und die Kugelsternhaufen unterscheiden sich in Alter und Anzahl
der Sterne.
Typische Werte sind:
und
offener Sternhaufen N = 10 3 ; v = 1kms −1 ; m = 1M⊙; R = 10 pc
Kugelsternhaufen N = 10 6 ; v = 20kms −1 ; m = 0.5M⊙; R = 30 pc
wobei N = 10 6 in der Milchstraße eher eine obere Grenze darstellt.
Die Kugelsternhaufen sind die ältesten bisher gefundenen Objekte im Kosmos, daher das grosse Interesse
an ihnen. Um M87 hat man 6000 Kugelsternhaufen entdeckt, viele davon sind bereits aufgelöst.
Die Alter offener Sternhaufen können die der jungen Kugelsternhaufen erreichen.
Im Kernbereich des Bulge, mit Radius von 1 kpc, beträgt die Masse sogar M = 1 · 10 10 M⊙ (also
N = 10 10 ).
Alle diese Objekte sind relaxiert, was aus ihrer kugelförmigen Gestalt folgt und damit liefern sie interessante
Abschätzungen für das Alter des Universums (grössere Strukturen sind dagen nicht relaxiert).
Die standard Literaturformel (Spitzer und Härm, 1958) für die Relaxationszeit lautet:
v
τ = fo
3
G2m2n ln(N)
; fo = (3/2) 3/2 /2π (3.35)
Wir wollen die wichtigsten Schritte zu ihrer Herleitung skizzieren. Als Näherungsformel wird oft
� �
R N
tRelax =
(3.36)
V 12 ln(N/2)
verwendet. Bei bekannter Entfernung kann der Radius R bestimmt werden, die Anzahl der Sterne N
und ihre mittlere Geschwindigkeit v (Dopplereffekt) sind direkt beobachtbar.
• DEFINITION (KING FUNKTION)
Die Massenverteilung wird bei gravischen Systemen wie Kugelsternhaufen durch das King Modell approximiert:
n = no
�
1 + r2
a2 �b
; b = 3β
2
Die originale King Funktion im Phasenraum erhält man aus der Boltzmann Verteilung,
�
1
f(v) = n
πu2 �3/2 �
exp − v2
u2 �
; u 2 = GM
R
indem diese bei vesc abgeschnitten wird. Die Entweichgeschwindigkeit ist abhängig vom Ort R und der Masse M
�
2GM
Das liefert
mit
vesc =
R
g(v) = ˜ f(v) − ˜ f(vesc)
1 − ˜ f(vesc)
˜f(v) = e (−v2 /u 2 )
(3.37)
(3.38)
(3.39)
(3.40)

3.4. STERNENTWICKLUNG 205
für den Geschwindigkeitsteil. Der Ortsanteil ist in Übereinstimmung mit der Boltzmann Verteilung,
�
φ(r) − φ(0)
h(r) = exp −
u2 �
Die Gesamtverteilung ist dann
(3.41)
f(r, v) = h(r)g(v) (3.42)
und es ist zu beachten, daß
v 2 esc = −2φ(r)
in g(v) zu setzen ist.
Das Relaxationsalter der Kugelsternhaufen kann mit sehr unterschiedlichem Aufwand abgeschätzt werden.
Es sei f(r, v, t) die Verteilungsfunktion der Sterne und n die Anzahldichte der Sterne
�
n = f(r, v, t)d 3 v (3.43)
in einem Sternhaufen. Dieser wird aufgrund gravischer Mehrkörper Wechselwirkung im Laufe der Zeit
Kugelgestalt annehmen. Die Streuung von Sternen der Masse m ist analog zur Rutherford Streuung.
Für eine einfache Abschätzung benutzen wir die Formel für die Stossrate eines Streusterns an n Targetteilchen
pro Volumen, wobei v die Relativgeschwindigkeit und σ der Streuquerschnitt ist:
1
= nσv (3.44)
τ
Wir erhalten so als erste grobe Näherung
oder
τ = 1
nσv
= fp
v3 G2m2n ; fp = 1
π
τsc = fqN R
v
; fq = 4
3
wobei sc für single collision steht.
• ZUSATZ (RECHNUNG)
Wie bei der Herleitung der Rutherfordschen Formel gezeigt, sind
und
tan χ
2
∆v
v
∆E
E
= h = α
mv 2 i ρ
= 2 m1
m1 + m2
�
m
= 4
m2
(3.45)
(3.46)
(3.47)
sin(χ/2) (3.48)
� 2
sin 2 (χ/2) (3.49)
eine Parameterdarstellung für Geschwindigkeits- und Energieänderung bei einem einzelnen Stoß. Dabei ist ρ der Stoßparameter,
also der horizontale Abstand der beiden Sterne bei grosser Entfernung.
Für den Streuquerschnitt eines einzelnen Stosses setzen wir σ = 2πρ 2 und für ρ wählen wir den Wert, der eine Ablenkung
um 90 Grad ergibt:
ρ = Gm
v 2 = ρmin (3.50)
Ein solch naher Stoß ist energiereich genug, den Stern aus dem Haufen zu entfernen: ∆E/E = 4. Er dient weiter unten
auch zur Bestimmung von ρmin.
Nach dem Virialsatz würde auch ∆E/E = 1 reichen. Mit dem Virialsatz 2T = U, wobei U = mφ(R) ist, erhalten wir,
N = v2 R
Gm
und mit 4πnR 3 /3 = N schließlich Glchg. (3.46).
(3.51)

206 KAPITEL 3. KERNPHYSIK: ALTERSBESTIMMUNG
Ein Vergleich mit der genaueren Rechnung, Glchg. (3.35) zeigt, daß ein wesentlicher Aspekt, die langreichweitiger
Wechselwirkung, nicht berücksichtigt ist: viele kleine Stöße sind effektiver als ein großer.
• ZUSATZ (RECHNUNG)
Bei vielen Stößen mittelt sich allerdings der lineare Geschwindigkeitsbeitrag heraus. Ferner muß über alle Stoßparameter
gemittelt werden. Die Rechnung haben wir bereits bei der Rutherford Streuung durchgeführt. Bei gravischer Wechselwirkung
lautet sie
dE
dt = 4πnG2 m2 1m2
ln B ; B =
v
ρmax
ρmin
Für ρmax wählen wir den Radius des Haufens, ρmax = R, sodaß für den Wert von B zunächst
B = v2R = N
Gm
wobei N die Anzahl der Mitglieder ist (m ist die Masse eines Einzelsterns, die Gesamtmasse beträgt M = mN. Das liefert,
wenn wir für τ die Zeit nehmen, in der E verdoppelt wird
τmc = τsc
ln(N)
Die korrekte Antwort erhalten wir, wenn wir auch noch über die Verteilung der Sterngeschwindigkeiten mitteln. Der Einfachheit
halber nehmen wir an, daß die Verteilungsfunktion einer Boltzmann Verteilung gehorcht. Sie gilt eigentlich nur für
stossdominierte Gase und lautet
�
m
�3/2 fM (v) = n
2πkT
dabei ist n = N/V die Anzahldichte und m die Masse der Atome (Sterne). Die Normierung verlangt
�
N = V
(3.52)
(3.53)
−m v2
e 2kT (3.54)
fM (v)d 3 v ; d 3 v = 4πv 2 dv (3.55)
Wir vernachläßigen damit, daß Sterne mit mehr als Entweichgeschwindigkeit im Kugelsternhaufen nicht vorkommen und
darüber hinaus ein mögliches Schrumpfen des Haufens.
Die Verteilungsfunktion der Sterne wird gewöhnlich nicht mithilfe einer Temperatur geschrieben. Wir ersetzen 2kT/m →
u 2 und erhalten:
f(v) = n
�
1
πu2 �3/2 �
exp − v2
u2 �
; u 2 = GM
R
Die hier auftretende Größe u schätzen wir mit der Virialgeschwindigkeit ab. Damit gilt dann
(3.56)
d ˙ N = 2πbdbvf(r, v, t)dv (3.57)
� �2 �
� �2 ∆v
2Gm
= 2π bdbvf(r, v) dvdt (3.58)
v
uvb
Die erste Gleichung gibt die differentielle Streurate, mit der zweiten erhalten wir das Relaxationsalter, wenn wir ∆v = v
setzen.
Das Ergebnis kann auch anschaulich so formuliert werden:
� �
R N
tRelax =
(3.59)
V 12 ln(N/2)
dabei ist tcross die Zeit, die der Stern braucht, um den Haufen mit Radius R mit der mittleren Geschwindigkeit
v zu durchqueren.
• BEISPIEL (DAS RELAXATIONSALTER DER KUGELSTERNHAUFEN)
Mit der Umrechnung
1 km s −1 = 1 pc Myr −1
beträgt tcross etwa 3 Myr (mit v = 20 km s −1 und R = 30 pc). Daraus folgt (mit N = 10 5 ) im Extremfall tRelax ≈ 1 Gyr.
Das ist etwa die Zeit, die man üblicherweise zum Alter der Milchstraße hinzuzählt.
Die 10 10 Sterne im Kernbereich des Bulge (mit Radius von 1 kpc) sind dagegen scheinbar nicht relaxiert. Nimmt man aber
an, daß diese durch Verschmelzen von Zwerggalaxien (mit jeweils 10 8 Sternen) entstanden sind, dann ist N = 100 und das
Kriterium erfüllt. Die Zwerggalaxien sind mit 10 8 Sternen ebenfalls relaxiert.
• BEISPIEL (DAS RELAXATIONSALTER DER OFFENEN STERNHAUFEN)
Hier beträgt tcross etwa 20 Myr (mit v = 1 km s −1 und 2R = 20 pc). Daraus folgt (mit N = 10 3 ) tRelax ≈ 0.1 Gyr.

3.4. STERNENTWICKLUNG 207
3.4.7 Das Evaporationsalter der Kugelsternhaufen
Das Evaporationsalter der Kugelsternhaufen erhalten wir aus dem Relaxationsalter, tRelax, wenn wir
denjenigen Anteil ɛ der Boltzmann Verteilung bestimmen, der entweichen kann, N(v > vesc) = ɛN,
mit
vesc =
�
2GM
R
Für diesen Anteil ɛ gilt dann
1
N ˙ N = ɛ
tRelax
(3.60)
Das liefert etwa ɛ = 0.01 und damit tEvap = N/ ˙ N = tRelax/ɛ, Computersimulationen liefern genauer
oder
tEvap = 96tRelax
tEvap =
� �
8R N
v ln(N/2)
(3.61)
(3.62)
Für typische offene Sternhaufen in unserer Galaxis findet man tEvap = 3 Gyr, während für die massiveren
Kugelsternhaufen tEvap = 100 Gyr gilt.
Kugelsternhaufen liefern mit tcross und tEvap äusserst nützliche Altersindikatoren, da diese physikalisch
verstanden sind. Beide Zeiten können als untere und obere Schranke für das Alter der Galaxis und
damit auch für das Universum genommen werden.
• BEISPIEL (DAS EVAPORATIONSALTER DER OFFENEN STERNHAUFEN)
Hier beträgt tEvap mit unseren Daten 10 Gyr. Viele Haufen (mit N < 10 3 ) sind damit bereits verdampft.
• ZUSATZ (MÖGLICHE HERKUNFT: ZWERGGALAXIEN)
Eine bedeutsame Entdeckung hat aufgezeigt, wie die Herkunft der Kugelsternhaufen geklärt werden könnte. Die Sagittarius
Zwerggalaxie befindet sich (von der Erde aus gesehen) hinter dem Galaktischen Zentrum und ist senkrecht zur Galaktischen
Ebene elongiert, was dahingehend gedeutet wird, daß diese Zwerggalaxie von der Milchstraße zerrissen wird.
Es zeigt sich, daß die Kleine Maghellansche Wolke (Entfernung 57 kpc) ähnlich in ihren spektroskopischen Eigenschaften
ist. Skaliert man die Sagittarius Zwerggalaxie um 1.6 mag, so ergibt sich eine gute spektroskopische (Horizontalast, Roter
Klumpen) Übereinstimmung und damit eine Entfernung für die Sagittarius Zwerggalaxie von 24 kpc.
Weitere Daten zur Sagittarius Zwerggalaxie:
1. Entfernung 24 kpc.
2. Die heliozentrische Radialgeschwindigkeit beträgt +140 km s −1 .
3. Die Leuchtkraft wird mit MV ≈ −13 mag. angegeben.
4. Die mittlere (auf die Sonne bezogene) Metallizität [Fe/H] beträgt −1.4.
5. Die Sagittarius Zwerggalaxie enthält mehrere Sternpopulationen.
6. Der Kern der Sagittarius Zwerggalaxie ist M54.
7. Drei diskrete Sternpopulationen können unterschieden werden.
8. Der Altersunterschied der diskreten Sternpopulationen beträgt 3 Gyr.
Die massivsten Kugelsternhaufen sind ω Cen (Nr 1) und M54 (Nr 2).
Der massivste Kugelsternhaufen, ω Cen, enthält 4 diskrete Sternpopulationen mit Metallhäufigkeiten, die jeweils um etwa
dex(0.3) wachsen: z1 = 0.4dex(−3), z2 = 1dex(−3), z3 = 2dex(−3) und z4 = 5dex(−3). Der Altersunterschied der 4
Sternpopulationen beträgt 2 Gyr.
Weitere Daten zu Kugelsternhaufen ω Cen:
1. Entfernung 4.8 kpc.
2. Daten anhand von 130 000 Sternspektren.
3. ω Cen, NGC 6522 und NGC 6528 durchqueren gerade die galaktische Ebene.

208 KAPITEL 3. KERNPHYSIK: ALTERSBESTIMMUNG
Lit.
Ibata et al. Nature 370, 194 (1994) ’A dwarf satellite galaxy in Sagittarius’.
Y.W. Lee et al. Nature 402, 55 (1999) ’Multiple stellar populations in ω Cen’.
• ZUSATZ (MÖGLICHE HERKUNFT: ZWERGGALAXIEN)
Eine Bestätigung dieser Entdeckung (Herkunft der Kugelsternhaufen aus Zwerggalaxien) folgt aus der Interpretation neuerer
Daten von Hipparcos. Anhand sehr genau vermessener 3D Eigengeschwindigkeiten konnte bei etwa 100 besonders
alten (nämlich Sternen mit [Fe/H] < −1.6dex eine Zusammengehörigkeit (über numerische Simulation) festgestellt werden.
Zwei Sterströme konnten identifiziert werden mit 9 bzw. 3 Mitgliedern. Die Bahndaten sind wie folgt: rapo = 16 kpc
und rperi = 7 kpc, mit einer Periode von 0.4 Gyr. Die maximale Höhe über der Galaktischen Ebene beträgt 13 kpc. Beide
Ströme bewegen sich in entgegengesetzter Richtung und machen 10% an Masse der Sonnen nahen Halo Sterne aus. Läßt
man diese Ströme zeitlich rückwärts fließen, so ergibt sich ein gemeinsamer Ursprung nach 10 Gyr. Die Simulation ergibt,
mit einer Geschwindigkeitsdispersion von 15 km s −1 und einem Kern Radius von 0.5 kpc, eine Zwerggalaxie mit einer
Leuchtkraft von 10 7 L⊙ und einer Masse von 10 8 M⊙.
Lit.
A. Helmi et al. Nature 402, 53 (1999) ’Debris streams from the formation of MW’.
3.4.8 Das Alter des Universums
Zu ✛Beginn
des 20ten Jahrhunderts ✘ sah ein kosmologisch konsistentes Modell des Universums wie
folgt aus: Das Alter betrug etwa 0.1 Gyr, die Masse bestenfalls einge 10
The Lord made the universe
but Baade doubled it.
Anon
✚
✙
6
Sonnenmassen und der Radius war mit 1 kpc am weitesten von den heutigen
Werten entfernt. Dieses Kapteynsche Insel Universum reichte nur bis
zu den nächsten Molekülwolken. Die Sonne und ihre Planeten waren (nach
den Theorien von Kant und Laplace) einheitlich aus einem kalten Urnebel entstanden, mit der heutigen
Häufigkeit der chemischen Elemente. Die Sonne bezog ihre Leuchtkraft (in der letzten Version
vor Entdeckung der Kernfusion nach Eddington) in Erweiterung der Überlegungen von Kelvin und
Helmholtz, aus der Akkretion von Kometen. Das Universum selbst war statisch (und je nach Autor
endlich oder unendlich ausgedehnt), damit entfiel die Frage nach seinem Anfang. Auch das ’steady
state’ Universum hat keinen Anfang und kein Ende. Materie muß in ihm ständig nachgeliefert werden
(im inflationären Universum ist das nur einmal nötig).
Wir wollen im folgenden beschreiben, wie die Allgemeine Relativitätstheorie zu einer Altersabschätzung
des Kosmos führt.
Die Einsteinsche Kosmologie
Mit kosmologischer Konstante (oder Vakuumenergie) lautet der Energiesatz für die Metrik des Kosmos
wie folgt:
� �2 ˙a
= −k
a
� �
c 2
a
+ 8πG
(ρ + Λ) (3.63)
3
oder (in geometrischen Einheiten geschrieben und geordnet nach Potenzen von a)
− Egr = Evak + Egeo + Epot
Für das Alter des Universums haben die Terme auf der rechten Seite unterschiedliche Bedeutung, da
sie von unterschiedlichen Potenzen von a abhängen:
˙a 2 = (Λa 2 − k) c2
�
8πG ao a
+ ρo + ɛo
3 3 a 2 o
a2 �
(3.64)
Der frühe Kosmos wird von den Termen ganz rechts, der späte von den Termen links dominiert. Eine
mögliche kosmologische Konstante bestimmt demnach ausschließlich unsere Zukunft.

3.4. STERNENTWICKLUNG 209
Läßt man einmal eine mögliche kosmologische Konstante Λ außer Betracht (s.u.), dann ist das heutige
Universum (Friedmann–Lemaître Modell) durch zwei unabhängige Messungen dynamisch vollständig
bestimmt: die Dichte ρo und das Alter to. Nimmt man die chemische Zusammensetzung hinzu (Kernfusion
im frühen Universum), dann ist das Modell sogar überbestimmt (und damit verifizierbar im Sinne
von Popper).
Den Hubble Expansionsparameter H und die kritische Dichte des Universums haben wir wie folgt
definiert:
H = ˙ R
R
; ρc = 3
8πG H2
; Ω = ρ
ρc
= 8πG
3 ρH−2
(3.65)
Die beide Grundgrößen, H und ρ sind für ein expandierendes Universum zeitabhängig; trotzdem wird,
etwas missverständlich, Ho = H(heute) Hubble Konstante genannt. Die Aussage Ω = 1 ist zeitunabhängig,
sonst gilt Ω = Ω(t). Die Beobachtung, daß für unser Universum heute Ω(to) ≈ 1 gilt, wird
allgemein als Problem angesehen, flatness problem.
• DEFINITION (EINHEITEN DER HUBBLE KONSTANTEN)
Als Einheiten wählt man gewöhnlich für die Geschwindigkeit v 100 km s −1 und für die Entfernung l das Mpc, sodaß
H = v/l die Einheit
H100 ≡ 100 km s −1 Mpc −1 = 3.3 · 10 −18 h s −1 (3.66)
hat. Es ist dann üblich (H = Ho der Wert heute)
H = h H100 = Ho
zu definieren, sodaß h der dimensionslose Wert für H ist. In Zahlen: (Alter)
und (Radius)
1
H = 19.56(2h)−1 Gyr = 6 · 10 17 (2h) −1
c
H = 6(2h)−1 Gpc = 1.85 · 10 28 (2h) −1
Die einfachsten Fälle sind:
1. das flache Universum, Ω = 1, Einstein - de Sitter Kosmos
to = 2
3 H−1
o = 6.7 Gyr ; a = ao(t/to) 2/3
(3.67)
s (3.68)
cm (3.69)
Die Dichte ist hier also gleich der kritischen Dichte und Ω = 1 = const. gilt für alle Zeiten.
2. das leere Universum, Ω = 0, Milne - Schücking Kosmos
(3.70)
to = H −1
o = 20/(2h) Gyr ; a = ct (3.71)
Es kann als Grenzfall ρ → 0 aus dem Euklidischen Raum durch rein kinematische Transformation
erhalten werden. Ω = 0 = const. gilt (wie Ω = 1) ebenfalls für alle Zeiten.
Wenn man bereits weiß, daß das Universum flach ist (z. B. aus einer Theorie wie der der Inflation), dann
benötigt man nur eine einzige Messung, um das Universum auszumessen. Diese Größe ist naturgemäß
die Hubble Konstante, da sie nur sichere Frequenzmessungen mit (zZ noch) unsicheren Entfernungsmessungen
benötigt; zur Bestimmung der Dichte muß auch noch die Masse (innerhalb einer gegebenen
Entfernung) ’gewogen’ werden.

210 KAPITEL 3. KERNPHYSIK: ALTERSBESTIMMUNG
Es ist üblich, kosmologische Entfernungen in Einheiten von Mpc anzugeben und Geschwindigkeiten
in 100 km/s. Umgerechnet liefert das in diesen Einheiten für 1/H gerade 20 Gyr als Zeiteinheit für
2h = 1.
Das Alter des Universums ist im flachen Universum (mit kritischer Dichte, Ω = 1)
to = 2
3 H−1 o = 2R
3 ˙ R
1
= 20 Gyr (3.72)
3h
wenn wir mit h den aktuellen Wert von H in obigen Einheiten messen.
Mit 2h = 1 und Ω = 1 gilt: das Alter des Universums ist etwa 14 Gyr und das ist die ✛untere
Gren- ✘
ze für das Alter seiner ältesten Objekte. Für die Verfechter von h = 1 gilt dage-
Hubble double,
gen (zum merken) nebenstehender Spruch aus der New York Times. Dieser gilt auch
world in trouble!
noch für ein nahezu leeres Universum. Beeindruckend ist zur Zeit aber nicht etwa N.Y. Times
eine kleine Diskrepanz der verschiedenen Alter, sondern die größenordnungsmäßige ✚ ✙
Übereinstimmung.
Eine einzige Beobachtung, etwa von Objekten eines Alters von 30 Gyr, würde allerdings dieses schöne
Bild zerstören!
Die kosmologische Konstante
Die Friedmannschen Gleichungen lauten im Original
� 2
�
′ a
3
a
2 a′′
a +
�
′ a
a
� 2
� �2 1
+ 3k
a
� �2 1
+ k
a
= ˆκɛ (3.73)
= −ˆκp (3.74)
Für das Alter des Universums haben heute nur die folgenden Terme (auf der rechten Seite der Friedmannschen
Gleichungen) Bedeutung, da sie die höchsten Potenzen von a enthalten:
˙a 2 = (Λa 2 − k) c2
3
+ 8πGρo
3
ao
a
(3.75)
Eine mögliche kosmologische Konstante bestimmt demnach ausschließlich unsere Zukunft. Ein solches
Friedmann-Lemaître Universum wurde schon einmal ernsthaft diskutiert.

Kapitel 4
Thermodynamik: Temperatur
4.1 Überblick
4.1.1 Leuchtkraft und Temperatur
kosmischer Objekte
Nach Entfernung, Masse und Alter (c, g, s) kommen wir nun zum zentralen Thema der Astrophysik:
zur Bestimmung der Temperatur T und – damit eng verbunden– zur Leuchtkraft L kosmischer Objekte.
Hauptsächlich werden wir die Leuchtkraft der Sterne und der interstellaren Materie (ISM) betrachten,
da nur bei diesen Objekten bisher die Erzeugung hinreichend gut verstanden ist.
Die Grundlage zum Verständnis ist das Plancksche Gesetz der Wärmestrahlung. Es enthält eine einzige
Größe, die Temperatur T , und liefert die Intensität der Wärmestrahlung B = B(T ) und ihre
Spektralverteilung Bν(T ). Die Gesamtstrahlungsrate liefert, vermittels der Relation
Φ = πB (4.1)
wobei Φ die Flächenhelligkeit (der Strahlungsstrom an der Oberfläche des Strahlers in Normalenrichtung)
ist, das (schon vor Planck gefundene) Stefan-Boltzmann Gesetz der Schwarzkörperstrahlung:
Φ = σT 4
T ist die Temperatur und σ die Stefan-Boltzmann Konstante, mit dem Wert σ = 5.67 · 10 −05 erg s −1
cm −2 K −4 .
Die Energiedichte der Strahlung (im Innern des Hohlraums) ist u und es gilt
u = aT 4
(4.2)
; B = c
c
u ; Φ = u (4.3)
4π 4
mit der Strahlungsenergiedichte-Konstante
a = π2 k 4
15¯h 3 c 3 = 7.56 · 10−15 erg cm −3 K −4
Die Strahlungsverlustrate eines Sterns heißt Leuchtkraft, L und wird historisch in Magnituden (neuerdings
auch in Jansky) gemessen.
Es gilt, mit R : Radius und 4πR 2 : Oberfläche des Sterns
L = 4πR 2 Φ = πcR 2 u (4.5)
• ANMERKUNG (DIE STRAHLUNGSDICHTE DER MILCHSTRASSE)
Anstelle eines Sterns kann man auch eine ganze Galaxie betrachten. So hat die Milchstraße etwa eine Leuchtkraft von
LGal = 10 10 L⊙ (bei 10 11 Sternen). Mit R = 10 kpc Radius liefert das u = 10 −12 erg cm −3 , oder zum Merken:
211
(4.4)

212 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
u = 10 −12 erg cm −3 = 1 eV cm −3 .
Dieser Wert für eine Energiedichte kommt merkwürdigerweise gleich mehrfach in der Milchstraße vor.
1. Die kosmische Hintegrundstrahlung z. B. hat 420 Photonen im cm 3 von etwa 1/2000 eV, also uCB = 0.25 eV cm −3 .
Sternenlicht und Hintegrundstrahlung haben aber sicher nichts gemeinsam.
2. Nimmt man die Teilchenzahldichte des Kosmos zu n = 10 −6 cm −3 , dann hat auch die Elektronenkomponente diese
Ruhmassenenergie (1/2 MeV pro Elektron).
3. Das galaktische Magnetfeld hat eine Stärke von etwa 3 µGauss, die Energiedichte beträgt damit ebenfalls u =
B 2 /8π = 10 −12 erg cm −3 .
4. Hiermit ebenfalls vergleichbar, diesmal verständlicherweise, ist die Energiedichte der kosmischen Strahlung.
Die beiden letzten Grössen sind über den Virialsatz für die Elektronenkomponente der Milchstraße gekoppelt:
uel = mγc 2 nel = umag = 1
8π B2
An der Oberfläche eines Sterns (oder einer Galaxie) beträgt der Strahlungsfluß
F (R) = Φ = L
4πR 2
Für einen Beobachter im Abstand D kommt davon
f = L
4πD 2
an Strahlungsfluß an. Die Leuchtkraft, L, kann also nur bestimmt werden, falls die Entfernung zur
Quelle bekannt ist. Anders die Temperatur. Für Quellen, deren Öffnungswinkel
Ω ∗ = π
� �2
R
D
bestimmt werden kann, gilt für den Fluß am Ort des Beobachters
f = F (D) = π
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
� �2
R 1
D π Φ = Ω∗I (4.10)
Der Quotient Φ/Ω ∗ ist entfernungsunabhängig und aus bekanntem f und Ω ∗ kann Φ und damit T
bestimmt werden.
Damit sind wir zu folgendem Ergebnis gelangt:
Aus dem gemessenem Fluß f = F (D) einer Quelle kann ihre Temperatur bestimmt werden,
falls sie auflösbar ist, Ω ∗ > 0; zur Bestimmung der Leuchtkraft L muß die Entfernung
bekannt sein.
Für die Beobachtung wichtig ist dabei der folgende Aspekt: die Existenz einer Quelle kann sich direkt
manifestieren in der Strahlung, die sie erzeugt, oder aber indirekt, indem ein vor einer hellen Quelle
gelegenes dunkles Objekt Strahlung der Hintergrundquelle absorbiert. Extreme Beispiele sind die
Dunkelwolken der Milchstraße.
• ANMERKUNG (BEITRAG DER ERDATMOSPHÄRE)
Die Säulenmasse der Erdatmosphäre beträgt 1033 g pro cm 2 (was einer Wassersäule von 10 Meter Höhe im Gravitationsfeld
der Erde entspricht). Die Säulendichte der Erdatmosphäre beträgt damit (umgerechnet auf N2 und O2) insgesamt
N⊕ = 2 · 10 25
cm −2
Für kleine Frequenzen gilt die von Rayleigh 1899 gefundene Formel (Abendrot und Himmelsblau)
� �4 � �4 ω λo
σ = σT = σT
λ
ωo
(4.11)

4.1. ÜBERBLICK 213
Bis zum Zentrum der Galaxis gilt (für H und H2)
NGal ≈ 10 23
cm −2
Das reicht bei weitem nicht aus Exitinktion und Rötung des Sternenlichts bei seinem Weg durch die Milchstraße quantitativ
zu erklären. Notwendig ist demnach eine weitere Komponente der ISM: Staub der richtigen Größe.
• ANMERKUNG (BEITRAG STAUB IN DER MILCHSTRASSE)
Einer relativen Massenhäufigkeit (bezogen auf die Gaskomponente) von XStaub = 0.01 entspricht eine numerische
Häufigkeit von YStaub = 10 −13 , also etwa nStaub = 10 −12 cm −3 . Das ist ein Staubteilchen pro (100 m) 3 . Der Radius
s eines Staubkorns liegt zwischen einigen 0.1 bis zu 1 µ. Streuung und Absorption werden mit der Mieschen Theorie modellmäßig
beschrieben. Als Ergebnis ergibt sich der geometrische Querschnitt, korrigiert für die Wellenlängenabhängigkeit
(ähnlich der Rayleigh Streuung):
σStaub = πs 2 � s
�4 πs 2
λ
; λ > s (4.12)
; λ < s
Damit wird optische Strahlung über den geometrischen Querschnitt vollständig absorbiert und bei größeren Wellenlängen
wieder abgestrahlt (Rötung mit Entropievergrößerung!).
Die Emission, d. h. die Leuchtkraft von Staub, L, ist im optisch dünnen Fall gegeben durch die Summe, NStaub =
nV YStaub, aller Einzelstrahler im Volumen V . Ein Staubkorn strahlt genähert wie ein Planckscher Strahler, l = 4πs 2 σT 4 .
4π
LStaub = (nYStaub
3 R3 )(4πs 2 σT 4 Staub) < 4πR 2 σT 4 Staub
Die Leuchtkraft L aus dem Volumen V = (4π/3)R 3 ist dabei begrenzt durch die Strahlungsformel für den schwarzen
Körper (der optisch dicke Fall).
Weitere Möglichkeiten, die bekannt sind, können zum zeitweisen völligen Verschwinden der Quelle
führen (Interferenz bei Pulsaren, extrem in dem Kugelsternhaufen 47Tuc) oder zu so grosser Verstärkung,
wie im Falle von Gravitationslinsen (oder Pulsaren), daß die Quelle ohne diese Fokussierung bzw.
Verstärkung nicht nachweisbar wäre.
4.1.2 Das Spektrum der Linien
Die Geschichte der Spektroskopie ist einerseits die Geschichte des Lichts und der Quantenmechanik,
andererseit die Geschichte des experimentellen und technologischen Fortschritts der Optik (und verwandter
Gebiete).
• ANMERKUNG (DUALISMUS WELLE - KORPUSKEL IN DER QUANTENMECHANIK)
Ein diskretes Linienspektrum der Materie ist klassisch vollkommen unverständlich (natura non fecit saltus). Erst die Quantenmechanik
liefert eine vollständige, widerspruchsfreie Beschreibung, die sich jedoch klassischen Denkvorstellungen
weitgehend entzieht. Licht ist beides: Korpuskel (ein Photon beteiligt) im Photoeffekt (Einstein, 1905) oder Welle (Maxwellsche
Theorie der Elektrodynamik, viele Photonen beteiligt) im Hertzschen Dipol. Auf Hertz geht dabei sowohl die
Entdeckung, besser Realisierung, elektromagnetischer Wellen (am 13.11.1886) als auch die (zufällige) Entdeckung des
Photoeffekts (1887) zurück. Erklärt wurde dieser erst von Einstein.
Grundsätzlich wird im atomaren Prozeß ein einzelnes Photon mit Spin ¯h emittiert. Erst viele Photonen, emittiert von vielen
Atomen, liefern das klassische Bild einer Kugelwelle, deren Amplitude nach außen so abnimmt, daß der Fluß durch eine
Kugelfläche konstant ist.
Die Spektroskopie beginnt mit der Zerlegung des Sonnenlichts im Prisma. Neben dem Prisma sind
Regenbogen und Farben dünner Plättchen Phänomene, die zu erklären sind. Hiermit beginnt die Kontroverse
nach der korrekten Beschreibung von Licht: ist es seiner Natur nach Welle oder Korpuskel.
Klassisch schließen sich beide Beschreibungen gegenseitig aus. Wichtige Theorien stammen von Newton
(Korpuskel) einerseits und von Hooke und Huygens (Welle) andererseits.
(4.13)

214 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Robert Hooke (1635 - 1703) erklärt Licht als transversale Welle. Er schreibt 1665 in ’Micrographia’,
daß seine Theorie ist ’capable of explicating all the phenomena of colors, but of all that are in
the world.’
Christian Huygens (1629 - 1695) begründet die Wellentheorie des Lichts, niedergelegt in ’Traité de
la lumière’, Paris (1690). (In Anerkennung der früheren Ideen von Pardies und Hooke). Damit
das Licht sich in einem Medium fortpflanzen kann, führte Huygens den elastischen Äther ein.
Über die Entstehung der Farben schweigt er sich aus. Das nach ihm benannte Prinzip wurde von
Kirchhoff 1882 streng mathematisch gefasst.
Isaac Newton (1643 - 1727) erkärt dagegen Licht als Korpuskel (welche von Materie angezogen
werden und findet dementsprechen keine befriedigende Lösung für die Beugung). Er zerlegt
1672 als erster weißes Licht in Farben mit Hilfe eines Prismas und er schreibt 1672 (in Phil.
Trans. 6, 3075)
’. . . that light itself is a heterogeneous mixture of differently refrangible rays.’
Nach Newton sollte (wegen der Anziehung) die Lichtgeschwindigkeit im Medium größer sein
als in Luft. Er nahm an, daß die Farben durch die Größe der Korpuskel bewirkt werde: der roten
Farbe entsprachen die größten Teilchen, der gelben Farbe mittlere und schließlich der blauen die
kleinsten Teilchen.
• ANMERKUNG (DUALISMUS WELLE - KORPUSKEL HISTORISCH)
Mit seiner Theorie stellt Newton sich ganz bewusst gegen Hooke und Huygens. Vom damaligen Standpunkt aus betrachtet
waren beide unbefriedigend: Huygens konnte die Farben, Newton die ihm bereits bekannte Interferenz und Beugung nicht
erklären.
Trotz beeindruckender Arbeiten von Arago, Malus, Young und Fresnel zur Wellennatur des Lichts, blieb die Newtonsche
Vorstellung (begründet durch seine Autorität auf dem Gebiet der Gravitation) vorherrschend unter den Physikern.
Das experimentum crucis konnte erst 1850 durchgeführt werden, als Fizeau und Foucault erstmals die Wellengeschwindigkeit
des Lichts in Materie messen konnten. Sie fanden v < c. Damit war gezeigt, daß die Newtonsche Vorstellung falsch
war. Michelson (1852 -1931) konnte mit einer verbesserten Foucaultschen Versuchsanordnung sogar die Dispersion der
Lichtgeschwindigkeit (in Schwefelkohlenstoff) bestimmen.
Da man sich die Ausbreitung von Licht im Vakuum nicht vorstellen konnte und da die Fresnelsche Deutung der Polarisation
transversale Lichtwellen forderte, wurde ein hypothetischer elastischer Äther eingeführt, in dem solche Wellen sich
ausbreiten konnten. Maxwell begründete bereits (mithilfe dieses elastischen Äthers) 1860 seine Lichttheorie. Diese etwas
absurde Vorstellung wurde endgültig erst durch den Versuch von Michelson 1881 ad acta gelegt. Bis dahin versuchte man,
die Eigenschaften des Äthers experimentell zu finden und mathematisch zu formulieren.
Die Arbeiten von Hertz zeigten dann experimentell die Richtigkeit der Maxwellschen Theorie und das gesamte Gebiet der
optischen Erscheinungen wurde damit Teil der Elektrodynamik. Hertz und Heaviside zeigten dann aber, daß ein elastischer
Äther unnötig ist zur Ausbreitung der Wellen, Vakuum genügt. Vakuum bedeutet dabei, daß das elektromagnetische Feld
kontinuierlich ist wie der Raum, in dem es existiert.
Lorentz (Minkowski, Poincaré) und insbesondere Einstein entdeckten dann ein zusätzliches Phänomen der Maxwellschen
Theorie: die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Experimentell wurde dies von Michelson bestätigt. Zusammen mit Morley
findet er (seit 1881 in immer wieder verbesserten Experimenten), daß im Vakuum die Lichtgeschwindigkeit unabhängig
von der (Erd)Bewegung ist.
Neben den integralen Parametern Leuchtkraft und Temperatur sind diskrete Werte im Spektrum wichtig
(der Fingerabdruck kosmischer Objekte). Das Plancksche Strahlungsgesetz ist streng nur für den
idealen schwarzen Körper gültig und damit auf realistische Körper nur näherungsweise anwendbar.
Insbesondere zeigen Sterne eine markante Abweichung von diesem Verhalten, da sie ein Linienspektrum
besitzen. Die Kenntnis von der Existenz von Linien im Spektrum der Sonne reicht bis an den
Anfang des 19. Jahrhunderts (Fraunhofer) zurück.
Frequenz (Energie), Breite (Temperatur und Dichte der Umgebung) und Intensität (Häufigkeit und
Dichte des Elements) verschiedener Linien erlauben es, ein detailliertes Bild von den Verhältnissen der
Umkehrschicht zu erhalten.

4.1. ÜBERBLICK 215
• BEISPIEL (ABSORPTION DER ERDATMOSPHÄRE)
Die Fraunhofer Linien A (λ = 7593.8 ˚A), a (λ = 7184.5 ˚A) und B (λ = 6867.2 ˚A) sind terrestrischen Ursprungs (Erdatmosphäre)
und gehören in dieser Reihenfolge zu O2, H2O, und O2.
Was für uns heute selbstverständlich (und lebenswichtig) ist, daß nämlich die Atmosphäre der Erde aus Molekülen (und
Atomen) besteht, die durch ihre Absorption vor der energiereichen UV Strahlung der Sonne schützen, war selbst zu Beginn
des 20ten Jahrhunderts noch völlig unbekannt: viele Physiker leugneten sogar die Existenz der Atome, da sie nicht nachweisbar
seien. Ernst Mach etwa behauptete (ganz im Sinne des Positivismus): ’Atome gibt es nicht. Oder haben Sie schon
einmal eins gesehen.’ Dies war die Mehrheitsmeinung der Physiker (Max Planck eingeschlossen). Bedeutende Ausnahmen
bei den Physikern waren allerdings, beginnend mit Clausius (1857) und neben Faraday (1791 - 1967) und Maxwell, die
Begründer der statistischen Thermodynamik Ludwig Boltzmann und James Jeans. Die bedeutenden Arbeiten (1738) von
Daniel Bernoulli zum Atomismus waren da längst vergessen.
Die Chemiker waren da anderer Meinung. John Dalton bestimmte 1803 als erster das Gewicht der Atome. Er bezog sich
dabei auf eine Idee, die Antoine Lavoisier (1743 - 1794) geäussert hatte. Von Avogadro (1776 - 1856) stammt der Begriff
Molekül.Er fand erstmals die nach ihm benannten Anzahl der Moleküle im Volumen, bei gleichem Druck und gleicher
Temperatur.) waren hier den Physikern weit voraus, deshalb heißen die Atome letzten Endes zu Recht chemische Elemente.
Dabei gab es, abgesehen von der (diskreten) Absorption in der Erdatmosphäre (also der Luft) bereits
genügend Beispiele vom Gegenteil, d. h. der diskreten Natur der Materie. Wir erwähnen als frühestes
Beispiel die Fraunhoferschen Dunkellinien im Spektrum der Sonne (und dabei besonders die winzige
Aufspaltung der Na D-Linie).
• BEISPIEL (FRAUNHOFER: LINIEN-ABSORPTION)
Das älteste Beispiel für diskrete Linienabsorption sind die Fraunhoferschen (Dunkel) Linien im Spektrum der Sonne. (J.
Fraunhofer; 1817 in: Ann.d. Physik 56, 264). Die Frage nach der Natur des Lichts wird damit noch komplizierter, als sie
ohnehin schon ist. Was kann hier diskret sein? Die moderne Antwort, in den Worten Einsteins (1905), lautet
Das Licht besteht aus Energiequanten, genannt Photonen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen.
Damit ist allerdings nur die Hälfte der Frage beantwortet, da Photonen auch erzeugt (oder, wie bei Dunkellinien, vernichtet)
werden müßen. Die andere Hälfte liefert das Bohrsche Atommodell (1913), s. u., mit seinen Regeln.
Daß Fraunhofer der erste war, der solche Dunkellinien im Spektrum der Sonne nachweisen konnte, war sein eigenes Verdienst:
er konnte Prismen und Linsen besser als jeder andere zu seiner Zeit herstellen und bearbeiten (Reinheit und Schleifen
von Glas). Die Zerlegung des Sonnenlichts in seine Spektralfarben vermittels eines Prismas war bereits von Newton
untersucht worden. Linien traten dabei aber noch nicht auf.
Heute kennt man bei der Sonne etwa 1 Million Linien, von denen gut 70% identifiziert sind.
Es dauerte dann (nach Fraunhofers Leistung) fast 50 Jahre, bis Kirchhoff (Physiker) und Bunsen (Chemiker)
in der Lage waren, zu zeigen, daß die Linien der Sonne mit denen terrestrischer Elemente identisch
waren. Ermöglicht wurde dies durch die Reinheit des verwendeten Brenners und der verwendeten
Chemikalien (Na ist wegen seiner Häufigkeit und seiner niedrigen Anregungsenergie überall):
Zehn Jahre vor Kirchhoff und Bunsen hatte Léon Foucault in Paris bereits festgestellt, daß die Na Linie
der Sonne verstärkt wurde, wenn sie durch einen Kohlenstoff Entladungsbogen geleitet wurde. Niemand
konnte allerdings mit dieser Beobachtung etwas anfangen (s.o.: Na ist wegen seiner Häufigkeit
und seiner niedrigen Anregungsenergie eben überall, was Foucault nicht wusste).
• BEISPIEL (KIRCHHOFF UND BUNSEN: LINIEN-ABSORPTION)
Der Nachweis wurde geführt durch Umkehrung der Na D-Linie des Sonnenlichts (G. Kirchhoff, R. Bunsen; 1860 in:
Ann.Phys.109, 148).
Bereits Fraunhofer hatte 600 Linien entdeckt, die er — beginnend bei grossen Wellenlängen — phänomenologisch mit A,
B, C, D usw. durchnumerierte (mit Untergruppen z. B. D1 = Na-Linie bei 5895.94 ˚A und D2 = Na-Linie bei 5889.97
˚A). Der Abstand beträgt mit 6 ˚A gerade mal ein Promille. Die Enträtselung dieser Linienaufspaltung hat zu Beginn der
Quantenmechanik eine bedeutende Rolle gespielt.
Die bekannte Balmer Linie Ha bei 6562.8 ˚A trägt bei Fraunhofer den Buchstaben C.
Kirchhoff und Bunsen fassten ihre Erkenntnisse (1959) im folgenden Gesetz der Spektralanalyse zusammen:
Chemische Elemente und ihre Verbindungen lassen sich eindeutig aus ihren optischen Spektren identifizieren.

216 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Diese Aussage ist bis heute gültig und bildet die Grundlage der Identifizierung astronomischer Objekte. Die Umkehrung
ist ebenfalls interessant: kennt man keine Linien, dann ist es oft unmöglich, das Objekt zu identifizieren. Dies gilt in
besonderem Masse für IR- und Gamma-Quellen.
Die folgenden drei von Kirchhoff (1860) im Labor gefundenen ’Gesetze’ auf astrophysikalische Situationen
umformuliert, lauten:
1. Ein heißer, selbstleuchtender Körper erzeugt ein Kontinuum.
2. Ein optisch dünnes Gas erzeugt Emissionslinien.
3. Ein optisch dünnes, kaltes Gas vor einer heißen Hintergrundquelle erzeugt Absorptionslinien.
Sie sind für das Verständnis der Spektroskopie (bei fehlendem Strahlungstransport) von fundamentaler
Bedeutung. Wir werden sie später im einzelnen herleiten.
Von Kirchhoff stammt auch das erste Modell, die Absorptionslinien der Sonne zu erklären (sein drittes
Gesetz). Diese so genannte Umkehrschicht (ein optisch dünnes, kälteres Gas vor der heißen Strahlungsquelle
der Sonne) würde vermutlich bei einer Sonnenfinsternis als selbst strahlendes Medium mit
Emissionslinien zu beobachten sein.
• ANMERKUNG (DIE ENTDECKUNG VON HELIUM)
Noch vor der Verifizierung des Modells von Kirchhoff entdeckten
Janssen, J. (1824 - 1907) und Lockyer, N. (1836 - 1920)
im Jahre 1868 bei einer Sonnenfinsternis im Spektrum der Chromosphäre der Sonne eine helle gelbe Linie, bei λ = 5876
˚A, welche sie Helium tauften. Auf diese Entdeckung kommen wir später zurück.
Im Labor wurde diese Linie erst von W. Ramsay (1852 - 1916) im Jahre 1895 identifiziert (als Zerfallsprodukt bei radioaktivem
Uranzerfall: α-Strahlung).
1870 (nach einigen vergeblichen vorhergegangen Versuchen) wurde die Emission der Umkehrschicht
tatsächlich von Charles A. Young (zwei Sekunden lang!) beobachtet. Dieses experimentum crucis
bestätigte einerseits die Vorhersage Kirchhoffs aufs schönste, das ’flash’ Spektrum ist in der Tat ein
reines Emissionsspektrum.
Es eröffnete andererseits eine neue Debatte. Viele der entdeckten Linien waren terrestrisch nicht bekannt
(bzw. nicht herstellbar, oder hatten ’falsche’ Intensitäten). Die Frage lautete deshalb: gibt es auf
Sternen noch ganz andere Elemente (Janssen und Lockyer) oder handelte es sich um verbotene Linien?
Auch hier kann die endgültige Antwort nur mithilfe der Quantenmechanik gegeben werden: die Anregungsbedingungen
der Linien folgen aus der Saha Gleichung, sie werden von leicht ionisierbaren
Spurenelementen bestimmt.
Es dauerte dann nochmals gut 50 Jahre bis mit dem Bohrschen Modell die meisten Eigenschaften der
Atomspektren erklärt werden konnten. Allerdings war es auch ohne Modell bereits (aufgrund der sehr
genauen Messungen von ˚Angstrøm) 1885 dem Schweizer Mathematiklehrer J. K. Balmer gelungen,
eine Linienserie zu entziffern.
λn = C n2
n 2 − 4
Die Hα Linie sollte korrekterweise ˚Angstrøm α Linie heißen, so wie Lyα nach Lyman benannt ist, da
er sie als erster im Labor realisiert hat. Eine Verbesserung der Balmer Formel
hwmnc = RH
�
1 1
−
m2 n2 �
, m < n ; w = 1
λ
(mit der Wellenzahl w) stammt (1890) von Rydberg (1854 - 1919).

4.1. ÜBERBLICK 217
• ANMERKUNG (DIE RYDBERG FORMEL)
Johannes Robert Rydberg (1854 - 1919) sammelte systematisch empirische Daten der Spektroskopie und findet (unabhängig
von Balmer) dafür eine Serienformel, welche er in der Form schreibt:
w = 1
�
= RH
λ
1
−
(m + b) 2
1
(n + c) 2
�
mit einer universellen, R, und zwei für jedes Element und jede Serie spezifischen Konstanten, b und c. Ein Jahr nach Balmer
findet er zu seiner Zufriedenheit Übereinstimmung mit der allgemeine Serienformel für Wasserstoff für b = 0 und c = 0.
Als Verallgemeinerung dieser Formel sei angemerkt, daß Alkali Atome (Li, Na, K . . . ) mit einer solchen Form angepaßt
werden können, allerdings sind b und c keine ganzen Zahlen (und oft viel kleiner als eins).
Die universelle Konstante RH heißt ihm zu Ehren Rydbergkonstante. Von ihm stammt die Bezeichnung Term (Festterm m
und Laufterm n.
Natrium hat Z = 11 und die beiden inneren Schalen (n = 1 und n = 2) sind gefüllt. Die Konfiguration lautet [1s 2 2 2 2p 6
nl]. Das Leuchtelektron n = 3 hat eine minimale elektronische Anregungsenergie E(n = 3, l = 0 → n = 3, l = 1) von
2.09 eV. Die Aufspaltung des 3p Niveaus in 2 P 1/2 (Na D2-Linie mit 5890 ˚A) und 2 P 3/2 (Na D1-Linie mit 5896 ˚A) beträgt
∆E = 2 · 10 −3 eV. (Zum Vergleich: H hat entweder E(n = 1, l = 0 → n = 2, l = 1) von 10.15 eV oder ∆E = 4 · 10 −5
eV).
Noch vor Formulierung des Bohrschen Atommodells entdeckte Pieter Zeeman (1865 - 1943) die Linienaufspaltung
im Magnetfeld an der Na D-Linie (1896), ein (kleiner) Effekt, nach dem M. Faraday so
lange erfolglos gesucht hatte. Hale entdeckt bereits 1908 mit diesem Effekt das Magetfeld der Sonnenflecken.
Die Messung der Linienaufspaltung im Magnetfeld bei Sternen und in Molekülwolken ist bis
heute schwierig.
Aufgrund dieses Experiments entwickelt H. A. Lorentz seine klassische Theorie ∗ des Elektrons, die
auch heute noch Grundlage zum Verständnis der klassischen Elektrodynamik ist. Damit ist bereits
der normale Zeeman Effekt zu verstehen (Bei verschwindendem Elektronen Spin, S = 0, kommt der
Strom vom Bahndrehimpuls und der kann klassisch verstanden werden).
• BEISPIEL (DIE BOHR-SOMMERFELDSCHEN ATOMSPEKTREN)
Das Bohrsche Atommodell (1913) basiert auf folgenden Postulaten
1. Atome existieren in stationären (strahlungslosen) Zuständen mit diskreten Energien, die durch ganze Zahlen n (den
Hauptquantenzahlen der Rydberg Formel) charakterisiert sind.
2. Der Übergang erfolgt durch Aufnahme oder Abgabe eines Photons der Energie
¯hω = En − Em
Bohr konnte für Wasserstoff das Spektrum berechnen und damit die Rydberg Konstante RH berechnen
En = −m ∗ 2 (Zα)2
c
2n2 , m ∗ = melMH
mel + MH
; α = e2
¯hc
Die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante tritt hier noch nicht wirklich auf, die Lichtgeschwindigkeit kürzt sich heraus.
RH = e4 m ∗
2c¯h 2
Die Rydbergkonstante hat den Wert 1.09·10 5 cm −1 . Ihm entspricht die Energie Einheit von 13.6 eV.
Der erste Nachweis für die Richtigkeit des Bohrschen Atommodells war der Franck - Hertz Versuch
(1914), bei dem Hg durch Elektronenstoß angeregt wird und bei dem eine scharfe Linie bei λ = 2536 ˚A,
entsprechend 4.89 eV emittiert wird. Damit war einmal der diskrete Charakter der Elektronen Niveaus
im Atom bewiesen, zum andern aber auch ein neuer Anregungsmechanismus entdeckt, wie er auch in
der Astrophysik wichtig ist (Stossanregung).
∗ ’Theory of Electrons’ Teubner (1909).
(4.14)

218 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
• FORMELN (DIE QUANTENMECHANIK)
Werner Karl Heisenberg (1901 - 1976) begründet 1925 seine Form der Quantenmechanik (’Über quantenmechanische
Umdeutungen kinematischer und mechanischer Beziehungen’). Er schafft mit Max Born und Pascual Jordan die ’Göttinger
Matrizenmechanik’ und formuliert 1927 seine Unschärferelation. (’Über den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen
Kinematik und Mechanik’. Z. Phys. 43, 1927, 172).
Erwin Schrödinger (1887 - 1961) formuliert 1926 seine Wellengleichung. Ann. d. Phys. 79 (1925) 361 u. 489; 80 (1926),
437; 81 (1926), 109. Er zeigte 1926, daß Heisenbergs Matritzenrechnung und seine Wellengleichung nur verschiedene
Darstellungen ein und derselben Theorie sind.
Grundlage der Theorie sind die folgenden Axiome. Alle Observablen sind durch selbstadjungierte Operatoren darzustellen.
Ort Q und Impuls P genügen der folgenden (Nichtvertauschbarkeits) Kommutatorrelation:
P Q − QP = ¯h
i
woraus (rein algebraisch) die Heisenbergsche Unschärferelation (für P und Q) folgt:
δP δQ ≥ ¯h
2
Mit dem Hamilton-Operator H und der Wellenfunktion Ψ lautet die Schrödinger Gleichung für ein Elektron mit der (reduzierten)
Masse m und mit der Ladung e im elektrischen Potential (des Atoms) Φ
i¯h ∂Ψ
∂t =
�
− ¯h2
�
∆ + eΦ Ψ (4.15)
2m
Für stationäre Zustände (eines Atoms) ist der Zeitanteil abseparierbar in der Form
Ψ = ψ exp(−iEt/¯h) (4.16)
und die Schrödinger Gleichung lautet nun
wobei
Hψ = Eψ (4.17)
Hψ =
�
− ¯h2
�
∆ + eΦ ψ (4.18)
2m
ist. Die Energie E ist der Erwartungswert von H.
Der halbzahlige Spin des Elektrons wurde der Schrödinger Gleichung (nach vorheriger experimenteller Entdeckung von
Goudsmith und Uhlenbeck, 1925) von Pauli (1902 - 1958) phänomenologisch 1927 hinzugefügt. Er folgt zwanglos aus der
relativistischen Dirac Gleichung, die dieser 1928 formulierte.
Enj = −m ∗ 2 (Zα)2
c
2n2 �
1 + (Zα)2
�
��
1 3
− (4.19)
n j + 1/2 4n
Die Feinstruktur Aufspaltung der Na D-Linie war dabei wesentlich, die Spin-Bahn Wechselwirkung zu beschreiben. Damit
ist auch der anomale Zeeman Effekt, der wesentlich kleiner als die Feinstruktur Aufspaltung ist, zu verstehen (nicht
verschwindender Elektronen Spin S > 0).
Pauli postulierte bereits 1924 den Kernspin, um die Hyperfeinstruktur zu erklären. Ebenfalls 1924 formulierte er (durch die
Annahme einer zusätzlichen Quantenzahl für das Elektron) sein Ausschließungs-Prinzip für Fermionen:
Fermionen dürfen nicht in allen Quantenzahlen übereinstimmen.
Damit erst wurde der Aufbau der Atome verständlich.
Für das H Atom hat der Grundzustand ∆Ehfs(n = 1) für F = 0 (antiparallele Spins) die niedrigste Energie. Der Übergang
F = 1 → 0 (Spin Flip) hat die Energie
∆Ehfs(n = 1) = −gegpα 4
� �
me
mec 2
(4.20)
was λ = 21 cm entspricht. In Zahlen
mp
Energie ∆Ehfs(n = 1) ≈ 5.6 · 10 −6
eV oder k∆T = 0.06 K

4.1. ÜBERBLICK 219
Die dazu gehörende Frequenz ist eine der am genauesten bestimmten Größen der Physik:
νhfs = 1 420. 405 751 786 MHz (4.21)
Die Relativgenauigkeit, gemessen an verschiedenen H-Maser über eine Laufzeit von etwa 1 Monat, beläuft sich auf insge-
samt 18 Stellen, ∆ν
ν ≈ 10−17 .
Die Existenz einer (Spin Flip) Linie (bei 21 cm) wurde für die ISM 1944 von van de Hulst vorhergesagt, 1951 tatsächlich
nachgewiesen von Ewen und Purcell (und von Crampton, Kleppner und Ramsey im Labor genau vermessen). Bis zur
Entdeckung des Moleküls CO (Übergang J = 1 → 0 mit λ = 2.6 mm) war die 21–cm Linie das wichtigste Mittel zur
Durchmusterung der interstellaren Materie (ISM) der Galaxis.
Der (Spin Flip) Übergang tritt nur bei atomarem H auf (H I Regionen) , sein Verschwinden in bestimmten Regionen der
Galaxis deutet also auf die Entstehung von H2 hin. (Erster optischer Nachweis von H2: 1970 s. u.). Die 21-cm Linie tritt
sowohl in Absorption (gegen starke Hintergrundquellen) als auch in Emission auf.
4.1.3 Unerwartete Entdeckungen
Unbekannte Elemente?
Das Periodensystem der Elemente wurde 1869 unabhängig von Dimitri Iwanowitsch Mendelejew
(1834 - 1907) und von Julius Lothar Meyer (1830 - 1895) aufgestellt. Ihrem Schema lag die Atomhypothese
Daltons (1766 - 1844) zugrunde.
Damals ✤ kannte man 60 Elemente ✜ (von 92) und so waren beide gezwungen, Lücken in ihrem System zu
lassen. Die erste war Helium, die letzte Lücke wurde erst 1946 geschlossen
Erst die Theorie bestimmt,
(mit dem Element Praseodym: Pm, Z = 61). Die Entdeckung von Helium
was gemessen werden
kann.
durch den Franzosen Janssen und den Engländer Lockyer im Spektrum der
A. Einstein Sonne und die spätere Identifizierung im Labor durch den Engländer Ramsay
✣
✢brachte
einige Chemiker auf die Idee, im Weltraum könnte es andere Elemente
als auf der Erde geben. Insbesondere der Chemiker Lockyer war der Meinung, daß in den Sternatmosphären
echte Elementumwandlungen (Transmutationen) stattfänden (der alte Traum der Chemiker,
erst kürzlich mit der kalten Fusion von Fleishman und Pons wiederbelebt). Ein grosses Problem war
dabei in der Tat (nur mithilfe der Bohrschen Theorie) das Fehlen bzw. das Vorhandensein bestimmter
Linien (die Anregungsbedingungen) bei Sternen zu verstehen.
Der Inder Megh Nad Saha (1893 - 1956) konnte (1921) zeigen, daß die Linien i. w. durch einen einzigen
Parameter bestimmt sind: die Temperatur T (und nicht durch unterschiedliche Chemie der Sternatmosphären).
Ein besonders interessanter Fall liegt bei den sog. verbotenen Linien (von Ionen der Elemente O, N, Ne,
S bis Fe) vor. So wurden die beiden grünen Nebellinien von O2+ = O ++ = [O III] bei 5007 und 4959
˚A ursprünglich einem hypotetischen Element Nebulium zugeschrieben. Erst 1927 konnte I.S. Bowen
zeigen, daß es sich hier um Interkombinationslinien (magn. Übergänge 2p2 1D2 → 2p2 3P2 bzw. 2p2 1D2 → 2p2 3P1) des zweifach ionisierten O handelt.
Das mittlerweile nicht mehr überschaubare spektroskopische Material, welches insbesondere an Sternen
gewonnen wurde, läßt sich dahingehend zusammenfassen:
Es gibt nur die terrestrisch bekannten Elemente im Universum.
Von diesen 92 natürlichen Elementen ist Technetium, Tc, mit Z = 43, ein Ausnahmefall. Es hat
überhaupt kein stabiles Isotop, dennoch kommt es in den Photosphären bestimmter Sterne vor (die
Halbwertszeit von 97 Tc beträgt dabei nur 1.8 Myr).

220 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Unbekannte Zustandsform
Wir lassen bei den folgenden Überlegungen Dunkelmaterie außer Betracht. Dann sieht die Situation
in unserer Milchstraße etwa folgendermassen aus: verteilt man die Materie, die heute in Sternen ist,
gleichmäßig über das Volumen der Milchstraße, so erhält man etwa 10 H Atome im cm 3 (in der galaktischen
Ebene). Im Innern der Sterne ist die mittlere Dichte 23 dex höher (ρ ≈ 1 g cm −3 ). Das
ist eine enorme Verdichtung. Ist zwischen den Sternen noch Materie übriggeblieben? Ursprünglich
glaubte man, der interstellare Raum sei leer. Zu den berühmten Beispielen von ’evidence of absence’
gehören (im niederenergetischen Bereich) die Entdeckung von interstellarer Materie (ISM) bzw. Staub
und von Molekülen (OH, CO, H2 . . . ) in Wolken, ferner (im hochenergetischen Bereich) die kosmische
Strahlung (Hess).
• BEISPIEL (ISM UND STAUB)
Seit Galilei erstmals ein Teleskop auf die Milchstraße richtete weiß man, daß diese aus sehr vielen schwach leuchtenden
Sternen (und nicht aus der Milch der Hera) besteht. Was sonst noch am Himmel leuchtet ahnte erstmals W. Herschel. Mit
seinem grossen Spiegelteleskop entdeckte er 1811 helle Nebelflecken und Löcher im Sternenhimmel (die vorher niemand
gesehen hatte).
Die Existenz von Staub vor Sternen war bereits 1847 von Struve aus Sternzählungen deduziert worden (mit der korrekten
Größenordnung für die mittlere Extinktion von Av ≈ 1 m pro kpc). Aber erst durch die Arbeiten von Trümpler (1930)
wurde dies allgemein be- und anerkannt.
Die Entdeckung einer scharfen Absorptionslinie, der berühmten ruhenden Kalziumlinie im Spektrum des spektroskopischen
Doppelsternes δ Orionis durch J. Hartmann im Jahre 1911 (verursacht durch die ISM) wurde zunächst nicht in
ihrer Tragweite richtig eingeschätzt. Als eine alternative Möglichkeit wurde zirkumstellare Materie diskutiert. Es handelt
sich hier um ein weiteres, historisch wichtiges, Beispiel vom Beginn des 20ten Jahrhunderts für den indirekten Nachweis
von Materie. Der wirkliche Durchbruch kam hier mit der Einführung der Photographie und es wurden viele schwächere
Dunkelwolken und Nebel (von u. a. E.E Barnard, F. Ross und M. Wolf) entdeckt.
Staub wurde zeitlich sogar noch vor Molekülen in unserer Milchstraße entdeckt. Der Nachweis war indirekt: an den galaktischen
Sternhaufen hatte Trümpler die Standardkerzen der Galaxis geeicht und dabei nebenbei die interstellare Absorption
AV durch Staub bestätigt!
Die Grundidee von Trümplers Entdeckung ist folgende. Wenn die galaktischen Sternhaufen gleiche Leuchtkraft und gleichen
Durchmesser haben, dann sollten sterischer Öffnungswinkel der Sternhaufen, Θ 2 = (D/r) 2 , und ihre scheinbare
Helligkeit f = L/4πr 2 proportional sein. Was man findet ist aber eine Abschwächung (und Rötung) des Sternenlichts.
• BEISPIEL (MOLEKÜLE)
Die ersten Moleküle waren CH und CN. Sie wurden bezeichnenderweise optisch in Absorption gegen helle Hintergrund
Sterne bereits 1937 (von T. Dunham Jr) postuliert und 1941 nachgewiesen (A. McKellar). Radioastronomisch wurde die
Möglichkeit, Moleküle über ihre Hyperfeinstruktur zu identifizieren, erstmals von Shkolvski diskutiert und an OH (mit
vier Hyperfeinlinien) als erstes 1963 in Absorption von Weinreb et al. entdeckt. Kurz darauf wurde OH auch in Emission
(in der Nähe von starken Radioquellen, die Westerhout vorher entdeckt hatte) gefunden. Die Linien sind sehr schmal, die
Strahlung ist hochgradig polarisiert und sie wurde (von Perkins, Gold und Salpeter) als Maser interpretiert. Maser ist ein
Akronym für Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation. Der Linienemission entspricht formal eine
Strahlungstemperatur von 10 12 K. Der genaue Pumpmechanismus ist allerdings nicht bekannt. (Pulsare erreichen sogar
10 30 K).
Die Strahlungstemperatur Tν (auch mit Antennentemperatur Ta bezeichnet) wird aus gemessenem Fluß Φν und bekanntem
Öffnungswinkel der Quelle Ωs bestimmt. Die Strahlungstemperatur Tν in Rayleigh - Jeans Näherung ist dabei gegeben
durch
Tν = c2
2kν 2 Jν mit Jν = Φν
oder allgemein
c2 2kν2 Jν = hν
k
1
e hν/kTν − 1
Ωs
Der direkte optische Nachweis von molekularem Wasserstoff, H2, dem häufigsten Molekül, gelang dagegen erst 1970 (im
UV bei λ = 1108 ˚Angstrøm, mithilfe einer Raketenbeobachtung).
Der Nachweis von molekularem Wasserstoff, H2, geht auch heute noch indirekt, über das Fehlen der 21 cm Linien-
Emission. Begründung: da H überall vorhanden ist, deutet die Abwesenheit der 21 cm Linie astrophysikalisch auf die
Existenz von H im molekularen Zustand hin.
(4.22)

4.1. ÜBERBLICK 221
Viele der von Herschel (in London) und von Messier (in Paris) entdeckten Nebel waren tatsächlich
Galaxien. Die wirklichen Nebel werden nach der modernen Klassifikation in fünf verschiedene Typen
eingeteilt.
1. Dunkelwolken (Dark nebulae). Beobachtbar durch das Fehlen von Hintergrundquellen.
2. Reflexionsnebel (Reflections nebulae). Beobachtbar durch das Streulicht von Sternen mit Spektraltyp
später als B0 (keine Ionisation von H) an Wolken mit Staub.
3. H II Regionen. Beobachtbar durch (verbotene) Emissionslinien, welche von OB Sternen angeregt
werden.
4. Planetare Nebel sind den H II Regionen ähnlich, die Anregung stammt von heißen Sternen im
Endstadium der Entwicklung.
5. Supernova Überreste. Filamente, polarisierte Strahlung, radioaktive Elemente.
Dunkelwolken wurden von Barnard und Bok genauer untersucht. Besonders die runden (Bok Globulen)
sind gravisch gebunden und vermutlich Orte der Sternentstehung.
Reflexionsnebel wurden von Hubble untersucht und von Russell gedeutet: das reflektierte Licht ist
blauer als das Licht des eingebetteten Sterns.
H II Regionen bilden sich um heiße O und B Sterne. Innerhalb eines Radius R ist Wasserstoff vollständig
ionisiert, wie Strømgren erstmals gezeigt hat. Der Kugelradius R kann wie folgt bestimmt werden. Der
Photonenfluß Φ des Sterns an Photonen die Wasserstoff ionisieren können, kann insgesamt ein Volumen
4πR 3 /3 ionisiert halten, falls Gleichgewicht zwischen Rekombination und Ionisation besteht
Φ = R 4πR3
3
; R = αnenp
gilt, wobei R die Rekombinationsrate ist. Eine Durchmusterung von H II Regionen wurde von Westerhout
durchgeführt, die Quellen in seinem Katalog werden mit W bezeichnet. Der Qrion Nebel (M42 =
Ori A; G209.0 − 19.4) hat die Bezeichnung W10.
• BEISPIEL (DIE FILAMENTE DES CRAB NEBELS)
Der Krebsnebel wurde von Charles Messier wiederentdeckt und bekam die Nummer eins in seinem Nebel Katalog von
1758. Hundert Jahre später, 1845, wurde er von William Parson, 3. Earl of Rosse, erstmals genauer untersucht und so getauft
(Crab nebula). Die Benutzung der Photo - Platte (H. Draper, 1840; Whipple, 1850) war noch neu, die ersten Bilder Rosses
vom Krebsnebel sind Handzeichnungen. Von ihm stammt auch die erste Beschreibung der Filamente des Krebsnebels.
Frühe Vermutungen, daß es sich beim Krebsnebels um eine Nova handeln könnte, die von chinesischen Beobachtern notiert
worden war, stammen von Lundmark (1921) und Hubble. Änderungen (auf der Zeitskala von einem Jahr) der Helligkeit
der Filamente des Nebels wurden erstmals von Lampland 1921 mitgeteilt. Eine erste Abschätzung des Alters (anhand der
Ausdehnung) stammt von Duncan (1939). Er fand, daß die lineare Extrapolation der Expansion zurück, ein Alter von 766
Jahren ergibt. Die Aktivität und Dynamik des Nebels wurden von Baade ab 1944 genauer untersucht. Fazit: optisch ist der
Nebel nicht zu übersehen (Leuchtkraft 3·10 4 L⊙), aber auch im Radio Bereich ist er eine der stärksten Quellen, die bekannt
sind. Entdeckt wurde er dort von Bolton 1948 (Bezeichnung als Quelle: Radio Taurus A).
Das weiße Licht der Kernregion besitzt keine Spektrallinien, diese Strahlung ist stark polarisiert und damit nichtthermischen
Ursprungs.
Im Gegensatz dazu ist das Licht der Filamente praktisch reine Linienstrahlung, hauptsächlich
von Hα (λ = 6563 ˚Angstrøm) und vielen verbotenen Linien wie [N II], [Ne III], [O III], [O
II] und [S II]. Verbotene Übergänge werden durch eckige Klammern gekennzeichnet. Direkt
messbar sind die Rate der Winkelausdehnung der Filamente des Nebels und die Dopplerverschiebung
ihrer Linien von etwa 1000 km s −1 . Daraus kann die Entfernung zum Krebsnebel
bestimmt werden, sie beträgt etwa Dcrab = 2 ± 0.5 kpc.
Die energetische Quelle der Anregung, der Krebs - Pulsar, wurde von Staelin und Reifenstein
1968 gefunden und von Gold korrekt gedeutet. Es handelt sich um einen Neutronenstern.
Der Radio Pulsar hat eine Periode von 33 Millisekunden und stimmt mit dem von Baade
1942 identifizierten ’south preceding star’ im Krebsnebel überein. Nur ein Jahr später entdeckten
Cocke, Disney und J. Taylor (1969) den Pulsar sogar optisch, danach wird der Pulsar
in praktisch allen Frequenzbereichen (Maximum bei 10 TeV!) gefunden. Das Maximum der
verbotene Linien
im Crab Nebel
Element Wellenlänge
˚A ˚A
O II 3726 3729
Ne III 3868 3967
S II 4068 4076
O III 4959 5007
Tab. 4.1: Crab Nebel

222 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Nebelstrahlung liegt im weichen Röntgen Bereich, ab MeV ist die Strahlung vollständig gepulst.
Mittlerweile findet man Änderungen der Strahlungsintensität auf der Zeitskala von einer Woche.
Der ersten Bestimmung von ˙ P (und damit des Alters von 1230 yr) folgte 1971 die von ¨ P . Der daraus abgeleitete Bremsindex
n = 2− ¨ P P ˙ P −2 war allerdings ungenau. Erst seit 1972 (Boynton et al. und 1981 Lohsen) ist mit n = 2.515 ein endgültiger
Wert für den Bremsindex n bestimmt.
• BEISPIEL (ABSORPTION AN QUASAREN UND GAMMA BURSTS)
Als Beispiele von aktuellem Forschungsinteresse, für die Absorption wesentlich zum Verständnis sind, seien Quasare und
Gamma Bursts erwähnt. Für beide kann damit bewiesen werden, daß sie in kosmologischer Entfernung liegen, was insbesondere
bei der Abschätzung ihrer Leuchtkräfte wichtig ist. Von diesen seien Quasare etwas genauer betrachtet, Gamma
Bursts als Objekte einer einheitlichen astronomischen Klasse sind noch zu wenig verstanden.
Quasare haben jeweils (mindestens) eine rotverschobene Emissionslinie, Lα, bei λα = (1 + z)1215.67 ˚Angstrøm (entspr.
10.2 eV im Ruhsystem) und (oft) eine Vielzahl von Absorptionslinien (die alle bei kleineren Rotverschiebungen liegen).
Daß die stärkste Emissionslinie die Lyman α Linie ist, ist dank der Häufigkeit von H im Universum verständlich. Gleiches
gilt für die Vielzahl von Absorptionslinien: die nachgewiesene Anzahl ist mittlerweile so groß, daß sie mit Lα forest
bezeichnet wird.
Die Frage, ob Quasare wirklich in kosmologischer Entfernung liegen, wird mittlerweile eindeutig mit ja beantwortet. Der
Grund ist hier jedoch nicht die im Vordergrund absorbierende Materie, obwohl das vollkommend ausreichend wäre: in
einigen Fällen findet man sogar Gravitationslinsen, die aus geometrischen Gründen vor dem jeweiligen Quasar liegen
müssen und deren Entfernung konventionell (Spektrum, Ausdehnung) bestimmt werden kann.
Ähnliches gilt dann für Gamma Bursts, da auch bei diesen Absorptionslinien bei grosser Rotverschiebung gefunden wurden.
Die Quelle wird hier durch multi Frequenzbeobachtungen als zeitlich veränderlich nachgewiesen, zum Schluß ist nichts
mehr da, was leuchtet.
Ein Ziel der modernen Astronomie ist es, für Galaxien eine ähnlich präzise und verläßliche Klassifikation
zu finden, wie für die Sterne. Grundlage dazu ist ein Verständnis der Entwicklung der Sterne und
ihre Wechselwirkung mit der umgebenden Materie (interstellare Materie = ISM).
Benötigt werden dazu (im Hinblick auf Sterne und ISM):
1. Die Elektrodynamik und Kernphysik, zur mikroskopischen Beschreibung von Strahlungsprozessen
wie Streuung, Emission und Absorption von Photonen, bzw. die Fusion von Kernen.
2. Die Thermodynamik, zur statistischen Behandlung von strahlenden, makroskopischen Vielteilchensystemen.
Dies sind allerdings so umfangreiche und komplexe Gebiete der Physik, daß hier nur ein ein erster, auf
das Wesentliche beschränkter Überblick gegeben werden soll.
• DEFINITION (PARAMETER DER THERMODYNAMIK)
Ein thermodynamisches System (d. h. ein Vielteilchensystem im thermodynamischen Gleichgewicht) ist durch drei unabhängige
und eine abhängige Variable vollständig bestimmt. Die Wahl der Variablen ist nicht eindeutig.
Wir wählen Volumen V , Entropie S und Teilchenzahl N als unabhängige Variable und die Energie E als abhängige Variable:
E = E(V, S, N).
Der erste Hauptsatz besagt, daß jede Änderung an einem thermodynamischen System, wie folgt beschrieben werden kann:
dE = −P dV + T dS + �
µidNi
(4.23)
i
Die Größen P (Druck), T (Temperatur) und µi (chemisches Potential der Teilchensorte i) sind intensive Größen. V , S und
N sind die extensiven thermodynamischen Variablen von E (weiter unten mit U bezeichnet).
Zur mikroskopischen Beschreibung wählen wir die Variablen x (Ort) und p (Impuls) der Teilchen. Die Verteilungsfunktion
im Phasenraum sei f(x, p) und dΓ sei das 6dim Volumelement im Phasenraum:
dΓ = d3 xd 3 p
h 3 ; dN = fdΓ (4.24)
Für die Thermodynamik definieren wir die folgenden dimensionslosen Variablen
α = µ
kT
= βµ (4.25)

4.1. ÜBERBLICK 223
Die Verteilungsfunktion im Phasenraum kann für nicht wechselwirkende Fermionen (+) bzw. Bosonen (−) mit Impuls p
exakt bestimmt werden. Mit diesen Definitionen für β und α lautet sie
f(p) =
1
e βɛ(p)−α ± 1
Dabei ist E(p) = ɛ(p) die Energie der Teilchen zum Impuls p, mit U wird ab jetzt die Gesamtenergie bezeichnet. Für N
Teilchen im Volumen V = � d3x gelten die folgenden exakten thermodynamischen Beziehungen für Gesamtenergie U und
Druck P
N = g
�
V f(p)d
h3 3 p (4.27)
U = g
�
V E(p)f(p)d
h3 3 p (4.28)
P = gc2
3h3 �
p2 E(p) f(p)d3p (4.29)
Verteilungsfunktion und Spektrum E(p) bestimmen vollständig die thermodynamischen Potentiale. Die (exakte) Energie -
Impuls Relation für freie Teilchen der Ruhmasse m lautet:
(4.26)
E = c � p 2 + m 2 c 2 (4.30)
Der Energienullpunkt ist dann eindeutig festgelegt, die Ruhmasse m enthält die Bindungsenergie (des Atoms oder Moleküls).
Gewöhnlich spaltet man in der nichtrelativistischen Physik die Ruhmassen - Energie mc 2 ab und erhält in niedrigster
Ordnung:
E − mc 2 ≈ 1
2m p2
Der Energienullpunkt muß dann (willkürlich) festgelegt werden.
Im Grenzfall hoher Temperatur folgt (aus beiden Verteilungen) die Maxwell - Boltzmann Verteilungsfunktion fM (v). Im
Geschwindigkeitsraum (x, v) lautet die normierte Maxwell - Boltzmann Verteilungsfunktion
(4.31)
�
m
�3/2 −m v2
fM (v) = n
e 2kT (4.32)
2πkT
wobei m die Masse der Teilchen und n = N/V die Anzahldichte ist.
Bei diesem Überblick konzentrieren wir uns zunächst auf die folgenden, für die Kosmogonie wichtigen
Aspekte, die auf rein spektroskopischen Beobachtungen (an mehr als 400 000 Sternen) basieren:
Die Leuchtkraft eines Hauptreihen Sterns, der über sein Spektrum identifiziert wird, kann
als Standardkerze zur Entfernungsmessung verwendet werden. Hauptreihen Sterne können
darüber hinaus – wenn auch weniger genau – sogar als Massen- und Altersnormale benutzt
werden.
Auch wenn das nicht direkt erwiesen ist gilt: Alle chemischen Elemente, die schwerer als Helium sind,
wurden und werden in Sternen erzeugt. Über die Dauer solcher Fusionsprozesse erhält man dann nochmals
eine unabhängige Altersbestimmung (vermittels theoretischer Sternentwicklungsrechnungen, die
an Beobachtungen überprüft werden) für Sternhaufen. Dies ist eines der wesentlichen Ergebnisse der
Astrophysik des 20ten Jahrhunderts.
Direkte Evidenz für die Erzeugung schwerer chemischer Elemente kommt von den beiden Sternklassen:
die Population I (junge Sterne nahe der galaktischen Ebene) haben deutlich mehr schwere Elemente
als Sterne der Population II (Halo Sterne und Mitglieder der Kugelsternhaufen). Die Große
Maghellansche Wolke hat mit der Supernova 1987A sogar quantitativ theoretische Modellrechnungen
bestätigt, nach denen Fe über radioaktives Ni erzeugt wird. In der Milchstraße wurden ebenfalls
radioaktive Elemente über ihre Linien entdeckt: 26 Al bei 1.809 MeV und 44 Ti bei 1.156 MeV. Die
Halbwertszeit von 26 Al beträgt 0.770 Myr (e-folding time: 1 Myr) und die von 44 Ti sogar nur 90 yr.

224 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Mit seiner grossen Halbwertszeit kann 26 Al benutzt werden, die Anreicherung der ISM aus Supernovae
mit schweren Elementen zu untersuchen, 44 Ti ist dagegen ein Indikator für junge Supernova Überreste.
Tatsächlich findet man 26 Al entlang der galaktischen Ebene, in Richtung Orion und in Richtung der
Spiralarme, 44 Ti wurde zuerst in Cas A entdeckt. Anschließend wurde mithilfe dieser Methode ein
vorher unbekannter Supernova Überrest in nur 200 pc Entfernung (Alter 700 yr) entdeckt. Dieser wurde
übersehen, da er vom sehr viel helleren Vela Remnant überstrahlt wird.
Was noch fehlt ist spektroskopische Evidenz für Sterne der nullten Generation (z. B. ohne Fe).
In einem zweiten Schritt (21tes Jahrhundert) wird man dann versuchen, ähnlich detailliert, wie das
mittlerweile für Hauptreihensterne gelungen ist, Galaxien und Galaxienhaufen zu vermessen und zu
verstehen. Dabei gibt es einen wesentlichen Unterschied zwischen Sternen und Galaxien: die Zeitskala.
Als Zwischenschritt können Kugelsternhaufen nützlich sein. Galaxien und die Kugelsternhaufen der
Milchstraße sind vermutlich genauso alt wie das Universum; verschiedene Generationen von Galaxien
gibt es deshalb vermutlich nicht, wohl aber solche im Geburtsstadium. Wie Galaxien nach mehreren
Zusammenstößen mit anderen Galaxien aussehen, kann erst untersucht werden, wenn das Universum
10 11 Jahre alt ist (etwa an Andromeda und Milchstraße).
Um die Vorläufer der heutigen Galaxien im Frühstadium zu beobachten, muß man demnach in den
frühen Kosmos zurückblicken und das bedeutet: grosse Rotverschiebung (Infrarot Astronomie) und
weit entfernte, also schwache Quellen. Die Beobachtungen sind schwierig, da das eigentliche Signal im
Rauschen von Zodiakallicht (stetig und nicht eliminierbar, aber berechenbar) und der Staubstrahlung
der Galaxien und Galaxienhaufen steckt. Sie haben bereits begonnen (Copernicus, IRAS, COBE und
ISO) und die Kataloge dazu werden jetzt angelegt. Damit wird man dann vermutlich das Universum
als ganzes verstehen können. Ein wesentlicher Zugang zum Verständnis des frühen Universums ist die
kosmologische Hintergrundstrahlung mit ihrer hohen Isotropie und extremen Entropie.
4.2 Strahlung und ihre Quellen
Bereits der griechische Philosoph Parmenides behauptete, daß Licht die Quelle aller Erkenntnis ist. Bevor
wir zur astrophysikalischen Anwendung dieser korrekten Aussage kommen, sei hier ein Überblick
über Strahlung (quantenmechanisch: Photonen und ihre Erzeugung) vorangestellt.
An Strahlungsarten unterscheiden wir zwischen inkohärent und kohärent, thermisch und nicht thermisch,
relativistisch und nichtrelativistisch, Linien- und Kontinuumstrahlung. Im Labor gehört noch
✛ ✘
die Čerenkov-Strahlung dazu, die zum Nachweis relativistischer Energien wichtig ist
Ohne Quelle und die nur im Dielektrikum erzeugt werden kann. (Einmal erzeugt, verhält sie sich
keine Welle ! wie gewöhnliches Licht). Photonen sind Bosonen (mit Spin Eins und Masse Null). Sie
Eigenzitat
können beliebig erzeugt und vernichtet werden, was durch das relle Maxwell Feld be-
✚ ✙
schrieben wird (Teilchen sind gleich ihren Antiteilchen). Quantisiert ist ihr Drehimpuls
(Spin, in Einheiten von ¯h), was zu besonderen Auswahlregeln bei der Erzeugung führt (erlaubte
Übergänge haben ∆J = ±¯h). Die Quantisierung der Energie ist nur eine Folge der Spinquantisierung
über die Relation E = ¯hω.
Weit entfernt von der Quelle kann ein Photon durch eine ebene Welle dargestellt werden, die Information
über Multipolarität (bei der Erzeugung) und Drehimpuls geht lokal verloren. Da ein Photon
mindestens den Spin 1 besitzt, wirkt es bei der Absorption wie ein Teilchen (Photoeffekt, Auswahlregeln).
4.2.1 Strahlungserzeugung
Die Strahlungserzeugung ist einerseits ein Teilgebiet der Elektrodynamik, insofern daß elektromagnetische
Wellen durch die Maxwellsche Theorie korrekt beschrieben werden, andererseits aber der

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 225
Quantenmechanik zuzurechnen, da die wichtigsten Quellen nur so zu behandeln sind. Erzeugt wird
die für die Astrophysik interessante Strahlung mikroskopisch im Sinne einer klassischen Beschreibung
ausschließlich von beschleunigten Elektronen, da für eine vorgegebene Kraft die Beschleunigung a
wie K/m skaliert. Die abgestrahlte Leistung ist dann durch die Larmor Formel gegeben:
I = ˙ E = 2
3c 3 e2 a 2 = 2
3c 3 ¨ D 2
(4.33)
Wesentliche Ausnahme hiervon sind die Moleküle, die in guter Näherung starr rotieren oder vibrieren.
Hier spielt nur die beschleunigte Ladung, nicht die Masse, eine Rolle. Allerdings ist Beschleunigung
kein brauchbarer Begriff in der Quantenmechanik, was hier an die Stelle tritt sind Übergangswahrscheinlichkeiten
(zwischen verschiedenen Niveaus (o: oben, u: unten) eines Atoms oder Moleküls). Dies manifestiert
sich in den Oszillatorstärken fou.
Interessante klassische makroskopische Sender in der Astrophysik sind ferner die Pulsare. Hier rotiert
ein makroskopisches Magnetfeld (von 10 12 Gauß), welches fest eingefroren in die Materie eines Neutronensterns
ist. In beiden Fällen, mikroskopisch wie makroskopisch, ist die gleiche Formel (Glchg.
(4.34)) anwendbar.
Die ersten Terme der Multipolentwicklung der Strahlung lauten allgemein
I = 2
3c 3 ¨ D 2 + 2
3c 3 ¨ M 2 + 1
180c5 ...
Q 2
αβ
(4.34)
Hier ist D das elektrische Dipolmoment, M das magnetische Dipolmoment und Q das el. Quadrupolmoment.
Nur zeitlich veränderliche Momente strahlen.
• FORMELN (MULTIPOLMOMENTE)
Für diskrete Teilchen mit Ladung ei ist
D = �
ei�ri
i
das (zeitlich veränderliche) el. Dipolmoment der Ladungsverteilung. Für periodische Änderungen mit der (Kreis)Frequenz
ω wird daraus ¨ D = −ω 2 D. Analog ist das mag. Dipolmoment durch
M = 1
2c
�
ei�ri × �vi
und das el. Quadrupolmoment durch
i
Qαβ = �
ei(3xαxβ − r 2 δαβ)i
i
gegeben. Die Summe erstreckt sich über alle Ladungen: Kern plus Hüllenelektronen. Der erste Term in (4.34) ist die Larmor
Formel. Quellen sind also die entsprechenden Multipolmomente der Ladungsverteilung (Nahfeld), sofern sie zeitlich
veränderlich sind.
Für periodische Änderungen der (Kreis)Frequenz ω gilt dann
I = 2
3c 3 ω4 D 2 + 2
3c 3 ω4 M 2 + 1
180c 5 ω6 Q 2 αβ
Dies ist eine Entwicklung nach (v/c) −n , welche mit n = 3 beginnt.
• ANMERKUNG (VERGLEICH VERSCHIEDENER MOMENTE)
In der Atom- und Molekülphysik ist D = e · d ein Debey = 1 esu die typische Größenordnung für das el. Dipolmoment:
1 esu = 10 −18 cgs Einheiten.
(4.35)
(4.36)
(4.37)
(4.38)

226 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Das magnetische Dipolmoment ist um v/c = α und die Leuchtkraft damit um α 2 kleiner als beim el. Dipol. In der
Kernphysik gelten diese Aussagen nicht, die el. Momente selbst sind etwa um α 2 kleiner (rKern = α 2 rB) als die in der
Atomphysik, die relativen Stärken allerdings können für alle Momente gleich groß sein.
Zum Vergleich: die magnetischen Momente der Pulsare sind etwa 10 30 cgs Einheiten (10 48 esu!) und die Felder haben
Werte von etwa 10 12 Gauß (10 8 Tesla). Bei magnetischer Flußerhaltung gilt für eine Kugel (Stern mit guter Leitfähigkeit)
beim Kollaps
Φ = BR 2 = const und M = ΦR
Damit ergibt sich eine Verstärkung der Felder und eine Verminderung der Momente. Pulsare haben die größten Felder,
Molekülwolken die größten Momente.
Die Larmor Formel
Für einen mit der Frequenz ω schwingenden el. Dipol D mit der Amplitude
D = e�x(t) = e�xo cos ωt = Do cos ωt (4.39)
im Koordinatenursprung wird die Strahlung in der Wellenzone (in Form einer Kugelwelle) vermittels
Poynting Fluß durch das Flächenelement dF transportiert:
dI = � S�ndF = c
4π r2 | � B| 2 dΩ (4.40)
wobei das Magnetfeld � B gegeben ist durch (den Realteil von)
�B = ω2
rc 2 e−iΦ �n × Do mit Φ = ωt − kr ; �n = � k
ω
(4.41)
Die Ausbreitungsrichtung �n der Welle ist im Vakuum ein Einheitsvektor: |�n| = 1 (im Dielektrikum gilt
|�n| = n). Für einen Punktdipol ist dies die Hertzsche Lösung in der Wellenzone.
• ANMERKUNG (DIE VOLLSTÄNDIGE HERTZSCHE LÖSUNG)
Die überall (exakt gültige) Lösung von Hertz (1889) für einen harmonisch schwingenden Punktdipol lautet in Polarkoordinaten
bezülich der Dipolrichtung r, Θ und φ.
�
[
Bφ = sin θ
˙ D]
cr2 − [ ¨ D]
c2 �
(4.42)
r
Eθ = sin θ [D]
r3 + Bφ (4.43)
� �
Eρ = 2 cos θ
Die eckige Klammer bedeutet
[ ˙ D] [D]
+
cr2 r3 [D] = D(t − r/c) = Doe −iω(t−r/c)
In der Wellenzone sind in der Ordnung O(1/r)
Bφ = Eθ = ω2 sin Θ
c2 −iω(t−r/c)
Doe
r
die einzigen Komponenten. Die Lösung (welche in Glchg. (4.41) vektoriell geschrieben wurde) beschreibt linear polarisierte
Wellen (kein Drehimpuls).
Der Winkel zwischen Dipolmoment D und Ausbreitungsrichtung �n sei Θ, dann ist
dI
dΩ
= c
4π
� ω
c
(4.44)
� 4
D 2 sin 2 Θ (4.45)
die ins Winkelelement dΩ abgestrahlte Leistung. Sie verschwindet in Vorwärts (Θ = 0) und Rückwärtsrichtung
(Θ = π) des Dipols.

