Modellierung - an der Universität Duisburg-Essen
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Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Darstellung<br />
t2<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Wir betrachten den Zusammenh<strong>an</strong>g zwischen <strong>der</strong> mathematischen<br />
Notation und <strong>der</strong> graphischen Darstellung genauer:<br />
s1<br />
t1<br />
s3<br />
2<br />
s2<br />
t3<br />
Stellenordnung: s1, s2, s3<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Dynamik<br />
Addition<br />
Alternative Darstellung (mit Flussrelation):<br />
S = {s1, s2, s3}<br />
T = {t1, t2, t3}<br />
F = {(s1, 1, t1), (s2, 1, t1), (t1, 2, s3),<br />
m0 = (1, 2, 0)<br />
(s3, 1, t2), (t2, 1, s1),<br />
(s3, 1, t3), (t3, 1, s2)}<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 104<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Wir definieren m ′′ = m ⊕ m ′ , wobei m ′′ : S → N0 mit