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 227
• ANMERKUNG (STREUUNG)
Die Richtung des strahlenden Dipols ist normalerweise nicht bekannt. Bei der Streuung einer elektromagnetischen Welle
an einem Dipol wird dieser vom E−Vektor zur Oszillation angeregt. Wählt man statt dem Winkel Θ zwischen �n und D
den Winkel θ zwischen � k (Richtung der einfallenden Welle) und �n so erhält man mit
sin 2 Θ = 1 − sin 2 θ cos 2 (φ − ψ)
und Mittelung über ψ die für die Winkelabhängigkeit der Thomsonschen und Rayleighschen Streuformeln wichtige Relation
sin 2 Θ = 1 + cos2 θ
2
Die Dispersionsrelation, d. h. der Zusammenhang zwischen Frequenz ω und Wellenvektor � k, lautet im
Vakuum
ω 2 = c 2 k 2
; k = 2π
λ
(4.46)
Integration über die Winkel in Glchg. (4.45) liefert, s. a. Glchg. (4.33), die Larmor Formel für el.
Dipolstrahlung:
I = 2
3c 3 ( ¨ D) 2
(4.47)
Sie gibt an, wieviel Energie pro Zeiteinheit, ˙ E = I von einem einzelnen Elektron im einfachsten Fall
abgestrahlt wird. Falls diese von einem harmonischen Oszillator mit Energie Eosz stammt, dann wird
seine Schwingung gedämpft. Für die emittierte Linie liefert dies eine Verbreiterung.
Für kleine, periodische Änderungen hängt das hier auftretende Dipolmoment D mit der Auslenkung
des Elektrons (mit Ladung e) aus der Ruhelage, δx, wie folgt zusammen
eδ�x = D und ¨ D = −ω 2 eδ�x (4.48)
und das Auftreten der zweiten Zeitableitung in Glchg. (4.47) besagt, daß nur beschleunigte Ladungen
strahlen. Beschleunigungen benötigen Kräfte, diese treten nur auf in Stößen oder elektromagnetischen
Feldern. Die Stöße selbst werden zwar normalerweise ebenfalls vermittels Feldern realisiert, diese
müssen aber nicht elektromagnetischer Natur sein. Um eine nachweisbare Intensität der Strahlung zu
erhalten, müssen viele Elektronen beschleunigt werden. Thermische Strahlung ensteht z. B. in einem
Plasma aus Protonen (H II) und Elektronen, sie wird Bremsstrahlung oder auch frei-frei Strahlung genannt.
Linienstrahlung ensteht bei Übergängen zwischen diskreten Niveaus (normalerweise in Atomen;
sog. bound-bound Strahlung). Zu ihrer adäquaten Behandlung benötigt man die Quantenmechanik (des
Atoms oder Moleküls).
Kohärenz und Strahlungsleistung
Die Erzeugung von Strahlung der Wellenlänge λ ist ist normalerweise inkohärent, die Strahlungsleistung
von N Emittern der Einzel-Leistung I ist dann Ptot = NI; sie kann kohärent sein, z. B. falls die
Ladungen alle im Gleichtakt schwingen, gebündelt sind (d. h. räumlich konzentriert) und falls für die
Dichte der strahlenden Teilchen ne gilt:
neλ 3 ≤ (2π) −3 wobei je = eneve
die Stromdichte ist. Die Auswertung von Glchg. (4.45) führt auf
⎛
N�
N�
Ptot = Ij = I ⎝ e iθj
⎞ ⎛
N�
⎠ ⎝ e −iθj
⎞
⎠ (4.49)
j=1
j=1
j=1

228 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Die N 2 Mischterme sind von der Form
e iφjk mit φjk = 1
λ (�xj − �xk)�n
wobei die �xj die Orte der el. Dipole D, vom Schwerpunkt aus gemessen, sind. Diese Mischterme
addieren sich, z. B. falls |φjk| ≪ 1 und falls die Teilchen alle kohärent (im Takt) schwingen. Für
die Strahlungsleistung von N Emittern gilt dann Ptot = fN 2 I; wobei f ≈ 1 ist. Falls umgekehrt
|φjk| ≫ 1, dann interferieren sich diese Terme im zeitlichen Mittel weg.
Antennenstrahlung
Ein solches Beispiel für kohärente Strahlung ist die Antennenstrahlung. Für eine Dipolantenne aus
zwei Stäben (der Querschnittsfläche F ), der Länge d/2 und Gesamtstrom I = jeF kann man die
Abstrahlung exakt bestimmen. Optimal sind die λ-halbe und die λ-ganze Antenne:
dP
dΩ
⎧
⎪⎨ I2
=
2c ⎪⎩
cos2 ( π
2 cosΘ)
sin2 für d = Θ λ
2
4cos 4 ( π
2 cosΘ)
sin 2 Θ für d = λ
mit der Gesamtstrahlungsleistung
P = I2
2c
⎧
⎨
⎩
2.44 oder 73.2 Ohm für d = λ
2
6.70 oder 201 Ohm für d = λ
• FORMELN (DER WELLENWIDERSTAND)
Mit N = neF λ und I = eneveF erhalten wir aus Glchg. (4.47)
P = f
3
(4.50)
(4.51)
16π 2 N 2 I (4.52)
mit I aus Glchg. (4.47) und mit f = 2.44 bzw. f = 6.70. Der Wellenwiderstand Rrad ist
Rrad = 2P f
=
I2 c
was Rrad = 2.44 · 30 Ohm bzw. Rrad = 6.70 · 30 Ohm ergibt.
Maser
Maser ist das Akronym für Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation. Der erste
Maser wurde 1954 im Labor realisiert und 1965 im Weltraum entdeckt.
• ANMERKUNG (DIE ERSTEN MASER MOLEKÜLE)
Der erste Maser benutzte NH3 als Gas und den Inversionsübergang bei einer Frequenz von 23.8 GHz.
Er wurde 1954 von Townes und Mitarbeitern im Labor dadurch realisiert, daß ein Ammoniakstrahl im inhomogenen elektrischen
(Quadrupol) Feld aufgespalten wurde in die beiden Inversionskomponenten
von NH3: die Zustände mit symmetrischer us und antisymmetrischer ua Wellenfunktion.
Es ist Ea > Es und die Maser Wirkung kommt zustande durch stimulierte
Emission der Frequenz hν = Ea−Es (Einstrahlung) den den Molekülen im Zustand
us.
Das erste Maser Molekül im Weltraum war OH, welches 1965 bei einer Durchmusterung
der Milchstraße von Weaver et al. entdeckt wurde. Charakteristika waren hohe
Antennentemperatur (1000 K) bei kleiner thermischer Linienbreite (Anregungstemperatur
10 K). H2O wurde von Townes und Mitarbeitern entdeckt.
Die Tabelle gibt eine Auswahl an Maser Molekülen, die in der Milchstraße gefunden
wurden, zusammen mit dem Jahr der Entdeckung und einigen charakteristischen Linien.
Mittlerweile sind mehr als 100 solcher Linien bekannt. Allein von Wasser sind
7 Linien nachgewiesen.
Solche Maser Quellen sind stark variabel, sie können sogar an und ausgehen. Eine
H2O Quelle in Orion änderte ihren Fluß innerhalb von Monaten von 104 Daten zu Maserentdeckungen
Molekül ν [GHz] Jahr
OH
H2O
CH3OH
1.665; 1.667
22.23; 321
9.93; 12.17
1965
1969
1971
SiO 1974
H2CO
NH3
HCN
23.8
1981
1986
1987
Jy auf
Tab. 4.2: Maserentdeckungen

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 229
2.5 · 10 6 Jy.
Viele Maser sind mit IRAS Quellen assoziiert, was eine Möglichkeit zum systematischen Auffinden darstellt. Der IRAS
Punkt-Quellen-Katalog (PSC) enthält allerdings 250000 Objekte.
Mittlerweile unterscheidet man verschiedene Typen und Klassen von Masern.
Bevor wir Beispiele für kohärente Maser Strahlung betrachten, sei eine Vorbemerkung zur Abschätzung
der Leuchtkräfte L dieser Quellen vorausgeschickt.
• ZUSATZ (STRAHLUNGSCHARAKTERISTIK UND GESAMTZAHL DER QUELLEN)
Da der genaue Mechanismus, durch den die Strahlung erzeugt wird, nicht bekannt ist, muß eine Annahme über die Strahlungscharakteristik
gemacht werden. Das ist bei der Schwarkörperstrahlung von Sternen nicht notwendig: sie strahlen
isotrop und es gilt für die gesamte Leuchtkraft L
L = 4πD 2 f (4.53)
wobei f der beobachtete Strahlungsfluß ist, also
f = L
4πD 2
Falls die Quelle nur in ein Winkelflächenelement ∆Ω strahlt, dann gilt stattdessen
L =
� ∆Ω
4π
(4.54)
�
4πD 2 f = ∆ΩD 2 f (4.55)
Die Größe ∆Ω/4π ist in der Pulsar Physik von fundamentaler Bedeutung und wird dort Beaming Faktor genannt.
Für die einzelne Quelle reduziert sich damit die Energiebilanz der Strahlung, was für das physikalische Verständnis wesentlich
sein kann. Statistisch gesehen ändert sich, gemittelt über viele Quellen, jedoch nichts an der Energiebilanz, da
die Entdeckungswahrscheinlichkeit ebenfalls sinkt. Die Gesamtzahl der Quellen (und damit der Beaming Faktor) ist aber
wichtig bei der Bestimmung der Erzeungsrate der Quellen. Bei Pulsaren ist das die Supernova-Rate in unserer Milchstraße
bei Molekül Masern die Anzahl bzw. Lebensdauer massiver Sterne mit Massenausfluß.
Ein ganz anderes Beispiel für kohärente Strahlung als die Antennenstrahlung (bei Pulsaren) sind die
Molekül Maser, für die es keine räumliche Einschränkung gibt (Verstärkerprinzip). Zur Erzeugung
kohärenter Linienstrahlung (Maser oder optisch Laser) benötigt man hier (mindestens) ein Pump-
Niveau und ein metastabiles Niveau (zum Sammeln) mit Selektionsmechanismus, um dieses überproportional
(nicht thermisch) zu besetzen (invertieren).
In der Astrophysik sind bisher keine Laser bekannt, als Maser Quellen hat man ultrakompakte Objekte,
meist bei starken IR-Quellen, gefunden. (Für Pulsare werden beide Modelle, Antennenstrahlung und
Maser, betrachtet). Die Intensität der Strahlung kann stark schwanken (Zeitskala: Tage bis Monate).
An Molekülen, die Maser Strahlung aussenden, kennt man:
OH, CH, SiO, H2O, HCN, NH3, CH3OH, H2CO
Typische Frequenzen bzw. Wellenlängen sind: ν = 1665 und 1667 MHz (λ = 18 cm) für OH und
ν(616 → 523) = 22 GHz (λ = 1.35) cm bei H2O.
Die extremsten Beispiele für Leuchtkräfte aufgrund kohärenter Strahlung in der Astrophysik sind:
1. Linienstrahlung:
Die stärksten Quellen sind die sog. Mega-Maser (galaktisch und extra galaktisch).
• Der erste Hydroxyl Mega-Maser (OH - Maser der Frequenzen 1665 und 1667 MHz) wurde
1982 in der Galaxie Arp 220 gefunden (Baan, Wood und Haschick). Mehr als 20 Mega-
Maser hat man mittlerweile in Galaxien mit starkem IR Exzess gefunden.
• Ein Beispiel für einen H2O. Maser in kosmologisch interessanter Entfernung ist IRAS
22265-1826 mit z = 0.025 (entspr D = 150 Mpc bei 2h = 1 nach der Formel D = 6000z
Mpc) und L = 1 · 10 4 L⊙. Die stärksten H2O Maser in der Milchstraße erreichen L = 1 · L⊙
bei einer Linienbreite von 50 kHz.

230 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
• Der stärkste OH Maser, die Quelle IRAS 20100 − 4156, hat eine kosmologische Fluchtgeschwindigkeit
von 38650 km s −1 (Rotverschiebung z = 0.129). Bei einer Flussdichte von
200 mJy entspricht das einer (isotropen) Leuchtkraft von L = 10 4 L⊙ in einer Linie der
Dopplerbreite 1500 km s −1 ! Die Gesamt IR-Leuchtkraft beträgt L = 3 · 10 12 L⊙.
2. Breitband Kontinuum:
Die extremsten Leuchtkräfte von einigen 1000 Jansky werden bei Pulsaren an einzelnen Pulsen,
den sog. giant pulses, beobachtet. Der Mechanismus, mit dem Pulsare (galaktisch und mittlerweile
auch extragalaktisch in LMC und SMC) ihre kohärente, gepulste Strahlung erzeugen, ist nicht
bekannt. Interferenz an der ionisierten Komponente der ISM kann zu zeitabhängiger Verstärkung
und Abschwächung (bis zum völligen Verschwinden) führen. Typische Daten (Medianwert der
Verteilung) für einen Pulsar sind:
• Periode P = 0.6 s, Alter 30 Myr, Masse M = 1.38M⊙,
• Leuchtkraft (unter Annahme eines konischen Strahlungskegels) L = 4 · 10 27 erg s −1 oder
L = 10 −6 L⊙,
• Entfernung 3 kpc.
• Der dazu gehörende Medianwert der Fluß Verteilung beträgt 60 mJy.
• ANMERKUNG (ANWENDUNG: UNSER ZEITSTANDARD)
Es ist instruktiv, diese Daten mit denen, die im Labor erreichbar sind, zu vergleichen.
Maser Linien Strahlung wurden erstmals im Labor erzeugt (von Gordon, Zeiger und Townes 1954) und bereits ein Jahr
später wurden Maser als Frequenzstandard vorgeschlagen (von denselben Autoren, 1955). Mittlerweile liefern sie auch den
Zeitstandard.
Breitband Maser (wie bei Pulsaren) gibt es bis heute nicht im Labor.
4.2.2 Klassische Dispersionstheorie
Um die Frage zu beantworten, was an Strahlung beim Beobachter (außerhalb der Erdatmosphäre) ankommt,
müßen wir verstehen, wie Photonen mit der interstellaren Materie wechselwirken. Wir unterteilen
das Problem in zwei unabhängige Aspekte; einen astrophysikalisch - phänomenologischen
(Säulendichte, Emissionsmass) und einen atomaren (Absortion, Emission). Wir beginnen mit dem atomaren.
Dabei ist das Modell der Materie so einfach wie möglich. Die Behandlung ist rein klassisch, wie sie
erstmals in der Lorentzschen Elektronentheorie gegeben wurde. So wird ein Plasma einfach durch freie
Elektronen mit der Teilchendichte ne approximiert. Die mindestens 1880 mal schwereren Ionen bleiben
in dieser Näherung einfach liegen und liefern den für die Ladungsneutralität des gesamten Plasmas
notwendigen Hintergrund. Ein an ein Atom gebundenes Elektron wird durch einen gedämpften, harmonischen
Oszillator angenähert. In dem Problem treten die folgenden physikalischen Größen auf:
1. der E-Vektor � Eω der Welle in Richtung �ex (die Ausbreitungsrichtung ist �ez), die Kreisfrequenz
der Welle, ω und ihre Amplitude, Eo
�Eω = aω�ex ; aω = Eoe −iω(t−kz)
2. die Kreisfrequenz des Atoms (harmonischer Oszillator), ωo und die Dämpfungskonstante γ. Für
einen gedämpften Oszillator gilt dann für die Amplitude
δxe = xoe −γt/2 e −iωt
(4.56)
In der Lorentzschen Elektronentheorie betrachtet man nur Strahlungsrückwirkung als Dämpfungsmechanism
was für die Linien ein Lorentz Profil liefert. Die Dämpfungskonstante γ ist dann nach Glchg.
(4.88) gegeben, das Profil durch Glchg. (4.89) (s. u.).

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 231
3. Die Dichte der Teilchen (der schwingenden Ladungen) liefert die Plasmafrequenz ωp. Die Abweichung
vom Vakuum, die bei der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen in einem Dielektrikum
auftritt, führt auf Dispersion (Verbreiterung = Refraktion) und Absorption (Dämpfung =
Extinktion) des Wellenzuges mit folgender Relation
c 2 k 2 = n 2 ω 2 = ɛω 2
Sie wird dann durch die folgende komplexe dielektrische Permeabilität ɛ beschrieben:
ɛ = 1 −
ω 2 p
ω 2 − iγω − ω 2 o
; ωp =
�
4πe 2 ne
me
(4.57)
(4.58)
Die dielektrische Permeabilität ɛ liefert über ihren Imaginärteil ˜κ den Streuquerschnitt bzw. die
Opazität.
4. Die Opazität κ ist durch
κ = 2ω˜κ
c = ω2 ω
p
c
ωγ
(ω 2 o − ω 2 ) 2 + (ωγ) 2
gegeben und liefert die optische Tiefe τν längs der Wegstrecke der Länge L.
τν =
�L
0
(4.59)
κdx (4.60)
Aus dem direkt beobachtbaren τν kann die Säulendichte N längs der Wegstrecke L bestimmt
werden.
Zur Bestimmung der Extinktion und der Refraktion genügt es, die Ausbreitung ebener Wellen kleiner
Amplitude δxe in einem homogenen Plasma bzw. Gas in linearer Näherung (linear response) zu
betrachten. Die Amplitude der Welle wird gedämpft (Absorption) und der Betrag des Wellenvektors
ändert sich (Dispersion). Bei echter Streuung (dreidimensionaler Fall) wird die Richtung der (auslaufenden)
Welle geändert (Streuung). Damit läßt sich die Winkelabhängigkeit des Streuquerschnitts
bestimmen (Larmor Formel).
• ZUSATZ (GEDÄMPFTER HARMONISCHER OSZILLATOR IM WELLENFELD)
In jedem Fall kann man (linear response) Fourier - transformieren, was die Rechnungen enorm vereinfacht. Mit � E und � B
bezeichnen wir das einfallende Wellenfeld, welches als kleine Störung auf dem Hintergrund behandelt wird, mit δ�xe die
Auslenkung des Elektrons (Index e für Elektron) aus der Ruhelage und �ve = δ .
�xe.
Die Bewegungsgleichung eines harmonisch gebundenen Teilchens (Frequenz ωo) mit Dämpfungskonstante γ (gedämpfter
harmonischer Oszillator) lautet:
δ ..
�xe +γ d .
δ �xe +ω
dt 2 oδ�xe = e
�E (4.61)
me
Ohne Feld � E lautet die Lösung für einen gedämpften harmonischen Oszillator wie in Glchg. (4.56) angegeben. Die Gleichung
des freien Teilchens folgt daraus für γ = 0 und ωo = 0.
d2 dt2 δ�xe = e
�E (4.62)
me
Nach Fourier-Transformation wird daraus für die Fourier- Komponenten:
δ�xω = e
m
1
ω 2 o − iγω − ω 2 � Eω
(4.63)

232 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Dann ist die durch das einfallende Wellenfeld induzierte Stör- Stromdichte gegeben durch
oder explizit
�j = ene�ve = ne ˙ P
�jω = −i e2 ne
m
ω
ω 2 o − iγω − ω 2 � Eω
Für den Zusammenhang zwischen den Fourier Komponenten von induzierter Stromdichte �jω und Erregerfeld � Eω erhalten
wir daraus das dynamische Ohmsche Gesetz
�jω = σ(ω) � Eω
mit der komplexen Leitfähigkeit
σ(ω) = −i e2 ne
m
ω
ω 2 o − iγω − ω 2
Einsetzen in die Maxwellschen Gleichungen
i � k � Bω = 0
i � k � Eω = 4πqω
iω
c � Bω = i � k × � Eω
liefert die Plasma-Dispersionsrelation
�
�
c 2 k 2 =
1 −
− iω
c � Eω = i � k × � Bω − 4π
c �jω
ω 2 p
ω 2 − iγω − ω 2 o
ω 2 = ɛ(ω) ω 2
mit der Plasmafrequenz ωp und der dielektrische Permeabilität ɛ
ɛ = 1 −
ω 2 p
ω 2 − iγω − ω 2 o
; ωp =
Es gilt numerisch für die Plasmafrequenz
�
4πe 2 ne
me
(4.64)
(4.65)
(4.66)
(4.67)
(4.68)
(4.69)
νp = 8.9 · 10 3 n 1/2
e Hz (4.70)
Als Grenzfall für freie Elektronen resultiert die Langmuir Dispersionsrelation (wichtig bei Pulsaren zur Entfernungsbestimmung)
ω 2 = c 2 k 2 + ω 2 p
mit der Sonderlösung reiner Oszillation
(4.71)
k = 0 ; ω = ωp. (4.72)
Wellen mit der Plasmafrequenz sind rein longitudinal und propagieren im kalten Plasma nicht.
Das interstellare Medium beschreiben wir nunmehr phänomenologisch mithilfe eines Dielektrikums
mit der Plasmafrequenz ωp. Die komplexe dielektrische Permeabilität ist ɛ (Streuung und Absorption)
ɛ = 1 −
ω 2 p
ω 2 − iγω − ω 2 o
; ωp =
�
4πe 2 ne
Die Maxwell Gleichungen lauten dann, wenn wir die Zeit abseparieren
me
(4.73)
div(ɛ � E) = 0 ; − iω
c ɛ � E = rot � B (4.74)
div � iω
B = 0 ;
c � B = rot � E (4.75)

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 233
Sie führen auf die Dispersionsrelation
c 2 k 2 = ɛ(ω)ω 2
; k = 2π
λ
(4.76)
Die dielektrische Permeabilität zerlegen wir in Brechungsindex n und Extinktionskoeffizient κ wie
folgt
√ ɛ = n − iκ = √ n 2 + κ 2 e iη
tanη = κ
n
Für ein linear polarisiertes Wellenfeld bedeutet das, daß die Lösung
Ex = aω e −iω
� √
ɛ
t− c z
�
By = √ ɛ Ex
lautet, oder reell geschrieben
und
ωκ
−
Ex = aωe c z cos
�
ω
�
t − n
c z
��
√
By = aω n2 + κ2 −
e ωκ
c z � �
cos ω t − n
c z
� �
+ η
Für das Zeitmittel des Poyntingstroms S, also die Strahlungs - Leistung erhält man daraus:
L = < S > = c
8π a2 2ωκ
− c ωne z
Die Änderung der Intensität auf der Strecke dz beträgt
(4.77)
(4.78)
dS = − 2ωκ
Sdz (4.79)
c
Für kleine Dichten (bzw. hohe Frequenzen: ωp ≪ ω) gilt stets |ɛ − 1| ≪ 1 und als Näherung kann man
√ ɛ = n − iκ = 1 + (ɛ − 1)/2 setzen. Wir erhalten so für den Brechungsindex
n − 1 = ω2 p
2
ω 2 o − ω 2
(ω 2 o − ω 2 ) 2 + (ωγ) 2
bzw. für den (dimensionslosen) Extinktionskoeffizienten
κ = ω2 p
2
ωγ
(ω 2 o − ω 2 ) 2 + (ωγ) 2
(4.80)
(4.81)
Daraus folgt mit der Dämpfungskonstanten Glchg. (4.88) das Gesetz von Rayleigh. Wir kommen darauf
zurück, Glchg. (4.107).
Wir definieren des weiteren die folgenden Größen, (n ist jetzt die Teilchenzahldichte der absorbierenden
Teilchen, der Extinktionskoeffizient bekommt zur Unterscheidung eine Tilde κ → ˜κ):
1. Die Opazität (Massenabsorptionskoeffizient) κν, Einheit: g −1 cm 2
2. linearer Absorptionskoeffizient χν, Einheit: cm −1
3. mittlere Dämpfungslänge lν, Einheit: cm
4. Differentieller Streu- bzw. Absorptionsquerschnitt † σν, Einheit: cm 2
5. optische Tiefe τν, (Definition: dτν := χνdx.) Einheit: dimensionslos
† Auch atomarer Absorptionskoeffizient genannt.

234 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Die Koeffizienten hängen wie folgt mit dem Extinktionskoeffizienten ˜κ zusammen:
˜κ 4π
λ = χν = κνρ = σνn = l −1
ν
(4.82)
Die wesentlichen Charakteristika können wir wie folgt zusammenfassen: der Extinktionskoeffizient ist
das Produkt aus universeller Konstante und normierter Profilfunktion, Φ(ω), welche die Dämpfungskonstante
enthält:
χω = π
2c ω2 �
pΦ(ω) mit Φ(ω − ωo)dω = 1 (4.83)
Wir betrachten nun die Absorption aus dem Kontinuum und zerlegen dazu S spektral. Die Änderung
der Intensität auf der Strecke dz beträgt dann, s. Glchg. (4.79)
�
2ωκ
dS = −dz I(ω)dω ; S =
c
� ∞
0
I(ω)dω (4.84)
Die vom Oszillator aufgenommene Energie wächst proportional zur Zeit und ist unabhängig von der
Dämpfung:
< Eosz > = 2π2 e 2
mc I(ωo)t (4.85)
Die Gesamtabsorptionsrate pro linearem Oszillator in einem isotropen Wellenfeld mit spektraler Energiedichte
uω (d. h. u = � uωdω) ist dann (pro Freiheitsgrad nur 1/3)
< ˙ Eosz > = 2π2 e 2
3m u(ωo) (4.86)
Der Streuquerschnitt erfüllt folgende Integralrelation (ebenfalls unabhängig von der Dämpfung):
�
σνdν = πe2
mc ne
(4.87)
Die natürliche Linienbreite wird - klassisch wie quantenmechanisch - durch Strahlungsrückwirkung
bewirkt. Für die klassische Dämpfungskonstante γ gilt (γ/2 ist die Dämpfung der Amplitude, γ die
der Energie. Herleitung folgt):
γ = 2e2 ω 2
3mc 3
und die normierte Profilfunktion Φ ist gegeben durch ein Lorentz-Profil:
Φ(ω) = 1 γ/2
π (ω − ωo) 2 + (γ/2) 2
(4.88)
(4.89)
• ANMERKUNG (LORENTZ-PROFIL UND KLASSISCHE DÄMPFUNGSKONSTANTE)
Eine einfache phänomenologische Begründung des Auftretens eines Lorentz-Profils bei der Dämpfung liefert die Drudesche
Theorie der el. Leitung. Die Bewegungsgleichung eines freien Leitungselektrons lautet
m(¨x + 1
˙x) = eE (4.90)
τ
dabei ist τ die Stosszeit des Elektrons mit dem Gitter. Multiplizieren wir mit der Anzahldichte det Leitungselektronen ne
und mit der Ladung e dann ist die Stromdichte j gegeben durch
j = ene ˙x und σe = e2 neτ
me
wenn wir das Ohmsche Gesetz j = σeE benutzen.

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 235
Für gebundene Elektronen haben wir in Erweiterung dieses Ansatzes (mit Lorentz) einen gedämpften, harmonischen Oszillator
(wo erst zum Schluß die Dämpfung durch Strahlungsrückwirkung oder Stöße berücksichtigt wird).
Für die klassische Dämpfungskonstante γ erhalten wir mit dem Dipolmoment
eδ�x = D (4.91)
und der Energie des Oszillators (kin. plus pot. Energie)
Eosz = mω 2 (δ�x) 2
aus der Larmor Formel (für einen einzelnen Oszillator)
L = ˙ E = 2e2ω4 δ�x2
3mc3 folgende Darstellung der Dämpfungskonstanten
γ = L/Eosz
Dabei ist L die abgestrahlte Leistung L = ˙ Eosz. Daraus folgt die Dämpfungskonstante Glchg. (4.88)
γ = 2e2 ω 2
3mc 3
Die Dämpfungskonstante ist unabhängig vom Dipolmoment, die gedämpfte Schwingung wird durch
x(t) = xoe −γt/2 cos ωt
(mit halbem Dekrement) gegeben.
Φ(ω) = 1
π
γ/2
(4.92)
(4.93)
(ω − ω0) 2 + (γ/2) 2 Profilfunktion (4.94)
∞
�
0
Φ(ω)dω = 1 Normierung (4.95)
γ = 2e2 ω 2
3mc 3 klass. Dämpfungskonst (4.96)
Die Funktion Φ(ω) hat das Maximum Φ(ω0) = 2/πγ und fällt auf die Hälfte, Φ(ω) = 1/πγ, für ω = ω0 ± γ/2, d. h.
∆ωFWHM = γ. Der Index stehen für Full Width to Half Maximum.
• ANMERKUNG (ÜBERGANG ZUR QUANTENMECHANIK)
Die ungedämpfte harmonische Schwingung haben wir klassisch bisher durch
x(t) = x0 cos ωt
beschrieben. Die Schwingungs - Amplituden
x(t) = xoue iωt + (xou) ∗ e −iωt
definieren wir nunmehr so, daß sie mit der Fourier Darstellung der klassischen Bahn übereinstimmen, d. h.
xou = 1
2 x0
Die harmonische Schwingung x(t) einer Ladung e induziert ein el. Dipolmoment mit der klassischen Amplitude
D0 = ex0
Den Übergang von der klassischen zur quantenmechanischen Behandlung der Linienstrahlung, die von einem Atom beim
Übergang von einem diskreten oberen Niveau, Index o, in ein unteres Niveau u ausgesandt wird, liefert die folgende
Identität. Die Gesamtenergie des Atoms ist ohne Strahlungsrückwirkung konstant und beträgt
Eosz = 1
2 mω2 oux 2 0 = ¯hωou = Ephot
(4.97)
(4.98)
(4.99)

236 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
wobei wir beim zweiten Gleichheitszeichen die Energie des Oszillators gleich der Energie des abgestrahlten Photons gesetzt
haben. Umschreiben dieser Relation auf die Fourier Komponenten liefert eine Identität
¯hωou = Eosz = 2m ω 2 ou |xou| 2
Daraus folgt, daß die Größe (Oszillatorstärke)
fou = Eosz
=
¯hωou
m
¯h 2ωou |xou| 2
klassisch gleich eins ist. In 3 Dimensionen gilt dann
fou = m
¯h 2ωou
|�xou| 2
3
Für den Einstein Koeffizienten folgt
Aou = Lou
=
¯hωou
4e2
3c3¯h ω3 ou|xou| 2 = γfou
eine Relation, die wir später herleiten werden.
Die natürliche Linienbreite, ∆ω = γ ist (im Radio- und optischen Bereich) so klein,
∆ω 1 1
= =
ω ωτ 3 α3
�
2¯hω
mc2α2 �
(4.100)
(4.101)
(4.102)
(4.103)
(4.104)
daß die Profilfunktion, Φ, in astrophysikalischen Anwendungen durch eine Kastenfunktion approximiert
werden darf:
Φ(ω) = 1
∆ω f(ω) mit f(ω) = [Θ(ω − ω0 + 1
2 ∆ω) − Θ(ω − ω0 − 1
2 ∆ω)]
Die Funktion f(ω) ist 1 in der Linie, 0 sonst; (Θ ist die Heaviside Stufenfunktion). Für die Opazität
gilt dann
χω = 1
2c
ω2 p
f(ω) (4.105)
∆ω
Zum Merken: ∆λ = 10 −4 ˚A = const ist universelle Relation für die natürliche Linienbreite aufgrund
von Strahlungsrückwirkung.
Die Opazität κ
κ = 2ω˜κ
c = ω2 ω
p
c
ωγ
(ω 2 o − ω 2 ) 2 + (ωγ) 2
führt vermittels κρ = σn auf folgenden Streuquerschnitt
σ = σT
ω 4
(ω 2 o − ω 2 ) 2 + (ω∆ω) 2
(4.106)
(4.107)
wenn wir für γ die klassische Dämpfungskonstante (4.88) einsetzen und Glchg. (4.104) verwenden.
Für ω ≪ ωo folgt die Rayleighsche Streuformel.
Die Oszillatorstärke fou kann quantenmechanisch nur in wenigen, aber für die Astrophysik wichtigen,
Spezialfällen analytisch bestimmt werden. Dazu zählen (neben dem hier behandelten harmonischen
Oszillator und dem starren Rotator) das Wasserstoffatom und - fast ebenso wichtig - das freie Elektron.
Im Grenzfall grosser Frequenzen folgt die Streuformel von Thompson (1903)
σ T = 8π
3
� e 2
mc 2
� 2
= 8π
3 r2 e
(4.108)

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 237
und für kleine Frequenzen die von Rayleigh (1899, Abendrot und Himmelsblau)
σ = σ T
� ω
ωo
� 4
= σ T
� �4 λo
λ
(4.109)
Allgemeiner gilt für die Streuung an kleinen sphärischen Teilchen vom Radius a und Volumen V ,
Rayleigh (1871)
σ R = 8π|α|2 ω 4 V 2
3c 3 ; V = 4π
3 a3
; α = 3 ɛ − 1
4π ɛ + 2
wobei α die Polarisierbarkeit ist.
Den differentiellen Streuquerschnitt erhält man analog zur Herleitung der Streuformel von Thomson
(freies Elektron). Für diesen gilt folgende Winkelabhängigkeit
dσ T
dΩ =
� e 2
mc 2
� 2 1 + cos 2 θ
Die mikroskopische Herleitung folgt später.
2
(4.110)

238 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
4.2.3 Hohlraumstrahlung
Thermodynamisches Gleichgewicht ist ein Paradigma der Vielteilchenphysik. Es erlaubt die Bestimmung
der thermodynamischen Funktionen aus rein statistischen Überlegungen. Insbesondere ideale,
nicht wechselwirkende Teilchen (Felder) können exakt behandelt werden.
Im thermodynamischen Gleichgewicht bildet sich in einem Hohlraum, der in einem Wärmebad auf eine
Temperatur T gehalten wird, eine elektromagnetische Strahlung aus, E und B seien die Feldstärken
des elektrischen und des magnetischen Feldes. Für freie Wellen im Vakuum ist |E| = |B|. Die Energiedichte
sei u. Aus der Elektrodynamik Maxwells folgt für u
u = E2 + B 2
8π
= E2
4π
; E = Ae i(� k�x−ωt)
Die Größe u wird nun spektral zerlegt (ω = 2πν) in die spektrale Energiedichte uν:
�
u = uνdν ; uν = U(ν) = U(νou) (4.111)
Statt uν werden wir auch U(ν) oder für Linienstrahlung U(νou) schreiben.
• ANMERKUNG (MODELL DER HOHLRAUMSTRAHLUNG)
Konkret bildet sich im Hohlraum der Kantenlänge L ein System von stehenden Wellen aus mit Wellenvektoren
� k = (kx, ky, kz) = (2π/L) · (nx, ny, nz)
Die nx, ny und nz sind ganze Zahlen. Die Anzahl der möglichen Moden Z(ν) mit Wellenlängen λ = c/ν, die (L/λ) 2 ≥
n 2 x + n 2 y + n 2 z erfüllen, kann durch das Volumen einer Kugel abgeschätzt werden und beträgt:
Z(ν) = 2 4π
3
� �3 Lν
c
dabei ist gγ = 2 der statistische (Besetzungs)Faktor. Differentiell gibt das, wenn wir für das Volumen V = L 3 = d 3 x
setzen, für die Anzahl der Moden (im Phasenraum) im Intervall [ν . . . ν + dν]
dZ(ν) = gγ V 4πc −3 ν 2 dν = gγ h −3 d 3 xd 3 p (4.112)
In dieser differentiellen Form haben wir für den Impuls der Photonen p = hν/c gesetzt und d 3 p = 4πp 2 dp benutzt.
Wir wollen im folgenden zeigen, wie die spektrale Energiedichte uν = U(ν) als Funktion ihrer
möglichen Parameter schrittweise bestimmt wurde und welche Annahmen dabei gemacht wurden.
Das Kirchhoffsche Gesetz ist hier ein wichtiger erster Schritt. G. R. Kirchhoff zeigte anhand des 2.
Hauptsatzes der Thermodynamik, daß uν für einen schwarzen Körper nur von T abhängen kann,
uν = f(ν, T )
also eine universelle Funktion ist — unabhängig von der Materialbeschaffenheit (d. h. von den physikalischen
Prozessen) der Strahler der Wandung. Emission und Absorption eines Körpers stehen in
einem bestimmten Verhältnis zueinander. Falls wir Emission pro Steradian mit ην und Absorption (bei
der Frequenz ν) mit κνρBν bezeichnen, dann besagt das Kirchhoffsche Gesetz
ην
κνρ = Bν = c
4π uν
(4.113)
Mit Bν haben wir die spektrale Helligkeit B(νou) eingeführt und berücksichtigt, daß im thermodynamischen
Gleichgewicht die Strahlung isotrop ist (Faktor 4π beim Umrechnen).
Der zweite Schritt ist das Gesetz von Stefan und Boltzmann. Stefan (1835 - 1893) und Boltzmann
zeigten, daß das Integral über alle Frequenzen
u = aT 4
(4.114)

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 239
ergeben muß.
Das Wiensche Verschiebungsgesetz ist der letzte Schritt, der mit rein thermodynamischen Methoden
(also ohne mikroskopische Vorstellungen) noch getan werden kann. Wilhelm Wien (1893) zeigte, daß
eine adiabatische Kompression der Hohlraumstrahlung über den Dopplereffekt zu folgender funktionaler
Abhängigkeit der Funktion f führt:
uν(T ) = ν 3 f(ν/T )
woraus das Wiensche Verschiebungsgesetz
λmaxT = const (4.115)
für gegebene Temperatur T folgt. (Dabei ist const = 0.2898 cm K).
• ANMERKUNG (MODELL DES HARMONISCHEN OSZILLATORS)
Die Rayleigh-Jeans Formel beruht auf den folgenden Annahmen, die sich dann als falsch herausstellen werden:
1. die Moden bilden ein Kontinuum mit der Energie eines harmonischen Oszillators
< Eosz > = π2 c 2
ω 2 u(ωo) (4.116)
2. die Energie einer Schwingungsmode wie folgt bestimmt:
Eosz = 1
2 me ω 2 x 2 0 = kT (4.117)
3. im thermischen Gleichgewicht soll die Besetzung nach Glchg. (4.112) erfolgen.
Die im Rahmen der klassischen Physik korrekte Annahme, daß jede Mode mit Eosz = kT thermisch
besetzt ist, führt zur UV Katastrophe. Das Integral
�
duν = 8πkT (kT/hc) 3
�
x 2 dx ; x = hν
kT
divergiert. Die korrekte Form für Eosz wurde von Planck gefunden
Eosz = kT
x
e x − 1
; x = hν
kT
(4.118)
(4.119)
und kann mithilfe statistischer Methoden hergeleitet werden, falls man annimmt, daß Photonen diskret
sind und demnach auch nur diskret besetzt werden können.
• ANMERKUNG (STATISTIK DES HARMONISCHEN OSZILLATORS (PHOTONEN))
Wir nehmen an, daß jedes Photon im thermischen Gleichgwicht mit einem harmonischen Oszillator (der Wand des Hohlraums)
steht. Die mittlere Energie wird aus Zustandssumme Z bestimmt. Sie ist durch
∂ ln Z
U = < E > = −
∂β
; β = 1
kT
gegeben. Klassisch kann E = Eosz ein Kontinuum von Werten annehmen. Die Zustandssumme für einen Oszillator ist
dann (bis auf einen Faktor)
Zkl =
�
0
∞
e −βE dE = 1
= kT
β
und somit ist < E > = kT .
Die Quantenmechanik verlangt dagegen eine Summe diskreter Eigenwerte,
Zqu =
∞�
e −βɛn
n=0

240 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Speziell beim harmonischen Oszillator ist die Summe geschlossen berechenbar
�
ɛn = n + 1
�
¯hω
2
; Zqu = e −β¯hω/2 1
1 − e−β¯hω Damit wird
< E > = ¯hω
�
1
2 +
1
e¯hω/kT �
− 1
(4.120)
(4.121)
Der erste Term, die Nullpunktsschwingungen des elektromagnetischen Vakuums, ist immer noch divergent (aber nicht
beobachtbar). Der zweite liefert die korrekte Planck Besetzung. Mit Glchg. (4.112) erhalten wir
Uν(T )dν = < E > dZ(ν)
• ANMERKUNG (BOSE - EINSTEIN STATISTIK (DER PHOTONEN))
Es sei ɛ die Energie eines einzelnen Photons. Man nimmt an, daß eine Zelle im Phasenraum nur diskret besetzt werden
kann. Die relative Wahrscheinlichkeit für die Besetzung mit n Photonen ist W n , mit
W = e −βɛ
; ɛ = ¯hω
der relativen Wahrscheinlichkeit für die Bestzung mit einem Photon. Das liefert die Zustandssumme eines einzelnen Photons
Zqu =
∞�
W n ∞�
= e −βɛn
n=0
n=0
was formal identisch ist mit dem harmonischen Oszillator. Wir erhalten
uωdω = kT
� kT
¯hc
� 3 1
π 2
x 3 dx
e x − 1
Im thermodynamischen Gleichgewicht ist die Strahlung isotrop und Bν ist die Planck Funktion
Bν(T ) = Iν = c
4π Uν =
2hν 3
c 2 (e hν/kT − 1)
(4.122)
Fall kein thermodynamisches Gleichgewicht vorliegt wird die spektrale Helligkeit mit Iν bezeichnet.
Optische Tiefe und Säulendichte
Die für die Astrophysik wichtigen Prozesse zur Bestimmung des Linienprofils sind Dopplerverschiebung
(Gauß- anstelle von Lorentz-Profil) und Stossverbreiterung (Holtsmark-Profil), kombiniert in der
Voigt-Profilfunktion H(˜α, v) mit den beiden dimensionslosen Parametern
˜α = γ
2∆ωD
; v =
ω − ω0
∆ωD
; ∆ωD = v
ω (4.123)
c
der Beitrag der Strahlungsdämpfung spielt keine Rolle, d. h. es ist γrad ≪ γcoll.
Der Linienabsorptionskoeffizient kann dann wie folgt geschrieben werden
χω = χzH(˜α, v) (4.124)
wobei χz der Absorptionskoeffizient in Linienmitte ist (H(α, 0) = 1)
√ 2 πe
χz =
mec
nmfmn
∆νD
(4.125)
Dabei ist nm die Teilchenzahldichte im Zustand m und die fmn sind die Oszillatorstärken (s.u.) für den
Übergang.

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 241
In den Flügeln gilt näherungsweise
H(α, v) = ˜α √ π
1
˜α 2 + v 2
Die optische Tiefe τν längs der Wegstrecke der Länge L, ist wie folgt definiert:
dτν = χνdx ; τν =
�L
0
(4.126)
χνdx (4.127)
also χνL für homogene Verhältnisse. Im reinen Absorptionsfall gilt das Beersche Gesetz für die spektrale
Strahlungsintensität Iν
Iν(L) = Iν(0)e −τν (4.128)
Für ein Gas nahe dem LTE kommt noch die erzwungene Emission hinzu und es gilt für Nu Teilchen
im unteren Niveau im Volumen V die Einstein Relation
mit
χν = c2Nugo 8πV ν2 �
�
−hνou/kT
Ao→u 1 − e Φ(ν − νou) (4.129)
gu
Ao→u = 2hν3
c 2 Bo→u (4.130)
und (für LTE mit Boltzmann Verteilung für die Besetzung der beiden Niveaus o und u):
No
Nu
= go
gu
e −(Eo−Eu)/kT = go
e −hνou/kT
Mit der Säulendichte N und der Wegstrecke L
gu
(4.131)
Nu = Nu
V L = nuL (4.132)
gilt dann für die optische Tiefe τν, wenn die Profilfunktion durch eine Kastenfunktion genähert wird
Φ(ν − νou) = 1
∆νz
(brauchbar außerhalb der Linienmitte) die Relation
τν = k1D 2 ou
1
∆νz
�
�
−hνou/kT
1 − e Ns
(4.133)
wobei k1 eine für das Atom (Molekül) spezifische Konstante (für gegebene Frequenz) ist, die im Labor
bestimmt werden kann.
Für homogene Verhältnisse (konstantes T und n) erhält man aus der Strahlungstransportgleichung
zunächst formal für die spezifische Strahlungsintensität Iν
Iν = Iν(0)e −τν + Bν(T )(1 − e −τν ) (4.134)
oder umgeformt (dazu subtrahiert man Iν(0) auf beiden Seiten) die Detection Equation (für die Intensität
einer Linie)
∆I = Iν − Iν(0) = (Bν(T ) − Iν(0))(1 − e −τν ) (4.135)

242 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
oder, falls man die Rayleigh-Jeans Näherung für die Antennentemperatur
Tb = c2
2kν
verwenden kann
2 Iν
∆Tl = (Tex − Tbg)(1 − e −τν ) (4.136)
Die Indizes an den verschieden (Antennen) Temperaturen bedeuten hier l : Linie, ex : Anregung und
bg Hintergrund. Im optisch dünnen Fall bleibt dann nur
∆Tl = (Tex − Tbg)τν mit τν = χνL (4.137)
Daraus kann die Säulendichte N bestimmt werden, falls die atomaren Koeffizienten (s. Glchg. (4.133))
bekannt sind. Zwei Fälle, wo das sogar analytisch möglich ist, sind der Hyperfeinübergang bei atomarem
Wasserstoff (21 cm Linie) und die Rotationsübergänge eines Moleküls.
• FORMELN (21CM HYPERFEINÜBERGANG BEI H)
Für den Hyperfeinübergang bei H gilt folgendes. Die Wechselwirkungsenergie ist die Energie der magnetischen Momente
von Elektron und Proton. Beide sind mit dem Spin assoziiert. Der Grundzustand ∆Ehfs(n = 1) hat für Gesamtspin F = 0,
antiparallele Spins = paralles Feld, die niedrigste Energie. Der Übergang F = 1 → 0 hat die Energie
∆Ehfs(n = 1) ≈ 5.6 · 10 −6
eV oder k∆T = 0.06 K (4.138)
Die dazu gehörende Frequenz ist eine der am genauesten bestimmten Größen der Physik:
νhfs = 1 420. 405 751 786 MHz (4.139)
Die statistischen Gewichte sind go = 3 (zu Spin gleich 1) und gu = 1. Damit ist selbst für die kosmische Hintergrundstrahlung
von 2.7 K die Rayleigh Näherung erlaubt und die Verteilung der beiden Niveaus ist stets thermisch im Verhältnis
1:3.
Auch der Einstein A Koeffizient kann exakt bestimmt werden. Es gilt in Zahlen für die Emission:
A ≈ 2.85 · 10 −15
was einer Lebensdauer von T = 10 Myr entspricht.
Die natürliche Linienbreite ist winzig:
∆ν
ν
= 1
2π
A
ν
s −1 (4.140)
≈ 3 · 10−25
Die natürliche Linienbreite spielt keine Rolle, deshalb wird die beobachtete Linienbreite durch die thermische und makroskopische
Bewegung (Doppler-Effekt) und durch Stöße bestimmt. Da Stöße in der ISM selten sind, ein Stoß findet etwa alle
10 Myr statt, liefern diese (nach der Holtsmark Theorie) nur einige Zehnerpotenzen im Vergleich zur natürlichen Linienbreite:
viel zu wenig um (in der Linienbreite) beobachtbar zu sein. Der entscheidende Effekt ist die Doppler-Verbreiterung.
Diese liefert mehr als 19 Zehnerpotenzen (bei v 1 km s −1 , was Tkin 40 K entspricht!):
∆ν v
=
ν c ≈ 5 · 10−6v5 Der Wirkungsquerschnitt für Absorption, den wir nach der Formel
σ = 6πλ- 2
abschätzen (σ ≈ 200 cm 2 !), wird dann herabgesetzt auf
σ = (λ- 2 A
)
∆ν
(4.141)
oder auf σ ≈ 10 −18 cm 2 . Die Breite der Linie ist dann entsprechend
∆ν = v
c νhf
Für die Säulendichte NH des Hyperfeinübergangs bei atomarem Wasserstoff ergibt sich damit in der Beobachtung ange-
passten Einheiten
N = 1.8 · 10 18
�
(Tsp/K)(dv/kms −1 ) cm −2 (4.142)

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 243
Die Beobachtungen von H in der Milchstraße ergeben Werte von NH = 10 19 cm −2 bis NH = 10 22
cm −2 . Daraus folgt eine mittlere Teilchendichte von etwa 1 Teilchen pro cm 3 .
Gleiches gilt für molekularen Wasserstoff, auf kleinerer Skala, wie wir noch sehen werden. Die größten
bisher gefundenen Werte belaufen sich auf NH = 10 24 cm −2 .
• FORMELN (ROTATION VON CO)
Rotationsübergänge eines Moleküls mit statischem Dipolmoment µ können ebenfalls exakt bestimmt werden. Sie haben
die folgenden Matrixelemente
D 2 2 J + 1
J,J+1 = µ
2J + 1
; νJ,J+1 = 2B(J + 1) (4.143)
dabei reicht µ von etwa 5 Debey bis praktisch Null.
Für das Molekül CO gilt z. B. µ = 0.112 Debey (1 Debey entspricht 10 −18 esu gleich 10 −18 cgs Einheiten).
Da molekularer Wasserstoff, H2, aus Symmetriegründen kein el. Dipolmoment besitzt, ist CO von
grosser astrophysikalischer Bedeutung: es ist nach H2 das häufigste Molekül. Aufgrund seiner grossen
Bindungsenergie kommt es überall in Wolken vor, zusammen mit Staub ist die Linienstrahlung von
CO der wichtigste Kühlmechanismus kalter Wolken.
4.2.4 Quantenmechanik der Absorption und Dispersion
Die meiste Information ist in der Linienstrahlung enthalten. So können Anregungsbedingungen (Temperatur,
Dichte etc.) des Mediums bestimmt werden. Für Sterne sind das einige charakteristische Atome
(H, He), für die ISM bestimmte Moleküle (CO, NH3). Für das Aussehen (Farbe) von Sternen wie die
Sonne sind der Photoeffekt (Ionisation eines Atoms, entweder aus dem Grundzustand oder aus einem
angeregten Zustand) und Bremsstrahlung (Streuung von Photonen an freien Elektronen im Feld von
Protonen) der dominante Prozeß. Die Streuung von Photonen an freien Elektronen ist für heiße Sterne
(inkl. Röntgensterne und frühes Universum) der dominierende Prozeß. Mit dem frequenzunabhängigen
Thomson Wirkungsquerschnitt σ T erhalten wir die Eddingtonsche Grenzleuchtkraft für (akkretierende)
Sterne, LEdd.
Diese und andere wichtige Grundlagen wollen wir kurz besprechen.
Thomson Streuung
Als einfachstes Beispiel für den atomaren Aspekt betrachten wir die Wechselwirkung zwischen einem
freien (d. h. nicht an einen Atomkern gebundenen) Elektron und einer elektromagnetischen Welle
(Thomson Streuung). Der Wirkungsquerschnitt (im Bereich ¯hω ≪ mc 2 ) ist quantenmechanisch wie
klassisch durch die Thomsonsche Streuformel gegeben, differentiell:
dσ T
dΩ =
� e 2
mc 2
� 2 1 + cos 2 θ
Der Gesamtwirkungsquerschnitt ist
σ T = 8π
3
� e 2
mc 2
� 2
2
= 8π
3 r2 e
(4.144)
(4.145)
Die Formel gilt so nur für freie Elektronen; näherungsweise aber auch für Photonen mit Energien
α 2 mec 2 ≪ ¯hω ≪ mec 2 . Für noch höhere Energien muß man den Klein-Nishina Streuquerschnitt
benutzen:
σ KN = σ T(1 − 2¯hω/mc 2 + . . .)

244 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Für die höchsten Energien, ¯hω ≫ mec 2 spielt Paarezeugung die dominierende Rolle. In jedem Fall ist
der Gesamtwirkungsquerschnitt, Glchg. (4.145) eine obere Grenze.
Das liefert für die Opazität κe von freien Elektronen der Teilchendichte ne:
κe = σ Tne
ρ
Zum Merken:
= Z
A
σ T
mH
κe = 2Z 1 + xH
=
5A 5
cm 2
in Zahlen
g −1
σ T
mH
= 0.40 cm 2
g −1
(4.146)
Als wichtige Anwendung erhalten wir hieraus LEdd, die Eddingtonsche Grenzleuchtkraft für (akkretierende)
Sterne:
LEdd = 4πGmHMc
= 10
σT h
4.5
� �
M
L⊙ = 1.3 · 10
M⊙
38
� �
M
mH erg s
M⊙
−1 (4.147)
und für akkretierende entartete Sterne in Fundamentalkonstanten:
LEdd =
9
2α √ αG
2 c
mec
re
Atomare Prozesse: Überblick
= 2 · 10 38
erg s −1 (4.148)
Die folgenden drei Prozesse benötigen eine quantenmechanische Behandlung und beschreiben Absorption
von Photonen am Elektron im Feld eines Protons. Qualitativ kann man sie aber im Rahmen
der Bohrschen Vorstellungen erhalten (erstmals von Kramers 1923). Die wesentlichen Regeln sind:
die Energieniveaus eines Elektrons sind diskret, in einem Elementarprozeß ist stets nur ein Photon
involviert.
Der Drehimpulserhaltungssatz führt dann zu den Auswahlregeln für die Emission des einen Photons
(für erlaubte Übergänge ∆J = ±¯h, kein Spinflip).
Wir erhalten
1. Linienabsorption, falls Anfangs- und Endzustand zu gebundenen Niveaus des Wasserstoffs
gehören,
2. ein Kontinuum mit Kante, falls der Anfangszustand gebundenen, der Endzustand aber
ungebunden ist, und
3. ein Kontinuum, Bremsstrahlung, falls Anfangs- und Endzustand des Elektrons ungebunden
sind.
Um die folgenden Formeln adäquat schreiben zu können, führen wir drei geeignete Längen - Einheiten
ein, welche sich auf das Wasserstoffatom beziehen, die Abhängigkeit von der Ladung Z für Wasserstoff
ähnliche Spektren geben wir explizit an.
Die Ionisationsenergie des Grundzustands von Wasserstoff beträgt:
I = hν = hc
λ
= 1
2 α2 mec 2 mit α = e2
¯hc
Die drei fundamentalen Längen (für den Streuquerschnitt) sind:
1. klassischer Elektronenradius, re,
2. Bohrscher Radius von H, rB, und
3. die Wellenlänge des emittierten bzw absorbierten Photons, λ.
(4.149)

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 245
Zwischen diesen gelten folgende Größenrelationen:
re = α 2 r B = 1
4π α3 λ
Die Ladungsabhängigkeit ist für Wasserstoff ähnliche Atome durch
IZ = 1
2 Z2 α 2 mec 2
(4.150)
gegeben. Von besonderem astrophysikalischem Interesse sind der Nachweis von Deuterium, Helium
(beide können auch primordial sein) und Eisen (Erzeugung nur in Supernovae möglich).
Einige wichtige Nachweis Linien zur Bestimmung der Temperatur und der Häufigkeit der Elemente
sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.
Wichtige Nachweis Linien
Name Element E T ν λ
Bezeichnung Übergang Kelvin
Hyperfein H 5·10 −6 eV 1420 MHz 21 cm
CO 1 → 0 50 115 GHz 2.6 mm
HD 1 → 0 440 µ
H2 2 → 0 500 28 µ
Hα (Balmer) 1s→2p 3.6 eV 6563 ˚A
Lyα (Lyman) 1s→2p 10 eV 10 5 1215 ˚A
Fe XXVI Ka 1s→2p 6.9 keV 1.79 ˚A
Fe XXVI Kb 1s→3p 8.1 keV 10 7 1.54 ˚A
Positronium e, ē 0.5 MeV
Damit erreicht man für vollständig ionisiertes Eisen, Z = 26, bei der Rekombination bereits Energien,
die im mittleren Röntgenbereich (E = 9 · 10 3 eV) liegen (und dort auch selbst bei kosmologischen
Quellen beobachtet werden).
Die Positronium Vernichtungslinie wurde im Zentrum der Milchstraße (allerdings nur zeitweise) gesehen.
Bremsstrahlung
Bremsstrahlung trat ursprünglich auf beim Durchgang von Elektronen durch eine dünne Folie. Die
Elektronen werden dabei durch Strahlungsverluste abgebremst. Anfangs und Endzustand des Elektrons
sind frei deshalb wird sie auch frei-frei Strahlung genannt.
Die Opazität (und Emissionsvermögen) für frei-frei Strahlung wurde erstmals von Kramers berechnet
(Kramers Opazität). Für die Steuung von Elektronen der Dichte ne an ni Ionen (Protonen) gilt für die
Gesamtemissivität (Einheit: erg s −1 cm −3 ) pro Volumen
j = 16
�
2π
3 3
Z2e6 ¯hmc2 �
kT
neni
(4.151)
mc2 Damit erhalten wir für ein thermisches Plasma der Temperatur T für den Absorptionskoeffizienten, wie
er erstmals von Kramers (1923) abgeleitet wurde, nach dem Kirchhoffschen Gesetz, für die Opazität:
χω = nσω = ɛω
Bω(T )
(4.152)

246 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
dabei ist Bω(T ) die Planck-Funktion.
σω = Z 2 σ T
� mc 2
kT
�3/2 �ωp �2 ω
Damit gilt für die Opazität folgende Abhängigkeit von Frequenz ω und Dichte der Elektronen ne:
χω = nσω ∝ Z 2 n 2 eT −3/2 ω −2
(4.153)
(4.154)
Sie hängt vom Quadrat der Elektronendichte ab (gilt für alle Stossprozesse). Für eine homogene Quelle
mit Durchmesser L ist die optische Tiefe dann durch
τω = χωL = nσω ∝ Z 2 (n 2 eL)T −3/2 ω −2
(4.155)
gegeben. Daraus folgt: für hinreichend kleine Frequenz ω wird τω = 1, d. h. die Quelle zeigt Selbstabsorption.
Für Sterne ist das Rosseland Mittel für die Opazität wichtig, es gilt
� �
1 ∂Bν 1
dν =
κ ∂T κν
∂Bν
dν (4.156)
∂T
Man erhält es (für Sternatmospären), wenn man noch den Ionisationsgrad mithilfe der Saha Gleichung
bestimmt:
κff = 6.45 × 10 22 fe,i ρ T −7/2
cm 2 g −1
geschrieben als Funktion der Dichte ρ mit ρfi = niAmH
�
fefiZ
fe,i =
2
�
= (1 + xH)(XH + XHe + XZ) (4.157)
A
wobei XZ = ΣixiZ 2 i A −1
i den Beitrag der schwereren Elemente (Metalle) berücksichtigt.
Photoeffekt
Der Wirkungsquerschnitt für die Ionisation von Wasserstoff wurde erstmals von Kramers (1923) quasiklassisch
berechnet. Für die Hauptquantenzahl n gilt in dieser Näherung:
σbf = 64π4 mee 10 Z 4
3 √ 3ch 6 n 5 ν 3
(4.158)
Kramers Opazität für bound-free, oder, wenn wir die Ionisationsenergie von Wasserstoff I benutzen:
σbf = 64πZ4
3 √ 3 α−3 � �3
I
σT hν
(4.159)
Diese Formel gilt (bis auf eine kleine Korrektur, den sog. Gaunt Faktor) auch quantenmechanisch für
n > 1.
Für das Grundniveau n = 1 ist die Korrektur größer, da das Grundniveau stabil ist. Der Wirkungsquerschnitt
kann ebenfalls analytisch angegeben werden:
σbf = 64Z 5 α −3 σ T
� �7/2
I
hν
Das Rosseland Mittel für die Opazität lautet
κbf = 2.82 × 10 29 Z(1 + X)ρT −7/2
cm 2 g −1 (4.160)

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 247
Rekombination
Der Energiesatz lautet für die Rekombination eines Elektrons mit einem Proton zu Wasserstoff
hν = ɛ + 1
m
I mit ɛ =
n2 2 v2
Die Rekombinationsrate schreiben wir wie folgt
(4.161)
˙ne = −α rek neni mit α rek = σve (4.162)
dabei ist σ der Rekombinationswirkungsquerschnitt und ve die (Relativ) Geschwindigkeit des Elektrons.
Die Grundeinheit des Wirkungsquerschnitts ist
σ rek =
� �3/2 4
3
α −1 σT = 2.11 × 10 −22
und für Einfang ins Niveau n gilt damit
rek I
σn = σ
ɛ
I
hν
1
n 3
cm 2 (4.163)
Die Gesamtrate α rek der Rekombination thermischer Elektronen erhält man mit x = I/kT
α rek = 2σ rek
(4.164)
� �1/2 2kT
xΦ(x) (4.165)
πm
= 2.07 · 10 −11 Z 2 T −1/2 Φ(x) cm −3 s −1 (4.166)
Φ(x) ist die normierter Profilfunktion. Für die Gesamtemissivität j der Rekombination eines thermischen
Plasmas erhält man (mit Elektronen - Zahldichte ne und mit Ionen - Zahldichte ni)
jbf = α rek IHneni
Linienabsorption
(4.167)
Die wesentlichen physikalischen Eigenschaften der Linienabsorption haben wir bereits klassisch hergeleitet.
Erst die Quantenmechanik ist allerdings in der Lage, Linienstrahlung widerspruchsfrei zu behandeln.
Die wichtigsten Gesichtspunkte sind die folgenden. Nach Einstein gibt es genau drei Möglichkeiten,
das Wellenfeld zu ändern
1. die spontane Emission eines Photons aus einem atomaren System. Das Potential (bzw. der Hamilton-
Operator) bestimmt, welche diskreten Frequenzen auftreten. Die Stärke des Übergangs wird
durch den Einstein A Koeffizienten angegeben.
2. die Absorption aus dem bereits vorhandenen Wellenfeld. Sie ist proportional zur Intensität des
Feldes.
3. die stimulierte Emission. Neben der Absorption gibt es stimulierte Emission im bereits vorhandenen
Wellenfeld. Erst die Summe aus Absorption und stimulierter Emission liefert den korrekten
Extinktionskoeffizienten.

248 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Klassisch gilt: ein Oszillator hat eine einzige Grundfrequenz ωo, der Extinktionskoeffizient ist das Produkt
aus universeller Konstante und normierter Profilfunktion, Φ(ω), welche die Dämpfungskonstante
enthält:
χω = π
2c ω2 p Φ(ω) mit
�
Φ(ω − ωo)dω = 1 (4.168)
Die wesentliche Änderung, die durch die Quantenmechanik dazukommt, ist die Behandlung der Übergänge
(d. h. der auftretenden Frequenzen). Sie kann durch die Oszillatorstärke, welche wie folgt definiert ist:
fou = m
2
2ωou|xou|
¯h
berücksichtigt werden. Dabei ist
(4.169)
�
xou = = ψox ¯ ψud 3 x (4.170)
das Übergangsmatrixelement für el. Dipolübergänge von o nach u. Die hier auftretende Übergangsfrequenz
ωou = Eo − Eu
¯h
ist vorzeichenbehaftet und es gilt der f− Summensatz
(4.171)
�
fou = 1 für jedes u (4.172)
o
Klassisch lautet die Dispersionsrelation für den Brechungsindex n = √ ɛ in der Nähe einer Resonanz
zur Frequenz ωou bei Vernachlässigung der Dämpfung
n 2 − 1 = ω 2 p
1
ω 2 − ω 2 o
; ω 2 p = 4πe2 ne
me
(4.173)
In der Quantenmechanik wird daraus für festes u, mit verschiedenen, für jedes Niveau charakteristischen,
Oszillatorstärken fou
n 2 − 1 = ω 2 p
�
o
fou
ω 2 − ω 2 ou
• ANMERKUNG (DER LINEARE HARMONISCHE OSZILLATOR)
Der Hamilton-Operator ist (ω ist die Grundmode des Oszillators, die Masse ist 1 gesetzt)
H = 1
2 p2 + ω2
2 q2
mit den Eigenwerten
�
En = ¯hω n + 1
�
2
für ganze Zahlen n. Für gegebenes n gibt nur zwei Übergänge mit den folgenden Matrixelementen
1. Emission: n → n + 1
= √ �
¯h
n + 1
2mω
2. Absorption: n → n − 1
= √ �
¯h
n
2mω
Daraus folgt, wenn wir das Vorzeichen beachten
fn+1,n = n + 1 und fn−1,n = −n
(4.174)
(4.175)
Beim Atom, also beim Coulombpotential, ist nur das H Atom noch analytisch (und algebraisch) behandelbar.

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 249
4.2.5 Quellen: Thermodynamik
Die Wärmestrahlung
Das Plancksche Gesetz liefert die Intensität B = B(T ) und die Spektralverteilung Bν(T ) der Wärmestrahlung.
Für die spezifische Intensität Bν(T ) schreiben wir allgemein (falls es sich nicht um Plancksche Schwarzkörper
- Strahlung handelt) Iν. Diese und die Energiedichte uν hängen wie folgt zusammen
Bν(T ) = Iν = c duν
dΩs
= c
4π uν
(4.176)
Der Faktor c macht aus der Energiedichte u den Poynting-Strom. Von der Energiestromdichte kommt
man zur spezifischen Intensität, indem man durch den Raumwinkel Ωs dividiert. Für isotrope Strahlung
ist Ωs = 4π.
Für die Planck Funktion gilt
Bν(T ) = 2hν3
c 2
1
e hν/kT − 1
(4.177)
Die Einheit für die spezifische Intensität ist erg cm −2 s −1 Hz −1 sterad −1 .
Diese Formel enthält (neben den Fundamentalkonstanten h und c) nur eine einzige physikalische
Größe: die Temperatur, ausgedrückt in Energieeinheiten kT . Der spezifische Erzeugungsmechanismus
der Strahlung kommt nicht vor, die Plancksche Verteilung hat universelle Gültigkeit.
Integrieren wir Glchg. (4.177) über die Frequenz ν, so erhalten wir, wenn wir Glchg. (4.176) benutzen,
das Stefan-Boltzmann Gesetz
u =
�∞
0
uνdν = aT 4
mit der Strahlungsenergiedichte-Konstante
oder
a = π2 k 4
15¯h 3 c 3 = 7.56 · 10−15 erg cm −3 K −4
u = g π2
30 kT
� �3 kT
¯hc
(4.178)
(4.179)
(4.180)
wobei wir das statistische Gewicht g = 2 explizit herausgezogen haben. Dazu gilt für Photonen für
Druck und Entropiedichte
P = 1
u + P
u ; s =
3 T
= 3
4
u
T
(4.181)
Für masselose Neutrinos gelten ähnliche Relationen.
Den Gesamtstrahlungsstrom aus der Quelle heraus erhalten wir durch Integration über den Raumwinkel
(über den dem Beobachter zugewandten Halbraum) zu
u = aT 4
; B = c
c
u ; Φ = u (4.182)
4π 4
Damit ergibt sich für die Rate der Schwarzkörper - Strahlung eines Sterns mit Radius R:
L = 4πR 2 σT 4
(4.183)

250 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
mit der Stefan-Boltzmann Konstante
σ = π2 k 4
60¯h 3 c 2 = 5.67 · 10−5 g s −3 K −4
Wir schreiben Glchg. (4.177) in der Form
Bν(T ) = 2 ν2 x
kT
c2 ex − 1
mit x = hν
kT
(4.184)
(4.185)
Für niedrige Frequenzen (Radiobereich), hν ≪ kT , gilt dann die klassische Rayleigh-Jeans Näherung
für die spezifische Intensität:
Bν =
2kT ν2
c 2
welche das Wirkungsquantum h nicht enthält. In Zahlen
(4.186)
Bν = 3.08 · 10 −23 T ν 2 7 erg cm −2 s −1 Hz −1 sterad −1 (4.187)
Dies ist die spezifische Strahlungsintensität der Quelle. Um daraus den im Radioteleskop empfangenen
spezifischen (d. h. monochromatischen) Strahlungsstrom Φν zu erhalten, muß man über den Raumwinkel,
Ωs Einheit: Steradian, unter dem die Quelle von der Erde aus erscheint, integrieren:
Ωs = π
� �2
R
D
und Φν = ΩsBν (4.188)
Dabei ist R der Radius und D die Entfernung der Quelle. Für die Sonne in 1 AE Entfernung ist Ωs =
6.8 · 10 −5 . In 1 kpc Entfernung dagegen ist der sterische Öffnungswinkel eines Sterns wie der Sonne
nur noch Ωs = 1.5 · 10 −18 (R/R⊙) 2 .
• DEFINITION (JANSKY)
In der Radioastronomie wird der Strahlungsstrom Φν in der Einheit Jansky (oder auch flux unit, f.u.) gemessen, mit
1 Jansky = 1 f.u. = 10 −23
erg cm −2 s −1 Hz −1 (4.189)
= 10 −26 Watt m −2 s −1 Hz −1 (4.190)
Extrem starke Radioquellen, wie Cas A (3C 461), können bei ν = 1400 MHz einige Tausend f.u. haben, starke Quellen
sind von der Größenordnung 100 . . . 1 Jy, Orion (M42) z. B. hat Φ1400 = 400 Jy, während die meisten Pulsare nur wenige
mJy haben. Typische Flüsse im Röntgenbereich sind µJy.
• BEISPIEL (DER KREBSNEBEL UND DER QUASAR 3C 273)
Zwei Quellen wollen wir hier wegen ihrer besonderen Bedeutung für die Astrophysik noch einmal genauer betrachten und
vergleichen.
Für den Astronomen sind diese Quellen in erster Linie Eichnormale zur Bestimmung von Flussdichten. Dazu sind (neben
den Sternen im optischen) der Krebsnebel und der Quasar 3C 273
besonders geeignet. Hier gilt, daß beide Spektren fast parallel im Abstand
zweier Zeherpotenzen in der spektralen Flussdichte verlaufen.
Spektrum des Krebsnebels
Der Krebsnebel ist dabei im optischen fast mit blossem Auge zu se- von bis Φν Index
hen, ist also eine extrem starke Quelle. Der Pulsar im Nebel ist eben- (Hz) (Hz) Jansky n
falls extrem stark (und mit einem guten UKW Empfänger zu empfangen).
Die Entfernung ist nicht gut bekannt, sie beträgt etwa 2 kpc.
Der Quasar 3C 273 ist dagegen nur von grossen Observatorien aus
10
nachzuweisen (etwa COMPTEL im Gamma Bereich oder IRAS im
Infraroten). Die Entfernung ist so gut bekannt wie die Hubble Kon-
7 1012 1040 · (ν/109 ) n 2 · 10
−0.30
13 3 · 1015 1.8 · (ν/1015 ) n −0.85
1016 1019 1.2 · (ν/1018 ) n −1.15
Tab. 4.3: Krebsnebelspektrum
stante, sie beträgt etwa 0.9 Gpc.
Das Spektrum reicht von 10 7 Hz bis 10 30 Hz, wobei die beiden Enden beim Krebsnebel vom Pulsar dominiert werden.
Im Radiobereich ist der Pulsar unterhalb von 100 MHz stärker als der gesamte Krebsnebel, im Röntgenbereich beträgt die
gepulste Komponente etwa 10% des Nebels.

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 251
Wenn wir nach T auflösen, erhalten wir für die Antennentemperatur (der Index b steht für brightness)
Tb = c2
2kν 2 Bν mit Bν = Φν
Ωs
(4.191)
Falls, wie bei der Sonne oder dem Orionnebel Ωs bekannt ist, kann man nach Glchg. (4.177) direkt eine Temperatur
bestimmen T = T (ν). Ist diese über das gesamte Spektrum konstant, handelt es sich um echte Plancksche Schwarzkörper -
Strahlung und wir haben die wahre Temperatur des Objekts bestimmt. Solche Fälle werden wir später genauer besprechen.
Zunächst zwei nützliche Näherungen
1. Für niedrige Frequenzen
(Radio Bereich), hν ≪ k BT , können wir genauer entwickeln und erhalten für (Plancksche Strahlung)
die Antennentemperatur folgende Entwicklung:
Tb = c2
2kν2 Bν ≈ T − hν
2k
� �2 T hν
+ + . . .
12 kT
Bei Messungen fällt das konstante Glied fort, da nur Differenzen zwischen Eichtemperatur und
Quelle gemessen werden. Für die Hintergrundstrahlung bedeutet dies, daß Abweichungen von
der korrekten Formel und dem Näherungsausdruck nur etwa 0.03 K bei λ = 0.86 cm ausmachen.
2. Für hohe Frequenzen
(optischer Bereich), hν ≫ k BT , gilt das Wiensche Gesetz für die spezifische Intensität
Bν = 2hν3
c2 �
exp − hν
�
kT
• FORMELN (WIENSCHES VERSCHIEBUNGSGESETZ)
Dimensionslos geschrieben gilt
Bνdν = a f(x)dx mit x = hν
kT
und f(x) = 15
π 4
Die (auf 1 normierte) Funktion f(x) hat das Maximum bei
xν = hν
kT
= 2.822 d. h. ν = 0.51T −1
x 3
e x − 1
Als Funktion von λ = c/ν betrachtet, gilt für die spezifische Intensität:
Bλ = 2hc2
λ 5
1
e hc/kT λ − 1
oder dimensionslos geschrieben
Bλdλ = a g(y)dz mit y = z −1 = hc
kT λ
cm
und g(y) = 15
π 4
y 5
e y − 1
(4.192)
(4.193)
(4.194)
Die Funktion g(y) hat das Maximum bei xλ := hc/kT λ = 4.965. Für das Intensitätsmaximum von Bλ gilt dann das
Wiensche Verschiebungsgesetz in der Form:
λmaxT = const = 0.2898 cm K (4.195)

252 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
• BEISPIEL (FLUSS UND TEMPERATUR EXTREMER QUELLEN)
Wir vergleichen nun einige extreme (thermische und nichtthermische) Quellen:
In der Tabelle ist der Fluß fν in Jansky und die Temperatur T der Quelle in Kelvin angegeben. Die Quelle hat bei
der Wellenlänge λmax ihr Leuchtkraftmaximum. Die
Strahlungsart ist beim Krebs Pulsar, Nr. 0, kohärent, für
die Quellen Nr. 1 bis 3 und Nr. 5 thermisch. Die restlichen
sind nichtthermisch, ic. bedeutet inverse Compton
Streuung.
zu 1: die kosmische Hintergrundstrahlung ist isotrop,
es ist f = Ω ∗ I mit Ω ∗ = π.
zu2: der Öffnungswinkel vom Orionnebel beträgt etwa
1 Grad (doppelt so viel wie die Sonne). Die Strahlung
ist Bremsstrahlung. I beläuft sich auf 0.02L⊙η10 bei
10 GHz (ην ist die Emission pro Steradian). ISO hat
ein Spektrum über den Bereich von 2.4 bis 44.5 m von
Orion Peak 1, dem hellsten Teil der OMC-1 Wolke, gewonnen
mit mehr als 60 H2 Linien, inklusive reine Rotationslinien,
die einen Temperaturbereich von 510 bis
43000 K aufspannen. Abschätzungen ergeben für die
Fluß und Temperatur extremer Quellen
Nr Name Str. Maximum T fν Str.
bei λmax K Jy Art
0 Krebs PSR 3 m 10 30 10 4 koh.
1 Kosmos 1 mm 3 10 5 th.
2 Orion 0.1 mm 50 400 th.
3 Wega 310 nm 9400 3560 th.
4 Krebsnebel 500 nm 10 6 4 nth.
5 Sco X-1 2 ˚A 1.5·10 8 0.02 th.
6 3C 273 10 f 10 12 10 −14 ic.
Tab. 4.4: Extreme Quellen
gesamte warme, schockangeregte H2-Masse und H2-Leuchtkraft von etwa 1M⊙ und 120L⊙.
zu 3: Wega ist Eichstern zur Klasse A0V. Der angegebene Fluß bezieht sich auf die Eichentfernung 10 pc und den Spektralbereich
V = visible.
zu 4: Die Strahlung des Krebsnebels ist nicht thermisch, die Temperatur hat nur formale Bedeutung: kT = hνmax.
zu 5: Sco X-1 ist die hellste Dauerquelle, was die scheinbare Helligkeit betrifft, im Röntgenbereich. Sco X-1 ist ein akkretierendes
Doppelsternsystem vom Typ LMXB. Diese ’Low mass X-ray binary’ Quellen haben rote Überriesen (Zwergstern)
als Begleiter und sind ungepulst, kommen oft als Burster vor oder zeigen QPOs = ’Quasi-periodische Oszillationen’, d.
h. eine Modulation ihrer Röntgen Leuchtkraft. Der Neutronenstern Sco X-1 hat eine Umlaufperiode Torb = 0.787 d. Die
Röntgen Leuchtkraft erreicht fast LX = 10 4 L⊙ und liegt damit um 0.4 dex unter der Eddingtonschen Grenzleuchtkraft.
zu 6: Der Quasar 3C 273 hat sein Maximum im Gamma Bereich bei ɛ = 1 MeV (entspr. λ = 10 f). Beim Krebs Pulsar, Nr.
0, ist diese vollständig gepulst.
Ionisation und Saha Gleichung
Wir gehen aus von der Verteilungsfunktion im Phasenraum f(x, p) mit dem 6-dim Volumelement
dΓ = d3 xd 3 p
h 3 ; dN = fdΓ (4.196)
für nicht wechselwirkende Fermionen (+) bzw. Bosonen (−) mit Impuls p:
f(p) =
1
e βɛ(p)−α ± 1
(4.197)
Mit den thermodynamischen Integrationskonstanten β und α (bzw. µ), welche folgende Bedeutung
haben:
α = µ
kT
= βµ (4.198)
wobei µ das chemische Potential ist. Für N Teilchen im Volumen V = � d3x gelten folgende thermodynamische
Beziehungen für Gesamtenergie U und Druck P
N = g
�
V f(p)d
h3 3 p (4.199)
U = g
�
V E(p)f(p)d
h3 3 p (4.200)
P = gc2
3h 3
�
p 2
E(p) f(p)d3 p (4.201)

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 253
Verteilungsfunktion und Spektrum E(p) bestimmen vollständig die thermodynamischen Potentiale.
Die (exakte) Energie - Impuls Relation für freie Teilchen der Ruhmasse m lautet:
�
E = c p2 + m2c2 (4.202)
Der Energienullpunkt ist dann eindeutig festgelegt, die Ruhmasse m enthält die Bindungsenergie (des
Atoms oder Moleküls). Gewöhnlich spaltet man in der nichtrelativistischen Physik die Ruhmassen -
Energie mc 2 ab und erhält in niedrigster Ordnung:
E − mc 2 ≈ 1
2m p2
(4.203)
Der Energienullpunkt muß dann (willkürlich) festgelegt werden.
Für verschiedene Teilchen der Sorte i gilt dann folgender Zusammenhang zwischen Teilchenzahldichte
ni = Ni/V , Ruhmasse mi, Energie Ei, statistischem Gewicht gi, und chemischem Potential µi:
ni = gi
2π 2
� �3 �∞
kT z
¯hc
0
2dz e−β(Ei−µi) mit z =
± 1 pc
kT
Die Dispersionsrelation für Teilchen (der Sorte i) lautet
�
Ei = c p2 i + m2 i c2 Entsprechend gilt für die Energiedichte inklusive Ruhmasse
ɛi = ρic 2 = gi
2π 2
� �3 kT
�∞
Ez
¯hc
0
2dz e−β(Ei−µi) ± 1
Für eine Reaktion zwischen Partnern im thermodynamischen Gleichgewicht
i + j ←→ k + l gilt µi + µj = µk + µl (4.204)
oder allgemeiner, indiziert mit i für initial und mit f für final, die Saha Gleichung
�
i=ini
µi = �
f=fin
µf
(4.205)
Anstelle der Variablen z = pc
E
ist es günstiger zur Berechnung der Integrale die Variable w = kT kT zu
benutzen.
n = g
2π2 � �3 �∞
√
kT w2 − m2 ¯hc e
m
−β(w−µ) ɛ =
wdw
± 1
(4.206)
g
2π2 � �3 �∞
√
kT w2 − m2 ¯hc e
m
−β(w−µ) ± 1 w2 P =
dw (4.207)
g
6π2 � � �√ �
3 �∞
3
kT w2 − m2 ¯hc e
m
−β(w−µ) s =
dw
± 1
−αn + βµ ±
(4.208)
g
2π2 � �3 �∞
kT
log(1 ± e
¯hc
−β(w−µ) ) √ w2 − m2 wdw (4.209)
m
Eine nützliche Relation zwischen diesen Größen ist die Gibbs Duhem Relation, die benutzt werden
kann, um die Entropiedichte s zu berechnen, falls die anderen Größen bekannt sind:
ɛ + P = T s + µn (4.210)

254 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Die Auswertung ist in Grenzfällen geschlossen analytisch möglich. Die Boltzmann Formel eines klassischen,
nichtrelativistischen Gases erhält man für α ≪ −1. Dann kann man den Summanden ±1 im
Nenner vernachlässigen, die Integrale sind elementar und liefern für Teilchen der Spezies i
µi − mic 2
kT
= ln
⎡
⎣ ni
�
gi
h 2
2πmikT
� 3/2 ⎤
Die Saha Gleichung folgt daraus, wenn wir für die Reaktionsenergie
Q = �
f=fin
mfc 2 − �
i=ini
den Massendefekt Q definieren.
mic 2
⎦ (4.211)
(4.212)
• BEISPIEL (DISSOZIATION EINES ATOMKERNS)
Das liefert z. B. für die vollständige Zerlegung eines Atomkerns mit A Nukleonen in Z Protonen und A − Z Neutronen:
Zp + (A − Z)n ←→ (Z, A) mit Q = Zmpc 2 + (A − Z)mnc 2 − MAc 2
für das Reaktionsgleichgewicht (gA ist das statistische Gewicht des Kerns, gp = gn = 2):
nA = gA
2A nZp n A−Z
�
n
h 2
2πmukT
�3A/2
e Q/kT
(4.213)
Wir betrachten hier des weiteren nur noch den Fall der Photoionisation (bound–free) und Rekombination
(free–bound) von H.
Ion + Elektron ←→ H-Atom + Photon
Im Folgenden beziehen sich die Indizes auf e: Elektron, p: Proton und H: neutrales H-Atom und I ist
das Ionisationspotential. Die Bedingung für das chemische Potential lautet, da für Photonen µγ = 0
ist:
µe + µp − µ H = 0 (4.214)
was auf die Saha Gleichung führt:
nenp
n H
= gegp
g H
� 2πmekT
h 2
� 3/2 �mp
m H
� 3/2
e −I/kT
(4.215)
wobei I = (me+mp−m H)c 2 ist (Massendefekt), ge ist das statistische Gewicht der Elektronen; ge = 2.
Wir betonen, daß ne kein freier Parameter ist, sondern aus dem thermodynamischen Gleichgewicht
erschlossen werden muss; die freie wählbaren Parameter sind die Temperatur T und die Baryonenzahl
Nbar = Np + N H (im Volumen V ) oder, dimensionslos, das Verhältnis von Baryonenzahl zu Photonenzahl
und die Temperatur in Einheiten von I.
• BEISPIEL (REKOMBINATION VON H IM FRÜHEN UNIVERSUM)
Als konkrete Anwendung betrachten wir H im frühen Universum. Wir beziehen den Ionisationsgrad auf die (bei der Ionisation
erhaltene) Anzahl der Atomkerne (Baryonenzahl):
α = Ne
Nbar
(4.216)
Die hohe spezifische Entropie des Universums von etwa 10 8 Photonen auf 1 Baryon besagt, daß zur Zeit der Rekombination
wenige Elektronen und viele Photonen vorhanden waren. Da hohe Temperaturen vorlagen, herrschte thermodynamisches

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 255
Gleichgewicht mit grossem statistischen Faktor für die Elektronen. Ersetzen wir Baryonenzahldichte nbar durch die Photonenzahldichte,
nbar = ηnph
so erhalten wir für den Ionisationsgrad α
1 − α
α 2
= 4√2ζ(3) √ η
π
� mec 2
kT
�3/2
e I/kT
(4.217)
(4.218)
Numerisch liefert das mit η = 3 · 10 −8 für α = 0.1 (d. h. 90% rekombiniert) eine Temperatur von T = 3575 K und wir
sehen, daß die Rekombination bei kT = 0.308 eV statt bei 13.6 eV abläuft.
• BEISPIEL (IONISATIONSGRAD DER PHOTOSPHÄRE DER SONNE)
Für die Photosphäre der Sonne haben wir andere Verhältnisse. Mit etwa n H = 10 17 cm −3 und nph = 4 · 10 12 in der
Photosphäre ist η = 3 · 10 5 , was einen Ionisationsgrad von α ≈ 10 −4 liefert.
Beispiele für die Leuchtkraft von Quellen
• ZUSATZ (NATÜRLICHE EINHEITEN FÜR DIE LEUCHTKRAFT ASTRONOMISCHER OBJEKTE)
Eine natürliche Einheit für die Leuchtkraft eines Sterns ist die Eddingtonsche Grenzleuchtkraft
LEdd = 4πGmHMc
σT h
= 10 4.5
� �
M
L⊙ = 1.3 · 10
M⊙
38
� �
M
mH erg s
M⊙
−1 (4.219)
wenn man die typische Masse bereits kennt. Die Leuchtkraft der Sonne beträgt dagegen nur L⊙ = 3.9 · 10 33 erg s −1 . Da
die meisten Sterne einer Galaxie denen der Sonne ähnlich sind, ist es üblich, die Leuchtkraft der Sonne auch als Einheit für
Galaxien und Quasare zu benutzen.
Die Obergrenzen für die Leuchtkraft von Quasaren und Galaxien sind immer noch zeitabhängig. Sie wachsen mit dem
Fortschritt der Technik. Neue Quellen mit immer größerer Rotverschiebung z werden dabei nicht stetig entdeckt bzw.
identifizert, sondern in Schüben (Inbetriebnahme eines neuen Teleskops oder Spektrometers).
Seit 1991 wurde kein Quasar mit größerer Rotverschiebung als der von PC1247+3406 mit z = 4.897 gefunden. Ein
Quasar an der Obergrenze von 1995 ist GB1508+5714 mit z = 4.30, einige Galaxien im Hubble deep field könnten z > 5
erfüllen, sicher ist das nicht. Dabei ist bemerkenswert, daß das Maximum der Leuchtkraft bei Quasaren im Röntgen oder
Gammabereich liegt. Bei weit entfernten Quellen kann eine Gravitationslinse die wahre Leuchtkraft verfälschen.
Zu allen Frequenzen gibt es Quellen, manche davon können sogar über das gesamte Frequenzspektrum
nachgewiesen werden. Zu letzteren gehören (neben der Sonne) Quasare (extragalaktisch) und Pulsare
(galaktisch). Das Umgekehrte gibt es auch: Objekte, die nur in einem Frequenzbereich strahlen: IR
Quellen und Gamma Bursts. Letztere sogar nur für extrem kurze Zeit.
Wir beginnen mit einer Einteilung der Quellen, geordnet nach Frequenz und damit nach Detektor. Für
schnell variable Quellen (wie die Gamma Bursts) gibt es noch die Multi Frequenz Instrumente wie
BeppoSAX, RXTE und ROTSE. Diese haben wir bereits vorgestellt.
• ZUSATZ (MULTI FREQUENZ INSTRUMENTE)
BeppoSAX: Der ’Beppo Satellite di Astronomia X’ ist ein ital. Holl. Röntgen Satellit, benannt nach Guiseppe (Beppo)
Occhialini, dem Entdecker des Positrons (in der kosmischen Strahlung).
Bereich: Röntgen [0.1 keV . . . 300 keV]. Auflösung 5’. Start 30.401996.
RXTE: Rossi X-ray Timing Explorer. Amerik. Röntgen Satellit. Start 30.12.1995.
Bereich: Röntgen [2 keV . . . 200 keV].
ROTSE: Robotic Optical Transient Search Experiment. Vier zusammengeschaltete opt. Teleskope mit CCD, die innerhalb
3 Sekunden jeden Punkt am Himmel erreichen können.
Grenzhelligkeit 15 Magnituden.
Mithilfe dieser Multi Frequenz Instrumente hat man bei einigen, aber nicht bei allen, Gamma Bursts ein Nachglühen
festgestellt. Danach ist an der Stelle des Bursts nichts mehr zu sehen, mV > 27, (evidence of absence).

256 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Observatorien und Teleskope geordnet nach Frequenz
Frequenzbereich Detektor Beispiel Wellenbereich
Radio Radioteleskop VLA [m . . . mm]
Infrarot Infrared Astr. Satellite IRAS [100 µm . . . 1 µm]
optisch und UV Hubble Space Teleskop HST [4000 ˚A . . . 7000 ˚A]
Röntgen Röntgen Satellit ROSAT [0.1 keV . . . 10 keV]
γ Compton Teleskop COMPTEL [0.1 MeV . . . 10 MeV]
Tab. 4.5: Teleskope geordnet nach Frequenz
Dazu kommen noch die Observatorien für die Hochenergiekomponenten.
• ZUSATZ (DIE PHOTONENKOMPONENTE DER KOSMISCHEN STRAHLUNG: VHE UND UHE PHOTONEN)
Die dritte Komponente der kosmischen Strahlung (neben Baryonen und Leptonen) sind die Photonen jenseits von 1 TeV,
mit einer Energiedichte von dex(−3) = ein Promille der Gesamtstrahlung.
Der Nachweis von VHE Photonen unterscheidet im Prinzip sich nicht von dem anderer kosmischer Teilchen. Photonen
verhalten sich bei sehr hohen Energien wie Teilchen. Bestimmt
werden der Fluß der Sekundärteilchen und die Ausdehnung (die Fläche)
eines Luftschauers. Auf das Problem, herauszufinden, welcher Art das
Primärteilchen war, gehen wir hier nicht ein.
Einige bekannte Observatorien für so hohe Energien sind in der nebenstehenden
Tabelle aufgeführt. Typische Werte sind
1 [Schauer m −2 sr −1 yr −1 ].
Der Nachweis geht über die Müonen (oder Cerenkovstrahlung), in den
Elektronen steckt der Hauptteil der Energie. Die Sekundärteilchen haben
bei Ankunft auf dem Erdboden eine Energie von 1 GeV. Daraus läßt sich
die Primärenergie bestimmen. Das Schauer Maximum wird erreicht beim
Durchdringen einer Säulendichte von 520 g cm −2 , danach nimmt die An-
Observatorien von VHE Photonen
Name Land Fläche h
km 2 m
Volcano Ranch USA 8 km 2 1800
Haverah Park UK 11 km 2 0
Chacaltaya IND 30 km 2 5200
Sydney Array AUS 34 km 2 0
Tab. 4.6: VHE Photonen
zahl der Sekundärteilchen wieder ab. Es ist demnach günsig, diese Observatorien auf hohen Bergen zu plazieren.
Die höchsten UHE Energien reichen (beim Krebs Pulsar) bis 10 16 eV. Ein solches Photon erzeugt einige 10 6 Sekundärteilchen.
Wir wollen zunächst einige typische Größenordnungen für die Leuchtkraft L von Galaxien und Quasaren
betrachten. Als natürliche Einheit benutzen wir vorläufig die Leuchtkraft der Sonne, L⊙ = 3.9·1033 erg s−1 . .
Zur Erinnerung:
Die Leuchtkraft der Milchstrasse beträgt etwa
LMW G = 2.5 · 10 10L⊙ = 1044 erg s−1 .
Bei den Radio Galaxien ist beim ersten Eintrag die Strahlung
des Kerns gemeint, nimmt man die Ausflüsse (die
Ohren) mit dazu, dann ergibt sich die zweite Angabe. Bei
Quasaren beträgt also im Radio Bereich die Strahlung aus
dem Kern 106L⊙, aus den Ohren bis zu 1011 Leuchtkraft Vergleich geordnet nach Frequenz
Bereich Quasare [L⊙] Galaxien [L⊙]
Radio (10
L⊙ und mehr.
6 . . . 1011 ) (1 . . . 104 )
IR bis 1013 bis 1013 optisch bis 1014 (1010 . . . 1011 )
Röntgen bis 10 15 (10 8 . . . 10 9 )
• FORMELN (TEMPERATUR)
Tab. 4.7: Leuchtkraft Vergleich
Ein einfaches Rezept zur Bestimmung der Temperatur eines Gases oder Plasmas ist die Umrechnung mithilfe des Energiesatzes
E = hν = kBT = Q (4.220)
Die Einheit von erg ist cm 2 g s −2 , ferner ist
h = 6.62619 · 10 −27 erg das Plancksche Wirkungsquantum

4.2. STRAHLUNG UND IHRE QUELLEN 257
kB = 1.38054 · 10 −16 erg K −1 die Boltzmann Konstante
ν die Frequenz der Strahlung, E die Energie des Photons
T die Temperatur in Kelvin,
Q ≈ mv 2 die thermische (kin.) Energie der Teilchen.
Es ist in der Atomphysik üblich, die Energie in eV anzugeben, die typischen Bindungsenergien der
Elektronen im Atom sind von dieser Größenordnung. Im folgenden bedeuten: λ: Wellenlänge in cm;
w: Wellenzahl in cm −1 ; ν Frequenz in Hz und T : Temperatur in Grad Kelvin.
Mit der Definitionsformel
E = hν = hcw = hc
λ = k BT und
h
k B
= 4.8 · 10 −11
geben wir eine Tabelle zur Energie Umrechnung (c = 3 · 10 10 ) auf Atom Einheiten.
Atom Einheiten
w [cm −1 ] λ [cm] ν [Hz] ɛ [eV] T [K]
λ [cm] 1 1 c 1.24·10 −4 0.66
ν [Hz] c −1 c 1 4.5·10 −15 2.2·10 −11
ɛ [eV] 8067 1.29·10 −4 2.41·10 14 1 11605
T [K] 0.66 1.5 2·10 10 8.1·10 −5 1
Die Gleichung kann auch von rechts nach links gelesen werden: Ladungen der (thermischen) Energie
Q erzeugen (thermische) Strahlung der Frequenz ν.
Tab. 4.8: Atom Einheiten
Neben der Frequenz ist noch die Intensität I der Strahlung wesentlich. Hier macht die Thermodynamik
eine wichtige Aussage über Spektrum Iν und Amplitude I = I(T ): kein Körper (im thermischen
Gleichgewicht) kann mehr abstrahlen als ein schwarzer Körper.
Wir kommen zurück auf die oben gestellte Frage, was an Strahlung beim Beobachter (außerhalb der
Erdatmosphäre) ankommt, nachdem wir verstehen, wie Photonen mit der interstellaren Materie wechselwirken.
Wir setzen den atomaren Aspekt als bekannt voraus und betrachten im folgenden den astrophysikalisch
- phänomenologischen: also die Bestimmung von Säulendichte und Emissionsmaß.
Säulendichte
Die Säulendichte der Erdatmosphäre beträgt insgesamt (N2 und O2)
N⊕ = 2 · 10 25
cm −2
Bis zum Zentrum der Galaxis gilt (für H und H2)
NGal ≈ 10 23
cm −2
Für eine Molekülwolke gilt (für H und H2)
NW olke ≈ 10 21 . . . 10 22
Emissionsmass
cm −2
Das Emissionsmaß geht z. B. ein in die Leuchtkraft der Bremsstrahlung und die der Rekombination.
Es wird oft mit EM bezeichnet.

258 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
4.2.6 Nichtthermische Strahlung
Unsere Galaxis
Die Leuchtkräfte der Maser Quellen reichen von L = 3·10 −10 L⊙ bis zu L = 10L⊙ (bei Mega MaserN)
in unserer Galaxis.
Galaktische (Molekül) Maser Quellen kann man mit VLBI (’very long baseline interferometry’) noch
auflösen: die Winkeldurchmesser der Quellen betragen 0. ′′ 1 bis herab zu 0. ′′ 0001, was bei Flüssen von
eingen 10 4 Jy Strahlungstemperaturen von bis zu 10 15 K ergibt.
Molekül-Maser
Quelle D Φν d Molekül λ
kpc Jy AE cm
Orion A 0.5 1 · 10 4 1 H2O 1.35
W3 3.1 3 · 10 3 10 OH 18
D Entfernung; Φν maximaler Fluss; d Durchmesser der Quelle. Die genauen Frequenzen für OH sind
ν = 1665.40 und 1667.36 MHz.
Zur Erinnerung: 1 ′′ in einer Entfernung von 1 pc entspricht 1 AE.
Andere Galaxien
Extragalaktische Maser Quellen sind (abhängig von der Galaxie) wesentlich stärker.
Die stärkste OH Quelle ist in kosmologischer Entfernung, z = 0.129, im IRAS Katalog mit den Koordinaten
IRAS20100-4156. Sie hat (unter der Annahme isotroper Strahlung) eine Leuchtkraft von
L = 10 4 L⊙.
Die stärkste H2O Quelle ist in kosmologischer Entfernung, z = 0.025, im IRAS Katalog mit den
Koordinaten IRAS22265-1826. Sie hat (unter der Annahme isotroper Strahlung) eine Leuchtkraft von
L = 6 · 10 3 L⊙.

4.3. DIE THERMODYNAMIK DES KOSMOS 259
4.3 Die Thermodynamik des Kosmos
4.3.1 Die Temperatur des Kosmos
Wir betrachten im folgenden ein Volumen V , welches so groß ist, daß es an der kosmologischen Expansion
ungestört teilnimmt, aber so klein, daß geometrische Krümmungseffekte vernachläßigt werden
können. Der Raum ist dann lokal Euklidisch und es gilt V (t) = 4π
3 R3 (t).
Sieht man einmal von Spekulationen über den sehr frühen Kosmos ab, so verläuft die Expansion des
Kosmos adiabatisch ab,
S = 4
3 aBT 3 (t)V (t) = const
Für die Temperatur der Hintergrundstrahlung gilt dann (Tolman, 1931)
Ro
T = To
R = To(1 + z) (4.221)
Die Energie der Photonen wächst analog und die Mittelwerte sind
< Eγ > ≈ 2.701 kT ; < Sγ > ≈ 3.602 k (4.222)
Das liefert, wie wir jetzt zeigen wollen, ein ideales Thermometer auch für die Temperatur der Materie.
4.3.2 Der Kosmos heute
Entfernung D und Alter A = to (ab heute zurückgerechnet) von Quellen im Kosmos, deren Rotverschiebung
z nicht zu groß ist, z ≪ 1, ist gegeben durch die lineare Hubble Relation
D = z c
H
und A = z 1
Ho
mit Ho = Ro
˙Ro
Mit den üblichen Einheiten liefert das für den Entfernungsmodul
c
H = 6(2h)−1 Gpc = 1.85 · 10 28 (2h) −1
Dabei ist D = 6z(2h) −1 also in Gpc zu nehmen.
(4.223)
cm (4.224)
• FORMELN
Für die Angabe des Alters (ab Urknall) Auniv benötigt man das kosmologische Modell und es gilt:
Auniv = f
≈ f 10
Ho
10 h −1
y
mit f = 2/3 für den materie-dominierten, Euklidischen Kosmos und f = 1 für den nahezu leeren Kosmos.
• BEISPIEL (LEUCHTKRAFTBESTIMMUNG)
Für die die oben besprochenen Maser Quellen wurde seitens der Autoren 2h = 1.5 gewählt. Das liefert für Entfernung und
Leuchtkraft
die in der Tabelle angegeben Werte.
Daten zu extragalaktischen Maser Quellen
Nr IRAS D z
Quelle Mpc z
1. 22265 − 1826 100 0.025
2. 20100 − 4156 500 0.129
3. 10214 + 4724 4000 2.286

260 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Die Expansion des Kosmos verläuft praktisch adiabatisch: das wenige an Strahlung, was Sterne und
Wolken intergalaktisch als Beitrag zusätzlich zur Hintergrundstrahlung liefern, ist so gering, daß Abweichungen
von der Isotropie höchstens 10 −5 ausmachen, wie die Messungen von COBE gezeigt haben.
Da die Entropie S im mitbewegten Volumen konstant ist, gilt allgemeiner (Tolman, 1931) für
Größen zum Zeitpunkt der Emission (Index e) und der Observation (Index o)
Te
To
= Ro
Re
= 1 + z = λo
λe
= ωe
ωo
und der Schwarzkörper-Charakter der Verteilungsfunktion, die ja nur die dimensionslose Variable
x = ¯hω
kT
(4.225)
(4.226)
enthält, bleibt erhalten.
Die Energiedichte der Strahlung wächst dagegen mit wachsendem z (ebenso wie die Energie des einzelnen
Photons): die Zahl der Photonen Nγ ∝ S/k ∝ T 3 R 3 im Volumen V ist erhalten, die Energie
Eγ ∝ NγkT wächst demnach ebenfalls wie 1 + z.
4.3.3 Der frühe Kosmos
Was heute in der Dynamik des Universums völlig vernachläßigbar ist, nämlich der Beitrag der Photonenenergie
zur Massendichte des Universums,
˜θm = Eγ
c 2 mpNp
∝ 0.9 · 10 −4 (1 + z)[(2h) −2 Ω −1 ] (4.227)
dominiert bei konstante Entropie S das Universum ab etwa z > 10 4 . Dadurch wird die Physik zunehmend
einfacher: je höher die Temperatur, umso unwichtiger werden einzelne Wechselwirkungen; alle
sind irgendwann ’stark’ und das Universum ist undurchsichtig.
Nur noch der Entropiesatz wird benötgt, um die Zusammensetzung der Materie des frühen Universums
zu bestimmen. Wir haben das ideale Hochenergielabor vor uns.
4.3.4 Primordiale Elemente
Seit von Wagoner, Fowler und Hoyle erstmals (1967) das kosmogonische Verhältnis von H zu He
(Massenverhältnis 4:1) bestimmt wurde, ist einige Zeit vergangen. Die damaligen Beobachtungen an
alten Sternen stimmten mit der Vorhersage überein und wurden damit als ein direkter Beweis für den
heißen Urknall, s = nγ/nb ≈ 10 9 und T ≈ 3K allgemein anerkannt.
Die numerischen Rechnungen basieren mittlerweile auf verbesserten Streuquerschnitten und liefern
heute
Y4 = 0.230 + 0.025(10 + log η) + (0.0075)(g∗ − 10.75)
+0.014[τ1/2(n) − 636] + 0.015(Nν − 3) (4.228)
wobei τ1/2(n) die Halbwertszeit des Neutrons in Sekunden (aktueller Wert etwa τ1/2(n) = 621 s oder
10.35 min) und Nν die Anzahl der verschiedenen Neutrinosorten ist (aktueller Wert Nν = 3). Für die
hier betrachteten Temperaturen ist ferner g∗ = 10.75.
Einem Massenanteil von Y4 = 0.23 entspricht ein Zahlanteil von X4 = 0.075.
Mittlerweile sind auch die Beobachtungen sehr viel genauer. Ein Problem, das von Anfang an erkannt
wurde, bleibt ungelöst: Sterne, die keine Metalle enthalten (sog. Population III Sterne), hat man nicht
entdecken können, selbst die ältesten Sterne in Kugelsternhaufen enthalten noch Metalle wie C, N, O

4.3. DIE THERMODYNAMIK DES KOSMOS 261
und sogar Eisen, Fe. Dabei variieren die Häufigkeiten sowohl im einzelnen Kugelsternhaufen als auch
von Haufen zu Haufen.
Neben kosmologischem Lithium, Li, wurde (mit vergleichbarer Häufigkeit) auch Bor, B, gefunden.
Das kann man erklären, (Fowler), falls man inhomogene Urknall Modelle betrachtet.
• ZUSATZ (BILDUNG VON C IM FRÜHEN KOSMOS)
Hier sind zunächst die Quarks inhomogen verteilt (auf einer Skala von etwa 1 bis 10 Meter), wenn sich Protonen und
Neutronen in einem Phasenübergang erster Ordnung bilden. Diese verhalten sich anschließend beide unterschiedlich:
Protonen diffundieren schwerer, da sie geladen sind. In ursprünglichen Verdichtungen (Entropieschwahnkungen) bleiben
die Protonen zurück, die Neutronen diffundieren in die Umgebung.
Ab 7 Li verläuft die Fusion dann anders als im Standardmodell, nämlich bis 12 C und ohne die Triple−α Reaktion:
7 Li (n, γ) 8 Li (α, n) 11 B (n, γ) 12 B (e + , ν) 12 C (4.229)
Hierbei ensteht auch das häufigste Bor Isotop, 11 B. Auch Atome mit höherer Ladung enstehen, insgesamt etwa (ein Massenanteil
von) 10 −3 .
Helium
Die Häufigkeit von 4 He in der Ur-Sonne wird allgemein zu Y⊙( 4 He) = 0.28 in numerischen Entwicklungs
Rechnungen angenommen. Das liefert gute Übereinstimmung mit der Leuchtkraft heute.
Die Häufigkeit von 3 He in der Ur-Sonne kann aus Meteoriten bestimmt werden.
X( 3 He) = 2 · 10 −5
(4.230)
Etwa am Rand des Sonnensystems vorhandenes 3 He, welches von solarem (im Sonnenwind) unterschieden
werden kann, muß aus dem interstellaren Raum (aus der lokalen interstellaren Wolke) zugeweht
worden sein. Dieses wurde zunächst spektroskopisch (von der Erde aus) nachgewiesen, 1995 von
dem Raumschiff Ulysses aufgesammelt und analysiert. Beide Bestimmungen ergeben übereinstimmende
Werte.
X( 3 He) = 1 · 10 −4
(4.231)
Diesen extrem lokalen Wert kann man vergleichen mit den ältesten Sternen in unserer näheren Umgebung:
in Kugelsternhaufen und Zwerggalaxien (z. B. SMC). Man findet
Y4 = 0.236
Z ≥ 10 −3
(4.232)
an hellen Sternen am Rand.
Mittlerweile kann man auch die Lyman−α Linien von HeI (λ = 1215 ˚A) und HeII (λ = 304 ˚A) in
Quasar Spektren nachweisen.
Deuterium
Deuterium kommt bei einem Stern wie der Sonne dagegen nicht vor, es wird in der Protostern Phase
aufgebraucht und in 3 He verwandelt. Die Summe von D + 3 He bleibt dabei konstant. Die lokale
Häufigkeit von D kann durch Lyman−α Absorption (gegen helle Sterne wie Capella und Procyon)
bestimmt werden.
X(D) = 2 · 10 −5
(4.233)
1996 wurde (von Tytler et al.) die Lyman−α Linien von D (λ(H) − 0.33 ˚A) in drei Quasar Spektren
nachgewiesen. Die größte Rotverschiebung betrug 3.57. Das Ergebnis war überraschend, zwei Bestimmungen
stimmen mit den bisherigen Ergebnissen überein, ein Wert ist 10 mal größer.
Lithium

262 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
4.4 Die Sterne: Leuchtkraft und Temperatur
4.4.1 Grundlagen
Die meisten Sterne leuchten (wie die Sonne) in dem Frequenzbereich, der von der Erdatmosphäre
durchgelassen wird und der vom menschlichen Auge wahrgenommen werden kann. Wir werden zeigen,
daß dies auf die Werte einiger weniger Fundamentalkonstanten zurückgeführt werden kann.
Die Maxwellschen Gleichungen und das Plancksche Gesetz der Strahlung eines schwarzen Körpers
sind die Grundlage zur Bestimmung der Leuchtkraft (Amplitude des Senders) und der Temperatur
(Frequenz des Senders) an der Oberfläche eines Sterns.
Wesentlich genauere Aussagen liefert eine Spektralanalyse (Position, Intensität und Breite der Linien
im Spektrum eines Sterns). Grundlage der Interpretation liefert hier die Saha Gleichung und die Theorie
der Sternatmosphären (Strahlungstransport). Das Plancksche Gesetz der Schwarzkörperstrahlung
liefert in gröbster Näherung die physikalischen Grundlagen dieser Strahlung, welche die Astronomen
mit ihren eigenen Bezeichnungen übernommen und dann zu einer Theorie der Sternatmosphären ausgebaut
haben.
• ANMERKUNG (DIE TEMPERATUR DER STERNE)
Das Auffinden von Eichsternen definierter Temperatur und Leuchtkraft war ein mühsamer Prozeß, der im wesentlichen
empirisch verlief, da die adäquate Physik, die Quantenmechanik, noch fehlte. E. Warburg war der erste, der (1899) die
Temperatur der Sonne annähernd richtig bestimmte. Hertzsprung (1905) und Russel (1913) konnten dies erstmals an ausgewählten
Sternen (Hertzsprung-Russell Diagramm).
Grundlage war die von Josef Stefan (1835 - 1893) anhand umfangreicher Messungen 1879 gefundene, und von Ludwig
Boltzmann (1844 - 1906) (unter Benutzung der Maxwellschen Theorie) theoretisch begründete Beziehung für die Energiedichte
von Licht im Hohlraum der Temperatur T
Φ = σT 4
(4.234)
Dieses Stefan-Boltzmann Gesetz der Schwarzkörperstrahlung beschreibt die (idealisierte) Schwarzkörperstrahlung eines
Sterns. F wird Flächenhelligkeit und σ wird Stefan-Boltzmann Konstante genannt. Die Leuchtkraft eines Sterns, L, folgt,
wenn der Radius R bekannt ist, zu
L = 4πR 2 σT 4
mit σ = 5.67 · 10 −05 erg s −1 cm −2 K −4 .
(4.235)
Unter absoluter bolometrischer Helligkeit, Lb, versteht man die Gesamtleuchtkraft (Einheit: erg s −1 )
eines Sterns. Sie wird in der Astronomie in besonderen dimensionslosen Einheiten (Magnituden), Mb,
als Vielfaches einer Grundgröße (Eichstern) gemessen, wobei gilt (s.u.)
Lb = L(Mb) = 10 0.4·(4.72−Mb) L⊙
(4.236)
Die Gesamtleuchtkraft der Sonne beträgt also Mb = +4.72 m , was L⊙ = 3.9 · 10 33 erg s −1 entspricht.
In der astronomischen Literatur setzt man noch ein m als Index, um kenntlich zu machen, daß es sich
um Magnituden handelt.
Einfacher als die Gesamtleuchtkraft ist die visuelle Helligkeit, MV , zu bestimmen. Sie wird später genauer
definiert. Für die Sonne wird im visuellen (bei 551 nm) nur etwa 10 % der Gesamtleuchtkraft
benutzt. Man erreicht dies, indem man ein geeignetes Filter vor das Teleskop schaltet. Man misst nun
zwar weniger, dafür aber genauer (nämlich ohne Absorption der Erdatmospäre). Kennt man den Typ
des Sterns, d. h. hat man bereits einen ähnlichen Stern vermessen, dann kann man auf die Gesamtleuchtkraft
zurückschließen (ohne erneute Meßung außerhalb des visuellen Bereichs).
Die Differenz zwischen absoluter visueller Helligkeit und absoluter bolometrischer Helligkeit
Mb = MV + BC (4.237)
heißt bolometrische Korrektion, BC.

4.4. DIE STERNE: LEUCHTKRAFT UND TEMPERATUR 263
Aus der Kenntnis der Gesamtleuchtkraft bzw. aus dem Verlauf des Kontinuumsspektrums kann man
bereits Schlüsse über die Temperatur eines Sterns ziehen. Im thermodynamischen Gleichgewicht stimmen
kinetische Temperatur, Tkin, und Strahlungstemperatur überein. Die Strahlung eines schwarzen
Körpers ist durch die Angabe einer einzigen Größe, der Temperatur T , bereits vollständig bestimmt.
Erst das Studium der Abweichungen (Spektralanalyse) von dieser Strahlung liefert die Grundlage der
Sternklassifikation.
Wir definieren dazu noch folgende Temperaturen:
1. die effektive Temperatur, Teff,
Teff =
�
4 L
4πR2σ als diejenige Temperatur, die der Stern haben müßte, um als schwarzer Körper (mit Radius R)
die bolometrische Leuchtkraft L zu ergeben.
2. die Farb Temperatur, Tcol,
λmaxTcol = 0.29 cm K
durch das Maximum der Strahlung bzgl. der Wellenlänge λ aus dem Wienschen Gesetz für
Schwarzkörperstrahlung. Da kein Körper im thermodynamischen Gleichgewicht stärker strahlt
als der schwarze, ist stets Teff < Tcol.
Die erste Definition setzt voraus, daß der Radius des Sterns bekannt ist, die zweite, daß es sich um
Schwarzkörperstrahlung handelt. Beides gilt für Sterne nur näherungsweise.
4.4.2 Die Harvard-Klassifikation der Sterne
Überblick
Rein empirische Grundlage der Klassifikation sind die Linien der Sternatmosphären. Die verschiedenen
Sterntypen werden mit grossen Buchstaben des Alfabets bezeichnet, die Hauptsequenz mit: O,
B, A, F, G, K, M. Bei K verzweigen die Klassen in C (Carbon-stars, welche nochmals in R und N
unterteilt werden) und S.
Merksatz: Oh be a fine girl kiss me right now - smak.
Die verschiedenen Klassen werden durch Zahlen von 0 bis 9 nochmals unterteilt.
• ANMERKUNG (BESONDERE MERKMALE MASSEARMER STERNE)
Die kühlen Sterne zeigen bereits Moleküle in ihren Spektren:
M-Sterne: haben TiO und H2O (Banden bei λ = 1.4µ 1.9µ und 2.7µ).
S-Sterne: ZrO und LaO.
R-Sterne: CN und CO (kein TiO).
N-Sterne: wie R, zusätzlich C2.
Unsere Kenntnis sehr leuchtarmer Sterne ist durch das HST auf eine neue Grundlage gestellt worden.
Um diese adäquat zu beschreiben wurde am leuchtschwachen Ende die Sternklassifizierung geändert
in
O, B, A, F, G, K, M, L, T
Merksatz: Oh be a fine girl kiss my lips - top.
Für die Bestimmung der wahren Leuchtkräfte muß der Einfluß der Erdatmosphäre berücksichtigt werden.
Strahlung zwischen 3000 ˚A und 1 µ (10000 ˚A) kann die Erdatmosphäre ungeschwächt passieren.

264 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Dies ist der Bereich der klassischen Astronomie, in dem praktisch alle Beobachtungen bis 1945 gemacht
wurden.
Die Ränder des optischen Fensters werden durch die Absorption von Molekülen (Banden von OH)
bestimmt. Im Blauen durch Ozon (ab λ < 3000 ˚A durch Bandenabsorption in einer Höhe von 20 km
bis 60 km), O2 und N2 (ab λ < 2000 ˚A durch Absorption). Atomares O und N werden ab λ < 1000 ˚A
wichtig.
Die Ionospäre (F Schicht) wird zwischen 250 km und 350 km durch die Ionisation von O (ab λ < 900
˚A) erzeugt. Röntgenstrahlung wird erst zwischen 50 km und 150 km absorbiert.
Im (infra)Roten wird (ab λ > 10000 ˚A) durch die Moleküle H2O und CO2 (und ebenfalls durch
Banden von O2 und N2) die Erdatmosphäre undurchläßig. Die Fraunhoferlinien A (7594 ˚A) und B
(6868 ˚A) zählen dazu. Für schwache Quellen wie Quasare stört aber bereits das Luftleuchten (air glow
= Emissionslinien des Nachthimmels), welches ab λ > 7000 ˚A bedeutsam wird. Es handelt sich
hierbei um Linienstrahlung (Banden von OH) photochemischer Prozesse und der Rekombination (von
O und H). Die stärkste Linie ist die λ = 5577 ˚A Linie des angeregten O ∗ (grün). Es handelt sich um
einen verbotenen 1 S → 3 D Übergang mit einer Dauer von τ = 0.74 s (el. Quadrupol). Die Anregung
kommt aus einem Dreierstoß
O + O + O → O2 + O ∗
Diese Linie kommt auch im Polarlicht vor und wurde erstmals von ˚Angström dort nachgewiesen.
Daneben gibt es noch Linien bei 6300 und 6364 ˚A (rot).
Der Photonenfluß wird in Rayleigh gemessen
1Rayleigh = 10 6 Photonencm −2 s −1
(4.238)
Die natürliche Einheit für den Photonenfluß durch die Erdatmosphäre ist das Kilo Rayleigh (1 kR
= 109 Photonen cm−2 s−1 ). Zum Vergleich der relativen Bedeutung
gibt nebenstende Tabelle Helligkeiten verschiedener Quel- Strahlungsdichten der Erdatmosphäre
len.
Objekt Photonenfluss
Neben den bereits erwähnten Linien gehören auch die beiden Na
D-Linien (5890 und 5896 ˚A, gelb) zum Luftleuchten (engl. air
Sonne 6 · 10
glow). Die Strahlungsdichte erhält man daraus (unter Annahme
von Isotropie) durch Multiplikation mit 4π.
Das Nachtleuchten (engl. night glow) im IR wird dominiert von
OH (Meinel-Banden). Die wichtigste Anregung kommt von der
Sonne, man findet eine Modulation mit der Rotationsperiode der
Sonne von 27 Tagen.
13 Vollmond
kR
1 · 108 kR
Polarlicht
Nachtleuchten opt.
Nachtleuchten IR
1 bis 1000 kR
0.5 kR
4.5 · 103 Sternleuchten
kR
0.4 kR
Tab. 4.9: Leuchten der Erdatmosphäre
Wir ersehen aus der Tabelle, daß die Erde ein alles andere als günstiger Beobachtungsort ist.
Spektralklassifikation
Die Harvard Spektralklassifikation klassifiziert die Sterne in einer eindimensionalen Sequenz, geordnet
nach fallender Temperatur.
Harvard Spektralklassifikation.
Klassifikationskriterien sind
O
das Auftreten (Frequenz) und
die Stärke (Intensität und Linienbreite)
Blau
bestimmter Eichlinien.
✲ B ✲ A ✲ F
Gelb
✲ G ✲ K
❅
❅❘
Rot
��✒
S
R ✲ ✲ M
N
O–Sterne sind heiß (T = 20000 . . . 35000 K, Farbe: Blau) und zeigen Linien des ionisierten Heliums, M–Sterne
dagegen sind so kalt (T ≈ 3000 K, Farbe: Rot), daß bereits Moleküllinien (TiO oder Wasserdampf, H2O) im
Spektrum auftreten. Bei den O-Sternen beginnt die Klassifikation bei 5, also O5, bei den M-Sternen bei M6.

4.4. DIE STERNE: LEUCHTKRAFT UND TEMPERATUR 265
Zur feineren Klassifikation werden die einzelnen Sternlassen nochmals dezimal unterteilt: 0 . . . 9 (nach
abnehmender Temperatur). Also z. B. B0, B1 . . . B9, A0, A1 . . . A9 usw. Die Sonne ist in diesem
Klassifikationsschema ein G2 Stern.
Die Leuchtkraft als zweiter Parameter
Da zur vollständigen Klassifikation eines Sterns, wie wir vom HR–Diagramm (s.u.) lernen, zwei Parameter
notwendig sind, muß die Harvard Sequenz durch einen weiteren Parameter ∗ ergänzt werden. Als
zweiten Parameter hat man deshalb die Leuchtkraft L bzw. die Linienintensitäten (bestimmter Linien)
gewählt. Die Yerkes Klassifizierung kennt folgende † Klassen:
I Überriesen II helle Riesen III Riesen IV Unterriesen
V Hauptreihe (Zwerge und normale Hauptsequenz)
VI Unterzwerge VII weiße Zwerge
Die Sonne ist in diesem Klassifikationsschema ein G2V Stern.
Daneben klassifiziert man weitere Besonderheiten mit kleinen Buchstaben:
n = besonders diffuse Linien (nebulous)
s = besonders scharfe Linien (sharp)
e = zusätzlich Emissions-Linien (emission) Be
f = Unterklasse der O Sterne mit Emissions-Linien Of
m = zusätzlich Metall-Linien (metal) Am
p = zusätzlich besondere Linien (peculiar) Ap
Sieht man von der chemischen Zusammensetzung einmal ab, dann ist ein Stern durch die Harvard
Spektralklassifikation eindeutig bestimmt und damit ist seine Leuchtkraft bekannt. Darauf beruht die
Möglichkeit der spektroskopischen Entfernungsbestimmung. Etwa 1% aller Sterne fallen nicht in dieses
Schema.
• ZUSATZ (AUSNAHMEN)
Beispiele für Ausnahmen sind:
1. W Sterne (Wolf-Rayet Sterne) mit Untertyp WN und WC,
2. variable Sterne (Cepheiden, RR-Lyrae),
3. Zentralsterne planetarer Nebel (Nova-Überrest),
4. south preceding star im Krebsnebel (Supernova-Überrest) und Geminga.
Synopsis
Zum quantitativen Verständnis der Spektralklassifikation der Sterne benötigt man:
Linienbreite (quantifiziert durch die Äquivalentbreite)
Anregungsbedingung (Temperatur, Dichte, chemische Zusammensetzung)
Linienprofil (Symmetrie, Tiefe)
Mit diesen Parametern kann man in die Strahlungstransportgleichung eingehen und versuchen, ein
Modell der Sternatmosphäre zu entwickeln.
∗ Zur vollständigen Klassifizierung ist ein Parameter nicht ausreichend weil Sterne in verschiedenen Entwicklungsstadien
identische Spektren (Spektralindizes) haben und doch ganz verschieden sein können.
† Überriesen werden nochmals in Ia, Iab, Ib, weiße Zwerge nochmals in DA und DB unterteilt.

266 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
4.4.3 Helligkeit und Farbe der Sterne
Eine Spektralanalyse ist jedoch sehr aufwendig und kann bei lichtschwachen Sternen oft gar nicht
durchgeführt werden. Deshalb nimmt man alternativ (und weniger genau) den Farbindex zuhilfe und
bestimmt daraus Teff, s. u.
Für die Leuchtkraft eines Sterns erhält man dann in gröbster Näherung aus dem Stefan-Boltzmann
Gesetz
Φ = σT 4
wobei σ die Stefan-Boltzmann Konstante
σ = π2k4 B
60¯h 3 = 5.669 · 10−5
c2 (4.239)
g s −3 K −4 (4.240)
Φ die Flächenhelligkeit (Strahlungsfluß senkrecht zur Fläche), und T die Temperatur bedeuten. Für
Sterne mit dem Radius R ist die Fläche 4πR 2 und demnach ist
L = 4πR 2 σT 4
die Leuchtkraft.
Die astronomischen Masseinheiten und Bezeichnungen sind die wahre Helligkeit f,
f = L
4πD 2
die absolute Helligkeit M
M = m − 2.5 log
�
D
10pc
�2 und die scheinbare Helligkeit m
(4.241)
(4.242)
(4.243)
m = A1 − 2.5 log f (4.244)
eines Sterns. Dabei wird definiert für zwei Quellen 1 und 2
f1
f2
= 100 1
5 (m2−m1) = (2.512) m2−m1 (4.245)
mit der Umkehrung
und
m1 − m2 = −2.5 log f1
f2
(4.246)
m − M = 5 log (D/pc) − 5 (4.247)
d. h. M ist die scheinbare Helligkeit eines Sterns in 10 Parsec Entfernung.
• DEFINITION (DAS UBV HELLIGKEITSSYSTEM)
Die scheinbare Helligkeit der Sonne in 10 Parsec Entfernung beträgt nur MV = 4.79, die hellsten Sterne der Milchstraße
erreichen MV = −6.5.
Zur Festlegung von A1 (d. h. des Nullpunkts der Helligkeitsskala in Glchg. (4.244)) wurden ursprünglich besonders genau

4.4. DIE STERNE: LEUCHTKRAFT UND TEMPERATUR 267
vermessene Sterne in der Nähe des Pols herangezogen (sog. Polsequenz).
Mit dem Aufkommen der Photoplatte wurden, je nach Spektralbereich, verschiedene
Helligkeitssysteme definiert. Hier sind die wichtigsten (Johnson
u. Morgan, 1953) in die folgende Tabelle aufgenommen, zusammen mit
Beispielen für die Sonne und Wega. Es bedeutet
U: Ultravioletthelligkeit,
B: Blauhelligkeit,
V: Visuelle Helligkeit.
Ferner ist λeff die Frequenz der maximalen Empfindlichkeit und Dλ die
Breite des Frequenzfilters. Der relative Energiefluß der Sonne im Frequenbereich
Dλ um λeff ist in Prozent angegeben: 100 ∆L⊙
. Dgl. ist in der
L⊙
Das UBV Helligkeitssystem
Band λeff ∆λ ∆L/L f
˚A ˚A Sonne Wega
U 3650 660 4.77 % 1780 Jy
B 4450 940 10.1 % 4000 Jy
V 5510 880 10.1 % 3600 Jy
Tab. 4.10: UBV Helligkeitssystem
letzten Spalte f die wahre Helligkeit für Wega (in Jansky). Die Leuchtkraft der Sonne ist L⊙ = 3.9 · 10 33 erg s −1 .
Mittlerweile gibt es viele verschiedene Eichsysteme, auf die wir nicht näher eingehen wollen. Im Johnson u. Morgan System
sind die Grundlage hierfür 10 ausgewählte Eichsterne (s. z.B. Lang, Table 64, p560).
Es gilt dann (in diesem System) für die Umrechnung Leuchtkraft L aus absoluter Helligkeit M = Mbol
L = 3.02 · 10 35 · 10 −0.4M erg s −1 (4.248)
mit der Umkehrung
Mbol = 4.72 m − 2.5 m lg(L/L⊙) (4.249)
Für die Umrechnung wahre Helligkeit f aus scheinbarer Helligkeit m
f = 2.52 · 10 −5 · 10 −0.4m erg cm −2 s −1 (4.250)
• BEISPIEL (α–CENTAURI UND WEGA)
α–Centauri ist ein G2 V Stern und Wega ein A0 Stern. Beide haben mbol = 0. Ein solcher Stern 0. Größe hat also einen
Energiefluß von f = 2.52 · 10 −5 erg cm −2 s −1 . Um daraus die Leuchtkraft von α–Centauri zu erhalten, ist mit (D/10) 2
zu multiplizieren, D ≈ 1 pc und man erhält L = L⊙. Die Sonne ist ebenfalls ein G2 V Stern. Wega ist weiter entfernt und
hat (als A0 Stern) L = 54L⊙.
Unter Zuhilfenahme des Wienschen Gesetzes (also für Violett und für nicht zu hohe Temperaturen)
kann man B − V auf die Temperatur eines Sterns, T , umrechnen. Im kurzwelligen Bereich ist die
Wiensche Näherung für die Sternstrahlung ausreichend
Bλ(T ) = 2hc2
e−hc/λkT
λ5 mit hc/k = 1.4388 cm K.
Als Farbindex, F I, definiert man allgemein das entfernungsunabhängige Verhältnis der wahren Helligkeiten
für zwei Wellenlängen λ1 und λ2
F I = mλ1 − mλ2 = −2.5 log(Bλ1/Bλ2)
als Differenz ihrer Magnitudines bzw. als Logaritmus aus dem Quotient der Flüsse, welches (mit mit
der Umrechnung 2.5logx = 1.086lnx) auf die Relation
F I = 12.5(log λ1 − log λ2) + 1.086 · hc
kT
� 1
λ1
− 1
�
λ2
führt.
Als nützliche Farbindizes betrachtet man B − V = mB − mV und U − B = mU − mB. Sie sind so
festgelegt, daß für A0 Sterne der Index F I = 0 gilt. Für kühlere Objekte ist dann B − V positiv, für
heißere negativ.

268 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
In Zahlen ausgedrückt und für die visuelle Helligkeit V (max Empfindlichkeit bei 5550 ˚A) und die
Blauhelligkeit B (max Empfindlichkeit bei 4350 ˚A) liefert das die Näherungsformel zur Bestimmung
der Temperatur T aus dem Farbindex F I = B − V
T =
15000
1 + 2.15 · (B − V )
Dabei entspricht größeres B − V kleineren Temperaturen.
Für die Sonne ist
damit gilt dann
L = 10 0.4·(4.79−M) L⊙
Kelvin (4.251)
L⊙ = 3.9·10 33 erg s −1
f⊙ = 1.36·10 6 erg cm −2 s −1 Solarkonstante
V⊙ = -26.78 U − B = 0.10 B − V = 0.62
MV = 4.79 BC = −0.07
(4.252)
dabei ist M die visuelle Helligkeit. Die Differenz zwischen absoluter visueller Helligkeit und absoluter
bolometrischer Helligkeit
Mbol = MV + BC
beträgt für die Sonne BC = −0.07 und damit gilt
Lb = L(Mb) = 10 0.4·(4.72−Mb) L⊙
wenn M = Mb die bolometrische Helligkeit ist.
• FORMELN (UMRECHNUNG IN CGS-EINHEITEN)
Umrechnung Leuchtkraft L aus absoluter Helligkeit M
(4.253)
L = 3.02 · 10 35 · 10 −0.4M erg s −1 (4.254)
Umrechnung wahre Helligkeit f aus scheinbarer Helligkeit m
f = 2.52 · 10 −5 · 10 −0.4m erg cm −2 s −1 (4.255)
4.4.4 Die Masse der Sterne.
Die lebenden Sterne beziehen ihren Druck aus der Thermik, diese bestimmt also ihre Masse. Wir
überlegen qualitativ, in welchem Massebereich wir leuchtende Sterne erwarten.
1. Die minimale Masse.
Die minimale Masse ist dadurch gegeben, daß im Zentrum des Sterns noch Kernfusion möglich ist.
Wegen der extremen Temperaturabhängigkeit des Tunneleffekts bedeutet dies, wie erst später gezeigt
wird, etwa 10 Millionen Grad Zentraltemperatur. Falls der Stern vor Erreichen dieser Temperatur bereits
entartet ist, d. h. seinen Druck aus dem Pauli Prinzip bezieht, kann der Stern offensichtlich ‡ nicht
brennen. Wir führen später die Überlegungen wesentlich genauer aus, hier nur eine erste Orientierung.
Dazu betrachten wir ein kaltes Gas mit der Teilchenzahldichte n und lassen dieses unter Einfluß der
Gravitation schrumpfen. Damit das Gas wenigstens ionisiert werden kann, muß die Ionisationsenergie
von H überwunden werden: sei r der mittlere Abstand zweier H-Atome
r ≈ RN −1/3 ≈ n −1/3
‡ Im Prinzip wären auch pykonukleare Reaktionen bei Entartung möglich.

4.4. DIE STERNE: LEUCHTKRAFT UND TEMPERATUR 269
und R der Radius des Sterns mit N Atomen. Dann muß
mVgrav ≈ µe ≈ kT
gelten, d. h. damit im Zentrum die Temperatur T herrschen kann, muß etwa
Gm 2 pN
R
= kT = µe
gelten. Hier ist µe das chemische Potential des Elektronengases.
Wir eliminieren R und erhalten als Bedingung
Nmin ≈ α −3/2
�
kT
G
n1/3 �3/2 ¯hc
für die Anzahl der Teilchen Nmin, wobei wir mit αG
αG = Gm2 p
¯hc
= 5.9 · 10 −39
die gravische Feinstrukturkonstante (für Protonen) definiert haben.
Die hier auftretende Größe N
N = α −3/2
G
= 2.2 · 10 57
(4.256)
(4.257)
(4.258)
ist charakteristisch für alle Sterne.
Entartung tritt ein, falls µe etwa von der Größenordnung der gaskinetischen Energie ist, µe = kT , und
das liefert die Dichte
n ≈
� ¯h 2
mekT
� 3/2
Wir erhalten, wenn wir dies einsetzen (in die Formel (4.256))
Nmin ≈ α −3/2
�
kT
G
mec2 �3/4 = 0.02 · T 3/4
7 N⊙ (4.259)
Das sind etwa 20 Jupitermassen.
Wegen der extremen Temperaturabhängigkeit hört die pp-Reaktion hier allerdings schon bei He3 auf.
Sterne so geringer Masse, sog. braune Zwerge, sozusagen Superplaneten, sind mittlerweile mit dem
HST entdeckt worden.
2. Die maximale Masse.
Hydrostatisches Gleichgewicht ist in der Newtonschen Theorie für Sterne beliebig grosser Masse
möglich. Die maximale Masse heißer Sterne wird durch Stabilitätsüberlegungen bestimmt. Es muß
γ > 4/3 gelten, wobei der adiabatische Index (S = const)
� �
ρ
γ =
P
� �
∂P
∂ρ S
ist. Für ein System aus idealem Gas + Photonen liefert das die Bedingung Pkin > Pphot und das
wiederum M < 50M⊙.
Die maximale Masse kalter, entarteter Sterne wird durch die ART bestimmt. Es handelt sich hierbei um
Neutronensterne mit maximaler Masse von höchstens 3 M⊙. Der Druck stammt von relativistischen
Neutronen. Um ihre Masse mithilfe von Fundamentalkonstanten schreiben zu können, führen wir statt

270 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
der gravischen Feinstrukturkonstante für Protonen, αG, Glchg. (4.257) und der entsprechenden Teilchenzahl
des Sterns, Glchg. (4.258) die Planck-Masse wie folgt ein:
d. h.
Gm 2 P
¯hc
m P =
= 1
�
¯hc
G
� 2.2 · 10−5
g (4.260)
Damit können wir die maximale Masse für einen weißen Zwerg wie folgt schreiben:
M = mp
� �2
2Z
A
� �2 mP
= 1.457M⊙
mp
Für einen Neutronenstern gilt in der Newtonschen Theorie
M = f mn
� �
mP
2
mn
= f 5.73M⊙
mit f = 1, währen die ART (und die Kernphysik) etwa f = 0.5 liefert.

4.4. DIE STERNE: LEUCHTKRAFT UND TEMPERATUR 271
4.4.5 Das Hertzsprung-Russell Diagramm
Eine verläßliche Identifikation der Sterne liefert erst die Harvard Spektral - Klassifikation. Dazu ist
allerdings die Aufnahme eines Spektrums Bedingung, was bei vielen Sternen mühsam und bei leuchtschwachen
Sterne gar nicht möglich ist. In diesem Falle hilft das Hertzsprung-Russell Diagramm weiter.
Der Zusammenhang zwischen Temperatur und Leuchtkraft (das Hertzsprung-Russell Diagramm) ist
rein empirisch gefunden worden und stellt eines der wichtigsten Instrumente des Astronomen dar.
Im UBV System sind insgesamt vier Messungen nötig: mbol für die Gesamtleuchtkraft und drei mit
vorgeschaltetem Filter. Damit wird der Fluß ma in den Bereichen a = U (Ultraviolett), a = B (Blau),
und a = V (Visuell) bestimmt. Insbesondere für leuchtschwache Sterne einheitlicher Entfernung stellt
dies oft die einzige Möglichkeit dar, noch Information zu gewinnen.
Temperatur und Leuchtkraft
Der Italiener Angelo Secchi, (päpstlicher Astronom, 1818 -1898) begründet (1860) die Spektroskopie
der Sterne und beginnt eine Klassifizierung der Spektren nach Absorptionslinien. Er kennt drei Typen
von Sternen: weiße, gelbe (Sonne) und rote.
Der Engländer Huggins, (1824 - 1910) identifizierte die Wasserstofflinien in den Sternspektren. Er entdeckte
als erster (1864) Emissionslinien der Nebel. Damit war die gängige Ansicht widerlegt, daß es
gar keine eigentlichen Nebel gebe, sondern nur nichtaufgelöste Sternhaufen. Planetare Nebel (so genannt
wegen ihres scheibenförmigen Aussehens) sind echte Gasnebel. Mit selbstkonstruiertem Sternspektroskop
wird er Pionier der Astro–Photometrie. Er war der erste, der das Dopplerprinzip zur Messung
von Radialgeschwindigkeiten benutzte (1868 an Sirius).
Der Amerikaner Draper, (1837 - 1882) machte 1840 das erste Astro–Photo (auf Daguerre Platte vom
Mond) und legt auf Photoplatten einen Katalog (von heute 225.000 Spektren; Bezeichnung: HD) an.
Hertzsprung und Russel sind in der Lage, den Einfluß der Entfernung auf die Leuchtkraft zu berücksichtigen
und finden so den Zusammenhang zwischen Spektraltyp und Leuchtkraft (H-R-Diagramm).
Hertzsprung, (1873 - 1967) benutzt 1905 dazu Riesen- und Zwergsterne in Sternhaufen, während
Russell, (1877 - 1957) dazu 1913 die von ihm selbst besonders genau trigonometrisch vermessenen
Sterne benutzt.
Trägt man — wie es erstmals Hertzsprung und Russel getan haben — als Ordinate die (entfernungsabhängige)
Leuchtkraft Mv und als Abszisse B − V – als (entfernungsunabhängiges) Maß für die
Temperatur – in einem Diagramm auf, so stellt man fest, daß es ganz bestimmte Gesetzmäßigkeiten
für die Sterne gibt. Die meisten liegen in einem schmalen Band: der sog. Hauptreihe.
Die Breite des Bandes wird durch die chemische Zusammensetzung (mittleres Molekulargewicht) der
Sternmaterie wesentlich beeinflusst, welche sich im Laufe der Sternentwicklung ändert, sodaß man
genauer Zero Age Main Sequence (ZAMS) und Termination Age Main Sequence (TAMS) angeben
müsste. Die Breite nimmt mit wachsender Temperatur zu, sie beträgt für 4000 K nur wenig %, macht
für die Sonne etwa 1 m und für O Sterne schon einen Faktor 10 in der Leuchtkraft aus. Ein O5 Stern hat
im Mittel Te = 44000 K.
Die Breite des Bandes wird ebenfalls durch nicht aufgelöste Begleitsterne beeinflusst.

272 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR
Hauptreihe
Typ Mv B − V BC Te Tc Mb log(L) R M
10 3 K 10 3 K log(L⊙) R⊙ M⊙
O5 −6.0 −0.45 −4.60 35.0 70.0 −10.6 6.13 19.3 40
B0 −3.7 −0.31 −3.00 21.0 38.0 − 6.7 4.56 9.0 18
B5 −0.9 −0.17 −1.60 13.5 23.0 − 2.5 2.88 4.3 6.5
A0 0.7 0.00 −0.68 9.7 15.4 0.0 1.88 3.01 3.2
A5 2.0 0.16 −0.30 8.1 11.1 1.7 1.20 2.00 2.1
F0 2.8 0.30 −0.10 7.2 9.0 2.7 0.80 1.70 1.7
F5 3.8 0.45 −0.00 6.5 7.6 3.8 0.37 1.50 1.3
G0 4.6 0.57 −0.03 6.0 6.7 4.6 0.05 1.20 1.1
G5 5.2 0.70 −0.10 5.4 6.0 5.1 −0.15 1.00 0.93
K0 6.0 0.84 −0.20 4.7 5.4 5.8 −0.43 0.89 0.78
K5 7.4 1.11 −0.58 4.0 4.5 6.8 −0.83 0.83 0.69
M0 8.9 1.39 −1.20 3.3 3.8 7.6 −1.15 0.70 0.47
M5 12.0 1.61 −2.10 2.6 3.0 9.8 −2.03 0.43 0.21
Mv: absolute visuelle Helligkeit, Mb: absolute bolometrische Helligkeit,
B − V = F I Farb Index, BC bolometrische Korrektion,
Te effektive Temperatur, Tc Farb - Temperatur in Einheiten 1000 K
Tab. 4.11: Hauptreihe: Temperatur und Leuchtkraft

4.4. DIE STERNE: LEUCHTKRAFT UND TEMPERATUR 273
Die Masse - Radius Beziehung
Ein einfacher Fit der Beobachtungsdaten ergibt als Masse - Radius Relation
�
R ∼
und für die Leuchtkraft
L ∼ M 3.5
M 0.6 M > M⊙
M 0.9 M < M⊙
(4.261)
(4.262)
Genauere Werte für Sterne der Hauptreihe (Leuchtkraftklasse V) sind in Tab. 4.12 zusammengestellt.
Leuchtkraftklassen
Typ L M R ρ g
O5 8·10 5 60 12.6 0.01 0.13
A0 54 2.9 2.4 0.18 0.47
F5 3.2 1.4 1.3 0.80 1.00
K0 0.4 0.8 0.85 1.3 1.10
M5 0.008 0.2 0.27 6.3 2.0
Alle Einheiten sind auf die Sonne bezogen, mit folgenden Werten:
M: Masse , M⊙ = 1.989 · 10 33 g, R: Radius, R⊙ = 6.959 · 10 10 cm,
L: Leuchtkraft, L⊙ = 3.9 · 10 33 erg s −2 , ρ: mittlere Dichte, ρ⊙ = 1.409 g cm −3 ,
g: Fallbeschleunigung an der Oberfläche, g⊙ = 2.740 · 10 4 cm s −2 .
Tab. 4.12: Hauptreihe: Masse - Radius Beziehung
Ein Vergleich verschiedener Leuchtkraftklassen liefert für A0 - Sterne
Klasse L R
V 54 2.4
III 106 5
I 3.5·10 4 60
Alle Einheiten sind wieder auf die Sonne bezogen.
Tab. 4.13: Leuchtkraftklassen
Zusammenfassung:
Beobachtete Hauptreihensterne variieren in der Masse in einem sehr engen Bereich, von 0.08M⊙ bis etwa
50M⊙; in der Leuchtkraft allerdings über neun Zehnerpotenzen, von 10 −3 L⊙ bis etwa 10 6 L⊙.
Sterne gleichen Spektraltyps (d. h. gleiche Temperatur in der Photoshäre) unterscheiden sich durch ihre Leuchtkraftklasse.

274 KAPITEL 4. THERMODYNAMIK: TEMPERATUR

Kapitel 5
Hydrodynamik
Sternmodelle
5.1 Grundlagen
Die Physik der Sterne führt, wie wir sehen werden, durch die langreichweitige Gravitation auf einige
Besonderheiten, die den Hauptsätzen der Thermodynamik zu widersprechen scheinen. Sterne gewinnen
Energie, wenn sie komprimiert werden (Helmholtz, Kelvin) und verringern ihre Entropie.
5.1.1 Physik der Sterne
Die Grundlagen zur Beschreibung der Physik der Sterne sind Hydrodynamik (für dem makroskopischen
Aufbau), Thermodynamik und Kernphysik (mikroskopische Energieversorgung und Druck).
1. Die Thermodynamik.
Die Hauptsätze der Thermodynamik sind allgemein gültig und können unverändert in die Spezielle
Relativitätstheorie (SRT) bzw. die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) übernommen werden.
Sie liefern den Zusammenhang von Dichte, Druck und Temperatur und die Abhängigkeit
der Materialfunktionen wie Opazität und Energieerzeugungsrate von diesen Variablen.
2. Die Hydrodynamik.
Sie liefert die Bewegungsgleichung und den Energiesatz der Sterne. Diese können mit der Newtonschen
Theorie behandelt werden, solange wie ihr Druck aus der Kernfusion stammt. Tote (d.
h. entartete) Sterne benötigen die Allgemeine Relativitätstheorie (ART).
3. Die Kernphysik.
ist bisher phänomenologischer Natur. Sie liefert die Gleichungen der Energieerzeugung durch
Kernfusion. Sterne auf der Hauptreihe verbrennen Wasserstoff zu Helium. Da das Ausgangsmaterial
der Sterne (in allen bekannten Wolken) Wasserstoff, H, ist, bildet die Fusion von H zu He
den wichtigsten Fusionsprozeß.
Bei Thermodynamik und Kernphysik reichen lokale Überlegungen, den globalen Aufbau liefert die
Hydrodynamik durch Einbeziehung der langreichweitigen Gravitation. Bisher unerreichtes Endziel
der Astrophysik ist es, das Leben eines Sterns, von der Geburt in einer Molekülwolke an, durch alle
Stadien der Entwicklung hindurch, bis zum Tod zu verfolgen.
Ein wichtiger Parameter, der von der Kosmologie und der Entwicklung der Galaxie, in der der Sterns
sich befindet, geliefert wird, ist die chemische Zusammensetzung des Ausgangsmaterials (H, He, etc.)
des Sterns (der Wolke). Ebenfalls wichtig ist, nach dem Verlassen der Hauptreihe, der Massenverlust.
275

276 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
In diesem Kapitel betrachten wir zunächst nur diejenigen Aspekte der Hauptreihensterne, die analytisch
behandelt werden können und setzen die Kenntnis der chemischen Zusammensetzung voraus. Die
zugrunde liegenden physikalischen Prinzipien stehen dabei im Vordergrund.
5.1.2 Kompendium
Physik der Sterne
Die folgenden Abschnitte fassen die drei oben besprochenen wichtigsten Aspekte, nämlich
1. das hydrostatische Gleichgewicht eines Sterns (Masse, Radius), und
2. seine dynamischen Sternpulsationen (Stabilität), und
3. die Gleichungen der Energieerzeugung durch Kernfusion (Leuchtkraft).
zusammen. Es handelt sich dabei um ein Kompendium der Physik der Sterne zum Nachschlagen. Die
Herleitung der Gleichungen und ihre Anwendung auf Sterne und Planeten folgen später.
Qualitativ kann man aber auch ohne Rechnung zu drei wichtigen Aussagen über Sterne und ihr zeitliches
Verhalten gelangen. Diese betreffen innere Temperatur (Lanesches Gesetz), die beim Schrumpfen
freigesetzte Leuchtkraft eines Sterns (Helmholtz-Kelvin) und die Pulsperiode (Eddington).
Nach dem Virialsatz gilt
1
2 < Ï > = 2 < Uint > + < Ugrav > (5.1)
Der erste Term ist die makroskopische Energie des Sterns (Pulsation), wobei
N�
I = mjr
j=1
2 j
ist, der zweite die mikroskopische (kinetische) Energie seiner N Teilchen
N�
2 < Uint > = mj�v
j=1
2 j
und der letzte Term ist die Gravitationsenergie
< Ugrav > = −G
N�
i,j=1
mimj
|�rij|
Ein statischer Stern befindet sich in einem lokalen Minimum der Energie. Seine Gestalt ist eine Kugel
(Gravitation), kleine Auslenkungen ändern die Grundgrößen nur um qua-
dratische Terme. Daraus folgt, daß solche Änderungen adiabatisch sind.
Die nebenstehende Tabelle vergleicht die Daten für einen Weißen Zwerg
(WD) und einen Neutronenstern (NS) mit denen der Sonne. Die Bin-
Daten zu Sternen
Masse etwa 1 M⊙
Stern Radius Dichte
dungsenergie
GM 2
Ubind ≈ = ɛMc2
R
der drei Sternarten beträgt, mit diesen Werten und in Einheiten der Ruhmassenenergie
ɛ = 2.5dex(-6) für die Sonne,
cm g cm
ɛ = 2.5dex(-4) für einen WD
−3
Sonne 7 · 10 10 WD 7 · 10
1.4
8 1.4 · 106 NS 1 · 106 4 · 1014 und ɛ = 0.3 für einen NS.
Tab. 5.1: Stern-Daten
Es folgen einige Anwendungen dieser sehr allgemeinen Überlegungen und Formeln. Die genauen
Rechnungen schließen sich an.
(5.2)
(5.3)
(5.4)

5.1. GRUNDLAGEN 277
• FORMELN (HELMHOLTZ-KELVIN SCHRUMPFLEUCHTKRAFT)
Als erstes betrachten wir das Schrumpfen eines Sterns, Ëpuls = 0. Dann gilt
2 < Uint > + < Ugrav > = 0 (5.5)
Von der gravischen Energie kann nur die Hälfte abgestrahlt werden, die andere Hälfte geht in innere Energie bei der
Kompression des Gases, also gilt für die Leuchtkraft L, die beim Schrumpfen freigesetzt wird,
L = − ˙ E = −1 GM
2
2
R2 ˙R (5.6)
Diese Formel gilt auch für einen akkretierenden Sterne (wie ein Weißer Zwergoder ein Neutronenstern), wobei die Energie
aus der Scheibe stammt. Die restliche Bindungsenergie wird beim Aufprall auf den entarteten Stern freigesetzt.
Die typische Halbwerts-Zeit, in der der Radius schrumpft, heißt
tHK = E
L
= GM 2
2RL
= − R
2 ˙ R
Für die Sonne erhält man mit den beobachteten Werten für M und L etwa
tHK ≈ 30My = 3 · 10 7
(5.7)
Jahre (5.8)
• FORMELN (PULSATIONSPERIODE EINES STERNS)
Für kleine Auslenkungen aus der Ruhelage ist die Änderung der Energie eines Sterns, der sich im hydrostatischen Gleichgewicht
befindet, proportional zum Quadrat der Amplitude. Wir setzen für die Pulsamplitude
ξ = δ sin(ωt) und definieren I ≈ MR 2
für das Trägheitsmoment und betrachten den Energiesatz für die Pulsation eines Sterns, also im zeitlichen Mittel Epuls =
Eint mit
Epuls = 1
2 M( ˙ ξ) 2
und (Gravitation und Thermik zusammengefasst)
Eint = U ′′ δ 2 mit U =
GM 2
2R
so können wir dies auch wie folgt als Osizillation schreiben
Ï = ω 2 I mit ω 2 = R3
GM
Ersetzen wir die Masse M durch die mittlere Dichte, ρ, so erhalten wir mit einem Faktor fpuls
(5.9)
(5.10)
(5.11)
(5.12)
1
τ = fpuls √ mit ωτ = 1 (5.13)
Gρ
in Zahlen - für die Sonne - τ⊙ = 1 h mit fpuls = 1. Für eine homogene Kugel ist
fpuls = √ 3π (5.14)
Diese heuristische Herleitung liefert die richtige Größenordnung, die korrekte Schwingungsgleichung (Eddington, 1918)
lautet
− ω 2 ρξ =
�
γP
r2 (r2ξ) ′
� ′
−
′ 4P
ξ (5.15)
r

278 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
• FORMELN (DAS LANESCHE GESETZ)
Schließlich können wir die mittlere Temperatur abschätzen: die Relationen
Uint = 1
2 Ugrav und Uint = 3
NkT (5.16)
2
liefern RT = const, das Lanesche Gesetz, oder, mit dem mittleren Molekulargewicht ˜µ und in Zahlen
T = 4 · 10 6 � �2/3 M
˜µ ρ
M⊙
1/3 K (5.17)
Für die Kernfusion ist nicht die mittlere Temperatur wesentlich, sondern die Temperatur im Zentrum des Sterns.
Mit dem einfachen Eddingtonschen Modell (Polytrope zum Index s = 4/3)
P ∝ ρ 4/3
und T ∝ ρ 1/3
folgt für das Verhältnis ρc/¯ρ in diesem Fall, wie später gezeigt wird, ρc/¯ρ = 54. Damit erhält man für die Sonne in etwa
den korrekten Wert von Tc = 15 · 106 Kelvin und somit
Tc = 15 · 10 6 � �2/3 M
˜µ ρ
M⊙
1/3 K (5.19)
Ein Stern muß schrumpfen, um seine Temperatur Tc zu erhöhen (um weitere Fusionsreaktionen in Gang setzen zu können).
5.1.3 Hydrostatisches Gleichgewicht
Zuerst wird die hydrostatische Gleichgewichtskonfiguration eines Sterns bestimmt. Der Druck stammt
aus der Thermik
P = Pkin + Pγ = nkBT + a 4
T (5.20)
3
und ist die Summe von Gasdruck (Index kin) und Photonendruck. Dazu muß die chemische Zusammensetzung
des Gases bekannt sein. Für ein ideales Boltzmann Gas reicht dazu die Kenntnis des effektiven
mittleren Molekulargewichts, ˜µ, aus.
P = ρ
˜µmH
kT + a 4
T
3
Wir betrachten kurz die Grundgleichungen eines Sterns.
Aufbau eines Sterns
(5.18)
(5.21)
Die Dynamik der Materie eines Sterns wird durch die Eulerschen Gleichungen der Hydrodynamik
(Euler, 1755) beschrieben.
• FORMELN (DIE VOLLSTÄNDIGEN EULERSCHEN GLEICHUNGEN)
Sie lauten bei Berücksichtigung der Gravitation, wobei V das Gravitationspotential und ρ die Massendichte ist, allgemein
für eine ideale Flüssigkeit (ohne Energiedissipation durch innere Reibung):
∆V = 4πGρ (5.22)
ρ D�v
dt
= −∇P − ρ∇V (5.23)
∂ρ
∂t
= −div(ρ�v) (5.24)
Diese phänomenologischen Gleichungen können zwar mikroskopisch begründet werden, die beiden letzten können aber
nicht aus einem Variationsprinzip hergeleitet werden. Die Ableitung
D�v
dt
∂
= �v + (�v∇)�v (5.25)
∂t
ist die totale Ableitung längs der Bahn.

5.1. GRUNDLAGEN 279
Für einen statischen Stern ist �v = 0 und die Materieverteilung ist kugelsymmetrisch. Dann gilt für das
hydrostatische Gleichgewicht
dm
dr
dP
dr
= 4πρr2
= −ρGm(r)
r 2
(5.26)
(5.27)
Die Zustandsgleichung, die wir in der Form P = P (ρ, T ) schreiben, liefert den Zusammenhang zwischen
Druck, Dichte und Temperatur. Letztere bestimmt sich i. a. aus der lokalen Erzeugung von thermischer
Energie und ihrem globalem Abtransport (Wärme- bzw. Strahlungstransport).
Die Strahlungstransportgleichung wird gewöhnlich wie folgt geschrieben:
L(r) = − 4πr2 c
3ρκ
d
dr (aT 4 ) (5.28)
Wir formulieren sie so um, daß die Gleichungen proportional zu denen des hydrostatischen Gleichgewichts
werden:
dL
dr = 4πr2 ɛρ (5.29)
dPγ
dr
= −ρκL(r)
4πcr 2
(5.30)
Zusammen mit den Materialfunktionen, der Energieerzeugung ɛ(ρ, T )ρ und der Opazität κ(ρ, T ) sind
das 4 Gleichungen für die 4 unbekannten Grund - Funktionen P, m, L und T .
Die Randbedingungen sind gemischt: zwei am Rand des Sterns, bei r = R, und zwei im Zentrum,
r = 0
P (R) = 0 ; T (R) = 0 (5.31) L(0) = 0 ; m(0) = 0 (5.32)
Zu bestimmen sind die Größen m(R) = M und L(R) = 4πσR 2 T 4 . In diesem vereinfachten Modell,
wo die Atmosphäre des Sterns fehlt, ist T (R) → Teff zu ersetzen. Dabei gilt spaltenweise
dm
dr
dP
dr
= 4πρr2
= −ρGm(r)
r 2
(5.33)
(5.34)
dL
dr = 4πr2 ɛρ (5.35)
dPγ
dr
= −ρκL(r)
4πcr 2
hydrostat. Gleichgewicht Wärmetransport
(5.36)
Damit diese Gleichungen einen Inhalt bekommen, muß der Zusammenhang zwischen Dichte und
Druck, d. h. die Zustandsgleichung P = P (ρ, T ) bekannt sein. Als nächstes betrachten wir deshalb die
Grundlagen zur Bestimmung der Zustandsgleichung. Zum Nachschlagen fassen wir die wichtigsten
Ergebnisse vorweg zusammen.
Einfache Zustandsgleichungen
Für entartete Sterne lautet die Zustandsgleichung P = P (ρ). Der Druck stammt von Elektronen (Weiße
Zwerge) oder von Neutronen (Neutronenstern). Ein Gas welches eine Zustandsgleichung der Form
P = Kρ s
und s = 1 + 1
n
(5.37)

280 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
erfüllt, heißt Polytrope zum Index s. Für niedrige Dichten ist ein nichtrelativistisches Elektronen Gas
mit polytroper Zustandsgleichung
K = 1
5 (3π2 ) 2/3 ¯h 2 � �5/3
Z
(5.38)
A
mem 5/3
u
eine erste Näherung für ein entartetes Gas. Für hohe Dichten ist ein relativistisches Elektronen Gas mit
polytroper Zustandsgleichung
K = 1
4 (3π2 1/3 ¯hc
)
m 4/3
� �4/3
Z
(5.39)
u A
eine gute Näherung. Die Größe A/Z ist das mittlere Molekulargewicht im Falle entarteter Materie, wo
nur die Elektronen zum Druck beitragen. Dabei muß man beachten, daß für gegebene Zustandsgleichung
P (ρ) die Masse M und der Radius eine eindeutige Funktion von nur einem Parameter, etwa der
Dichte im Zentrum, ρc, sind. Das vereinfacht die Diskussion solcher Sterne ganz wesentlich.
Für alle anderen Sterne ist der Druck
P = Pkin + Pγ = nkBT + a 4
T (5.40)
3
die Summe aus Gasdruck (Index kin) und Photonendruck, oder
P = ρ
kT +
˜µmH
a 4
T (5.41)
3
wobei ˜µ das effektive mittlere Molekulargewicht ist. Als Grundvariable der Materie wird die Massendichte,
ρ = ˜µmun, benutzt (nicht die Teilchenzahldichte n).
Bei der Umrechnung von Teilchendichte ni auf Materiedichte berücksichtigen wir den Masseanteil der
Elektronen indem wir die Masse des neutralen Wasserstoffatoms, mH, als Einheit wählen und erhalten
bei vollständiger Ionisation pro Atom Z Elektronen plus 1 Ion (Atomkern), also
und
n = ρ
˜µmH
1
˜µ
� 1 + Zi
=
i
= � 1 + Zi
Ai
i
xi
Ai
ni = n �
i
1 + Zi
Ai
xi
(5.42)
(5.43)
Die Teilchenzahlkonzentrationen der verschiedenen Atome, xi, sind physikalische Input Parameter und
müssen aus unabhängigen Überlegungen gewonnen werden. Sie ändern sich im Verlauf der Sternentwicklung.
Wie wir zeigen werden ist für einen Stern, der sich im hydrostatischen Gleichgewicht befindet, die
Energie minimal und seine Form ist eine Kugel. Wir betrachten als nächstes die Stabilität des Sterns
bei kleinen Auslenkungen aus der Ruhelage.
5.1.4 Hydrodynamik: Sternpulsationen
Die Dynamik eines Sterns, dessen hydrostatische Gleichgewichtskonfiguration bekannt ist, kann man
dann für kleine Amplituden, ξ(r, t), durch Störungsrechnung erhalten. Diese können als Feld aufgefasst
werden, mit den Variablen ξ, ξ ′ , ˙ ξ, und zu einem Variationsprinzip zur Bestimmung der Perioden
umformuliert werden.
Die Lagrange-Dichte ist von der Form
L(ξ, ξ ′ , ˙ ξ) = W (r)( ˙ ξ) 2 + K(r)(ξ ′ ) 2 − Q(r)ξ 2
(5.44)
mit positiven Koeffizienten W , K, Q. Sie ist, wie wir zeigen werden, die zweite Variation der Energie
bezüglich der Auslenkungen (modulo Oberflächentermen, die verschwinden).

5.1. GRUNDLAGEN 281
• FORMELN (DIE SCHWINGUNGSGLEICHUNG FÜR PULSATIONEN)
Wir betrachten der Einfachheit halber nur die Schwingungsgleichung für rein radiale Sternpulsationen. Für die Auslenkung
aus der Ruhlage ro setzen wir:
r(t, ro) = ro + ξ(r) e −iωt
d. h. ξ ist die Amplitude der Schwingung ω die Frequenz. Die thermodynamische Änderung des Gases während der Auslenkung
ist meist adiabatisch, eine wichtige Ausnahme bilden z. B. die Cepheiden. Die Schwingungsgleichung (Eddington,
1918) lautet
− ω 2 ρξ =
Mit den Randbedingungen
�
γP
r2 (r2ξ) ′
� ′
−
(5.45)
′ 4P
ξ (5.46)
r
ξ(r = 0) = 0 und ∆P (r = R) = −γP r −2 (r 2 ξ) ′ = 0 (5.47)
hat man eine (singuläre) Eigenwert - Aufgabe zu lösen.
Diese kann zu einem Variationsprinzip der Perioden umgeformt werden. Die Schwingungsgleichung ist selbstadjungiert.
Daraus folgt, daß die Eigenwerte ω 2 reell und diskret sind.
Mit den Definitionen
K = γP r −2
W = ρr 2
Q = −4P ′ r −3
ζ = ξr 2
wobei K, W, Q alle positiv sind, lautet das Variationsprinzip der Perioden:
ω 2 �
′ 2 2 (Kζ − Qζ )dr
= min �
W ζ2dr Sterne, für die ω 2 < 0 gilt, sind instabil.
Der Energiesatz für Sterne lautet:
(5.48)
(5.49)
d
dt (Ekin + Ugrav + Uint + Enuk) + (Lγ + Lν) = 0 (5.50)
Diese Gesamtbilanz spaltet sich auf in drei Einzelgleichungen.
Zunächst folgt für Sterne im hydrostatischen Gleichgewicht, daß die Gesamtenergie
Etot = Ugrav + Uint
ein Minimum ist.
d
dt (Ugrav + Uint) = 0 (5.51)
Der Energiesatz verlangt
d
dt (Uint + Enuk) + (Lγ + Lν) = 0 (5.52)
Die gesamte, im Innern erzeugte Energie wird abgestrahlt. Die dabei erzeugte Entropie pro Baryon ist
(im kosmologischen Massstab gemessen) bescheiden.
Und schließlich gilt genauer, daß bezüglich Auslenkungen aus der Ruhelage die Gesamtenergie Etot
eines Sterns extremal ist, mit den folgenden Eigenschaften: Die
1. Variation liefert das hydrostatische Gleichgewicht.
2. Variation liefert die Gleichung für die Sternpulsationen.
Diese Aussagen werden später bewiesen.

282 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
5.1.5 Energieerzeugung durch Kernfusion
Um quantitativ abschätzen zu können, wieviel Energie durch Kernfusion erzeugt wird, reichen die
folgenden Fakten:
1. Die bei der Fusion freigesetzte Energie beträgt E � 8 MeV.
Es ist rk := ¯h/mπc = 1.46f (1f := 10 −13 cm; Fermi) die Reichweite der Kernkräfte. Die
Bindungsenergie ist etwa
EB = −(1/2)¯h 2 /mpr 2 k (5.53)
= −(1/2)(mπ/mp)mπc 2 � 8 MeV (5.54)
2. die Fusion ist ein Tunnelprozeß.
Die Wahrscheinlichkeit W für den extrem temperaturabhängigen Tunneleffekt ist etwa
W � (Tt/T ) 2/3 exp −(Tt/T ) 1/3 = (Tt/T ) 2/3 10 −(Td/T ) 1/3
(5.55)
Tt = (3/2) 3/2 (πe 2 /¯h) 2 (mp/k) = 7.7 · 10 10 K (5.56)
Td = Tt(log e) 3 = 3.2 · 10 9 K (5.57)
Es ist z. B. W = 4 · 10 −5 für T = 10 7 K.
3. Der eigentliche (Reaktions) Wirkungsquerschnitt ist der der schwachen Wechselwirkung.
Die Gesamterzeugungsrate pro Masse, ˙ɛρ, ist dann
˙ɛρ = EBW < nσv > ρ (5.58)
dabei ist σ der Wirkungsquerschnitt für die schwache Wechselwirkung und ρ = ˜µmun die Massendichte.
5.2 Analytische Sternmodelle
Für einen ersten Überblick ist es nützlich, Sternmodelle zu betrachten, die so einfach sind, daß sie noch
analytisch behandelt werden können. Im Falle kugelsymmetrischer Materieverteilung können wir die
Grundgleichungen wie folgt schreiben. Die Masse m(r) innerhalb des Radialabstands r ist gegeben
durch
m ′ = 4πρr 2
und als Gleichung des hydrostatischen Gleichgewichts ist
P ′ = −ρ Gm(r)
r 2
zu lösen. Ein Gas welches eine Zustandsgleichung der Form
P = Kρ s
und s = 1 + 1
n
(5.59)
(5.60)
(5.61)
erfüllt, heißt Polytrope zum Index s. An diesen Gaskugeln kann man dann weitergehende Fragen wie
Stabilität und dynamische Zeitskalen der Pulsation untersuchen.

5.2. ANALYTISCHE STERNMODELLE 283
• ANMERKUNG (THERMODYNAMIK DER GASKUGELN)
Von Newton, der als erster das Sonnenlicht in Spektralfarben zerlegte und von Fraunhofer, der als erster dunkle Linien darin
auflöste, über Herschel, der 1800 die Infrarotstrahlung (mit Prisma und Thermometer) der Sonne entdeckte und Kirchhoff
(mit Bunsen), der die Dunkellinien einzelnen Elementen zuordnen konnte, haben sich viele grosse Physiker bemüht, die
Sonne zu verstehen.
Bei der Suche nach dem stellaren Energiereservoir erhielten Helmholtz (1854) und Kelvin (1861) die nach ihnen benannte
Zeitskala für gravisches Schrumpfen des Sterns. Die Idee, Energie gravisch zu gewinnen, ist seitdem noch mehrfach
vorgeschlagen worden, meist im Zusammenhang von Akkretion.
Die ersten, welche versuchten, die physikalischen Bedingungen im Innern der Sonne zu bestimmen, waren Lane (1870),
Ritter (1880) und Emden. Lane benutzte Messungen der Solarkonstanten von Herschel und Pouillet und Ergebnisse von
Dulong und Petit und von Hopkins über die Emissionsrate von Strahlung und erhielt 1869 (10 Jahre bevor Stefan sein
Gesetz veröffentlicht!) als Ergebnis 30 000K für die Oberflächentemperatur der Sonne.
Um die dazu gehörende Materiedichte zu bestimmen, beschreibt er das Gas als Polytrope
P = Kρ s
und s = 1 + 1
n
mit dem Index s = 5/3. Ähnlich wie Emden findet er die Lane-Emden Differentialgleichung, welche die Struktur solcher
Sterne beschreibt. Damit stellt er die Beziehung, RT = const, auf, das Lanesche Gesetz, und findet für die Dichte ρ =
0.00036 g cm −3 . Weitere nützliche Virialbeziehungen und der Homolgiecharakter der Lane-Emden Differentialgleichung
wurden von Ritter entdeckt und diskutiert.
Mikroskopisch gesehen handelt es sich bei einem Stern um ein gravisch gebundenes N Teilchensystem,
welches in der Lage ist, im Zentrum Energie durch Kernfusion zu erzeugen. Damit dies möglich ist,
muß der Stern eine bestimmte Grenzmasse besitzen, um die Fusionstemperatur im Zentrum aufrecht
erhalten zu können. Diese liegt bei etwa 0.08M⊙ für Tc = 10 Millionen Grad, wobei die Masse der
Sonne 1.989 · 10 33 g beträgt.
Gebundene N Teilchensysteme, die wesentlich weniger Masse besitzen, sind die Planeten. Hier ist
Jupiter die Referenzmasse: MJ = α 3/2 M⊙. (Es ist α 3/2 = 10 −3 ). Wie von Cameron abgeschätzt, war
Jupiter bei seiner Bildung etwa 16mal schwerer als heute (die Erde sogar 200mal), sodaß eine untere
Grenzmasse für braune Zwerge etwa 20 Jupitermassen, Mkrit = 20MJ, für die kritische Zündmasse
angesehen werden. Im Massenbereich dazwischen sind mittlerweile sowohl braune Zwerge, als auch
Planeten entdeckt worden.
Ausgedrückt mit der gravischen Feinstrukturkonstante, die für Sterne zuständig ist
αG = Gm2 p
¯hc
= 5.9 · 10 −39
gilt bei einem Planeten für die Teilchenzahl
N ≈ (α/αG) 3/2 ≈ 10 54
Für einen Stern dagegen ist
N = α −3/2
G
= 2.2 · 10 57
(5.62)
(5.63)
(5.64)
(5.65)
die Größenordnung der Teilchenzahl.
Zur Berücksichtigung der (langreichweitigen) Gravitation benötigt man neben den beiden thermodynamischen
Parametern w, Entartung, und z, Spezielle Relativitätstheorie, noch einen dritten, allgemein
relativistischen Parameter σ, welcher angibt, ob die Sterne mit der Newtonschen Theorie behandelt
werden können oder ob die Allgemeine Relativitätstheorie (ART) benutzt werden muß.
• ANMERKUNG (HAUPTREIHEN - STERNE)
Sterne auf der Hauptreihe wie die Sonne sind nichtentartet, w ≪ 1, nicht relativistisch, z ≪ 1 und Newtonsch, σ ≪ 1. Für
die Sonne ist speziell:
σ = 2GM
c 2 R
= 4 · 10−6
� �3/2
2 h
; w = ¯n
= 10
2πmekT
−2 ¯n24T −3/2
7 ; z = kT
= 2 · 10−3
mec2 (5.66)

284 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
Die Temperatur im Innern ist so hoch, daß die Materie vollständig ionisiert ist. Das einfachste N - Teilchenmodell eines
Sterns besteht aus Protonen und Elektronen (ionisierter Wasserstoff).
Statt nun für ein solches System etwa die Schrödingergleichung im selbstkonsistenten Gravitationspotential V zu lösen,
reicht es, die hydrodynamische Näherung zu betrachten (gravische WKB - Näherung). Dazu stellt man sich den Stern in
so kleine Volumenelemente unterteilt vor, daß einerseits noch viele Teilchen in einem solchen Element vorhanden sind,
andrerseits die physikalischen Größen wie Druck P , Temperatur T und Massendichte ρ als konstant angesehen werden
können. Sei λ der mittlere Teilchenabstand, dann muß also
λ∇ρ ≪ ρ
gelten. Für die Sonne ist λ ≈ 10 −8 cm und λ∇ ≈ l/R ≈ 10 −19 .
Im folgenden stellen wir einige Bezeichnungen und Resultate der Thermodynamik zusammen, welche
wir häufiger benötigen werden.
• FORMELN
Dabei gilt für homogene Materie lokal
N, Teilchenzahl; V , Volumen; M, Masse im Volumen;
E, innere Energie; P , Druck; µ, chemisches Potential
Der 1. Hauptsatz der Thermodynamik lautet (lokal, also ohne Gravitation)
dE = −P dV + T dS + �
µidNi
ɛ = E
V
i
und für adiabatische Änderungen dS = 0 wird mit dV = 0 und V dρ = ˜m dN
µ = ˜m dɛ
dρ
für die Energiedichte
P , der Druck ist für konstante Teilchenzahl dN = 0 und für adiabatische Änderungen
� �
2 d ɛ
P = ρ
dρ ρ
was aus der Definitionsgleichung dE = −P dV oder d ɛ
1
ρ = −P d ρ für den Druck folgt.
Ui, die innere Energie ohne Ruhmasse, ist das Integral über die Energiedichte
Ui =
�V
0
ɛ(r)d 3 r =
�M
0
(5.67)
(5.68)
ɛ
dm (5.69)
ρ
Ug, die Gravitationsenergie für kugelsymmetrische Massenverteilung ist
�
−Gm(r)
Ug =
dm (5.70)
r
Die Gravitationsenergie für 2 Teilchen lautet
Ug = −G m1m2 G
=
|�r1 − �r2| 2
bzw. für N Teilchen:
Ug = − G
2
N�
i
N�
�
m1m2 m2m1
+
|�r1 − �r2| |�r2 − �r1|
Dabei ist für Teilchen gleicher Masse m ρ = M
V
�
V (�x) = −G
j
� � ′
mimj
ρ(�x)ρ(�x )
= −G
|�ri − �rj| 2 |�x − �x ′ | d3xd 3 x ′
ρ(�x ′ )
|�x − �x ′ | d3 x ′
= m N
V
�
= mn. Wir definieren das Potential
(5.71)
(5.72)
(5.73)

5.2. ANALYTISCHE STERNMODELLE 285
welches die Potentialgleichung
∆V = 4πGρ mit ρ = � mδ 3 (�x − �x ′ ) (5.74)
erfüllt, und erhalten für die Gravitationsenergie
Ug = 1
�
2
ρ(�x)V (�x)d 3 x = 1
�
2
Im Falle kugelsymmetrischer Massenverteilung ist
V ′ =
G m(r)
r 2
V (�x)dm (5.75)
Lösung der Potentialgleichung und Glchg. (5.75) kann durch partielle Integration umgeformt werden zu
Ug = 1
�
2
V (r)m ′ (r)dr = [V (r)m(r)] ∞
0
�
1
−
2
(5.76)
V ′ (r)mdr (5.77)
Wir benutzen m(0) = V (∞) = 0 und Glchg. (5.76). Eine weitere partielle Integration liefert dann
Ug = − G
� 2 � ′ m (r)
m(r)m (r)
dr = −G
dr
2 r2 r
Wir erhalten schließlich, mit der Variablen dm = m ′ (r)dr, für die Gravitationsenergie den Ausdruck (5.70)
Uvib, Energie der Pulsation
Uvib = 1
2
�M
0
˙ξ 2 dm (5.78)
wobei ξ die Amplitude und v = ˙ ξ die makroskopische Geschwindigkeit der Materie sind.
Trägheitstensor, I, und I, Trägheitsmoment
bzw.
Iab =
Ĩ, Trägheitsmoment der Pulsation
Ĩ =
�M
0
�
ρd 3 x(r 2 δab − xaxb) (5.79)
r 2 dm und I = 2
Ĩ (5.80)
3
Hydrostatisches Gleichgewicht
Die Bedingung für das hydrostatische Gleichgewicht – chemisches Gleichgewicht im äusseren Gravitationsfeld –
lautet:
w + V =
� dp
ρ
+ V = const = −G M
R
wobei w die freie Enthalpie und V das Gravitationspotential ist, oder
µ ′ + mV ′ = 0 d. h. µ + mV = const =
dabei ist m die Masse und µ das chemische Potential
−G mM
R
(5.81)
(5.82)
µ = mw (5.83)

286 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
Für polytrope Sterne, die mit dem Eddingtonschen Standardmodell beschrieben werden können, gilt für die Masse M
M =
�
18
πaG3 �1/2 �
k
ˆm
˜µmH
und für die Leuchtkraft L
� 2 � 1 − β
β 4
� 1/2
(5.84)
L = (1 − β) 4πGc
M (5.85)
κ
Das ist eine Parameterdarstellung der Masse–Leuchtkraft Beziehung. Die Größe 1 − β, nach der hier parametrisiert wird,
ist proportional zur spezifischen Entropie
1 − β = Pγ
P
= aT 4
3nkT
= s
4nk
Die Leuchtkraft ist unabhängig von der Energieerzeugung. Für sie gibt es eine fundamentale obere Schranke:
LEdd = 4πGmHMc
σT h
5.3 Die Eulersche Gleichung
der Hydrodynamik
5.3.1 Die Grundgleichungen
(5.86)
= 10 4.5
� �
M
L⊙ = 1.3 · 10
M⊙
38
� �
M
mH erg s
M⊙
−1 (5.87)
Die Grundgleichungen des Sternaufbaus sind die Eulerschen Gleichungen der Hydrodynamik. Sie lauten
bei Berücksichtigung der Gravitation, wobei V das Gravitationspotential und ρ die Massendichte
ist, allgemein für das hydrodynamische Gleichgewicht einer idealen Flüssigkeit:
∆V = 4πGρ (5.88)
ρ D�v
dt
= −∇P − ρ∇V (5.89)
∂ρ
∂t
= −div(ρ�v) (5.90)
Die drei hier aufgeführten Gleichungen sind in dieser Reihenfolge:
1. die Poisson Gleichung, d. h. die Potentialgleichung der Gravitation,
2. die Eulersche Gleichung der Hydrodynamik und
3. die Kontinuitätsgleichung für den Massenstrom.
Hydrostatisches Gleichgewicht liegt vor, falls die (expliziten) Zeitableitungen ∂/∂t verschwinden, im
statischen Gleichgewicht verschwindet auch die makroskopische Geschwindigkeit der Materie, �v = 0.
Die Zustandsgleichung
Damit diese Gleichungen einen Inhalt bekommen, muß der Zusammenhang zwischen Dichte und
Druck, d. h. die Zustandsgleichung P = P (ρ) bekannt sein. Entarteter Materie (Sterne wie weiße
Zwerge und Neutronensterne aber auch Planeten) kann man mit diesen beiden Gleichungen bereits
vollständig beschreiben.
Nicht so die Hauptreihensterne, wo die Zustandsgleichung für den Gesamtdruck als Summe
P = PG + Pγ
(5.91)

5.3. HYDRODYNAMISCHES GLEICHGEWICHT 287
aus Gasdruck, PG, und Photonendruck, Pγ, im einfachsten Fall (ideales Gas plus Photonen) lautet:
P = ρ
˜µmH
kT + a 4
T
3
wobei ˜µ das mittlere Molekulargewicht ist.
Die hier auftretende Energiedichte-Konstante (Photonen), a, ist nach dem Planckschen Gesetz
a = π2 k 4
15¯h 3 c 3 = 7.56 · 10−15 erg cm −3 K −4
und es gilt für die Energiedichte der Photonen, ɛγ:
ɛγ = aT 4
und P = 1
3 ɛγ
für die Zustandsgleichung des Photonengases.
(5.92)
(5.93)
(5.94)
• ZUSATZ (ZUR ERINNERUNG)
Der Druck eines Gemisches aus verschiedenen Atomen ist die Summe der Partialdrucke, und zwar unabhängig von deren
Masse (beim idealen Gas)
P = �
Pi = kT �
i
i
ni
Bei der Umrechnung von Teilchendichte ni auf Materiedichte berücksichtigen wir den Masseanteil der Elektronen indem
wir die Masse des neutralen Wasserstoffatoms, mH, als Einheit wählen und erhalten bei vollständiger Ionisation pro Atom
Z Elektronen plus 1 Ion (Atomkern), also
und
n = ρ
˜µmH
1 �
=
˜µ
i
= � 1 + Zi
ni = n � 1 + Zi
i
1 + Zi
Ai
xi
Ai
i
Ai
xi
Die Teilchenzahlkonzentrationen der verschiedenen Atome, xi, sind physikalische Input Parameter und müssen aus unabhängigen
Überlegungen gewonnen werden.
Reiner, neutraler Wasserstoff hat ˜µ = 1, bei vollständiger Ionisation ist dagegen durch den Beitrag der Elektronen der
Druck doppelt so groß: ˜µ = 1
2 .
Es ist für Hauptreihensterne
˜µ −1 ≈ 2xH + 3
4 xHe + 1
2 xMetalle
Für die Sonne liefert das heute, mit einem mittleren xHe = 0.36, für das mittlere Molekulargewicht ˜µ ≈ 0.645.
Energie - Erzeugung und Wärmetransport
Es ist also für die Zustandsgleichung von Sternen P = P (ρ, T ) zu setzen, und man muß zusätzlich zu ρ
noch T kennen. Leider gibt es im allgemeinen keine einfache Relation T = T (ρ). Die Temperatur bestimmt
sich i. a. aus der lokalen Erzeugung von thermischer Energie und ihrem globalem Abtransport.
Diese Gleichungen können wie folgt geschrieben werden:
(5.95)
(5.96)
(5.97)
dL
dr = 4πr2 ɛρ (5.98)
dPγ
dr
= −ρκL(r)
4πcr 2
(5.99)
Zusammen mit den Materialfunktionen, der Energie - Erzeugungsfunktion ɛ(ρ, T )ρ und der Opazität
κ(ρ, T ) sind das 4 Gleichungen für die 4 unbekannten Grund - Funktionen P, m, L und T .

288 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
Eddingtons Standardmodell
Falls man allerdings annimmt, daß das Verhältnis von Gas– zu Gesamtdruck,
β = PG
P
und 1 − β = Pγ
P
(5.100)
im Stern konstant ist, so erhält man Eddingtons Standardmodell, und man kann eine analytische Relation
für die Zustandsgleichung in der Form P = P (ρ) bekommen:
βa 3
ρ = ˜µmH T
3(1 − β)k
P = 1
β
� �1/3 �
3(1 − β)k ρ
βa
˜µmH
� 4/3
(5.101)
Über die Größe des Parameters β kann in Eddingtons Standardmodell noch frei verfügt werden. Als
Funktionen von ρ ausgedrückt gilt dann
P = Kpρ 4
�
k
3 mit Kp =
˜µmHβ
�4/3 � �1/3 3(1 − β)
a
(5.102)
für den Druck P . Das ist eine polytrope Zustandsgleichung (Polytrope zum Index s = 4/3), die wir
bereits kennen. Für die Temperatur T erhält man
T =
� �1/3 �
3(1 − β)k 1
βa
˜µmH
� 4/3
ρ 1/3
• ZUSATZ
Eine etwas physikalischere Interpretation des Ansatzes von Eddington erhält man wie folgt. Es ist
1 − β = Pγ
P
∝ T 4
nT
∝ T 3
n
∝ s
n
(5.103)
(5.104)
die Entropie pro Teilchen; d. h. es handelt sich um isentrope Sternmodelle. Für massive Sterne ist das eine gute Näherung,
da diese turbulent sind und vom Photonendruck dominiert werden. Für die Leuchtkraft L gilt
L = (1 − β) 4πGc
M (5.105)
κ
5.3.2 Wärmetransport
Im allgemeinen muß man allerdings T separat bestimmen, was nur möglich ist, falls man weiß, wie
Wärme im Innern eines Sterns erzeugt und transportiert wird. Wärmeerzeugung (Kernfusion) und
Wärmetransport (Strahlungstransport) werden wir später deshalb noch ausführlich behandeln. Hier
betrachten wir zunächst nur das Notwendigste, um die Grundlagen der folgenden, einfachen Sternmodelle
verstehen zu können. Dabei stellt sich heraus, daß es auf die Physik der Wärmeerzeugung gar
nicht ankommt, sie ist durch das Modell vollständig bestimmt.
Prinzipiell gibt es drei verschiedene Möglichkeiten, Wärmeenergie von einem Ort höher Temperatur
an einen mit niedigerer Temperatur zu bringen:
1. Konvektion = Turbulenz
Das Gas wird in makroskopischen Zellen von warmen Stellen zu kalten durch Auftrieb transportiert.
Damit sich an den kalten Stellen keine Materie ansammelt, muß im Gegenzug kaltes Gas
absinken. Es handelt sich um eine turbulente Strömung.

5.3. HYDRODYNAMISCHES GLEICHGEWICHT 289
2. Konduktion = Wärmeleitung durch Stöße
Die kinetische Energie des Gases, Ekin = NkT , wird durch Stöße übertragen. Für ein vollständig
ionisiertes Gas gilt genähert
KL ∝ cvρvkin
nσ
k3/2 B T
∝ 1/2
m1/2σ = 10 6 T 1/2
6
erg cm −1 s −1 K −1
für Elektron - Proton Streuung. Konduktion ist wichtig in entarteter Materie (weiße Zwerge,
Neutronensterne) für Sterne auf der Hauptreihe spielt sie keine Rolle. Für die Sonne ist K ∝
10 15 .
3. Strahlungstransport durch Photonen
Transportiert wird Energie (Index E) in Form von el. mag. Strahlung. Aufgabe der Strahlungstransporttheorie
ist es, die Transportgleichung aus den Maxwellschen Gleichungen herzuleiten.
Wie dort gezeigt wird, kann man dazu die Kontinuitätsgleichung (Energiesatz oder Poyntingscher
Satz) für den Wärmestrom �qE heranziehen. Damit wird das Problem allerdings ein globales
Randwertproblem. Es gilt dann (lokal und im stationären Gleichgewicht) für die Wärmestromdichte,
�qE, die Kontinuitätsgleichung
´ɛ + div�qE = 0 (5.106)
wobei ´ɛ die Rate ist, mit der Energie pro Volumen und Zeit dissipiert wird. In Sternen wird
Energie nicht dissipiert sondern erzeugt. Die Erzeugungsrate, ´ɛ = −ɛρ, ist selbst wieder extrem
empfindlich von der Temperatur (und von der Dichte) abhängig. Die Wärmeleitgleichung
(Ohmsches Gesetz der Thermodynamik)
�qE = −KE∇T (5.107)
verknüpft schließlich Wärmestrom und Temperatur. Wir haben damit als zusätzliche Gleichung
(Energieerzeugung)
div(KE∇T ) = ´ɛ(ρ, T ) (5.108)
mit den Randbedingungen T endlich im Zentrum, r = 0, und für r = R (Radius des Sterns) muß
in einfachster Näherung T (R) = 0 gelten.
Anstatt der Wärmestromdichte, �qE, benutzt man in der Strahlungstransporttheorie die Flächenhelligkeit
�F = �qE, und schreibt
div � F = ɛρ (5.109)
wobei ɛ die Rate ist mit der Energie pro Masse und Zeit erzeugt wird. Statt des Wärmestroms betrachtet
man die Leuchtkraft, wobei
L(r) = 4πr 2 �qE
ist. Damit lautet die Energieerzeugungs-Gleichung
(5.110)
L ′ = 4πr 2 ɛρ (5.111)
mit der Randbedingung L(0) = 0 im Zentrum, r = 0. Für einen schwarzen Strahler muß
L = 4πR 2 σT 4
(5.112)
gelten, wodurch eine neue Oberflächen - Temperatur definiert wird. Diese heißt effektive Temperatur
und kann dazu benutzt werden, etwas bessere Randbedingungen zu formulieren.

290 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
• ANMERKUNG (DIE FOURIERSCHE GLEICHUNG DER WÄRMELEITUNG)
Wir gehen aus von Gleichung (Energieerzeugung)
div(KE∇T ) = ´ɛ(ρ, T ) (5.113)
und nehmen an, daß keine Energieerzeugung stattfindet. Dann kann für ein ideales Gas in hinreichend kleinem Volumen
für den Wärmeverlust durch Abkühlen
´ɛ(ρ, T ) = cV ˙
T (5.114)
gesetzt werden. Im homogenen Medium ist KE konstant und wir erhalten die Fouriersche Gleichung der Wärmeleitung
∆T = 1 ∂T
k ∂t
mit der Temperaturleitfähigkeit k = cV /KE.
Die Opazität
(5.115)
Um den Wärmeleitkoeffizienten KE mit der freien Weglänge lγ für Photonen zu verknüpfen, schreiben
wir für den Wärmestrom (in radialer Richtung)
qE = −lγ∇ a
3 T 4 c = −KE∇T (5.116)
und erhalten, wenn wir noch statt der freien Weglänge lγ den Massenabsorptionskoeffizienten (Opazität)
κ einführen
KE = 4ac 3
T
3κρ
lγ = 1
κρ
Die Opazität κ kann in wichtigen Spezialfällen analytisch bestimmt werden.
(5.117)
1. Thomson Streuung
Die Streuung von Photonen an freien Elektronen der Teilchendichte ne ist für heiße Sterne der
dominierende Prozeß mit dem frequenzunabhängigen Thomson Wirkungsquerschnitt σ T:
σ T = 8π
3
� e 2
mc 2
und der Opazität κe
κe = σ Tne
ρ
In Zahlen, mit
σ T
mH
Z
=
A
� 2
σ T
mH
= 0.40 cm 2
oder, zum Merken,
κe = 2Z
5A
= 8π
3 r2 e
g −1
= 1 + xH
5
cm 2
g −1
(5.118)
(5.119)

5.4. LICHT: DIE GROSSEN ENTDECKUNGEN 291
2. Photoeffekt (Kramers Opazität)
Für Sterne wie die Sonne sind der Photoeffekt und Bremsstrahlung (Streuung von Photonen an
freien Elektronen im Feld von Protonen) der dominante Prozeß. Er kann ebenfalls analytisch
angegeben werden. Das Rosseland Mittel für die Opazität lautet
κ = 6.45 × 10 22 fe,i ρ T −7/2
cm 2 g −1
geschrieben als Funktion der Dichte ρ mit ρfi = niAmH
fe,i =
�
fefiZ 2
�
A
= (1 + xH)(XH + XHe + XZ)
wobei XZ = ΣixiZ 2 i A −1
i den Beitrag der schwereren Elemente (Metalle) berücksichtigt.
(5.120)
Ein Vergleich von Thomson Streuung und Photoeffekt bzw. Bremsstrahlung zeigt, die Bremsstrahlungsopazität
ist dichteabhängig, es gibt also eine kritische Dichte, unterhalb derer Thomson Streuung
dominiert. Bei sehr heißen Sternen führt das auf eine universelle obere Schranke für die Leuchtkraft
eines Sterns.
LEdd = 4πGmHMc
= 10 4.5
� �
M
L⊙ = 1.3 · 10 38
� �
M
mH erg s−1 (5.121)
σT h
M⊙
• ZUSATZ (DIE SONNE)
Angewandt auf die Sonne erhält man etwa (für das Innere der Sonne)
und
lγ = 2 cm für Thomson Streuung
lγ = 0.4 cm für Bremsstrahlung.
Der Druck stammt fast vollständig von der thermischen Bewegung,
1 − β = Pγ
P
≈ 0.003
d. h. es ist P ≈ (ρ/˜µmH)kT .
Am Sonnenrand (Photosphäre) ist die Massendichte nur noch etwa ρ = 10 −7 g cm −3 oder n = 10 17 cm −3 . Nach Glchg.
(5.117) ist lγ = 1/κρ und somit ergibt sich für Thomson Streuung, die hier dominiert, eine freie Weglänge von etwa 200
km. So tief kann man in die Photosphäre hineinsehen, d. h. auf dieser Längenskala können sich Unebenheiten ergeben. Da
der Radius der Sonne R⊙ = 7 · 10 10 cm beträgt, ist die Abweichung von einer Kugel sehr gering.
5.4 Licht: Die grossen Entdeckungen
Das volle Spektrum elektromagnetischer Strahlung ist erst seit kurzer Zeit für die Astronomie (durch
Raketen oder Satelliten) verfügbar. Das menschliche Auge ist seiner Empfindlichkeit auf den winzigen
Frequenzbereich [3.75 ≤ ν ≤ 7.5]10 15 Hz oder in Wellenlängen [0.4 ≤ ν ≤ 0.8] µm optimiert.
Bis 1800
war der Nachweis von Licht auf das menschliche Auge beschränkt. Herschel wies 1800 erstmals
die Infrarotstrahlung der Sonne mit Prisma und Thermometer nach.
1840
wurde das erste Astrophoto aufgenommen. Seither kann man Photonen aufaddieren.
M⊙

292 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
1860
Maxwell begründet seine Lichttheorie.
1887
Die Arbeiten von Hertz zeigen experimentell die Richtigkeit der Maxwellschen Theorie und
das gesamte Gebiet der optischen Erscheinungen wird damit Teil der Elektrodynamik. Auf die
Entdeckung elektromagnetischer Wellen am 13. 11. 1886 folgte die des Photoeffekts im Jahre
1887.
1900
Planck formuliert seine Quantenhypothese (bei Photonen der Wärmestrahlung):
Der Austausch von Energie erfolgt in Quanten der Größe hν
und nicht etwa kontinuierlich. Die Energie E eines Photons und das Plancksche Wirkungsquantum
h sind mit der Frequenz ν wie folgt verbunden:
E = hν
1901
Erste transatlantischen Radioübertragung (Marconi).
Entdeckung der Heavyside Schicht.
1905
Einstein führt das Photon ein und erklärt so den Photoeffekt.
Einstein formuliert die Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie. Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit,
d. h. das Ergebnis des Michelson-Morley Versuchs, ist bei ihm Grundpostulat.
5.4.1 Die Sonne als Strahlungsquelle
Erste Erkentnisse
1. Galilei (1610)
bildet die Sonne mit seinem selbstgebauten Teleskop auf einem reflektierende Untergrund ab. Er
entdeckte so die Sonnenflecken und mit ihnen die Rotation der Sonne. Seine Entdeckung der Jupitermonde
und seine Pendelgesetze sind Grundlage der Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit.
2. Newton (1672)
zerlegt das Sonnenlicht in seine Spektralfarben vermittels eines Prismas.
3. Römer (1676)
bestimmt die Lichtgeschwindigkeit anhand der Jupitermonde.
Spektroskopie und Fotografie
1. Fraunhofer (1817)
Das älteste Beispiel für diskrete Linienabsorption sind die Dunkellinien im Spektrum der Sonne
und dabei besonders die winzige Aufspaltung der Na D-Linie.

5.4. LICHT: DIE GROSSEN ENTDECKUNGEN 293
2. H. Draper, (1840); Whipple, (1850) Benutzung der Photoplatte
Draper (1837 - 1882) macht 1840 das erste Astrophoto (auf Daguerre Platte vom Mond) und
legt auf Photoplatten einen Katalog (von heute 225 000 Spektren; Bezeichnung: HD für Henry
Draper) an.
3. G. Kirchhoff, R. Bunsen (1860)
entdecken die Umkehrung der Na D-Linie des Sonnenlichts.
4. Kirchhoffs Umkehrschicht
Von Kirchhoff stammt auch das erste Modell, die Absorptionslinien der Sonne zu erklären. Diese
so genannte Umkehrschicht (ein optisch dünnes, kälteres Gas vor der heißen Strahlungsquelle
der Sonne) würde vermutlich bei einer Sonnenfinsternis als selbst strahlendes Medium mit Emissionslinien
zu beobachten sein.
5. Huggins (1868)
Der Dopplereffekt wurde 1842 von Doppler für Sterne vorhergesagt, von Fizeau genauer für
Linienspektren für nachweisbar erachtet (Sterngeschwindigkeiten sind viel zu klein für einen
Nachweis am Kontinuum) und von Huggins 1868 mit Photoplatte an den H Linien des Sirius
entdeckt.
6. Huggins (1824 - 1910) identifiziert die Wasserstofflinien in den Sternspektren. Er entdeckt als
erster (1864) Emissionslinien der Nebel. Damit war die gängige Ansicht widerlegt, daß es gar
keine eigentlichen Nebel gebe, sondern nur unaufgelöste Sternhaufen. Planetare Nebel (so genannt
wegen ihres scheibenförmigen Aussehens) sind echte Gasnebel. Mit selbstkonstruiertem
Sternspektroskop wird Huggins Pionier der Astro–Photometrie.
7. 1868 Die Entdeckung von Helium.
Noch vor der Verifizierung des Modells von Kirchhoff entdeckten Janssen und Lockyer im Jahre
1868 bei einer Sonnenfinsternis im Spektrum der Chromosphäre der Sonne eine helle gelbe
Linie, bei λ = 5876 ˚A, welche sie Helium tauften. Im Labor wurde diese Linie erst von Ramsay
im Jahre 1895 identifiziert (als Zerfallsprodukt bei radioaktivem Uranzerfall: α-Strahlung).
8. Young (1870) ’flash’ Spektrum
Nach einigen vergeblichen vorhergegangen Versuchen wurde die Emission der Umkehrschicht
tatsächlich von Charles A. Young (nur zwei Sekunden lang) beobachtet: Kirchhoffs ’flash’ Spektrum
ist ein reines Emissionsspektrum.
9. Zeeman (1896)
Noch vor Formulierung des Bohrschen Atommodells entdeckte Zeeman die Linienaufspaltung
im Magnetfeld an der Na D-Linie, ein (kleiner) Effekt, nach dem M. Faraday so lange erfolglos
gesucht hatte.
10. Hale (1890, 1908)
Hale erfindet 1890 den Spektroheliographen, der es erlaubt, die Sonne im Licht einer einzelnen
Spektrallinie zu betrachten. Er baut sein eigenes Teleskop und entdeckt 1908 mit dem Zeeman-
Effekt das Magetfeld der Sonnenflecken.
Ergebnisse
Erst die Quantenmechanik erlaubt ein quantitatives Verständnis der Vorgänge im Innern der Sonne.
Wichtig sind die Arbeiten von Gamow, Bethe und von Weizsäcker.

294 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
• ANMERKUNG (DAS RADIKAL H − IN DER SONNENATMOSPHÄRE)
Seine theoretische Existenz wurde 1930 von Bethe postuliert, das H Atom ist nicht gesättigt. 1938 wurde von R. Wildt
seine Bedeutung für die Sonne erkannt (grosser Streuquerschnitt bei niedriger Energie). 1945 wurde das Spektrum von
Chandrasekhar berechnet und erst nach 1950 wurde H − indirekt im Labor durch die kontinuierliche Emission bei der
Bildung nachgewiesen. H − hat nur einen gebundenen Zustand zu E = 0.754 eV.
Für Sterne wie die Sonne wird die Opazität ganz wesentlich durch Spurenelemente wie Na (um Elektronen zu erhalten)
und durch das Radikal H − bestimmt. Sterne wie die Sonne sind deshalb gelb (und nicht etwa grün), massive (leuchtkräftig
und aufgeblasen) und massearme (niedrige Oberflächentemperatur) sind rot.

5.4. LICHT: DIE GROSSEN ENTDECKUNGEN 295
5.4.2 Die interstellare Materie
Die Existenz interstellarer Materie, insbesondere die von Staub hat lange Zeit die wahren Dimensionen
in der Milchstraße und dem Kosmos verschleiert. Während die Existenz heute allgemein gesichert ist,
ist nur wenig über die Herkunft bekannt.
Komponenten
Die wichtigsten Komponenten der Erdatmosphäre sind Luft (Moleküle), Staub und Plasma.
Eine Stufe höher, im Sonnensystem, kommt zur interplanetraren Materie noch der Sonnenwind dazu.
Alle diese Komponenten sind mittlerweile (durch Raketen und Satelliten) direkt nachgewiesen.
Die interstellare Materie (ISM) ist dagegen bisher nur indirekt nachweisbar. Sie muß von der zirkumstellaren
Materie unterschieden werden.
Beim fortschreiten zu höheren Stufen, zur zirkumgalaktichen Materie (Halo der Milchstraße) oder gar
zur intergalaktichen Materie, wird bereits das Ende der Nachweismöglichkeit erreicht. Wir werden
diesen Beitrag deshalb beim kosmologischen Überblick subsummieren.
• ANMERKUNG (DIE LUFT)
1647 entdeckte B. Pascal den Luftdruck (traité du vide), den er durch Höhenmessungen mit einem Barometer nachweist.
H. Cavendish (1731 - 1810) war der erste, der 1797 die heutige Zusammensetzung der Luft bestimmte, die Uratmosphäre
der Erde bestand dagegen hauptsächlich aus H und He.
Mariotte war der Erste, der zeigen konnte, daß der Wasserhaushalt der Erde abgeschlossen ist. Er bestimmte dazu die
Niederschlagsmenge im Einzugsbereich der Seine und deren Durchflussrate (in Paris).
J. Jeans untersuchte das Verdampfen der Erdatmosphäre aus der Exosphäre. Die leichten Atome (H, He) der Erdatmosphäre
können effektiv entweichen, die schweren nicht. Insbesondere der Wasserhaushalt der Erdatmosphäre ist abgeschlossen.
1. Hess (1911 bis 1913)
entdeckt bei der geplanten Verbesserung seines Elektoskops eine unbekannte Entladungsquelle,
welche er mit Hilfe von Ballonflügen als Höhenstrahlung kosmischer Herkunft identifizierte.
Die Erzeugung der hochenergetischen Komponente dieser kosmischen Strahlung ist bis heute
ungeklärt.
2. Hartmann (1911)
entdeckt eine scharfe Absorptionslinie, die berühmte ruhende Kalziumlinie im Spektrum des
spektroskopischen Doppelsternes δ Orionis. Sie wird verursacht durch die ISM und wurde zunächst
nicht in ihrer Tragweite richtig eingeschätzt, als alternative Möglichkeit wurde zirkumstellare
Materie diskutiert.
3. Bowen (1927)
erklärt die beiden grünen Nebellinien von O 2+ = O ++ = [O III] bei 5007 und 4959 ˚A (ursprünglich
einem hypotetischen Element Nebulium zugeschrieben) als Interkombinationslinien
(magn. Übergänge 2p 2 1 D2 → 2p 2 3 P2 bzw. 2p 2 1 D2 → 2p 2 3 P1) des zweifach ionisierten O.
4. Trümpler (1930)
entdeckt Staub in unserer Milchstraße. Der Nachweis war indirekt: an den galaktischen Sternhaufen
hatte Trümpler die Standardkerzen der Galaxis geeicht und dabei nebenbei die interstellare
Absorption AV durch Staub bestätigt!
5. Weinreb et al. (1963)
finden OH (mit vier Hyperfeinlinien, wie von Shkolvski vorher diskutiert) als erstes Molekül in
Absorption. Kurz darauf wurde OH auch in Emission (in der Nähe von starken Radioquellen,
die Westerhout vorher entdeckt hatte) gefunden. Die Linien sind sehr schmal, die Strahlung ist
hochgradig polarisiert und sie wurde (von Perkins, Gold und Salpeter) als Maser interpretiert.
Maser ist ein Akronym für Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation.

296 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
Ergebnisse
Wir beginnen mit Prototypen von wichtigen Quellen, die besonders nah oder besonders gut untersucht
sind:
1. Dunkelwolke
Taurus Molekülwolke (TMC1) Abstand 120 pc. Hier wurden die schwersten Moleküle gefunden.
Eingebettet sind Globulen (Sternentstehung).
2. Reflektionsnebel
Electra Nebel (angeleuchtet vom B6III Plejaden Stern Electra, weitere Nebel sind um den B7III
Stern Maja und um Merope, ein B6IVn Stern), Entfernung 116 pc, liegt in M45.
3. H II Region
Orion Molekülwolke (OMC) Abstand 500 pc. In einigen Myr wird hier ein offener Sternhaufen
wie die Plejaden entstanden sein.
4. Planetarer Nebel
5. Supernova Rest
Erst die Radioastronomie hat folgendes Bild der ISM ergeben.
Die ISM unserer Galaxis hat (bezogen auf die Masse) die folgenden beiden Komponenten: 99% Gas
und 1% Staub. Die Gaskomponente (etwa 10 10 M⊙)
ist aufgeteilt in 50% atomares Gas (H I Regionen)
und 50% molekulares Gas. Letzteres steckt
hauptsächlich in den massivsten Molekülwolken
(mit Massen > 10 6 M⊙).
Etwa 3% des atomaren Gases ist ionisiert, in dichten
Molekülwolken beträgt der Ionisationsgrad dagegen
nur 10 −8 , die Ionisation wird durch die
kosmische Strahlung bewirkt. Diese wird durch
ein Magnetfeld von einigen µ Gauß in der Galaxis
gehalten. Die hochenergetischen Komponenten
(Protonen, Elektronen) der kosmischen Strahlung
müßen ständig nachgeliefert werden.
Interstellare Nebel
Typ v D n M
km s −1 pc cm −3 M⊙
Dunkelwolke 0.1 − 1 1 − 10 10 4 10 3
Reflektionsnebel
H II Region 3 − 30 1 − 50 10 5 10 6
Planetare Nebel 100 1 − 2 10 −1 10 −2
Supernova Reste 5000 1 − 5 10 −2 2
Zirkumstellare
Interstellare Wolken
Hüllen 20 − 30 0.1 − 5 10 −2
Die Gas Komponenten unterscheiden sich einer-
Tab. 5.2: Daten zu Nebeln
seits in Dichte und Temperatur, andererseits in Masse und Verteilung in der Galaxis. Die Daten der
Tabelle sind Richtwerte. Reflektionsnebel sind Wolken mit eingelagertem Staub, die von einem Stern
beleuchtet (nicht aber ionisiert) werden. Dazu muß der Stern vom Spektraltyp später als B0 sein.

5.4. LICHT: DIE GROSSEN ENTDECKUNGEN 297
5.4.3 Hydrostatisches Gleichgewicht
Im statischen Gleichgewicht, also ohne Rotation, ist �v = 0. In diesem Fall kann man Newtonsch (s.u.)
Kugelsymmetrie voraussetzen. Wir geben im folgenden die allgemeinen Sternstrukturgleichungen für
das hydrostatische Gleichgewicht.
Grundgleichungen einer Kugel
Im Falle kugelsymmetrischer Materieverteilung können wir die Grundgleichungen wie folgt schreiben:
Die Masse wird aus
m ′ = 4πρr 2
bestimmt, als Ersatz für die Potentialgleichung (5.76) oder (5.88). Ferner kann damit
P ′ = −ρ Gm(r)
r 2
(5.122)
(5.123)
als Gleichung des hydrostatischen Gleichgewichts geschrieben werden. Die Wärmeleitgleichung, Glchg.
(5.116) schreiben wir mit dem Massenabsorptionskoeffizienten, Glchg. (5.117) um in
T ′ = − 3κρ(r)L(r)
16πacr 2 T 3 (r)
bzw. als Kraftgleichung geschrieben
P ′ γ = − κρ(r)L(r)
4πcr 2
Zusammen mit Glchg. (5.111) für die Energieerzeugung
(5.124)
(5.125)
L ′ = 4πr 2 ɛρ (5.126)
ist das der vollständige Satz zur Bestimmung nichtentarteter, statischer Sternmodelle.
Die Randbedingungen sind gemischt, 2 im Zentrum und 2 am Rand, was die numerische Konstruktion
enorm erschwert:
1. m(0) = 0, da keine Massen-Singularität im Zentrum vorliegt.
2. L(0) = 0, keine Leucht-Energie Singularität im Zentrum.
3. P (R) = 0, Stetigkeit (Gradient des Drucks ist Kraftdichte).
4. T (R) = 0, einfachste Näherung.
In Eddingtons Standardmodell ist
β = PG
P
und 1 − β = Pγ
P
und β = const liefert folgende Bedingung im gesamten Sterninnern:
1 − β = κ
4πGc
L(r)
m(r)
= κɛ
4πGc
(5.127)
(5.128)
wie man aus der Division von Glchg. (5.125) durch Glchg. (5.123), bzw. von Glchg. (5.126) durch
Glchg. (5.122) ersieht.
Es ist also κɛ = const, und die Energieerzeugungs - Gleichung kann integriert werden. Die vier Grundgleichungen
zerfallen dadurch in je zwei zueinander proportionale Gleichungen. Diese werden wir im
folgenden genauer betrachten.

298 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
Die korrekte Beschreibung der physikalischen Bedingungen an der Oberfläche, d. h. die Herleitung
der Randbedingung für T , ist Aufgabe der Strahlungstransport Theorie. Bisher haben wir P (R) = 0
gefordert, was nur bei entarteten Sterne mit fester Oberfläche exakt ist. Eine einfache Verbesserung
erhält man, indem man, s. Glchg (5.112), für T = T (R) fordert,
L = 4πR 2 σT 4
(5.129)
Dadurch wird eine effektive Strahlungstemperatur definiert, die nichts mit der bisher betrachteten Temperatur
(des Gases bzw. der Photonen) zu tun hat.
5.4.4 Polytrope Sterne
Falls der Druck nur eine Funktion der Dichte ist, P = P (ρ), kann man P aus der Differentialgleichung
des hydrostatischen Gleichgewichts eliminieren:
dP
dr =
� �
dP dρ
dρ dr
χ dρ
=
ρ dr
(5.130)
Die hier auftretende Größe χ heißt Kompressibilität.
Man muß im allgemeinen zwischen statischer und dynamischer Kompressibilität unterscheiden. Im
letzteren Fall ist cs bei adiabatischen Änderungen gegeben durch
c 2 s =
� �
dP
dρ S
(5.131)
Bei entarteten Sternen ist S maximal und cs ist in jedem Fall die Schallgeschwindigkeit. Sonst muß
spezifiziert werden, wie die Änderung von P zustande kommt (adiabatisch, S = const oder, bei sehr
guter Wärmeleitfähigkeit, isotherm). Man erhält mit der hydrostatischen Kompressibilität χ(ρ)
ρ ′ = − Gρ2 m(r)
χr 2
Die einfachsten Zustandsgleichungen sind
1. inkompressible Materie, ρ = const. (χ = ∞),
2. lichtartige Materie, P = Kρc 2 mit K = const = 1/3,
3. druckfreie Materie (’Staub’), P = 0.
(5.132)
Diese sind von grossem Interesse und können nicht als Polytrope behandelt werden. Wir geben einige
Extremfälle und ihre Dynamik.
• BEISPIEL (DIE HOMOGENE GASKUGEL)
Die homogene, ruhende Gaskugel wird als Ausgangskonfiguration bei der Herleitung des Jeans–Kriteriums benutzt. Für
die Masse gilt im Innern, für r < R,
M(r) = 4π
3 ρr3
(5.133)
Die Gesamtmasse ist M(R). Die ungestörte Innen-Lösung lautet im hydrodynamischen Gleichgewicht für eine Kugel der
Massendichte ρ und mit Radius R, bei Berücksichtigung der Gravitation mit Potential V
V = 2π
3 Gρ(r2 − 3R 2 ) (5.134)
P = 2π
3 Gρ2 (R 2 − r 2 ) (5.135)

5.4. LICHT: DIE GROSSEN ENTDECKUNGEN 299
und außen, für r > R, gilt:
V = −G M(R)
(5.136)
r
Wir führen im Innern, wo m(r) eine monoton wachsende Funktion von r ist, dimensionslose Variablen ein: diese sind die
Radialkoordinate, ξ = r/R und relative Masse, m = M(r)/M(R) = ξ1/3 .
V = G M(R)
(ξ
2
2 − 3) (5.137)
P = G ρM(R)
(1 − ξ
2
2 ) (5.138)
Für Untersuchungen, bei denen die Masse fest vorgegeben ist, ist es nützlich, statt der Radialkoordinate ξ als unabhängiger
Variablen die dimensionslose Masse m zu benutzen. Man erhält dann:
V = G M(R)
(m
2
2/3 − 3) (5.139)
P = G ρM(R)
(1 − m
2
2/3 ) (5.140)
Dadurch werden die Gleichungen leider singulär im Ursprung m = 0.
• BEISPIEL (DIE HOMOGENE GASKUGEL IN DER ART)
Es ist lehrreich die Newtonsche Gravitationstheorie und die Allgemeine Relativitätstheorie in Bezug auf ihre Beschreibung
des gravischen Gleichgewichts eines Sterns zu vergleichen. In der ART lautet die Gleichung des hydrostatischen Gleichgewichts
(die Tolman - Oppenheimer - Volkoff Gleichung, abgekürzt zu TOV Gleichung) wie wir später zeigen werden:
P ′ = −G (ρ + ζP ) � m + 4πζr 3 P �
r(r − 2ζGm)
mit der Randbedingung
; ζ = 1
c 2
(5.141)
P (R) = 0 (5.142)
Wir wollen hier nur einige relativistische Aspekte ihrer Lösungen erläutern. Eine ausführliche Diskussion folgt im Kapitel
Neutronensterne.
Als Gleichung des hydrostatischen Gleichgewichts wird die TOV-Gleichung exakt lösbar für ein Sternmodell (eines Neutronensterns)
mit inkompressibler Materie, d. h. mit der Zustandsgleichung ρ = const. Für die Masse M(r) erhalten wir
eine zur Newtonschen Relation formal identische Abhängigkeit von Dichte ρ und Masse M(r).
Mit den dimensionslosen Variablen
y = P
ρc2 ; x = 4πG
ρr2 ; x0 =
3c2 GM
c2 (5.143)
R
lautet die TOV-Gleichung dann mit ξ = r/R und x0 = const im Innenraum,
− 2 dy (1 + y)(1 + 3y)
=
dx 1 − 2x
Die Lösung dieser Riccatischen Differentialgleichung ist elementar. Dazu schreibt man
dy
dx
= −
(1 + y)(1 + 3y) 2(1 − 2x)
und integriert. Das liefert die sog. innere Schwarzschild-Lösung mit folgendem Druck P :
P = ρc 2
�
1 − 2x0ξ2 − √ 1 − 2x0
3 √ 1 − 2x0 − � 1 − 2x0ξ2 mit
r
ξ =
R
und dem erstaunlichen Ergebnis, daß der Druck im Zentrum
P (0)
ρc 2 = 1 − √ 1 − 2x0
3 √ 1 − 2x0 − 1
(5.144)
(5.145)
(5.146)
(5.147)
für endliche Dichte, Masse und Radius unendlich wird!
Dies ist die Grundlage für die Existenz schwarzer Löcher. Wir sehen, daß die Größe σg = 2x0 ein Maß dafür ist, wie
relativistisch ein Stern ist, hier, wie nah der tatsächliche Radius des Sterns an den Schwarzschildradius Rs heranreicht. Ein
inkompressibler Stern muß
σg = 2x0 < 8/9 (5.148)
erfüllen, realistische Sterne erreichen viel weniger.

300 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
• BEISPIEL (EXTREMFALL: STERN AUS LICHT)
Als weiteres Beispiel von beträchtlichem Interesse betrachten wir lichtartige Materie, mit der Zustandsgleichung P = Kρc 2
mit K = const. Licht hat dabei K = 1/3. Die Lösung ist sogar für unendliche zentrale Dichte nicht endlich: man erhält ein
ganzes Universum unendlicher Masse. Mit dem Ansatz
P = Kρc 2 = A
r2 ; M(r) = 4πA
erhalten wir Newtonsch
r
Kc2 (5.149)
− 2 A A
= −G
r3 Kc2r 2
4πA
Kc2r Dies kann wie folgt geschrieben werden:
(5.150)
M(r) = K2 c 2
G
r (5.151)
In Vorbereitung auf die Allgemeine Relativitätstheorie, kann dies auch wie folgt geschrieben werden
4K 2 = 2GM(r)
c 2 r
≡ x
Die Allgemeine Relativitätstheorie liefert dann mit der TOV-Gleichung folgende Modifikation.
4K 2 =
(1 + K)2
1 − K x
Für x erhält man einen kleineren Wert (aber immer noch keinen Stern aus Licht)
x ≡ 2GM(r)
c 2 r
= A
1 + A
; A =
� 2K
1 + K
� 2
Bereits diese Näherungen erlauben es, einige interessante Schlüsse über die Dynamik zu ziehen. Wir
betrachten für einen ersten, groben Überblick die folgenden Fälle:
1. Schwingung eines Testteilchens im Gravitationsfeld einer statischen Kugel (Reise zum Zentrum
der Erde).
2. Kollaps der gesamten Kugel (Staubwolke ohne Druck)
3. Schwingung (Pulsation) der gesamten Kugel (Erde mit Druck)
welche später noch genauer untersucht werden.
Schwingung eines Teilchens im Feld einer statischen Kugel
In diesem Fall gilt folgende Bewegungsgleichung für r(t):
¨r = − Gm(r)
r2 = −G4πρ r
3
mit der Lösung (Start an der Oberfläche r = R zum Zeitpunkt t = 0):
�
(5.152)
r(t) = R cos ωt ω =
4πGρ
3
(5.153)
Das ist eine harmonische Schwingung mit der Periode (einmal zur Antipode und zurück in T⊕ = 84.1
min oder 5045 s):
Π = 2π
ω =
�
3π
Gρ
(5.154)
Die Größe
�
ˆΠ
1
=
Gρ
(5.155)
ist eine für alle Schwingungs - Vorgänge charakteristische Zeit. Für die Sonne, mit einer mittleren
Dichte ¯ρ⊙ ≈ 1.41 g cm −3 , ist ˆ Π⊙ = 54 min. und für die Erde die Hälfte davon, ˆ Π⊕ = 27 min.

5.4. LICHT: DIE GROSSEN ENTDECKUNGEN 301
• BEISPIEL (REISE ZUM ZENTRUM DER ERDE)
Eine Reise zum Zentrum der Erde (durch einen hypothetischen Luftschacht) dauert (ein Viertel von Glchg. (5.154)) dem-
nach
T = Π
4 =
�
3π
16 ˆ Π⊕
also etwa 21 Minuten.
Die Formel (5.154) kann wie folgt geschrieben werden
�
R
T = 2π ; g =
g
GM
R2 Das ist die Galileische Formel für die Pendelschwingung (Länge l = R gleich Erdradius).
Die mittlere Geschwindigkeit beträgt
v = R
T
= 5.06 km s−1
Setzt man (für die Schallgeschwindigkeit der Luft im Schacht) cs = 1/3 km s −1 , so entspricht dies v/cs = 15.3 Mach.
Kollaps einer Gas Kugel
Beim freien Kollaps ist
¨r = a = − Gm(r0)
r 2
(5.156)
(5.157)
(5.158)
zu lösen. Dabei ist m(r0) die konstante Masse innerhalb des Radius r(0) = r0 zum Zeitpunkt t = 0. Die
Bewegung ist eine homologe Kontraktion: für jede Massenschale innerhalb von r gilt r(t) = f(t)r0 und
die Dichte bleibt homogen. Die Lösung ist eine Zykloide und ihre Darstellung lautet in Parameterform
cos 2 ζ = f(t) ; ζ + 1
sin 2ζ =
2
�
8πGρ
t (5.159)
3
wobei ρ = ρ0 gesetzt wurde. Damit ist die Frei-Fallzeit (in die Singularität)
�
3π
tff =
32Gρ
(5.160)
was um den Faktor √ 2 schneller ist. Für die Oszillation erhalten wir T = Π, Glchg. (5.154) wie weiter
unten gezeigt wird.
Polytrope Zustandsgleichungen
Wesentlich realistischer und immer noch einfach genug zu integrieren sind Zustandsgleichungen der
Form (der Index p ist ab jetzt weggelassen, Kp = K)
P = Kρ s
und s = 1 + 1
n
(5.161)
Sie heißen Polytrope zum Index s und man definiert den Index n so, daß für die Lane-Emden Differentialgleichung
(5.165), s.u. eine einfache Beziehung gilt.
Der Grenzfall n = 0 liefert inkompressible Materie. Die einfachsten Sternmodelle haben für gegebene
Zustandsgleichung nur einen Parameter: die Masse M oder die zentrale Dichte ρc. Komplikationen wie
Rotation, Magnetfeld oder Oszillationen werden erst einmal ignoriert. In der Newtonschen Theorie
kann man in diesem Fall streng zeigen, daß die Gestalt eines Systems von Teilchen ohne Scherkräfte
(’ideale Flüssigkeit’) eine Kugel ist (Minimum der freien Energie).

302 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
Die Gravitationskraft rührt ausschließlich von der Masse m(r) innerhalb des Radius r her. Im Falle des
hydrostatischen Gleichgewichts haben wir ein gekoppeltes System von 2 Dgln. für P und m zu lösen:
und
P ′ = −ρ Gm(r)
r 2
m ′ = 4πρr 2
(5.162)
(5.163)
Die Randbedingung P (R) = 0 wird durch die Anfangsbedingung ρ(0) = ρc esetzt, und die Integration
wird beendet, falls P (r) = 0 erreicht ist.
Für Polytrope erhält man mit den dimensionslosen Variablen
ρ = ρcΘ n
r = ˆ �
�
�
Rξ R ˆ
�(n + 1)Kρ
=
1−n
n
c
(5.164)
4πG
die Lane-Emden Differentialgleichung
1
ξ2 �
d 2 d
ξ
dξ dξ Θ
�
= −Θ n
mit den Anfangsbedingungen Θ(0) = 1 und Θ ′ (0) = 0. Gesucht ist dann ξ1, so daß Θ(ξ1) = 0 gilt.
(5.165)
• FORMELN (KLASSIFIKATION DER STERNMODELLE)
Wir gehen aus von kugelsymmetrischen Objekten (keine Rotation, kein externes Feld, Trägheitsmoment I) und wählen die
Dichte im Zentrum, ρc, als Parameter zur Klassifikation der Sternmodelle und erhalten:
1. Radius:
2. Masse:
R = ˆ Rξ1;
ˆ R =
�
M = 4πρc ˆ R 3 ˆm; ˆm =
3. Trägheitsmoment:
I = 2
3
4. mittlere Dichte
¯ρ = M
V
� M
0
r 2 dm = 8πρc
3
3
= − Θ ′ (ξ1)ρc
ξ1
(n + 1)Kρ 1−n
n
c
4πG
�1/2
(5.166)
� ξ1
Θ
0
n ξ 2 dξ = −ξ 2 1Θ ′ (ξ1) (5.167)
ˆR 5 ˆι; ˆι =
5. Massearme Sterne haben die Eddingtonsche Masse–Leuchtkraft Beziehung:
˜µ 4 M 3
� ξ1
Θ
0
n ξ 4 dξ (5.168)
acG 3 m 4 H
k 4
L ≈ fv
κ
; fv = 2π2
9
6. Massereiche Sterne haben
L = 4πGcM
κ
Die Fälle n = 0, 1 und 5 können analytisch gelöst werden:
Θ0 = 1 − 1
6 ξ2 ;
sin ξ
Θ1 =
ξ
;
�
�
�
Θ5 = �
1
1 + 1
3ξ2 Eine Potenzreihenentwicklung um ξ = 0 ergibt für alle n
(5.169)
(5.170)
(5.171)
Θn = 1 − 1
6 ξ2 + n
120 ξ4 − . . . (5.172)

5.4. LICHT: DIE GROSSEN ENTDECKUNGEN 303
Für nichtrelativistisch entartete Materie (Erde) ist n = 3/2 (d.h s = 5/3) und für relativistische Materie
(Weißer Zwerg) bzw. β = const (Eddingtons Standardmodell) ist n = 3 (d.h s = 4/3). Diese Fälle
müssen numerisch gelöst werden.
• ZUSATZ (NUMERISCHE BEHANDLUNG)
Dazu schreibt man die Differentialgleichung 2–ter Ordnung um in 2 gekoppelte Dgln. erster Ordnung:
und
dΘ
dξ
= − m
ξ 2
dm
dξ = ξ2 Θ n
(5.173)
(5.174)
Die dimensionslosen Variablen sind Radialkoordinate, ξ, Masse, m = m(ξ), und Lane-Emden Funktion Θ = Θn(ξ). Für
spätere Anwendungen ist es nützlich, statt der Radialkoordinate ξ als unabhängiger Variablen die dimensionslose Masse m
zu benutzen. Man erhält:
und
dΘ
dm = −mξ−4 Θ −n
dξ
dm = ξ−2 Θ −n
mit 0 ≤ m ≤ 1 und den Randbedingungen ξ(0) = 0 und Θ(1) = 0.
(5.175)
(5.176)
Als Differentialgleichung 2–ter Ordnung mit Θn(0) = 1 und Θ ′ n(0) = 0 kann die Lane-Emden Differentialgleichung
leicht numerisch gelöst werden.
Die nebensthende Tabelle, die auf numerischen Rechnungen beruht, vergleicht unterschiedliche Modelle
für die Sonne für Polytrope zum Index n mit dem heute
akzeptierten Standard Sonnenmodell.
Dabei ist (in der Tabelle) Tc,6 die Zentraltemperatur des
Sterns in 106 Kelvin, Pc,17 ist der Zentraldruck in Einheiten
von 1017 dyn cm−2 , I53 ist das Trägheitsmoment in 1053 g cm2 Polytrope Modelle für die Sonne
n
0
ρc/¯ρ
1
Tc,6
11.5
Pc,17
0.01
I53
35
Π/d
0.116
2 11.4 0.058
. In der letzten Spalte ist, im Vorgriff und um darauf 3 54.1 12 1.2 7 0.038
verweisen zu können, die Pulsperiode Π in Tagen angegeben.
Sonne 110 14 2.2 5.7 0.033
Tab. 5.3: Polytrope
Die Pulsperiode der Sonne beträgt demnach etwa eine Stun-
de. Die Originalrechnungen von Chandrasekhar (1939) sind in seinem auch heute noch lesenswerten
Buch ’Stellar Structure’ zu finden.
5.4.5 Eigenschaften polytroper Sterne
Wie aus den Modellen für die Sonne aus obiger Tabelle hervorgeht, ist eine Polytrope mit n = 3 die
beste Näherung für einen Stern wie die Sonne, aber der zentrale Dichtekontrast kann nicht erreicht
werden. Die eigentliche Anwendung polytroper Modelle liegt in einer analytischen Beschreibung der
entarteten Materie, die nichtrelativistisch Materie hat als Zustandsgleichung
P = Kρ 5/3
und im Grenzfall hoher Dichten die extrem relativistische Zustandsgleichung
P = Kρ 4/3
Die folgende Tabelle gibt einige gerechnete Werte für Polytropen zum Index n
(5.177)

304 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
n ξ1 ˆm ρc/¯ρ s
√ √
0 6 2 6 1 ∞
0.5 2.75 3.79 1.84 3
1 π π π 2 /3 2
Für polytrope Zustandsgleichungen
P = Kρ s
und s = 1 + 1
n
ist die Energiedichte
ɛ =
P
s − 1
n ξ1 ˆm ρc/¯ρ s
1.5 3.65 2.71 5.99 5/3
2 4.35 2.41 11.4 1.5
3 6.90 2.02 54.1 4/3
(5.178)
= n P (5.179)
was aus der Definitionsgleichung, Glchg. (5.68) für den Druck folgt.
Für das chemische Potential µ erhält man analog
µ = (n + 1) ˜m P
ρ
(5.180)
wobei ˜m = ˜µmH die mittere Molekülmasse ist.
Die innere Energie, Ui, (ohne Ruhmasse), Glchg. (5.69) und die Gravitationsenergie, Ui, Glchg. (5.70)
können leicht bestimmt werden aus der Gleichung für das hydrostatische Gleichgewicht. Es ist
und
Ug = −
3Ui = −nUg
3(s − 1) GM
5s − 6
2
R
3 GM
= −
5 − n
2
R
Für die Einzelkomponenten erhält man mit etwas größerem Rechenaufwand
und
Ui = k1Kρ 1/n
c M ; k1 =
Ug = −k2Gρ 1/3
c M 5/3
Die Gesamtenergie ist gegeben durch
E = Ug + Ui =
n(n + 1)
(5 − n)
; k2 = 3
5 − n
|ξ 2 Θ ′ |1
ξ1
|4πξ 2 Θ ′ | 1/3
1
ξ1
3s − 4
3(s − 1) Ug
3 − n GM
= −
5 − n
2
R
• ZUSATZ (SPEZIALFÄLLE: n = 1.5 UND n = 3)
Wir betrachten noch als Grenzfälle
(5.181)
(5.182)
(5.183)
1. Das nichtrelativistische Gas
Bei einem nichtrelativistischen Gas rührt der Druck aus der kinetischen Bewegung; d. h. es ist Ui = Tkin und es
gilt der Virialsatz
mit
2Ui + Ug = 0
Ug = − 6 GM
7
2
R
für s = 5
3
3 (bzw. n = 2 ).
(5.184)

5.4. LICHT: DIE GROSSEN ENTDECKUNGEN 305
2. Das relativistische Gas
Die Gesamtenergie verschwindet für s = 4/3 bzw. n = 3. Es ist ferner k1 = 1.755 und k2 = 0.639. Das hydrostatische
Gleichgewicht ist indifferent. Wie wir sehen werden, ist es in der Newtonschen Theorie sogar stabil.
Die Masse-Radius Beziehung erhält man, wenn man die zentrale Dichte eliminiert
� R
ξ1
� n−3
oder endgültig
= 4π
� �n−1
M
ˆm
�
G
�n (n + 1)K
(5.185)
G n M n−1 R 3−n = const (5.186)
Mit dieser Relation kann man die Frage beantworten, was ein Stern (in der Newtonschen Theorie)
macht, falls sich die Gravitationskonstante G zeitlich ändert. Es folgt für die folgenden Objekte, die
durch eine Polytrope beschrieben werden können.
1. Planeten
Für nichtrelativistisch entartete Materie (Erde) ist n = 3/2 und ein Planet dehnt sich aus, falls G
abnimmt. (Das wurde von P. Jordan für die Erde und das Erde-Mond System diskutiert).
2. Weiße Zwerge
Polytrope zum Index n = 3 sind physikalisch besonders interessant: sie sind der Grenzfall relativistischer
Druckmaterie (der Elektronen) bei Weißen Zwergen. Die Gesamtenergie E verschwindet
im Grenzfall hoher Dichte.
• ZUSATZ (ALTERNATIVE HERLEITUNG DER CHANDRASEKHAR MASSE)
Die Variation der Gesamtenergie nach der zentralen Dichte
E = Ui + Ug = k1Kρ 1/n
c M − k2Gρ 1/3
c M 5/3
liefert für das Minimum die Bedingung
∂E
= 0
∂ρc
Die beiden Konstanten haben im Fall n = 3 den Wert k1 = 1.755 und k2 = 0.639 und in diesem Fall sind beide Terme
proportional zu ρ 1/3
c , was als Bedingung
k1KM − k2GM 5/3 = 0 ; M =
� �3/2 k1K
k2G
liefert. Damit haben wir eine weitere Herleitung der Grenzmasse für Weiße Zwerge (Chandrasekhar Masse)
gewonnen.
MCh = 1.456 (2Z/A) 2 M⊙
5.4.6 Das Eddingtonsche Standardmodell
Parameterdarstellung der Masse–Leuchtkraft Beziehung
(5.187)
Das Standardmodell erhält man, s. Glchgn. (5.102) und (5.103) für n = 3. Es gilt dann für den Druck
und für die Temperatur
P ∝ ρ 4
3 und T ∝ ρ 1
3 (5.188)

306 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
oder durch die die Lane-Emden Funktion, Glchg. (5.165) ausgedrückt
P ∝ Θ n+1
; ρ ∝ Θ n
Numerische Integration liefert für n = 3:
; µ ∝ T ∝ Θ (5.189)
ξ1 = 6.8968; ˆm = 2.0182; − 3
Θ ′ (ξ1) = 54.18; ˆι = 10.851 (5.190)
Es ist ferner (Glchg. (5.102), Index p unterdrückt):
� �3/2
K
M = 4π ˆm
πG
ξ1
(5.191)
und wir haben das bemerkenswerte Ergebnis, daß im Standardmodell M nicht von der zentralen Dichte,
ρc, oder vom Radius R abhängt. Damit ist es leicht, ein Sternmodell zu konstruieren. Mit (Glchg.
(5.102), Index p unterdrückt)
K =
�
k
�4/3 �
3(1 − β)
˜µmHβ a
� 1/3
erhält man schließlich für die Masse M
�
18
M =
πaG3 �1/2
� �2 �
k 1 − β
ˆm
˜µmH β4 und für die Leuchtkraft L
� 1/2
(5.192)
(5.193)
L = (1 − β) 4πGc
M (5.194)
κ
eine Parameterdarstellung der Masse–Leuchtkraft Beziehung. Damit wird die Bedeutung der Größe
1 − β, Glchg (5.100)
1 − β = Pγ
P
∝ T 4
nT
∝ T 3
n
∝ s
n
(5.195)
klar: die Leuchtkraft einer Polytropen ist proportional zu spezifischen Entropie. Bemerkenswert ist
hier, daß die Leuchtkraft unabhängig von der Energieerzeugungs-Rate, ´ɛ, ist. Diese muß sich also von
selbst einstellen, ebenso der Radius.
Eddingtons obere Schranke für die Leuchtkraft eines Sterns
Der in Glchg. (5.193) auftretende Zahlenfaktor, kann mit Glchg. (5.194) in folgender Form umgeschrieben
werden:
�
M 720
= ˆm
˜µmH π3 �1/2
α −3/2
G ≈ 20N⊙ (5.196)
Er ist unabhängig von der Boltzmann Konstanten und für ihn gilt numerisch
� �2 (1 − β)
M
= 3.02 · 10−3
(˜µβ) 4
M⊙
d. h. für die Sonne ist 1 − β = 3 · 10 −3 , wie bereits erwähnt.
Ähnlich wie bei den weißen Zwergen tritt auch hier die gravische Feinstrukturkonstante
αG = Gm2 p
¯hc
= 5.9 · 10 −39
(5.197)
(5.198)

5.4. LICHT: DIE GROSSEN ENTDECKUNGEN 307
in der Form α −3/2
G
als natürliche Einheit für die Anzahl der Moleküle im Stern auf. Das ist, wie wir
sehen werden, kein Zufall. Allerdings gibt es keine Grenzmasse, sondern eine 1-parametrige Schar von
Sternmassen, s. Glchg. (5.197).
Zusätzlich haben wir (Glchg. (5.194) mit β = 0) eine fundamentale obere Schranke für die Leuchtkraft
eines Sterns gefunden:
LEdd = 4πGmHMc
= 10
σT h
4.5
� �
M
L⊙ = 1.3 · 10
M⊙
38
� �
M
mH
M⊙
erg s−1 (5.199)
Hauptreihensterne erreichen diese obere Schranke nicht, sie werden vorher instabil. Akkretierende
Neutronensterne kommen ihr nahe.
Eddingtons Leuchtkraft eines Neutronensterns
Für die Chandrasekhar Masse
MCh = 0.75(2Z/A) 2 mpα −3/2
G = 1.456(2Z/A) 2 M⊙ (5.200)
liefert das in Fundamentalkonstanten geschrieben mit 2Z = A
oder
LEdd =
9
2α √ αG
LEdd = 4.3 · 10 4 L⊙
2 c
mec
re
� M
MCh
= 2 · 10 38
� � �
m
mp
erg s −1 (5.201)
(5.202)
Diese Abschätzung gilt sogar für akkretierende Neutronensterne und schwarze Löcher und ist von der
Beobachtung in der eigenen Galaxis gut bestätigt.
Grenzmassen
Wir diskutieren die beiden Grenzfälle kleiner und grosser Masse und eichen die Masse–Leuchtkraft
Beziehung anhand der Daten der Sonne.
1. Massearme Sterne, 1 − β ≪ 1,
dafür lautet die Eddingtonsche Masse–Leuchtkraft Beziehung:
˜µ
L ≈ fv
4 M 3
κ
; fv = 2π2
9
acG 3 m 4 H
k 4
(5.203)
Bei massearmen Sternen hängt die Leuchtkraft empfindlich von der Masse, M, und der chemischen
Zusammensetzung, ˜µ, ab.
2. Massereiche Sterne, β ≪ 1,
sind besonders einfach, Glchg. (5.194) mit β = 0,
L = 4πGcM
κ
(5.204)
Die Leuchtkraft ist proportional zur Masse, M, und hängt überhaupt nicht von der chemischen
Zusammensetzung, ˜µ, ab. Die Opazität κe ist für heiße Sterne durch den frequenzunabhängigen
Thomson Wirkungsquerschnitt σ T gegeben:
κe = σ Tne
ρ
Z
=
A
σ T
mH
(5.205)

308 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
3. Die Sonne
Für die Sonne erhält man so aus den bekannten Größen
Radius, R⊙ ≈ 7 · 10 10
cm, Masse, M⊙ = 2 · 10 33
und chemischer Zusammensetzung des Standardmodells, mit ˜µ ≈ 1 folgendes Modell: das
Verhältnis von Photonendruck zum Gesamtdruck ist vernachlässigbar, 1 − β = 0.003. Die relative
Massenkonzentration, (ρc/¯ρ) = 54.18, ist zwar beträchtlich, was bei der Bestimmung des
Trägheitsmoments wesentlich ist, liegt aber um einen Faktor 2 unter dem realistischer numerischer
Modelle für die Sonne. In absoluten Zahlen ist die Dichte im Zentrum
ρc = 76.5(M/M⊙)(R⊙/R) 3
Die Temperatur stimmt in etwa
g cm −3
Tc = 19.72 · 10 6 βµ ∗ (M/M⊙)(R⊙/R) K
und gleiches gilt für den Druck
Pc = 1.2 · 10 17 (M/M⊙) 2 (R⊙/R) 4
dyn cm −2
4. Das Lanesche Gesetz, TcR = const
Anhand der Relationen TcR = const (Lane) oder PcR 4 = const (Ritter) kann man nun die wichtige
Frage beantworten, was wäre wenn? Etwa, was passiert, falls die thermonuklearen Prozesse
im Zentrum ganz andere sind. Falls etwa die Fusion von H zu D resonant verläuft, also sehr
viel schneller. An der Leuchtkraft, L, ändert sich nichts, da sie nicht von den thermonuklearen
Prozessen abhängt. Die Temperatur im Zentrum, Tc, muß sinken, bis die richtige Rate L wieder
erreicht ist. Für den Radius heißt das, da das Lanesche Gesetz, TcR = const, gilt, daß der Stern
sich aufblasen muß. Nach Glchg. (5.112) bedeutet dies, daß die effektive Temperatur sinkt, der
Stern wird röter.
• BEISPIEL (STERNMODELLE NACH EDDINGTON)
Die folgende Tabelle vergleicht Sterne unterschiedlicher Masse, wie sie aus dem Eddingtonschen Standardmodell folgen:
Stern 1 − β M/M⊙ L/L⊙
Sonne 0.003 1 1
Sirius 0.016 2.34 38.9
Capella A 0.045 4 120
g
Stern β M/M⊙ L/L⊙
OB Stern 0.5 51 7.5 · 10 5
30 Doradus 0.1 1705 5 · 10 7
supermassiv 0.0043 10 6 3 · 10 10
Für die linke Seite der Tabelle ist 1 − β, für die rechte ist β angegeben. Die Übereinstimmung mit beobachteten Sternen ist
bei massereichen Objekten recht gut. Für die Hauptreihe gilt z. B. für einen O5 Stern L = 1.5 · 10 6 L⊙ und für einen B0
Stern L = 7.5 · 10 4 L⊙.
Die Einträge für 30 Doradus (einem Sternhaufen in LMC) und supermassiv (mit M = 10 6 M⊙ und L = 3 · 10 10 L⊙) sind
rein spekulativer Natur. Sie wurden diskutiert, als die Auflösung der Teleskope noch nicht ausreichte, 30 Dor in weitere
Untereinheiten aufzulösen.

5.5. STABILITÄT 309
5.4.7 Strömgrens Modell
Die Idee der Homologietransformation kann wesentlich erweitert werden. Dann ergeben sich nützliche
Relationen für Sternradius R und effektive Temperatur Teff. Realistische Sterne gehorchen zwar keinen
Homologierelationen, dennoch sind solche Modelle nützlich. Sie liefern die Basis für eine statistische
Beschreibung vieler Sterne (etwa in Kugelsternhaufen) und einen ersten Zugang, ganze Galaxien
nach ihrer Farbe zu klassifizieren.
Falls der Massenabsorptionskoeffizient κ (z. B. Kramers Opazität) und die Energieerzeungungsrate ˙ɛ
nur von Potenzen von T und ρ abhängen und zwar, mit beliebigem a, b und s:
κ ∝ ρT −3−s
und ˙ɛ ∝ ρ a T b
kann man noch selbstkonsistente Modelle konstruieren. Bei ihnen ist dann auch der Radius eindeutig
bestimmt. Wir kommen später darauf zurück.
5.5 Stabilität
Woher weiß die Materie im Innern eines Sterns wie dicht und heiß sie sein muss? Die Antwort ist,
sie weiß es nicht, sie muß das laufend herausfinden. Dazu vollführt sie kleine Schwingungen um die
Ruhelage. Ist das hydrostatische Gleichgewicht stabil, dann handelt es sich um (gedämpfte) harmonische
Schwingungen, was bei Sternen der Normalfall ist. Unter besonderen Bedingungen können aber
Resonanzschwingungen auftreten, wie bei den Veränderlichen, oder der Stern kann kollabieren oder
auseinanderfliegen (bzw. seine Hülle abstossen).
• FORMELN (DIE HYDRODYNAMISCHEN GRUNDGLEICHUNGEN)
Grundlage unserer Beschreibung sind die drei Gleichungen, (5.88) ff.
∆V = 4πGρ (5.206)
ρ D�v
dt
= −∇P − ρ∇V (5.207)
∂ρ
∂t
= −div(ρ�v) (5.208)
also, in dieser Reihenfolge
1. die Poisson Gleichung,
2. die Eulersche Gleichung der Hydrodynamik und
3. die Kontinuitätsgleichung für den Massenstrom.
Dazu gehört die Zustandsgleichung P (ρ).
Falls die Materiedichte ρ nur eine Funktion der Zeit ist, dann folgt, daß die Bewegung jeder Massenschale
Mo = 4π
3 ρoR 3 o = 4π
3 ρR3
homolog verlaufen muß:
r(t) =
mit f(to) = 1.
� �1/3 ρo
ro = f(t)ro
ρ(t)
(5.209)
(5.210)

310 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
5.5.1 Kollaps ohne Druck
Im Falle eines anfänglich homogenen Mediums mit Dichte ρ(t = 0, r) = ρo = const und verschwindendem
Druck, P (t, r) = 0, (d. h. für ein kaltes Gas; ’Staub’ genannt) und den Anfangsbedingungen
1. R(0) = Ro = const
2. ˙ R = ˙ Ro = const
kann die Eulersche Gleichung exakt gelöst werden. Die Bewegung ist homolog (keine Massenschale
überholt die andere)
R(t) = f(t)Ro ; ρ(t) = f −3 (t)ρo
und tritt so auch in der Kosmologie auf. Die Bewegungsgleichung
¨R = −G Mo
R 2
˙R 2 = ˙ R 2 o + 2GMo
� Ro
R
�
− 1
(5.211)
hat das erste Integral (Energiesatz) mit den zwei freien Konstanten Ro (Radius) und ˙ Ro (Anfangsgeschwindigkeit).
Für einen Kollaps aus der Ruhe, v(0) = ˙ Ro = 0, und mit
To =
� �
3 1/2 � �1/2 Ro 3
=
2GM 8πGρo
(5.212)
als Einheit für die Zeitvariable erhält man für den Homologiefaktor f(t) = R/Ro die Differentialgleichung
f˙2 = −1 + 1
f
mit der Lösung in Parameterform
(5.213)
R = Ro
(1 + cos η) (5.214)
2
t = To
(η + sin η) (5.215)
2
Das ist eine Zykloide. Die Variable η läuft von 0 bis π; die Kollapszeit ist
Die Dichte
Tk = π
2 To
� �1/2 3π
=
32Gρo
ρ(t) = ρo (Ro/R) 3
wächst am Anfang wie t 2 , später (beim Kollaps) wie t 2/3 .
(5.216)

5.5. STABILITÄT 311
5.5.2 Lineare Störungstheorie
Der Kollaps ohne Druck ist ein (idealisierter) Sonderfall der exakt gelöst werden kann. Realistischere
Situationen müßen mithilfe der Störungstheorie behandelt werden.
Wir betrachten hier für spätere Anwendungen kleine Störungen im selstgravitierenden Gas (Schallwellen).
Zunächst allgemein, ohne besondere Symmetrie Annahmen.
Bei Kugelsymmetrie vereinfachen sich die Gleichungen immer noch beträchtlich. Sei ρ die Dichte, d.
h. ρ = ˜µ¯n, dann ist die Ausbreitung von kleinen Störungen durch die Linearisierung des obigen Satzes
von Gleichungen gegeben.
Im folgenden wollen wir annehmen, daß das ungestörte Medium (die ganze Zeit) ruht und lokal im
thermodynamischen Gleichgewicht ist. Das hydrostatische Gleichgewicht liefert dann
0 = −gradPo − ρogradVo
Die Auslenkung aus der Ruhelage sei δ�x. Dann ist �v = δ .
�x eine kleine Größe, d. h.
�v = δ d�x
dt
= d
dt δ�x, P = Po + δP, ρ = ρo + δρ
(5.217)
wobei δ die kleine Änderung der jeweiligen Variablen bezeichnet. (δ und d vertauschen). Damit können
wir die Gleichung der Massenerhaltung
δ ˙ρ = −div(ρoδ .
�x) (5.218)
direkt integrieren:
δρ = −div(ρoδ�x) (5.219)
und die Eulersche Bewegungsgleichung vereinfacht sich zu
ρo
.
�v= −gradδP − δρgradVo − ρogradδV (5.220)
Für die Änderung des Druckgradienten schreiben wir
� �
∂P
gradδP = gradδρ = γ
∂ρ
Po
gradδρ (5.221)
ρo
Falls P noch von der Temperatur abhängt (nichtentartete Materie), muß spezifiziert werden wie (∂P/∂ρ)
zu bestimmen ist.
• ANMERKUNG (ADIABATISCHE ÄNDERUNGEN)
Hier hilft der 1. Hauptsatz der Thermodynamik weiter. Er lautet
dE = −P dV + T dS + �
µidNi
Die ideale Gasgleichung
2E
3V
= P = nkT, bzw. P = RρT
˜µ
i
(5.222)
sagt zunächst nichts aus über mögliche Änderungen von P aus. Erst eine zusätzliche Information über das thermische
Verhalten der Materie (Newton hatte T = const vermutet) liefert eine eindeutige Relation zwischen dρ und dP .
Beim Schall (in Luft unter Normalbedingungen) gehen Änderungen so schnell vonstatten, daß sie in guter Näherung als
adiabatisch, dS = 0 (kein Wärmeaustausch zwischen benachbarten Volumelementen), betrachtet werden können.
Für ein ideales, einatomiges Gas ist 3
2 d(P V ) = −P dV oder P V γ = const., mit γ = 5/3.

312 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
Wir definieren damit die Schallgeschwindigkeit cs
c 2 � �
∂P
s = = γ
∂ρ
P
ρ
S
(5.223)
Chemische Reaktionen spielen normalerweise keine Rolle.
Bei entarteten Sternen (und im frühen Kosmos) können diese durchaus wichtig sein und wir müßen �
i µi dNi = 0
überprüfen.
Für adiabatische Änderungen gilt für den adiabatischen Index γ und für P (T ) beim idealen Gas aus Molekülen
γ =
f + 2
f
und P 1−γ T γ = const (5.224)
wobei f die Anzahl der Freiheitsgrade bezeichnet. Es ist f = 3 für ein ideales, einatomiges Gas.
In Molekülwolken kann T = const u. U. eine gute Näherung sein.
δP
δρ =
� �
∂P
=
∂ρ
kT
m
T
Die kritischen Frequenzen liegen bei (1/300 Jahren).
Im weiteren werden wir der Einfachheit halber Homogenität für alle Grundgrößen fordern: Vo, Po und
ρo. Der Term δρgradVo fällt weg und die Eulersche Bewegungsgleichung vereinfacht sich dann zu
ρo
.
�v= −c 2 sgradδρ − ρogradδV (5.225)
Auch die Schallgeschwindigkeit cs wird als konstant angenommen.
• ZUSATZ (RECHNUNG)
Wir differenzieren die Kontinuitätsgleichung für den Massenstrom und erhalten
¨ρ = −div(ρo
.
�v)
Einsetzen in die Divergenz der Eulersche Bewegungsgleichung liefert
¨ρ = c 2 s∆δρ + ρo∆δV
Den letzten Term ersetzen wir durch die linearisierte Poisson Gleichung,
∆δV = 4πGδρ
Das liefert die Master Gleichung der linearen Störungstheorie.
Die Master Gleichung (Jeans, 1929) der linearen Störungstheorie lautet damit
¨ρ = c 2 s∆δρ + 4πGρoδρ (5.226)
Sie ist von der Form der Schrödinger Gleichung (und wurde von diesem 1939 auf den expandieren
Kosmos angewandt). Diese Gleichung schreiben wir noch dimensionslos um, mit der Variablen δ =
δρ/ρo wie folgt:
¨δ = c 2 s∆δ + 4πGρoδ (5.227)
Die analoge Gleichung für Sternpulsationen lautet
¨δ = 1
ρ
�
γ P
r2 (r2δ) ′
�′
+ 4πGρoδ (5.228)
wobei ′ sich auf die Variable r bezieht.
Im expandierenden Kosmos lautet die Gleichung
¨δ + 2 ˙a
a ˙ δ = c2 s
a 2 ∆δ + 4πGρoδ (5.229)
wobei a(t) der Skalenfaktor der Metrik ist.

5.5. STABILITÄT 313
5.5.3 Schallwellen
Als erstes Beispiel betrachten wir den etwas idealisierten Fall eines unendlich ausgedehnten, homogenen
Mediums (ρo = const) mit konstantem Druck Po und ignorieren die Gravitation. Störungen z. B.
in Luft verlaufen adiabatisch (Laplace), d. h.
� ∂P
∂ρ
�
S
= (f + 2)P
fρ
Hier ist f die Anzahl der Freiheitsgrade, f = 5 für lin. Moleküle.
Wir erhalten
ρo
..
�x = −c 2 sgradδρ (5.230)
= c 2 sgrad[div(ρoδ�x)] (5.231)
oder, nach Kürzen, die Schwingungsgleichung für den Schall
..
�x= c 2 sgrad[divδ�x] (5.232)
Wir lösen diese Gleichung mit dem (Fourier) Ansatz
δ�x = �ae −iΦ , mit der Phase Φ = ωt − � k�x
und der konstanten Amplitude a. Das liefert die Dispersionsrelation:
ω 2 = c 2 sk 2
und zusätzlich die Aussage
�a � � k
(5.233)
d. h. Schallwellen sind longitudinal.
Es ist für Luft c 2 s = 7P/5ρ = 7kT/5˜µ d. h. die Schallgeschwindigkeit ist unabhängig von der Dichte
und der Frequenz.
5.5.4 Das Jeans–Kriterium
Als (für spätere Anwendungen wichtiges) Beispiel betrachten wir nun Störungen im homogenen, ruhenden
Gas bei Berücksichtigung der Gravitation. Die Master Gleichung liefert folgende Dispersionsrelation
(Jeans):
ω 2 = c 2 sk 2 − 4πGρo
(5.234)
Der erste Term beschreibt hier wieder longitudinale Schallwellen, der zweite liefert die sog. Jeans-
Instabilität. Falls nämlich
− ω 2 = γ 2 = 4πGρo − c 2 sk 2 > 0
ist, dann verhalten sich alle Störgrößen wie
f = f+e γt + f−e −γt
Im Gegensatz zum Kollaps von Staub, den wir exakt behandelt haben, ist hier das Anwachsen der
Dichte jedoch scheinbar exponentiell. Da aber gerade Staub als Grenzfall enthalten ist, cs = 0, kann
hier etwas nicht stimmen.

314 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
• ANMERKUNG (JEANS SCHWINDEL)
In der Tat haben wir zu stark vereinfacht. Dies ist der sog. Jeans Schwindel. Die Herleitung des Stabilitätskriteriums ist
mathematisch nicht korrekt. Damit man alle Größen Fourier transformiert darf, müßen diese konstant sein: das ist aber für
das Gravitationspotential bei konstanter Dichte ρ nicht möglich.
In einer homogenen, ruhenden Gaskugel im hydrodynamischen Gleichgewicht mit Radius R gilt
0 = −gradP − ρgradV (5.235)
Die Berücksichtigung der Gravitation verlangt
∆V = 4πGρ (5.236)
Die ungestörte Lösung lautet innen, d. h. für r < R:
V = 2π
3 Gρ(r2 − 3R 2 ) (5.237)
P = 2π
3 Gρ2 (R 2 − r 2 ) (5.238)
und außen:
V = − 4π 1
GρR3 = −GM
(5.239)
3 r r
Die ungestörte Lösung bekommt jetzt den Index o und wir sehen: nur die Dichte kann konstant sein, Druck und Gravitationspotential
können es nicht. Beide haben vielmehr einen nicht verschwindenden Gradienten. Es gibt einen Schwerpunkt
und damit ein Gravitationszentrum.
Wir können uns nun wieder als Anfangsbedingung etwa eine Wolke zum Umkehrzeitpunkt einer Expansion vorstellen,
diesmal allerdings mit Druckgradient und fragen, wie die anschließende Kontraktion verläuft, d. h. wir fragen , ob die so
gebildete Wolke stabil ist oder nicht. Die Auslenkung sei δ�x, dann ist �v = .
�x. Wir werden als nächstes zeigen, daß nun
tatsächlich exponentielles Anwachsen möglich ist, vorausgesetzt es gibt einen Druckgradienten.
Qualitativ ist die Aussage des Jeans - Kriteriums jedoch in jedem Fall korrekt.
• BEISPIEL (JEANSLÄNGE UND JEANSMASSE)
Die Anzahl der Freiheitsgrade pro Teilchen sei f, dann ist die innere Wärmeenergie Q = Ekin
Q = CvT = fNɛ = fMkT
2Amp
; ɛ = 1
kT (5.240)
2
(näherungsweise Gleichverteilung pro Freiheitsgrad, Energieeinheit ɛ) Bereits aus dem Virialsatz Egrav + 2Ekin = 0, oder
−GM 2
+ fNkT = 0
R
folgt (mit M = ˜µmHN und f = 5) für die Jeanslänge (d. h. für den Jeans Radius RJ)
(5.241)
� �1/2 15kT
RJ =
4πG˜µmHρ
(5.242)
Die hier (implizit) auftretende Größe kT/m ist bestimmbar aus dem Quadrat der Schallgeschwindigkeit (beim idealen
Gas).
c 2 s = γ p kT
= γ
ρ m
Dies kann man auch so interpretieren: geht man von konstanter Masse und Temperatur aus, dann gibt stets es einen kritischen
Radius, den Jeans Radius RJ, den wir jetzt wie folgt schreiben,
� �1/2 2 πcs RJ =
(5.243)
4Gρ
bei dessen Unterschreitung das Gas instabil wird. Die dazu gehörende kritische Masse (die Jeans Masse MJ) ist gegeben
durch
� �1/2 � �3/2 1 kT
MJ ≈
(5.244)
ρ G
In Zahlen
MJ = 12 � T 3 /nM⊙
Zum Vergleich einige Beispiele für ein ideales Gas

5.5. STABILITÄT 315
1. Interstellares Medium: T � 10000 K, n � 1 cm −3
MJ = 10 7 M⊙ und RJ = 500 pc
2. Rekombination im Kosmos: T � 15000 K, n � 1 cm −3
MJ = 5 · 10 5 M⊙ und RJ = 500 pc
5.5.5 Stabilität der Sternpulsationen
Wir untersuchen jetzt die Stabilität etwas genauer und realistischer anhand der bereits betrachteten
Sternmodelle. Wir benutzen als unabhängige Variable die Radialkoordinate r und betrachten spezielle
Sternpulsationen: stehende Wellen mit sphärischer Symmetrie, wobei für die ungestörte Lösung der
Index o gilt und ′ = d/dr die Ortsableitung bedeutet.
Die Schwingungsgleichung
Aus der Eulerschen Bewegungsgleichung (5.89) wird im Falle von Kugelsymmetrie:
�
0 = −
und
� Po
dr
o
− Gρo(ro)mo(ro)
r 2 o
(5.245)
� r
mo(r) = 4π ρo(x)x
0
2 dx (5.246)
Die Randbedingungen lauten:
mo(0) = 0 und Po(Ro) = 0 (5.247)
wobei Ro der Radius des ungestörten Sterns ist. Multiplikation mit r und partielle Integration liefert
die wichtige Beziehung
�
− Ug = 3 P dV (5.248)
Jetzt kann man nicht mehr Fourier transformieren, da ρo, Po und mo ortsabhängig sind. Für die Lösung
eines rein radial pulsierenden Sterns machen wir den Ansatz für die Auslenkung aus der Ruhlage:
r(t, ro) = ro + ξ(t, r) (5.249)
Mit δf bezeichnen wir die Eulersche Variation der Größe f, d. h. die Änderung von f, die ein am festen
Ort befindlicher Beobachter an f misst. Daneben betrachten wir die Lagrangesche Variation, ∆f, die
totale Variation, die ein mit der Materie bewegter Beobachter an der Größe f mißt. Der Zusammenhang
zwischen beiden ist
∆f = f(r) − fo(ro) = ξ f ′ o + δf (5.250)
wobei die zweite Relation die lineare Näherung ist. Für die totale Variation des Drucks, ∆P , gilt bei
adiabatischer Änderung
∆P
P
= γ ∆ρ
ρ
Die Massenerhaltung liefert die exakte Lagrangesche Variation
integral: m(r) = mo(ro) d. h. ∆m = 0
oder, in linearer Näherung,
(5.251)

316 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
1. die Eulersche Variation
δm(r) = −4πρor 2 oξ = 4π
bzw. differentiell
� r
δρ = −(1/r 2 )(r 2 ρξ) ′ = −ρ ′ ξ − (ρ/r 2 )(r 2 ξ) ′
2. und daraus die Lagrangesche Variation
∆ρ = −(ρ/r 2 )(r 2 ξ) ′
Diese kann auch direkt (zur Probe) aus
dr
dm
= 1
4πρr 2
gewonnen werden (s. Glchg. (5.280)).
In f(t, r) separieren wir die Zeit ab,
f(t, r) = ˜ f(r) e −iωt
o
δρ(x)x 2 dx (5.252)
(5.253)
(5.254)
(5.255)
Aus der Eulerschen Bewegungsgleichung wird im Falle von Kugelsymmetrie, wenn wir Glchg. (5.89)
durch ρ dividieren und Glchg. (5.76) für V ′ benutzen
d2 ′ r G m(r)
= −P −
dt2 ρ r2 und linearisieren
− ω 2 ξ = −δ
� �
′ P
ρ
G m(r)
− δ
r2 ′ δP
= −
ρ
′ δρP G δm(r)
+ −
ρ2 r2 Wir benutzen Glchg. (5.250) und Glchg. (5.251) zur Bestimmung von δP
δP = − ξP ′ − γP r −2 (r 2 ξ) ′
Daraus folgt für die 1. Ableitung von δP
δP ′ = −ξP ′′ − ξ ′ P ′ − [(γP/r 2 )(r 2 ξ) ′ ] ′
Die hier auftretende 2. Ableitung von P wird mithilfe von Glchg. (5.123) eliminiert
P ′′ ′ P
= 2
r − 4πGρ2 + P ′ ρ ′
ρ
und damit erhalten wir nach einfacher Zwischenrechnung die Schwingungsgleichung (Eddington, 1918)
für die Sternpulsationen
− ω 2 �
γP
ρξ =
r2 (r2ξ) ′
�′ ′ 4P
− ξ (5.256)
r
Mit den Randbedingungen
ξ(r = 0) = 0 und ∆P (r = R) = −γP r −2 (r 2 ξ) ′ = 0 (5.257)
hat man demnach eine Eigenwert - Aufgabe zu lösen. Beide Randpunkte sind singulär, was ihre numerische
Lösung erschwert. Die zweite Randbedingung bedeutet, daß (r 2 ξ) ′ regulär sein muß.

5.5. STABILITÄT 317
Variationsprinzip der Perioden
Die Schwingungsgleichung für die Sternpulsationen, (5.256), ist selbstadjungiert. Daraus folgt, daß die
Eigenwerte ω 2 reell und diskret sind und daß die Bestimmung der Eigenwerte in ein Variationsprinzip
umgewandelt werden kann.
Mit den Definitionen (vgl. (5.48) und (5.49))
K = γP r −2
W = ρr −2
wobei K, W, Q alle positiv sind, erhält man:
ω 2 �
′ 2 2 (Kζ − Qζ )dr
= min �
W ζ2dr Q = −4P ′ r −3
ζ = ξr 2
(5.258)
(5.259)
Für γ = 4/3 ist ξ = r exakte Lösung (homologe Transformation) mit ω = 0. Statt einer periodischen
Schwingung verhält sich ξ nun aperiodisch, ζ ∝ at + b, und die Lösung ist instabil.
Für ξ = r als Ansatz im Variationsprinzip erhält man
ω 2 =
� (9γP − 4P ′ r 3 )r 2 dr
� ρr 4 dr
= (3¯γ − 4) −Ug
Ĩ
(5.260)
dabei ist −Ug = 3 � P dV , Glchg. (5.248) benutzt worden, Ĩ ist das Trägheitsmoment bzgl. Pulsation,
Ĩ =
M�
0
r 2 dm und I = 2
3 Ĩ
Glchg. (5.80), und der Mittelwert des adiabatischen Index ist
�
2 γP r dr
¯γ := �
P r2dr • ZUSATZ
Allgemeiner ist ξ = r n ein möglicher Ansatz, das liefert im Integranden
((2 + n) 2 γ − 4(2n + 1))P r 2n mit dem Minimum n =
Pulsperioden typischer Sterne
4 − 2γ
γ
(5.261)
Da für Sternmaterie stets (3¯γ − 4) > 0 ist, könnte man vermuten, daß es keine obere Massengrenze für
Sterne gibt. Tatsächlich ist unsere Näherung, welche auf dem adiabatischen Index für massive Sterne
beruht, dafür zu grob.
Man muß dann die vollen Gleichungen mit Opazität und Strahlungstransport betrachten.
Wir geben in der nebenstehenden Tabelle einige berechnete
Werte für Ptheor = Π0 und für beobachtete Pobs Pulsperioden
Pulsperioden
(die Fundamentalmode) für ausgewählte Objekte an. Im fol- Objekt Ptheor Πobs
genden Kapitel betrachten wir ihre Herleitung genauer. Neutronenstern 0.1 . . . 1 ms
Die ersten drei Objekte sind entartet. Die seismische Grund- Weißer Zwerg 1 . . . 10 s
schwingung der Erde (beobachtbar nach starken Erdbeben) Erde 1 h 54 min
ist aufgespalten (durch die Coriolis Kraft) in Π0 = 53.1 min
Sonne 57 min 48 min
und 54.7 min.
RR Lyrae 10 h 10 h
Weiße Zwerge oder Neutronensterne sind bisher nur bei ex-
Cepheiden 1 d . . . 1 yr 1 d . . . 1 yr
tremer Rotation nicht aber bei Pulsation beobachtet. Der Radiopulsar
PSR B1937 + 21 hat eine Rotationsperiode von
Tab. 5.4: Pulsperioden
nur 1.5 ms, der Weiße Zwerg WZ Sge hat P = 27.8 Sekunden.
Viele Röntgenburster zeigen Quasi-periodische Oszillationen im kHz Bereich, was ebenfalls als Rotationsperiode
(des Neutronensterns und seiner Akkretionsscheibe) gedeutet wird.

318 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
Stabilität der Schwingungen
Es sei Π die Periode der Fundamentalmode (i = 0 mit Π0). Die diskreten Eigenwerte ω 2 i und die zugehörigen
regulären Eigenfunktionen ξi der Schwingungsgleichung, (5.256), bilden für i = 0 . . . ∞
einen vollständigen Satz von Funktionen, nach denen jede Störung, welche die Randbedingungen
erfüllt, entwickelt werden kann. Eine notwendige Bedingung für die Stabilität eines Sterns gegen radiale
Schwingungen ist, daß der kleinste Eigenwert, ω 2 0 > 0 erfüllt.
Die Periode der Fundamentalmode, i = 0, ist
Π0 = 2π
ω0
(5.262)
Sie ist bekannt, d. h. beobachtet, für die Sonne, RR Lyrae Sterne und Cepheiden.
Ein Weißer Zwerg sollte nach einem Nova Ausbruch eine merkliche Schwingungsamplitude haben,
ein Neutronenstern vermutlich nur direkt nach der Geburt oder nach einem Burst; beobachtet ist das
aber noch nicht.
Die homogene Gaskugel als Beispiel
Die Eigenwertgleichung der homogenen Gaskugel kann exakt gelöst werden:
ω 2 = 2πGργ
[γ(n
3
2 + 5n + 6) − 8] (5.263)
Wir betrachten die Dichteverteilung der homogenen Gaskugel, ρ = ρ(t) und ein ideales Gas mit adiabatischem
Index γ. Für die Grundmode kann man als Ausgangslösung eine Gaskugel mit ρ = const
als einfachste Näherung betrachten. Mit den Abkürzungen
à =
3ω2 2(4 − γ)
+
2πGργ γ
und z = r
R
lautet die (singuläre) Schwingungsgleichung, (5.256), wobei ′ = d
dz ist
(1 − z 2 )ξ ′′ +
mit den Randbedingungen
Der Ansatz
liefert
(5.264)
� �
2
− 4x ξ
x ′ 2
+ ( Ã − )ξ = 0 (5.265)
x2 ξ ′ (0) = 0 und ξ(R) endlich (5.266)
∞�
ξ = anz
n=0
s+n
1. die Bedingung für s
(s + 2)(s − 1) = 0 (5.267)
woraus s = 1 folgt, da die Lösung regulär sein muß.

5.5. STABILITÄT 319
2. die Rekursionsformel für die a
an+2
an
= n2 + 5n + 4 − Ã
n 2 + 7n + 10
n = 0.2.4, . . . (5.268)
woraus folgt, daß n eine gerade Zahl sein muß, da die Serie divergiert. Damit gilt für die Eigenwerte
à = n 2 + 5n + 4 n = 0.2.4, . . . (5.269)
oder explizit
ω 2 = 2πGργ
[γ(n
3
2 + 5n + 6) − 8] (5.270)
Der niedrigste Eigenwert, n = 0, der Lösung lautet demnach à = 4 und ξ = aor. Es ist dann exakt
ω 2 0 = 4π
3
G ρ (3γ − 4) (5.271)
Für ein ideales Gas ist γ = 5/3.
Diesen Wert werden wir im folgenden für numerische Angaben zugrunde legen. Für die Sonne erhält
man dann
Π0 = 167
� ρ⊙
ρ
min (5.272)
Das ist etwa ein Faktor 3 zuviel für die Sonne, da für diese die Annahme konstanter Dichte nicht
stimmt. Das Eddingtonsche Standardmodell liefert wesentlich bessere Ergebnisse. Für die Erde erhält
man so 84 min, was wesentlich besser ist (etwa 20 min zuviel, auch die Erde ist nicht homogen).
Polytrope
Für polytrope Sternmodelle mit Index n erhält man
√ �
Π0 ¯ρ = fnfq mit fn = ¯ρ
(n + 1)π
und fq =
ρc
γGΩ2 (5.273)
√
Die mit der mittleren Dichte skalierte Pulsperiode, Π0 ¯ρ, hängt nur vom Index n ab über die relativen
Massenkonzentration fn und dem dimensionslosen Eigenwert Ω und vom adiabatischen Index γ.
Für das Eddingtonsche Standardmodell hat man fn = 54.18 und für die ersten i = 0 . . . 4 dimensionslosen
Eigenwerte Ω2 (i) gilt für γ = 5/3 (ideales Gas)
i 0 1 2 3 4
Ω 2 0.1367 0.2509 0.4209 0.6420 0.9117
Das liefert für die Sonne Π0 = 57 min, wie in der Tabelle angegeben. Für andere, massivere Sterne
kann man den adiabatischen Index γ noch wie folgt verbessern
γ =
32 − 24β − 3β2
24 − 31β
Dabei ist β der Eddington Parameter Glchg. (5.127).

320 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
5.5.6 Ein Extremalprinzip für Sternpulsationen
Der Druck
Extremalprinzipien spielen in der Physik zu recht eine bedeutende Rolle: die fundamentalen Feldgleichungen
folgen alle aus dem Prinzip der kleinsten Wirkung. Für die phänomenologische Thermodynamik
gibt es kein solches Prinzip.
An seine Stelle tritt oft das Prinzip vom Minimum der Energie, bezüglich kleiner Auslenkungen aus
dem Grundzustand. Bezüglich dieses Grundzustands können die Amplituden der Auslenkungen dann
als kanonische Variablen benutzt werden. Grundlage sind dann Teilchenzahlerhaltung dNi = 0 und
Adiabasie, dS = 0 während der Schwingung.
Der erste Hauptsatz der Thermodynamik
dE = −P dV + T dS + �
µidNi
(5.274)
i
liefert dann bei der Variation der Energie dE = −p dV den Druck, oder
� �
2 d ɛ
n
dn n
= p (5.275)
N,S
Wir zeigen nun, daß bezüglich Auslenkungen aus der Ruhelage die Gesamtenergie Etot eines Sterns
extremal ist, mit den folgenden Eigenschaften:
1. Die 1. Variation liefert das hydrostatische Gleichgewicht.
2. die 2. Variation liefert die Gleichung für die Sternpulsationen.
Es ist Etot = Ug + Ui und im Falle kugelsymmetrischer Materieverteilung ist, s. die Glchgn. (5.69) und
(5.61)
Etot =
M�
0
Vdm ; V = −Gm
r
+ ɛ
ρ
Die Lagrange - Form der Kontinuitätsgleichung
(5.276)
Als unabhängige Variable benutzen wir jetzt m statt r und gehen damit von der Eulerschen Beschreibung
der Variation am festen Ort über zu den Lagrange Koordinaten der mitbewegten Materie. Da m
ein Skalar, r i. a. aber ein Vektor ist, funktioniert das Verfahren nur für shpärische Störungen.
Wir definieren die Energie pro Masse ˆɛ und die Auslenkung aus der Ruhelage ξ
ˆɛ = ɛ
; ξ = δr (5.277)
ρ
Während der Pulsation gilt Massenerhaltung, wie man folgendermassen zeigt: Ausgehend von
r ′ = dr
dm
= 1
4πρr 2
erhalten wir für die Lagrange - Variation der Dichte
� �
∆ρ
oder
ξ ′ = δr ′ = −1
4πρr 2
ρ
+ 2δr
r
(5.278)
(5.279)
∆ρ d
= −4π
ρ2 dm (r2ξ) (5.280)
Das ist die Lagrange - Form der Kontinuitätsgleichung.

5.5. STABILITÄT 321
Die 1. Variation der Energie
Die Gesamtenergie ist gegeben durch Glchg. (5.276). Für shpärische Störungen ξ = ξ(m) hat die 1.
Variation zwei Anteile:
δEg =
M�
0
Gm
ξdm
r2 für die Gravitation und
δEi =
M�
0
δˆɛdm mit δˆɛ = dˆɛ
dρ δρ
für die innere Energie. Wir benutzen (5.280) und (5.275) und erhalten
δEi =
M�
0
p
∆ρdm = −4π
ρ2 Die Gesamtvariation lautet
δEtot =
M�
0
M�
0
p(r 2 ξ) ′ dm = 4π
V1ξdm mit V1 = Gm dP
+ 4πr2
r2 dm
M�
0
p ′ r 2 ξdm
Die Bedingung V1 = 0 ist das hydrostatische Gleichgewicht, geschrieben in der Variablen m. Demnach
bedingen δEtot = 0 für beliebiges ξ und V1 = 0 sich gegenseitig.
Noch einfacher ist die Herleitung, wenn wir
δEi =
M�
0
d(δEi) = −
schreiben und partiell umintegrieren.
Die 2. Variation der Energie
Die 2. Variation wird
δ 2 Etot =
M�
0
M�
0
� −2Gmξ 2
r 3
P d(δV ) = −
M�
0
P dδV
dm =
dm
M�
0
P ′ δV dm
+ 8πr dP
dm ξ2 + 4πr 2 �
d ∆P
ξ dm (5.281)
dm
die beiden ersten Terme sind gleich (hydrostatisches Gleichgewicht) und der letzte wird umintegriert
zu:
δ 2 Etot =
M�
0
�
16πr dP
dm ξ2 − ∆P d
dm (4πr2 �
ξ) dm
Wir ersetzen ∆P nach Glchg. (5.251) und benutzen Glchg. (5.280) und erhalten mit den Bezeichnungen
von Glchg. (5.48)
δ 2 Etot = 4π
�R
0
(K ζ ′ 2 − Q ζ 2 )dr

322 KAPITEL 5. HYDRODYNAMIK: STERNMODELLE
Diese Form liefert das Variationsprinzip, allerdings noch ohne (kinetische) Pulsationsenergie:
Epuls = 1
2
�R
Nach dem Virialsatz gilt
0
˙ξ 2 dm = ω2
2
�R
0
4π ξ 2 r 2 dr
1
2 < Ëpuls > = 2 < Ui > + < Ug >
und das ist genau das bereits abgeleitete Variationsprinzip, Glchg. (5.49). Wir sehen so, daß (für kleine
Schwingungen) ein Minimum der Gesamtenergie vorliegt, falls ω 2 > 0 gilt. Dieses ist stabil. Die Fälle
ω 2 ≤ 0 sind meta bzw. instabil.

Kapitel 6
Planeten
6.1 Problemstellung
Die ersten Ansätze, die Enstehung von Planeten rein wissenschaftlich zu erklären, gehen auf den
Engländer Thomas Wright und den deutschen Philosophen Emmanuel Kant zurück (Urnebel Hypothese).
Die Frage, ob es im Weltraum außer der Sonne noch weitere Sterne mit Planeten gibt, ist von der Beobachtung
✬nunmehr
zweifelsfrei ✩mit
ja beantwortet. Sogar Statistik kann man schon mit den gefundenen
Planeten machen: Etwa die Hälfte sonnenähnlicher Sterne hat (massive)
Die Sonne tönt nach alter Weise
Planeten, die andere Hälfte nicht. Diese sind notwendigerweise Jupiter
In Brudersphären Wettgesang.
Und ihre vorgeschriebne Reise ähnlich und werden über die Dopplerverschiebung an Linien des Zen-
Vollendet sie mit Donnergang. tralsterns nachgewiesen. Ein System wie die Sonne mit einem Jupiter in
J. W. Goethe 5.2 AE Entfernung und einer Umlaufperiode von 11.8 Jahren ist derzeit
✫
✪(wegen
der langen Umlaufperiode) noch nicht nachweisbar. Erdähnliche
Planeten hat man auch entdeckt, allerdings kreisen diese um einen ms-Pulsar und keiner weiß, wie sie
dahin gekommen sind.
Eine Frage, die daran anschließt, kann im Augenblick nicht behandelt werden, da die Empfindlichkeit
der Nachweismethode dazu noch nicht ausreicht: wie wahrscheinlich ist es, daß es ähnliche Sternsysteme
wie das unsere gibt. Die bisher nachgewiesenen Planeten sind zu massiv und zu nah an ihrem
Mutterstern.
• ANMERKUNG (DIE ERDE UND DAS WELTBILD BIS ZUR AUFKLÄRUNG)
Die Erde selbst ist eine Kugel (jedenfalls bei Pythagoras). Diese dreht sich um ihre Achse (Aristarch). Die Größe der Erde
und die Entfernung von der Erde zum Mond wurden von Eratosthenes bestimmt. Die Idee, daß die Sonne im Zentrum steht,
wurde von Ptolomäus verworfen, da die aristotelische Lehre für diesen Fall zu grosse Rotationskräfte vorhersagte.
Grosse Weltentwürfe waren vor allem die Beschreibung der Planetenbewegungen (relativ zu den Fixsternen) am Himmel.
Von Pythagoras (582 - 500 vor Chr) stammt die Bezeichnung Kosmos für die der menschlichen Erkenntnis zugängliche
Welt. In der Zahl sah er den Ursprung aller Dinge. Spärenharmonie (oder Sphärenmusik) war bei ihm das Tönen der sich
um das Zentralfeuer auf Kreisen bewegenden Planeten.
Diese Vorstellungen eines vollkommenen Kosmos wurden zunächst fraglos von der Antike übernommen (von Hipparch,
160 - 125 v. Chr. und von Ptolomäus, 90 - 168) und dann u. a. von Kopernikus (1473 - 1543), Brahe (1546 - 1601), Kepler
(1571 - 1630), Galilei (1564 - 1642), Descartes und Leibniz überarbeitet bzw. neu ersonnen. Leibniz kam zu der Ansicht,
daß diese Welt die beste aller möglichen Welten sei (Er wurde von Voltaire in seinem Candide dafür gehörig lächerlich
gemacht).
Aber erst Newton (1642 - 1727) hat mit seinem Gravitationsgesetz die Grundlage zur mathematisch physikalischen Beschreibung
des Planetensystems der Sonne geliefert. Drei Problemkreise wurden durch diese Theorie aufgeworfen.
1. Was ist der Urprung des Planetensystems? Newton nahm Gott als Schöpfer und auch gelegentlichen Lenker an.
2. Die Frage, wie die Kraft von der Sonne auf die Planeten übertragen wird. Diese konnte er nicht beantworten und
spekulieren wollte er darüber nicht (Hypotheses non fingo).
323

324 KAPITEL 6. PLANETEN
3. Was zeichnet den absoluten Raum aus? Auch hierauf fand er keine Antwort, aber Newton konnte mit seinem Eimerversuch
zeigen, wie er festgestellt werden kann. Er ist eindeutig bis auf eine Galilei Transformation.
Das Weltbild des Pierre Simon Marquis de Laplace (1749 - 1827), dargelegt in seinem Buch Le Système du Monde kommt
bereits ohne einen Schöpfer und Lenker aus. Die Sonne bildet sich durch Schrumpfen des Urnebels, die Planeten entstehen
aus Ringen von Gas und Staub, die die Sonne abwirft, um ihren Drehimpuls loszuwerden. Auf die Frage Napoleons, wo
denn in seiner Welt Gott vorkomme, antwortet Laplace mit den geflügelten Worten: Diese Annahme benötige ich nicht,
Sire.
Von Aristarch von Samos, der als erster um 280 vor Chr. das heliozentrische Weltbild vertreten hat, bis zu Kopernikus,
der, gestützt auf genauerer Beobachtungsdaten, mit dieser Hypothese das Weltbild der Renaissance (dargelegt in De Revolutionibus
Orbium Celestum) revolutionierte, vergingen fast 2000 Jahre. Kopernikus hält aber an der Beschreibung der
Planetenbahnen durch Kreise (und Kreise auf Kreisen, den Epizyklen) fest.
Bis zum endgültigen Modell der Planetenbahnen (Ellipsen mir der Sonne in einem Brennpunkt) vergehen nur noch 200
Jahre mit wechselnden Beschreibungen.
Tycho Brahe entwirft ein Mischmodell: Mond und Sonne umkreisen die Erde, alle anderen Planeten umkreisen die Sonne.
Damit ist das Problem der fehlenden Parallaxe formal gelöst.
Johannes Kepler findet, gestützt auf die genauen Beobachtungsdaten seines Schwiegervaters Brahe, die korrekte Bahnform
(anhand der Marsbahn von 687 Tagen). Damit kann er erstmals auf Epizyklen verzichten.
Galileio Galilei übernimmt das System des Kopernikus, Keplers Ellipsenbahnen lehnt er ab.
Mit Newton findet die Suche nach der richtigen Bahn der Planeten ihren vorläufigen Abschluß: die Bahnen werden durch
Kräfte bestimmt (nicht von Göttern). Von da an steht nicht mehr die Bahn, sondern die Kraft (und ihre Quelle) im Vordergrund
des physikalischen Interesses. Das gilt bis heute.
Bei bekannten Kräften kann man (insbesondere bei makroskopischen Systemen wie den Planeten, falls die Anfangsbedingungen
bekannt sind) zweierlei tun:
1. die zukünftige Entwicklung,
2. die Vergangenheit
vorhersagen. Damit stellt sich sofort die Frage nach dem Ursprung des Sonnensystems. Bei Newton ist noch Gott als
Schöpfer dafür zuständig, bei Laplace (und Maxwell) bereits nicht mehr. Von Newtons Hypotheses non fingo, womit er
sagen wollte, daß man über den Ursprung des Universums im Rahmen der bekannten Physik keine Aussage machen kann,
bis zu Laplaces Je n’ai pas besoin de cette hypothèse, als Antwort auf Napoleons Frage, wo denn bei ihm der Schöpfer
vorkomme, sind es dabei nur noch 100 Jahre.
Die astronomische Einheit AE, d. h. die Entfernung Erde-Sonne, ist die Grundeinheit der Länge im
Sonnensystem und es gilt:
1 AE = D Erde-Sonne = 2.3 · 10 4 R⊕ = 1.49 · 10 13
oder, genauer
1AE = 149597892 km
cm ∼ = 500 s
Zur Grundeinheit der Länge im Sonnensystem gehört die der Zeit: die Bahnperiode der Erde beträgt
siderisch:
1 yr = 365.25636 d, oder 3.1558 · 10 7
Da die Frage, ob es im Weltraum außer der Sonne noch weitere Sterne mit Planeten gibt, nunmehr
positiv beantwortet ist
• ZUSATZ (DER WEG ZUM NÄCHSTEN STERN)
Bis 40 AE.
Der Rand des Planeten und Asteroiden Systems der Sonne (Kuiper Gürtel) liegt bei etwa 40 AE. Bis hierher sind
bereits Raumsonden gelangt.
Bis 80 AE.
Die Heliosphäre (d. h. der Einfluß des Sonnenwindes mit seinem Magnetfeld) reicht bis etwa 80 AE (diese Entfernung
wird etwa 2001 von Voyager 1 erreicht).
s

6.2. DAS PLANETENSYSTEM DER SONNE 325
Bis 200 AE.
Die lokale interstellare Wolke (Übergang des Sonnenplasmas ins interstellare Medium) reicht bis etwa 200 AE.
Bis 40 000 AE.
Der direkte gravische Einfluß der Sonne reicht etwa bis zur Oortschen Wolke in 40 000 AE Entfernung, das sind 0.2
Parsec.
Bis 1 Parsec (Erdbahnparallaxe) = 206 265 AE.
Eine wichtige (astronomisch technische) Grundeinheit ist
1 pc = 206265 AE = 3.08 · 10 18
Der nächste bekannte Stern ist 1.3 pc entfernt.
6.2 Das Planetensystem der Sonne
6.2.1 Einleitung: die Gestalt der Planeten
Von den vier Fundamentalkräften bestimmen zwei die Gestalt der Planeten:
1. das quantisierte Elektronengas plus Coulombkraft und
2. die Gravitationskraft.
cm = 3.26 Lichtjahre (6.1)
Über das Innere der Planeten ist nicht viel aufgrund von Beobachtung bekannt, insbesondere die Innentemperatur
ist unsicher (der Druck stammt hauptsächlich von entarteten Elektronen). Unser Wissen
beruht zumeist auf theoretischen Modellen. Grundlage ist die Kenntnis der Zustandsgleichung für entartete
Materie. Diese wurde erstmals ∗ von Feynman, Metropolis und Teller (1949) hergeleitet. Für die
Erde können Komprssions und Elastizitätsmodul aus Erdbebenwellen und aus dem Chandler Wobbel
bestimmt werden.
6.2.2 Aufbau der Planeten
Wir betrachten im folgenden der Reihe nach
1. Planeten im Grundzustand (Kugel),
2. als pulsierende bzw.
3. als starr rotierende Flüssigkeit und
4. als Begleiter eines zweiten Objekts.
Wir bezeichnen das Gravitationspotential mit φ, den Druck mit P und die Winkelgeschwindigkeit der
Rotation mit Ω.
Die Grundgleichungen
Dann lauten die Grundgleichungen, die neben der Zustandsgleichung P = P (ρ) für entartete Materie
benötigt werden
ρ ∂2�r ∂t2 = −ρ� ∇φ − � ∇P − ρ� ∇Zrot (6.2)
∆φ = 4πGρ (6.3)
Zrot = − 1
(6.4)
2 � ∇(Ω × r) 2
Also in dieser Reihenfolge: Eulersche Gleichung, Poissonsche Potentialgleichung und Zentrifugalpotential
für starre Rotation.
∗ Feynman, R.P. and N. Metropolis and E. Teller Equations of state of elements based on the generalized Fermi-Thomas
theory 1949 Phys.Rev. 75, 1561. Eine Verbesserung wurde von Salpeter angegeben. E.E. Salpeter Energy and pressure of
a zero temperature plasma 1961, Ap.J. 134.669.

326 KAPITEL 6. PLANETEN
Das Gravitationspotential
Wir fassen hier die mathematischen Grundlagen zur Lösung der Poissonschen Potentialgleichung zusammen.
• FORMELN (DIE LAPLACE GLEICHUNG)
Wir beginnen mit den Eigenschafte der ’Laplace Gleichung’, hier für das Potential V geschrieben (mit den Winkeln θ und
φ, r ist hier Radial-Koordinate)
div gradV = ∆V = 0 (6.5)
welche das Feld im quellfreien Raum beschreibt. Der Operator lautet in Kugelkoordinaten
∆ = 1
r 2
� �
∂ 2 ∂
r +
∂r ∂r
1
r2 �
1
sin θ
�
∂
sin θ
∂θ
∂
�
+
∂θ
1
sin 2 θ
∂2 ∂φ2 �
Die allgemeine Lösung in Kugelkoordinaten ist separabel und enthält 3 verschiedene Anteile: eine Qrtsfunktion f(r) und
eine Kugelfunktion, X m l , die selbst Produkt zweier Winkelfunktionen ist.
Die Winkelanteile davon sind Darstellungen der Drehgruppe zum Drehimpuls l. Darin liegt ihre grosse Bedeutung: alle
physikalischen Skalare haben diese Winkelabhängigkeit (Schrödingergleichung, Maxwellgleichung etc.), falls sie einer
linearen Differentialgleichung gehorchen.
Die Kugelfunktionen sind wie folgt definiert:
wobei P m
l
X m l = e imφ P m
l (cosθ) (6.7)
die Legendre–Funktionen sind.
Die Kugelfunktionen erhalten noch den Faktor
e imφ , und die in der Tabelle aus Platzgründen
fehlende Funktion lautet
(3 sin θ − sin 3θ)ei3φ
X3 3 = 15
4
Der Radialanteil der Gesamtfunktion Vmm hat
zwei Terme, hier mit + und − bezeichnet. Sie
lauten,
1. für die im Unendlichen reguläre Funktion:
V − mn = r−n−1 Xm l
bzw.
2. für die im Ursprung reguläre Lösung:
Legendre Funktionen P m n
n m = 0 m = 1 m = 2
0 1 0 0
1 cos θ sin θ 0
1
3
2 4 (3 cos 2θ + 1)
3 1
8 (5 cos 3θ + 3 cos θ) 3
3
2 sin 2θ
8 (5 sin 3θ + sin θ) 15
4
Tab. 6.1: Kugelfunktionen
(6.6)
2 (1 − cos 2θ)
(cos θ − cos 3θ)
V + mn = r n X m l .
Für die Aussenlösung kommt demnach nur die erste infrage.
Aus diesen skalaren Basisfunktionen, die ein vollständiges System bilden, kann man die Lösungen der inhomogenen Gleichungen
gewinnen, wie wir jetzt zeigen wollen.
• FORMELN (DIE POISSONSCHE POTENTIALGLEICHUNG)
Ausgehend vom Newtonschen Potential für ein Punktteilchen
V (�r) = Gm 1
|�r|
zur Dgl. ∆V = 4πGδ(�r)) (6.8)
erhalten wir wegen der Linearität der Differentialgleichung für N Teilchen
V (�r) =
N� 1/
Gmi
�r − �ri|
i=1
und daraus im Grenzübergang kontinuierlicher Materieverteilung der Massendichte ρ die Poissonsche Potentialgleichung
∆V = 4πGρ (6.10)
Wir lösen diese demnach für das Gravitationspotential V mit dem folgenden Ansatz (Greensche Funktion)
�
V (�r) = G
ρ(�u)/
�r − �u| d3u (6.11)
(6.9)

6.3. DER INNERE AUFBAU DER PLANETEN 327
Ausserhalb der Materieverteilung muß die Lösung in die der ’Laplace Gleichung’ übergehen. Das liefert folgende Multipolentwicklung
V (�r) = −GM �
n
αnr −n−1 X m l
Im Falle des Newtonschen Gravitationspotentials fällt der Dipolterm weg, und die ersten beiden Terme lauten (in der
Definition von Landau und Lifschitz)
�
M 1
V (�r) = −G +
r
mit dem Quadrupolmoment
�
Dαβ =
∂ 2
6 Dαβ
∂xα∂xβ �
(6.12)
(6.13)
ρ(3xαxβ − r 2 δαβ)dV (6.14)
• FORMELN (DIE HELMHOLTZ GLEICHUNG)
Hierher gehört auch die ’Helmholtz Gleichung’
∆A + k 2 A = 0 (6.15)
bzw. die Yukawa Gleichung mit umgekehrten Vorzeichen, k = iµ. Leider ist der Übergang k → 0 singulär, sodaß selbst
die beiden Fälle, ’Laplace Gleichung’ und ’Helmholtz Gleichung’, getrennt behandelt werden müssen. Dieses verschieben
wir auf später (Elektrodynamik).
6.3 Der innere Aufbau der Planeten
Einfache Modelle für Planeten, braune und weiße Zwerge erhält man für folgende Zustandsgleichungen:
1. ρ = const. Inkompressible Materie (Limes zu n = 0).
2. P = Kρ 2 . Polytrope zum Index n = 1.
3. P = Kρ s . Polytrope zum Index n mit s = 1 + 1
n .
Die beiden ersten Modelle können vollständig analytisch behandelt werden, sind also besonders bequem
zu einer qualitatven Diskussion geeignet. Inkompressible Materie erlaubt sogar eine exakte
Lösung bei Rotation. Wir werden sie betrachten bei der Behandlung der Rotation der Erde, Maclaurin
(1742) fand die nach ihm benannten 2-achsigen Rotations-Ellipsoide mit grosser Hauptachse a = b und
und kleiner Hauptachse c = a √ 1 − e 2 . Jacobi (1834) fand eine weitere Sequenz, und zwar 3-achsige
Ellipsoide (geringerer Energie) a > b > c bei hohem Drehimpuls. Poincaré fand (1855) eine weitere
Sequenz zur Jacobi Sequenz.
Nichtrelativistische Materie (genügender Dichte) kann mit n = 1.5 und relativistische Materie mit
n = 3 beschrieben werden. Die Sonne selbst ist nichtentartet, hat also keine Zustandsgleichung der
Form P = P (ρ), sie kann aber als Polytrope mit n = 3 genähert werden.
6.3.1 Inkompressible Materie
Einfachste Grundlage zur Beschreibung des Inneren eines Planeten ist die inkompressible, homogene
Kugel. Wir bezeichnen das Gravitationspotential mit φ und lösen die Poissonsche Potentialgleichung
∆φ = 4πGρ (6.16)

328 KAPITEL 6. PLANETEN
in sphärischen Koordinaten für Kugelsymmetrie:
∆φ = 1
r2 d d
r2 φ = 4πGρ (6.17)
dr dr
Die Differentialgleichung ist singulär bei r = 0. Die singuläre Lösung
φ = φs = − Gm0
r
im Innern des Sterns beschreibt eine Punktmasse im Zentrum und wird aus physikalischen Gründen
ausgeschlossen. Wenn wir die Masse innerhalb des Radius r mit m = m(r) bezeichnen, dann gilt für
die Ableitung vom Potential (Beschleunigung g):
g = − dφ
dr
Gm 4π
= =
r2 3
Die reguläre Lösung im Innern lautet
φ = φ0 + 2πGρ
r
3
2 = φ0 + Gm
2r
Gρr (6.18)
(6.19)
Die Aussenlösung, d. h. wo ρ(r) = 0 ist, wird so geeicht, daß φ(∞) = 0 gilt. Die Integrationskonstante
der Innenlösung ist dann eindeutig bestimmt: φ0 wird so gewählt, daß die Außenlösung
φ = − GM
r
; ∆φ = 0 (6.20)
stetig am Rand M = m(R) an die Lösung im Innern anschließt. Das liefert
φ0 = − 3GM
2R
; R : Radius M : Masse (6.21)
Der Druck muß als Kraft pro Fläche ebenfalls stetig sein,
P (R) = 0 ; R : Radius (6.22)
Den Druck im Innern erhalten wir damit aus
zu
dP
dr = P ′ = −Gρ Gm
r2 P = 1
2 ρ
�
GM
R
�
Gm
−
r
Für den Druck im Zentrum gilt also
Pc = ρGM
2R
(6.23)
(6.24)
= −1 ρφ(R) (6.25)
2
für die inkompressible, homogene Kugel.
Die singuläre Lösung (Index s) hat zusätzlich den Term
Ps = P + Gρm0
r
der Druck divergiert im Zentrum.
Wir betrachten nun eine Sequenz von inkompressiblen, homogenen Kugeln mit der Masse M als Parameter.
Der Radius R solcher Kugeln wächst unbeschränkt wie M 1/3 .

6.3. DER INNERE AUFBAU DER PLANETEN 329
Um zu sehen, wann unsere einfache Näherung konstanter Dichte ihre Gültigkeit verliert, schreiben wir
P ′ = dP
dρ ρ′ = −Gρ Gm
r2 und schätzen ∆ρ ≈ ρ ′ R < ρ ab. Dazu setzen wir
dP
dρ = c2s und v 2 esc = 2GM
R
(6.26)
(6.27)
wobei cs die Schallgeschwindigkeit und vesc die Entweichgeschwindigkeit ist.
Die Bedingung für die Anwendbarkeit unserer einfachen Näherung ρ = const, lautet demnach, wenn
wir
∆ρ
ρ ≈ v2 esc
c 2 s
abschätzen:
c 2 s ≫ v 2 esc
Für reines Eisen ist (der Laborwert, unter Normalbedingungen) cs = 7.1 km s −1 und für die Erde
beträgt vesc = 11.2 km s −1 . Die Bedingung für die Anwendbarkeit unserer einfachen Näherung ist
damit für die Erde deutlich verletzt.
Die Grenzmasse, die unserer einfachen Näherung entspricht, beträgt
Mc = 4 · 10 26
g oder Mc = M⊕/14 (6.28)
bei einem Radius von R = 2 · 10 8 cm, was Rc = R⊕/2.7 entspricht.
Zum Vergleich: der Mond hat M = 0.012M⊕ und R = 0.274R⊕ und liegt damit etwas über dieser
Grenze.
6.3.2 Die Zustandsgleichung
Für genauere Aussagen über das Innere von Planeten benötigen wir die Zustandsgleichung. Als extreme,
idealisierte Beispiele betrachten wir reines Eisen (Erde) und reinen Wasserstoff (Jupiter). Für
Laborbedingungen (etwa die Oberflächenverhältnisse der Planeten) muß diese zunächst experimentell
bestimmt werden. Die entscheidende Größe ist k, die hydrostatische Kompressibilität, welche für
entartete Materie aus der Schallgeschwindigkeit cs bestimmt werden kann:
k = − 1
V
dV
dP
= 1
ρ
dρ
dP =
1
ρc 2 s
(6.29)
Bei entarteter Materie spielt die Temperatur keine Rolle, chemische Reaktionen sind ebenfalls vernachläßigbar.
Sonst muß die Ableitung den thermodynamischen Bedingungen entsprechend genom-
men werden:
c 2 � �
dP
s =
dρ S
falls die Schwingungen adiabatisch sind, S = const. Im hydrostatischen Gleichgewicht gilt der Grenzfall
extrem niedriger Frequenzen.
Für Eisen ist k = 0.6 · 10−12 g−1 cm s2 und ρ = 7.86 g cm−3 . Die zu k inverse Größe heißt Elasti-
zitätsmodul E und es gilt
cs =
�
E
ρ
Ab ρ = 15 g cm −3 gibt es (für niedrige Temperaturen) Rechnungen von Feynman, Metropolis und
Teller, die ab etwa ρ = 10 4 g cm −3 in die Zustandsgleichung des freien Elektronengases übergehen.

330 KAPITEL 6. PLANETEN
6.3.3 Die Zustandsphasen
Bei der Erde sind in der Kruste und im Kern Korrelationsenergie eines Eisengitters und Gravitationsenergie
vergleichbar. Sie liegt damit gerade an der Grenze zweier Phasen: fest und flüssig. So kann
man die maximale Höhe von Bergen, h, und damit die Ebenheit der Erdoberfläche, abschätzen, nach
der Formel:
kTs = mF eg h mit kTs � α 3 mec 2
wobei für Ts etwa die Schmelztemperatur von Eisen (oder Stein) einzusetzen wäre. Hier ist mgh die
pot. grav. Energie am Fusse des Berges, von der Spitze aus gemessen, und g = 981 cm s −2 die Erdbeschleunigung.
Für den Schmelzdruck erhält man mit
Ps � nkTs
aus unserer Abschätzung für T etwa Ps ≈ 10 9 dyn cm −2 und aus Ps = gρh die maximale Höhe damit
zu h ≈ 10 km. Sieht man von Inhomogenitäten in der Dichte ab, dann ist das in etwa auch die Dicke
der Erdkruste.
Unsere Formel
h = Ps
gρ = α3mec2 mF eg
g = GM
R 2
können wir nun an anderen Planeten testen: für den Mars erhält man h ≈ 26 km (der Olympus Mons
hat 24 km) und für den Mond mit g = 0.165g⊕ sogar h ≈ 60 km, was in etwa für die Dicke der
Mondkruste zutrifft (Berge vulkanischen Ursprungs gibt es dort nicht). Auf der Venus ist Maxwell
Montes mit 12 km der höchste Berg (in einem Gebirge der Ausmasse 700 km mal 400 km). Planeten
sind demnach mit h/R ≈ 10 −3 sehr rund, was für die kleineren Monde, Asteroiden und Planetoiden
nicht mehr gilt. Entsprechend unregelmässig sind letztere geformt. Die beiden Mars Monde Phobos
(gr. Furcht) und Deimos (gr. Panik) haben Abmessungen 28 mal 23 mal 20 km und 16 mal 12 mal 10
km.
Nehmen wir als einfachsten Fall an, daß der Planet aus reinem Wasserstoff mit der Masse m := mH besteht.
Die Coulomb-Abstossung des Hüllen-Elektrons mit seinem nächsten Nachbarn liefert die Kraft,
um der Gravitation die Waage zu halten. Der Quotient beider Kräfte, bezogen auf die schweren Protonen,
an denen die leichten Elektronen hängen, ist eine der Diracschen grossen Zahlen
D1 = e2
≈ 1036
Gm2 (6.30)
Da die Gravitation unendliche Reichweite hat, die Coulomb - Kraft jedoch abgeschirmt wird, vergrößert
sich das Verhältnis von Gravitationskraft zu Coulomb - Kraft bei N Teilchen um das N-fache.
Eine kritische Grenzmasse, Mc, erhält man für Planeten, indem man beide Kräfte, oder – einfacher –
ihre Bindungsenergien, gleich setzt.
Das ergibt, wenn man den mittleren Elektronenabstand mit l ≈ RN −1/3 abschätzt,
Ne 2
l
= N 4/3 e 2
R
= Gm2 N 2
R
Der Radius R hebt sich heraus und man erhält für einen Planeten eine kritische Teilchenzahl, Nc, und
eine dazu gehörende kritische Masse Mc:
Nc = D 3/2
1
≈ 10 54
bzw. Mc = mHN ≈ 10 −3 M⊙ (6.31)
Bis zu Mc dominiert die Coulomb - Kraft den Planeten, für größere Massen sind beide gleich wichtig.

6.4. DIE NEUN PLANETEN DER SONNE 331
Statt der Coulomb - Kraft hätten wir auch den Pauli - Druck benutzen können und für unsere Abschätzung
eine nichtrelativistische, inkomressible Flüssigkeit † mit einem Teilchen pro Atomvolumen
v = 4π
3 r3 B ≈ 5 · 10 −25
cm 3 oder ρ = mp
v
≈ 3 g cm−3
betrachten können.
Der Planet Jupiter liegt gerade an dieser Grenze mit einer Masse von 10 −3 M⊙ = 318M⊕, einer mittleren
Dichte von ρ = 1.3 g cm −3 und einem Durchmesser von D = 0.1D⊙ = 11.25D⊕ = 140 000
km.
Bis zu dieser Grenze Mc wächst der Radius einer von der Gravitation zusammengehaltenen Kugel
aus Wasserstoff, danach sorgt die Gravitation für ein Schrumpfen des Radius bei wachsender Masse.
Die Atome werden durch die Gravitation bei wachsender Masse aufgelöst, es bildet sich ein freies
Elektronengas, neutralisiert durch Atomkerne. Früher waren Planeten solcher Masse nicht bekannt
und man nahm an, daß ein starker Sternenwind ihr Wachstum verhindert. Mittlerweile sind 2 Planeten
mit M = 2.4Mc und 6.5Mc gefunden worden und es werden wohl noch mehr werden.
6.4 Die neun Planeten der Sonne
6.4.1 Jupiter
Der Planet Jupiter ist sowohl astronomisch als auch astrophysikalisch besonders interessant. Er stellt
mit seinen Monden praktisch ein Sonnensystem in miniatur dar, allerdings mit bedeutenden Unterschieden:
die Masse und der Drehimpuls stecken im Zentrum, die (Galileischen) Monde zeigen eine
extrem scharfe Resonanz. Die Perioden von Io, Europa und Ganymed erfüllen
1 1
τI
− 3 1
τE
+ 2 1
τG
= 0
auf neun Stellen genau. Im Sonnensystem selbst enthält Jupiter den Hauptanteil am Bahn Drehimpuls,
er hat auch die größte Eigenrotation (Spin). Im System Sonne Jupiter wurde (1906) der erste Asteroid
an einem stabilen Lagrange Punkt gefunden.
Wir definieren nochmals Masse
Mc = mHD 3/2
1 ≈ 10 −3 M⊙ und D1 = e2
≈ 1036
Gm2 und Radius eines kritischen Planeten
Rc = D 1/2
1 r B ≈ 5 · 10 9
(6.32)
cm (6.33)
Der Planet Jupiter, mit einer mittleren Dichte von ρ = 1 g cm −3 und einem Radius von R = 0.1R⊙
und mit einer Masse von 10 −3 M⊙, liegt, wie wir gesehen haben, an dieser kritischen Grenze, an der
die Gravitation zu dominieren beginn: es ist die minimale Masse, ab der Planeten schrumpfen wenn
Materie hinzugefügt wird.
Von außen nach innen befindet sich beim Jupiter der Wassertstoff in folgenden Phasen: molekular
(gasförmig und fest), atomar und metallisch. Bei nicht zu hoher Temperatur im Zentrum ist der Wasserstoff
dort fest, es ist sogar möglich, daß er supraleitend wird. Daran schließt sich ein Fe - Ni Kern
von etwa 13 M⊕ an.
Der Wärmeinhalt beträgt 10 42 erg und die Verlustrate 4 · 10 24 erg s −1 .
† Für eine relativistische Flüssigkeit ist e 2 durch ¯hc zu ersetzen und man erhält eine um den Faktor α −3/2 grössere
Grenzmasse: die Chandrasekhar Masse für weiße Zwerge.

332 KAPITEL 6. PLANETEN
6.4.2 Die anderen Planeten
Bisher sind – außer der Erde – 9 Planeten ‡ bekannt. Die inneren Planeten (Merkur, Venus, Erde, Mars)
haben ähnliche Dichte und keine (Merkur, Venus) oder wenige Monde (Erde 1: Luna, Mars 2: Phobos
& Daimos). Die äusseren Planeten haben geringere Dichte, viele Monde (Jupiter: 16, Saturn: 16,
Uranus: 5, Neptun: 2, Pluto: 1) und zum Teil Ringe (Jupiter, Saturn).
Im Gegensatz zu den Planeten sind deren Monde nicht mehr geologisch aktiv: mit einer bedeutenden
Ausnahme. Io, ein aus Schwefel bestehender Galiläischer Mond des Jupiter, zeigt ausgesprochenen
Vulkanismus. Des Rätsels Lösung: die drei restlichen Galiläischen Monde stören die Bahn von Io,
sodaß sie nicht mehr kreisförmig um Jupiter verläuft. Die Gezeitenkräfte des Jupiter heizen dabei
durch Reibung den Schwefel so stark auf, daß es zu riesigen Schwefel-Fontänen kommt.
Name Radius Masse Dichte Distanz Prot Torb Monde
(Erde) (Erde) g cm −3 AE d yr
Merkur 0.38 0.055 5.4 0.39 58 0.24 0
Venus 0.95 0.81 5.1 0.72 -243 0.61 0
Erde 1 1 5.5 1 1 1 1
Mars 0.53 0.11 3.9 1.5 1.0 1.84 2
Asteroiden 2.8 (1)
Jupiter 11 318 1.3 5.2 0.41 11.8 16
Saturn 9.4 95 0.70 9.5 0.43 29 16
Uranus 4.4 15 1.0 19 -0.51 83 5
Neptun 3.9 17 1.7 30 0.66 164 2
Pluto 0.26 0.0023 0.8 39 6.4 243 1
Kuiper Gürtel 0.04 40 > 160 -
Oort Wolke 4 · 10 4 3 · 10 7 -
Tab. 6.2: Parameter der Planeten
Merkur dreht synchron: Prot = Torb. Venus und Uranus drehen falsch herum, retrograd, dabei stehen
bei Uranus zusätzlich noch Spin und Orbital - Drehimpuls nahezu senkrecht!
Der Kuiper Gürtel besteht aus etwa 3.5 · 10 4 . . . 10 5 Planetoiden bzw. Asteroiden der (Einzel)Masse
10 22 g.
‡ Merkregel:
Mein Vater Erklärt Mir Jeden Samstag Unsere Neun Planeten.
Die Existenz eines zehnten Planeten, jenseits von Pluto, – Nemesis – ist eher unwahrscheinlich.
Legende:
Relativkoordinate x = 100 · r
R
1. H2 - Gas; T ≈ 170 K ∆R ≈ 150 km
1a. H2 - Flüssigkeit; P ≈ 20 atm
2. H (gasf . . . flüssig)
3. metallisches H (fest)
4. Fe - Ni Kern; T ≈ 20 000 K
✻
x
Abb. 6.1: Jupiter
100
80
60
40
20
00
♠
1
♠
2
♠
3
♠
4
1.1
2.7
4.1
15.
ρ
[g cm −3 ]
✻

6.4. DIE NEUN PLANETEN DER SONNE 333
Die Oortsche Wolke besteht aus etwa 10 9 . . . 10 11 Kometen der (Einzel)Masse 10 16 g.
Die bekanntesten Asteroiden sind: Ceres, Pallas, Juno, Vesta.
6.4.3 Drehimpulsverteilung
Zum Nachschlagen einige Werte für die Sonne vorweg. Trägheitsmoment bzw. Drehimpuls (Modell)
und Drehimpulsverlustrate (Theorie) sind nicht direkt messbar, für das Quadrupolmoment gibt es eine
obere Schranke. Der hier angegebene Wert beruht auf der Annahme starrer Rotation.
• FORMELN (WERTE FÜR DIE SONNE)
Wir benutzen folgende theoretische Werte für die Sonne (beruhend auf dem gerechneten Standardmodell):
1. Rotationsfrequenz: Ω = 2.86 µ Hz
2. Drehimpuls: J⊙ = 1.63 · 10 48 g cm 2 s −1
3. Trägheitsmoment: I⊙ = 6 · 10 53 g cm 2
4. Quadrupolmoment: J2 = 2 · 10 −7
5. Massenverlustrate (Sonnenwind): ˙ M = 1.4 · 10 12 g s −1
6. Drehimpulsverlustrate: ˙
J = 5 · 10 31 g cm 2 s −2
Die Sonne rotiert mit einer siderischen Periode von etwa 25.38 Tagen um eine Achse, welche um
7 ◦ von der Normalen der Ekliptik (d. h. der Richtung des Gesamtdrehimpulses des Planetensystems)
abweicht. Von der Erde aus beträgt die synodische Periode
1
Tsyn
= 1 1
−
Tsid sidJahr
1
= −
Tsid
1
365.26
das sind Tsid = 27.27 Tage. Das Verhältnis von Sonnendrehimpuls zu Planetengesamtdrehimpuls ist
etwa 1:180, während das Massenverhältnis umgekehrt etwa 1000:1 ist. Beide Tatsachen: Misweisung
und anormales Drehimpulsverhältnis haben eine allseits anerkannte Erklärung der Bildung des Sonnensystems
bislang verhindert.
Folgendes scheint hingegen nicht kontrovers: die Sonne mit ihrem Planetensystem besteht nicht aus primordialem,
kosmischem Material sondern aus Material, welches selbst schon mehrmals (etwa 10mal)
in Sternen früherer Generationen prozessiert worden ist. Danach hat sich aus einer Molekülwolke die
Sonne mit ihrem Planetensystem (zunächst als kaltes Ringsystem) durch Schockeinwirkung eines verloren
gegangenen Begleitsterns oder durch gravische Instabilität gebildet. Vermutlich sind bei den
inneren Planeten über 99% H und He verflüchtigt und die Ursprungsmasse war wahrscheinlich wesentlich
größer als eine Sonnenmasse. Die Drehimpulsbilanz ist vermutlich noch extremer.
Betrachten wir die Verhältnisse bei den einzelnen Planeten etwas genauer: der Bahn–Drehimpuls
L eines Planeten der Masse mp im Zentralfeld der Sonne mit Masse M⊙ ist gegeben durch Jp =
Mp(GM⊙) 1/2 R 1/2 , wobei R der Abstand zwischen der Sonne und dem Planeten ist. Aus der Tabelle
entnimmt man, daß der Hauptanteil im Jupiter konzentriert ist, 725mal soviel wie in der Erde und zwar
gilt in etwa folgende Aufteilung: Jupiter 62%, Saturn 25%, Neptun 8%.
Eine der bis heute unbeantworteten Urfragen (Kepler) an die Kosmogonie ist die Frage, ob es eine
Gesetzmäßigkeit beim Aufbau des Planetensystems der Sonne gibt. Nach dem Titius-Bode Gesetz
(1772) kann man die Entfernung der Planeten von der Sonne rp durch folgende Formel beschreiben:
rp(n) = 0.1 × (4 + 3 × 2 n ) AE mit n = −∞, 0, 1 . . . 7 (6.34)
Wie die Tabelle zeigt, sind die Asteroiden in ihrer Position richtig erfasst, Neptun fehlt allerdings im

334 KAPITEL 6. PLANETEN
Planet e(J) i(J) i(S) J
deg deg
Merkur 0.206 7

6.4. DIE NEUN PLANETEN DER SONNE 335
Für die Tabelle wurde f⊙ = 1/6.5 benutzt (starke Massenkonzentration der Sonne im Zentrum, I⊙ =
6 · 10 53 g cm 2 ). Bei der Sonne gilt für das Verhältnis q von Gravitationsenergie zu Rotationsenergie
q⊙ = 2GM
R3 = 105
Ω2 • ZUSATZ (VERGLEICH DREHIMPULS J⊙ DER SONNE MIT BAHN-DREHIMPULS-ERDE J⊙)
Ferner gilt für die Sonne mit f⊙ = 1/6.5 für den Drehimpuls
J⊙ = 1.76 · 10 48
g cm 2 s −1 (6.37)
Für die Erde mit etwa Ω⊕ = 2 · 10 −7 s −1 für die Bahnfrequenz und mit J⊕ = M⊕R 2 Ω⊕ ergibt sich für den Bahn-
Drehimpuls
J⊕ = 2.69 · 10 47
g cm 2 s −1
etwa 1/6 des Drehimpulses der Sonne. Da die Ursprungsmasse der Erde etwa 2 dex größer war, sehen wir, wie wichtig
selbst Planeten wie die Erde für die Bildung des Sonnensystems gewesen sind.
Die Sonne hat also einen rel. Drehimpuls von nur 5·10 −3 , wohingegen in den Planeten nur eine rel.
Masse von insgesamt 1.34·10 −3 steckt. Es sei jedoch bemerkt, daß es nicht klar ist, wieviel Drehimpuls
wirklich in der Sonne steckt, da diese differentiell im Innern wesentlich schneller rotieren könnte.
Direkt messbar ist im Prinzip das Quadrupolmoment der Sonne, welches durch Rotation zustande
kommt. Für das Gravitationspotential V eines rotierenden, selbstgravitierenden Körper gilt:
�
M Q
V = −G +
r r3 P2(cos
�
Θ) + · · ·
bzw. wenn man den dimensionslosen Quadrupolparameter J2 benutzt
V = −G M
� � �2
�
R
1 + J2 P2(cos Θ) + · · ·
r r
Für inkompressible Materie (ρ = const) und starre Rotation kann man J2 analytisch bestimmen:
(6.38)
(6.39)
J2 = Erot
V = R3Ω2 2 25J
=
2GM 2GM 3 (6.40)
R
Für das (gerechnete) Standardsonnenmodell ist J2 = 2 · 10−7 , während eine inkompressible Sonne
J2 = 10−5 liefern würde. Direkte Beobachtungen der Sonnenabplattung von einigen 10−6 (aus denen
dann J2 folgen würde) sind wegen Turbulenzen in der Sonnen-Chromosphäre nicht konklusiv.
Der Sonnenwind führt pro Sekunde 1.4·1012 g an Masse ab. Bei konstanter Rate ist das etwa 10−4 der
Gesamtmasse im Leben der Sonne (4.5 Gyr). Der Massenverlust ist also vollständig vernachläßigbar.
Eine einfache, semiempirische Formel (Reimers, 1975)
˙M = 4 · 10 −13 � � �M⊙ �
L
η
M
� �
R∗
M⊙ yr −1
L⊙
R⊙
mit dem dimensionslosen Parameter η = 0.3 . . . 1. Die stimmt mit der Beobachtung überein, wobei
mit R∗ der Abströmradius (nicht der Sternradius) gemeint ist. Für die Sonne ist etwa R∗ = 4R⊙. An
Energie wird im Sonnenwind nur der millionste Teil der Photonenstrahlung transportiert.
Schätzt man dagegen ab, daß das Magnetfeld das Plasma bis etwa L = 50R⊙ zum korotieren zwingt,
dann erhält man für den Drehimpulsverlust der Sonne
˙
J = L 2 Ω ˙ M ≈ 5 · 10 31
und für die Abbremszeit der Sonne
τ := J/ ˙
J
g cm 2 s −2 (6.41)
erhält man τ = 1.4 Gyr, dh. eine merkliche Abbremsung bei vernachläßigbarem Massenverlust. Deshalb
sind Magnetfelder so wichtig für den Transport von Drehimpuls.

336 KAPITEL 6. PLANETEN
• ZUSATZ (MESSUNGEN VON RAUMSONDEN)
In der Nähe der Erdbahn haben Raumsonden der NASA (wie MARINER, PIONEER und den VELA-Satelliten, deren
Hauptaufgabe die Überwachung von Kernwaffenexplosionen ist) folgende Daten erhalten:
die mittlere Teilchendichte beträgt
n = 5 Ionen cm −3 ; Ttherm = 2 · 10 5 K
mit Schwankungen um ±1 dex (Zusammensetung H plus 4% He). Die Flussgeschwindigkeit mit 300 bis 900 km s −1
nahezu radial von der Sonne nach außen. Dem entspricht eine kinetische Energiedichte
ɛkin = 10 −10
erg cm −3 = 5000 eV cm −3
Die thermische Energiedichte ist viel kleiner
ɛtherm = 90 eV cm −3
und stimmt mit der magnetischen Feldenergiedichte überein. Die Feldstärke liegt bei 60 µGauß (6 Gamma).
6.5 Element- und Molekülverteilung
Die chemische Zusammensetzung der Sonnenmaterie kann man aus der Spektralanalyse der Photosphäre
bekommen (falls gute Durchmischung mit dem Material im Innern vorliegt).
A Element chem. Anteil
Name Symbol (Masse)
1 Wasserstoff H 1.000
4 Helium He 0.333
12 Kohlenstoff C 0.004
14 Stickstoff N 0.0015
16 Sauerstoff O 0.0085
20 Neon Ne 0.002
Tab. 6.5: Die schweren Elemente in der Sonne
A Element chem. Anteil
Name Symbol (Masse)
24 Magnesium Mg 0.0007
27 Aluminium Al 0.0007
28 Silizium Si 0.0007
32 Schwefel S 0.0004
56 Eisen Fe 0.001
59 Nickel Ni 0.00005
Die Erde mit ihrem Ni-Fe Kern und einer Schale aus Mg- Al- Si- S- und Fe- Verbindungen besteht also
im wesentlichen aus Materie, welche in der Sonne nur in Spuren vorkommt.
• DEFINITION
Statt des Massenanteils, Masse pro g Materie, wird häufig der Zahlanteil betrachtet; das liefert z. B. mit der Normierung auf
H = 1 als Zahlanteil beim primordialen Gas für He: 0.085. Statt auf H kann man den Masse-Anteil auch auf die Gesamtelemente
beziehen, (H + He). Das liefert für den He-Anteil 0.25. Der entsprechende Zahl-Anteil ist rel. Volumenkonzentration
[c] mit [He]: 0.08.
In der Summe liefert Tabelle (6.5) für C-N-O 0.014 Massenanteil und für die Elemente von Mg bis
Fe 0.0035 Massenanteil. Alle Elemente zusammen genommen, die schwerer als He sind, liefern etwa
2% (bei der Ausgangsmaterie der Sonne). Nimmt man als Zusammensetzung des Erdkerns 90% Fe
und 10% Ni und rechnet man die Masse der Erde auf die Ursprungsmasse hoch, dann erhält man etwa
300 Erdmassen oder 0.1% der Masse der Sonne. Genauere Untersuchungen von Cameron ergeben
0.07%. Das ist eine sehr effektive Entmischung und man nimmt an, daß diese durch Ausgasen bei den
erdähnlichen Planeten bewirkt wurde (eventuell wurde aber auch schon vorher ein Teil der leichten
Elemente verloren).
In der Tabelle bedeutet Fraktionierung = Ursprungsmasse/aktuelle Masse. Die Werte für Pluto sind
unsicher und fallen aus dem allgemeinen Rahmen einer abnehmenden chemischen Fraktionierung nach
außen heraus.

6.5. ELEMENT- UND MOLEKÜLVERTEILUNG 337
Die oben angeführten Massen sind i. w. untere Grenzen unter der Annahme konservativer Entwicklung
des Sonnensystems. Cameron schätzt, daß die Ursprungsmasse des Sonnennebels etwa 2-3 Sonnenmassen
war und daß z. B. das Sonnensystem von einer Sonne im T Taurus Stadium (s.u.) vom Gas
’gereingt’ wurde. In jedem Falle sollte man die Möglichkeit betrachten, daß sowohl die Masse der
Ursonne als auch die der Urplaneten von der heutigen verschieden waren.
• ANMERKUNG
In diesem Fall stimmen die heutigen Abstände nicht mit den ursprünglichen überein, auch die Drehimpulsbilanz sieht
anders aus.
Für die Entfernung Erde-Mond, D, ergibt sich, falls man konstanten spezifischen Bahndrehimpuls des Mondes j = J/M =
const annimmt und die Gesamtmasse Erde+Mond mit Mtot bezeichnet, aus j = D 2 Ω = (GMtotD) 1/2 und aus der
folgenden Zusammenstellung (Ursprungsmasse der Planeten), daß der Mond etwa 230 mal näher an der Erde gewesen sei
muß, was gar nicht möglich ist, da der Mond nur 60 Erdradien entfernt ist!
Das passt zu neueren Überlegungen, nach denen der Mond als Überbleibsel einer Katastrophe anzusehen ist: dem Stoß mit
einem Mars-ähnlichen Objekt.
6.5.1 Ursprungsmasse der Planeten
Massenverlust ist ein wichtiger Gesichtspunkt bei der Ausbildung des Sonnensystems und allgemeiner
bei der Entwicklung eines Sterns in der Frühphase (bis zu einigen 100 Myr).
Dies sind die drei Stufen auf dem Weg zu einem voll ausdifferentierten System wie das der Sonne:
1. Protostern mit ausgedehnter Gashülle,
2. Stern mit Saub- und Gasscheibe und
3. Stern mit Planetensystem oder massearmem Begleiter (Brauner Zwerg).
Dabei können Planeten (vermittels Kollision mit Asteroiden) auch nach Innen zum Zentralstern wandern.
• FORMELN (CAMERONS URSPRUNGSMASSE DER PLANETEN)
Die folgenden Daten über die Ursprungsmasse der Planeten stammen aus ’The Solar System’, A. G. W. Cameron, Sci.
American 233, Sept. 1975, p. 33.
Durch die Entdeckung extrasolarer Planeten haben diese frühen Rechnungen von Cameron enorm an Bedeutung gewonnen,
auch wenn sie wahrscheinlich nicht einfach auf diese übertragen werden
können.
In der Tabelle bedeutet Morig die Ausgangsmasse, Mheute die beobachtete
Masse des Planeten und
f = Morig/Mheute die Massenfraktionierung.
Die Massen Angaben sind in Prozent der Sonnenmasse, % M⊙. Jupiter
hat demnach ein Promille der Sonnenmasse, MJ = 10 −3 M⊙ und seine
Urmasse betrug
MJ = 1.6 · 10 −2 M⊙.
Nach Modellrechnungen sollten 13 Jupitermassen, MJ, ausreichen, das
Wasserstoffbrennen im Zentrum eines Planeten zu zünden. Die Ursprungsmasse
von Jupiter war etwas größer. Mittlerweile hat man aber
extrasolare Planeten mit bis zu 60MJ gefunden, die nicht gezündet haben.
Warum ist nicht klar.
Eine Interessante Frage ist, ob bei der Bildung von Planeten weit vom
Stern entfernt, diese an den interstellaren Raum verloren gehen können
Ursprungsmasse der Planeten
Planet Mheute Morig f
Merkur 0.000017 0.004 235
Venus 0.000245 0.056 228
Erde 0.000304 0.07 230
Mars 0.000032 0.007 220
Jupiter 0.09547 1.5 16
Saturn 0.0285 0.77 27
Uranus 0.00436 0.27 62
Neptun 0.00524 0.27 52
Pluto 0.00025 (?) 0.06 (?) 240 (??)
gesamt 0.134 3.0
(eine mögliche Form der Dunkelmaterie).
Tab. 6.6: Planeten Ursprungsmasse
Braune Zwerge (also vermutlich auch Planeten) in Doppelsternen hat man schon (in der Taurus und der Chamäleon Molekülwolke)
gefunden.

338 KAPITEL 6. PLANETEN
6.5.2 Die Atmosphären der Planeten.
Wir betrachten nun die Chemie der Planeten und ihrer Monde etwas genauer. Wir beginnen dabei mit
der Erde und vergleichen diese dann mit Mars und Venus.
• FORMELN (DIE ZUSAMMENSETZUNG DER ATMOSPHÄRE)
Die folgende Tabelle gibt eine Liste der Bestandteile der neutralen Atmosphäre unterhalb von 80km ohne den Wasserdampf,
da dieser stark veränderlich ist.
Name Elem Konz. [c]
Stickstoff N2 7.809 · 10 −1
Sauerstoff O2 2.095 · 10 −1
Argon Ar 9.3 · 10 −3
Kohlendioxid CO2 (2 − 4) · 10 −4
Neon Ne 1.8 · 10 −5
Helium He 5.2 · 10 −6
Methan CH4 (1.2 − 1.5) · 10 −6
Krypton Kr 1.1 · 10 −6
Wasserstoff H2 (0.4 − 1.0) · 10 −6
Distickstoffoxid N2O (2.5 − 6.0) · 10 −7
Name Elem Konz. [c]
Kohlenmonoxid CO (0.1 − 2.0) · 10 −7
Xenon Xe 8.6 · 10 −8
Ozon O3 (0 − 5) · 10 −8
Ammoniak NH3 (0 − 2) · 10 −8
Schwefeldioxid SO2 (0 − 2) · 10 −8
Dihydrogensulfid H2S (0.2 − 2) · 10 −8
Formaldehyd CH2O (0 − 1) · 10 −8
Stickstoffdioxid NO2 (0 − 3) · 10 −9
Chlor Cl2 (0.3 − 1.5) · 10 −9
Jod J2 (0.4 − 4) · 10 −11
Die rel. Volumenkonzentration [c] ist bezogen auf Meeresniveau. Das Edelgas Argon (und nicht Helium) ist das dritthäufigste
Element der Atmosphäre.
Die inneren Planeten sind fest, die äusseren (ab Jupiter) gasförmig und bestehen fast noch aus dem
Urmaterial des Sonnensystems (H, He).
Von den inneren Planeten haben (ebenso wie der Mond) Merkur und Mars ihre Atmosphären verloren,
was dennoch da ist (Mars: 95% CO2, 2.7% N2, 1.6% Ar,O2, H2O) gast noch aus. Bei Merkur gibt es
an den Polen evtl. Eis (H2O). Ausgebildete Gasatmosphären gibt es bei Erde und Venus. Die Oberflächentemperatur
der Erde beträgt dabei etwa 300 K, die der Venus jedoch 750 K. Der Grund dafür
ist, daß die Atmosphäre der Venus zu 96% aus CO2 besteht. (Treibhauseffekt). Die Albedo wird wesentlich
bestimmt durch das Vorkommen dichter, wolkenreicher Atmosphären. Die Erde ist im Mittel
etwa zur Hälfte mit Wolken bedeckt.
Die äusseren Planeten ab Jupiter haben keine feste Oberfläche und bestehen i. w. aus dem kosmischen
Ursprungsmaterial wie die Sonne: H2 und He. Die größten Monde erreichen dagegen die Dimensionen
von Merkur und Mars.
1. Merkur (kein Mond) d = 0.39 AE
hat keine Atmosphäre, für den Druck findet man nur P = 10 −12 atm. Über Gase ist nichts
bekannt.
2. Venus (kein Mond) d = 0.72 AE
dagegen hat als Hauptbestandteile CO2 und N2. CO2 ist infrarot aktiv, also gibt es einen extremen
Treibhauseffekt. Der Druck ist 90 atm.
3. Die Erde (1 Mond) d = 1 AE
hat als Hauptbestandteile die infrarot inaktiven Gase N2 und O2. Wichtige Moleküle für den
Treibhauseffekt in der Atmosphäre der Erde sind: H2O, CO2 und CO. Der Temperaturanstieg
der Erderwärmung beträgt seit 1900 etwa 1
2 Grad.
4. Mars (2 kleine Monde) d = 1.52 AE
hat keine nennenswerte Atmosphäre, für den Druck findet man nur P = 6 · 10 −3 atm mit den
Gasen CO2, N2, Ar.

6.6. INTERPLANETARE OBJEKTE 339
5. Asteroidengürtel (1 Mini Mond) d = 2.77 AE
Der Asteroid 243 Ida ist bisher der einzige Asteroid, von dem man weiß, daß er einen Mond (mit
Namen Dactyl; Durchmesser 1.6 km) besitzt. Dichte ρ = 2.6 g cm −3 . Masse M = 4.2 · 10 19 g.
6. Jupiter (4 grosse, 12 kleine Monde, schwaches Ringsystem) d = 5.2 AE
Io ist mit Schwefel und SO2 bedeckt, Europa, Ganymed und Callisto mit Wasser (Eis).
7. Saturn (1 grosser, 6 kleine Monde, Ringsystem) d = 9.5 AE
Titan hat eine Atmospäre aus Stickstoff (N2), Methan (CH4) und Ammoniak (NH3), die so dicht
ist, daß die Oberfläche ständig verdeckt ist. Mimas und die anderen kleinen Monde sind mit
Wasser (Eis) bedeckt.
8. Uranus (5 grosse Monde, 10 kleine Monde, schwaches Ringsystem) d = 19 AE
Die Monde bestehen aus Felsgestein, die Ringe aus Eis. Uranus selbst besteht aus Eis (H2O, NH3
und CH4).
9. Neptun (2 grosse Monde, 6 kleine Monde, schwaches Ringsystem) d = 30 AE Neptun besteht
(wie Uranus) aus Eis (H2O, NH3 und CH4).
10. Pluto (1 grosser Mond) d = 39 AE
Die physikalischen Daten der Planeten Atmosphären und ihrer Albedo (Refektionskoeffizienten sind
in der folgenden Tabelle zusammengestellt.
Planet A P Teff Tobs
Merkur 0.058 10 −12 441 700 - 100
Venus 0.76 90 230 750
Erde 0.30 1 246 289
Mond 0.068 ? 441 390 - 140
Mars 0.15 0.006 218 130 - 290
6.6 Interplanetare Objekte
6.6.1 Die Hauptkomponenten
Planeten Atmosphären und Albedo
Planet A Teff Tobs
Jupiter 0.51 102 120
Saturn 0.50 76 90
Uranus 0.66 49 63
Neptun 0.62 40 53
Pluto 0.16 42 43
A: Albedo; Teff : effektive Temperatur in Kelvin. P : Druck in atm
Die folgende Tabelle zeigt, daß die kleinsten Objekte im Sonnensystem heute zusammen genommen
nur soviel wie alle Monde an Masse beitragen. Das muß nicht immer so gewesen sein.
Objekt Anzahl Durchmesser Einzelmasse Gesamtmasse Abstand
(geschätzt) g M⊕ AE
Asteroide 5 · 10 4 1 . . . 800 km 7 · 10 21 0.1 2.9
Kometen 10 9 1 . . . 100 km 5 · 10 15 0.1 bis 40 000
Meteoride 10 11 10 −3 . . . 10 3 cm 10 3 10 −9 bis 1000
zum Vergleich: Sonne 3.3 · 10 5 M⊕, alle 9 Planeten 448M⊕, alle 54 Monde zusammen 0.12M⊕.
Erde: Radius R⊕ = 6378 km; Masse: M⊕ = 5.997 · 10 27 g
Tab. 6.7: Interplanetare Objekte
Wir wollen nun die astrophysikalische Bedeutung der einzelnen Komponenten untersuchen.

340 KAPITEL 6. PLANETEN
Kleinste Partikel: Sonnenwind und Staub
Die Sonne verliert Materie in Form eines Sonnenwindes, das sind energetische Elektronen und Protonen
mit eingelagertem Magnetfeld.
Rate und Geschwindigkeit betragen
˙M⊙ = 10 14
g s−1 −4 M⊙
= 10
4.5Gyr
bei v = 500 km s −1
Der Massenverlust ist für die Sonne vollständig vernachläßigbar, für die Erde ist das ein Strom von
etwa
˙M⊕ = 1
� �2
R⊕
4 1AE
˙M⊙ = 6 · 10 4
g s −1
an ionisierten Teilchen, der allerdings größtenteils vom Erdmagnetfeld abgeschirmt wird. Das eingefrorene
Magnetfeld ist praktisch radial und beträgt bei magnetischer Flusserhaltung
Φ = BnF = const; B⊕ =
� �2
R⊕
B⊙
1AE
in der Nähe der Erde etwa 6 Gamma, d. h. 6 · 10 −5 Gauß. Der Sonnenwind ist für die Ausbildung des
Schweifs (Ionisation) eines Kometen verantwortlich.
• ZUSATZ (POLARLICHT)
Das Polarlicht (Nordlicht, Südlicht, engl. Aurora) ensteht in der Oberen Atmosphäre in der Nähe der magnetischen Pole
(und ist längs dieser gerichtet). Verantwortlich sind energetische Elektronen, die ins Erdfeld geraten. Die wichtigste
Anregung kommt von der Sonne, man findet eine Modulation mit der Rotationsperiode der Sonne von 27 Tagen.
Daneben gibt es interplanetaren Staub, welcher sich bei der Lichtstreuung (in der Erdatmosphäre)
als Zodiakallicht (in Sonnenrichtung und als Gegenschein in entgegengesetzter Richtung) bemerkbar
macht. Dieser stammt größtenteils von verdampfenden Kometen und zertrümmerten Asteroiden
(Staubteilchen: unpolarisiert) und freien Elektronen (polarisiert). Die Staubteilchen des Zodiakallichts
haben Durchmesser von 0.01 mm, die Dichte beträgt etwa (± 1 dex)
nStaub = 10 −14
cm −3
Sie bilden eine flache Scheibe um die Ekliptik, die Reflexion des Sonnenlichts ist eine bedeutende
Störkomponente für IR Beobachtungen (es gibt keine Löcher, durch die man durchschauen könnte).
Die tägliche Rate für die Akkretion an interplanetarem Material beträgt für die Erde 300 Tonnen (entsprechend
˙ M = 3 kg s−1 ), vergleichbar mit dem, was an Meteoriten
auf die Erde fällt.
Die Häufigkeit der chemischen Elemente in der Sonnenphotosphäre
wird anhand der angeregten Atome bestimmt.
Die Numerische Häufigkeit der chemischen Elemente der Sonnenphotosphäre
ist hier bezogen auf atomaren H.
[H] = 1012 Elementhäufigkeiten im Sonnensystem
Atom - Element relative
Zahl Symbol Häufigkeit
1 H 10
.
Die seltensten Haupt-Elemente haben dann bei dieser Normierung
eine Häufigkeit der Größenordnung 1, z. B. Gold (Z = 79):
[Au] = 6 und Uran (Z = 92, A = 238): [U] = 2. Die Nebenisotope
sind entsprechen seltener. Uran (Z = 92, A = 235) hat eine
Häufigkeit [U] = 0.6, etwa 1/3 vom Hauptisotop.
Das Element Li fehlt in der Sonnenphotosphäre, Be und B sind
unterhäufig. Sonst sind die relativen Häufigkeiten (z. B. die von
Si) der Hauptkomponenten ähnlich.
Spurenelemente werden durch den Sonnenwind und durch die
12
2 He 6 · 10 10
6 C 4 · 108 7 N 9 · 107 8 O 7 · 108 10 Ne 4 · 107 12 Mg 4 · 107 14 Si 5 · 107 16 S 2 · 107 26 Fe 3 · 107 Tab. 6.8: Solare Elementhäufigkeit

6.6. INTERPLANETARE OBJEKTE 341
kosmische Strahlung modifiziert.
Grundlage zum Verständnis der heute beobachteten chemischen Fraktionierung im Sonnensystem sind
Temperatur und Entweichgeschwindigkeit der Planeten bzw. ihrer Monde.
Die Entweichgeschwindigkeit der Erde (heute 11 km s −1 ) hat offenbar ausgereicht, eine Atmosphäre
zu behalten, beim Mond (Entweichgeschwindigkeit 2.4 km
s −1 ) war das nicht der Fall.
Eine erste Fraktionierung kommt, nach heutiger Vorstellung,
zustande über den Temperaturgradienten in der Scheibe.
Dabei spielt der Staub eine wichtige Rolle. Die Entweichgeschwindigkeit,
vesc, aus der Scheibe nimmt ab wie
vesc ∝ d −1 ,
wobei d die Entfernung von der Sonne ist, die thermische
Geschwindigkeit, vth, wie
vth = (3kT/m) 1/2 .
Die Temperatur T an der Oberfläche des Planeten wird
zunächst durch das Bombardement mit Planetoiden, später
durch die Sonneneinstrahlung, die Albedo und die innere
Erwärmung (Radioaktivität, potentielle gravische Energie
der Perkolation) bestimmt.
6.6.2 Kometen
Entweichgeschwindigkeit
Name Radius Masse vesc Tneb
(Erde) (Erde) km s −1 K
Merkur 0.38 0.055 4.3 1000
Venus 0.95 0.81 10.3 800
Erde 1 1 11.2 550
Mars 0.53 0.11 5.0 400
Jupiter 11 318 59.5 160
Saturn 9.4 95 35.6 80
Uranus 4.4 15 21.2 50
Neptun 3.9 17 23.6 30
Tab. 6.9: Evaporation
Die (bisher beobachteten) Bahnen der Kometen reichen vom Sturz in die Sonne (bzw. in den Jupiter),
über das Zerreißen des Kometen im Gezeitenfeld der Sonne (d = 1.5R⊙ beobachtet 1882) bis hin zu
exzentrischen Orbits mit e = 1, die bis zum Rand des Sonnensystems reichen (d = 0.4 pc). Bisher wurde
allerdings kein Komet identifiziert, der mit Sicherheit von außerhalb des Sonnensystems gekommen
sein muß (e ≫ 1). Die Umlaufzeiten um die Sonne reichen von 3 yr bis 10 7 yr.
Die folgende Zusammenstellung enthält die historischen Daten von besonders interessanten Kometen.
besondere Kometen
Name T a e i
yr AE deg
Encke 3.3 2.2 0.85 12.4
Biela 6.6 3.5 0.76 12.6
Halley 76 18 0.97 162.2
Der Komet Biela wurde 1846 in 2 Stücke geteilt, beide
wurden 1852 wieder gesehen, seitdem nicht mehr. Sie haben
sich aufgelöst. Etwa ein Duzend Kometen sind seit ihrer
Entdeckung verschwunden. Halley wurde seit 239 vor
Christi bis 1986 insgesamt 46mal beschrieben.
Aus neuester Zeit stammen die Daten zu folgenden extremen Ereignissen, die noch nicht vollständig
analysiert sind:
1. Der Komet West zerbrach 1976 in 4 Stücke.
2. Am 30 August 1979 wurde ein Zusammenstoß eines Kometen mit der Sonne (von einem US Air
Force Satelliten aufgenommen) entdeckt. Die dabei entstandene Staubwolke hatte einen Radius
von 2.5 Sonnenradien.
3. Der Komet Shoemaker - Levy (der 9te Komet, benannt nach den Entdeckern SL 9) wurde im
März 1993 bereits in zerstörten Zustand (mit später identifizierten insgesamt 22 Einzelstücken)
gefunden. Vergleiche mit Archivaufnahmen und Rechnungen ergaben, daß er im Sommer 1992

342 KAPITEL 6. PLANETEN
zerrissen worden sein musste. Im Juli 1994 schlugen sämtliche Bruchstücke (auf der erdabgewandten
Seite) auf Jupiter ein. Die größten Bruchstücke hatten einen Radius von 2.5 km. Die
Gesamtenergie des Aufpralls wird auf etwa 10 9 Megatonnen TNT � 4.2 · 10 31 ergs geschätzt.
Durch Verdampfen bildet sich um einen Kometen eine Atmosphäre, die sog. Koma, aus Molekülen
und Staubteilchen aus (Radius bis zu 10 5 km, Dichte 10 5 cm −3 ). Kommt der Komet näher als etwa 2
AE an die Sonne bildet sich ein Schweif (Länge bis zu 10 7 km). Der Schweif eines Kometen hat zwei
Anteile: einen ionisierten und einen Staubschweif. Der ionisierte besteht aus schnellen Elektronen und
Ionen und ist stets exakt von der Sonne weg gerichtet. Der Staub wird durch die Photonen der Sonne
angeregt und ist viel langsamer als der ionisierte: seine Geschwindigkeit ist vergleichbar mit der des
Kometen.
Kometen verlieren jedesmal beim nahen Vorbeiflug an der Sonne etwa 0.1% ihrer Masse, was übrigbleit
sind Staub und größere Körner. Unter besonderen Umständen kann sich ein Meteorschauer bilden. Die
typische Rate der beobachteten Schauer, die auf die Erde niedergehen, beträgt 10 pro Jahr.
Die wichtigsten Elemente der chemischen Zusammensetzung sind:
Methan (CH4), Ammoniak (NH3), Wasser (H2O), Kohlendioxyd (CO2).
Typische phys. Daten:
Rnucl � 1 km, ρ � 2 g cm −3 , M � 10 16
Statistik: Kometen haben eine Geschwindigkeit (im Sonnensystem) von v � 30 km s −1 , ihre Gesamtzahl
wird auf N � 10 9 geschätzt.
• BEISPIEL (KOMETENEINSCHLAG)
Bei einem Zusammenstoß mit der Erde geht etwa 10% in Wärmeenergie, W , über, der Rest in Schockwellen. Mit v � 10
km s −1 für die Impaktgeschwindigkeit und einer Masse von 10 17 g erhält man W � 0.5 · 10 28 ergs, entsprechend 10 5
Megatonnen TNT. Dabei gilt: 1 g TNT � 4 · 10 10 ergs und 1 Megatonne TNT � 4.2 · 10 22 ergs.
TNT = Trinitroluen, CH3C6H2(NO2)3 ist der effektivste Sprengstoff, den wir kennen, mit einer Energiefreisetzung von
∆E/mc 2 = 4 · 10 −11 . Die Verbrennung von Kohle ist 8-mal effektiver, aber wesentlich langsamer.
Der Schaden, der bei einem Zusammenstoß mit der Erde entsteht, ist enorm. Ein Meteor von 25 Meter Radius und einer
Impaktgeschwindigkeit von 10 km s −1 (Masse M � 4ρR 3 � 70 Tonnen) hat eine Energie von etwa 20 Megatonnen TNT
und reißt einen Krater von 600 Meter Radius und 200 Meter Tiefe! Solche Zusammenstöße sind zum Glück selten (Rate
alle 25000 Jahre). Einige vermuten, daß vor etwa 65 Myr ein Kometeneinschlag auf der Halbinsel Yukatan (Mexico) von
der Sprengkraft von 10 9 Megatonnen TNT � 4.2 · 10 31 ergs die Dinosaurier zum Aussterben brachte.
6.7 Probleme der Kosmogonie
Der gesamte, für uns erfahrbare Kosmos § besteht aus Strahlung (Photonen und Neutrinos) und Teilchen
(hauptsächlich H und He), die in Galaxien und dort wieder in Sternen geklumpt sind.
Die mittlere Teilchendichte beträgt (für die ausschließlich direkt beobachtbare) leuchtende Materie
etwa nbaryon = 10 −6 cm −3 , während für die Photonenzahl der universellen 3 ◦ K Hintergrundstrahlung
etwa gilt nphoton= 500 cm −3 . Wir bestimmen die freie Weglänge l für Photonen in unserem beobachtbaren
Universum: l = 1/σn, wobei wir für σ den Thompson Streuquerschnitt σ = 6.65·10 −25 cm 2
benutzen können. Wir erhalten l = 10 30 cm, d. h. das heutige Universum ist – mit R = 10 28 cm –
durchsichtig.
Eines der Hauptprobleme der Astrophysik ist seit langer Zeit zu verstehen, wie sich aus einem ursprünglich
ausgesprochen homogenen Substrat (Isotropie der Hintergrundstrahlung!) die heute beobachtete
Hierarchie entwickelt hat (Kosmogonie).
§ gr. = das Schöne, das Wohlgeordnete; im Gegensatz zu Chaos
g.

6.7. PROBLEME DER KOSMOGONIE 343
Kosmos
Galaxienkluster
Galaxien
Sternkluster
Sterne
Panetensysteme
Planeten
Leben auf Planeten
Wie es im Augenblick aussieht, dürfte das Rätsel der Sterngeburten und deren Massen als erstes gelöst
werden. Oft wird das ’Anthropische Prinzip’ zur Erklärung herangezogen, welches besagt, daß das
Universum so ist wie es ist, weil wir es sind, die es betrachten (d. h. wir betrachten es zu einem
Zeitpunkt, wo Leben auf Planeten möglich ist). Fassen wir die wichtigsten Gesichtspunkte unter den
Aspekten Theorie und Beobachtung kurz zusammen:
Galaxien-Cluster
Beobachtung: Galaxienverteilung, Intraclustergas, Röntgen-Strahlung
Objekte der Beobachtung: Galaxien
Theorie: Entstehung, (Entwicklung)
Galaxien
Beobachtung: Aufbau, Zusmmensetzung, Morphologie
Theorie: Entstehung und Entwicklung
Objekte der Beobachtung: Sterne, Staub, Gas, Plasma
Sterne
Beobachtung: Verteilung, Dynamik, chem. Zusammensetzung,
Magnetfelder (Polarisation des Sternlichts)
Theorie: Entstehung, Aufbau, Entwicklung, Ende
Objekte der Beobachtung: Atome, Moleküle, Plasma, kosmische
Strahlung, Staub
Planeten
Beobachtung: Dynamik, Chemie (im Sonnensystem ), Biologie
Theorie: Entstehung, Entwicklung, Ende?
Beobachtung: Raumfahrt
Objekte der Beobachtung: mitgebrachtes Material
Leben auf Planeten ?
Tab. 6.10: Kosmogonie und Hierarchie
Zum Schluß sei noch auf einige Merkwürdigkeiten unseres Universums hingewiesen, auf die sog.
Diracschen grossen Zahlen. In groben Zahlen beträgt die Gesamtzahl der Baryonen im Horizont des
Universums: N1 = 10 78 . Zwei weitere grosse dimensionslose Zahlen erhält man, wenn man den Radius
des Universums R = 10 28 cm ins Verhältnis zum Elektronenradius re = 10 −13 cm setzt: N0 = 10 41 und
das Verhältnis von Coulomb- zu Gravitations-Kraft für ein Elektron-Proton Paar liefert: N2 = 10 39 .
Grössenordnungsmäßig ergibt sich dann N1 = N0 ∗ N2, wobei bisher niemand weiß, ob es sich hierbei
um Zufall oder eine tiefliegende Naturerkenntnis handelt.

344 KAPITEL 6. PLANETEN

Kapitel 7
Die Erde.
Die Physik der Erde ist heute von beträchtlichem Interesse für ein Verständnis der Physik der Pulsare
(Neutronensterne). Ähnlich wie diese hat sie feste und flüssige (elektrisch leitende) Komponenten, ihre
Rotation wird gebremst und sie besitzt ein Magnetfeld.
Die Erde als Planet besitzt einige interessante Besonderheiten: sie hat eine für biologisches Leben angenehme
Temperatur (bestimmt aus ihrer Entfernung zur Sonne und der Chemie der Atmosphäre), ein
zur Entwicklung höherer Lebensformen ausreichendes Alter, 4.2 Gyr, und als einziger Planet Wasser
in Ozeanen. Für die Kosmogonie von Interesse ist demnach ein Vergleich der beiden benachbarten
Planeten Venus und Mars mit der Erde. Falls nämlich diese Planeten ähnlich entstanden sind, dann hat
Venus ihr Wasser verloren, beim Mars könnte es an der Oberfläche gefroren sein.
Die Ozeane der Erde sind wichtige Pufferspeicher für die Wärmeenergie der Sonne und für die chemischen
Elemente Sauerstoff, O, und Kohlenstoff, C, die Basis des Lebens, ferner Puffer zum Speichern
von CO2 in Form von Kalkspat CaCO3. Der Wasserdampf der Atmosphäre bestimmt (über die Opazität)
die Temperatur und den Treibhauseffekt, der die Erde erst bewohnbar macht.
• LITERATUR (PHYSIK UND ASTRONOMIE DER ERDE)
Boyd, R. L. F. Space Physics [Boy74]
Bullen, K. E. An Introduction to the theory of seismology [Bul63]
Feynman, R.P. and R. Leighton and M. Sands Lectures on Physics [FLS70]
Kaufmann, W. J. Universe [Kau91]
Kertz, W. Einführung in die Geophysik Teil I [Ker95a]
Kertz, W. Einführung in die Geophysik Teil II [Ker95b]
Kippenhahn, R. und Möllenhoff, C., Elementare Plasmaphysik [KM75]
Lambeck, K. The Earth’s variable rotation: geophysical causes and consequences [Lam80]
Love, A. E. Horace Treatise on Mathematical Theory of Elasticity [Lov57]
Munk, W. H. und MacDonald, G. J. F. The rotation of the Earth [MM60]
Sagan, C. Unser Kosmos [Sag82]
Sagan, C. Blauer Punkt im All [Sag96]
Shu, Frank H. The Physical Universe [Shu82]
Lesenswert ist das Lehrbuch The Physical Universe von Frank Shu, [Shu82]. Es umfasst den gesamten Themenkanon
Physik, Kosmologie, Kosmogonie und Biologie der Erde.
Das Buch Universe von William J. Kaufmann, III, liefert Bilder der Erde und der anderen Planeten dazu.
Die beiden Bücher von Carl Sagan (auch als Fernseh Film) illustrieren die Ideengeschichte der Erde. Die geophysikalischen
Aspekte werden von Walter Kertz (Teil I: Erdkörper und Teil II: Atmosphäre und Magnetosphäre), ebenfalls einschließlich
der ideengeschichtlichen Zusammenhänge, anschaulich abgehandelt. Das Lehrbuch von Feynman, Leighton und Sands
behandelt (in Teil III) die verschiedenen Wellen der Erde.
345

346 KAPITEL 7. DIE ERDE.
Lehbuchartige Darstellungen findet man bei Bullen, K. E. An Introduction to the theory of seismology und bei A. E. H.
Love A Treatise on Mathematical Theory of Elasticity.
Speziell die Erde betreffen (neben der Einführung in die Geophysik von Kertz) die lesenswerten Spezialdarstellungen von
W. H. Munk und G. J. F. MacDonald The rotation of the Earth und (20 Jahre später) von K. Lambeck The Earth’s variable
rotation: geophysical causes and consequences behandeln ausführlich die Aspekte der Erdrotation und ihrer Schwankungen.
7.1 Physik der Erde
Das von uns benutzte Gaußsche Maßsystem, das c-g-s-System, erweitert um K (Grad Kelvin) ist an
der Erde orientiert. Das Meter ist der 10millionste Teil des Erdmeridianquadranten, definiert in der
französischen Revolution für alle Zeiten und für alle Menschen. Alternative Vorschläge für eine Meterkonvention,
die allerdings verworfen wurden, stammten von Christian Huygens (1760, Pendel) und
Carl Friedrich Gauß (1832, magnetomechanisches Eichmaß). Die Meterkonvention wurde erst 1875 in
Paris (von 17 Staaten unterzeichnet, die Engländer fehlten und fehlen immer noch).
Das Galileische Pendelgesetz (l Länge des Pendels, g Gravitationsbeschleunigung der Erde)
�
l
T = 2π
g
ist, mit der Entdeckung des Isochronismus (die Periode ist unabhängig von der Amplitude), der Grundstein
der Zeitmessung (Huygens) bis zum Aufkommen der Atomuhren. Zu Ehren von Galilei, der g
erstmals gemessen hat, ist die Einheit der Beschleunigung
1 cm s −2 = 1 Gal
nach ihm benannt.
Nach Newton ist g, die Gravitationsbeschleunigung der Erde, gegeben durch Masse M und Radius R
(einer Kugel)
g = GM
R 2
in Zahlen: go = 981 cm s −2 . In nächster Näherung muß man die Erdrotation hinzunehmen. Die Winkelgeschwindigkeit
der Erdrotation, Ω, beträgt
Ω = 2π/1 Sterntag = 7.292 · 10 −5 s −1
und g wird Breitenabhängig:
gr = −g − Ω 2 r sin 2 θ = −982.037 + 3.389 sin 2 θ (7.3)
Das Galileische Pendelgesetz hat folgende interessante Eigenschaft. Es ist, wenn man l = R setzt
Π = 2π
�
R
g
die Zeit, die ein Satellit benötigt, auf der kritischen Bahn, wo Bahnradius = Erdradius = R ist, um die
Erde umzulaufen. Eine harmonische Schwingung (im freien Fall einmal zur Antipode und zurück) hat
die Periode:
Π = 2π
ω =
�
3π
Gρ
(7.1)
(7.2)
(7.4)
(7.5)

7.1. PHYSIK DER ERDE 347
und dauert Π = T⊕ = 84 min. Das ist auch die Größenordnung der Periode für die Schwingungs -
Grundmode von Erdbebenwellen.
Selbst das Einstein - de Sitter Universum gehorcht diesem Gesetz
�
8π
Au =
(7.6)
3Gρ
Die Erde (d. h. das Innere) besteht heute hauptsächlich aus Eisen (Fe) und Nickel (Ni), wie Newton
bereits aus ihrer spezifischen Dichte ρ⊕ = 5.5 g cm −3 schließen konnte. Sie hat eine feste Oberfläche,
eine gasförmige Atmosphäre, welche in ein Plasma übergeht.
Damit kommen bei der Erde alle in der Physik bekannten Phasen vor: fest, flüssig und gasförmig
(neutral und vollständig ionisiert). Cavendish war der Erste, der die heutige Zusammensetzung der Luft
bestimmte, die Uratmosphäre bestand aus hauptsächlich H und He. Mariotte war der Erste, der zeigen
konnte, daß der Wasserhaushalt der Erde abgeschlossen ist. Er bestimmte dazu die Niederschlagsmenge
im Einzugsbereich der Seine und deren Durchflussrate (in Paris).
7.1.1 Das Innere
Zustandsform
Die Temperatur im Innern liegt überall in der Nähe des Schmelzpunktes von Eisen. Damit gibt es 3
verschiedene Phasen, die mithilfe von Schallwellen (künstlich erzeugt oder durch Erdbeben) untersucht
werden können:
1. Kern
Der Druck im Zentrum ist so groß, daß die Materie fest ist.
2. Mantel
Die Materie ist flüssig.
3. Kruste
Die Temperatur ist so tief, daß die Materie wieder fest ist.
Die Masse der Erde kann, da sie einen Mond hat, direkt gewogen werden, wenn man die Gravitationskonstante
kennt. Sie beträgt:
M⊕ = 5.977 · 10 27
Bei bekanntem Radius folgt daraus
ρ⊕ = M
V
= 5.5 g cm−3
g ≈ 3 · 10 −6 M⊙
Die Gravitationskonstante wurde von Newton abgeschätzt und erstmals 1798 von Cavendish mit der
Torsionswaage direkt bestimmt. Sie ist bis heute eine der am wenigsten genau bestimmte Fundamentalkonstante.
Der Grund dafür ist, daß in alle Gleichungen stets die Kombination GM eingeht (und
eine grosse Masse naturgemäß noch schlechter bestimmt werden kann).
Der Schwarzschildradius der Erde
RS = 2GM⊕
= 0.9 cm
c2 ist dagegen sehr genau bekannt.
Bekanntlich war es zunächst sehr schwer, die (von Galilei vorhergesagte) Eigenrotation der Erde

348 KAPITEL 7. DIE ERDE.
nachzuweisen (Foucaultsches Pendel). Die Eigenschwingungen
der Erde zu entdecken, war ungleich schwerer. Sie
wurden theoretisch behandelt und ihre Periode vorhergesagt,
lange bevor sie direkt beobachtet werden konnten.
Analoge theoretische Modelle für andere Objekte liefern
die nebenstehenden Perioden.
Poisson gab 1829 die Lösung der Eigenschwingungen einer
elastischen Kugel, H. A. E. Love bestimmte die längste
beobachtbare Eigenperiode, 0S2, mit 60 Minuten. Bis zur
Eigenschwingungen der Planeten
Objekt Periode Dichte Masse Radius
Mond 15 Min 3.34 0.012 0.274
Mars 32 Min 3.9 0.11 0.53
Venus 51 Min 5.1 0.81 0.95
Erde 54 Min 5.5 1 1
Tab. 7.1: Pulsperioden
eigentlichen Beobachtung vergingen dann fast 150 Jahre.
Erst beim Erdbeben 1960 in Chile wurde erstmals die längste Periode mit 54 Minuten bestimmt (in
Übereinstimmung mit dem damaligen Standardmodell der Erde, dem Bullen-A-Modell). Dabei zeigte
sich, daß die Perioden eine Feinstruktur besitzen, hervorgerufen durch die Rotation der Erde.
Auf kurzen Zeitskalen (Eigenschwingungen, Gezeiten) sind Kern und Kruste fest, auf langen (Abbremsen)
jedoch nicht. Chandler viskoelastisch
Das Magnetfeld
Die Erde ist ein schiefer Rotator. Ihr Magnetfeld ist allerdings nicht permanent: es wechselt die Richtung
(Missweisung von bis zu 30 Grad in 200 Jahren) und Stärke (bis zur Umpolung). Der Nordpol (in
Wahrheit der Südpol, da ja der Nordpol einer Magnetnadel von ihm angezogen wird) des Erdmagnetfelds
liegt heute im Hudson Bay, das sind etwa 27 Grad Inklination zur Rotationsachse.
• ANMERKUNG (VOM STATISCHEN MAGNETFELD ZUM DYNAMO)
Die magnetische Kraft (zwischen Erzgestein, welches nahe der kleinasiatischen Stadt Magnesia gefunden wurde) war schon
(in Europa) im Altertum bekannt und wurde im 12. Jahrhundert mithilfe des Magnetkompass zur Seefahrt benutzt. Dabei
nahm man an, daß der Polarstern die Kompassnadel in Nord-Süd-Richtung zwinge.
Gilbert (1540 - 1603, Leibarzt der Königin Elizabeth) war der erste, der erkannte, daß die Erde selbst ein großer Magnet ist.
(Sein Modell war ein riesiger Stabmagnet aus Eisen im Erdinnern). Basierend auf sorgfältigen Experimenten, entwickelte
er ein weitgehend zutreffendes Bild vom Erdmagnetismus. Seine Erkenntnisse schrieb er in einem bedeutendes Werk mit
dem Titel ’Über den Magneten’ auf.
Er entdeckte ferner, daß ein Glasstab (und etwa 20 andere Materialien) beim Reiben so werden wie Bernstein. Auf ihn geht
die Bezeichnung ’elektrisch’ (Elektron = Bernstein) zurück. Reibungselektrizität war lange die einzige bekannte Form der
Elektrizität.
Die Polstärke (magnetomotorische Kraft) eines Magneten wird in Gilbert angegeben.
10 Ampère = 4π Gilbert.
Der Franzose DuFay (1698 - 1739) fand 1734, daß es zwei Arten von Reibungselektizität gibt. Lichtenberg (1777) definierte
dann willkürlich, daß die des Glasstabs positiv ist. Diese Wahl ist unglücklich, da die Stromrichtung (im Leiter) und die
Ladung des wichtigsten Ladungsträgers, eben des Elektrons, damit negativ ist.
Das Magnetfeld der Erde wird vermutlich durch einen Dynamo erzeugt, der durch turbulente Bewegung
des Erdmagmas angetrieben wird. Für einen Eisen Permanentmagneten ist es im Innern der Erde
(mit etwa 4000 K) zu heiß. Neben der Leitfähigkeit, die bei allen inneren Planeten vergleichbar sein
sollte, sind Viskosität (Innentemperatur) und Rotationsfrequenz die entscheidenden Parameter. Mars
(zu kalt) und Venus (Rotation zu langsam) haben kein (nachweisbares) Magnetfeld.
Das Magnetfeld der Erde beträgt an den Polen etwa 0.5 Gauß, es ändert aber Richtung und Betrag
(Umpolen) in einer Zeit von etwa 10 5 bis 10 6 Jahren (ablesbar an ausgekühltem, ferromagnetischem
Lava Gestein).
Magnetisches Moment eines Dipols (in z−Richtung) und Feldstärke des Magnetfelds am Pol hängen
wie folgt zusammen
M = 1
2 BpR 3 �ez
(7.7)

7.1. PHYSIK DER ERDE 349
Dabei spielt die innere Feldverteilung keine Rolle. Das magnetische Dipolmoment der Erde beträgt
M⊕ = 8 · 10 25 Gauß cm 3 (7.8)
• FORMELN (FOUCAULTSCHE STRÖME)
Beim Aufbau bzw. Zerfall eines Magnetfelds fließen Ströme. Bekannte Beispiele sind die Wirbelstrombremse und der
Unipolarinduktor. Das Ohmsche Gesetz (ohne Hall Effekt)
�
�j = σ �E + �v
c × � �
B
(7.9)
reicht zur Beschreibung dieser Prozesse aus und führt, wie wir jetzt zeigen wollen, bei guter Leitfähigkeit zur Flusserhaltung,
bei ruhender Materie zur Dissipation des Feldes. Wir betrachten letztere zuerst.
Rechnung:
Von den Maxwellschen Gleichungen, mit q, Ladungsdichte im 3-dim. Raum und Strom, �j
div � E = 4πq (7.10)
1 ∂
c
� E
∂t = rot � B − 4π
c �j (7.11)
bleibt für quasistationäre Vorgänge
und
div � B = 0 (7.12)
− 1 ∂
c
� B
∂t = rot � E (7.13)
rot � B = 4π
c �j (7.14)
− 1
c
.
�B = rot � E (7.15)
übrig. Das Ohmsche Gesetz nun wird benutzt, um � E zu eliminieren und wir erhalten:
.
�B = rot(�v × � B) − c2
4πσ rot rot � B (7.16)
Für �v = 0 reduziert sich das (nach abseparieren der Zeit) auf die Vektor Helmholtz Gleichung, s. u., für σ = 0 auf
Flusserhaltung
�
Φ = �Bd � S (7.17)
Der magnetische Fluß durch eine mitbewegte Fläche (mit Normale d � S) ist erhalten.
Zieht man einen Kreisleiter, der die Fläche πR 2 umrandet, schnell zusammen auf die Fläche πr 2 , so wird der Magnetfluß
senkrecht dazu um den Faktor (R/r) 2 verstärkt. Schnell heißt, die Zeit T = R/v muß kurz gegen die Dissipationszeit des
Feldes τ.
Die dimensionslose Zahl
RM = vτ Rv
= 4πσ
R c2 ist eine nützliche Größe, um Diffusion und Flußerhaltung zu unterscheiden.
(7.18)
Sie heißt magnetische Reynoldszahl. Die Tabelle gibt Daten für eine Vollkugel aus Kupfer mit einem
Radius von 1 cm, die Erde (Kugel aus Eisen mit Radius
R) und die Sonne. Angegeben ist neben dem Radius
magnetische Zerfallszeiten
R, die elektrische Leitfähigkeit σ und die Dissipationszeit Objekt R σ τ
des Feldes τ. Wir sehen: RM ist in der Laborphysik von der
Größenordnung eins, bei astrophysikalischen Anwendungen
ist RM meist sehr groß, sodaß Diffusion vernachläßigt werden
kann. Das ist aber andererseits ein Problem, etwa bei
Molekülwolken, bei denen bisher keine Felder, die einer
cm s
Flusserhaltung des galaktischen Feldes entsprechen würden,
−1
Kupferkugel 10 5·1017 Erde 7·10
0.5 sec
8 1017 2·105 Sonne 7·10
yr
10 1016 2·1010 yr
Tab. 7.2: Zerfallszeiten

350 KAPITEL 7. DIE ERDE.
gefunden wurden. Das gilt um so mehr für Sterne wie die Sonne.
Für kugelsymmetrische Probleme sind die Lösungen der Vektor Helmholtz Gleichung bekannt. Da
div � B = 0 und rot rot = grad div - ∆ ist, lautet die Gleichung
.
�B = c2
4πσ ∆ � B (7.19)
Die Zeit wird mit dem Ansatz (n = 1, 2 . . . )
�
�B = rot(Φn�ez) exp − t
�
τn
(7.20)
absepariert und die Vektor Helmholtz Gleichung wird gelöst. Wie zuerst von Chapman (1945) gezeigt
wurde, gehorchen die Dissipationszeiten der Normalmoden zum Index n, τn, einem 1
n 2 Gesetz:
τn = 4πσ R2
c 2
1
n 2
und (j0(x) ist eine Bessel Funktion)
Φn = j0(knr) mit k −2
n = c2
4πσ τn und j0(x) =
sin x
x
Die Dissipation wird durch die langsamste Mode, n = 1, bestimmt.
7.1.2 Kosmogonie der Erde
Problemstellung
(7.21)
(7.22)
Wenn wir annehmen, daß sich die Planeten und die Sonne aus interstellarer Materie gebildet haben,
dann steht die Kosmogonie (Bildung der Erde und der Planeten allgemein) vor den folgenden Problemen:
1. Chemische Fraktionierung
Da H (bezogen auf die Masse) etwa 200-mal häufiger vorkommt als Fe, muß allein bei der Bildung
der Erde aus der Urmaterie des Sonnensystems an Masse etwa 200 M⊕ H und He ausgegast
und verdampft worden sein. Aus dem Fehlen jeglicher Edelgase in der Atmosphäre der Erde
schließt man, daß diese durch Brocken wie Asteroiden und Kleinplaneten zusammengebacken
wurde, diese haben Gase bereits weitgehend beim Auskondensieren verloren. Aber selbst das,
was übrigbleibt, zu verlieren ist, wie wir sehen werden ein grosses Problem, vermutlich ist ein
einzelnes katastrophales Ereignis dafür verantwortlich (Eisenkatastrophe).
2. Übergang von reduzierender zu oxidierender Atmosphäre
Die drei häufigsten Elemente im Sonnensystem sind C, N und O. Ihre ursprünglichen Teilchenzahlen
C : N : O standen im Verhältnis wie 100 : 32 : 182. Ein weiteres Problem der Kosmogonie
ist, zu erklären, wie die Atmosphäre von einer reduzierenden (dominiert von Wasserstoff und
seinen Verbindungen wie NH3, CH4) zu einer oxidierenden gemacht wurde (Sauerstoff O2 und
Kohlendioxyd, CO2). Der Sauerstoff ist heute in den Ozeanen, der Kohlenstoff in den Sedimenten
als Kalkspat gespeichert. Man nimmt heute an, daß der gesamte Wasserstoff verloren ging
(das meiste davon in der Eisenkatastrophe, big burb, s. u.). Der Sauerstoff der Atmosphäre wurde
von Algen in der Photosynthese produziert.

7.1. PHYSIK DER ERDE 351
3. Die Ozeane
Das Wasser der Ozeane wurde vermutlich nicht durch Kometen auf die Erde gebracht (und schon
gar nicht auch heute noch, wie manchmal behauptet wird) sondern nach dem big burb zunächst
in die Atmosphäre ausgegast und dann aus ihr kondensiert. Die Temperatur direkt nach dem
big burb kann man zu 4500 K abschätzen. Damit ist auch in etwa das Anfangswertproblem der
planetraen Atmosphäre definiert. Die Sonneneinstrahlung spielt keine Rolle. Was volatil genug
ist verdampft (Edelgase), was schwer genug ist kondensiert später (nach dem Abkühlen) aus. Die
Ozeane der Erde enthalten etwa 1000 Atmosphärenmassen, Kalkspat (CaCO3) am Meeresboden
bindet etwa 70 Atmosphärenmassen, der Rest steckt in Felsgestein.
4. Drehimpulsbilanz
Ähnlich schlimm sieht es bei der Drehimpulsbilanz im Sonnensystem aus. Der gesamte Drehimpuls
steckt in den Planeten (etwa 180 mal mehr als in der Sonne) und bei diesen wieder in den
Monden (bei der Erde ist das Verhältnis zum Drehimpuls des Mondes 1 : 7). Dazu kommt ein
erhebliches Misalignment (Fehlweisung) der Drehimpulse bzw. der Spins.
Die drei wichtigsten Elemente C, N und O sind letztlich sehr unterschiedlich in der Atmosphäre (der
verschiedenen Planeten und Monden) vorhanden. Neben der Erde enthält nur der Jupitermond Titan
bedeutende Anteile an N2. Diese sind wahrscheinlich ausgegast (N2 oder NH3).
• ANMERKUNG (PHOTOSYNTHESE)
Photosynthese ist der Prozeß, bei dem Pflanzen vermittels Chorophyll und Sonnenenergie Kohlendioxyd und Wasser in
Kohlenwasserstoffe umwandeln.
6CO2 + 6H2 → C6H12 + 6O2
Zu Beginn, beim Übergang von reduzierender zu oxidierender Atmosphäre, kann das CO2 auf der linken Seite ausgegast
worden sein. Heute ist die Photosynthese im Gleichgewicht mit dem Umkehrprozeß, der Atmung der Pflanzen:
C6H12 + 6O2 → 6CO2 + 6H2
Der Nettogewinn an O2 zu Beginn kommt durch die Vermehrung der Pflanzen zustande.
Aufheizung und Schmelzen
Nach der heutigen Vorstellung wurden die Planeten – also auch die Erde – aus dem protosolaren Nebel
in kaltem Zustand durch Agglomeration von Gesteinsbrocken von etwa Meteorgröße gebildet. Die Erde
ist heute im Innern allerdings so heiß,
Tc ≈ 4000 . . . 6000 ◦ K (7.23)
daß sie zwischen Kern und Kruste flüssig ist, was sich durch radioaktive Aufheizung (damals und heute
noch)
˙Qrad ≈ 2 · 10 20
erg s −1 ; jrad = 50 erg cm −2 s −1 (7.24)
und die schlechte Wärmeleitfähigkeit der Kruste erklärt (Wärmestau).
Die Gravitationsenergie Ug der Erde beträgt etwa
Ug ≈ GM 2 ⊕
R⊕
= 4 · 10 39
erg (7.25)
und stellt damit das bei weitem größte Energiereservoir dar. Der Druck im Zentrum beträgt etwa
Pc ≈ ρGM⊕
2R⊕
= 2 · 10 12
dyn cm −2

352 KAPITEL 7. DIE ERDE.
das sind 2 Megabar.
Die Materie der Erde ist bereits entartet, deshalb kann die thermische Energie nicht aus dem Virialsatz
gefolgert werden. Den Beitrag der Wärme schätzen wir wie folgt ab. Nach dem Gesetz von Dulong
und Petit entfällt auf jedes Fe Atom die Energie ɛ = 3kT , das ergibt (heute), wenn wir als mittlere
Temperatur To = 3000 ◦ K ansetzen:
Qo ≈ 3NF ekTo = 10 38
erg mit N = M⊕
mF e
≈ 10 50
• ZUSATZ (DAS ABKÜHLALTER)
Da die Erde früher heißer als heute war, ist es interessant, das Abkühlalter zu bestimmen.
Die Abkühlung folgt aus
� �3 To
= 1 + (t − to)
T
Lo
Qo
mit den heutigen Werten (d. h. falls die Sonne ausgeht)
und
Qo
Lo
= 2.5 · 10 5
yr
Lo = 4πR 2 f⊙ ≈ 6 · 10 24
erg s −1 (7.26)
Der tatsächliche Wärmestrom aus dem Inneren ist 4 Zehnerpotenzen kleiner, ˙ Qrad ≈ 2 · 10 20 erg s −1 , was auf etwa 10 Gyr
führt.
• ZUSATZ (DIE EISENKATASTROPHE)
Bei Bildung der Erde hat zunächst radioaktive Erwärmung Eisen zum Schmelzen gebracht (Erwärmung auf etwa 2000 ◦ K).
Da flüssiges Eisen schwerer ist als Gestein, sammelte sich dieses im Zentrum der Erde, wobei weitere Gravitationsenergie
freigesetzt wurde. Damit stieg die Temperatur nochmals (auf etwa 4000 ◦ K) an, wodurch auch das Gestein schmolz (außer
in der Kruste, wegen schlechter Wärmeleitung). Dies ist die Eisenkatastrophe. Spätestens dann (wahrscheinlich aber schon
früher), wurden chemisch träge Gase (in einem gigantischen Rülpser, big burb genannt) ausgegast.
Die vorstehenden Überlegungen gelten für alle Planeten. Diese haben demnach alle einen festen Kern aus Eisen mit einem
Mantel aus Gestein. Jupiter hat einen Fe - Ni Kern von etwa 13 M⊕ und einer Dichte ρ ≈ 22 g cm −3 ; Saturn hat sogar
einen Kern von etwa 16 M⊕.
Heute sieht der Temperaturverlauf im Innern der Erde etwa folgendermassen aus:
1. In einer Kruste der Dicke 30 km wächst die Temperatur von 0 ◦ C auf 600 ◦ C.
2. Der weitere Verlauf folgt etwa einer Sinuskurve:
T = Tc sin π(r/R) mit Tc ≈ 5000 ◦ C.
Der größte Teil des Erdinnern ist flüssig, der Kern ist fest.
7.1.3 Rotation
Die Entweichgeschwindigkeit ist, wie wir gezeigt haben, durch
�
2GM
vesc =
R
(7.27)
gegeben. Für die Erdoberfläche sind das 11.2 km s −1 . Die Rotationsgeschwindigkeit am Äquator beträgt
dagegen nur etwa
vrot = 0.46kms −1 ,
die Erde ist ein langsamer Rotator: vrot ≪ vesc.

7.1. PHYSIK DER ERDE 353
• FORMELN (IDEALES GAS)
Den Wirkungsquerschnitt der Luftmoleküle nähern wir durch den für harte Kugeln mit Durchmesser d (etwa 2 · 10 −8 cm)
σ = πd 2
also (für neutralen O2 und N2)
σ ≈ 10 −15
cm 2
Die r.m.s. Geschwindigkeit vo und die Schallgeschwindigkeit vs eines idealen Gases mit Boltzmann Verteilung werden
berechnet nach:
vo =
� �1/2 3kTo
m
und vs =
� �1/2 �
dP
= γ
dρ ad
P
�1/2 ρ
Der adiabatische Index γ beträgt 7/5 für Luft (lineare Moleküle).
Für die Erdoberfläche ergibt sich eine mittlere Geschwindigkeit der Luftmoleküle von vo = 4.85·10 4 cm s −1 , was praktisch
identisch ist mit vrot.
Die Schallgeschwindigkeit ist mit
vs =
� �1/2 7
vo = 3.33 · 10
15
4
cm s −1
etwas langsamer.
Die mittlere freie Weglänge erhält man (durch Mittelung über die Relativgeschwindigkeit zwischen zwei Molekülen) zu
l = 1
√
8
√ =
2nσ πnr2 wobei r der Radius der harten Kugel ist. Für Luft (mit P = 10 6 dyn cm −2 und T = 300 K) ist n = p/kT = 2.5 · 10 19
cm −3 und damit
l = 3 · 10 −5
Für die Stossfrequenz
ν = 1
τ
= v
l
cm
erhalten wir damit ν = 2 · 10 9 s −1 , oder 2 GHz.
Vergleicht man die vier inneren Planeten, Merkur (R = 0.38R⊕ und P = 58d), Venus (R = 0.95R⊕
und P = -243d), Erde und Mars (R = 0.53R⊕ und P = 1d), dann ist vrot ≈ vs die grosse Ausnahme.
Präzession und Nutation
Physikalisch ist die Erde ein äusserst kompliziertes Gebilde, welches am ehesten durch einen viskoelastischen,
abgeplatteten Kreisel zu beschreiben ist. Da Bahndrehimpuls und Eigendrehimpuls bei
der Erde etwa um 23.5 ◦ gegeneinander geneigt sind, kommt es im Gravitationsfeld der Sonne und
des Mondes zu einem Drehmoment, welches bewirkt, daß die Drehachse der Erde an der Himmelssphäre
einen Kegel mit Öffnungswinkel 23.5 ◦ und Periode 2.5735·10 4 Jahre beschreibt. Diese Bewegung
heißt Präzession der Äquinoxien oder Lunisolar–Präzession. Aus ihr folgt für die beiden Hauptträgheitsmomente
C − A
C
(7.28)
(7.29)
= 1/305.8 (7.30)
Da der Mondbahndrehimpuls selbst noch um 5 ◦ zur Ekliptik geneigt ist, kommt eine zweite Präzession
(Periode 18.6 Jahre) hinzu, welche leider aus historischen Gründen von den Astronomen Nutation
genannt wird.

354 KAPITEL 7. DIE ERDE.
Die wahre Nutation, d. h. die freie Präzession eines festen Ellipsoids, hat nach Euler die Frequenz
ωw =
(C − A)S
AC
cosΘo
Sie ist kaum nachweisbar (Amplitude 0.1 ′′ , Periode 1.16 Jahre = 438 Sterntage) und wird nach ihrem
Entdecker Chandler Wobble genannt. Euler dagegen hatte (1765) ihre Periode Pw zu 304.8 Stern-Tagen
berechnet. Die Diskrepanz erklärt sich aus der Nachgiebigkeit der Erde (auf einer Zeitskala von einem
Jahr).
Abbremsung der Erdrotation
Die Rotationsenergie beträgt
Erot = 1
2 CΩ2 mit C = 8.118 · 10 44
(7.31)
mit C Hauptträgheitsmoment der Erde und Ω Winkelgeschwindigkeit der Erdrotation. Zum Vergleich:
das ist das Trägheitsmoment der Neutronensterne! Diese verlieren allerdings etwa 10 38 erg s −1 beim
Abbremsen.
Eine inkompressible, homogene Kugel hat ein Trägheitsmoment
C = 2
5 Ma2
wobei a der Radius ist. Für die (kompressible) Erde gilt C = 0.331Ma 2 . Der Drehimpuls der Erde
beträgt
S = CΩ = 5.9 · 10 40 gcm 2 s
Die Dissipation der Gezeitenenergie (in flachen Meeren) bewirkt eine Abbremsung der Erdrotation
Erot = 2.16 · 10 36
erg ; ˙ Qdiss = 3 · 10 19
erg s −1 (7.32)
welche nicht direkt gemessen werden kann (Rauschen), welche allerdings mithilfe historischer Aufzeichnungen
(Sonnenfinsternis) und sog. lebender Fossilien zu
˙
P⊕ = 10 −12
s s −1 (7.33)
bestimmt wurde. Dieser säkularen Verlangsamung entspricht eine Zeitskala von
T = P⊕
˙
P⊕
= 8.6 · 10 16
s ≈ 3 Gyr (7.34)
Dieser Wert der Abbremsung ist etwa dreimal so groß (entsprechend ≈ 30 Sekunden in 1 Myr), wie
der durch Dissipation der Gezeitenkräfte bestimmte Wert. Als Mittelwert der säkularen Verlangsamung
nimmt man oft 20 Sekunden pro Myr.
• ZUSATZ (PALÄOASTRONOMIE: DIE TAGESLÄNGE IM SILUR)
Die Paleoastronomie basiert auf der Annahme, daß bestimmte Nautiloiden (Muscheln, Korallen etc.) ihre Schale mithilfe
von Licht, also proportional zur Tageslänge, bauen. Damit kommt man etwa 300 . . . 400 Myr zurück, bis ins Devon bzw.
Silur. Die Tageslänge war damals etwa 21 h , also 3 h kürzer als heute, was etwa obigem ˙
P⊕ (mit 350 Myr) entspricht.
Lit.
S.M. Pompea et al., Vistas in Astronomy 23, 185 (1979)

7.1. PHYSIK DER ERDE 355
• ZUSATZ (DIE TAGESLÄNGE BEI SYNCHRONISATION)
Die Tageslänge ist bei Synchronisation genau so lang wie die Dauer eines Monats. Bei der Überschlagsrechnung benutzen
wir die Drehimpulserhaltung in folgender Form. Heute gilt etwa
7J⊕ = Jm also Jtot = 8
7 Jm
Bei Synchronisation steckt näherungsweise der gesamte Drehimpuls im Mond. Aus
folgt
Jm = MmR 2 Ωm und Kepler Ω 2 mR 3 = const
Jm(fin)/Jm(ini) = 8
7 =
� �1/2 R(fin)
R(ini)
und daraus R(fin) = 1.35R(ini). Der genaue Wert ist
R(fin) = 1.4R(ini)
Die Tages bzw. Monatsdauer beträgt dann 45.5 heutige Tage.
Tageslänge und Zeitbestimmung
Ein Tag hat 24 Stunden, 1440 Minuten oder 86400 Sekunden. Ein Julianisches Jahrhundert hat 62525
Tage. Nach einem Vorschlag von J. Scaliger aus dem Jahr 1606, (von dem die Benennung zu Ehren
seines Vaters Julius stammt) beginnt die Zählung am 1 Januar −4712 mittags. Der 1.5 Januar (d. h. der
1. Januar 12h mittags) ist JD 2 451 545 und wird mit J2000 bezeichnet.
Alternativ zum Julianischen Jahr wurde das Besselsche Jahr (bezeichnet mit Bxxxx) benutzt. Es basiert
auf der Länge des tropischen Jahres und hat 625.242 198 781 Tage. Der Unterschied zwischen beiden
ist kumulativ, es entspricht dem Besselschen Jahr B2000 das Julianische Jahr J1999.998722 (mit JD
2 451 544.4334) und umgekehrt J2000 (mit obigem JD) entspricht B2000.001278.
Bis 1960 bestimmte die Tageslänge die Zeit, welche Universal Time (UT) genannt wurde. Eine Sekunde
war der 86400te Teil des mittleren Sonnentages. Von 1960 bis 1967 wurde die Ephemeris Time
(ET) als der 31 556 925.974 7te Teil des tropischen Jahrs 1900.0 benutzt.
Zwischen 1967 (BIH: Bureau International de l’Heure) und 1971 (TAI: Temps Atomique International)
erfolgte die Umstellung auf Atomzeit. Seit 1967 gilt die Atomzeit als verbindliches Normal: ’Die
Sekunde ist das 9.192.631.770 - fache der Periodendauer des Hyperfeinübergangs (J = 7/2, F = 4 →
F = 3) bei 133 Cs’ (ewa 9 GHz). Die rel. Genauigkeit (gemessen an mehreren Uhren, in Deutschland
an der PTB in Braunschweig) beträgt � 10 −14 (über ein Jahr, 10 −15 über 1000 s.) bei einer Ablesegenauigkeit
von ∆ν/ν � 3 · 10 −11 .
Universal Time (UT) wird heute über die Durchgangszeit eines Sterns durch einen festen Punkt auf
der Erde definiert. Die Abweichung zwischen einer idealen Atomuhr, TI, und Universal Time (UT)
definiert die Größe
Λ(t) = IT − UT
welche positiv ist, falls die Erde zu langsam rotiert. Die dimensionslos Größe
m3 = − ˙ Λ
ist so definiert, daß die Rotation schneller wird (Beschleunigung), falls m3 > 0 ist. Dies passierte
zwischen 1850 und 1900.

356 KAPITEL 7. DIE ERDE.
7.1.4 Die Erdatmosphäre
Problemstellung
Im folgenden wird angenommen, daß für das System Erde + Atmosphäre im Strahlungsfeld der Sonne
der Energiesatz gilt: die Erde wird langfristig weder wärmer noch kälter, was sich ändert ist die
Temperatur an ihrer Oberfläche (Index o) und die Entropie der Strahlung. Bereits auf ihrem Weg zur
Oberfläche wird die Strahlung zum IR hin verschoben, bei der Abstrahlung beträgt die typische Wellenlänge
10 −3 cm (statt 5 · 10 −5 cm der einfallenden Strahlung). Die Entropie S = 4E/T wird um den
Faktor 20 erhöht.
• DEFINITION (DIE ERDATMOSPHÄRE: PHYS. PARAMETER)
Wir benutzen die folgenden Bezeichnungen und Relationen:
Daten zur Erdatmosphäre
Symbol Wert cgs–Einheit Bezeichnung Formel
Vo −6 · 10 11 cm 2 s −2 grav. Potential Vo = −G M
R
EH −10 −12 erg potentielle Energie für H EH = −G mM
R
go 981 cm s −2 Erdbeschleunigung go = G M
R 2
To 288.15 K Temperatur
Ho 8 · 10 5 cm Skalenhöhe (für Luft) Ho = kT
mg
Po 10 6 dyn cm −2 Druck Po = nkT
ρo 1.29 · 10 −3 g cm −3 Massendichte
no 2.5 · 10 19 cm −3 Teilchenzahldichte
MA 4 · 10 21 g Masse der Atmosphäre MA = ρoHoA
Der Index o bezieht sich auf die Oberfläche (Meereshöhe) der Erde. Die beiden Hauptbestandteile der Luft sind 79% N2 und
21% O2. Das mittlere Molekulargewicht beträgt ˜µ = 0.79 · 28 + 0.21 · 32 = 28.9. Die Werte für Druck, Teilchenzahldichte
und Massendichte gelten für Normalbedingungen: To = 273 K. Der numerische Anteil von Wasserdampf, H2O, beträgt
bei Sättigung nur 2.5%.
Ein Verständnis der Thermodynamik und der Chemie der Erdatmosphäre sind für den Menschen
(über)lebenswichtig. Die Verhältnisse sind aber leider sehr komplex. Einige Probleme werden wir im
Vergleich mit anderen Planeten später behandeln. Hier betrachten wir einige einfache physikalische
Aspekte der Hydrostatik und Dynamik.
• FORMELN (EINIGE WERTE ZUM NACHSCHLAGEN)
Die Oberfläche der Erde, A⊕, beträgt A⊕ = 5.1·1018 cm2 . Davon sind 5
7 mit Wasser bedeckt (71% Hydrosphäre), der Rest
ist Landmasse (29% Lithosphäre). Die mittlere Wassertiefe beträgt 3.5 km, und damit haben die Ozeane eine Masse von
1.3 · 1024 g, bzw. 0.022% der Gesamtmasse (M⊕ ≈ 6 · 1027 g). Thermodynamisch wirken die Ozeane als Wärmespeicher,
chemisch als Puffer zum Speichern von CO2 in Form von Kalkspat CaCO3.
Die Amplitude der Meereshöhenschwankung zwischen Warm- und Eiszeit beträgt 120 Meter.
Hydrostatik der Erdatmosphäre
Die Säulendichte der Erdatmosphäre beträgt
N =
�∞
o
n(l)dl = noh = 2 · 10 25
cm −2 (7.35)
was einer Masse von 1033 g pro cm 2 (Wassersäule von 10 Meter) entspricht. Die chemische Zusammensetzung
der Erdatmosphäre besteht aus zeitlich konstanten (z. B. N2 und O2) und zeitlich variablen
Anteilen (H2O und CO2). Deshalb behilft man sich mit dem Konzept einer Standardatmosphäre.

7.1. PHYSIK DER ERDE 357
• ZUSATZ (STANDARDATMOSPHÄRE: DAS MITTLERE VERHALTEN)
Zugrunde gelegt wird hier das mittlere Verhalten von Temperaturbeobachtungen in der freien Atmosphäre. Die bis dato
gebräuchlichste Standardatmosphäre ist die US-Standardatmosphäre von 1962 mit den entsprechenden Ergänzungen aus
späteren Jahren. Sie bezieht sich auf das Verhalten der Atmosphäre im Jahresmittel bei 45 ◦ nördlicher Breite. Die thermodynamischen
Ausgangswerte für 0 km Höhe (Meeresniveau) sind:
Standardatmosphäre
Druck : Po = 1.01325 · 10 5 Pa
Temperatur : To = 288.15 K
Dichte : ρo = 1.225 · 10 −3 g cm −3
1 Bar = 1000 Hekto Pascal = 10 5 N m −2 = 10 6 dyn cm −2
1 m 3 enthält 1293 g Stickstoff und Sauerstoff, der Anteil an Wasser beträgt nur 17.3 g.
Schadstoffkonzentrationen werden gewöhnlich absolut in Mikrogramm pro m 3 oder relativ in pptv (parts per tausendstel
Volumkonzentration) bzw. in ppmv (parts per millionstel Volumkonzentration) angegeben. Etwa 100 µg pro m 3 O3 sind
für den Menschen schädlich (Krebs?).
• ZUSATZ (STANDARDATMOSPHÄRE: ABGELEITETE MITTELWERTE)
Unter Standardbedingungen für Druck und Temperatur, Po = 1013.25 mbar, To = 273.15 K, gelten die folgenden Werte
für trockene Luft. Alle Werte sind bezogen auf Meeresniveau.
Dichte ρo = 1.2928 · 10 −3 g cm −3
Molekülgewicht µ = 28.970
Teilchendichte no = 2.688 · 10 19 cm −3
Geschwindigkeit vo = 4.85 · 10 4 cm s −1
Molekülradius r = 1.73 · 10 −8 cm
freie Weglänge λ = 6.98 · 10 −6 cm
Die mittl. Molekülmasse beträgt m = 4.810 · 10−23 g. Die r.m.s. Geschwindigkeit vo und die freie Weglänge λo wurden
berechnet nach:
� �1/2 √
3kTo
8
vo =
und λo =
m
πnor2 Die Temperatur der Erdatmosphäre
Mit Albedo ∗ bezeichnet man den Reflexionskoeffizienten, A, eines Planeten. Sie beträgt für die Erde †
A = 0.30 (zum Vergleich: A = 0.07 für den Mond) und wird bestimmt (in dieser Reihenfolge) durch:
1. den Wassergehalt der Erdatmosphäre,
2. die Wassertropfen der Wolken (H2O),
3. den Erboden und
4. die Ozeane.
Die Erde ist im Mittel zu 50% mit Wolken bedeckt.
Beim Durchgang durch die Erdatmosphäre wird die Strahlung der Sonne modifiziert, und zwar zum
Infraroten hin verschoben.
• ANMERKUNG
Nimmt man die Erdatmosphäre weg, so würde vorübergehend die Temperatur der Erdoberfläche auf etwa Teff ≈ 256 − 9
◦ K (also −30 Celsius) abfallen, die Albedo der Erde wäre dann A = 0.39.
Die UV-Strahlung würde direkt zur Erdoberfläche gelangen und dort so lange O und O2 freisetzen, bis sich wieder eine
Ozonschicht gebildet hat. Der damit verbundene Treibhauseffekt würde dann Wasser verdampfen lassen, die Erdatmosphäre
würde sich regenerieren.
∗Von lat. alba = weiß. Die Albedo kann für alle Planeten außer für die Erde direkt bestimmt werden und bezieht sich
auf das sichtbare Spektrum.
† Der noch häufig zitierte Wert für die Albedo der Erde, A = 0.39, wurde Ende 1960 durch Satellitenbeobachtungen
obsolet.
Neuerdings wird diskutiert, ob bestimmte Wolken diesen Wert für die Oberfläche der Erde nochmals modifizieren.

358 KAPITEL 7. DIE ERDE.
Der Treibhauseffekt
Der Treibhauseffekt kommt dadurch zustande, daß die Wellenlänge des eingestrahlten Lichts (Maximum
bei 500 nm) und die Wellenlänge der von der Erde wieder abgestrahlten Wärmestrahlung (Maximum
bei 8800 nm, entsprechend 290 K) sehr verschieden sind. Er wird deshalb hauptsächlich bestimmt
durch diejenigen Moleküle, welche im IR, nicht aber im visuellen optisch aktiv sind (absorbieren): die
Gase (in dieser Reihenfolge) H2O undCO2. Svante Arrhenius erkannte 1896 dieses Prinzip bereits und
konnte damit die Eiszeiten (und Warmzeiten) erklären.
• ANMERKUNG (SINTFLUT)
Die Konsequenzen einer Erwärmung um ein Grad (bis 2100):
1. Abschmelzen der Eisberge liefert eine Erhöhung des Meeresspiegels um 17 cm,
2. Ausdehnung des Wassers liefert 32 cm, insgesamt: 49 cm.
Bei einer richtigen Warmzeit beträgt die Amplitude des Meeresspiegels dagegen 120 Meter (d. h. 20 %, bei einer mittleren
Tiefe des Meeres von 2.4 km).
Damit absorbiert die Erde (1 − A) = 70% aus dem Sonnenfluß. Der Gesamtfluß, die Solarkonstante
f⊙, kann direkt gemessen werden und beträgt:
f⊙ = 1.36 · 10 6
erg s −1 cm −2 = 1.99 cal cm −2 min −1 = 236 W m −2 (7.36)
sodaß der die Erde (senkrecht) treffende Fluß oberhalb der Atmosphäre Lo = S
S = πR 2 f⊙ ≈ 1.75 · 10 24
beträgt. Da der absorbierte Fluß
Sabs = (1 − A)πR 2 f⊙ ≈ 10 24
erg s −1 (7.37)
erg s −1
ist, die abstrahlende Fläche F jedoch (jedenfalls bei schnell rotierenden Planeten) F = 4πR 2 ist (sonst
–wie z. B. beim Mond– die Hälfte), ergibt sich für die Gleichgewichtstemperatur der Erde als schwarzer
Strahler
Teff =
� (1 − A)f⊙
4σ
�1/4 �
R⊕
= T⊙
2DES
�1/2
(1 − A) 1/4
was Teff ≈ 256 ◦ K ergibt.
Da die mittlere Temperatur an der Oberfläche der Erde allerdings To = 290 ◦ K beträgt, ergibt sich eine
Differenz von 34 K. Diese erklärt sich aus dem Teibhauseffekt, der also die Erde erst bewohnbar macht.
Die wirkliche Abstrahlung (für die dann der Energiesatz angewendet werden kann) geschieht aus der
Tropopause heraus (etwa 20 km über der Erdoberfläche): In der Eddingtonschen Näherung für den
Strahlungstransport durch die Troposphäre gilt für die Temperatur als Funktion der optischen Tiefe τ
T = Teff
�
3 2
(τ +
4 3 )
�1/4
(7.38)
Für die Tropopause ist dann T = 207 ◦ K, während am Boden (für τ = 2) T = 290 ◦ K gilt. Wir
erwarten demnach einen negativen Temperaturgradienten von etwa 4 · 10 −5 K cm −1 .

7.1. PHYSIK DER ERDE 359
Temperaturschichtung
Wir betrachten nun die beobachtete Temperatur- und Druckverhältnisse innerhalb der Atmosphäre. In
der Atmosphäre herrscht folgende Temperaturschichtung:
In Bodennähe bis etwa 12 km (ca. 7 km in Pol- und ca. 17 km in Äquatornähe) gibt es einen negativen
Temperaturgradienten (etwa 7 · 10 − 5 K cm −1 ). Dieser Bereich wird als Troposphäre bezeichnet.
Innerhalb der Troposphäre verteilen sich die verschiedenen Gase exponentiell mit einer Skalenhöhe
von etwa 8.5 km, während Wasserdampf (H2O) im allgemeinen nur exponentiell mit einer Skalenhöhe
von 4 km auftritt.
Die stossverbreiterten Linien von zwei Spezies, CO2 und H2O, sind die Hauptursache für die Absorption
von Sub(mm)- Radioemission aus höheren Schichten der Atmosphäre bzw. aus dem interstellaren
Raum.
An die Troposphäre schließt sich die Stratosphäre an. Nach einer isothermen Schicht in der unteren
Stratosphäre nimmt die Temperatur in der oberen Stratosphäre rasch wieder zu und erreicht in etwa
50 km Höhe Temperaturen, die denen der oberflächennahen Troposphärenschicht entsprechen. Diese
starke Erwärmung kann auf die Absorption von solarer UV- Strahlung (λ ≈ 200 − 300 nm) durch das,
in der oberen Stratosphäre, vorhandene Ozon zurückgeführt werden.
Oberhalb dieser Schicht beginnt die Mesosphäre, innerhalb derer die Temperatur erneut absinkt, bis
auf etwa 180K. Die Mesosphäre reicht bis in Höhen von 85 km.
Ab hier beginnt dann die Thermosphäre, die wiederum durch einen sehr starken Temperaturgradienten
bestimmt ist. Hier ist es ebenfalls die Absorption von UV-Strahlung, allerdings durch molekularen
Stickstoff (N2) bzw. durch molekularen und atomaren Sauerstoff (O2, O) bei Wellenlängen λ < 200
nm, die zu der starken Erwärmung führt. Die Ausdehnung der Thermosphäre und die (gaskinetische)
Temperatur innerhalb derselben unterliegen beträchtlichen Variationen, jeweils in Abhängigkeit von
der Sonneneinstrahlung und -aktivität.
Die Übergangsbereiche zwischen den einzelnen atmospärischen Schichten werden als Tropo-, Stratound
Mesopause bezeichnet.
Etwa 99.9% der gesamten Luftmasse der Erde befinden sich unterhalb der Stratopause. Die für das
Wetter verantwortlichen Vorgänge laufen im wesentlichen in der Troposphäre ab. Bis zu 100 km Höhe
ist die molare Masse der Atmosphäre infolge der guten Durchmischung höhenunabhängig (Homosphäre).
Ab dieser Höhe dominieren dann Diffusions- und Dissoziationsprozesse, und somit wird die
molare Masse zu einer Funktion der Höhe (Heterosphäre).
Die Luft der Erdatmosphäre kann als verdünntes (nicht wechselwirkendes) Gas behandelt werden: der
mittlere Molekülabstand lo beträgt lo = 2 · 10 −7 cm während für die freie Weglänge λo = 7 · 10 −6 cm
gilt, also λo/lo ≫ 1.
Als einfache Anwendung der Thermodynamik auf ein System im äusseren Feld, betrachten wir die
Erdatmosphäre als globales System im Gravitationsfeld der Erde mit dem Potential
V = −GM⊕
r
φ = mV = −GmM⊕
r
Die normierte Maxwell Verteilung im äusseren Gravitationsfeld lautet
� � � �
m 3/2 ɛ + φ − φo
f(x, v) = no
exp −
2πkT
kT
Dabei hängt die kinetische Energie ɛ = ɛ(v) nur von der Geschwindigkeit v, die potentielle Energie
φ = φ(x) und die Temperatur T nur vom Ort x ab. Die Temperatur bestimmt sich im Prinzip aus Glchg.
(7.38). Für nicht zu grosse Höhen ist T = const eine ausreichende Näherung.
Entwickeln wir zunächst das Gravitationsfeld für h ≪ R
V (x) − Vo = V ′
oh + . . . mit V ′
o = go = G M
R2

360 KAPITEL 7. DIE ERDE.
und integrieren die Maxwell Verteilung über v, so erhalten wir die barometrische Höhenformel für
nicht zu grosse Höhen
n(x) = noe −σ(h) mit σ(h) = h
H
und H = kT
mg
Die Größe H heißt Skalenhöhe. Unter Skalenhöhe versteht man also die Höhe, bei welcher der Anteil
auf 1/e abgesunken ist. Analog kann man eine Halbwertshöhe definieren
n(x) = no2 −˜σ(h) mit ˜σ(h) = h
˜H und ˜ H = H ln 2 = 0.69H
Sie ist von der Masse der Teilchen abhängig. Für Luft und T = 290 K beträgt sie H = 8.44 · 10 5 cm.
( ˜ H = 5.85 · 10 5 cm).
In einer ruhigen Atmosphäre würden sich demnach die schweren Moleküle am Erdboden, wo sie erzeugt
werden, sammeln. Zum Glück gibt es eine ständige Durchmischung der Luft. Der Grund dafür
ist der negative Temperaturgradient: warme Luft steigt auf, kalte sinkt ab. Man kann deshalb mit einem
mittleren Molekulargewicht von ˜µ = 28.9 rechnen. An der Erdoberfläche (Index o) gelten dabei die
Werte der Tabelle.
Die Lösung für das globale Problem lautet analog
n(x) = noe −σ(r) mit σ(r) =
φ(r) − φo
kT
und φ(r) = − GmM
r
(7.39)
Wir sehen, daß im Unendlichen die Dichte nicht verschwindet, falls sie an der Erdoberfläche von Null
verschieden ist. Das ist eine offensichtlich unsinnige Konsequenz.
Die Lösung des Paradoxons: die Gleichungen für ein statisches Gleichgewicht Erde - Atmosphäre
dürfen nicht angewendet werden, da es ein solches Gleichgewicht nicht gibt. Die Atmosphäre muß
ständig verdampfen, was sie auch tut.
Verdampfung der Atmosphäre
Um den Effekt quantitativ zu bestimmen, benutzen wir zunächst obige Werte für die Erdoberfläche
(Index o) und erhalten für den Faktor σ im Exponenten für Luft
yo = σ(∞) = mVo
kTo
= R
H
= 660
wenn wir konstante Temperatur annehmen. Luft kann vom Erdboden aus nicht verdampfen. Das gilt
auch in größeren Höhen.
Eine interessantere Abschätzung erhalten wir dort für atomares H: setzen wir eine mittlere Temperatur
von 1500 Kelvin an, so folgt
yo = σ(∞) = mVo
kTo
= 22 m
mH
(7.40)
Aus der barometrische Höhenformel folgt dann, daß die Dichte von H im Unendlichen auf den exp(−xo)
= exp(-22)–ten Teil des Oberflächenwertes abfallen sollte.
Tatsächlich verdampft die Erdatmosphäre nicht vom Erdboden aus (bei konstanter Temperatur), sondern
aus einer Höhe von etwa H = 1500 km heraus, der sogenannten Exosphäre, Index x. Sie ist
dadurch definiert, daß hier die freie Weglänge, l, der Atome vergleichbar mit der Skalenhöhe H ist.
l = 1
nσ
= H = kTx
mgx
= kTxr 2 x
GmM

7.1. PHYSIK DER ERDE 361
Die Exosphäre besteht zum größten Teil aus H und He, die mittlere kinetische Geschwindigkeit vx =
(3kT/m) 1/2 liegt mit 4 km/s nahe der Entweichgeschwindigkeit von ve = 11 km/s.
Hier beträgt die Dichte der Luft
n = 2 · 10 6
cm −3 ρ = 3 · 10 −18
g cm −3
also etwa das 2 · 10 −15 −fache der Materiedichte an der Erdoberfläche. Die Temperatur ist hier durch
die Sonneneinstrahlung gegeben und beträgt 1500 ◦ K.
Damit können wir die Verdampfungsrate ganz grob abschätzen, wobei der Index x sich also auf die
Exosphäre bezieht:
�
kTx
F ˙ = nxve = nx
m
˙N = 4πr 2 x ˙
F = 10 30
und damit eine mittlere Verdampfungszeit für die gesamte Erdatmoshpäre MA bestimmen:
t1/2 = MA
m ˙ N
= 3 · 107
Jahre MA = 4 · 10 21
In den unteren Schichten findet eine ständige Durchmischung der Gase statt, während in den oberen
Schichten die Sonnenenergie (Gammastrahlung) ständig die Atomkerne spaltet, sodaß tatsächlich der
Wasserstoff der Atmosphäre verdampft. Der Sauerstoff wird als Kalkspat gebunden.
• ZUSATZ (VERDAMPFUNGSRATE UND VERDAMPFUNGSZEIT NACH JEANS)
Eine genauere Abschätzung, die auf Jeans zurückgeht und die wir jetzt durchführen wollen, liefert noch den Faktor
�
f(yx) =
ye
∞
x e −x dx ≈ yx(1 + yx)e −yx
und genauer für die Verdampfungsrate pro Fläche
F ˙ = 1
4 nx¯ve
Dabei ist der Faktor 1
4 der Teil der die richtige Richtung und ¯ve der Teil der Teilchen, die entweichen können, weil ihre
Geschwindikeit dazu ausreicht
¯ve =
�∞
ve
vfM (x, v)4πv 2 dv
wobei fM (x, v) die normierte Verteilungsfunktion ist,
�
m
�3/2 fM (x, v) = n
e
2πkT
−βɛ mit β = 1
kT
Die untere Grenze ist durch die Entweichgeschwindigkeit
v 2 e = 2GM
rx
und ɛ = 1
2 mv2
gegeben. In diesem Punkt unterscheiden sich Teilchen von Photonen, letztere haben immer Lichtgeschwindigkeit und
können demnach stets entweichen.
Zur Bestimmung des Integrals wählen wir y als dimensionslose Variable
y = βɛ =
m v2
2kT
ye = GmM
rxkTx
= rx
H
g
s −1
(7.41)
(7.42)

362 KAPITEL 7. DIE ERDE.
mit der unteren Grenze ye und erhalten
˙N = πr 2 �
8πkTx
xnx¯ve = nxrxHf(yx)
m
Für w ≫ 1 kann das Integral durch f(ye) genähert werden. Ersetzen wir noch H durch die freie Weglänge, l, der Atome,
so erhalten wir
˙N = f(yx) rx
�
8πkTx
(7.43)
σ m
ein erstaunliches Ergebnis, da die Verdampfungsrate gar nicht von der Gasdichte nx abhängt. Unser verbessertes Ergebnis
für die Verdampfungsrate der H-Atome ist nur noch ein Bruchteil q der vorherigen Abschätzung. Mit
yx = GmM
rxkTx
≈ 7 m
mH
ist q = H
f(yx) = 1/100 (7.44)
4rx
Damit wird die Verdampfungszeit so lang wie das Alter der Erde und der Mechanismus ist nicht effektiv genug, um die
etwa 350 MA (in den Ozeanen der Erde) zu verdampfen, wie bei der Venus geschehen.
Insbesondere versagt der Jeans Mechanismus bei dem 4-mal schwereren Helium, was auch heute noch verdampfen muß,
da es ständig durch Radioaktivität neu erzeugt wird und ausgast.

7.1. PHYSIK DER ERDE 363
7.1.5 Aufbau und Pulsation
Legende: x = 100 · r
R
1. Kruste: ∆R ≈ 10 . . . 30 km; T ≈ 290 K
2. Lithosphäre: ∆R ≈ 100 km
3. oberer Mantel
4. unterer Mantel
5. äusserer Kern
6. innerer Kern; T ≈ 6000 K
Abb. 7.1: Aufbau der Erde
✻
x
100
80
60
40
20
00
♠
4
♠
5
♠
6
2.7
5.1
5.7
15.1
16.
ρ
[g cm −3 ]
Wir betrachten zunächst wieder die inkompressible Kugel. Die Kraft auf ein Teilchen der Einheitsmasse
¨r = − dφ
(7.45)
dr
ist harmonisch. Wie bei der Behandlung der polytropen Sterne bereits erwähnt, ist die Schwingung
eines Testteilchens im Gravitationsfeld einer statischen Kugel (Reise zum Zentrum der Erde) durch
folgende Gleichung für r(t) gegeben:
¨r = − Gm(r)
r2 = −G4πρ r
3
mit der Lösung (Start an der Oberfläche r = R zum Zeitpunkt t = 0):
�
(7.46)
r(t) = R cos ωt ω =
4πGρ
3
(7.47)
Das ist eine harmonische Schwingung mit der Periode (einmal zur Antipode und zurück in T⊕ = 84
min):
Π = 2π
ω =
�
3π
Gρ
(7.48)
Eine Frei - Fall - Reise zum Zentrum der Erde dauert demnach T = Π
4 = � 3π
16 ˆ Π⊕, also etwa 21 min.
Die Lösung hat eine interessante Eigenschaft. Es ist auch
�
R
Π = 2π ; g =
g
GM
r2 die Zeit, die ein Satellit benötigt, auf der kritischen Bahn, wo Bahnradius = Erdradius ist, r = R, um
die Erde umzulaufen. Es ist in der Tat gR = v2 = ω2R2 . Die Erdbeschleunigung g beträgt 981 cm
s−2 und die kritische Geschwindigkeit vc = 7.91 · 105 cm s−1 . In 400 km Höhe über dem Erdboden ist
vc = 7.67 · 105 cm s−1 und für den Mond gilt vc = 1.02 · 105 cm s−1 .
Zum Vergleich: die Schallgeschwindigkeit für reines Eisen ist (unter Normalbedingungen) cs = 7.1 ·
105 cm s−1 √
. Die Entweichgeschwindigkeit vesc = vc 2 für die Erde beträgt vesc = 11.2 km s−1 .
Mithilfe von Erdbebenwellen erhält man folgendes Bild vom Innern der Erde: der innere Kern hat etwa
eine Dichte von ρc = 10 g cm−3 und einen Radius von 1300 km, daran schließt sich flüssiges Eisen an
(Radius 3500 km). Der Mantel hat eine Dichte zwischen 3 und 6 g cm−3 .
Die Periode der Schwingungs - Grundmode ist 1960 erstmals direkt (nach einem Erdbeben in Chile)
gemessen worden. Als Ergebnis ergab sich eine Doppellinie mit Π = 54.7 min und Π = 53.1 min
(Coriolisaufspaltung durch die Rotation der Erde) mit einer Dämpfungskonstante von etwa 1 Monat.
✻

364 KAPITEL 7. DIE ERDE.
7.2 Astronomie der Erde.
7.2.1 Der Mond
Von den erdähnlichen Planeten hat nur die Erde einen Mond, Luna. Im Mond steckt der Drehimpuls.
Die Erde hat
J = CΩ = 5.9 · 10 40
g cm 2 s −1
im Mond steckt das 7fache.
Merkur und Venus haben gar keinen Mond. Die beiden Trabanten von Mars, Phobos und Daimon, sind
wahrscheinlich eingefangene Asteroiden. Dafür sprechen die Daten für Radius mit R ≈ 1.3 · 10 −3 R⊕,
Dichte mit 1.9 g cm −3 und Masse M ≈ 1.7 · 10 −9 M⊕ (für den massereicheren Phobos, die anderen
sind ähnlich).
Umgekehrt stellen Jupiter, Saturn und Neptun kleine Sonnensysteme dar: die dominierenden Trabanten
(d. h. ihre massivsten Begleiter sind in dieser Reihenfolge, jeweils mit R ≈ 0.4R⊕, Ganymed, Titan
und Triton) erreichen zwar nicht die Masse der Erde (sondern ziemlich einheitlich 0.023M⊕), wohl
aber ihren Radius. Die Dichte ist (mit 1.9 g cm −3 bei allen dreien) wesentlich geringer als die der Erde.
• FORMELN
Mit Mond bezeichnet man allgemein einen Trabanten (Begleiter).
Die größten Monde hat Jupiter, die kleinsten wurden erst kürzlich um Asteroiden entdeckt.
Die nebenstehende Tabelle fasst einige Daten des Erdmondes,
Luna, zusammen.
Was die chemische Zusammensetzung des Mondes betrifft,
so ist diese mit der vom Mars vergleichbar und signifikant
Vergleich Erde Mond
Masse Durchmesser Schwere- Dichte
von der der Erde verschieden.
beschleunigung
Überhäufig im Vergleich zur Erde sind (in dieser Reihen- 7.35 · 10
folge) Schwefel, Titan, Magnesium, Mangan und Eisen.
Der Mond hat keine Atmosphäre, seine Oberfläche hat die
25 g 3.48 · 108 cm 167 cm s−2 3.34
0.012 0.274 0.17 0.61
Zeichen früher Impakte (Krater) bewahrt.
Tab. 7.3: Monddaten
Die letzte Zeile gibt die Werte relativ zu denen der Erde: M⊕ = 81.3M. Die mittlere Entfernung zwischen Erde und Mond
ist d⊕ = 60.2R⊕. Eine (zufällige) Besonderheit ist noch der gleiche Öffnungswinkel, unter dem Mond und Sonne gesehen
werden (Sonnenfinsternis). Daraus folgt, wie wir zeigen werden, daß die relativen Beiträge zur Gezeitenkraft sich verhalten
wie die Dichten der Körper. Zum merken: die Dichte des Mondes beträgt etwa das Doppelte der Sonne.
Die Umlaufszeit des Mondes um die Erde heißt Monat. Die Erde dreht sich in 1.035 Tagen unter dem
Mond und die lunare Gleichgewichtsflut bewegt sich (am Äquator)
mit v = 40000/1.035 km pro Tage oder 1610 km s−1 . Dabei tre- Umlaufszeit des Mondes
ten Resonanzen auf, die durch Reibung gedämpft werden. Die Um- synodischer Monat 29.53059 d
laufszeit des Mondes wird damit säkular länger aufgrund der Ge- siderischer Monat 27.32166 d
zeitenreibung. Je nach Referenzpunkt, relativ zu dem der Umlauf drakonitischer Monat 27.21222 d
gerechnet wird, gibt es verschiedene Monate.
Der siderischer Monat bezieht sich auf (den Durchgang durch) die
Tab. 7.4: Monat
Fixsterne, der synodischer Monat auf die Sonne (Mondphasen: von Neumond zu Neumond). Erdbahn
und Mondbahn sind zueinander um den Winkel i = 5◦9 ′ geneigt, die Schnittlinie heißt Knotenlinie.
Ein Umlauf von Knotenpunkt zu Knotenpunkt heißt drakonitischer Monat.
Die mittlere Entfernung zwischen Erde und Mond, d⊕, und die Bahnexzentrizität betragen
d⊕ = 384400 km = 60.2R⊕ e = 0.0549
und für das Verhältnis der Entfernungen gilt
d⊕
d⊙
= 2.57 · 10 −3 � 1
400

7.2. ASTRONOMIE DER ERDE. 365
Für das Kräfteverhältnis erhält man daraus
K⊙
K⊕
= M⊙
M⊕
� �2 d⊕
d⊙
� 2.2
d. h. der Mond wird von der Sonne mehr als doppelt so stark angezogen wie von der Erde. Die Mondbahn
ist damit überall konkav zur Sonne. Tatsächlich ist es besser, das System Erde Mond als frei
fallenden Kreisel im Feld der Sonne zu betrachten. Durch die Bewegung des Schwerpunkts wird auch
die Ekliptik genauer definiert.
Die Masse des Mondes kann man aus Parallaxenbestimmungen an Planeten (besser am Asteroiden
Eros) erhalten. Im Schwerpunktsystem
M⊕�s⊕ + MM( � dE−M + �s⊕) = 0
ändert sich die Position eines Beobachters auf der Oberfläche der Erde. Der Schwerpunkt s⊕ liegt etwa
bei (3/4)R⊕, für die Masse gilt
MMond = 7.35 · 10 25
g = 1
81.3 M⊕
Man kann die Masse des Mondes auch aus der Amplitude der Gezeiten bestimmen:
h
R
= ∆K
K
= 2
� � �R⊕ �3
MMond
M⊕
d
= 2
� � � �3 1 1
= 10
80 60
−7
also ein maximaler Tidenhub h = 70 cm in der Ebene Erde - Mond.
Der relative Beitrag der Sonne ist von der Größenordnung
� �
∆K⊙ M⊙
=
∆KMond MMond
� �3 d⊕
=
d⊙
1
2
Da für die mittlere Entfernung zwischen Erde und Mond, d⊕, und die zwischen Erde und Sonne, d⊙
R⊙
d⊙
= RMond
d⊕
gilt, kann dies auch wie folgt geschrieben werden:
∆K⊙
∆KMond
= ρ⊙
ρMond
die Gezeitenkräfte verhalten sich (zufällig) wie die Dichten.
Durch die Erddrehung und den Beitrag der Sonne sind die Verhältnisse aber wesentlich komplizierter.
• BEISPIEL (GEZEITEN AMPLITUDEN)
Die gemessenen Amplituden der Gezeiten betragen auf offener See etwa 100 cm und 20 cm für die feste Erde.
In engen Buchten kann das Wasser dann auf 12m auflaufen! Die Periode der Grundschwingung der Ostsee beträgt 27.5
Stunden.
Die Deformation der festen Erde wurde erstmals von Maxwell mit Lichtstrahlen in der Londoner U-Bahn gemessen.
Beim Bau des LEP (Large Elektron Positron Collider) wurde dieser Effekt nicht bedacht, sodaß bei ’Springflut’ in Genf
der Strahl nicht mehr exakt fokussiert.
• BEISPIEL (SCHWEREWELLEN)
Wir betrachten das Problem einer freien Oberfläche einer Flüssigkeit, die sich im Scherefeld im Gleichgewicht befindet und
die an dünneres Medium angrenzt. Konkretes Beispiel ist Wasseroberfläche auf einer ebenen Erde auf die der Luftdruck po
wirkt. Wir wählen die z−Achse so, daß sie senkrecht auf Wasseroberfläche steht. Die Gravitationsbeschleunigung �g zeigt
nach unten.
Wird die Oberfläche der Flüssigkeit durch eine äußere Einwirkung aus der Gleichgewichtslage z = 0 herausgebracht, so
entsteht eine Flüssigkeitsströmung. Diese Strömung breitet sich über die ganze Oberfläche aus in Form von Wellen, die
Schwerewellen genannt werden. Die neue Oberfläche ist bei z = ζ.
Grundlage unserer Beschreibung dieser Schwerewellen sind die Gleichungen, die wir bereits bei der Untersuchung der
Stabilität eines Sterns bereits diskutiert haben:

366 KAPITEL 7. DIE ERDE.
1. die Eulersche Gleichung der Hydrodynamik und
2. die Kontinuitätsgleichung für den Massenstrom.
Sie lauten (mit �g = −∇V )
ρ D�v
dt
∂ρ
∂t
= −∇P − ρ�g (7.49)
= −div(ρ�v) (7.50)
Wir nehmen die ungestörte Oberfläche der Erde (Koordinaten x und y) als eben an, z = 0. Das Gravitationspotential
V (Lösung der Poisson Gleichung) ist dann einfach V = gz und �g = −∇V ist die Gravitationsbeschleunigung. Für
inkompressible Materie und kleine Geschwindigkeit kann die linearisierte Eulersche Gleichung der Hydrodynamik wie
folgt geschrieben werden
∂�v
∂t
Daraus folgt
= −∇
� P
ρ
�
+ �g (7.51)
rot�v = 0 und aus der Wirbelfreiheit �v = ∇φ (7.52)
für ein geeignetes Potential φ. Eine Strömung nennt man Potentialströmung.
Die wichtige Vereinfachung, die inkompressible Materie mit sich bringt, ist, daß auch
div�v = 0 und damit ∆φ = 0 (7.53)
gilt. Einsetzen in die Eulersche Gleichung liefert
p = −gρz − ρ ∂φ
∂t
An der Oberfläche muß der Druck stetig sein, der Luftdruck ändert sich nicht:
po = −gρζ − ρ ∂φ
∂t
Die Gleichung für φ kann vereinfacht werden duch die Einführung des neuen Potentials φ ′ = φ + (po/φ)t. Die Grenzbedingung
für φ lautet dann
gρζ + ρ ∂φ
∂t
(7.54)
(7.55)
= 0 (7.56)
und da φ das Potential zu v ist, vz = ∂φ
∂z , gilt
vz = ∂ζ
∂t
=
� �
∂φ
∂z z=ζ
Differenzieren der Grenzbedingung und Einsetzen liefert
�
∂φ 1 ∂
+
∂z g
2φ ∂2 �
t
= 0 (7.58)
z=ζ
Tatsächlich reicht es, die Randbedingung für z = 0 zu erfüllen, da φ bereits eine kleine Größe ist. Wir erhalten damit
endgültig
� ∂φ
∂z
+ 1
g
∂ 2 φ
∂ 2 t
(7.57)
∆φ = 0
�
(7.59)
= 0 (7.60)
z=0
wobei die zweite Gleichung die Grenzbedingung an der Oberfläche der Flüssigkeit ist, die später die Dispersionsrelation
liefert. Der folgende Ansatz
φ = f(z) cos(kx − ωt) (7.61)

7.2. ASTRONOMIE DER ERDE. 367
liefert Wellen, die sich in x−Richtung ausbreiten und die
∆φ = (f ′′ − k 2 ) cos(kx − ωt) = 0 (7.62)
erfüllen. Aus der partiellen Differentialgleichung ist eine gewöhnliche geworden. Änderungen am festen Ort geschehen mit
der Kreisfrequenz ω, die Periode ist T = 2π
2π
ω und die Wellenlänge ist λ = k .
Die allgemeine Lösung lautet
φ = (Ae kz + Be −kz ) cos(kx − ωt) = 0 (7.63)
Auf dem Boden der Flüssigkeit muß die Normalkomponente der Geschwindigkeit
vz = ∂ζ
∂t
= 0 für z = −h (7.64)
Null sein (inkompressibler Boden) und an der Oberfläche der Flüssigkeit muß die Grenzbedingung erfüllt sein. Das liefert
und
φ = ACosh(kz) cos(kx − ωt) (7.65)
ω 2 = gkTanh(kh) (7.66)
Wir betrachten die beiden Grenzfälle
1. Für kurze Schwerewellen λ ≪ h (oder kh ≫ 1) gilt Tanh(kh) → 1 und damit
ω 2 = gk ; U = 1
�
g
2 k
(7.67)
dabei ist U die Ausbreitungsgeschwindigkeit. Die Wellen sind dispersiv, die Ausbreitungsgeschwindigkeit hängt
von der Wellenlänge ab (je läger desto schneller).
2. Für lange Schwerewellen λ ≫ h gilt dagegen Tanh(kh) → kh und somit
ω 2 = ghk 2
; U = � gh (7.68)
dabei ist k = 2π/λ die Wellenzahl, g die Erdbeschleunigung und h die die Meerestiefe. Die Wellen sind nicht
dispersiv. Für h = 100 m ergibt sich v = 113 km/h (Auto), für h = 5 km gilt v = 800 km/h (Flugzeug).
• BEISPIEL (DREHIMPULSERHALTUNG IM SYSTEM ERDE-MOND)
Der Gesamtdrehimpuls im System Erde-Mond, also die Summe aus Bahndrehimpuls des Mondes und Eigendrehimpuls der
Erde, ist konstant (nicht aber die Energie) und es gilt
was mit
J⊕
˙ + ˙ JMond = I⊕ ˙ Ω⊕ + (MD 2 Ω)˙ = 0
∆D = 2 ˙
∆t
J⊕
P⊕
P⊕ JMond
D
ein Entfernen des Mondes um ∆D = 4 cm pro Jahr ergibt, wenn man Kepler III beachtet.
Für den Drehimpuls gilt JMond ≈ 6J⊕. Da die Gezeitenreibung die Erdperiode P⊕ mit
˙
P⊕ = 10 −12
s s −1 (7.69)
bremst, kann man die Endperiode Pf , wenn nämlich Erdtag und Mondtag gleich lang sind, leicht bestimmen:
Pf
P ≈
�
1 + 1
�3/2 ≈ 1.5 Monate
6
oder 47 heutige Tage. Der Abstand ist dann von d⊕ = 3.84 auf d⊕ = 4.49 in Einheiten von 10 10 cm gewachsen und das
ganze dauert ∆T = 4.6 Gyr.

368 KAPITEL 7. DIE ERDE.
Nimmt man zum System Erde-Mond noch die Sonne als Störung mit hinzu, dann kann man aus den
Bahnstörungen (1%) bzw. Nipp u. Springfluten (1:3) eine Verbesserung der Entfernungsbestimmung
Erde - Sonne erhalten.
Aus der geodätischen Deviation (Gezeitenkraft) im Abstand l vom Schwerpunkt
∆K = 2 GM
l
r3 erhalten wir die relativen Bahnstörungen des Mondes zu
∆d⊕
d⊕
= ∆K⊙
K⊕
= 2 M⊙
M⊕
� �3 d⊕
d⊙
und für den Schwerpunkt der Erde
∆s⊕
s⊕
= 2 M⊙
M⊕
� �3 R⊕
d⊙
= 2.5 · 10 −8
= 5 · 10 −3
Obwohl man die Entfernung Erde - Mond auf cm genau vermessen hat, geht die letzte Störung vollständig
im Gezeiten - Rauschen unter.

7.2. ASTRONOMIE DER ERDE. 369
7.2.2 Rotation der Erde
Durch die Entdeckung der Pulsare im Jahr 1967 ist das Studium der Rotation von massiven, gravisch
gebundenen Objekten wieder aktuell geworden. Einige Konzepte, die speziell für die Erde entwickelt
wurden, spielen in der Pulsartheorie heute eine grosse Rolle. Sie können aber auch auf die Physik der
Planetenmonde Anwendung finden. Im folgenden sollen deshalb zunächst einige Besonderheiten der
Rotation der Erde erläutert werden.
Zeitstandards
Physikalisch gesprochen ist die Erde ein schneller Kreisel im Feld der Sonne und des Mondes, das
System Erde - Mond ist ein schwerer Kreisel im Feld der Sonne. Eigendrehimpuls (Spin) und Bahndrehimpuls
sind gegeneinander geneigt. Noch vor 50 Jahren war die Rotation der Erde (1 Tag) verbindlicher
Zeitstandard und man glaubte, daß ihre Rotation vollkommen regulär war. Zwei weitere
natürliche Zeitskalen werden durch die Bewegung der Erde im Sonnensystem vorgegeben: das Jahr
und der Monat.
• ANMERKUNG (STUNDE UND WOCHE)
Zwei weitere Zeitskalen des allgemeinen Gebrauchs haben ihren Ursprung in Religion und Mythology: die Stunde und die
Woche. Die sieben Tage der Woche werden abgeleitet von Objekten im Sonnensystem, die mit nacktem Auge sichtbar sind:
1. Sonne, (Sonntag), Dimanche
2. Mond, (Montag), Lundi
3. Mars oder in der germanischen Mythologie Tyr, Dienstag (Tuesday), Mardi
4. Mercur oder Wotan, (Wednesday), Mercredi
5. Jupiter oder Thor, (Donnerstag), Jeudi
6. Venus oder Freya, (Freitag), Vendredi
7. Saturn (Samstag), Samedi
Die Reihenfolge stammt aus der Astrologie. Die Unterteilung des Tages in 24 Stunden geht scheinbar auf die Babylonier
zurück, wohingegen die Chinesen den Tag in 12 Einheiten einteilten.
Ein Tag hat 86 400 Sekunden, die Länge des tropischen Jahres 1950 betrug 31 556 925.975 Sekunden
und nimmt aufgrund der Gezeitenreibung zwischen Erde und Mond um etwa 2 ms pro Jahrhundert zu.
Die Erde dreht sich im Jahr 366.2422 mal um ihre Achse (bezogen auf die Fixsterne) und läuft dabei
einmal (prograd) um die Sonne um, d. h. sie dreht sich 365.2422 mal um die Sonne (1 Jahr). Die
gesetzliche Definition für ein Jahr ist 1 yr = 365.24250 d.
Die (inertiale) Drehfrequenz beträgt
Ω = 2π
86.400
s −1 = 7.3 · 10 −5 Hz
Am Äquator (Index e) beträgt die Zentrifugalbeschleunigung,
�Z = � Ω × �v d.h. Z = Ω 2 Re mit Zo = 3.39 cm s −2
an den Polen (Index p), wo für die Gravitationsbeschleunigung
go = 983 cm s −2
gilt, verschwindet sie. Es ist somit das Verhältnis
Zo
go
= 1
298

370 KAPITEL 7. DIE ERDE.
Der mittlere Radius ist definiert zu
R = (ReRp) 1/2 = 6.371 km
Für die Vertikalkomponente der Gesamtbeschleunigung ergibt sich so :
g = go
�
1 −
� �
Zo
go
cos 2 φ
wobei φ der Winkel zwischen � Z und �r ist.
�
• ANMERKUNG (NEWTONS BESTIMMUNG DER FORM DER ERDE)
Um die Form der Erde zu bestimmen, machte Newton (1687) folgendes Gedankenexperiment: man bohrt an Äquator und
Pol je ein Loch bis zum Erdmittelpunkt (als kommunizierende Röhren). Dann füllt man Wasser auf. Die Länge der beiden
Wasserarme geben dann die Form der Erde, d. h. diese ist durch das Verhältnis der Kräfte an Pol und Äquator bestimmt. So
konnte er für die Abplattung
bestimmen.
f = (Re − Rp)
Re
= 5Ω2R3 =
4GM⊕
1
297
Die Erde ist nicht inkompressibel, gemessen werden
f⊕ = 1
298.25
(7.70)
(7.71)
Für Trägheitsmoment I und Drehimpuls J der Erde gelten folgende Werte, die aus einem numerischen
Modell für die Erde abgeleitet sind:
I⊕ = 8 · 10 44
g cm2 � 2 2
M⊕R
5
J⊕ = 6 · 10 40
g cm 2 s −1
Für die Bestimmung des Trägheitsmoments I ist die Erde also in guter Näherung inkompressibel.
Rotationsdeformation
Wir betrachten die Rotation eines selbst-gravitatierenden, flüssigen Körpers und zwar zunächst starre
Rotation. Wir bezeichnen mit �r den Ortsvektor im Schwerpunktsystem, dann ist
�u := d�r
dt = � Ω × �r um die z-Achse (7.72)
die Rotationsgeschwindigkeit. Der Relativabstand zweier Punkte ist
|�r1 − �r2| =
�
(x1 − x2) 2 + (y1 − y2) 2 + (z1 − z2) 2 (7.73)
Wir zeigen nun, daß auch die Rotation ein Extremalprinzip erfüllt:
von allen starr rotierenden Körpern mit vorgegebenem Drehimpuls, L, liefert hydrostatisches
Gleichgewicht diejenige Konfiguration mit der kleinsten Gesamtenergie, Etot.
δEtot = 0 ; L = L0 (7.74)

7.2. ASTRONOMIE DER ERDE. 371
Dabei ist Etot die Summe aus drei Anteilen
mit
Etot = Erot + Egrav + Eint
Erot := L2
2I
1
=
2 IΩ2 = 1
2 IabΩaΩb = 1
�
2
Wir definieren für die starre Rotation das Potential Zrot:
Zrot = − 1
2 � ∇(Ω × r) 2
d 3 rρ(r)(Ω × x) 2
(7.75)
(7.76)
und den Trägheitstensor I:
�
Iab = (r 2 δab − xaxb)ρd 3 r (7.77)
Die Gravitationsenergie und die interne Energie sind gegeben durch
Egrav = − 1
� �
2
d 3 xd 3 y ρ(�x)ρ(�y)
|�x − �y|
�
; Eint := d 3 rɛ(r) (7.78)
• ZUSATZ (VARIATION DER GESAMTENERGIE)
Wir betrachten nun die Variation der Gesamtenergie mit L = L0 = const. und fordern, daß diese stationär ist:
δEtot = 0 ; L = L0 (7.79)
Massenerhaltung liefert
δρ = − div(ρδ�r) (7.80)
Wir betrachten explizit nur den Rotationsterm (die beiden anderen liefern in bekannter Weise hydrostatisches Gleichgewicht
ohne Rotation)
δErot = − L2
2I
� �
δI
= −
I
1
2 Ω2
�
δρ(r 2 − z 2 )d 3 r
unter Benutzung von Massenerhaltung liefert das für δErot
1
2 Ω2
�
d 3 rdiv(ρδr)(r 2 − z 2 ) = − 1
2 Ω2
�
Daraus folgt, daß
�∇φ = − 1
ρ � ∇P − � ∇Zrot
Die starre Rotation besitzt also ein Potential Zrot:
Zrot = − 1
2 � ∇(Ω × r) 2
d 3 rρδr∇(r 2 − z 2 ) = −
�
d 3 r(ρδr)∇Zrot
Der zweite Term kann ebenfalls als totale Ableitung geschrieben werden und zwar mithilfe der freien Enthalpie h und die
Bedingung für das hydrostatische Gleichgewicht lautet:
(7.81)
(7.82)
�∇(φ + h + Zrot) = 0 (7.83)
oder integriert, mit der Integrationskonstanten C
φ + h + Zrot = C (7.84)

372 KAPITEL 7. DIE ERDE.
Falls ein externes Drehmoment, � T , an einem starr rotierenden Körper angreift, so daß � Ω = � Ω(t) wird,
liefert Drehimpulserhaltung die Bewegungsgleichung:
d
dt � J = d
dt IΩ = � T (7.85)
Skalare Multiplikation dieser Gleichung mit � Ω liefert den Energiesatz für die Rate der dem Systen
hinzugefügten Energie, ˙ E+:
˙E+ := � Ω � T = � Ω d� L
dt
= 1
2
d
dt
� �
2 L
I
− 1 d
L2
2 dt
1
I = ˙ Etot
wobei für die letzte Umformung das Varionationsprinzip benutzt wurde:
1 d
L2
2 dt
1
I
+ d
dt (Egrav + Eint) = 0
(7.86)
Bei starrer Rotation wird die gesamte Energierate, ˙ Etot, verlustlos gespeichert, Wärme wird nicht dissipiert
(wichtig beim Abbremsen von Pulsare).
Die inkompressible Flüssigkeit
Die Bedeutung der inkompressiblen Flüssigkeit liegt darin, daß ihre Gleichgewichtsbedingung analytisch
exakt bestimmt werden kann. Die inkompressible Flüssigkeit ist der Grenzfall einer Polytropen
ɛ ∝ n γ
2 d
; P = n
dn
ɛ
n
= (γ − 1)ɛ (7.87)
wobei der adiabatische Index, γ, nach Unendlich geht und die innere Energiedichte ɛ nach Null, so
daß P ∝ γɛ endlich bleibt (und ungleich Null, P > 0). Die Gesamtenergiedichte ist relativistisch
ɛtot = ρc 2 + ɛ.
Die Gleichgewichtsbedingung einer inkompressiblen Flüssigkeit (bei der h = p/ρ ist) lautet
∇(Φ + p
ρ + Zrot) = 0 (7.88)
und führt auf
p = ρ(C − Φ − Zrot) (7.89)
Die Gleichgewichtskonfiguration kann exakt (Maclaurin 1742 und Jacobi 1834) bestimmt werden.
• ANMERKUNG (POTENTIALTHEORIE)
Die Aufgabe, die Gleichgewichtskonfiguration einer idealen Flüssigkeit unter Einfluß der Gravitation zu bestimmen, gehört
in das Gebiet der Potentialtheorie. Man kann streng zeigen, daß ohne Rotation die Gestalt eine Kugel ist.
Newton bestimmte 1687 bereits die Abplattung der Erde aufgrund ihrer Rotation. Exakte Ergebnisse mit Rotation gibt es
nur noch für die inkompressible, ideale Flüssigkeit.
Maclaurin (1742) fand die nach ihm benannten 2-achsigen Rotations-Ellipsoide mit grosser Hauptachse a = b und und
kleiner Hauptachse c = a √ 1 − e 2 .
Jacobi (1834) fand eine weitere Sequenz, und zwar 3-achsige Ellipsoide a > b > c bei hohem Drehimpuls (aber geringerer
Energie). Diese sind von besonderem astrophysikalischem Interesse, da ihr Quadrupolmoment zeitlich veränderlich ist und
sie somit Gravitationswellen abstrahlen.
Poincaré fand (1855) eine weitere Sequenz zur Jacobi Sequenz.
Nicht gefunden hat man bisher exakte toroidale Lösungen, die bei sehr hohem Drehimpuls existieren sollten.
Es ist nützlich, dimensionslose Masse für die Verformung, die Rotations Frequenz Ω und den Drehimpuls
J einer Masse M mit Radius R zu bestimmen.

7.2. ASTRONOMIE DER ERDE. 373
1. geometrisch: die Exzentrizität e oder die relative Abplattung f
f =
c − a
c
; e 2 = 2f − f 2
(7.90)
2. dynamisch: das Verhältnis von Rotationsenergie Erot zum Betrag der Gravitationsergie, W =
|Egrav|
t = Erot
W oder m = Ω2R3 GM
Für inkompressible Materie ist m unabhängig vom Radius R
m = 3Ω2
4πGρ
3. kritische Drehfrequenz Ωc und Drehimpuls Jc
Jc = MR 2 Ωc = (GM 3 R) 1/2
Für ein 2-achsiges Ellipsoid ist
a = b > c mit e 2 = 1 − c2
a 2
und Ωc = (GM/R 3 ) 1/2
(7.91)
(7.92)
(7.93)
(7.94)
Mit R bezeichnen wir den Radius der (nichtrotierenden) Kugel und mit M die (konstante) Masse. Die
Dichte ist ρ = M/V und das Volumen der Kugel ist V = (4π/3)R 3 . Das liefert folgende Relationen:
a = R(1 − e 2 ) −1/6
; c = R(1 − e 2 ) 1/3
Für die Masse gilt allgemein (also für ein 3-achsiges Ellipsoid)
(7.95)
M = 4π
3 ρR3 = 4π
ρabc (7.96)
3
Die weiteren Ergebnisse folgen aus der exakten Lösung, welche wir nun betrachten wollen. Für konstante
Dichte ρ muß das Gravitationspotential Φ eine quadratische Funktion der kartesischen Koordinaten
x, y, z sein:
∆Φ = 4πGρ ; Φ = −2πGρ (A0a 2 − A1x 2 − A2y 2 − A3z 2 )
mit A1 + A2 + A3 = 2.
Da Zrot = −Ω 2 (x 2 + y 2 ), muß auch p eine quadratische Funktion der kartesischen Koordinaten x, y, z
sein:
p = pc
�
1 − x2 + y 2
a 2
z2
−
c2 �
(7.97)
Die Konstanten pc und Ai für i = 0 . . . 3 sind aus den Randbedingungen zu bestimmen. Der Rand
R = R(Θ) liegt bei
sin 2 Θ
a 2
+ cos2 Θ
c 2
1
=
R2 (7.98)

374 KAPITEL 7. DIE ERDE.
Die Entwicklung des Gravitationspotentials Φ nach Multipolmomenten liefert exakt nur Monopol und
Quadrupolanteile:
Φ(r) = − GM
r
− GQ
r 3 P2(cos Θ) (7.99)
und die Stetigkeit des Gravitationspotentials Φ am Rand liefert die Konstanten Ai, was wir hier nicht
zeigen wollen: (Maclaurin, 1742 und Jacobi, 1834)
h(e) = (1 − e2 ) 1/2 arcsin e
e3 (7.100)
A1 =
1 − e2
A2 = h(e) −
e2 A3 =
(7.101)
2
− 2h(e)
e2 (7.102)
A = 2e 2 h(e) (7.103)
Die hydrostatische Gleichgewichtsbedingung verlangt
Ω 2 = 2πGρf(e) wobei
�
c
f(e) = A1 − A3
2
a2 �
oder explizit
und
f(e) =
pc = πGρ 2 c 2 A3
3 − 2e2
e3 (1 − e 2 ) 1/2 arcsin e − 3(1 − e2 )
e2 Die weiteren Relationen folgen daraus:
und
mit
I = 2
5 MR2 (1 − e 2 ) −1/3
Egrav = − 3
2
g(e)GM
5 R
g(e) := (1 − e 2 1/6 arcsin e
)
e
(7.104)
∝ 4
15 e2 + . . . (7.105)
; J = IΩ Drehimpuls (7.106)
(7.107)
∝ 1 − 1
45 e4 + . . . (7.108)
Zum Vergleich geben wir noch die folgenden Näherungen erster Ordnung in e 2 :
δIzz
I0
∝ 1
3 e2
; e 2 = 2f = 15Ω2
8πGρ
Daraus folgt für das Quadrupolmoment Q
Q = 1
2 Qzz = − 3
2 δIzz = − 15Ω2
16πGρ I0
und für das Potential
Φ(r) = − GM
r
= 5
2 m
GQ
−
r3 P2(cos Θ) = − GM
�
1 + J2
r
� �3
�
R
P2(cos Θ)
r
(7.109)
(7.110)

7.2. ASTRONOMIE DER ERDE. 375
mit
J2 = 3Ω2
8πGρ
1
= m (7.111)
2
Für die Erde ist der von Satelliten gemessene Wert J2 = 1.08270 · 10 −3 . Newtons Ergebnis (1687)
erhalten wir als niedrigste Näherung 2f = 5J2:
f = (Re − Rp)
Re
= 1
2 e2 = 15Ω2
16πGρ = 5Ω2R3 4GM
Die kompressible Flüssigkeit (Polytrope)
Lösbar ist noch die Polytrope zum Index 2 in linearer Näherung:
P = Kρ 2
(7.112)
da sie eine analytische Lösung des ungestörten Körpers besitzt. Es sei R der Radius, dann gilt mit den
folgenden Definitionen
sin x
ρ = ρc
x
mit x := π r
R
für Masse M, Trägheitsmoment I und Gesamt Energie Etot
mit
M = 4π
3 ρc
�
sin x
x r2dr = 4
I =
3
ρcR
3π
(7.113)
8π
3 ρc
�
sin x
x r4dr = f ∗ R 2 M (7.114)
Etot = Egrav + Eint = 1 GM
2
2
R
(7.115)
f ∗ = 2(π2 − 6)
π 4
t := Erot
Etot
≈ 1
10
= f ∗ Ω2 R 3
GM
(7.116)
(7.117)
Vergleichen wir dies Ergebnis mit der inkompressiblen Materie, wo der Faktor 1/3 ist, so sehen wir,
da 1/3 ≫ f ∗ , daß ein kompressibler Körper stärker deformiert wird bei gleicher Rotation als ein
inkompressibler. Ein solcher Körper fliegt auch früher auseinander.
Die allgemeine Polytrope muß numerisch behandelt werden.
Die Eulerschen Winkel liefern den Übergang vom Inertialsystem mit Achsen �ex, �ey, �ez zum mitrotierenden
Bezugsystem mit Achsen �e1, �e2, �e3.
�ex �ey �ez
�e1 cos ψ cos φ − sin ψ sin φ cos Θ cos ψ sin φ + sin ψ cos φ cos Θ sin ψ sin Θ
�e2 − sin ψ cos φ − cos ψ sin φ cos Θ − sin ψ sin φ + cos ψ cos φ cos Θ cos ψ sin Θ
�e3 sin φ sin Θ − cos φ sin Θ cos Θ
Beispiel: für den Übergang vom Inertial- zum mitrotierenden Bezugsystem gilt also:
�e3 = sin φ sin Θ�ex − cos φ sin Θ�ey + cos Θ�ez
(7.118)

376 KAPITEL 7. DIE ERDE.

Kapitel 8
Die Sonne als Stern
8.1 Überblick
Die Sonne ist naturgemäß, da sie uns am nächsten ist, der am besten untersuchte Stern unserer Galaxis
und zum Glück auch typisch für die anderen 10 11 Sterne.
• ANMERKUNG (DAS INNERE DER SONNE)
Wie wir sehen werden, hat man heute eine ziemlich detaillierte Vorstellung von den Prozessen, die im Innern der Sonne
und anderer Sterne ablaufen. Alerdings ist das, was wir direkt davon zu sehen bekommen und womit wir unsere Kenntnisse
überprüfen können, nur ein winziger Teil des Sterns, es kommt nur aus einer Schicht der Dicke von etwa 180 km (optische
Tiefe der Photosphäre). Der Rand der Sonne ist deshalb scharf. Erst bei einer totalen Sonnenfinsternis sieht man die Chromosphäre,
die wesentlich ausgedehnter ist (11000 km) und in der Emissionslinien (anstatt Absorptionslinien) auftreten.
Direkt ins Innere der Sonne zu sehen ist nur mithilfe von Neutrinos möglich. Hier gibt es zur Zeit noch eine Diskrepanz
zwischen Vorhersage und Beobachtung. Nur etwa die Hälfte der Neutrinos, die von der Theorie berechnet werden, sind
bisher auch nachgewiesen.
Daneben liefern die Oszillationen der Sonne (Periode etwa 5 Minuten) wichtige Randbedingungen über die Physik im
Innern.
• ANMERKUNG (DIE KORONA DER SONNE)
Die Korona der Sonne wird sichtbar bei einer Sonnenfinsternis (der Mond hat in der günstigsten Stellung zufällig die gleiche
Winkelaudehnung wie die Sonne). Die Leuchtkraft der Korona ist gleich der des Mondes, LKorona : L⊙ = 1 : 500 000.
Die Temperatur erreicht 10 6 K, man findet Spektrallinien von Fe XIV (die stärkste bei 5303 ˚Angstrøm ist grün).
Die Physik der Korona wird vom Magnetfeld der Sonne bestimmt, es gibt ein Analogon zum van Allen Gürtel der Erde.
Die Sonne ist zu hell als das sie direkt beobachtet werden könnte. Galilei bildete deshalb die Sonne
mit seinem selbstgebauten Teleskop auf einem reflektierende Untergrund ab. Er entdeckte so die
Sonnenflecken und mit ihnen die Rotation der Sonne.
Prot = 25.3 Tage entsprechend Ω = 2.86 µ Hz (8.1)
siderisch. Die siderische Rotationsfrequenz von Ω = 2.86 µ Hz liefert eine terrestrische Rotationsperiode
der Sonne von 27 Tagen.
Angelo Secci (1818 -1898) war Priester und Astronom des Vatikan. Er beginnt eine Klassifizierung der
Spektren nach Absorptionslinien und findet drei Typen von Sternen: weiße, gelbe (Sonne) und rote. Er
machte damit den ersten Versuch, die Sonne und Sterne vermittels Spektrum und Farbe zu identifizieren
und stellte fest, daß die Sonne nur ein Stern unter vielen ist. Er begründet (1860) die Spektroskopie der
Sterne, die später von Pickering (1846 - 1919) auf der Grundlage der Photometrie als Grundlage der
Sternklassifikation (Harvard Klassifikation) vollendet wurde. Die Interpretation wurde Miss Antonia
Mauri und von Miss Cannon (1863 - 1941) weitergeführt und revidiert.
Hale erfindet 1890 den Spektroheliographen, der es erlaubt, die Sonne im Licht einer einzelnen Spektrallinie
zu betrachten. Er baut sein eigenes Teleskop und entdeckt 1908 das Magetfeld der Sonnenflecken:
die Linien werden (durch den Zeeman Effekt) verbreitert oder sogar aufgespalten. Die
stärksten Felder erreichen ein Tesla (10 4 Gauß).
377

378 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
Das Dipolmagetfeld der Sonne wurde von H. Babcock entdeckt:
B⊙ = 5 Gauß (8.2)
es ist zehnmal stärker als das Erdfeld und wechselt die Polarität mit dem Zyklus der Sonnenflecken (11
Jahre).
Die Solarpause (Übergang von Sonnenwind und Magnetfeld in die intergalaktischen Werte) liegt bei 4
Pluto Entfernungen
RSolarpause = 4DPluto = 155 AE
und wurde von Sonden nachgewiesen anhand eines Schocks, der Radiostrahlung emittiert.
8.1.1 Daten der Sonne
Die folgenden Größen können direkt bestimmt werden
1. die Entfernung D
D = 1 AE = 1.49 597 892 · 10 13
cm
2. der scheinbare Durchmesser von d = 32 ′ und
3. die auf der Erde bestimmte Solarkonstante
f⊙ = 1.36 · 10 6
erg s −1 cm −2 = 1.99 cal cm −2 min −1 = 236 W m −2
Damit können folgende Größen der Sonne direkt berechnet werden:
1. Masse, M⊙ = 1.989 · 10 33 g
Bestimmt aus Kepler III. Für den Schwarzschildradius folgt RS⊙ = 2.95 · 10 5 cm.
2. Teilchenzahl, N⊙ ≈ M⊙
mp
≈ 1057
Da die Sonne hauptsächlich aus Protonen (d. h. ionisierter Wasserstoff, H II) besteht. Genauer
ist mp durch das mittlere Molekulargewicht ˜µmu zu ersetzen.
3. Oberflächentemperatur, Tbb = 5800 ◦ K
Folgt aus dem Wienschen Verschiebungsgesetz für einen schwarzen Körper, mit den Werten
λmaxT = 0.29 K cm und mit λmax = 5 · 10 −5 cm für die Sonne.
4. Radius, R⊙ = 6.960 · 10 10 cm
Bestimmt aus dem scheinbaren Durchmesser d = 32 ′ und bekannter Entfernung AE. Der sterische
Winkel beträgt Ω = π(R/D) 2 = 7 · 10 −5 Sterad.
5. Leuchtkraft, L⊙ = 4πD 2 f⊙ = 3.85 · 10 33 erg s −1 .
Folgt aus der Solarkonstanten f⊙ = 1.36 · 10 6 erg cm −2 s −1 und wurde erstmals von ˚Angstrøm
1893 gemessen.

8.1. ÜBERBLICK 379
8.1.2 Definition der Sonnentemperatur
Ein schwarzer Körper vom Radius R mit der Temperatur T strahlt nach der Planck Formel folgende
Leistung L
L = 4πR 2 σT 4
ab. Die Astronomen benutzen anstatt Leistung die Bezeichnung Leuchtkraft. Wir definieren damit, für
R = R⊙ und für L = L⊙, eine effektive Temperatur, Teff, wie folgt
Teff =
�
L
4πσR2 �1/4
d. h. diejenige Temperatur, die die Sonne haben müßte, um als schwarzer Körper die aus der Solarkonstanten
direkt bestimmte bolometrische Leuchtkraft L⊙ zu ergeben. Sie beträgt etwa 5770 ◦ K.
Das Maximum der Sonnenstrahlung bzgl. der Wellenlänge λ liegt bei
λmax = 5000 ˚A = 500 nm = 0.5µ = 5 · 10 −5
(grün), sodaß die aus dem Wienschen Gesetz für Schwarzkörperstrahlung
λmaxTbb = 0.29 cm K
bestimmte Temperatur, Tbb,
Tbb = 5800 K
ergibt. Die dazu gehörende mittlere Energie ist (für Schwarzkörperstrahlung) ɛ = hc/kT λ = 4.965kT
oder 2.5 eV.
Beide Temperaturen stimmen in etwa überein, Teff ≈ Tbb, was besagt, daß die Sonne in erster Näherung
als schwarzer Strahler betrachtet werden kann:
Teff = Tbb mit Φ = σT 4 eff = 6.24 · 10 10
cm
(8.3)
(8.4)
erg cm −2 s −1 (8.5)
Was heißt nun Radius der Sonne? Da wir die Sonne ’sehen’, kann mit Radius nur diejenige Stelle
gemeint sein, von wo die Strahlung kommt: der Boden der Photosphäre. Ab hier können Photonen frei
entweichen, während im Innern der Sonne die freie Weglänge nur etwa 0.1 cm beträgt. In der Tat zeigt
die Sonne zum Rande hin eine sog. Randverdunkelung, welche dadurch zustande kommt, daß man hier
in die weniger heißen Schichten blickt.
8.1.3 Die Leuchtkraft der Sonne
Die Verhältnisse im Innern der Sonne können, sieht man von den Neutrinos ab, nicht direkt beobachtet
werden, sondern müssen mithilfe einer physikalischen Theorie erschlossen werden. Bevor wir uns dem
vollständigen Satz von Gleichungen und ihrer Herleitung zuwenden, wollen wir einen qualitativen
Überblick über die Verhältnisse im Innern der Sonne geben.
Die Photonen der Sonne beschreiben wir als Schwarzkörper Strahlung, die Protonen und Elektronen
als ideales Maxwell - Boltzmann Gas. Damit kennen wir für beide die mikroskopische Verteilungsfunktion.
• ANMERKUNG (DIE MAXWELL - BOLTZMANN VERTEILUNGSFUNKTION)
Im Geschwindigkeitsraum (v) lautet die normierte Ein-Teilchen Verteilungsfunktion
�
1 = fM (x, v) d 3 v (8.6)

380 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
Daraus wird die Maxwell - Boltzmann Verteilung im (x, v) Raum
�
m
�3/2 −m v2
fM (v) = n
e 2kT (8.7)
2πkT
wobei m die Masse der Teilchen und n = N/V die Anzahldichte ist.
Beim Übergang zum Impulsraum p = mv wird daraus die Ein-Teilchen Verteilungsfunktion
�
1
fM (p) =
2πmkT
� 3/2
� � 2 p
exp −
2mkT
und, wenn wir bezüglich der Normierung den auf h 3 normierten (Ein-Teilchen) Phasenraum benutzen,
� 2 h
fMB(p) =
2πmkT
�3/2
� � 2 p
exp −
2mkT
mit der Normierung bei Integration über das Volumen V
�
N = n
fMB(p) d3 pd 3 x
h 3
Bei der Kernfusion werden im Innern der Sonne Photonen der mittleren Energie 6.7 MeV erzeugt. Die
Photonen, die die Sonne verlassen, haben jedoch nur etwa ¯hω = 0.5 eV. Wie kommt das zustande?
Grundlage für die Transportgleichung ist beim Gas neben dem Energiesatz die Teilchenzahlerhaltung.
Bei Photonen gilt nur der Energiesatz. Der Prozess der Vervielfachung selbst wird gewöhnlich nicht
mikroskopisch beschrieben, man nimmt vielmehr an, daß das Gas eine Thermalisierung bewirkt, an
jeder Stelle gilt dann LTE und die Anzahl der Photonen kann aus der Planck Verteilung bestimmt werden.
Im Zentrum (am Ort der Erzeugung) werden die Photonen um das 6700-fache, auf dem Weg vom
Zentrum der Sonne zur Photosphäre um das 2000-fache vervielfacht, ihre Energie sinkt (die Entropie
wächst, die Energie ist erhalten) entsprechend. Zur Bestimmung der Entropie benutzen wir die
Gibbs-Duhem Relation. Diese lautet (für ein homogenes Medium) allgemein
S = 1
(E + P V − µN) (8.10)
T
Für Photonen ist µ = 0 und der Druck (eines relativistischen Gases) erfüllt pV = E/3. Für die Entropie
(einer einzelnen relativistischen Spezies) gilt dann:
S = 4E
3T
(8.8)
(8.9)
(8.11)
Aus der Thermodynamik übernehmen wir im weiteren folgende Relationen für Baryonen (die Gasteilchen)
und Photonen.
Baryonen
Die Zustandsgleichung des idealen einatomigen Gases lautet:
P = n kT = 2
3 uth
Die Boltzmann Konstante, k B, hat den Wert
k B = 1.38054 · 10 −16
(8.12)
erg K −1 (8.13)

8.1. ÜBERBLICK 381
chemisches Potential, nichtrelativistisch:
µ = ɛ(pF ) = p2 F
2m =
� �
2 2/3 2
6π ¯h
g
2m n2/3
zur Definition der Entartungstemperatur, Te ≈ µ
kB
Entartungstemperatur, Te, für Elektronen (der Teilchenzahldichte ne und Masse me)
(8.14)
Te = 2π¯h2
n
mekB 2/3 ≈ 5.5 · 10 −11 n 2/3
e K (8.15)
Die hier auftretende Größe
�
h
λdB =
2
2πmkT
heißt thermische de Broglie Wellenlänge. Dabei ist m die Masse der Teilchen.
spez. Entropie (pro Teilchen)
Photonen
s
k B
= 5
2 − ln(nλ3 dB)
Energiedichte, ɛ, und Druck P sind integral
ɛ = aT 4
bzw. P = 1 4E
ɛ ; S =
3 3T
Die Strahlungsintensität, F , ist durch
F = σT 4 mit F⊙ = 6.28 · 10 10 erg cm −2 s −1
Die Stefan-Boltzmann Konstante, σ, hat den Wert
σ = π2k4 B
60¯h 3 = 5.669 · 10−5
c2 (8.16)
(8.17)
g s −3 K −4 (8.18)
Die Energiedichte-Konstante, a, hängt mit der Stefan-Boltzmann Konstante, σ, wie folgt zusammen:
σ = 1
4 ac
Sie hat den Wert
a = π2 k 4
15¯h 3 c 3 = 7.56 · 10−15 erg cm −3 K −4
(8.19)
Den Wärmestrom jw (Poyntingvektor) aus einer kleinen Öffnung in senkrechter Richtung erhält
man aus der Energiedichte ɛ wie folgt:
F = σT 4 = jw = 1 1
ɛc =
4 4 aT 4 c

382 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
Wir benutzen nun den Virialsatz für das ideale einatomige Gas
Eth + 1
2
3 GM
U = 0 = NkT −
2 2 2R
(8.20)
Es sei d der mittlere Abstand der Teilchen (Protonen bzw. Elektronen). Dann gilt näherungsweise, pro
Teilchen
ɛth = kT ; ugrav = U/N = GM
R
2/3 ¯hc
= (α3/2 G N)
d
wobei wir die Gravitations - Feinstrukturkonstante αG benutzen
αG = Gm2 p
¯hc
= 5.9 · 10 −39
Der Beitrag der Elektronenentartung ist
ɛent = ¯h2
med 2
Die natürliche Einheit für Sterne ist (skaliert mit (2Z/A) 2 )
No = (2Z/A) 2 α −3/2
G
= 1.9 N⊙
(8.21)
(8.22)
Wir erhalten daraus die folgenden abgeleiteten Größen, A, für die Sonne, welche wir in einer Tabelle
für den späteren Gebrauch zusammengestellt haben. Es ist üblich
β = PG
P
und 1 − β = Pγ
P
(8.23)
zu definieren. Um nicht stets schreiben zu müssen, benutzen wir gelegentlich ¯ β = 1 − β = 0.003 für
die Sonne.
A Definitions-Formel Wert Einheit Bezeichnung
V
4π
3 R3 1033 cm3 Volumen
U
2
GM − R 4 · 1048 erg Grav. Energie
− 1
2U 2 · 1048 ¯T
2Eth
erg kin. Energie
Eth
¯ρ
¯n
¯P
λe
3Nk 107 K Temperatur
M
V 1.5 g cm−3 Massendichte
¯ρ
mp
1024 cm−3 Teilchenendichte
NkT
V 1015 dyn cm−2 Druck
h
(2πmekT ) 1/2 2 · 10 −9 cm therm. de Broglie W
ye ¯nλ 3 e 0.008 Entartungsparameter
Eγ aT 4 V 7 · 10 45 erg Photonenenergie
¯ɛF
kT
¯β
(3π2 2/3 ¯h2 )
GmpM
2m n2/3 37 eV Fermi-Energie
3R 1 keV therm. Energie
Eγ
0.003
Eth
Als primäre Größen wurden benutzt: Radius R⊙ = 6.96 · 10 10 cm; Masse, M⊙ = 1.989 · 10 33 g und Teilchenzahl
N⊙ = 10 57 . Es bedeutet ā Mittelwert von a.
Tab. 8.1: Abgeleitete Größen

8.1. ÜBERBLICK 383
Das Plasma in Innern der Sonne ist also im Mittel mit T ≈ 107 K und n ≈ 1024 cm−3 nichtentartet,
d. h. y ≪ 1, und vollständig ionisiert. Im Zentrum mit n ≈ 2 · 1026 cm−3 ist das nicht mehr der Fall,
y ≈ 1.
Da für die Oberflächentemperatur Teff ≪ T gilt, wird die Leuchtkraft der Sonne aus einem thermischen
Reservoir im Innern gespeist. Ab Photosphäre sind Photonen das einzige Transportmittel (den
Sonnenwind kann man vernachläßigen) der Energieabstrahlung.
Das erste Problem ist also, abzuschätzen, wie der thermische Energietransport im Innern der Sonne
vonstatten geht. Grundsätzlich sind 3 Prozesse möglich: Wärmeleitung (durch Elektronen, wie z. B.
bei Eisen), Strahlungstransport (Photonendiffusion) und Konvektion (wie in der Erdatmosphäre).
Um zu sehen, was mit einem einzelnen Elektron bzw. Photon bei der Diffusion geschieht, betrachten
wir das Problem des betrunkenen Seemanns (random walk): bei einer freien Weglänge l kommt er nur
im Mittel
L = l
�
N
d
weit, dabei sind d die Anzahl der Raum Dimensionen und N die Zahl der Schritte. Ein Photon, das
vom Zentrum des Sterns zum Radius R diffundiert, sind demnach
N = 3 R2
l 2
(8.24)
Schritte nötig.
Einer Massendichte von ρ = 1.5 g cm −3 entspricht eine Teilchenzahldichte von n = 10 24 cm −3 , d.
h. in etwa einem mittleren Teilchenabstand von d = 10 −8 cm. Wir schätzen die freie Weglänge für
Photonen mit dem Wirkungsquerschnitt der Thomsonstreuung als obere Grenze ab und erhalten mit
l = 1/nσ als Ergebnis l ≈ 1 cm.
Das liefert für die Diffusionszeit
τdiff = N l
c
= 3R2
lc
(8.25)
Die freie Flugzeit (etwa eines Neutrinos) vom Zentrum zum Rand wird für Photonen um das (3R/l)−fache
verlängert.
Für R = R⊙ = 7 · 10 10 cm erhält man τ ≈ 1.5 · 10 4 Jahre. Eine Temperaturänderung im Zentrum der
Sonne macht sich erst nach 15 Tausend Jahren an der Oberfläche bemerkbar. Für die Leuchtkraft der
Sonne erhalten wir, aus dem Photonen Reservoir im Innern,
L = Eγ
τdiff
= (1 − β) Ugrav
τdiff
Hier ist 1 − β das Verhältnis von Photonen zur Gesamtenergie, 1 − β = Eγ
τ ≈ 1.5 · 104 yr liefert das L = 20L⊙, einen Faktor 20 zuviel.
Ugrav
. Mit 1 − β = 0.003 und
• ANMERKUNG (BESTIMMUNG DER WAHREN DIFFUSIONSZEIT)
Bei der Bestimmung der Diffusionszeit haben wir angenommen, daß die mittlere Flugzeit l/c ≈ 10 −10 s ist. Tatsächlich
werden die Photonen in der äusseren Hülle, wo die Ionisation nicht mehr vollständig ist, in den Atomen zwischengespeichert,
und zwar für mindestens 10 −8 s. Dadurch wird die Diffusionszeit um den Faktor 100 auf etwa 15 Myr erhöht.
Den Beitrag der Elektronenleitung schätzen wir ab mit dem geometrischen Streuquerschnitt für Elektron
- Proton Streuung,
σ = 4π(d/2) 2 ≈ 10 −16
cm 2

384 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
eines Atoms und erhalten l = 1/nσ = 10 −8 cm. Die Diffusion geht jetzt mit Schallgeschwindigkeit
und das macht (Wärme)Leitung vollends vernachläßigbar. So kann man auch verstehen, warum Diffusion
der schweren Elemente zum Zentrum bei der Sonne keine Rolle spielt: die freie Weglänge ist 10 8
mal, die Geschwindigkeit (v = 3 · 10 6 cm/s) etwa 10 4 mal kleiner als bei Photonen, dementsprechend
die Zeit 10 12 mal länger, d. h. viel länger als das Universum alt ist.
Der Wärmetransport durch Strahlung oder Leitung ist also sehr ineffektiv. Bekanntlich ist es viel
günstiger, Wärme konvektiv zu transportieren und das ist in den äusseren Schichten der Sonne tatsächlich
der Fall. Das allgemeine (Schwarzschild) Kriterium hierfür lautet, daß Konvektion auftritt falls (mit Indizes
hG : hydrostatisches Gleichgewicht und S : adiabatische Druckänderung, d. h. S =const)
(dP/dρ)hG − (dP/dρ)S > 0 (8.26)
ist, was äquivalent dazu ist, daß die adiabatisch aufgestiegene Materie leichter ist als ihre im hydrostatische
Gleichgewicht befindliche Umgebung. Ob Konvektion vorliegt kann nur ein detailliertes Modell
entscheiden (s. u.).
Für die Leuchtkraft L erhalten wir mit E := Energie des jeweiligen Reservoirs (mit Indizes G: Gas
und ph: Photonen) und τ := Diffusionszeit:
L = EG
τG
+ Eph
τph
=
1
3R 2 (vlGNkT + clphaT 4 V ) (8.27)
Wir berücksichtigen nur den Photonenterm und benutzen den Virialsatz, was für massearme Sterne
gerechtfertigt ist. Dann gilt (3/2)NkT = (1/2)GM 2 /R und für die Masse gilt M = mpN, wobei
V = (4π/3)R 3 und a = π 2 k 4 /15(¯hc) 3 ist. Die freie Weglänge schätzen wir ab mit l = V/Nσ T, wobei
σ T = 8π
3
� e 2
mc 2
� 2
= 8π
3 r2 e
(8.28)
der Thomson-Streuquerschnitt ist und erhalten die erstmals von Eddington hergeleitete Masse-Leuchtkraft
Relation:
L = 1
3R 2
cπ 2 k 4
15¯h 3 c 3
V 2
Nσ
� �4
GmM
3kR
oder wenn wir die Gravitations - Feinstrukturkonstante αG benutzen
endgültig
αG = Gm2 p
¯hc
= 5.9 · 10 −39
L = fvN 3 α 4 ¯hc
G
2
σ mit fv = π4
355 In Zahlen ausgedrückt
L = 2.3 · 10 34
� M
M⊙
� 3
(8.29)
(8.30)
erg s −1 (8.31)
ein erstaunliches Ergebnis in zweierlei Hinsicht. Die Leuchtkraft ist unabhängig vom Radius und hat
in etwa die richtige Massenabhängigkeit, nämlich L ≈ M 3 für massearme Sterne, d. h. für Sterne
bei denen der thermische Druck dominiert. Berücksichtigt man überdies, daß σ in Wirklichkeit größer
ist, dann kommt sogar der Vorfaktor von L für die Sonne quantitativ richtig heraus (3.85 · 10 33 statt
2.3 · 10 34 ).

8.1. ÜBERBLICK 385
8.1.4 Das Energieproblem der Sonne
Ein bis zum Anfang unseres Jahrhunderts ungelöstes Problem war die Frage, woher die Sonne ihre
Energie bezieht. Man macht sich leicht klar, daß chemische Reaktionen (die chemische Energie der
Sonne beträgt maximal E � 10 44 erg) die Sonne nur etwa 1250 Jahre am Leben (d. h. am Leuchten)
erhalten können.
Betrachten wir deshalb, wie zuerst von Helmholtz (1854) und Kelvin (1861) vorgeschlagen, ein Gas
der Temperatur T , zusammengehalten von der Gravitation, ohne innere Wärmequellen. Ein solches
System verliert ständig Energie mit der Rate:
− ˙ E = L = 4πσR 2 T 4
(8.32)
Dieser Energieverlust muß durch die Gravitation wieder wettgemacht werden, also muß das System
schrumpfen. Die gravische Bindungsenergie eines klassischen Gases ist von der Größenordnung
Ebind =
−GM 2
R
nach dem Virialsatz kann von der beim Schrumpfen gewonnenen Energie nur die Hälfte abgestrahlt
werden, die andere Hälfte geht in innere Energie bei der Kompression des Gases, also:
L = − ˙ Ebind = −1 GM
2
2
R2 Die typische Halbwerts-Zeit, in der der Radius schrumpft, heißt
tHK = E
L
= GM 2
2RL
= − R
2 ˙ R
˙R (8.33)
Für die Sonne erhält man mit den beobachteten Werten für M und L etwa
tHK ≈ 30My = 3 · 10 7
(8.34)
Jahre (8.35)
während unsere Näherungsformel (8.30) für L eine 6mal kürzere Zeit ergeben würde. Aber auch 30
Millionen Jahre als Kollapszeit aufgrund gravischer Schrumpfungsenergie sind natürlich viel zu kurz
für die Sonne, sodaß eine andere Energiequelle benötigt wird: die Kernfusion.
• ANMERKUNG (DIE ENERGIEQUELLE DER STERNE)
Die Frage nach der Energiequelle der Sterne ist auch heute noch aktuell, insbesondere bei den sog. Super-Eddington Quellen,
allerdings handelt es sich dabei vermutlich um akkretierende Mehrfachsysteme.
Wir fragen zunächst genauer, was ist die Energiequelle der Einzelsterne? Da die Antwort, Kernfusion mit Tunneleffekt,
wesentlich auf der Quantenmechanik beruht, waren Helmholtz (1854) und Kelvin (1861) bei der Beantwortung dieser
Frage gescheitert und selbst Eddington, zu Beginn unseres Jahrhunderts, konnte die Wahrheit nur erraten.
Die quantenmechanische Grundlage der Kernfusion im Innern von Sternen ist der Tunneleffekt. Dieser geht auf Gamow
(1928) zurück. Atkinson und Houtermans waren 1929 die Ersten, die den Gamowschen Tunneleffekt auf das Innere der
Sterne anwandten, auf die Kernfusion von Wasserstoff zu Helium. Das ist, wie durch Bethe (1938) und unabhängig durch
von v. Weizsäcker (1938) gezeigt wurde, möglich in Form eines Katalysatorprozesses. Dieser C-N-O Zyklus wird auch
Bethe - Weizsäcker Zyklus genannt. Daneben wurde von Critchfield gemeinsam mit Bethe die p-p Kettenreaktion gefunden.
Diese ist für die Sonne dominierend.
Die Kenntnis der Energieerzeugung ist wesentlich für die Bestimmung des Radius des Sterns und
damit für das Aussehen: bei gegebener Leuchtkraft, die ja durch die Opazität der Materie bestimmt ist,
bestimmt der Radius R, über die Beziehung
L = 4πR 2 σT 4
(8.36)

386 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
mit T = Teff, die Farbe des Sterns (s.a. Glchg. (8.4)), wie folgt. Es ist
Teff =
�
L
4πσR2 �1/4
die Temperatur. Über das Wiensche Gesetz
(8.37)
λmaxT = const = 0.2898 cm K (8.38)
erhält man dann, mit T = Teff = Tbb
λmaxTbb = 0.29 cm K (8.39)
die Farbe des Sterns.
8.1.5 Strahlungstransport und Lebensdauer
Strahlungstransport im homogenen Medium in einer Dimension
Wir geben zunächst ein einfaches Modell für den Strahlungstransport durch eine ebene, homogene
Schicht der Höhe R. Man muß unterscheiden zwischen dem (isotropen) Strahlungsfluß mit der Intensität
I = σT 4 und dem (nach oben gerichteten, anisotropen) Nettostrahlungsfluß j := Leuchtkraft/Fläche.
An der Oberfläche ist j = I = σT 4 eff und beide stimmen überein (Randbedingung). Wir
stellen uns nun die Schicht unterteilt vor in M := R/l (l := freie Weglänge der Photonen) Lamellen
mit Vakuum dazwischen. Jede Lamelle m (1 . . . M) hat die Temperatur T (m), mit der sie nach beiden
Seiten strahlt.
Damit der Strom erhalten bleibt, muß gelten
I(1) − I(2) = I(2) − I(3) = . . . = I(M) = σT 4 eff
letzteres, da am Rand keine Einstrahlung stattfindet. Die Lösung dieser Differenzengleichung lautet
I(m) = (1/m)I(1) bzw. I(1) = MσT 4 eff
Gehen wir von der Differenzengleichung zu der Differentialgleichung über, erhalten wir
j = −l dI
dx
=
4 dT
− lσ
dx
(8.40)
dj
dx
= 0 (8.41)
mit der Lösung
T 4 (x) =
R − x + l
T
l
4 eff
(8.42)
Für die Sonne ist M = R/l � 1012 und somit erwarten wir im Zentrum (Index c)
Tc = 4
�
R
l Teff � 10 3 Teff (8.43)
was um einen Faktor 2 zu klein ist. Der Grund dafür ist die falsche Geometrie. Für Kugelschalen ist
die Verdünnung gegeben durch
1
r 2
jr = −l dI
dr
4 dT
= − lσ
dr
(8.44)
d
dr (r2 jr) = 0 (8.45)

8.1. ÜBERBLICK 387
Für die Sonne ist somit in der Nähe des Zentrums, wo noch keine Kernfusion stattfindet
�
T (r) = 4
R 2
lr Teff
(8.46)
die Temperatur tatsächlich größer.
Um nun noch abzuschätzen, wieviel Energie durch Kernfusion erzeugt wird, benötigen wir folgende
Fakten:
1. Die bei der Fusion freigesetzte Energie beträgt E � 8 MeV.
Es ist rk := ¯h/mπc = 1.46f (1f := 10 −13 cm; Fermi) die Reichweite der Kernkräfte. Die Bindungsenergie
ist etwa
EB = −(1/2)¯h 2 /mpr 2 k (8.47)
= −(1/2)(mπ/mp)mπc 2 � 8 MeV (8.48)
2. die Fusion ist ein Tunnelprozeß.
Die Wahrscheinlichkeit W für den extrem temperaturabhängigen Tunneleffekt ist etwa
W � (Tt/T ) 2/3 exp −(Tt/T ) 1/3 = (Tt/T ) 2/3 10 −(Td/T ) 1/3
(8.49)
Tt = (3/2) 3/2 (πe 2 /¯h) 2 (mp/k) = 7.7 · 10 10 K (8.50)
Td = Tt(log e) 3 = 3.2 · 10 9 K (8.51)
Es ist z. B. W = 4 · 10 −5 für T = 10 7 K.
3. der eigentliche (Reaktions) Wirkungsquerschnitt ist der der schwachen Wechselwirkung.
Die Gesamterzeugungsrate pro Volumen, ˙ɛρ, ist dann
˙ɛρ = EBW < nσv > ρ (8.52)
dabei ist σ der Wirkungsquerschnitt für die schwache Wechselwirkung und ρ = ˜µmun die Massendichte.
8.1.6 Die untere Grenzmasse für Sterne
Mit unserer einfachen Formel (8.30) für die Leuchtkraft L ist es nun möglich, die thermische Entwicklung
eines massearmen Sterns zu diskutieren.
Die erste Voraussetzung an die Masse eines Sterns ist die, daß im Innern die Temperatur hoch genug
wird beim Schrumpfen, sodaß die Materie überhaupt ionisiert wird, also (für Wasserstoff)
was mit
d. h. α −3/2
G
kT ≫ 1
2 α2 mec 2 ≈ 13.6 eV
N = α −3/2
G
= 2.2 · 10 57
≈ 2N⊙ auf die Bedingung
M ≫ α 3/2 α −3/2
G mp ≈ 10 −3 M⊙
(8.53)
führt; sonst erhält man einen Planeten.
Die zweite, strengere, ist die, daß im Innern die Temperatur sogar hoch genug wird, sodaß die durch
Kernfusion erzeugte Wärme das Schrumpfen stoppen kann. Dies muß geschehen, solange die Materie
nichtentartet ist.

388 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
Es sei d der mittlere Abstand der Teilchen (Protonen bzw. Elektronen). Dann gilt näherungsweise, pro
Teilchen
oder
ɛth + ɛent ≈ ugrav
kT + ¯h2
2/3 ¯hc
≈ αGN
med2 d
Das Kriterium ist, daß bei Verkleinerung von d die Zündtemperatur
Tcrit ≈ αmec 2
erreicht wird. Die Funktion
2/3 ¯hc ¯h2
kT = f(d) = αGN −
d med2 hat ihr Maximum bei f ′ (d) = 0, was
Tmax = 1
2 (αGN 2/3 ) 2 mec 2
(8.54)
(8.55)
und mit Tmax > Tcrit schließlich
Sonst steigt die Temperatur (praktisch) instantan (runaway) bis zur Explosion, die Gravitationsenergie
geht dann in Pulsationsenergie; der Stern ähnelt einem Motor mit Fehlzündungen (Stottern).
Wir bestimmen die kritische Masse für Entartung als Interpolation (geometrisches Mittel) zwischen
Planet und Sonne, die im Zentrum fast entartet ist:
Nkrit ≈ α 3/4 α −3/2
G α 3/4 ≈ 0.04N⊙ (8.56)
Wie wir sehen werden, ist die kritische Temperatur für Wasserstoffbrennen etwa 10 6 K, in etwa ebenfalls
das geometrisches Mittel zwischen Fusionstemperatur der Sonne (1 keV) und Ionisationsenergie
von Wasserstoff (13 eV).
Die Leuchtkraft solcher Sterne, der sog. braunen Zwerge, ist winzig, wie aus unserer einfachen Formel
(8.30) für die Leuchtkraft folgt:
L ≈ 10 −4 L⊙
8.1.7 Die obere Grenzmasse und Leuchtkraft für Sterne
• ANMERKUNG (EINE EINFACHE ABSCHÄTZUNG)
Wir definieren
¯β = Eγ
Eth
= 2π2
45
� �3 kT V
¯hc N
und betrachten die Grenzfälle
¯β ≪ 1, d. h. E = EGas = (-1/2)U oder NkT = (1/3)Gm 2 pN 2
bzw.
¯β ≫ 1, d. h. E = Eph = -U oder aT 4 V = Gm 2 pN 2
und ersetzen NkT bzw. akT 4 und erhalten
¯β = (N/16N⊙) 2 bzw. ¯ β = (N/N⊙) 1/2 .
(8.57)

8.2. STERNAUFBAU 389
Sterne mit mehr als 16 Sonnenmassen sind strahlungsdominiert. Für einen solchen Stern vorgegebener
Masse kann die Leuchtkraft einen Maximalwert im Mittel nicht überschreiten, den sog. Eddington-
Limit: auf die an der Oberfläche des Sterns befindliche ionisierte Materie trifft von Innen ein Strahlungsstrom
der Intensität I. Davon werden σT hI gestreut, was einen Impulsübertrag (pro Zeit) dp/dt =
2I/c zur Folge hat (p = E/c für Photonen!). Gestreut wird natürlich wieder nur an Elektronen. Ersetzt
man I durch die Leuchtkraft L = 4πR 2 I, so erhält man für die Kraft
K = σL/4πcR 2
Setzt man dies gleich der Gravitationskraft auf ein ionisiertes H-Atom (also Proton) K = GmHM/R2 ,
so fällt der Radius heraus und man erhält den Eddington-Limit
LEdd = 4πGmHMc
= 10 4.5
� �
M
L⊙ = 1.3 · 10 38
� �
M
mH erg s−1 (8.58)
σT h
M⊙
Wichtig ist, daß das Plasma vollständig ionisiert und dünn ist, sodaß der Thomsonstreuquerschnitt σT h
den Impulsübertrag beschreibt. Für heiße Sterne ist das gerechtfertigt (für die Sonne nicht).
Wie man hier aus der Kräftebilanz oder sonst aus dem Virialsatz für relativistische Materie ersieht
(Eph + U = 0), ist der Stern im neutralen Gleichgewicht und man muß seine Stabilität untersuchen.
Nach dem allgemeinen Kriterium muß dazu γ > 4/3 sein, was es auch ist. Falls jedoch die Pulsperiode
vergleichbar wird mit der Photonendiffusionszeit tdiff := 3R 2 /lc (l := freie Weglänge der Photonen),
dann ist die Druckänderung nicht mehr adiabatisch sondern isotherm, d. h. γ = 1, und der Stern
ist instabil. Es werden dann Pulsationen mit wachsender Amplitude angefacht, welche letzten Endes
durch Massenverlust gedämpft werden (der innerste Kern besteht aus entarteter, stabiler Materie und
der Rand aus nur teilweise ionisiertem Gas; also ebenfalls stabil). Setzt man LEdd = L, so erhält man
etwa 100 M⊙ für die Stabilitätsgrenze.
8.2 Sternaufbau
Als Zustandsgleichung benutzen wir die Summe aus idealem Gas plus Photonen:
P = PG + Pγ
wobei der Parameter β
β = PG
P
und 1 − β = Pγ
P
den Gasdruck parametrisiert, also explizit
P = ρ
˜µmH
kT + a 4
T
3
M⊙
(8.59)
(8.60)
(8.61)
Hier ist mH die Masse des Wassertstoffatoms und ˜µ ist das mittlere Molekulargewicht. Für ein vollständig
ionisiertes Gas gilt
˜µ −1 ≈ 2xH + 3
4 xHe + 1
2 xMetalle
was wir jetzt (um mit der üblichen Nomenklatur in Übereinstimmung zu bleiben)
schreiben.
˜µ −1 = 2X + 0.75Y + 0.5Z
(8.62)

390 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
Der Wärmestrom in radialer Richtung F = Fr und die Leuchtkraft L(r) hängen wie folgt zusammen:
L(r) = (4πr 2 )Fr(r) (8.63)
und somit wird aus dem Energiesatz divFr = ˙ɛρ
L ′ = 4πr 2 ˙ɛρ (8.64)
Die verbleibende Wärmetransport Gleichung F = −k∇T schreiben wir
P ′ γ = − κρL
4πcr 2
mit κ: Massenabsorptionskoeffizient, oder, mit Pγ = a 4 T 3
T ′ = − 3κρL
16πacr 2 T 3
(8.65)
(8.66)
Mit der Zustandsgleichung, die wir in der Form ρ = ρ(P, T ) schreiben und der Energie - Erzeugungsfunktion
˙ɛρ sind das 4 Gleichungen für die 4 unbekannten Funktionen P, m, L und T .
Die Randbedingungen sind gemischt: zwei am Rand r = R
P (R) = 0 ; T (R) = 0 (8.67) L(0) = 0 ; m(0) = 0 (8.68)
und zwei im Zentrum r = 0.
Zu bestimmen sind die Größen m(R) = M und L(R) = 4πσR 2 T 4 . Dabei ist in diesem vereinfachten
Modell (wo die Atmosphäre des Sterns fehlt) T (R) → Teff zu ersetzen. Dabei gilt spaltenweise, mit
Pγ = a
3 T 4 anstatt T
dm
dr
dP
dr
= 4πρr2
= −ρGm(r)
r 2
(8.69)
(8.70)
dL
dr = 4πr2 ɛρ (8.71)
dPγ
dr
= −ρκL(r)
4πcr 2
Hydrostat. Gleichgewicht Wärmetransport
(8.72)
Für die folgenden zwei Fälle gibt es für diese Gleichungen (des hydrostatischen Gleichgewichts mit
Wärmetransport ohne Turbulenz) analytische Lösungen:
1. Eddingtons Standardmodell
Hier gilt, mit
β = PG
P
und 1 − β = Pγ
P
(8.73)
die Bedingung β = const. Dann sind die beiden Sätze von Gleichungen von hydrostat. Gleichgewicht
einerseits und von Wärmetransport andrerseits proportional.
2. Strömgrens Modell
Falls der Massenabsorptionskoeffizient κ und die Energieerzeungungsrate ˙ɛ nur von Potenzen
von T und ρ abhängen und zwar, mit beliebigem a, n und s:
κ ∝ ρT −3−s
und ˙ɛ ∝ ρ a T n
z. B. Kramers Opazität liefert s = 0.5 und der pp-Zyklus kann mit a = 1 und n = 4 . . . 5
beschrieben werden.

8.2. STERNAUFBAU 391
Wir betrachten hier nur kurz noch einmal den Fall des Eddingtonschen Standardmodells. Umgeschrieben
Pγ = (1 − β)P und PG = βP (8.74)
liefert β = const auch einen eindeutigen Zusammenhang zwischen ρ und T :
T =
� �1/3 �
3(1 − β)k 1
βa
˜µmH
� 4/3
ρ 1/3
(8.75)
was die Gleichungen wesentlich vereinfacht. Man kann nun die Zustandsgleichung wie folgt schreiben:
P = Kpρ 4
�
k
3 mit Kp =
˜µmHβ
�4/3 � �1/3 3(1 − β)
a
(8.76)
Eddingtons Standardmodell führt also auf eine Polytrope zum Index n = 3 (oder s = 4/3) und dafür
haben wir die Lösung schon angegeben.
8.2.1 Strömgrens Modell
• ANMERKUNG (DER EINFLUSS VON OPAZITÄT UND ENERGIEERZEUGUNG)
Im Eddingtonschen Standardmodell bleibt der Radius und damit die Oberflächentemperatur Teff des Sterns unbestimmt. Im
Strömgren Modell sind alle Sternparameter bestimmt. Wir können somit den Einfluß des Massenabsorptionskoeffizienten
κ und der Energieerzeugungsrate ˙ɛ auf die Struktur des Sterns analytisch untersuchen. Voraussetzung ist allerdings, daß
diese nur von Potenzen von T und ρ abhängen. Daraus folgt dann die Gleichung der Hauptreihe im HR-Diagramm.
Grundlage sind die Gleichungen des hydrostat. Gleichgewichts und des Wärmetransports in der Form
dm
dr
dP
dr
= 4πρr2
= −ρGm(r)
r 2
(8.77)
(8.78)
dL
dr = 4πr2 ɛρ (8.79)
dT
dr
= − 3κρL
16πacr 2 T 3
(8.80)
Die Idee der Homologietransformation, wie sie der Lane-Emden Dgl. zugrunde liegt, kann wesentlich
erweitert werden. Die Grundvariablen sind m, P, L, T als Funktionen von der Radialkoordinate r.
Alle anderen auftretenden Größen, die Dichte ρ eingeschlossen, werden als Materialfunktionen dieser
Grundvariablen betrachtet.
• ANMERKUNG (DIE ZUSTANDSGLEICHUNG DES IDEALEN GASES)
Als Beispiel schreiben wir die Zustandsgleichung des idealen Gases
ρ = P u (kT ) v ˜µ w mH mit u = 1, v = −1, w = 1
Hier ist ˜µ das mittlere Molekulargewicht
˜µ −1 = 2X + 0.75Y + 0.5Z
X, Y, Z sind die Massenanteile von H, He und den Metallen (CNO) und es ist X + Y + Z = 1.
Für zwei Sternmodelle seien m(r) und m ′ (r ′ ) die beiden Lösungen. Die Gesamtmasse sei M bzw.
M ′ . Analoges gelte für P , L, T und P ′ , L ′ , T ′ . Homologie bedeutet, daß die beiden Lösungen durch
eine Skalentransformation ineinander überführt werden können. Wir führen nun eine dimensionslose
Variable ξ ein
ξ = m
M
= m′
M ′
(8.81)

392 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
die eine echte Invariante ist. Damit schreiben wir die Gleichungen um zu
dr
dξ
dP
dξ
= k1
= k2
M
ρr2 ξM 2
r 4
(8.82)
(8.83)
Die hier auftretenden universellen Konstanten ki sind
k1 = 1
4π
; k2 = −G
4π
; k4 = −3
64π 2 ac
Wir schreiben damit die Homologiebedingung wie folgt:
r(ξ)
r ′ (ξ)
R
= = z(ξ)
R ′
dL
dξ
dT
dξ
Analog verfahren wir mit den anderen Grundvariablen P, L, T , also
P (ξ)
P ′ (ξ)
= p ;
Einsetzen liefert mit
M
= x ;
M ′
als Invarianzbedingung
x
z 3 d
= 1 ;
T (ξ)
T ′ (ξ)
ρ
= d ;
ρ ′
x 2
z 4 p
= 1 ;
= t ; L(ξ)
L ′ (ξ)
ɛ
= e ;
ɛ ′
ex
s
= 1 ;
= l
κ
= k ;
κ ′
= ɛM (8.84)
κLM
= k4
r4T 3
(8.85)
(8.86)
ksx
z4 = 1 (8.87)
t4 Die beiden wichtigen (weil im Vergleich zum Eddingtonschen Standardmodell neuen) Relationen, die
wir jetzt untersuchen können, sind der Einfluß des Massenabsorptionskoeffizienten κ und der der Energieerzeungungsrate
˙ɛ auf die Struktur des Sterns. Wir nehmen an, daß diese nur von Potenzen von T
und ρ abhängen und zwar, mit beliebigem a, n und s:
κ ∝ ρT −3−s
und ˙ɛ ∝ ρ a T n
Dann ergeben sich nützliche Relationen auch für Sternradius R und effektive Temperatur Teff, die
im Eddingtonschen Standardmodell unbestimmt bleiben. Realistische Sterne gehorchen zwar keinen
Homologierelationen, dennoch sind solche Modelle nützlich. Sie liefern die Basis für eine statistische
Beschreibung vieler Sterne (etwa in Kugelsternhaufen) und einen ersten Zugang, ganze Galaxien nach
ihrer Farbe zu klassifizieren.
Der Rosselandsche Mittelwert des Massenabsorptionskoeffizienten κ, wie er aus Kramers Opazität
folgt, ist empfindlich abhängig von der chemischen Zusammensetzung. Das Rosseland Mittel für die
Opazität lautet
1. Kramers Opazität für bound-free (Photoeffekt)
κbf ∝ Z(1 + X)ρT −3.5
2. Kramers Opazität für free-free (Bremsstrahlung)
κff ∝ (1 − Z)(1 + X)ρT −3.5
(8.88)
(8.89)

8.2. STERNAUFBAU 393
Die Energieerzeungungsrate ˙ɛ hängt empfindlich ab vom nuklearen Brennprozeß im Zentrum des
Sterns
˙ɛ ∝ ρT n
Für den pp-Prozeß ist n = 5 ein guter Mittelwert, für den CNO-Prozeß ist dagegen n ≈ 20.
Für die Leuchtkraft der Hauptreihe gilt empirisch ungefähr
L = L⊙(M/M⊙) 4
= L⊙(M/M⊙) 2.8
M > M⊙
M < M⊙
Die direkt beobachtbaren Größen Leuchtkraft L und Temperatur Teff umfassen jeweils
− 6 < log(L/L⊙) < 6 und 3.3 < log(Teff) < 5
(also etwa 2000 K und 100 000 Kelvin) und es gilt empirisch
(8.90)
(8.91)
(8.92)
log L = q log Teff + const ; mit q ≈ 6 (8.93)
Ein einfacher Fit ergibt als Masse - Radius Relation
�
R ∼
M 0.6 M > M⊙
M 0.9 M < M⊙
und für die Temperatur - Masse Relation
T ∼ M 0.6
Rechnungen liefern die folgende Masseabhängigkeit:
⎧
⎪⎨ M
L ∝
⎪⎩
5.5 /R0.5 massearme – normale Sterne
M 3 massereiche Sterne
M sehr massereiche Sterne
(8.94)
(8.95)
Als Mittelwert kann man L ∝ M 3.5 nehmen. Die zur Kernfusion zur Verfügung stehende Masse ist
proportional zur Gesamtmasse des Sterns. Für Hauptreihensterne sind das etwa 10% und es gilt W ≈
0.1 · 7 · 10 −3 Mc 2 . Daraus erhält man für die Lebensdauer A des Brennvorgangs auf der Hauptreihe als
Massenabhängigkeit A ∝ M −2.5 .
L ∝
1
Z(Z + 1) ˜µ7.5 M 11/2 R −1/2
Für die Leuchtkraft der Hauptreihe gilt genauer
�
L ∝
Z 0.69 X 1.19 T 5.6 CNO-Zyklus
Z 0.36 X 1.46 T 4.11 pp-Zyklus
(8.96)
wie aus detaillierten Rechnungen folgt. Der Übergang von pp zu CNO ist bei etwa 1.5 Sonnenmassen.
Die Leuchtkraft wird bei diesen Sternen durch den Massenanteil Z der schweren Elemente, also von
Spurenelementen, durch die Opazität bestimmt. Für die Sonne beträgt der Massenanteil Z etwa 1%.
Erst bei einem Massenanteil Z von 10 −4 werden die Opazitäten vergleichbar. Für massearme Population
II Sterne in Kugelsternhaufen kann dieser Übergang sogar beobachtet werden (cf. [San86]).

394 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
8.2.2 Wasserstoffbrennen
• DEFINITION
Die Zustandsgleichung für den Gesamtdruck als Summe aus Gas- und Photonendruck lautet für Hauptreihensterne (ɛ =
aT 4 ist die Energiedichte des Photonengases und P = ɛ/3 die Zustandsgleichung):
oder
P = Ptot = Pkin + Pphot = nkT + a 4
T
3
P = ρ
˜µmH
kT + a 4
T
3
Für die Zustandsgleichung muß also die Teilchenzahldichte n durch die Massendichte ρ und die chemische Zusammensetzung
ausgedrückt werden:
(8.97)
Pkin = nkT = ρ
kT (8.98)
˜µmH
wobei ˜µ das mittlere Molekulargewicht ist, welches wir wie folgt bestimmen. Bei vollständiger Ionisation gibt es pro Atom
Z Elektronen und einen Atomkern, also
oder
n =
Z + 1
A
˜µ = A
Z + 1
ρ
mH
Für die chemischen Elemente H, He und alle anderen gilt dann etwa ˜µ −1 = 2, 3
4
und 1
2 .
Für eine Mischung aus mehreren Elementen führen wir noch die relative Massenhäufigkeit xZ so ein, daß xZ die Masse
der Teilchen mit Ladung Z pro Einheitsmasse ist und definieren die effektive Teilchenzahl pro Atom
Das gibt
ˆnZ = ˜µ −1
Z
= (Z + 1)
A
(8.99)
1
˜µ = � xZ ˆnZ ≈ 2xH + 3
4 xHe + 1
2 (1 − xH − xHe) (8.100)
Für ein vollständig ionisiertes Gas gilt
˜µ −1 ≈ 2xH + 3
4 xHe + 1
2 xMetalle
was wir jetzt (um mit der üblichen Nomenklatur in Übereinstimmung zu bleiben)
˜µ −1 = 2X + 0.75Y + 0.5Z ; X + Y + Z = 1
schreiben. Neben den Massenanteilen Xi werden wir gelegentlich die numerischen Anteile Yi benötigen
Yi = ni
�
j nj
= ni
n
(8.101)
Für die Sonne liefert das heute, mit einem mittleren xHe = 0.36, für das mittlere Molekulargewicht ˜µ ≈ 0.645, die Ursonne
hatte etwa ˜µ ≈ 0.6.

8.2. STERNAUFBAU 395
Kosmogonie und Nukleogenese
Wir werden im folgenden die wesentlichen Kernreaktionen im Innern eines Sterns wie der Sonne und
(zum Vergleich) im frühen Universum betrachten.
Die Fusion von Urbausteinen (Proton und Elektron) der Materie zu Helium ist der astrophysikalisch
wichtigste Prozeß überhaupt. Er findet im Universum unter extrem verschiedenen Bedingungen statt:
1. im Innern von Sternen, mit der Bilanzgleichung
4p → 4 He + 2e + + 2νe ; Qtot = 4Q1 − Q4 = 26.73 MeV (8.102)
2. im frühen Universum,
2p + 2n → 4 He (8.103)
Den Fusionsprozeß im frühen Universum werden wir später genauer beschreiben. Er ist die Grundlage
zum Verständnis der Sterne, da deren Ausgangsmaterial hier erzeugt wurde. Die Fusion im frühen
Universum ist ein dynamischer Prozeß, sie läuft in Konkurrenz zur Expansion; in Sternen ist sie quasistatisch
(mit Ausnahme einer Supernova).
• ANMERKUNG (KLASSISCHE KOSMOGONIE UND NUKLEOGENESE)
Im Innern von Sternen reicht die thermische Energie der Protonen (von 1 KeV) in der Sonne klassisch nicht aus, um
die Coulombbarriere (von 1 MeV) des anderen Reaktionspartners (Proton oder He) zu überwinden. Die Fusion ist ein
statischer Prozeß, Zeit ist genügend vorhanden. Quantenmechanisch geht das mit Hilfe des Tunneleffekts. Die Erklärung
geht auf Gamow (1928) zurück.
Atkinson und Houtermans wenden (1929) den Gamowschen Tunneleffekt erstmals auf das Innere der Sterne an und beschreiben
die Kernfusion von Wasserstoff zu Helium. Ihre Arbeit vom März 1929 beginnt mit den Worten:
Vor kurzem hat Gamow gezeigt, daß positiv geladene Teilchen auch dann in den Atomkern einzudringen
vermögen, wenn ihre Energie nach klassischen Begriffen dazu nicht ausreicht . . .
Die detaillierte Ausarbeitung der wichtigsten Kernreaktionen stammt von Bethe (1938) und unabhängig von v. Weizsäcker
(1938). Kernfusion ist möglich als Katalysatorprozess (C-N-O Zyklus) bzw. als Kettenreaktion. Critchfield gemeinsam mit
Bethe (1938) beschreiben erstmals die p-p Kettenreaktion.
Im frühen Universum gilt für die Kernfusion das umgekehrte: die Temperatur ist so hoch, daß das Zwischenprodukt Deuterium
wieder zerfällt. Es herrscht (fast) thermodynamisches Gleichgewicht. Die entscheidende Arbeit hierzu stammt von
Alpher, Bethe und Gamow, 1948. Die ursprüngliche Idee, daß hierbei alle Elemente entstehen, wurde von Fowler und Hoyle
revidiert: nur H und He können im Standardmodell des Urknalls primordial, d. h. kosmologischen Ursprungs sein.
Den Abschluß zur Kosmogonie und Nukleogenese bilden die Arbeiten von Fowler und Hoyle, welche diese gemeinsam
mit dem Ehepaar Burbidge veröffentlichten, B 2 FH 1957, und von Wagoner, Fowler und Hoyle, in der erstmals (1967)
das kosmogonische Verhältnis von H zu He (Massenverhältnis 4:1) bestimmt wurde. Die damaligen Beobachtungen an
alten Sternen stimmten mit dieser Vorhersage überein und wurden damit als ein direkter Beweis für den heißen Urknall,
s = nγ/nb ≈ 10 9 und T ≈ 3K.
Mittlerweile sind die Beobachtungen sehr viel genauer. Sterne, die keine Metalle enthalten, hat man
nicht entdecken können, selbst die ältesten Sterne in Kugelsternhaufen enthalten noch Eisen, Fe. Neben
kosmologischem Lithium, Li, wurde (mit vergleichbarer Häufigkeit) auch Bor, B, gefunden. Das
kann man erklären, (Fowler), falls man inhomogene Urknall Modelle betrachtet. Hier sind zunächst
die Quarks inhomogen verteilt (Skala etwa 1 bis 10 Meter), wenn sich Protonen und Neutronen bilden,
verhalten sich beide unterschiedlich: Protonen diffundieren schwerer, da sie geladen sind. Ab 7 Li
verläuft die Fusion dann anders, nämlich bis 12 C:
7 Li (n, γ) 8 Li (α, n) 11 B (n, γ) 12 B (e + , ν) 12 C
Hierbei ensteht auch das häufigste Boron Isotop, 11 B. Auch Atome mit höherer Ladung enstehen,
insgesamt etwa 10 −3 .
Die Nukleogenese in Sternen wie der Sonne werden wir im folgenden betrachten. Die chemische Zusammensetzung
der Sonne heute zeigt, daß Deuterium und Lithium fehlen. Diese wurden bereits in der
Kontraktionsphase (vor dem Zünden) zerstört.

396 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
Das Wasserstoffbrennen der Sonne
Die Sonne verbrennt (seit etwa A⊙ = 4.5 Gyr) in ihrem Zentrum Wasserstoff, H, zu Helium, He, sie ist
damit ein entwickelter Hauptreihenstern. Und zwar liegt sie in ihrer Entwicklung ziemlich genau in der
Mitte zwischen ZAMS und ∗ TAMS. Wasserstoffbrennen kann dabei nach verschiedenen Brennzyklen
erfolgen.
1. p-p - Reaktionskette (Bethe-Critchfield)
2. C-N-O - Zyklus (Bethe-Weizsäcker)
3. Mg-Al - Zyklus
4. Ne-Na - Zyklus
Diese Brennvorgänge laufen alle gleichzeitg (in Konkurrenz zu einander) ab, je nach Temperatur T
(und Dichte ρ) dominiert aber normalerweise einer alle anderen. Die Bethe-Critchfield Reaktionskette
wird stets als erste (bei der Sternbildung) durchlaufen, da sie die niedrigste Zündtemperatur hat. Für
die Sonne gilt für die (über das Gesamtvolumen gemittelte) Energieerzeugungsrate, ˙ɛ,
˙ɛpp ∝ ρT 5
; ˙ɛCNO ∝ ρT 18
; ˙ɛCNO/˙ɛpp ≈ 0.01 (8.104)
Der Übergang von pp zu C-N-O Brennen findet bei Sternen mit Massen von etwa 1.4M⊙ und mit einer
Temperatur von T = 2 · 10 7 K statt. Zum Vergleich:
˙ɛ3α ∝ ρ 2 T 30
ist jetzt die Temperaturabhängigkeit der Energieerzeugungsrate.
Energieerzeugung
(8.105)
Die Zusammensetzung der Sonnenphotosphäre kann aus der Spektralanalyse erschlossen werden (und
aus dem Sonnenwind). Aus ihr schließt man (mangels anderer Möglichkeit) auf das Innere der Sonne.
Anders als bei Planeten, nimmt man an, daß keine chemische Fraktionierung (Eisenkern) im Innern
der Sonne stattgefunden hat.
Die häufigsten Elemente der Sonnenphotosphäre.
Ein typisches Sonnenmodel hat Z = 0.02. He ist
in der Sonne überhäufig. Weitere wichtige Elemente
der Sonne sind Ne, Si und Fe. Die Elemente
Li, Be und B sind unterhäufig (um einen
Faktor 10 −5 ) in Bezug auf kosmische Strahlung
und Meteorzusammensetzung. Gleiches gilt für
F und Sc (allerdings nur um einen Faktor 10 −2 ).
Die Tabelle ist nach Teilchenzahlen der Spezi-
es i = Z, welche wir mit Yi bezeichnen wollen,
Chem. Elemente der Sonnenphotosphäre
Element 1 H 4 He 12 C 14 N 16 O
Z 1 2 6 7 8
Yi 1 0.1 0.00053 0.0001 0.00092
Xi 0.71 0.285 0.0045 0.001 0.01
Qi 7.289 2.425 0.000 2.864 -4.737
Tab. 8.2: Sonnenphotosphäre
geordnet. Aufgeführt sind die häufigsten Elemente in der Reihenfolge ihrer Ladung. Die Massenkonzentrationen,
die wir wieder Xi nennen, und die Massendefekte in MeV bezogen auf 12 C (s.u. Glchg.
(8.114)) sind ebenfalls angegeben.
Der Massendefekt pro Nukleon der Atomzahl A ist dann
Q = Qi
A
= c2
� mi
A
− mu
�
∗ ZAMS: Zero Age Main Sequence, Alter: A = 0 Gyr; TAMS: Termination Age Main Sequence, Alter für die Sonne
A⊙ = 9 Gyr.

8.2. STERNAUFBAU 397
Eventuell kosmologisch erzeugtes Deuterium (kosmologische Häufigkeit Yi = 0.00023) wird im Innern
der Sterne zu He verbrannt und damit an der Sternoberfläche um etwa einen Faktor 50 reduziert,
im Zentrum dagegen praktisch vollständig (s.u.).
• ANMERKUNG (DIE ELEMENT-HÄUFIGKEIT DER URSONNE)
Man nimmt an, daß die beobachteten Häufigkeiten auch in der Ursonne im Innern herrschten. Damit hat man dann definierte
Anfangsbedingungen. Welche Kernprozsse tatsächlich im Innern der Sterne ablaufen, ist alles andere als leicht zu
beantworten.
Für den C-N-O Zyklus ist auch die Gesamthäufigkeit der 3 Elemente wesentlich, da diese nicht erhöht werden kann, nur
die relative Häufigkeit kann verändert werden.
Die leichten Elemente Li, Be und B sind deutlich unterhäufig. Eine Erkärung dafür mag darin liegen, daß diese Elemente
weder primordial noch stellar erzeugt werden, sie stammen von Spallationen der kosmischen Strahlung.
Der Hauptenergielieferant der Sonne und aller Sterne, die auf der Hauptreihe sind, ist die Kernfusion
von Protonen, p, zu α - Teilchen, 4 He ++
4p → 4 He + 2e + + 2νe ; Qtot = 4Q1 − Q4 = 26.73 MeV (8.106)
im Zentrum des Sterns.
Unter den Bedingungen, wie sie im Innern von Hauptreihensternen wie der Sonne herrschen, kann dies
auf zwei verschiedene Arten erreicht werden:
1. die Bethe-Critchfield-Reaktion (pp Reaktion) läuft direkt zwischen Protonen und Helium ab, der
vorhandene Wasserstoff wird zu Helium verbrannt.
2. der Bethe-Weizsäcker Zyklus ist, chemisch gesehen, ein Katalysatorprozeß mit den Katalysator
- Elementen C, N, O, an die Protonen angelagert werden. Die Gesamtzahl von C-N-O Atomen
bleibt erhalten, nur der Wasserstoff wird in Helium verwandelt.
Für alle Reaktionsketten bzw. Zyklen gilt, daß ihre Gesamtrate durch den langsamsten Prozeß bestimmt
wird. Für die einzelne Reaktionsrate gilt dabei
R = 1
t =
�
nσvf(v)d 3
wobei σ der Wirkungsquerschnitt der Reaktion ist und wobei über die Maxwell Verteilung (der Relativgeschwindigkeit)
der Kerne zu mitteln ist. Die Kernfusion in der Sonne ist dabei ein quantenmechanischer
Tunnelprozeß, wie erstmals von Gamow 1928 gezeigt. Die kinetische Energie der Protonen
�
2Ekin
Ekin ≈ kT ≈ 1 KeV v =
m
reicht bei weitem nicht aus, klassisch die Coulomb-Barriere
Epot ≈
ZpZAe 2
r
≈ 1 MeV ; r ≈ 1 fm
zu überwinden. Damit wird die Reaktionsrate (Gamowscher Tunneleffekt)
oder auch
Rt ≈ e −W
W ≈ Epot
Ekin
rp
¯h
c
W ≈ 2παZpZA
v
extrem temperaturabhängig, kT ≈ Ekin.
(8.107)

398 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
Summarisch geschrieben lautet die Fusions Bilanz (in kerphysikalischer Notation)
4p → α + 2β + + 2νe (8.108)
woraus ersichtlich wird, daß in jedem Fall die schwache Wechselwirkung involviert ist. Neutrinos
müssen erzeugt werden um den Erhaltungssatz für Leptonen zu gewährleisten , welche Energie sie
erhalten, kann allerdings nur die Theorie der schwachen Wechselwirkung beantworten. Die Energie
der Photonen, Qeff, beträgt etwa 26.2 MeV. Damit bleiben 0.52 MeV für die 2 Neutrinos. Für den
Anteil der Neutrinos an der gesamten Leuchtkraft sind das weniger als 2%.
Bezogen auf die Kernreaktionen besteht im Innern der Sonne kein thermodynamisches Gleichgewicht.
Die Reaktionen verlaufen alle nur in einer Richtung. Deshalb werden die Reaktionsraten (und damit
die Wirkungsquerschnitte der Kernfusion) explizit benötigt. Die Ergebnisse hängen empfindlich davon
ab. Bestes Beispiel sind die Kernzerfallszeiten der natürlichen Kerne. Man erhält durch eingehende
Rechnungen, daß die Temperatur im Innern der Sonne etwa 15 Millionen K (bei einer Dichte von
160 g cm −3 ) beträgt. Die bei der Fusion freigesetzte Energie beträgt pro beteiligtem Nukleon etwa
Qtot/A ≈ 6.7 MeV oder 0.72% Ruhmassenenergie.
• ANMERKUNG (ENERGIEGEWINN)
Von He mit Qtot/A ≈ 6.7 MeV bis Eisen, 56 Fe, mit Qtot/A ≈ 8.5 MeV werden pro Nukleon in den fortgeschrittenen
Brennstadien also nur noch 1.8 MeV (entsprechend etwa 21% der insgesamt umgesetzten Energie) gewonnen.
Die Sonne verbrennt damit 4 · 10 12 g oder 4 Millionen Tonnen Ruhmasse Wasserstoff pro Sekunde
um L⊙ = 3.9 · 10 33 erg s −1 aufrecht zu erhalten, d. h. sie wird dabei pro Sekunde um diesen Betrag
leichter durch den Massendefekt. 550 Millionen Tonnen Wasserstoff pro Sekunde werden dabei in
Helium umgewandelt. Dabei werden etwa ˙ Nν = 1.8 · 10 38 s −1 Neutrinos erzeugt. Man erwartet einen
Neutrinofluß von Fν = 6.4 · 10 10 cm −2 s −1 aus der p-p- Reaktion, während für die energiereichsten
Neutrinos der Fluß um 5 Zehnerpotenzen kleiner ist.
Zum Vergleich: die Photonen werden um den Faktor 10 7 vervielfacht, die Energie eines Photons von 6
Mev auf 0.5 eV reduziert. Das ergibt einen Photonenfluß von Fγ = 1 · 10 18 cm −2 s −1 .
Bei einer Fusionsenergie pro Nukleon, Q = Qij, wird die Energieerzeugungsrate pro Einheitsvolumen,
˙η(ρ, v), für eine Reaktion zwischen den (zunächst als verschieden angenommenen) Partnern i und j
mit Relativgeschwindigkeit, v = |vi − vj|, Teilchenzahldichten nj bzw ni und Wirkungsquerschnitt
σ = σij(v) gegeben durch
˙η(ρ, v) = Qij ni nj σ v erg cm −3 s −1
woraus man dann durch Mittelung über eine thermische Maxwell - Verteilung fMB = f(v)
˙rij =
�∞
0
f(v) dv {v σij(v)} mit
�∞
0
f(v) dv = 1 (8.109)
die Volumen Reaktions-Rate ˙rij, Einheit cm 3 s −1 , und damit die Energieerzeugungsrate pro Einheitsvolumen,
˙η(ρ, T ),
˙η(ρ, T ) = Qij ni nj ˙rij = n 2 Yi Yj Qij ˙rij (8.110)
erhält. Umgeschrieben auf die Materiedichte ρ ist genauer (nämlich auch bei identischen Partnern für
i = j, mi sind ihre Massen)
˙ɛ(ρ, T ) = XiXj
1 + δij
Qij
ρ ˙rij erg g
mimj
−1 s−1 (8.111)

8.2. STERNAUFBAU 399
Die Abnahme der Dichte ni der Spezies i ist gegeben durch die Rate aller Reaktionen, die das Element
zerstören minus der Rate aller Reaktionen, die das Element erzeugen:
˙ni = − �
oder für die Konzentrationen
j
˙Yi = − �
j
ninj ˙ri→j + �
ninj ˙rj→i
j
YiYj Ri→j + �
j
(8.112)
YiYj Rj→i mit Ri→j = n ˙ri→j (8.113)
Im stationären Fall müssen alle Ableitungen verschwinden, woraus man die Gleichgewichtskonzentrationen
bestimmen kann.
8.2.3 Das Standard-Sonnenmodell
Wir wissen aus Altersbestimmungen der Erde, daß das Sonnensystem etwa 4.5 Milliarden Jahre alt
ist, A⊙ = 4.5 Gyr. Wir wissen ferner, daß die chemische Zusammensetzung der Sonne von der der
Urmaterie abweicht, s. (8.2). Nimmt man an, daß die chemische Zusammensetzung der Materie an
der Sonnenoberfläche (d. h. an dem spektroskopisch beobachtbaren Ort) gleich der ursprünglichen ist,
dann kann man ausrechnen, wie die chemische Zusammensetzung im Innern der Sonne, wo ja die
Kernreaktionen ablaufen, nach 4.5 Milliarden Jahren aussehen muß. Man erhält so ein Standardmodell
für die heutige Sonne, welches in der nachstehenden Tabelle wiedergegeben ist.
Sonnenmodell mit XH = 0.71, XHe = 0.27 und XMetalle = 0.02
m r11 T6 ρ L33 ˙ɛpp ˙ɛCNO k XH
0.00 0.00 15.7 158 0.00 15.9 1.6 1 0.36
0.05 0.06 13.8 103 1.3 10 0.13 1.3 0.52
0.10 0.08 12.8 83 2.13 6.8 0.023 1.5 0.58
0.30 0.13 10.1 43 3.55 1.6 2 0.68
0.50 0.17 8.1 22 3.86 2.8 0.70
0.80 0.26 5.1 5 3.9 4.5 0.71
0.90 0.32 3.9 1.8 3.9 6 0.71
0.99 0.48 1.73 0.1 3.9 9.6 0.71
0.99999 0.62 0.66 0.006 3.9 konv 0.71
1 0.69 0.006 3 · 10 −7 3.9 0.71
Einheiten: Masse m = M(r)/M⊙; Radialkoordinate r in Einheiten von 1011 cm; Temperatur T in Einheiten von 106 K;
Massendichte ρ g cm−3 ; Leuchtkraft L in Einheiten von 1033 erg s−1 ; Energieerzeunugsrate ˙ɛ = ˙ɛ(ρ, T, Xi) erg g−1 s−1 ;
κ
; Massenabsorptionskoeffizient k = ρ cm2 g−1 XH = rel. Massenanteil an Wasserstoff, Xi = NiAi
ΣNjAj
Tab. 8.3: Standardmodell der Sonne.
Für die freie Weglänge im Innern der Sonne ergibt sich damit tatsächlich l = 1/κ = 1/ρk < 1 cm
in den äusseren Bereichen der Sonne, wo die Photonen am längsten brauchen. Die Skalenhöhe in der
Photosphäre (opt. Tiefe 1) H = mg/kT beträgt 180 km, die Teilchenzahldichte n = 2 · 10 17 cm −3 .
Etwa x = n e /n = 3 · 10 −4 davon ist ionisiert.

400 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
8.2.4 Elementsynthese und primordiales Helium
Die atomare Masseneinheit, mu, und die dazu gehörende Massenenergie Einheit, amu, wird auf neutralen
Kohlenstoff, 12 C, bezogen und ist definiert als
1 amu =
1
12 mC c 2 = mu c 2 = 931.48 MeV (8.114)
Hier einige nützliche atomare Massen
Atomkerne: Bezeichnungen und Massen
Name Elektron Proton Neutron Deuteron Triton Helion α−Teilchen
Symbol e p n D T τ, 3 He α 4 He
Masse me mp mn mD mt mτ mα
MeV 0.511 938.25 939.55
amu 5.48·10 −4 1.007825 1.008665 2.014102 3.016050 3.016030 4.002603
Q(MeV) 7.28922 8.07169 13.136 14.950 14.931 2.4249
Die chem. Bezeichnungen sind Deuterium, Tritium und Helium. Bei der Bildung von He (mit der
Atomnummer A = 4) wird insgesamt
Qtot = 4Qp − Qα = c 2 (4mp − mHe) = 26.74 MeV
an Bindungenergie frei, pro Teilchen
Q = ∆E = Qtot
4
= 6.6825 MeV
Dabei tritt ein relativer, d. h. pro Kernteilchen gerechnet, Massendefekt von
δ = ∆E
muc 2 = 7 · 10 −3
oder 0.7% auf. Die bei der Kernfusion freigesetzte Energie ist zunächst in Form eines γ−Quants und
eines Neutrinos. Somit wird nicht alles vollständig zum Heizen benutzt, nur das γ−Quant wird thermalisiert,
das Neutrino kann ohne Wechselwirkung aus der Sonne entweichen. Die effektive Heizenergie,
Qeff, beträgt etwa 26.2 MeV. Dem entspricht bezogen auf die Gesamtmasse ein Energiereservoir der
Sonne von
Enuc = δ M⊙c 2 = 1.4 · 10 52 erg
Bei der jetzigen Leuchtkraft reicht das für
τ⊙ = Enuc
L⊙
= 10 11 y mit L⊙ = 3.9 · 10 33 erg s −1
also für 100 Milliarden Jahre. Die Sonne wird allerdings nicht alles zu He verbrennen, s.u., sondern
nur etwa eine Kernregion von etwa 10% Masse der gesamten Materie.
Wir betrachten nunmehr die Elementsynthese im Innern von Sternen genauer, und zwar zunächst die
Fusion von Wasserstoff. Diese kann, wie bereits erwähnt, auf zwei verschiedenen Wegen erfolgen: der
pp-Kette und dem Bethe-Weizsäcker Zyklus.

8.2. STERNAUFBAU 401
Die pp-Kette
Bei der Critchfield Reaktion (pp-Kette) werden bei der für die Sonne wichtigsten Fusion (pp1) 3 Stufen
durchlaufen:
p + p → D + e + + ν (8.115)
D + p → 3 He + γ (8.116)
3 He + 3 He → 4 He + p + p + γ (8.117)
oder, ausführlich geschrieben:
1
1p 0 + 1 1p 0 → 2 1D 0 + 0 1e + + 0 0ν 1
2
1D 0 + 1 1p 0 → 3 2He 0 + 0 0γ 0
3
2He 0 + 3 2He 0 → 4 2He 0 + 1 1p 0 + 1 1p 0 + 0 0γ 0
(8.118)
(8.119)
(8.120)
Wie durch die Indizes deutlich gemacht, müssen 3 Erhaltungssätze erfüllt werden, nämlich für Baryonen-
, el. Ladungs- und Leptonen-Zahl. Das Positron e + zerstrahlt mit einem Elektron. Die dabei auftretenden
γ-Quanten werden thermalisiert. In Kurzschreibweise können die 3 Reaktionen wie folgt angegeben
werden:
Die pp1-Kette
Fusions-Reaktion 1/Rate Qtot[MeV] Qν[MeV]
p (p, β + ν) D 10 10 yr 1.44 0.52
D (p, γ) 3 He 6 s 5.45 −
3 He ( 3 He, 2p) 4 He 10 5 yr 12.86 −
Dabei bedeutet Q der Massendefekt, also z.B. für die erste Reaktion 2p → D: Q = (2mp − mD)c 2 =
1.44 MeV. Die Wärmetönung ist um 0.511 MeV größer, da das Positron noch zerstrahlt. Qν ist die
maximale Neutrino Energie.
Alternativ kann der letzte Schritt auch wie folgt aussehen. Statt 3 He wird 4 He angelagert und 7 Be
gebildet (pp2-Kette und pp3-Kette):
3 He (α, γ) 7 Be ; Qtot = 1.58 MeV
Das so erzeugte 7 Be kann sich durch Elektroneneinfang in 7 Li umwandeln
7 Be (β − , ν) 7 Li ; Neutrino Linie Qtot = 0.86 MeV
und anschließend (nach Protoneneinfang) zerfallen (pp2-Kette):
7 Li(p, α) 2 4 He ; Qtot = 17.35 MeV
Dieser Prozeß ist wichtig, da er eine niedrige Schwellenenergie besitzt. Mit ihm kann Li sehr effektiv
zerstört werden.
Alternativ kann sich, ausgehend von 7 Be, ein Proton anlagern (pp3-Kette):
7 Be (p, γ) 8 B (β + ν) 8 Be ∗ (α) 4 He
Für die Sonne gilt, daß 86% über die pp1-Kette laufen, die restlichen 14% sind aufgeteilt in 13.98%
für die pp2-Kette und 0.02% für die pp3-Kette. Der Nebenzweig pp3 ist hauptsächlich interessant für
den Nachweis der Neutrinos
8 B (β + ν) 8 Be ; Qtot = 18.01 MeV

402 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
da er die enegiereichsten Neutrinos erzeugt.
Der erste Schritt ist der schwerste, p (p, β + ν) D, bei ihm ist die schwache Wechselwirkung involviert.
Der Wirkungsquerschnitt der schwachen Wechselwirkung ist etwa für Elektron-Neutrino-Streuung
σ = G2F E2 h4 �
E
= 10−44
c4 mec2 �2
cm 2
(8.121)
wobei E die Energie des Neutrinos und GF die Fermi-Kopplungskonstante ist. Für die pp-Reaktion im
Innern der Sonne, wo ein Deuteron gebildet wird, reduziert sich das (Überlappintegral, E < 0.5 MeV)
auf σ = 10−45cm2 . Die Energiedifferenz beträgt nur
�
2m(H) − m(D) − m(e + ) �
c 2 = 0.93 MeV
Als grobe Abschätzung nehmen wir folgenes an: Neutrino und Positron erhalten maximal etwa gleich
viel Energie, also Eν ≈ 0.46 MeV. Bezogen auf den Gesamtprozeß sind das 0.93 MeV von Q = 26.7
MeV insgesamt, damit geht etwa maximal η ≈ 1/27 der Energie in Form von Neutrinos verloren.
Die genauere Analyse berücksichtigt, daß das Positron im Feld des Protons erzeugt wird: die Werte
sind dann Eν ≈ 0.42 MeV maximal, Eν ≈ 0.263 MeV im Mittel und η ≈ 1/50. Der Beitrag der
Neutrinokühlung ist für die Sonne unwichtig.
Klassisch reicht die thermische Energie der Protonen nicht aus, um die Coulombbarriere des anderen
Reaktionspartners (Proton oder He) zu überwinden. Quantenmechanisch geht das mit Hilfe des
Tunneleffekts. Die Tunnelwahrscheinlichkeit Pt ist
Pt = e −Wt mit Wt =
2πZ1Z2e 2
¯hv
wobei v die Relativgeschwindigkeit ist. Um die Fusionsrate zu erhalten, muß man über die (Maxwell)
Geschwindigkeitsverteilung f(v) mitteln, s. Glchg. (8.109):
R =
�∞
0
Der Integrand ist proportional zu
�
g(v) = v 3 exp
f(v) dv n v σ e −Wt (8.122)
−
2πZ1Z2e 2
¯hv
− mv2
�
2kT
wobei m die reduzierte Masse ist. Das Integral kann mit der Sattelpunktsmethode ausgewertet werden:
die Funktion g(v) hat ihr Minimum bei
v =
� 4π 2 Z1Z2e 2 kT
hm
� 1/3
Der Exponentialfaktor im Ausdruck für die Reaktionsrate wird dann nach Integration
wenn wir
e −τ mit τ =
To =
definieren.
� 3
2
� �1/3
To
T
�3 � 2πe 2 Z1Z2
h
� 2 m
k = 8 · 1010 K (8.123)

8.2. STERNAUFBAU 403
Für einen Stern wie die Sonne mit der Zentraltemperatur Tc = 1.5·10 7 K liefert das einen Tunnelfaktor
von e −τ ≈ 10 −8.5 und τ ≈ 18 und für die Reaktionsrate im pp-Kette erhält man R = 10 −10 y −1 .
Insgesamt sieht die Bilanz wie folgt aus, wenn wir mit Q die in Wärme umgesetzte Energie bezeichnen.
Die ersten 2 Reaktionen laufen jeweils zweimal ab, sodaß insgesamt etwa Q = 26.2 MeV an Wärme
freigesetzt werden, der Rest geht durch Neutrinos verloren.
Das relative Anzahlverhältnis von H zu D bestimmen wir aus Glchg. (8.113) und Glchg. (8.118) bzw.
der anschließenden Tabelle.
˙YD = Y 2
p
R(1)
2 − YD YHe R(2)
Die beiden Reaktionsraten Rpp, Index (1) und RD, Index (2), unterscheiden sich um 16.5 Zehnerpotenzen:
R(2)/R(1) = 2·10 16 und das relative Anzahlverhältnis von H zu D ist im stationären Gleichgewicht,
wo ˙ YD = 0 gilt,
YD
Yp
R(1)
= Yp
2R(2)
≈ 10 −17
Deuterium wird also im Innern von Sternen praktisch vollständig vernichtet. Eventuell gefundenes
interstellares oder intergalaktisches Deuterium muß kosmologischen Urpsrungs sein.
Für die Energieerzeugungsrate erhalten wir
˙ɛ(ρ, T ) = 2.81 · 10 6 ρX 2 Hy 2 e −38.8y F(x) erg g −1 s −1
dabei haben wir zur Abkürzung
y = T −1/3
6 x = T6 F(x) = 1 + 1.23 · 10 −2 x 1/3 + 1.09 · 10 −2 x 2/3 + 9.38 · 10 −4 x
gesetzt.
Für 3 He, welches wir zur Abkürzung wieder mit τ bezeichnen wollen, gilt entsprechend
˙Yτ = −Y 2
τ R(3) + YD Yp R(2)
diesmal ohne den Faktor 1/2, da die Reaktion Index 2 zweimal durchlaufen werden muß. Das relative
Anzahlverhältnis von 3He zu H ist im stationären Gleichgewicht, wo ˙ Yτ = ˙ YD = 0 gilt,
�
�
Yτ �
= � YpR(1)
≈ 10 −3
Yp
2R(3)
• FORMELN (SALAM-WEINBERG)
Für niederenergetische Prozesse, E ≪ mW c 2 , liefert die SW–Theorie den phänomenologischen V − A Strom–Strom
Hamilton-Operator (wobei es sich praktisch eine von Fermi zuerst vorgeschlagene Kontakt-Wechselwirkung handelt)
HF = GF
√2 J ‡ J (8.124)
und es gilt für die Fermi-Kopplungskonstante
GF =
α¯h 3
4 √ 2(mW sin ΘW ) 2 = 1.43 × 10−49
c
erg cm 3
(8.125)
Die Größe ΘW heißt Weinberg Winkel.
Den Wirkungsquerschnitt σ für die Streuung eines Elektrons mit Energie Ee an einem Neutrino der Energie Eν bestimmen
wir wie folgt. Wir definieren
σ0 = 4
π
�
mec
� �
4 GF
¯h mec2 �2 = 1.76 × 10 −44
cm 2

404 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
was man auch – in Analogie zur Elektro Dynamik mit rw : klass. W–Boson Radius – schreiben kann als
σ � σT h(me/mW ) 4 � r 2 w(me/mW ) 2
Der Reduktionsfaktor (me/mW ) 2 , der hier aus Dimensionsgründen auftritt, stammt von der Kurzreichweitgkeit der Wechselwirkung
her: das Coulompotential hat Reichweite r = ∞, die schwache Wechselwirkung hat Reichweite r ± 0. Bei
entarteten Elektronen ist das Ergebnis noch mit dem Phasenraumfaktor (Eν/(Ee + mec 2 ) zu multiplizieren. Wir erhalten
dann
σ = σT h
� me
mW
�4 �
Eν
mec2 � �
Eν
Ee + mec2 �
(8.126)
dabei steht σT h für den Thomson Streuquerschnitt, σT h = 6.7 × 10 −25 cm 2 , und die Reduktion (me/mW ) 4 im Vorfaktor
berücksichtigt die größere Masse (bzw. die kleinere Reichweite) der Wechselwirkung. Für niederenergetische Prozesse
folgt daraus die Standardformel (8.121).
Der C-N-O Zyklus
Alternativ läuft in der Sonne der Bethe-Weizsäcker Zyklus (mit 10% Beitrag zur Energieerzeugung)
ab:
Fusions − Reaktion 1/Rate Q[MeV] (ν)
12 C (p γ) 13 N 10 6 yr 1.95 (−)
13 N (e + ν) 13 C 1.50 (0.7)
13 C (p γ) 14 N 10 5.5 yr 7.54 (−)
14 N (p γ) 15 O 10 8.5 yr 7.35 (−)
15 O (e + ν) 15 N 1.73 (1.0)
15 N (p α) 12 C 10 4 yr 4.96 (−)
Die Fusionsbilanz lautet (in beiden Fällen):
4p → He + 2β +
(8.127)
allerdigs im Vergleich zur pp-Kette mit einer Wärmetönung von Q(γ) = 25.03 MeV und Energieverlust
durch Neutrinos von Q(ν) = 1.7 MeV.
Für die Energieerzeugungsrate des C-N-O Zyklus erhalten wir
˙ɛ(ρ, T ) = 8.71 · 10 27 ρXHXCNOy 2 e −152.28y F(x) erg g −1 s −1
dabei haben wir zur Abkürzung
F(x) = 1 + 2.7 · 10 −2 x 1/3 − 7.78 · 10 −3 x 2/3 − 1.49 · 10 −4 x
+2.61 · 10 −5 x 4/3 + 1.27 · 10 −6 x 5/3
gesetzt.
Obwohl mit t = 4 · 10 8 Jahren die Reaktionszeit für den C-N-O Zyklus 25mal kürzer ist als die der
pp-Kette, macht die Energieerzeugungsrate bei der Sonne ˙ɛ(ρ,T) nur 10% aus, da die rel. Teilchenzahl
Häufigkeit von C-N-O nur etwa 10 −3 beträgt (rel. Massen - Häufigkeit X(CNO)/X(H) = 0.02).
Im C-N-O Zyklus werden Isotope erzeugt, z.B. in Glchg (8.127):
12 C (p, β + ν) 13 C
die später wichtig werden für die Erzeugung freier Neutronen.

8.2. STERNAUFBAU 405
8.2.5 Sonnen-Neutrinos
Vollständig geschrieben lautet die Fusions Bilanz
4p → α + 2β + + 2νe ; Qtot = 26.5 MeV
woraus ersichtlich wird, daß in jedem Fall die schwache Wechselwirkung involviert ist. Neutrinos
müssen erzeugt werden, um den Erhaltungssatz der Leptonenzahl zu garantieren. Die bei der Fusion
freigesetzte Energie beträgt pro beteiligtem Nukleon
f = Qtot
A
f
= 6.625 MeV ; δ = = 7 · 10−3
Ampc2 wobei δ = 0.7% der Massendefekt ist. Welche Energie Positron und Neutrino jeweils erhalten, kann
allerdings nur die Theorie beantworten. Die Hauptreaktion ist
2p → d + β + + νe ; Q = 1.44 MeV
Die bei der Fusion gewonnene Energie ist der Massendefekt zwischen Deuteron und 2 Protonen, Q =
1.44 MeV. Davon ist abzuziehen die potentielle Energie des Positrons, Epot ≈ 1 MeV, im Feld des
Deuterons. Dieser letzte Beitrag ist unsicher. Es verbleiben etwa 0.52 MeV, die auf beide Teilchen
gleich verteilt werden, also 0.26 MeV für das Neutrino. Da die pp-Reaktion zweimal durchlaufen
wird, werden etwa 2.6% der Fusionsenergie in Form von Neutrinos abgestrahlt. Genauere Rechnungen
ergeben, daß insgesamt etwa 3% der Sonnenleuchtkraft durch Neutrinos abgestrahlt werden sollten,
davon auch hochenergetische über Nebenzweige.
In der Sonne werden etwa ˙ Nν = 1.8 · 10 38 s −1 Neutrinos erzeugt. Man erwartet einen Neutrinofluß
von 6.4·10 10 cm −2 s −1 aus der p-p-Reaktion, während für die energiereichsten Neutrinos der Fluß um 5
Zehnerpotenzen kleiner ist. Diese Neutrinostrahlung der Sonne (s.u.) sollte messbar sein. Dazu laufen
zur Zeit 4 Experimente, weitere sind in der Planung bzw. fast fertiggestellt:
1. Das Chlorexperiment. Energieschwelle von 0.8 MeV.
Seit mehr als 25 Jahren versucht Davis mit etwa 600 Tonnen Tetrachloräthylen (in der Homestake
Mine, USA) Neutrinos nachzuweisen. Sein Ergebnis von fν = 2.55 ± 0.25 SNU widerspricht
der theoretischen Vorhersage von 8 SNUs.
2. KAMIOKANDE. Energieschwelle von 8 MeV.
In 680 Tonnen reinstem Wasser (im einer Mine in den Japanischen Alpen) werden Cerenkov-
Detektoren zum Nachweis relativistischer Elektronen, e + ν → e + ν, benutzt. Ergebnis (nach >
1000 Tagen) fν(obs)/fν(theor) = 0.46. Nimmt man hingegen das Davis Experiment als Grundlage
einer Extrapolation, dann heißt das fν(obs)/fν(extrap Davis) = 1.6.
3. SAGE (im Kaukasus in Russland). Energieschwelle von 0.2 MeV.
Ergebnis fν = 74 ± 14 SNU, erwartet 137 SNU.
4. GALLEX (im Gran Sasso Tunnel, Italien). Energieschwelle von 0.2 MeV.
Ergebnis fν = 79 ± 12 SNU.
Drei der vier Detektoren benutzen radiochemische Methoden: Umwandlung und Extraktion chemischer
Elemente. Sie sprechen spezifisch auf Elektron Neutrinos an. Das KAMIOKANDE Gerät ist ein
echter astronomischer Detektor mit Richtungsabhängigkeit, Zeitauflösung und dem direkten Nachweis
der Energie der Neutrinos.
• LITERATUR (NEUTRINOS)
J.N. Bahcall et al., Progress and prospects in neutrino astrophysics, Nature 375, 29 (1995)

406 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
Das Chlorexperiment
Der Nachweis geht über die endotherme Reaktion (negatives Vorzeichen von Q)
37
17Cl (νe, β − ) 37
18Ar Q = −0.814 MeV (8.128)
wobei das (radioaktive) Argon aus 380 000 Litern (= 610 Tonnen) einer Reinigungsflüssigkeit (Tetrachloräthylen
C2Cl4) extrahiert werden muß. Das Argon wandelt sich anschließend wieder in Cl um
(K-Einfang):
37
18Ar (β − , νe) 37
17Cl (8.129)
• ANMERKUNG
Wegen der Energieschwelle von 0.814 MeV kommt praktisch nur der pp3 Nebenzweig des pp-Zyklus zum Nachweis in
Frage:
3 He (α, γ) 7 Be(p, γ) 8 B(β + , ν) 8∗ Be(α) 4 He mit Eν ≤ 15.1 MeV
Nur 0.015% der Gesamtrate über diesen Zweig kann nachgewiesen werden.
Die Gesamtzahl nachgewiesener Neutino Reaktionen Nr ist dann für einen Fluß φ in der Zeit t (<
Halbwertszeit von Ar, t1/2 = 35 Tage) für NCl Targetatome (etwa 10 31 ) bei einem Wirkungsquerschnitt
σ:
Nr = φ t NCl σ
Für die Größe φσ hat man die Einheit SNU, solar neutrinoflux unit, gewählt: 1SNU = 10 −36 Neutrino
Reaktionen per Targetatom per Sekunde (1 Argonatom pro Tag). Bisher beträgt die Rate etwa 2.55
SNU statt der erwarteten 7.9 ± 2.6 SNU.
Das Chlorexperiment wird ergänzt durch das analoge Iridiumexperiment:
127 Ir (β − , νe) 127 Xe
welches höhere Zählraten liefern soll.
KAMIOKANDE
Nachgewiesen werden Neutrinos aus der pp3-Kette.
7 Be (β − , γ) 7 Li(p, α) 4 He
in (mittlerweile 50 000 Tonnen reinem Wasser über den Cerenkov Effekt.
Die Galliumexperimente
Alternativ zu Chlor kann man Gallium als Detektormaterial verwenden, mit der Nachweisreaktion:
71 Ga (ν, β − ) 71 Ge Q = −0.23 MeV (8.130)
Das SAGE (Soviet American Gallium) Experiment benutzt 60 Tonnen (flüssiges metallisches Gallium),
das GALLEX (beteiligte Nationen: D, F, I, USA, Israel) 30 Tonnen Galliumchlorid.
Ewartet werden 132 SNUs, was einer Rate von 20 Ge Atomen in 5 Monaten bei 30 Tonnen Ga entspricht
(also 1 po 11 Tage, der Zerfallszeit von Ge).

8.3. ENTWICKLUNG DER SONNE 407
Status der Experimente
Bisher wurden systematisch zu wenige Neutrinos gefunden. Als Erklärung wird diskutiert: Oszillationen
massiver Neutrinos. Der Mikheyev-Smirnov-Wolfenstein Effekt liefert im Innern der Sonne eine
Umwandlung der Elektron-Neutrinos in Tau- bzw. Myon-Neutrinos. Diese werden im Experiment
nicht nachgewiesen. Damit das möglich ist müßen alle Neutrinosorten massiv sein. Die experimentellen
Daten fordern eine Massendifferenz, ∆m < 10 −3eV , zwischen Elektron– und Myon–Neutrino.
Über die absolute Masse liefern die Experimente keine Aussage.
Experimente der Zukunft
Das Sudbury Neutrino Observatorium (SNO) in Canada (Ontario) befindet sich in einer besonders tief
gelegenen Nickel Mine und benutzt Schwerwasser zum Nachweis
d + νe → p + p + e (8.131)
d + νx → p + n + νx
(8.132)
Die Energieschwelle ist 5 MeV.
Gleiches gilt für Super-KAMIOKANDE, das Nachfolge Gerät zu KAMIOKANDE, mit 50 000 Tonnen
ultra reinem Wasser. Die erwartete Zählrate beträgt 10 pro Tag, eine 30fache Steigerung der bisherigen
Empfindlichkeit.
8.3 Entwicklung der Sonne
• DEFINITION (CHEMISCHE ZUSAMMENSETZUNG DER INTERSTELLAREN MATERIE)
Zum Nachschlagen:
Mit Yi bezeichnen wir das Teilchenzahl - Verhältnis der Spezies i = H, He, Metalle bezogen auf die Gesamt - Teilchenzahl
N im Volumen V der interstellaren Materie (ISM).
Yi = Ni
=
Ntot
ni
ntot
(8.133)
und mit Xi entsprechend das Massen - Verhältnis der Spezies i
Beispiele:
Xi = ρi
ρtot
(8.135)
Metalle �
i=H,He
Metalle �
i=H,He
1. Das primordiale Verhältnis (Urknallmaterie) ist:
XH = 0.75, XHe = 0.25, XMetalle = 0. Letzterem entspricht YHe = 0.08.
2. In den Wolken unserer Galaxie gilt:
XH = 0.63, XHe = 0.35, XMetalle = 0.01 und XStaub = 0.01.
3. Die Sonnenphotosphäre hat: XH = 0.69, XHe = 0.29, XMetalle = 0.02.
Yi = 1 (8.134)
Xi = 1 (8.136)
Strahlung in der ISM:
1 µ = 1 Mikrometer = 10 −4 cm. Wiensches Gesetz: T3λ−4 = 2.9.
Der Gesamtdruck im Stern ist die Summe aus dem kinetischen Druck der Teilchen Pkin und dem Druck der Photonen
Pphot:
P = ρ
˜µmH
kT + a 4
T
3
wobei ˜µ das mittlere Molekulargewicht ist. Die innere Energie ist
U = 3
2 Pkin + 3Pphot = 3ρ
kT + aT
2˜µmH
4
Energien (zum Umrechnen 1eV = 10 4 K):
(8.137)

408 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
1. Staub: Eevap = 0.1 eV
2. H2 : Edis = 4.5 eV
3. H : Edis = 13.6 eV
4. He : Edis = 24.6 + 54.4 = 79 eV
Leuchtkraft von Staub, L, optisch dünner Fall:
1. D : Efus = 0.1 KeV
2. C : Efus = 0.5 KeV
3. pp : Efus = 1 KeV
4. CNO: Efus = 2 KeV
LStaub = (nHV YStaub)(σT 4 Staub) (8.138)
8.3.1 Vorbemerkungen
Heute werden (in unserer Galaxie) Sterne hauptsächlich in dichten Wolken geboren, welche aus Material
bestehen, welches selbst wieder in Sternen gekocht wurde. Wie wir aus Beobachtungen von
Molekülwolken wissen, ist das Hauptausgangsmaterial heute in unserer Galaxie Wasserstoff, H, und
Helium, He, mit einer Beimischung von schwereren Elementen, wie C, N, O mit etwa jeweils 10 −3
Massenanteil und mit bis zu 1% Staub. Die numerische kosmische Häufigkeit von Fe und Si beträgt
etwa 3·10 −5 , was einer Massenhäufigkeit von ebenfalls etwa 1:1000 entspricht.
Typische Werte (in den Wolken unserer Galaxie) sind:
XH = 0.63, XHe = 0.35, XMetalle = 0.01 und XStaub = 0.01.
Insgesamt beläuft sich damit der Anteil der Metalle (nach Verdampfen des Staubs bei Bildung des
Sterns) also auf 2%, was in etwa auf das Ausgangsmaterial der Sonne (Kometen und Photosphäre)
zutrifft. Auf die Masse bezogen enthält der Staub ebenso viel Materie wie alle Moleküle mit Metallen
(also bis auf H2).
Der Wasserstoff in Molekülwolken ist praktisch vollständig im molekularen Zustand, wie man aus dem
Fehlen der 21-cm Linie schließen kann. CO ist mit Edis = 11.1 eV (und Eel = 11.3 eV) Bindungsenergie
das stabilste (und wahrscheinlich deshalb nach H2 das häufigste Molekül. Der numerische Anteil
beträgt [CO]/[H2] ≈ 8 · 10 −5 . Moleküle (mit permanentem Dipolmoment wie CO und H2O) sind wichtig
zum Kühlen, wenn der Staub verdampft ist und bei niedrigen Temperaturen (da Staub proportional
zu T 4 kühlt).
• BEISPIEL (ORION)
Eine genauere Analyse an der Orion Molekülwolke (C. Kramer 1992, 2001) hat folgendes Bild ergeben. Das Wolkenmaterial
ist stark geklumpt (und damit ist sogar C 13 O optisch dick). In der Sternentstehungsregion NGC 2024 in Orion B ist
ungefähr ein Drittel molekularer Kohlenstoff (in Form vom Hauptisotopomer 12 C 16 O), ein Drittel ist C und C + und ein
Drittel Staub.
Zur Untersuchung von Molekülwolken benutzt man (das dann noch optisch dünne, 67mal seltenere) 13 CO, in dichten
Wolkenkernen benutzt man die seltenen C 18 O, CS oder NH3. Es gilt etwa
[ 13 CO]/[C 18 O] ≈ 10 ; [ 12 C 16 O]/[C 18 O] ≈ 500
und für Ammoniak ist das numerische Verhältnis zu CO etwa 10 3 . Bei massiven Wolken wie Orion erhält man für die
selteneren Moleküle etwa eine Jupitermasse.
Für Orion gilt die empirische Relation
N(H2) = 4.7 · 10 5 N( 13 CO)
für die Säulendichte N (vom optisch dünnen Isotopomer 13 CO).
Die Lebensdauer auch der massivsten Wolken beträgt nur wenige zig Millionen Jahre, es handelt sich
also um astronomisch junge Gebilde. Wie die kalten Gaswolken (T = 10 o K) mit Dichten von einigen
10 2 bis 10 7 cm −3 selbst entstehen und in so kurzer Zeit kühlen ist nicht klar. Da in ihnen Wasserstoff
hauptsächlich in Form von Molekülen vorkommt, trägt die Hauptmasse der Wolke nicht zur Kühlung

8.3. ENTWICKLUNG DER SONNE 409
bei. Gleiches gilt für das atomare He. Solche Verdichtungen sind wahrscheinlich durch Stöße von
Wolken miteinander oder durch Schockwellen massiver Sterne in den Spiralarmen entstanden, gekühlt
werden sie durch Staub, der selbst wieder in massiven Sternen erzeugt wird und in Form eines Sternwindes
an die ISM abgegeben wird.
Wie Sternentstehung in den Wolken iniziiert wird ist ebenfalls unklar. Falls einmal ein Anfang gemacht
ist, kann Sternentstehung durch bereits entstandene Sterne getriggert werden. Zunächst kühlt ein marginal
stabiler Wolkenklumpen durch Staub so stark ab, bis der Klumpen im freien Fall kollabiert, der
Druck spielt (wegen der Kühlung durch Staub) dabei keine Rolle. Die Zeitskala ist tff = 5 · 107 n −1/2
H
GM 2
yr. Die gewonnene Gravitations - Energie beträgt am Ende (R = R⊙) etwa U = R = 4 · 1048 erg.
In der Anfangsphase beträgt die Leuchtkraft damit L = U/tff weniger als die heutige Leuchtkraft der
Sonne, L⊙ = 3.9 · 1033 erg s−1 , zwischenzeitlich werden mehr als 100L⊙ erreicht.
Die Kontraktion wird beim Radius R gestoppt, wenn die Gaskugel für Staub im IR optisch undurchsichtig
wird, τopt = 1. Einer Massenhäufigkeit von XStaub = 0.01 entspricht eine numerische Häufigkeit
von YStaub = 10−13 . Der Radius s eines Staubkorns liegt zwischen einigen 0.1 bis zu 1 µ. Streuung
und Absorption können mit der Mieschen Theorie modellmäßig behandelt werden, die Unsicherheiten
sind allerdings groß. Wir übernehmen als Ergebnis den geometrischen Querschnitt, korrigiert für die
Wellenlängenabhängigkeit (ähnlich der Rayleigh Streuung):
σStaub = πs 2
� 4
�
s
λ
; λ > s (8.139)
πs 2
; λ < s
Damit wird optische Strahlung vollständig absorbiert und bei größeren Wellenlängen wieder abgestrahlt
(mit Entropievergrößerung!).
Die Emission, d. h. die Leuchtkraft von Staub, L, ist im optisch dünnen Fall gegeben durch die Summe,
NStaub = nV YStaub, aller Einzelstrahler im Volumen V . Ein Staubkorn strahlt genähert wie ein
Planckscher Strahler, l = 4πs 2 σT 4 .
4π
LStaub = (nYStaub
3 R3 )(4πs 2 σT 4 Staub) < 4πR 2 σT 4 Staub
(8.140)
Die Leuchtkraft L aus dem Volumen V = (4π/3)R 3 ist dabei begrenzt durch die Strahlungsformel für
den schwarzen Körper (der optisch dicke Fall).
Wir beginnen mit T = 10K, n = 10 2 cm −3 und R = 1 Parsec. Die optische Tiefe
τopt = nHYStaubσStaubR
beträgt dann nur τopt = 10 −10 . Bei der Kompression skaliert nR wie R −2 . Das Medium wird also bei
der Kompression optisch dicker. Es wird undurchsichtig, τopt = 1, bei einer Kompression von 10 5 .
Der Radius ist mit R = 3 · 10 13 cm doppelt so groß wie die Erdbahn. Da zunächst nur das Innere
undurchsichtig ist, wird dieses aufgeheizt, die äusseren Schichten bleiben kalt.
Die weitere Kontraktion verläuft im Innern mit der Helmholtz-Kelvin Zeitskala, d. h. bei konstanter
Leuchtkraft
τHK = E
L
= GM 2
2RL
(8.141)
während außen der Kollaps fortschreitet, wobei die Kühlung so lange hauptsächlich durch Staub bewirkt
wird, wie dieser noch nicht verdampft ist (T = 1000 K). Die Materie wird inhomogen. Nacheinander
wird nun Wasserstoff dissoziiert (ab T = 2000 K), ionisiert (ab T = 1 · 10 5 K) und schließlich
wird Helium ionisiert. Diese Phasen sind instabil, es erfolgt jeweils ein Kollaps.

410 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
Wenn die Temperatur im Innern etwa 5 · 10 5 K erreicht hat zündet der Protostern erstmals: alles, was an
1. Deuterium (ab 0.5 · 10 6 K)
D (p, γ) 3 He
2. Kohlenstoff (ab 1 · 10 6 K)
12 C (p, γ) 13 N (e + ν) 13 C (p, γ) 14 N
3. Lithium (ab 3 · 10 6 K)
Li (p, γ) 4 He + 4 He
im Ausgangsmaterial vorhanden ist, wird verbrannt. Der Stern ist voll konvektiv, evtl. sogar explosiv.
Kohlenstoff kann später im C-N-O Zyklus wiederhergestellt werden (auf Kosten von N und O), Lithium
nicht.
Realistische Rechnungen hierzu wurden erstmals von Hayashi durchgeführt. In seinem Modell geht das
ganze mit Schockwellen einher: die Schockwelle läuft nach außen und heizt dabei die äußeren Bereiche
des Sterns auf, sodaß der Wasserstoff dissoziiert und ionisiert wird (erreichte Temperatur T > 10 5 K).
Dies wird als ’core bouncing’ bezeichnet. Im Zentrum sitzt jetzt ein akkretierender Protostern. Dieser
ist konvektiv.
Wenn die Temperatur im Innern etwa 10 7 K erreicht hat, zündet der Protostern das Wasserstoffbrennen
und wird zu einem sog. Embryostern. Fällt auf den Stern von außen keine Materie mehr herunter, so
wird er zu einem Hauptreihenstern, einem Stern, der H zu He verbrennt.
• ANMERKUNG (T TAURI STERNE)
Zwischen Embryostern und voll ausgebildetem Hauptreihenstern liegt die Phase der T Tauri Sterne. Dies sind eruptive
Veränderliche (Zeitskala für einen Ausbruch etwa 50 Tage), die nur in Molekülwolken und dorts stets in Assoziationen
(also mit vielen ähnlichen Objekten) vorkommen. Das Alter beträgt etwa 1 Myr. Im HR Diagramm liegen die T Tauri
Sterne etwa 3 m oberhalb der Hauptreihe (im HR- Diagramm).
Auf der Hauptreihe verbleibt der Stern bis etwa 12% seines Wasserstoffvorrats aufgebraucht sind. Für
die Sonne sind das etwa 9 Gyr, wovon die Hälfte um sind.
8.3.2 Protosterne
Von der Fragmentierung einer Wolke bis zum Zünden des Wasserstoffbrennens im Innern des Sterns,
werden verschiedene Phasen durchlaufen. Neben der Masse spielen dabei Drehimpuls und Magnetfeld
eine zentrale Rolle, die wir hier zunächst ignorieren.
• ANMERKUNG (STABILITÄTSÜBERLEGUNGEN)
Eine Gaswolke wird instabil, falls die Gravitationsenergie Egrav ≈ −GM 2 R −1 die thermische Energie Ekin ≈ NkT
übersteigt.
|Egrav| ≈
2 GM
> NkT ≈ Ekin
R
Für eine Wolke mit vorgegebener Masse und mit Dichte ρ = mn gibt es damit stets einen Radius, RJ, unterhalb dessen
das Gas instabil bezüglich Klumpung wird. Je nachdem, ob der Druck Pext = P (R) an der Oberfläche verschwindet oder
nicht, erhält man leicht unterschiedliche Kriterien.
Das Jeans–Kriterium
Aus dem Virialsatz Egrav + 2Ekin = 0, oder
−GM 2
+ NkT = 0 (8.142)
R

8.3. ENTWICKLUNG DER SONNE 411
folgt (mit M = ˜µmHN) für die Jeanslänge (d. h. für den Jeans Radius RJ)
� �1/2 15kT
RJ =
4πG˜µmHρ
(8.143)
Die hier (implizit) auftretende Größe kT/m ist i. w. das Quadrat der Schallgeschwindigkeit. Dies kann man auch so
interpretieren: geht man von konstanter Masse und Temperatur aus, dann gibt stets es einen kritischen Radius (den Jeans
Radius RJ) bei dessen Unterschreitung das Gas instabil wird. Die dazu gehörende kritische Masse (die Jeans Masse MJ)
ist gegeben durch
� �1/2 � �3/2 1 kT
MJ ≈
ρ G
Zum Vergleich einige Beispiele für Gas in unserer Galaxis:
1. Interstellares Medium: T � 10000 K, n � 1 cm −3
MJ = 10 7 M⊙ und RJ = 500 pc
2. Medium der Spiralarme: T � 100 K, n � 100 cm −3
MJ = 3 · 10 3 M⊙ und RJ = 4 pc
3. Dunkelwolke: T � 10 K, n � 1000 cm −3
MJ = 10M⊙ und RJ = 1 pc
4. Protostern: T � 10 K, n � 10 7 cm −3 , ρ � 10 −17 g cm −3
MJ = 1M⊙ und RJ = 0.1 pc
Das Ebert-Bonnor–Kriterium
Falls der Druck Pext = P (R) an der Oberfläche nicht mehr verschwindet, dann lautet dem Virialsatz Egrav + 2Ekin =
4πR 3 Pext, oder
−GM 2
R + NkT = 4πR3 Pext (8.144)
Falls also der Stern in einem Medium sitzt, das auf ihn drückt, dann setzt Instabilität bereits ein, falls:
Pext = 1.1G −3 M −2 (kT/m) 4
V = 0.22(GmM/kT ) 3
(8.145)
(8.146)
3. Das Hoyle-Rees Stabilitätskriterium für Fraktionierung
Dies ist ein dynamisches Kriterium, welches zwei Leuchtkräfte vergleicht: die beim Kollaps freigesetzte Gravitationsenergierate
2 GM
Lgrav ≈
R (Gρ)1/2 ≈ G3/2 M 5/2
R 5/2
und die maximale von Staub, L, optisch dicker Fall (T = T 4 Staub ):
(8.147)
LStaub = f(4πR 2 )(σT 4 ) ; f ≪ 1 (8.148)
Gleichsetzen der beiden Leuchtkräfte liefert eine kritische Masse
� �1/5
3 64π
Mrad =
3 f 2 (σT 4 ) 2R9 G3 (8.149)
Die Fragmentierung stoppt, falls diese Masse stabil ist, d. h. kleiner als die Jeans Masse MJ. Wir setzen also Mrad = MJ
und eliminieren R vermittels 4πρR 3 = 3M (nicht R = RJ). Das liefert die untere Grenzmasse für Fragmentierung, Mfrak
In Zahlen
Mfrak =
� π 9
9
�1/4
1
(σG3 −1/2
f
) 1/2
Mfrak = 0.02M⊙f −1/2 T 1/4
� �9/4 ρk
T
m
1/4
(8.150)
(8.151)

412 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
Die Kollapsphase
Allen Sternen gemeinsam ist eine anfängliche Kollapsphase. Ob die Bedingungen dafür vorliegen,
kann mit dem Jeans–Kriterium überprüft werden. Dabei ist in einfachster Näherung die Bewegungsgleichung
für den freien Fall im Eigenfeld
¨r = a = − Gm(r0)
r 2
(8.152)
zu lösen. Die Bewegung ist eine homologe Kontraktion: r(t) = f(t)r0, die Dichte bleibt homogen und
die Masse m(r) = m(r0) ist konstant. Dabei ist m(r0) die Masse innerhalb des Radius r(0) = r0 zum
Zeitpunkt t = 0 ist. Die Lösung ist eine Zykloide und lautet in Parameterform für verschwindende
Startgeschwindigkeit ˙r0 = 0
cos 2 ζ = f(t) ; ζ + 1
�
sin 2ζ =
2
8πGρ
t
3
(8.153)
wobei an der Dichte der Index weggelassen wurde: ρ = ρ0 = const. Nach ζ = π ist die Masse
2
kollabiert, die Zeit für diesen freien Fall im Eigenfeld beträgt (bis in die Singularität)
�
3π
tff =
32Gρ
(8.154)
Für die Sonne wählen wir zur Illustration obige Anfangswerte einer Dunkelwolke (mit anschließender
Bildung eines Protosterns nach der Fragmentierung).
Anfangsdichte: ρ ≈ 10 −22 g cm −3 ; Masse: MJ = 10M⊙ ;
Radius: R = 1 pc ; freie-Fall-Zeit: tff = 10 Myr.
Dieser Kollaps setzt nach dem Virialsatz etwa die Hälfte an gravischer Energie frei, die in kinetische
Energie geht, falls sie nicht abgestrahlt werden kann. Die andere Hälfte geht in innere Energie.
Anfänglich ist das reine thermische Energie, d. h. das Gas wird erwärmt.
Es folgen das Verdampfen des Staubs, die Dissoziation der Moleküle und die Ionisierung des Gases.
Letztere Prozesse können das Erwärmen des Gases verzögern.
• FORMELN (ZUM UM- UND NACHRECHNEN)
1 eV = 11605 K; Q Wärmetönung; I: Q in eV
e −Q/kT = 10 −I5040/T
Die thermische de Broglie Wellenlänge
λdB =
� h 2
2πmkT
beträgt für Wasserstoff, λH
(8.155)
λH = 1 · 10 −10 T −1/2
4 cm. (8.156)
Für hohe Temperaturen liefert die Bedingung für das chemische Gleichgewicht für die Dissoziation von H2 (relativistisch,
zum merken: Q = c 2 (2mH − mH2 ))
H2 ⇐⇒ H + H ; Q = 4.5 eV (8.157) µH2 = 2µH + Q (8.158)

8.3. ENTWICKLUNG DER SONNE 413
mit (nichtrelativistisch)
e −βµ = 1
N Ztrans · Zrot · Zvib · Zel = 1
nλ
Wir ignorieren die inneren Anregungen, Z ′ = 1, und erhalten die Saha Formel in der Form
nH2 =
�
h 2
2πmHkT
�3/2
n 2 H e Q/kT
3 Z′
(8.159)
(8.160)
Ausgehend von tiefen Temperaturen, wo praktisch alles in molekularer Form ist, n = nH2 , setzen wir für den Dissoziationsgrad
x = nH/n. Zu lösen ist dann die Gleichung
x 2 = (nλ 3 )e Q/kT
Für T = 1000K liefert das mit I = 4.5 eV
x = n10 −18 ≪ 1
d. h. x = (nλ 3 ) 1/2 10 I·5040/2T
Analoge Überlegungen gelten für die Ionisation.
Die Kontraktionsphase
Die Kontraktion verläuft im Innern mit der Helmholtz-Kelvin Zeitskala
τHK = E
L
= GM 2
2RL
(8.161)
für die Sonne sind das etwa τ = 2 Myr, bei einer Anfangsleuchtkraft von L = 100L⊙ und einer
Temperatur von T = 2300K und einem Radius von R = 60R⊙. Wie erstmals von Hayashi anhand
umfangreicher Rechnungen gefunden wurde, verläuft die Kontraktionsphase mit voll konvektivem H-
Brennen im HR- Diagramm fast parallel zur Ordinatenachse (also bei konstantem T ).
Allgemein kann man folgende Relation ableiten für die Hayashi-Linie
Teff = 2 · 10 3
� �0.194 � �0.058 M R
M⊙ R⊙
(8.162)
Als Annahme geht ein, daß das Innere durch eine Polytrope zum Index 5/3 beschrieben werden kann.
An diese wird eine graue Atmosphäre mit realistischer Opazität angeschlossen. Diese bestimmt die
maximal mögliche Leuchtkraft. Für massearme Sterne wie die Sonne wird die Opazität ganz wesentlich
durch Spurenelemente wie Na (um Elektronen zu erhalten) und durch ein Radikal (H − ) bestimmt. Die
Opazität ist dann von der Form
k = k0ρ a T b
; a = 1 ; b > 6
d. h. extrem temperaturabhängig (Saha Formel der Ionisation). Quasi statische, voll konvektive Sterne,
d. h. Sterne auf der Hayashi-Linie, haben für gegebene Masse die maximal mögliche Leuchtkraft, wird
diese überschritten kann der Stern nur noch reagieren indem er dynamisch wird.
Nach etwa 10 Myr ist die Kontraktionsphase mit dem Ausbilden eines H-He Kerns beendet. Dabei
nimmt die Leuchtkraft, L ∝ R 2 T 4 eff, mit schrumpfendem Radius stark ab.

414 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
8.3.3 Die Ursonne
Die chemische Zusammensetzung der Sonne heute zeigt, daß Deuterium und Lithium fehlen. Diese
wurden bereits in der Kontraktionsphase nach
und
D + p → 3 He + γ
7 Li(p, α) 2 4 He
zerstört. Dies ist möglich, da beide eine niedrige Schwellenenergie besitzen. Damit könn D und Li sehr
effektiv zerstört werden. Beide Elemente sind wichtig für braune Zwerge, wo sie eventuell die einzige
Energiequelle darstellen.
Die chemische Zusammensetzung der Ursonne (Alter Null: ZAMS = Zero Age Main Sequence) kann
man (im Prinzip) aus den Kometen (in der Oortschen Wolke) erhalten. Man kann auch die heutige Sonne
zeitlich zurückentwickeln (auf dem Komputer). Man erhält so ein Alter von 4.5 Gyr. Die Leuchtkraft
der Ursonne war 25% geringer und der Radius betrug 12% weniger als heute:
R(ZAMS) = 0.886R⊙ ; L(ZAMS) = 0.725L⊙
Am Ende der Hauptreihenentwicklung, nach 10 Gyr, ist die Sonne etwa doppelt so groß
R(TAMS) = 2R⊙ ; L(TAMS) = 2.5L⊙
und mehr als doppelt so leuchtkräftig (die Temperatur nimmt ab). Im Zentrum hat sich eine Kugel
aus Helium gebildet. Die Materie ist hier entartet, hie hat sich bereits ein Weißer Zwerg gebildet. Sein
Radius beträgt nur noch 1% des Ursprungsradius und ist mit dem der Erde vergleichbar. Wasserstoff
brennt jetzt nur noch am Rand, später in einer Schale oberhalb des Kerns.
• ZUSATZ (ANALYTISCHE MODELLRECHNUNG)
Das Lanesche Gesetz liefert den Zusammenhang zwischen Temperatur, Masse und Dichte
T = 4 · 10 6 � �2/3 M
˜µ ρ
M⊙
1/3 K (8.163)
mit dem mittleren Molekulargewicht ˜µ. Die Strahlungstransportgleichung lautet (für den Wärmestrom jW = bzw. die
Leuchtkraft L)
4πr 2 jW = L(r) = − 4πr2c daT
3ρκ
4
dr
woraus für die Gesamtleuchtkraft am Rande r = R der Sonne
(8.164)
L(R) = 4πRc
3ρκ (aT 4 ) (8.165)
(mit geeigneten Mittelwerten) folgt.
Kramers Opazität ist für Sterne wie die Sonne massgeblich (Photoeffekt und Bremsstrahlung) und die Formel für die
Opazität lautet
Das führt auf
κ = κoρT −7/2
L = M 5.33 ρ 0.117 µ 7.5
κo
(8.166)
(8.167)

8.3. ENTWICKLUNG DER SONNE 415
8.3.4 Das Ende der Sonne
Das zukünftige Schicksal der Sonne kann aus Beobachtung (an Sternen, die die Entwicklung der Sonne
bereits hinter sich haben) und aus Modellrechnungen (die an Beobachtungen anschließen, bei denen
der Stern wieder stetig brennt) deduziert werden. Der wichtigste Parameter, der Massenverlust, ist
allerdings nicht direkt bestimmbar, sodaß z. B. die Endmasse der Sonne nicht genau angegeben werden
kann. Man schätzt, daß die Sonne noch 40% ihrer Masse verlieren wird, sodaß sie zum Schluß (als
Weißer Zwerg) noch 0.6M⊙ hat.
Phasen starken Massenverlusts sind begleitet von Phasen konvektivem Umrühren des Inneren, dadurch
gelangen neu erzeugte chemische Elemente an die Oberfläche und von dort in die ISM (Interstellare
Materie). Zirkumstellare Hüllen findet man um solche Sterne im Rote Riesen Stadium.
Das H Brennen (nach der TAMS) verläuft in einer Schale praktisch bereits unter Entartung, der Druck
stammt nicht mehr vornehmlich aus der Thermik (sondern vom Pauli Prinzip für Elektronen). Nach
etwa 13 Gyr sieht die Sonne wie folgt aus
R = 100R⊙ ; L = 2000L⊙ ; T = 0.7T⊙ = 4000 K
sie befindet sich auf dem Weg in die Roten Riesen Phase. Dabei tritt ein extremer Massenverlust auf
(Super Sternwind). Diese Phase ist instabil und kann deshalb nicht mit Komputermodellen erfasst
werden (zu viele Schwingungen und Explosionen). Beobachtung und Statistik muß hier weiter helfen.
Nach Zünden des He Brennens mit der Triple α−Reaktion
α (2α, γ) 12 C
(Zündtemperatur T3α ≤ 8 · 10 7 K, notwendig involvierte Masse 0.5M⊙) im Zentrum entwickelt sich
der Stern je nach Masse, zum Roten Riesen bzw. zum Roten Überriesen. Die Leuchtkraft für Sterne
von einer Sonnenmasse beträgt beim He Blitz (Zünden des He Brennens) etwa
L ≈ 6 · 10 3 L⊙. . .3 · 10 4 L⊙
Sterne von etwa 5M⊙ können dabei vollständig zerrissen werden. Die Sonne benötigt etwa 1 Gyr nach
Verlassen der Hauptreihe bis zum He Blitz (ein Stern von 2.25M⊙ benötigt dagegen nur 10 Myr).
Dnach brennt sie zunächst stetig mit etwa 50L⊙, dann wird sie wieder instabil und pulsiert.
• BEISPIEL (MIRA)
Ein Beispiel für einen Roten Riesenstern mit extremen Daten hanen wir mit Mira Ceti (Klassifizierung M6e III) bereits
kennengelernt.
Seine Strahlung hat ihr Maximum im Infraroten bei 1µ, mit Schwankungen zwischen 0.69 µ (T = 2000 K) und 1.44 µ
(T = 3000 K). Da das Maximum im Infraroten liegt, bekommt das Auge wenig von den eigentlichen Schwankungen mit,
es sieht den Wienschen Ast.
Dementsprechen groß ist der Radius. Er kann (als einer der ganz wenigen Sternradien) interferometrisch bestimmt werden:
R = 390R⊙ (also 2AE!).
Mira Sterne sind normalerweise reich an O, es gibt aber auch C reiche Sterne. Die Pulsperioden sind lang: 60 bis 500 Tage.
Die Massenverlustrate beträgt
˙M = 10 19
g s −1 = 10 −7 M⊙ yr −1
Im Roten Riesen Stadium beginnt die Synthese von s-Elementen.
Bei der Sonne schrumpft der Zentralkern weiter, sein Radius beträgt R ≈ 10 −2 R⊙), seine Materie
besteht aus C und O. Der Kern ist praktisch ein Weißer Zwerg. Die Kühlung erfolgt jetzt mithilfe von
Neutrinos, also sehr effektiv.
Die Hülle dagegen ist riesig, sie ist konvektiv und besteht außen noch aus ursprünglichem H mit (nach
Innen anschließender He Schale). Der Radius der Hülle beträgt etwa
R ≈ 3 · 10 2 R⊙ = 2 · 10 13
cm (8.168)

416 KAPITEL 8. DIE SONNE ALS STERN
für einen Roten Riesen. Die einfache, semiempirische Formel von Reimers (1975)
˙M = 4 · 10 −13 � � �M⊙ �
L
η
M
� �
R∗
M⊙ yr −1
L⊙
R⊙
mit dem dimensionslosen Parameter η = 0.3 . . . 1. und mit R∗ : Abströmradius formen wir um zu
˙M = 2 · 10 −6 �
L
η
104 � �M⊙ �
L⊙ M
� �
R∗
M⊙ yr
500R⊙
−1
Das Ende der Sonne ist ein Weißer Zwerg, der in einer Nova mit planetarem Nebel.
Die verschiedenen Brennphasen
Die anschließende Entwicklung sieht für massearme Einzelsterne (Masse M ≤ 1.5 M⊙) etwa folgendermassen
aus:
1. Extrem massearme Sterne mit 0.08 M⊙ ≤ M ≤ 0.26 M⊙
Der Stern kommt über konvektives H-Brennen nicht hinaus, er endet als He Stern. Die Entwicklungsdauer
überschreitet allerdings das Alter des Universums.
2. Massearme Sterne im Bereich 0.27 M⊙ ≤ M ≤ 1.5 M⊙
wozu auch die Sonne gehört. Ausbilden eines He Kerns mit H Schale. Nach H-Brennen erfolgt
He Flash und He-Brennen. Ausbilden eines C Kerns mit He Schale. Nach massivem Massenverlust
(unbeobachtet, indirekt über die Endprodukte geschlossen) Ende als weißer Zwerg in einer
Nova mit planetarem Nebel.
Wenn etwa 10% der Masse zu He verbrannt sind, beginnt das H Brennen außerhalb dieser Schale. Das
Innere kühlt (vermittels Neutrinos) und das Zentrum ist nicht mehr der heißeste Ort im Stern. Wenn
der ausgebrannte Kern eine kritische Masse (etwa 0.5M⊙) erreicht hat, erfolgt der He Flash (ein Blitz
im Innern, der außen nicht zu sehen ist) unter entarteten Bedingungen (der Pauli Druck stammt von
den Elektronen). Nach einigen 100 Jahren ist das He-Brennen im Zentrum dominierend. Das Brennen
im Innern eines massearme Sterns ist allerdings zeitweise instabil und führt zu starker Pulsation mit
Massenverlust. Der Stern wandert (je nach Stärke des Massenverlusts) auf dem horizontalen Ast des
H-R-Diagramms hin und her.

Anhang A
Datensammlung
A.1 Astronomische Formeln
A.1.1 Mittelwerte
Die Oberfläche der Einheitskugel wird in Steradian gerechnet.
Ω ∗ � �
= Ω =
2π�π
0
0
sin θdθdφ
Der Wert beträgt Ω ∗ = 4π sr (Steradian). Die Oberfläche F eines Sterns mit Radius R ist demnach
F = 4πR 2
Mittelwerte werden wie folgt gebildet:
1. Linearer Dopplereffekt. Dabei ist vsini, die auf den Sehstrahl projezierte Geschwindigkeit, zu
mitteln. Bei unbekanntem Winkel i und gleicher a priori Wahrscheinlichkeit (für die Inklination
sini) ist
< sin i > = 1
4π
der Mittelwert, oder
< sin i > =
π/2
�
0
�2π
�π
0
0
sin 2 θdθdφ
sin 2 θdθ = π
4
2. Kepler III. Bei der Massenbestimmung ist sin 3 i zu mitteln. Man setzt
sin θ = 1
2i (eiθ − e −iθ )
potenziert, und erhält (mit den Pascalschen Dreieck für die Koeffizienten)
< sin 3 i > =
π/2
�
0
sin 4 θdθ = 3π
16
(A.1)
= 0.59 (A.2)
417

418 ANHANG A. DATENSAMMLUNG
A.1.2 Koordinatensysteme
Der Index NGP = GP steht für Galaktischer (Nord) Pol. Seine Koordinaten im Äquatorialsystem
(Rektaszension, Deklination) der Erde, (α, δ), sind für das Julianische Jahr 2000, in Grad
αGP = 192.85948 ◦
bzw. in Stunden und Grad
; δGP = 27.12825 ◦
αGP = 12 h 51 m ; δGP = 27 ◦ 7.7 ′
Das Galaktische Zentrum (l = 0, b = 0) hat die Koordinaten
oder
αGZ = 17 h 45.6 m ; δGZ = −28 ◦ 56.2 ′
αGZ = 266.405 ◦
; δGZ = −28.936 ◦
(A.3)
(A.4)
(A.5)
(A.6)
Der Winkel zwischen Himmelsnordpol (Polaris) und galaktischem Nordpol beträgt demnach im Jahr
2000 γGP = 90 − δGP = 62.6 ◦ . Die galaktische Länge von Polaris lp beträgt lp = 123.932 ◦ .
• FORMELN (KOORDINATENTRANSFORMATION)
Die Koordinatentransformation von (α, δ) nach (l, p) lautet
sin b = sin δGP sin δ + cos δGP cos δ cos(α − αGP ) (A.7)
cos b sin(lCP − l) = cos δ sin(α − αGP ) (A.8)
cos b cos(lCP − l) = cos δGP sin δ − sin δGP cos δ cos(α − αGP ) (A.9)
A.2 Masssysteme
A.2.1 Vielfache und Teile der Einheit
Zwischschen Magnitude m (als Faktor), dezi Bel dB, und Dezimal Exponent dex gilt folgender Zusammenhang
1 m = 10 0.4 = 4 dB = 0.4 dex = e 1.086 = 2.512
Im Zusammenhang mit Info Speicher (Byte), Zeit (Sekunde) und Länge (Meter) sind folgende Teile
der entsprechenden Grund Einheiten gebräuchlich:
Teile und Präfixe der SI-Einheiten
dex −1 −2 −3 −6 −9 −12 −15 −18
name Dezi Zenti Milli Mikro Nano Pico Femto Atto
Abk. d c m µ n p f a
Ferner sind folgende Vielfache der Einheiten gebräuchlich:
Vielfache und Präfixe der SI-Einheiten
dex 1 2 3 6 9 12 15 18 21 24
name Deka Hekto Kilo Mega Giga Tera Peta Exa Zetta Yotta
Abk. da h k M G T P E Z Y

A.2. MASSSYSTEME 419
Mit aufgenommen und zukünftig gebräuchlich sind, im Zusammenhang mit Informationseinheiten
(Bytes): Zetta (21) und Yotta (24).
Die entsprechenden Teile sind Zepto (−21) und Yocto (−24).
• BEISPIEL (DIE INFORMATIONSFLUT)
Noch ungewöhnliche Bezeichnungen sind 100 Ym (Hundert Yotta Meter) für den Radius des Universums und 3 ym (3
Yocto Meter) für den Lichtradius des Elektrons (re/c).
Die Datenbank der US Geologischen Gesellschaft umfasst 1999 etwa 12 Tera Bytes, CERN produziert mit seinem Large
Hadron Collider etwa 20 Peta Bytes pro Jahr. Einige Exa Bytes beträgt der Bestand an Druckwerken (im Jahr 2000).
Rechnet man 10 Milliarden Menschen, die Hundert Jahre lang pro Sekunde drei Worte (zu 10 Bytes) sprechen, dann sind
das Zetta Bytes. Alle Filme, die je gedreht wurden, würden digitalisiert etwa ein Yotta Bytes ergeben.
Dagegen sind ein Yotta cm 0.3 Mpc . . .
A.2.2 Physikalische Masssysteme
Natürliche Grundeinheiten, d. h. solche, die ausschließlich auf Fundamentalkonstanten beruhen, gibt
es nicht. Folgende Fundamentalkonstanten werden zugrunde gelegt
1. c, die Lichtgeschwindigkeit
2. h oder ¯h, das Plancksche Wirkungsquantum (Einheit des Drehimpulses)
3. e, Ladung des Elektrons
4. die Fundamentalkonstanten sind nicht unabhängig: α = e 2 /¯hc ist dimensionslos.
Die verschiedenen, gebräuchlichen Masssysteme leiten sich alle vom Kraftbegriff her und sind den
Bedürfnissen der jeweiligen Beobachter (Menschen) angepasst.
Die Maxwellschen Gleichungen liefern dafür zwei Möglichkeiten:
1. die Kraft zwischen zwei Punktladungen nach dem Coulomb Gesetz
�K = 1 q1q2
4πɛ r2 2. die Kraft zwischen zwei fadenförmigen Strömen I der Länge l (im Limes l → ∞) nach dem
Ampèreschen Gesetz
�K = κ2 µ
4π
2lI1I2
r
Die beiden Größen ɛ und µ heißen Dielektrizitätskonstante bzw. Permeabilität des Vakuums. Es gilt
κ 2 ɛµ = 1
c 2
wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist.
Je nach Wahl erhält man verschiedenen Masssysteme, von denen wir die folgenden explizit angeben:
1. SI (Système International) oder MKSA System.
Zusätzlich zu Länge (Meter), Masse (kg) und Zeit (Sekunde) ist noch
die Stromstärke Ampere A definiert.
κ = 1 ; µ = 4π · 10 −7 Newton · (Ampere) −2
2. Gaußsches Maßsystem
κ = 1
c
; ɛ = 1
4π
; µ = 4π

420 ANHANG A. DATENSAMMLUNG
3. Heavisidesches Masssystem
κ = 1
c
; ɛ = 1 ; µ = 1
• FORMELN (GRUNDEINHEITEN)
Die Grundeinheiten im (um das Grad Kelvin erweiterten) Gaußschen cgs - System sind:
Größe Wert cgs - Einheit Bezeichnung
h 6.62619·10 −27 cm 2 g s −2 Planck-Wirkungsquantum
G 6.6732·10 −8 cm 3 g −1 s −2 Gravitationskonstante
c 29979245800.0 cm s −1 Lichtgeschwindigkeit
e 4.8032·10 −10 cm 3/2 g 1/2 s −1 Ladung des Elektrons
kB 1.38054·10 −16 erg K −1 Boltzmann Konstante
Die Diracsche Form für das Planck-Wirkungsquantum lautet: ¯h = h
2π .
Die vier phys. Fundamentalkonstanten sind nicht unabhängig, sie sind verknüpft durch die Sommerfeldsche
Feinstrukturkonstante:
α = e2
¯hc = 7.2973 · 10−3 ≈ 1
137
(A.10)
• FORMELN (ABGELEITETE EINHEITEN)
Magnetische Feldstärke: 1 Gauß = 1 Oersted
gesetzliche Einheit: 1 Tesla = 10 4 Gauß; (seit 1896) in der Geophysik üblich: 1 Gamma = 10 −5 Gauß = 10 µGauß oder
10 −9 Tesla.
Die magnetische Feldstärke am Pol der Erde beträgt 0.31 Gauß.
Die magnetische Feldstärke des Sonnenwinds (in Erdbahnentfernung) beträgt 6 Gamma = 60 µGauß und die dazu gehörende
Energiedichte
ɛ = B2
8π
beträgt 90 eV cm −3 . Im Vergleich dazu: die Energiedichte der kosmischen Strahlung beträgt 1 eV cm −3 , 2 dex weniger.

A.3. TABELLEN 421
A.3 Tabellen
A.3.1 Der Messier Katalog
Messier Katalog 1 . . . 30
M1 NGC 1952 Krebsnebel
M2 NGC 7089 GC
M3 NGC 5272 GC
M4 NGC 6121 GC
M5 NGC 5904 GC
M6 NGC 6405 OC
M7 NGC 6475 OC
M8 NGC 6523 Lagoonnebel
M9 NGC 6333 GC
M10 NGC 6254 GC
M11 NGC 6705 OC
M12 NGC 6218 GC
M13 NGC 6205 Great GC
M14 NGC 6402 GC
M15 NGC 7078 GC
M16 NGC 6611 OC
M17 NGC 6618 Omega Nebel
M18 NGC 6613 OC
M19 NGC 6273 GC
M20 NGC 6514 Trifid Nebel
M21 NGC 6531 OC
M22 NGC 6656 GC
M23 NGC 6494 OC
M24 NGC 6603 Sterne
M25 NGCI4725 OC
M26 NGC 6694 OC
M27 NGC 6853 Dumbbell Nebel
M28 NGC 6626 GC
M29 NGC 6913 OC
M30 NGC 7099 GC
Messier Katalog 31 . . . 60
M31 NGC 224 Andromeda Nebel
M32 NGC 221
M33 NGC 598 Triangulum Nebel
M34 NGC 1039 OC
M35 NGC 2168 OC
M36 NGC 1960 OC
M37 NGC 2099 OC
M38 NGC 1912 OC
M39 NGC 7092 OC
M40 2 Sterne
M41 NGC 2287 OC
M42 NGC 1976 Orion Nebel
M43 NGC 1982 (Orion Nebel)
M44 NGC 2632 Praesepe
M45 Plejaden
M46 NGC 2437 OC
M47 NGC 2422 OC
M48 NGC 2548 OC
M49 NGC 4472 (Virgo)
M50 NGC 2323 OC
M51 NGC 5194 Whirlpool Galaxie
M52 NGC 7654 OC
M53 NGC 1024 GC
M54 NGC 6715 GC
M55 NGC 6809 GC
M56 NGC 6779 GC
M57 NGC 6720 Ring Nebel
M58 NGC 4579 (Virgo)
M59 NGC 4621 (Virgo)
M60 NGC 4649 (Virgo)

422 ANHANG A. DATENSAMMLUNG
Messier Katalog 61 . . . 90
M61 NGC 4303 (Virgo)
M62 NGC 6266 GC
M63 NGC 5055 SpiralGalaxie
M64 NGC 4826 Blackeye Galaxie
M65 NGC 3623 SpiralGalaxie
M66 NGC 3627 SpiralGalaxie
M67 NGC 2682 OC
M68 NGC 4590 GC
M69 NGC 6637 GC
M70 NGC 6681 GC
M71 NGC 6838 GC
M72 NGC 6981 GC
M73 NGC 6994 4 Sterne
M74 NGC 628
M75 NGC 6864 GC
M76 NGC 650
M77 NGC 1068
M78 NGC 2068
M79 NGC 1904
M80 NGC 6093
M81 NGC 3031 Bodes Nebel
M82 NGC 3034
M83 NGC 5236
M84 NGC 4374
M85 NGC 4382
M86 NGC 4406
M87 NGC 4486 Virgo A
M88 NGC 4501
M89 NGC 4552
Messier Katalog 91 . . . 109
M90 NGC 4569
M91 NGC 4567
M92 NGC 6341
M93 NGC 2447
M94 NGC 4736
M95 NGC 3351
M96 NGC 3368
M97 NGC 3587
M98 NGC 4192
M99 NGC 4254
M100 NGC 4321
M101 NGC 5457 Pinwheel Galaxie
M102 NGC 5866
M103 NGC 581
M104 NGC 4594 Sombrero Galaxie
M105 NGC 3379
M106 NGC 4258
M107 NGC 6171
M108 NGC 3556
M109 NGC 3992
Statistik zum Messier Katalog
Im Messier Katalog fehlen die Quellen des Südhimmels,
diese finden sich erst im Katalog von Vater und Sohn Herschel.
M81 und M82 wurden 1774 von dem deutschen
Asteroidenjäger Bode entdeckt. M87 wurde 1781 von Messier
entdeckt. Diese Galaxie ist das Zentrum des Virgo Haufens
und eine starke Radiogalaxie (nach Sonne und Mond
die stärkste Quelle am Himmel). M73 besteht aus 4 Sternen,
nahe dem Kugelsternhaufen M72, beide entdeckt von
Messier im Jahre 1780.

A.3. TABELLEN 423
Daten der wichtigsten Galaxien der Lokalen Gruppe
• ANMERKUNG
Die erste Beschreibung von Andromeda stammt von von dem deutschen Astronom Simon Fabricius. Er verglich M31 mit
einer Kerze, die man durch eine Hornscheibe sieht.
Das erste Foto stammt von Isaac Roberts.
Hubble entdeckte 1925 an NGC 6822, daß es sich dabei um Sterne und nicht um einen Nebel handelte. 1929 veröffentlichte
er seine Arbeit ’Ein Spiralnebel als Sternsystem’, in der gezeigt wird, daß Andromeda eine eigenständige Galaxie darstellt.
In den letzten 27 Jahren wurden mehr Mitglieder der Lokalen Gruppe gefunden, als in den 222 Jahren davor.
Die Anzahl der Mitglieder der Lokalen Gruppe beträgt (1999) 40. Der Radius der Lokalen Gruppe
reicht bis 1.8 Mpc. Die Gesamt Dunkelmasse wird auf Mdark(LG) = 3 · 10 12 M⊙ geschätzt. Sie steckt
in M31 und der Milchstraße (nicht etwa in einer Superkorona). Entfernung zum Virgo Haufen etwa 20
Mpc.
Daten der wichtigsten Galaxien der Lokalen Gruppe
Name α δ l b MV V⊙ m − M D M L
J2000 J2000 deg deg mag mag kpc M⊙ L⊙
Wir 17 h 45 m .7 −29 ◦ 00 0.00 0.00 −20.6 16 14.52 8 2 · 10 11 2 · 10 10
LMC 05 h 23 m .6 −69 ◦ 45 280.46 −32.89 −18.1 324 18.45 49 2 · 10 10
SMC 00 h 52 m .6 −72 ◦ 48 302.80 −44.30 −16.2 175 18.82 58 3 · 10 9
M31 00 h 42 m .7 41 ◦ 16 121.18 −21.57 −21.1 −297 24.43 770 4 · 10 11 3 · 10 10
M32 00 h 42 m .7 40 ◦ 52 121.15 −21.98 −16.4 −200 24.53 805 2 · 10 9 4 · 10 8
M33 01 h 33 m .8 30 ◦ 39 133.61 −31.33 −18.9 −181 24.62 840 5 · 10 10
Geschwindigkeit V⊙ (in km s −1 ) bezogen auf LSR
Mdark(W ir) = 1.4 · 10 12 M⊙ ; Mdark(M31) = 1.9 · 10 12 M⊙
• LITERATUR
J. Kovalevski, [Kov98] First Results from Hipparcos.
E. K. Grebel, [Gre97] Star Formation Histories of Local Group Galaxies.
M. Mateo, [Mat98] Dwarf Galaxies of the Local Group.
J. Binney und M. Merrifield, [BM98] Galactic Astronomy

424 ANHANG A. DATENSAMMLUNG
A.3.2 Fundamentalkonstanten
Größe Definitionsformel Bezeichnung
r B
µe
re
¯h 2
mee2 e¯h
2mec
e2 mec2 Bohrscher Wasserstoffradius
Bohrsches Magnetron
klass. Elektronenradius
Amn 3γklassfmn Einsteinscher A-Koeffizient
γklass
λe
RS
α
Ry
ωp
lP
A.3.3 Zeit und Raum
Zeit
σ
a
klass. Strahlungsdämpfungskonstante
2e2ω2 3mc3 ¯h
mec
2GM
c2 e2 Feinstrukturkonstante
¯hc
1
2α2mec 2 Rydbergkonstante (Energie)
�
4πe2ne � me
¯hG
c3 π2k4 60¯h 3c2 π2k4 15¯h 3c3 Compton-Wellenlänge des Elektrons ⋆
Schwarzschild-Radius der Masse M
Plasmafrequenz
Planck-Länge
Stefan-Boltzmann Konstante
Strahlungsenergiedichte-Konstante
Die Diracsche Form lautet: ∗ ¯h = h
2π ; ⋆ λ- = λ
2π
Tab. A.1: Fundamentalgrößen
Tag: 1 d = 24 h = 86400 s siderisch: 86 164.091 s
˙
P = 10 −12 s s −1 = 8·10 −8 s d −1 = 3 ms pro Jahrhundert (Gezeitenabbremsung)
Jahr
siderisch: 365.25636 d oder 3.1558·10 7 s
tropisches Jahr: 1 yr = 31 556 925.975 (Ephemeridensekunden 1950) oder
365.2422 Tage mittlere Sonnenzeit.
Kalenderjahr: 1 yr = 365 + 1
4
Kalenderjahr - tropisches Jahr = 26s .
Monat
siderisch: 27.32166 d
synodisch: 29.53059 d
drakonitisch : 27.21222 d
Grundeinheiten der Länge
im Sonnensystem gilt:
oder, genauer
− 3
400 d
1AE = D Erde-Sonne = 2.3 · 10 4 R⊕ = 1.49 · 10 13
1AE = 149597892 km
Galaxie (interstellar) Parsec:
1 pc = 206265 AE = 3.08 · 10 18
cm ∼ = 500 s
cm = 3.26 Lichtjahre (A.11)

A.3. TABELLEN 425
Geometrie
Winkel (Einheit: Grad); Einheits - Kreis - Umfang: 2π
Umrechnung Winkelgrad in Bogengrad, nach der Formel b = f(n)w
f(n) = 2π
6 · 60 n
mit den Bezeichnungen Grad, Minute und Sekunde
1 ◦ : n = 1 1 ′ : n = 2 1 ′′ : n = 3
mit den Umrechnungsfaktoren f(n)
f(1) = 1.7 · 10 −2
und mit der Umkehrung,
f(2) = 2.9 · 10 −4
f(3) = 4.848 · 10 −6
f −1 (1) = 57.296 f −1 (2) = 3437 f −1 (3) = 206265
Fläche (Einheit: Steradian, sr bzw. grad 2 = ✷ ◦ ); Einheitskugel-Oberfläche: 4π sr
Das Flächenmaß wird berechnet nach der Formel
mit
Ω(n) = 4πf −2 (n)
Ω(1) = 4.125 · 10 4
bzw. nach der Formel
1sr(n) = f −2 (n)
mit (1 sterad = 1 rad 2 )
1sr = 3282.8 deg 2
Ω(2) = 1.485 · 10 8
1 Quadratgrad, 1✷ ◦ = 3.046 · 10 −4 Sterad.
= 4.2545 · 10 10 (arcsec) 2
Ω(3) = 5.346 · 10 11
Die Galaxis mit den Komponenten :
Ebene (D ≈ 10 23 cm bzw. 30 kpc h ≈ 0.6 kpc);
Bulge (Öffnungswinkel etwa 23 ◦ ) D ≈ 2 · 10 22 cm bzw. 5 kpc;
Kern (Öffnungswinkel etwa 2 ◦ , Durchmesser D ≈ 2 · 10 21 cm bzw. 500 pc;);
Koordinaten des Zentrums: 12 h 49 m Rektasz. −62 ◦ Dekl.;
Halo (D ≈ 10 24 cm).
Leuchtkraft: LGal = 3 · 10 10 L⊙ = 10 44 erg s −1 .
Teilchen - Dichte: nGal = 7.
Die Flächendichte für einige typische kosmische Objekte (Die Kugeloberfläche hat Ω(1) = 41 250 Quadratgrad.):
1 Stern pro sec 2 ;
1 Röntgenquelle pro grad 2 ;
0.2 Quasar pro grad 2
Zum Umrechnen von bolometrischen Magnituden Mb in Leuchtkräfte L gilt
L = 10 10 dex(0.4[−M − 20.3])L⊙
A.3.4 Umrechnungen
(A.12)

426 ANHANG A. DATENSAMMLUNG
physikalische Symbol MKSA Umrechnungs Gaußsche
Größe Einheit Faktor Einheit
Länge l Meter 10 2 cm
Masse m kg 10 3 g
Zeit s sec 1 sec
Kraft K Newton 10 5 dyn
Arbeit W Joule 10 7 erg
Leistung ˙ E Watt 10 7 erg s −1
Druck P Pascal 10 dyn cm −2
Ladung q Coulomb 3·10 9 cm 3/2 g 1/2 s −1
Strom I Ampère 3·10 9 cm 3/2 g 1/2 s −2
Spannung U Volt 1
el. Feldstärke E Volt m
300
cm1/2 g1/2 s−1 −1 1
3 10−4 cm−1/2 g1/2 s−1 mag. Induktion B Tesla 10 4 Gauß (wie E)
Widerstand R Ohm 1
9 10−11 cm −1 s
Druck 1 atm = 1.01325 · 10 5 Pa
1 Bar = 1000 Hekto Pascal = 10 5 N m −2 = 10 6 dyn cm −2
Umrechnung vom Heaviside-Lorentz (MKSA) auf Gauß (cgs) System
MKSA cgs
Ladungseinheit e 2 = 4π¯hc e 2 = ¯hc
Potential Φ = q/4πr Φ = q/r
Lagrange-Funktion L = −(1/4)F 2 L = −(1/16π)F 2
Energie - Dichte T 0 0 = (1/2)(E2 + B 2 ) T 0 0 = (1/8π)(E2 + B 2 )
Magnetfeldstärke 1 Tesla 10 4 Gauß

A.3. TABELLEN 427
Symbol Name Zahlenwert Einheit
G Gravitationskonstante 6.6732·10 −8 cm 3 g −1 s −2
c Lichtgeschwindigkeit 29979245800 cm s −1
h Planck-Wirkungsquantum 6.62619·10 −27 ergs
e Ladung des Elektrons 4.8032·10 −10 cm 3/2 g 1/2 s −1
α Feinstrukturkonstante 7.2973·10 −3
me Masse des Elektrons 9.1095·10 −28 g
re klass. Elektronenradius 2.8·10 −13 cm
µe Bohrsches Magnetron 9.273·10 −21 erg (Gauß) −1
r B Bohrscher Radius (H) 5.28·10 −9 cm
Ry Rydbergkonstante 1.09·10 5 cm −1
A21 Einstein A-Koeffizient (Lα) 4.68·10 8 s −1
λe Compton-Länge (Elektron) 2.4263·10 −10 cm
λ - dito (Dirac) 3.6·10 −11 cm
lP Planck-Länge 1.6·10 −33 cm
mamu atomic mass unit 1.66·10 −24 g
mp Masse des Protons 1.0072766 a.m.u.
µp Kern Magnetron des Protons 2.79×5.05·10 −24 erg (Gauß) −1
mn Masse des Neutrons 1.0086652 a.m.u.
µn Kern Magnetron des Neutrons -1.91×5.05·10 −24 erg (Gauß) −1
k Boltzmann Konstante 1.38054·10 −16 erg K −1
σ Stefan-Boltzmann Konstante 5.669·10 −5 erg cm −2 s −1 K −4
a Strahlungsdichte Konstante 7.56·10 −15 erg cm −3 K −4
yr (year) Jahr 31556926 s
ly light year (Lichtjahr) 9.4605·10 17 cm
pc Parsec 3.0856·10 18 cm
AU Astronomical Unit 1.495985·10 13 cm
M⊙ Masse der Sonne 1.989·10 33 g
R⊙ Radius der Sonne 6.960·10 10 cm
L⊙ Leuchtkraft der Sonne 3.9·10 33 erg s −1
S⊙ Solarkonstante 1.36·10 6 erg cm −2 s −1
RS⊙ Schwarzschildradius (Sonne) 2.95·10 5 cm
M⊕ Masse der Erde 5.997·10 27 g
R⊕ Erdradius 6.378·10 8 cm
Tab. A.2: Naturkonstanten

428 ANHANG A. DATENSAMMLUNG
A.3.5 Formeln und Bezeichnungen
Bohrscher Wasserstoffradius
rB = ¯h2
mee 2
Bohrsches Magnetron
µe = e¯h
2mec
klass. Elektronenradius
re = e2
mec 2
el. Leitfähigkeit (s −1 mit τ = (vσn) −1 Stosszeit)
σel = e2ne τ
me
Viskosität (cm −1 g s −1 mit τ: Stosszeit)
η = 1
3 ρ v2 sτ
Einsteinscher A-Koeffizient
Amn = 3γklassfmn
klass. Strahlungsdämpfungskonstante
γklass = 2e2 ω 2
3mc 3
Compton-Wellenlänge des Elektrons
λ = ¯h
mc
Schwarzschild-Radius der Masse M
RS = 2GM
c 2
Feinstrukturkonstante
α = e2
¯hc
gravische Feinstrukturkonstante (für Protonen)
αG = Gm2 p
¯hc
Rydbergkonstante
Ry = 1
2 α2 mec
Plasmafrequenz
ωp =
�
4πe 2 ne
me
(A.13)
Planck-Länge
�
¯hG
lP =
c 3
Stefan-Boltzmann Konstante
σ = π2 k 4
60¯h 3 c 2
Strahlungsenergiedichte-Konstante
a = π2 k 4
15¯h 3 c 3
thermische de Broglie Wellenlänge
�
h2 λdB =
2πmkT

A.3. TABELLEN 429
A.3.6 Energie
Es ist
Energie erg . Atom Einheiten
in Größe Faktor . w λ ν ɛ T
1 eV 1.602·10 −12 . w 1 1 c 1.24·10 −4 0.66
1 Ws 10 7 . λ 1 1 c 1.24·10 −4 0.66
1 cal 4.186·10 7 . ν c −1 c 1 4.5·10 −15 2.2·10 −11
1 kT4 1.38·10 −12 . ɛ 8067 1.29·10 −4 2.41·10 14 1 11605
1 hν15 6.6·10 −12 . T 0.66 1.5 2.0·10 10 8.1·10 −5 1
ɛ = hν = hcw = hc
λ
= kT
mit folgenden Bezeichnungen: ɛ : Energie in eV (erg: cm 2 g s −2 ) λ: Wellenlänge in cm, w: Wellenzahl in cm −1 ,
ν Frequenz in Hz und T : Temperatur in Grad Kelvin.
Ein Photon der Energie 1 eV hat eine Wellenlänge von 1.29 · 10 −4 cm oder 1.29µ oder 12 900 ˚A oder 1290 nm.
1 g TNT � 4·10 10 ergs ;
spektrale Energie Umrechnung:
1 Jansky = 10 −23 erg cm −2 s −1 Hz −1 = 10 −26 Watt m −2 s −1 Hz −1
¯L400: Radioleuchtkraft in (milli Jansky)*kpc 2 *Hz = 3.8 · 10 25 erg s −1 ;
Tab. A.3: Energie Umrechnung

430 ANHANG A. DATENSAMMLUNG
A.3.7 Kosmische Häufigkeit
Element Häufigkeit I [eV]
H 1.0 13.60
He 8.5 ·10 −2 24.59
O 6.6 ·10 −4 13.62
C 3.3 ·10 −4 11.26
N 9.1 ·10 −5 14.53
Ne 8.3 ·10 −5 21.56
Fe 4.0 ·10 −5 7.87
Si 3.3 ·10 −5 8.15
Mg 2.6 ·10 −5 7.65
S 1.6 ·10 −5 10.36
Molekül Häufigkeit D [eV] I [eV]
H2 1.0 4.48 15.46
CO 6.3 ·10 −5 11.09 14.01
H2O 5.2 12.6
NH3 4.3 10.2
NH 6.76 13.10
NO 6.5 9.25
CH 3.47 10.64
SO 5.3 12.1
CS 8.0
H2CO 3.6
Die numerische Häufigkeit bei Atomen im ISM und in Sternatmosphären ist bezogen auf Wasserstoff (HI). I : Ionisationspotential.
Die numerische Häufigkeit bei Molekülen in Wolken ist bezogen auf molekularen Wasserstoff
(H2). D: Dissoziationsenergie. 1 eV = 1.602·10 −12 erg.
Tab. A.4: Kosmische Häufigkeit

A.4. PULSARE 431
A.4 Pulsare
Radio Pulsare
Physikalische Parameter von 706 Pulsaren (Stand: Mai 1996)
P /ms P−15
˙ log(Bs/Gauß) log(τ/yr) log( ˙ E)
PSR: 1939+2134 2129+1210A 2229+2643 0534+2200 0108−1431 :PSR
Min: 1.56 −0.02 7.88 3.10 29.79 :Min
Med: 558.10 2.04 12.04 6.71 32.59 :Med
Max: 5094.08 1536.53 13.33 10.40 38.65 :Max
PSR: 1951+1123 1513−5908 0157+6212 2229+2643 0534+2200 :PSR
P Periode in Millisekunden; ˙
P−15 Perioden-Ableitung in Einheiten von 10 −15 s s −1 ;
Bs Magnetfeldstärke an der Oberfläche; τ = P/2 ˙
P Alter in Jahren (yr);
˙E Verlustrate an Rotationsenergie.
Tab. A.5: Pulsarparameter

432 ANHANG A. DATENSAMMLUNG
A.4.1 Pulsarparameter
Weitere Parameter zur Identifizierung obiger Pulsare sind:
PSR Identität
Name P τ L Typ
1939+2134 1.56 8.37 3.49 MRI
1951+1123 5094.08 7.43 0.52
2129+1210A 110.66 2.23 CR
1513−5908 150.66 3.19 1.46 SH
PSR Identität
Name P τ L Typ
2229+2643 2.98 10.40 1.42 BMR
0157+6212 2351.72 5.29 1.22
0534+2200 33.40 3.10 3.41 SGIH
0108−1431 807.56 9.19
astronomische Parameter von 706 Pulsaren
L400/mJy kpc 2 2 D/kpc s400/mJy W50 (deg)
PSR: 2124−3358 0108−1431 2129+1209G 1951+1123 :PSR
Min: 0.06 0.10 0.10 1.41 :Min
Med: 2.15 3.88 12.00 10.87 :Med
Max: 4.42 57.00 5000.00 153.42 :Max
PSR: 1305−6455 0045−7319 0835−4510 0034−0534 :PSR
L400 = s400D 2 spektrale Radio - Leuchtkraft in mJy kpc 2 ; (1 Jansky = 10 −23 erg cm −2 s −1 Hz −1 = 10 −26 Watt m −2
s −1 Hz −1 ). D Entfernung in kpc; s400 spektraler Radiofluß in mJy (Milli Jansky bei 400 MHz); W50 Halbwertsbreite der
Pulse in Grad. ¯ L = 4 · 10 8 s400D 2 Gesamt Leuchtkraft in mJy kpc 2 Hz; ¯ L = 3.8 · 10 25 (s400/mJy)(D/kpc) 2 erg s −1 .
Weitere Parameter zur Identifizierung obiger Pulsare:
PSR Identität
Name P τ L Typ
2124−3358 4.93 0.06 MR
1305−6455 571.65 6.35 4.42
0108−1431 807.56 9.19
0045−7319 926.28 6.51 3.51 BE
Tab. A.6: Pulsarparameter II
PSR Identität
Name P τ L Typ
2129+1209G 37.66 8.48 1.00 CR
0835−4510 89.31 4.05 3.10 SGH
1951+1123 5094.08 7.43 0.52
0034−0534 1.88 9.65 1.19 BMR

Anhang B
Eine kleine Geschichte der Physik
B.1 Newtonsche Fernwirkung:
Gravitation
Viele Völker haben Schrift und Malerei hervorgebracht, Musik (mit einer Notenschrift) und Physik (mit
Formeln) sind ein Produkt abendländischer Kultur, beginnend etw mit dem siebzehnten Jahrhunderts.
Dabei dienten die Araber als Vermittler zwischen Antike und Neuzeit.
B.1.1 Die ersten Weltmodelle
Atomismus und Plenismus waren die beiden fundamentalen naturphilosophischen Anschauungen der
Antike. ✛ Beide waren rein spekulativer ✘ Natur. Der Atomismus wurde im Altertum vertreten von Sokrates,
Leukipp und Demokrit. Der Begriff Atom stammt von Demokrit
Astrophysik = Astronomie +
(Atomos gr. unteilbar). Die Vorstellung war, daß die Welt aus dis-
Physik
Unsöld kreten, abzählbaren Atomen besteht, deren einzige Qualitäten Größe,
✚
✙Form
und Bewegung sind. Als Folgerung daraus ergibt sich, daß zwischen
den Atomen der leere Raum (Vakuum) sein muß. Bei Epikur (341 - 270 vor Chr) und Lukrez
(1. Jhdt. vor Chr) besteht auch die Seele aus Atomen. Gegen den Atomismus stand der Plenismus (von
plenus lat. voll) im Altertum vertreten von Plato und Aristoteles. Nach dieser Vorstellung war die Welt
kontinuierlich angefüllt mit Materie, einen leeren Raum gibt es nicht. Aristoteles widerspricht damit
bewusst den Atomisten und behauptet nicht nur, daß der Raum erfüllt sei, sondern sogar, daß die Natur
einen Abscheu vor dem Vakuum habe: horror vacui.
Im Gegensatz etwa zur Astronomie (reine Beobachtung) und Mathematik (reine Denkkunst in Form
von Geometrie), welche zu den ältesten Wissenschaften überhaupt zählen, ist die Physik (Kombination
von Beobachtung und Analyse), sieht man einmal von der Statik ab, ein Produkt abendländischer
Kultur des siebzehnten Jahrhunderts.
Als Vorläufer kann man Kopernikus, Brahe und Kepler, als Begründer der Physik Galilei und Newton
ansehen. Und somit sind von Anfang an Astronomie und Physik mit der Mathematik vereint. Mathematik
ist weitgehend Himmelsmechanik, astronomische Beobachtungen werden herangezogen, die
mathematischen Formeln zu Überprüfen. Dabei vollzieht sich im Laufe von eineinhalb Jahrhunderten
eine Vereinheitlichung der Physik, ganz im Sinne des griechischen Ideals einer Axiomatisierung.
B.1.2 Der Anfang der Astrophysik
Bereits ganz am Anfang der modernen Physik stehen die folgenden Fragen, die auch heute noch aktuell
sind:
433

434 ANHANG B. GESCHICHTE DER PHYSIK
1. Was ist Materie?
2. Was ist Licht?
3. Welches sind die Kräfte, die auf die Materie wirken?
4. Wie werden die Kräfte durch den Raum übertragen?
Im folgenden werden wir erläutern, wie diese Fragen von den jeweiligen Protagonisten (Atomisten)
und ihren Antagonisten (Plenisten) behandelt wurden. Im Zentrum der Diskussion stehen dabei neben
der Gravitation das (klassisch paradoxe) Verhalten von Licht und die Existenz des Atoms (bzw.
Moleküls). Dazu kommen und kamen zwei weitere Fragen, die bis dato unbeantwortet geblieben sind
1. Was zeichnet den Raum aus?
2. Was ist Zeit?
Allerdings wurden sie von Einstein auf eine einzige Frage reduziert: Was bestimmt die Raum-Zeit?
Kepler und die Geometrie
Bei den Griechen (Empedokles) waren die Ur-Elemente Wasser, Luft, Feuer und Erde. Die Himmelsmechanik
war weitgehend Philosophie: die Planeten und Sterne bestanden aus einem besonderen Stoff:
dem Äther (oder der quinta essentia). Die Bahnen waren perfekt (nämlich
Harmonia Mundi Kreise), die Bewegung harmonisch (daher die Sphärenklänge). Das Wort
Astronomie leitet sich aus dem Griechischen ab, von astro = Stern und nomos
= Gesetz. Vor Newton war Astronomie im wesentlichen Geometrie und es galt, die Sphärenharmonie
zu erkennen. Bis Kepler versuchte man, nur mit der einfachsten geometrischen Figur auszukommen,
dem Kreis. Da dies die Beobachtung nicht korrekt wiedergab, benutzte man Epizyklen (Kreise auf
Kreisen), um die Bewegung der Planeten zu beschreiben. Kepler markiert das Ende dieser Harmonia
Mundi.
Johann Kepler (1571 - 1630) gelangte nach vielen Versuchen (mindestens 70!) zu der Einsicht, daß die
wahren Bahnen Ellipsen sind, geometrische Figuren, die erstmals von Appolonius von Perge beschrieben
worden waren. Die Keplerschen Gesetze sind die ältesten physikalischen Gesetze, die unverändert
heute noch so gelehrt werden. Sie lauten:
I Jeder Planet bewegt sich in einer elliptischen Bahn, in deren einem
Brennpunkt die Sonne steht. (Geometrie)
II Der von der Sonne zum Planeten gezogene Leitstrahl überstreicht in
gleichen Zeiten gleiche Flächen. (Flächensatz)
III Die Quadrate der Umlaufszeiten zweier Planeten verhalten sich wie die
Kuben der Radien. (Periode - Radius Relation)
Kepler entwickelt die bereits im Altertum formulierte Korpuskulartheorie des Lichts weiter. Bei ihm
sind die Korpuskel masselos. Er hat als erster eine dynamische Auffassung von der Bewegung der
Gestirne: die Bewegungen sind Folge von Kräften. Seit Kepler gehören Astronomie und Physik eng
zusammen und die Sonderstellung des Himmels ist aufgehoben. Die mathematische Formulierung der
Gravitationskraft, welche Kepler als Ursache für die Bewegung der Planeten ansah, gelang ihm noch
nicht.
Galilei
Galilei (1564 - 1642) begründet die moderne Physik. Forschung (Experiment und Beobachtung) und
Lehre bilden für ihn eine Einheit. Auf ihn gehen die korrekte Beschreibung der Fall- und Wurfbe-

B.1. NEWTONSCHE FERNWIRKUNG 435
✗
✔
wegung zurück. Das von ihm erstmals formulierte Prinzip (Galilei Invarianz),
Und sie bewegt sich doch! daß die Physik auf einem fahrenden Schiff identisch ist mit der an Land, hatte
Eppur si muove!
bis zu Einsteins Entdeckung der speziellen Relativität Gültigkeit. Seine Fas-
✖
✕sung
des Äquivalenzprinzips (alle Körper fallen gleich schnell im Gravitationsfeld)
prüfte er am schiefen Turm von Pisa.
Galileio Galilei entdeckt die vier nach ihm benannten Jupitermonde. Sie sind später Grundlage für
Römers Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit. Galilei kann als Begründer der modernen Experimentalphysik
und Astronomie angesehen werden. Mit seinem Teleskop löst er die Milchstrasse in einzelne
Sterne auf.
• ZUSATZ (BEDEUTENDE ENTDECKUNGEN)
Das Pendelgesetz (l Länge des Pendels, g Gravitationsbeschleunigung der Erde)
�
l
T = 2π
g
entdeckte er beim Kirchenbesuch im Dom zu Pisa. Als Uhr benutzte er seinen Pulsschlag. Mit der Entdeckung des Isochronismus
(die Periode ist unabhängig von der Amplitude) des Pendels ist der Grundstein der Zeitmessung (s. u. Huygens) bis
zum Aufkommen der Atomuhren gelegt.
Galilei beobachtet als erster mit dem von ihm zwar nicht erfundenen, aber weiterentwickelten, Fernrohr den Mond und die
Planeten. Mit der Entdeckung der Jupitermonde bringt er das Weltbild der Kirche ins Wanken: nicht alles kreist um die
Erde (sondern 4 Monde um Jupiter).
Er versucht (erfolglos) die Lichtgeschwindigkeit zu messen und schließt daraus, daß diese sehr groß sein müsse.
Huygens
Christian Huygens (1629 - 1695) war sicher der bedeutendste, nämlich der vielseitigste, Gelehrte einer
an berühmten Naturforschern wahrlich reichen Zeit. Er begründet die Wellentheorie ∗ des Lichts
(in Anerkennung der früheren Ideen von Pardies und Hooke). Damit das Licht sich in einem Medium
fortpflanzen kann, führte Huygens den elastischen Äther ein. Genau wie die Schallwellen sind
Lichtwellen bei ihm longitudinal. Über die Entstehung der Farben schweigt er sich aus. Das nach ihm
benannte Prinzip wurde von Kirchhoff 1882 streng mathematisch gefasst. Auf ihn geht der Begriff
Trägheitsmoment zurück (physisches Pendel).
Mit der Bestimmung der Bahnen der Planeten durch Kepler war die Physik vor die Aufgabe gestell, die
Kraftgesetze zu formulieren, die zu dieser Bewegung führen. Von Huygens stammt die Erkenntnis, daß
die Kraft durch Größe und Richtung bestimmt ist; d. h. daß sie ein Vektor ist. Für die Zentrifugalkraft
Z fand er (1673)
Z = mv2
a = mω2 a
wobei m die Masse, v die Geschwindigkeit und a der Radius des Kreises ist. Basierend auf dem
Galileischen Pendelgesetz entwickelt er eine Pendeluhr, welche 20 Jahre später Grundlage für Römers
Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit ist (und die für die Schiffahrt wichtig war zur geografischen
Längenbestimmung).
Hooke
Robert Hooke (1635 - 1703) fand zwei wichtige Kräfte, welche in der Sprache der Zeit Gesetz genannt
wurden:
1. die harmonische Kraft der Federauslenkung aus der Ruhelage und
∗ niedergelegt in ’Traité de la lumière’, Paris (1690)

436 ANHANG B. GESCHICHTE DER PHYSIK
2. das 1
a 2 Gesetz der Gravitation.
Das erste wird auch heute noch Hookesches Gesetz genannt. Er kombinierte das 3. Keplersche Gesetz
mit Huygens Zentrifugalkraft - Gesetz und fand (1666) für die Gravitationskraft F den Ausdruck
F = const m
a 2
also das 1
a 2 Gesetz.
Beide Kräfte sind die wichtigsten der Physik: es sind die einzigen, die stets auf geschlossene Bahnen
führen.
Bei Hooke ist Licht eine transversale Welle. Damit erklärt er die bekannten Phänomene Prisma, Regenbogen,
Farben dünner Plättchen. Er schreibt 1665 in ’Micrographia’ stolz: ’my theory is capable of
explicating all the phenomena of colors, but of all that are in the world.’
B.1.3 Newton
Beides, das allgemeine Kraftgesetz und der besondere Ausdruck für die Gravitationskraft F , wurden
✤von
Newton in den Jahren von ✜1680
bis 1685 gefunden und auf die Planetenbewegung angewendet.
Die Newtonsche Gravitationstheorie ist eine Fernwirkungstheo-
If I have seen farther than others it is
rie, die Kraft F zwischen zwei Teilchen wirkt instantan, Raum und
because I have stood on the shoulders
of giants.
Zeit sind absolut. Der Trägheitskompaß wird durch die Verteilung
1675 der Sterne realisiert (überprüft und gedeutet im berühmten Eimer-
✣
✢versuch).
Mit Isaac Newton (1643 - 1727) gibt es zum ersten (und bisher letzten) mal eine erfolgreiche Axiomatisierung
der Physik nach dem Vorbild der Antike. Er formulierte die folgenden Axiome:
Die drei Newtonschen Axiome
Er formulierte die folgenden Axiome, die auch heute noch die klassische Physik korrekt beschreiben:
1. Kraft = Masse×Beschleunigung
Newton definiert die Kraft
�F = m � b (B.1)
wir definieren heute damit die träge Masse.
2. Actio = Reactio
Zu einer Wirkung besteht immer eine entgegengesetzt gerichtete und gleiche Gegenwirkung.
3. Zwei punktförmige Massen ziehen einander an mit einer Kraft, die dem Produkt der Massen
direkt und dem Quadrat ihrer Entfernungen voneinander umgekehrt proportional ist.
�F = −G mM
mM
�a bzw. F = −G
a3 a2 (B.2)
Man sieht die Symmetrie der Gravitationskraft in den beiden Massen ausgedrückt: M die anziehende
und m die angezogene, eine direkte Konsequenz aus Actio = Reactio. Die Gravitationskonstante G ist
bis heute eine der nicht mehr deduzierbaren Fundamentalkonstanten der Physik.
Newton hat damit als erster ein Inversionsproblem gelöst: gegeben sei die 3-dim Bewegung
�x(t) (B.3)

B.1. NEWTONSCHE FERNWIRKUNG 437
welches ist die Kraft, die zu dieser Bewegung führt? Antwort:
..
�x = 1
m � F (B.4)
Damit konnte er zeigen, daß die allgemeine Bewegung zweier Massen eine Kegelschnittlinie (Ellipse,
Parabel, Hyperbel) ist. Newton kann deshalb zu recht (mit Galilei) als Begründer der Astrophysik
angesehen werden.
Apfel und Mond
Schon viel früher, nämlich 1665, hatte Newton (mit 22 Jahren) die Idee, die Kraft (der Erde) auf einen
fallenden Apfel mit der auf den Mond zu vergleichen.
Es ist lehrreich sich die Herleitung im einzelnen zu vergegenwärtigen und alle Voraussetzungen aufzuzeigen,
die dazu notwendig waren: Die Zentrifugalbeschleunigung (s.o. Huygens) des Mondes beträgt
Z = gMond =
� �2 2π
D
P
dabei ist P die Umlaufperiode und D die Entfernung Erde - Mond.
Es gelten für die Zentrifugalbeschleunigung (heutiger Wert: gMond = 0.273 cm s −2 ) und für die Beschleunigung
an der Erdoberfläche (heutiger Wert) g⊕ = 981 cm s −2 (s. o. Galilei). Nimmt man nun
an, wie Newton das tat und wofür er von Kollegen kritisiert wurde, daß
g⊕ = C⊕
R 2 ⊕
mit C⊕ = GM⊕
ist, d. h. tut man so, als ob die Masse in einem Punkt konzentriert sei, so erhät man für den Quotienten
g⊕/gMond:
g⊕
gMond
=
� D
R⊕
� 2
Die Grobanalyse ergab (Erathostenes + Aristarch + Galilei) nun in der Tat 3600 = (60/1) 2 !
Die genaueren Daten befriedigten Newton jedoch nicht und er gab die Bewegunglehre erst einmal auf.
Es gab damals nämlich noch als rivalisierende Theorie die Wirbellehre von Descartes und die Daten
schienen zusätzlich Wirbel für die Anziehung des Mondes zu verlangen. Wie aus der obigen Herleitung
ersichtlich, geht an einer Stelle der Erdradius direkt ein: bei gMond.
Erst als Jean Picard den Erdumfang neu vermessen hatte, wovon Newton zu seiner Zufriedenheit 1682
erfuhr, seine Theorie stimmte!, konnte sein Freund Edmund Halley ihn dazu überreden, seine ’Principia’
zu vollenden und zu publizieren, 1686, auf Halleys Kosten. Die Principia sind nach Demokrit der
zweite bedeutende Versuch, die Physik zu axiomatisieren. Sie sind das einflussreichste Physik Buch,
das je geschrieben wurde.
Newton war nicht nur der erste, der eine Theorie entdeckte, welche bekannte Phänomene erklären
konnte, hier also die Relationen:
g⊕R 2 ⊕ = C⊕ = GM⊕ = ω 2 MondD 3
er war auch der erste, dem es gelang, eine solche Theorie durch Beobachtung zu überprüfen. (Die
Vorhersage Hipparchs u.a. der Sternparallaxe konnte erst von Bessel bestätigt werden).
Newton versuchte vergeblich, die in seiner Theorie auftretende Gravitationskonstante G zu messen.
Das gelang erst Cavendish etwa 70 Jahre nach Newtons Tod, er war aber in der Lage G abzuschätzen:

438 ANHANG B. GESCHICHTE DER PHYSIK
er nahm die Dichte der Erde zu ρ = 5 g cm −3 an (Eisen), bestimmte die (damals noch unbekannte!)
Masse der Erde M⊕ und berechnete G nach der Formel
G = g⊕R 2 ⊕
M⊕
zu G = 7.35 · 10 −8 cm 3 g −1 s −2 , was um 10% höher liegt als der heutige Wert, G = 6.6732298 · 10 −8
cm 3 g −1 s −2 .
• ZUSATZ (DIE BERECHNUNG DER MONDBAHN DURCH DELAUNAY)
Nach den Worten Newtons war die Berechnung der Mondbahn das einzige Problem, welches ihm Kopfschmerzen bereitet
hat.
1847 begann der französische Astronom Charles Delaunay, die Bahn des Mondes im Feld der Erde und der Sonne mithilfe
einer Störungstheorie zu berechnen. Er benötigte 10 Jahre für seine Formeln und weitere 10 Jahre zur Überprüfung. Die Ergebnisse
wurden 1867 publiziert und galten bis 1970 (da niemand den Mut aufbrachte, die Gleichungen zu überprüfen). Erst
mithilfe der Computer Algebra war eine Prüfung möglich. Es zeigte sich, daß Delaunay nur ein kleiner Fehler unterlaufen
war, mit zwei Folgefehlern: alle damals unbeobachtbar von der Genauigkeit her.
Die (lanzeitige) Berechnung der Mondbahn ist auch heute noch eines der schwierigsten Probleme der Astrophysik (Gezeitenreibung).
Der Newtonsche Eimerversuch
Newton sagt in seinen Principia: ’Der absolute Raum bleibt vermöge seiner Natur und ohne Beziehung
zu einem äusseren Gegenstand stets gleich und unbeweglich.’ Er gibt dazu folgenden Versuch an.
• ZUSATZ (NACHWEIS ZUM ABSOLUTEN RAUM)
Man hänge ein Gefäß an einem sehr langen Faden auf, drehe denselben beständig im Kreise herum, bis der Faden durch die
Drehung sehr steif wird; hierauf fülle man es mit Wasser und halte es zugleich mit letzterem in Ruhe. Wird es nun durch
eine plötzliche Kraft in entgegengesetzte Kreisbewegung gesetzt und hält diese, während der Faden sich ablöst, längere
Zeit an, so wird die Oberfläche des Wassers anfänglich eben sein, wie vor der Bewegung des Gefäßes; hierauf, wenn die
Kraft allmählich auf das Wasser einwirkt, bewirkt das Gefäß, daß dieses (das Wasser) merklich sich umzudrehen anfängt.
Es entfernt sich nach und nach von der Mitte und steigt an den Wänden des Gefäßes in die Höhe, indem es eine hohle Form
annimmt. (Diesen Versuch habe ich selbst gemacht.) . . . Im Anfang, als die relative Bewegung am größten war,verursachte
dieselbe kein Bestreben, sich von der Achse zu entfernen. Das Wasser suchte nicht,sich dem Umfang zu nähern, indem es
an den Wänden emporstieg, sondern blieb eben, und die wahre kreisförmige Bewegung hatte daher noch nicht begonnen.
Die Newtonsche Korpuskulartheorie des Lichts
Zur Erinnerung: bei Huygens ist Licht longitudinal, bei Hooke transversale Welle im Äther. Newton
erkärt im Gegensatz dazu Licht als Korpuskel (im Vakuum), welche von Materie angezogen werden. Er
findet dementsprechen keine befriedigende Lösung für die Beugung. Er zerlegt 1672 als erster weißes
Licht in Farben mit Hilfe eines Prismas und schreibt † : ’. . . that light itself is a heterogeneous mixture
of differently refrangible rays.’
Nach Newton sollte (wegen der Anziehung) die Lichtgeschwindigkeit im Medium größer sein als
in Luft (Vakuum). Er nahm an, daß die Farben durch die Größe der Korpuskel bewirkt werde: der
roten Farbe entsprachen die größten Teilchen, der gelben Farbe mittlere und schließlich der blauen die
kleinsten Teilchen.
Er stellt fest, daß er beim Hämmern in der Ferne erst das Licht und dann den Schall beobachtet. Seine
Versuche die Lichtgeschwindigkeit zu messen waren (ebenso wie die von Galilei vorher) vergeblich,
Römers Bestimmung akzeptierte er nicht.
† Phil. Trans. 6, 3075 (1671 - 1672)

B.1. NEWTONSCHE FERNWIRKUNG 439
• ZUSATZ (VERGLEICH DER LICHT-THEORIEN)
Mit seiner Korpuskel Theorie stellt Newton sich ganz bewusst gegen Hooke und Huygens. Vom damaligen Standpunkt
aus betrachtet waren beide unbefriedigend: Huygens konnte die Farben, Newton die ihm bereits bekannte Beugung nicht
erklären.
In beiden Theorien ist die Lichtgeschwindigkeit konstant. Römer (1644 - 1710) — ein dänischer Astronom, der mit Domenico
Cassini am Observatorium von Paris arbeitete — errechnete diese 1676 aus der Verspätung einer Verfinsterung eines
der Jupitermnde (Umlaufszeit um Jupiter 42.5 Stunden) um 20 Sekunden die zu 300 000 km/s. (In der Zeit entfernt sich die
Erde um 4.5 Mio km von Jupiter). Nur Huygens glaubte damals daran.
Grundlage einer solchen Messung ist eine Uhr, die über ein Jahr auf 1 Sekunde genau geht (20 Jahre vorher von ebendiesem
Huygens erfunden, s.o.).
B.1.4 Ausbau der Newtonschen Theorie
Halley, ein Freund Newtons, vermutet, daß Kometenerscheinungen periodisch sind. Anhand von 25 historisch
überlieferten Erscheinungen findet er die korrekte Periode, gestützt auf Newtons Methode, Kometenbahnen
zu berechnen. Er behauptet, daß die Kometenerscheinungen aus den Jahren 1531, 1607
und 1682 auf denselben Kometen mit einer Periode von 76 Jahren zurückzuführen sein könnten und
sagt seine Wiederkehr für 1758 voraus. Der Komet wurde bei seinem tatsächlichen Erscheinen postum
nach Halley benannt. (Letzte Wiederkehr 1986). Anhand von systematischen Differenzen zwischen historischen
(Beschreibungen von) Sonnenverfinsterungen und aktuellen Beobachtungen entdeckt er die
Verlangsamung der Erdrotation, welche erstmals von Kant (Ob die Rotation der Erde sich geändert
hat (1754).) als Abbremsung durch den Mond erkannt wurde.
Kant erklärt (1755) ferner die Abplattung der Galaxis durch Rotation und betont erstmals die Bedeutung
des Drehimpulses in der Astrophysik. Dargelegt in: Allgemeine Naturgeschichte und Theorie des
Himmels, oder Versuch von der Verfassung und dem mechanischen Ursprung des ganzen Weltgebäudes
nach Newtonischen Grundsätzen abgehandelt. Er vermutet, daß einige Nebel eigenständige Inselwelten
(Galaxien) sind.
Die Newtonsche Mechanik wurde in zweierlei Richtungen im folgenden erweitert: zum einen wurde
ein immer effektiverer und eleganterer mathematischer Apparat aufgebaut, an dem alle berühmten
Mathematiker und Physiker (oft in erbitterter Konkurrenz zueinander) beteiligt waren. Von Euler und
Lagrange bis zu Laplace, Gauß und Bessel reichen die berühmten Namen. Zum anderen wurde die
Punktmechanik zu einer Theorie der Gase (Thermodynamik), zur Hydrostatik (Lagrange) und zur Hydrodynamik
(Euler) ausgebaut.
Euler (1707 - 1783) — von Hause aus Mathematiker — betont ganz klar die Analogie zwischen Schallwellen
(in Luft) und Lichtwellen (im Äther). Auf die Schwierigkeiten, welche das Licht bereitete,
gehen wir in einem gesonderten Kapitel ein.
Laplace
Mit der Newtonschen Gravitation war zwar die Grundlage zur Beschreibung der Planetenbahnen gegeben,
eine Erklärung, warum diese nahezu in einer Ebene liegen, konnte Newton nicht geben. Dies
gelang erst Kant (1755) und Laplace (1796), welche die Bedeutung des Drehimpulses (für die Bildung
der Planeten (Saturnringe), des Sonnensystems bzw. der Galaxis) erkannten. Erstes Modell des
Sonnensystems (Urnebel).
Darüber hinaus gab es noch eine schwerwiegende Diskrepanz bei der Planetenbewegung, die erst 100
Jahre später ihre Erklärung fand: die grosse Anomalie von Jupiter und Saturn. Die Beobachtungen
schienen darauf hinzudeuten, daß Jupiter in die Sonne stürzen würde und Saturn aus dem Sonnensystem
fliegen würde. Die praktische Lösung Newtons bestand darin, daß Gott von Zeit zu Zeit einzugreifen
hätte und die Bahnen korrigieren müßte, die physikalische wurde von Laplace (1799) geliefert:
es handelt sich um eine Resonanz der Umlaufperioden im Verhältnis (5:2). Diese ist aber mit 11.8 yr

440 ANHANG B. GESCHICHTE DER PHYSIK
und 29 yr nicht perfekt, das Aufschaukeln der Bahnstörung dauert nur etwa 500 Jahre, nach 900 Jahren
ist der alte Zustand wieder erreicht.
B.1.5 Zusammenfassung
Mit der Newtonschen Punktmechanik und Gravitation erhält man folgende Vorschrift zur Beschreibung
eines physikalischen Systems: gegeben seien die Orte und Geschwindigkeiten aller Teilchen, dann ist
die zeitliche Entwicklung eindeutig bestimmt. Das Gravitationsfeld hat keine eigenen Freiheitsgrade.
Dies war die philosophische Grundlage des Materialismus und Determinismus (an der sich sogar Lenin
versucht hat).
B.2 Licht: Relativität und Dualismus
B.2.1 Optik
Die Ideengeschichte des Lichts ist lehrreich und voller Überraschungen. Von Anfang an gibt es einen
Dualismus der Anschauungen: Licht ist entweder Korpuskel (geometrische Optik) oder Welle (Interferenz).
So lange wie man nicht fragt, woraus die Korpuskel bestehen, ist es sicher einfacher, Licht als Teilchen
zu beschreiben. Einige einfache Konsequenzen dieser Theorie sind:
1. (Newton) die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum muß konstant sein.
2. (Newton, Michell, Laplace) die Masse der Licht Korpuskel ist variabel. Aus einem schwarzen
Loch entweicht kein Licht.
3. (Soldner, 1804) Licht wird im Gravitationsfeld abgelenkt.
Nimmt man dagegen an, daß Licht eine Welle ist, dann stellt sich die Frage, worin Licht sich ausbreitet.
Zunächst nahm man an, daß dazu ein elastischer Äther notwendig sei und daß die Wellen sich darin
longitudinal ausbreiten. Die Entdeckung der Polarisation (Malus, 1808) führte Young und Fresnel dazu,
einen festen Äther zu postulieren. Diese etwas absurde Vorstellung wurde endgültig erst durch den
Versuch von Michelson 1881 ad acta gelegt. Bis dahin versuchte man, die Eigenschaften des Äthers
experimentell zu finden und mathematisch zu formulieren.
In der Tat fand Maxwell seine Gleichungen, mithilfe eines detaillierten Modells des Äthers. Hertz und
Heaviside zeigten dann aber, daß ein Vakuum genügt. Vakuum bedeutet dabei, daß das elektromagnetische
Feld kontinuierlich ist wie der Raum, in dem es existiert. Lorentz (Minkowski, Poincaré) und
insbesondere Einstein entdeckten dann ein zusätzliches Phänomen: die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.
Die Maxwellsche Theorie des elektromagnetischen Feldes ist das Paradigma einer relativistischen
Feldtheorie. Das Feld ist reell (Photon = Anti-Photon), es breitet sich im Vakuum dispersionsfrei mit
Lichtgeschwindigkeit aus und erfüllt auch klassisch bereits die Unschärfe-Relation für Ort und Impuls.
Was zur korrekten Beschreibung fehlt ist der diskrete Drehimpuls (Spin) und damit der Teilchencharakter
des Photons.
Das elektromagnetische Feld ist auch mathematisch ausgezeichnet: es ist die einfachste Darstellung
zum Spin 1 mit besonders einfacher, nämlich linearer Wellengleichung. Damit gilt das Superpositionsprinzip,
Solitonen entfallen.
Die korrekte Beschreibung von Licht ist allerdings nur möglich, falls seine Wechselwirkung mit Materie
(Moleküle oder Atome) bekannt ist. Die Beobachtung führt zu dem (klassisch unverständlichen)

B.2. LICHT: RELATIVITÄT UND DUALISMUS 441
Befund, daß zwischen Atom und Welle der Austausch von Energie nur in diskreten Einheiten (Quanten
mit Spin eins) erfolgt. Diese Plancksche Hypothese wurde ursprünglich als Rechenvorschrift formuliert,
mit der Hoffnung, daß das wahre Feld im Grunde doch kontinuierlich sei. Die Plancksche
Hypothese wird jedoch direkt im Photo-Effekt und im Compton-Effekt verifiziert, was Einstein dazu
führte, das Konzept der Lichtquanten (Photonen) zu postulieren. Daran hat sich bis heute nichts mehr
geändert. Realisiert werden diese Vorstellungen mithilfe der Quantenfeldtheorie.
B.2.2 Das Licht und seine Quellen
Überblick
Der Atomismus wurde in der Neuzeit von Newton, D. Bernoulli, Lavoisier und Dalton vertreten. Daniel
Bernoulli vertritt (1733) die These, daß Wärme eine Form der kinetischen Energie vermittels von
Stößen ist. Wichtige Schritte wurden getan von Dalton mit seinem Gesetz der multiplen Proportionen
und von Avogadro. Dieser prägte den Begriff Molekül und er hat als erster die Auffassung vertreten,
daß Atome sich chemisch zu Molekülen verbinden. Er fand erstmals die nach ihm benannten Anzahl
der Moleküle im Volumen (bei gleichem Druck und gleicher Temperatur, N = N(V, P, T )). Die
Mehrzahl der Chemiker (im Gegensatz zu den meisten Physikern) hatte bis zum Beginn des 20ten
Jahrhundert diese Vorstellung übernommen.
Gegen den Atomismus stand der Plenismus, vertreten von von Descartes (1596 - 1650) und Leibniz
(1646 - 1716). Nach dieser Vorstellung war die Welt kontinuierlich angefüllt mit Materie, einen leeren
Raum gibt es nicht. Die Mehrzahl der Physiker bis zum Beginn des 20ten Jahrhundert hatten diese
Vorstellung.
In diesem Zusammenhang stellte sich mit Aufkommen der modernen Physik mit Galilei die Frage
nach dem Wesen von Licht. Von Anfang an gab es einen Dualismus, allerdings zunächst ebenso wie
in der Antike nur der Anschauungen. In diesem Fall standen sich Huygens mit seiner Wellentheorie
und Newton, der dem Licht Teilchencharakter zusprach, im Wettstreit gegenüber, welcher durch die
Autorität Newtons im Sinne der Korpuskulartheorie entschieden wurde. Huygens konnte Beugung,
Interferenz (und Polarisation), Newton dagegen die Brechung von Licht beim Übergang von einem
Medium ins andere elegant erklären. Um die Brechung im dichteren Medium (zur Normalen hin)
erklären zu können, muß man annehmen, daß die Geschwindigkeit von Licht im dichteren Medium
größer ist als in Luft.
1842 entdeckte Christian Doppler den nach ihm benannten Effekt an Schallwellen und sagte einen
analogen Effekt für das Licht der Sterne voraus. Dieser wurde von H. Fizeau 1848 (zwar nicht am
Kontinuum, sondern) an Spektrallinien der Sterne für möglich erachtet und erstmals von Huggins 1868
nachgewiesen.
Trotz beeindruckender Arbeiten von Arago, Malus, Young und Fresnel zur Wellennatur des Lichts
dauerte es bis bis 1850, als Fizeau und Foucault erstmals die Wellengeschwindigkeit des Lichts in
Materie messen konnten. Damit war gezeigt, daß die Newtonsche Vorstellung falsch war. Da man sich
die Ausbreitung von Licht im Vakuum nicht vorstellen konnte und da die Fresnelsche Deutung der
Polarisation transversale Lichtwellen forderte, wurde ein hypothetischer elastischer Äther eingeführt,
in dem solche Wellen sich ausbreiten konnten. Maxwell begründet bereits 1860 seine Lichttheorie. Die
Arbeiten von Hertz zeigen experimentell die Richtigkeit der Maxwellschen Theorie und das gesamte
Gebiet der optischen Erscheinungen wird damit Teil der Elektrodynamik.
Die klassische Epoche
Bradley (1692 - 1762) — Astronom in Greenwich — bestätigt 1727 die Entdeckung Römers, welche bis dahin
keine allgemeine Anerkennung gefunden hatte, durch Entdeckung und Messung der Aberration des
Lichts.

442 ANHANG B. GESCHICHTE DER PHYSIK
Dalton, J. (1766 - 1844) — engl. Chemiker — entwickelt, aufgrund von metereologischen und physikalischen
Beobachtungen eine Atomtheorie. Er nannte die kleinsten Teilchen Atome. Ordnet die chemischen Elemente
nach ihren relativen Massen. Schreibt Formeln für chemische Verbindungen. ’Gesetz von der Erhaltung
der Masse’. ’Gesetz der konstanten und multiplen Proportionen’ (1804).
Avogadro, Francois Amadeus (1776 - 1856) entdeckt, daß gleiche Raumteile verschiedener Gase die gleiche
Anzahl kleinster Teilchen haben müssen. Solche Teilchen können sich bei chemischen Reaktionen spalten.
Betrachtet Gase als aus Molekülen bestehend und unterscheidet als erster klar zwischen Molekülen und
Atomen. Die Anzahl Moleküle eines Mols heißt ihm zu Ehren Avogadro’sche Zahl NA. Sie wurde von
J. Loschmidt 1865 zum ersten mal bestimmt und mit größerer Genauigkeit 1907 von J. Perrin zu NA =
6 · 10 23 /Mol.
Arago (1786 - 1853) stellt fest, daß Licht bei der Beugung teilweise polarisiert wird. Gemeinsam mit Fresnel
(s.u.) kann er zeigen, daß senkrecht zueinander polarisierte Lichtstrahlen nicht miteinander interferieren.
Malus, E. L. (1775 - 1812) entdeckt und benennt 1808 (beim Betrachten des Palais Luxembourg in Paris mit
einem Kalkspat) die Polarisation des Lichts. (polar in Analogie zum Magnetismus).
Young, Thomas (1773 - 1829) Interferenz von Licht.
Fresnel, A. J. (1788 - 1827) erklärt die meisten optischen Phänomene aus einer (Wellen)Theorie des Lichtäthers ‡ .
Er zieht aus seinen Versuchen mit Arago 1821 den Schluß, daß Licht transversal sein muß.
Faraday, Michael (1791 - 1867) findet die Elementarladung 1833 aufgrund seiner Elektrolyse-Gesetze. Die
Bezeichnung Ion (gr.: Wanderer) geht auf ihn zurück. Beweist den Erhaltungssatz der elektrischen Ladung
mit dem Faraday-Käfig und dem Becher Versuch. Sein größter Beitrag zur Physik ist das Konzept des
Feldes.
Coulomb, Charles Augustin de (1736 - 1806) misst Ladungen mit dem (Knallgas) Coulo(mb)meter und entdeckt
1785 die Leitfähigkeit der Gase bei der Entladung eines Elektroskops.
Stoney, G. Johnstone () betont den Atomismus der Elektrizität und schlägt 1891 den Namen Elektron als Grundeinheit
der Elektrizität vor. Der numerische Wert für e wurde 1874 von ihm abgeschätzt.
Helmholtz, Hermann v. (1821 - 1894) war zunächst Arzt. In seiner Faraday Lecture 1881 betont er, daß e
der kleinstmögliche Wert für eine Ladung ist: ’Wenn wir Atome der chemischen Elemente annehmen, so
können wir nicht umhin, weiter zu schließen, daß auch die Elektrizität, positive wie negative, in bestimmte
elementare Quanten geteilt ist, die sich wie Atome der Elektrizität verhalten’.
Joule, James Prescott (1818 - 1889) bestimmt 1851 die erste (mikroskopische) Molekülgröße: die mittlere kinetische
Geschwindigkeit.
Fizeau, H. (1819 - 1896) misst als Erster die Lichtgeschwingigkeit terrestrisch und bestätigt den von Römer
gefundenen Wert. Bestätigt 1851 eine Vorhersage Fresnels zum Mitführungskoeffizienten (in stömendem
Wasser).
Foucault, Leon (1819 -1868) — von Haus aus Mediziner — misst 1850 die Lichtgeschwindigkeit v in Wasser
und beweist damit die Richtigkeit der Hookeschen Vorstellungen (v < c, nach Newton hätte v > c gelten
sollen).
Michelson, A.A. (1852 -1931) misst mit einer verbesserten Foucaultschen Versuchsanordnung sogar die Dispersion
der Lichtgeschwindigkeit (in Schwefelkohlenstoff). Zusammen mit Morley findet er, daß im Vakuum
die Lichtgeschwindigkeit unabhängig von der (Erd)Bewegung ist.
‡ ’Mémoire sur la diffraction de la lumière’, Paris (1819)

B.2. LICHT: RELATIVITÄT UND DUALISMUS 443
Maxwell, James Clark (1831 - 1889) begründet 1860 die Lichttheorie (basierend auf Faradays Vorstellung
des Feldes und des Verschiebungsstroms). Das gesamte Gebiet der optischen Erscheinungen wird damit
Teil der Elektrodynamik. Bestimmt 1860 die zweite (mikroskopische) Molekülgröße: die mittlere freie
Weglänge.
Zeeman, Pieter (1865 - 1943) entdeckt (nach erfolglosem Vorversuch von Faraday) die Linienaufspaltung im
Magnetfeld an der Na D-Linie. Auf Grund dieses Experimentes entwickelt H. A. Lorentz eine einfache
Theorie des Elektrons.
Lorentz, Hendrik Antoon (1853 - 1928) Überarbeitete 1875 in seiner Dissertation die Fresnelsche Wellentheorie
des Lichts und beschreibt Brechung und Reflexion ausschließlich mit transversalen Wellen und erweitert
1892 mit seiner Elektronentheorie die Maxwellsche Theorie für Materie. (Dispersion u. Stossdämpfung).
’Versuch einer Theorie der elektrischen und optischen Erscheinungen in bewegten Körpern’ Leiden (1895)
u. ’Theory of Electrons’ Teubner (1909). Dabei bleibt das Elektron ein Fremdling in der Elektrodynamik
(so Einstein). Auch heute kann man nicht erklären, was ein Elektron zusammenhält. 3/4 seiner Ruhmasse
sind rein el.mag. Ursprungs; 1/4 rührt von Wirkungen her, die nicht im Bereich der Maxwellschen Theorie
liegen.
Larmor, Sir Joseph (1857 - 1942) Formel für el. Dipolstrahlung (1897) und für die Präzession eines Elektrons
im Magnetfeld (Larmor-Präzession)
Hertz, Heinrich (1857 - 1894) krönt die Wellentheorie durch die Entdeckung el. mag. Wellen am 13.11.1886
(und des Photoeffekts 1887). Hertz fasste die Situation 1889 wie folgt zusammen: ’Die Wellentheorie
des Lichts ist, menschlich gesprochen, Gewissheit; was aus derselben mit Sicherheit folgt, ist ebenfalls
Gewissheit.’ Als dies gesagt wurde hatte
Hallwachs, Wilhelm (1859 -1922) bereits nach Vorarbeiten von Hertz den ’äusseren lichtelektrischen Effekt’
genauer untersucht und das war der Anfang vom Ende der klassischen Physik. Nach Einsteins Erklärung
widmete Hallwachs sich erneut der Lichtelektrizität und trug massgeblich zur Entwicklung der Photozelle
bei.
Der Übergang
Von einer Krise zur andern.
Röntgen, Wilhelm Konrad (1845 - 1923) endeckt 1895 seine X-Strahlen und erhielt dafür als erster den Nobelpreis
für Physik (1901). 1909 konnte C. G. Barkla die Wellennatur der Röntgen-Strahlung durch Streuversuche
nachweisen.
Laue, Max von (1879 - 1960) Die Wellenlänge der Röntgenstrahlung konnte erstmals von M. von Laue 1912
durch Beugungsversuche an Kristallen gemessen werden. Er fand für die Wellenlänge etwa 10 −8 cm.
Goldstein, Eugen (1850 - 1930) benennt 1876 die Kathodenstrahlung, entdeckt und benennt 1886 die Kanalstrahlen
und entdeckt 1907 die Funkenspektren ionisierter Atome.
Thomson, Joseph John (1856 - 1940) ionisiert 1896 Gase mit Röntgenstrahlen und identifiziert die dabei entstandenen
Ionen als mit denen der Elektrolyse identisch. 1897 Entdeckung des (freien) Elektrons. Dies ist
damit das erste Elementarteilchen. Bestimmung von e/m. Die Bezeichnung Elektron bürgert sich jedoch
erst nach 1910 ein. Durch Ablenkungsversuche an Ionen konnte er die Existenz von Isotopen (Ne20 und
Ne22) zeigen. Er entwirft ein Billardkugel Modell vom Atomkern, wo gleich viel negative und positive Ladungen
homogen verteilt sind. Streuformel für Streuung von Licht an freien Elektronen. Durch Vergleich
von e/m für ein Wasserstoff-Ion sagt er ein Massenverhältnis Proton/Elektron von 1836 voraus.
Becquerel, Henri (1852 - 1908) entdeckt und benennt 1896 die (natürliche) Radioaktivität an Uranerz (Pechblende).

444 ANHANG B. GESCHICHTE DER PHYSIK
Curie, Pierre (1859 -1906; Curie-Gesetz des Magnetismus, Piezoelektrizität) und
Curie, Marie (1867 - 1934) entdecken und stellen 1898 das bis dahin unbekannte Radium auf chemischem
Wege (später auch Polonium) her. Für 0.1g Radium brauchten sie 1 Tonne Pechblende.
Lenard, Philipp (1862 - 1947) klärt 1897 die Natur der Kathodenstrahlung (Elektronen der Ladung −e und
Masse m). Bestimmt e/m beim Photoeffekt und identifiziert so die emittierten Teilchen als Elektronen.
Wien, Willy (1864 - 1928) entdeckt die Protonen. Mit Hilfe von Gasentladungen an Wasserstoff bestimmt er
e/m, welches mit dem von Wasserstoff-Ionen übereinstimmte. Er räumt so mit der Anodenstrahlung
(Kanalstrahlung) auf.
Rutherford, Ernest (1871 - 1937) gelingt es 1902 (gemeinsam mit Soddy) die von Madame Curie entdeckte
radioaktive Strahlung in drei Gruppen aufzuspalten, welche sie α, β, und γ Strahlung nennen. Er schlägt
1911 sein Atommodell (Kern aus Protonen, Hülle aus Elektronen) nach Streuversuchen mit α-Teilchen
vor. 1919 führte er den ersten künstlichen Kernzerfall durch, indem er N-Atome mit α Teilchen (des
Radium-C) beschoß, wobei er Protonen (und O) erhielt: N(α,p)O. Aus dem Vergleich der Atommassen
und der Kernladung schloß er auf die Existenz eines neutralen Teilchens, welches er Neutron nannte, von
der Masse eines Protons. Die Bezeichnung Proton für den Wasserstoffkern geht ebenfalls auf Rutherford
zurück. Das Proton ist somit nach dem Elektron das 2. entdeckte Elementarteilchen.
Einstein, Albert (1879 - 1955) führt 1905 das Photon ein und erklärt so den Photoeffekt. Die Energie E eines
Photons ist durch das Plancksche Wirkungsquantum h mit der Frequenz ν verbunden: E = hν. Ebenfalls
1905 formuliert er die Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie. Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit,
d. h. das Ergebnis des Michelson-Morley Versuchs, ist bei Einstein Grundpostulat.
Millikan, Robert Andrews (1868 - 1953) misst (nach Vorarbeiten von Townsend und J. J. Thomson) die Elementarladung
e 1909 an Öltröpfchen.
Franck, James (1882 - 1964) führt gemeinsam mit
Hertz, Gustav (1887 - 1975) – Neffe von H. Hertz –
1911 seinen Versuch zur Überprüfung der Quantenhypothese durch.
Bohr, Niels Henrik David (1885 - 1962) begründet 1913 sein quantisiertes Atommodell.
Sommerfeld, Arnold (1868 - 1951) fasst 1919 in seiner ’Theorie des Atombaus und der Spektrallinien’ die
Quantenphysik zusammen, wo auch relativistische Effekte berücksichtigt sind. Von ihm stammt die Feinstrukturkonstante
α. Auf Grund einer Zufallsentartung kann seine relativistische Formel quantitativ die
Feinstruktur der Spektrallinien erklären. Nicht erklären lassen sich die Feinstruktur beim Zeemann-Effekt,
der Stern-Gerlach Versuch und die Dublett Aufspaltung der Na D-Linie.
Compton, Arthur Holly (1892 - 1962) erklärt 1923 (Phys. Rev 21, 207, 438; 22, 409) die Ergebnisse seiner
Streuexperimente mit X-Strahlen mit Hilfe von Photonen und korrigiert die Thomsonsche Streuformel.
Der Wirkungsquerschnitt für die Compton-Streuung wurde 1929 von O. Klein u. Y. Nishina berechnet (Z.
Phys. 52, 853, 1929).
Weyl, Hermann (1885 - 1955) (1920) ’Eichinvarianz’.
Die Quantenära
Aus der Krise ins Desaster.
Broglie, Louis-Victor de (1892 - 1976) behauptet die Welleneigenschaft für Teilchen mit der Wellenlänge λ =
h/mv. Nature 112 (1923) 540; Doktorarbeit (1924); Ann. de Phyique 10, 2 (1925). Seine Überlegungen
(λ = h/mv) wurden sofort von Davisson und Germer 1927 an Elektronen und von O. Stern an Atomen
durch Interferenz bestätigt.

B.3. QUANTEN - FELDTHEORIE 445
Uhlenbeck, George E. (1900 - ) und
Goudsmit, Samuel (1902 - ) führen (trotz Warnungen von H. A. Lorentz und W. Pauli, halbzahliger Drehimpuls
sei Unsinn) 1925 den Spin des Elektrons ein (Naturwiss. 13 (1925),953 und Nature CXVII (1926), 264).
’Spinning Electrons and the structure of the spectra’.
Heisenberg, Werner Karl (1901 - 1976) begründet 1925 seine Form der Quantenmechanik (’Über quantenmechanische
Umdeutungen kinematischer und mechanischer Beziehungen’). Schafft mit Max Born und
Pascual Jordan die ’göttinger Matrizenmechanik’. Formuliert 1927 seine Unschärferelation. (’Über den
anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik’. Z. Phys. 43, 1927, 172).
Born, Max (1882 - 1970) und
Jordan, Pascual (1902 - 1980) schreiben 1925 zum ersten mal die Vertauschungsrelationen für Ort und Impuls:
P Q − QP = (h/2πi)I.
Schrödinger, Erwin (1887 - 1961) formuliert 1926 seine Wellengleichung. Ann. d. Phys. 79 (1925) 361 u. 489;
80 (1926), 437; 81 (1926), 109. Er zeigte 1926, daß Heisenbergs Matritzenrechnung und seine Wellengleichung
nur verschiedene Darstellungen ein und derselben Theorie sind.
Pauli, Wolfgang (1900 - 1958) postuliert 1924 den Kernspin, um die Hyperfeinstruktur zu erklären. Ebenfalls
1924 formuliert er (durch die Annahme einer zusätzlichen Quantenzahl für das Elektron) sein Ausschließungs-
Prinzip für Fermionen . Den Spin akzeptierte er erst, als L. H. Thomas 1926 mit einer relativistischen Herleitung
die richtige Spin-Bahn Wechselwirkung fand. Daraufhin beschreibt er 1927 den Spin des Elektrons
mit seinen Matrizen (welche bei Hamilton Quaternionen hießen). Sagt 1930 das Neutrino voraus § . Klärt
1940 den Zusammenhang zwischen Spin und Statistik.
Dirac, Paul Adrien Maurice (1902 - ) verbindet 1928 Quantenmechanik mit Relativitätstheorie und begründet
damit den Spin des Elektrons theoretisch. Zweite Quantisierung der QED. Vorhersage des Anti-Telchens
(Positrons). Problem der Divergenzen.
Anderson, Carl David (1905 - ) entdeckt (ebenso wie unabhängig Joliot-Curie) und benennt 1932 das Positron
beim radioaktiven Zerfall. 1933 findet er Positronen bei Paarerzeugung in der kosmischen Strahlung.
Feynman, Richard ()
Schwinger, Julian () und
Tomonaga () gelingt die ’Renormierung’ der QED (1948).
B.3 Quanten - Feldtheorie
B.3.1 Faraday und Maxwell: Feldwirkung
Mit Faraday (1791 - 1867) und Maxwell (1831 - 1879) vollzieht sich ein lang erwarteter Paradigmenwechsel
in der Physik. Der neue Begriff ist der des Feldes und seiner Wirkung. Er stammt von
Faraday (Lines of Force) und wurde von Maxwell zu einer Theorie der Elektrodynamik ausgebaut.
Die Kraftübertragung in dieser Theorie wurde zwar anhand eines falschen mechanischen Bildes (eines
Äthers) entwickelt, von diesem bleibt aber zum Schluß nur die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit
übrig.
§ Nachgewiesen von Reines u. Cowan (1956)
Proc. Roy. Soc. A117, 610 (1928) u. A118, 351 (1928)

446 ANHANG B. GESCHICHTE DER PHYSIK
B.3.2 Felder
Bis zu Gauß, Weber und Riemann war die Newtonsche Fernwirkung das Vorbild bei der Suche nach
den Gleichungen der Elektrodynamik. Am Anfang steht das Coulombsche Gesetz der Elektrostatik,
das direkte Analogon des Newtonschen Gravitations-Gesetzes.
Allerdings führt die Vereinigung von schwacher und elektromagnetischer Wechselwirkung (Weinberg
- Salam Theorie) zu der überraschenden Erkenntnis, daß das elektromagnetische Feld nur eine Komponente
von insgesamt vier Feldern ist, die alle nichtlinear gekoppelt sind.
Damit kann man die Frage, was Licht ist, nicht mehr beantworten. Der Grund dafür liegt in der Quantelung
der gesamten Physik. Diese impliziert umgekehrt, daß Teilchen sich als Welle verhalten können.
Die Antwort auf die Frage Korpuskel oder Welle ist abhängig vom Experiment bzw. von der Energie.
B.4 Einstein und die Geometrie
B.4.1 Gauß und Riemann
Auch die Kosmologie beginnt erst in diesem Jahrhundert, mit Einsteins allgemeiner Relativitätstheorie
(ART). Die Grundlagen dazu waren von Gauß und Riemann 50 Jahre vorher gelegt worden. Beide
hätten bereits zu dieser Zeit die Newtonsche Gravitationstheorie zu einem konsistenten kosmologischen
Modell ausbauen können.
In der Newtonschen Gravitationstheorie ist Kosmologie nicht möglich: Die Gravitationskraft ist an jedem
Punkt wegen der unendlichen Reichweite unendlich! Nimmt man aber ein statisches Universum
mit endlichem Radius, so stürzt es zusammen. Newton behalf sich mit der Vorstellung eines unendlichen
und, aus Symmetriegründen, kräftefreien Universums. Solch ein Universum ist aber instabil und
müßte expandieren oder kollabieren.
ART
Gleiches gilt für die ART, wo die Verhältnisse allerdings noch etwas komplizierter sind. Hier gibt
es zwar widerspruchsfreie kosmologische Modelle, allerdings keine statischen. Diese sind nur durch
eine Abänderung der einfachsten Version der Theorie, nämlich mit einem sog. kosmologischem Glied
möglich.
Newton und Einstein hätten also die Expansion des Kosmos voraussagen können, da nur eine entsprechende
kinetische Expansions – Energie den Kollaps des Universums verhindern kann. Gauß und
Riemann hätten dazu noch eine negative Raumkrümmung finden können.

Literatur
Empfohlene Literatur
Das Lehrbuch The Physical Universe von Frank Shu umfasst die gesamte Astrophysik, Kosmologie
und Kosmogonie (Biologie). Das Buch Universe von William J. Kaufmann, III, liefert die Bilder dazu.
1. Shu, Frank H. The Physical Universe 1982, University Science Books, Mill Valley, California
2. Kaufmann, W. J. Universe 1991, Freeman, New York
Ideale und sehr preiswerte Ergänzungen dazu die beiden Bücher von Carl Sagan, s.u. Unser Kosmos
und Blauer Punkt im All. Letzteres mit spektakulären Bildern der Planeten.
Gesamtdarstellungen
1. Hoyle, F. Astronomy and Cosmology 1975, Freeman, San Francisco
2. Menzel, D. H., F. L. Whipple und G. De Vaucouleurs Survey of the Universe 1970, Prentice Hall,
Englewood Cliffs, New Jersey
3. Mihalas, D. Galactic Astronomy, 1968, Freeman, San Francisco
4. Mihalas, D. Stellar Atmospheres, 1970, Freeman, San Francisco
5. Scheffler, H. und H. Elsässer Physik der Sterne und der Sonne, 1974, Bibliografisches Institut,
Mannheim Wien Zürich
6. Scheffler, H. und H. Elsässer Bau und Physik der Galaxis 1982, Bibliografisches Institut, Mannheim
Wien Zürich
7. Unsöld, A. und Baschek, B. Der neue Kosmos 1988, Springer Verlag, Berlin Heidelberg New
York
8. A. Weigert und H.J. Wendker Astronomie und Astrophysik 1989, VCH Verlag, Weinheim
Einzeldarstellungen
Wissenschaftliche Darstellungen
Nach Sachgebieten geordnet
447

448 ANHANG B. GESCHICHTE DER PHYSIK
Physik der Sterne
1. Bahcall, J.N. Neutrino Astrophysics 1989, CUP
2. Clayton, D.D. Principles of stellar Evolution and Nucleosynthesis 1973, McGraw Hill, New
York
3. Kippenhahn, R. und A. Weigert Stellar Strucure and Evolution 1990, Springer Verlag, Berlin
Heidelberg New York
4. Oberhummer, H. Kerne und Sterne 1993 Barth, Leipzig Berlin Heidelberg
5. Rolfs, C.E. und W. Rodney Cauldrons in the Cosmos 1988, University of Chicago Press
6. Shu, F. The Physics of Astrophysics 1991, University Science Books, Mill Valley, California
Interstellare Materie
1. Spitzer, L. Physics of fully ionized gases 1967, John Wiley and Sons, New York
2. Spitzer, L. Diffuse Matter in Space 1968, John Wiley and Sons, New York
3. Fano, U. und L. Fano Physics of Atoms and Molecules 1972, University of Chicago Press,
Relativistische Astrophysik
1. Lipunov, V. M. Astrophysics of Neutron Stars (ed. M. Harwit und R. Kippenhahn, ’A & A Library’
vol. 12) 1994, Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York
2. Lyne, A.G. und F. Graham-Smith, Pulsare, Barth, Leipzig Berlin, 1993
3. Longair, M.S., High energy astrophysics, CUP, Cambridge, 1981
4. Schneider, P. and J. Ehlers and E.E. Falco Gravitational Lenses 1994, (ed.M. Harwit R. Kippenhahn,
’A & A Library’, vol 13, Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York
5. Shapiro, S. L. und S. A. Teukolsky Black Holes, White Dwarfs and Neutron Stars 1983, John
Wiley and Sons, New York
Kosmologie
1. Hawking, S.W. and G.F.R. Ellis The large scale structure of spacetime 1973, CUP, Cambridge
2. Kane, G. Modern Elementary Particle Physics 1987, Addison-Wesley, New York
3. Kolb, E. W. und M. S. Turner The Early Universe (Frontiers in physics No 69) 1990, Addison-
Wesley, New York
4. Rowan-Robinson, M. The cosmological distance ladder 1985, Freeman, San Francisco
5. Sciama, D. W. Modern Cosmology 1971, Cambridge University Press

B.4. EINSTEIN UND DIE GEOMETRIE 449
Sonstiges
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Hill, New York
2. Ecker, G. Theory of fully ionized pasmas 1972, Academic Press, New York
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Chur London New York
4. Press, W.H. und B.P. Flannery und S.A. Teukolsky und W.T. Vetterling
Numerical Recipes In PASCAL 1988, CUP, Cambridge
5. Sagdeev, R.Z. und D.A. Usikov und G.M. Zaslavsky Nonlinear Physics 1992, Harwood Academic
Publisher, Chur London New York
Populäre Darstellungen
1. Alfven, H. Kosmologie und Antimaterie 1967, Umschau Verlag, Frankfurt
2. Asimov, I. Die schwarzen Löcher 1977, Kiepenheuer & Witsch
3. Börner, G. und J. Ehlers, Vom Urknall zum komplexen Universum, Piper Verlag, München /
Zürich, 1993
4. Greenstein, G. Der gefrorene Stern 1985, Econ Verlag
5. Greenstein, G. Die zweite Sonne 1985, Econ Verlag
6. Hawking, S. W. Eine kurze Geschichte der Zeit 1988, Rowolt, Hamburg
7. Kaufmann, W. J. Universe 1991 Freeman, New York
8. Kippenhahn, R. 100 Milliarden Sonnen 1980, Piper & Co Verlag, München Zürich
9. Novikow, I. D. Evolution des Universums 1982, Teubner, Leipzig
10. Sagan, C. Unser Kosmos 1982, Droemer & Knaur, München Zürich
11. Sagan, C. Blauer Punkt im All 1996, Droemer & Knaur, München Zürich
12. Verschuur, G.L. Interstellar Matters 1989, Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York
13. Weinberg, S. Die ersten drei Minuten 1981, dtv (Band 880)
Lehrbücher
1. Landau, L. D. und E. M. Lifschitz Theoretische Physik Bände I bis X, Akademie Verlag, Berlin
2. Bergmann, Ludwig und Clemens Schaefer Lehrbuch der Experimentalphysik 1996 Bände 1 bis
8, de Gruyter, Berlin
3. Misner, Ch. W., K. S. Thorne und J.A. Wheeler Gravitation 1973, Freeman, San Francisco
4. Struve, O. Astronomie 1962, de Gruyter, Berlin
5. Weinberg, S. Gravitation and Cosmology 1972, John Wiley and Sons, New York

450 ANHANG B. GESCHICHTE DER PHYSIK
Nachschlagewerke
1. Allen, C. W. Astrophysical Quantities 1978, London, Athlone Press
2. Hermann, Armin Lexikon Geschichte der Physik 1972, Aulis Verlag, Köln
3. Lang, K. R. Astrophysical Formulae 1978, Springer Verlag, Berlin Heidelberg New York
4. Morse P.M. und H. Feshbach Methods of Theoretical Physics 1991, McGraw Hill, New York
5. Voigt, H. H. Abriss der Astronomie 1988, Bibliografisches Institut, Mannheim Wien Zürich

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Inhaltsverzeichnis
Vorwort 3
Einleitung 7
1 Geometrie 1
1.1 Die kosmischen Hierarchien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Längen: Radien und Entfernungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Entfernungen im Sonnensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.2 Die nächste Umgebung der Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Die Milchstraße, unsere Heimat-Galaxie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.4 Daten einiger wichtiger Nachbargalaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.3 Galaxien bei anderen Frequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.3.1 Entdeckung neuer Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.3.2 Probleme der Bestimmung grosser Entfernungen . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.3.3 Radio-Astronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
1.3.4 Röntgen-Astronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.3.5 Infrarot Astronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
1.3.6 UV Astronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.3.7 Gamma Astronomie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
1.4 Die Metagalaxie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.4.1 Die 3 Stufen der Hierarchie im Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.4.2 Superhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.4.3 Daten und Kataloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.4.4 Überblick: Komponenten der Metagalaxie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.4.5 Die Lokale Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
1.4.6 Andromeda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
1.4.7 Galaxienhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.4.8 Der Lokale Superhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.5 Geometrie der Raumzeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.5.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
1.5.2 Kosmologie und Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
1.5.3 Galaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.5.4 AGN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1.5.5 Das kosmologische Entfernungsnormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
1.6 Synopsis und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
1.6.1 Synopsis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
1.6.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
459

460 INHALTSVERZEICHNIS
2 Gravitation 131
2.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2.2 Mechanik und Newtonsche Gravitationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.2.1 Die Keplerschen Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.2.2 Streuung: Die Rutherford-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
2.3 Die Massenhierarchie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.3.1 Mitglieder des Sonnensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.3.2 Die Masse der Galaxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
2.3.3 Das Zweikörperproblem: Doppelsterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.3.4 Massenbestimmung in Doppelsternsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.3.5 Die ISM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
2.3.6 Relativistische ISM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
2.4 Die Masse des Kosmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
2.4.2 Die Dynamik des Kosmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
2.4.3 Zum Nachschlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
2.4.4 Von Newton zu Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
2.4.5 Die Bewegungsgleichung des Kosmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
2.4.6 Die Massendichte des Universums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
3 Kernphysik: Altersbestimmung 185
3.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
3.2 Problembestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.3 Altersbestimmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.3.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.3.2 Halbwertszeit radioaktiver Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.3.3 Die kosmische Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.4 Sternentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.4.1 Sternentwicklungszeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.4.2 Einzelsterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.4.3 Abkühlen Weißer Zwerge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.4.4 Das Alter von Pulsaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
3.4.5 Doppelsterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
3.4.6 Das Relaxationsalter der Kugelsternhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
3.4.7 Das Evaporationsalter der Kugelsternhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.4.8 Das Alter des Universums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
4 Thermodynamik: Temperatur 211
4.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.1.1 Leuchtkraft und Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.1.2 Das Spektrum der Linien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.1.3 Unerwartete Entdeckungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.2 Strahlung und ihre Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.2.1 Strahlungserzeugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
4.2.2 Klassische Dispersionstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
4.2.3 Hohlraumstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.2.4 Quantenmechanik der Absorption und Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . 243
4.2.5 Quellen: Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.2.6 Nichtthermische Strahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

INHALTSVERZEICHNIS 461
4.3 Die Thermodynamik des Kosmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4.3.1 Die Temperatur des Kosmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4.3.2 Der Kosmos heute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4.3.3 Der frühe Kosmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
4.3.4 Primordiale Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
4.4 Die Sterne: Leuchtkraft und Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
4.4.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
4.4.2 Die Harvard-Klassifikation der Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
4.4.3 Helligkeit und Farbe der Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
4.4.4 Die Masse der Sterne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
4.4.5 Das Hertzsprung-Russell Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5 Hydrodynamik: Sternmodelle 275
5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5.1.1 Physik der Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
5.1.2 Kompendium: Physik der Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
5.1.3 Hydrostatisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
5.1.4 Hydrodynamik: Sternpulsationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
5.1.5 Energieerzeugung durch Kernfusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
5.2 Analytische Sternmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
5.3 Hydrodynamisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
5.3.1 Die Grundgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
5.3.2 Wärmetransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5.4 Licht: Die grossen Entdeckungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
5.4.1 Die Sonne als Strahlungsquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
5.4.2 Die interstellare Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.4.3 Hydrostatisches Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
5.4.4 Polytrope Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
5.4.5 Eigenschaften polytroper Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
5.4.6 Das Eddingtonsche Standardmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
5.4.7 Strömgrens Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
5.5 Stabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
5.5.1 Kollaps ohne Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.5.2 Lineare Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
5.5.3 Schallwellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
5.5.4 Das Jeans–Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
5.5.5 Stabilität der Sternpulsationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
5.5.6 Ein Extremalprinzip für Sternpulsationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
6 Planeten 323
6.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
6.2 Das Planetensystem der Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
6.2.1 Einleitung: die Gestalt der Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
6.2.2 Aufbau der Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
6.3 Der innere Aufbau der Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.3.1 Inkompressible Materie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.3.2 Die Zustandsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
6.3.3 Die Zustandsphasen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
6.4 Die neun Planeten der Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

462 INHALTSVERZEICHNIS
6.4.1 Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
6.4.2 Die anderen Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.4.3 Drehimpulsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.5 Element- und Molekülverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
6.5.1 Ursprungsmasse der Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
6.5.2 Die Atmosphären der Planeten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
6.6 Interplanetare Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
6.6.1 Die Hauptkomponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
6.6.2 Kometen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.7 Probleme der Kosmogonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
7 Die Erde. 345
7.1 Physik der Erde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
7.1.1 Das Innere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
7.1.2 Kosmogonie der Erde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
7.1.3 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
7.1.4 Die Erdatmosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
7.1.5 Aufbau und Pulsation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
7.2 Astronomie der Erde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
7.2.1 Der Mond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
7.2.2 Rotation der Erde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
8 Die Sonne als Stern 377
8.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
8.1.1 Daten der Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
8.1.2 Definition der Sonnentemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
8.1.3 Die Leuchtkraft der Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
8.1.4 Das Energieproblem der Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
8.1.5 Strahlungstransport und Lebensdauer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
8.1.6 Die untere Grenzmasse für Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
8.1.7 Die obere Grenzmasse und Leuchtkraft für Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . 388
8.2 Sternaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
8.2.1 Strömgrens Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
8.2.2 Wasserstoffbrennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
8.2.3 Das Standard-Sonnenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
8.2.4 Elementsynthese und primordiales Helium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
8.2.5 Sonnen-Neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
8.3 Entwicklung der Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
8.3.1 Vorbemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
8.3.2 Protosterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
8.3.3 Die Ursonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
8.3.4 Das Ende der Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
A Datensammlung 417
A.1 Astronomische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
A.1.1 Mittelwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
A.1.2 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
A.2 Masssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
A.2.1 Vielfache und Teile der Einheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

INHALTSVERZEICHNIS 463
A.2.2 Physikalische Masssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
A.3 Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
A.3.1 Der Messier Katalog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
A.3.2 Fundamentalkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
A.3.3 Zeit und Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
A.3.4 Umrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
A.3.5 Formeln und Bezeichnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
A.3.6 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
A.3.7 Kosmische Häufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
A.4 Pulsare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
A.4.1 Pulsarparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
B Geschichte der Physik 433
B.1 Newtonsche Fernwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
B.1.1 Die ersten Weltmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
B.1.2 Der Anfang der Astrophysik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
B.1.3 Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
B.1.4 Ausbau der Newtonschen Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439
B.1.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
B.2 Licht: Relativität und Dualismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
B.2.1 Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
B.2.2 Das Licht und seine Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441
B.3 Quanten - Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
B.3.1 Feldwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445
B.3.2 Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
B.4 Einstein und die Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
B.4.1 Gauß und Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
Literatur 447
Glossar 451
Literatur 458
IV 459
Tab 463
Pic 465
Index 465

464 INHALTSVERZEICHNIS

Tabellenverzeichnis
1.1 Grundlängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Erde - Mond System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Bekannte Sterne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Algol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5 Entfernungs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6 gal. Schwarz-Loch-Kandidaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7 Tierkreiszeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.8 Konstellationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.9 Offene Sternhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.10 Klassifikation der Sternhelligkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.11 Haufencharakteristika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.12 Populationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.13 Eichhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.14 Entfernung gal. Zentrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.15 gal. Schwarz-Loch-Kandidaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.16 RR Lyrae Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.17 Entfernungsmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.18 Eichklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.19 Nachbargalaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.20 Die Lokale Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.21 Sco X-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.22 Surveys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
1.23 16 Multiwellenlängen PSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.24 γ Repeater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.25 opt. GRBs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
1.26 cD Galaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.27 Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
1.28 Galaxientypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.29 Krebsnebelspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.30 Modell der MWG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.31 Nachbargalaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
1.32 LMC: Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.33 R136 Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.34 SMC: Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.35 Galaxienhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
1.36 Galaxiengruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.37 Vir A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.38 Nachbarhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
1.39 Galaxienhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
465

466 TABELLENVERZEICHNIS
1.40 Superhaufen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
1.41 Typ Ia SNe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
1.42 Galaxien-Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.43 Galaxien in Kollision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1.44 Fornax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
1.45 N-Galaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
1.46 Cygnus A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
1.47 Radio-Galaxien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1.48 Seyferts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1.49 AGN Kerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
1.50 M104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
1.51 Blasars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
1.52 Blasars . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
1.53 Linien von QSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
1.54 Doppel-Quasare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.55 Rotverschiebung I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
1.56 Rotverschiebung II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
1.57 Coma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
1.58 Entfernungs-Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
2.1 Mitglieder des Sonnensystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
2.2 Planet um 55 Cnc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
2.3 SAX J1808.4-3658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
2.4 Pulsar-Massen I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2.5 Pulsar-Massen I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
2.6 Schwarz-Loch-Kandidaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
2.7 Pulsar-Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
2.8 Cygnus A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2.9 phys. Prinzipien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.1 Halbwertszeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.2 Elementäufigkeit I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
3.3 Elementäufigkeit II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.4 Alter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.5 Masse-Alter-Radius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.6 Pulsare (kurze Orbitalperiode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
4.1 Crab Nebel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
4.2 Maserentdeckungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.3 Krebsnebelspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4.4 Extreme Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
4.5 Teleskope geordnet nach Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.6 VHE Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.7 Leuchtkraft Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.8 Atom Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
4.9 Leuchten der Erdatmosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
4.10 UBV Helligkeitssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4.11 Hauptreihe: Temperatur und Leuchtkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
4.12 Hauptreihe: Masse - Radius Beziehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
4.13 Leuchtkraftklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

TABELLENVERZEICHNIS 467
5.1 Stern-Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
5.2 Daten zu Nebeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
5.3 Polytrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
5.4 Pulsperioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
6.1 Kugelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
6.2 Parameter der Planeten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.3 Die Planeten: Drehimpulsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
6.4 Titius-Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
6.5 Die schweren Elemente in der Sonne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
6.6 Planeten Ursprungsmasse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
6.7 Interplanetare Objekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
6.8 Solare Elementhäufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
6.9 Evaporation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6.10 Kosmogonie und Hierarchie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
7.1 Pulsperioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
7.2 Zerfallszeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
7.3 Monddaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
7.4 Monat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
8.1 Abgeleitete Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
8.2 Sonnenphotosphäre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
8.3 Standardmodell der Sonne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
A.1 Fundamentalgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
A.2 Naturkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
A.3 Energie Umrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
A.4 Kosmische Häufigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
A.5 Pulsarparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
A.6 Pulsarparameter II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

468 TABELLENVERZEICHNIS

Abbildungsverzeichnis
1.1 Längenhierarchie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Erdbahnparallaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Sternstromparallaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1 Keplerbahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.2 Anomalie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.3 Apex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.1 Jupiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
7.1 Aufbau der Erde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
469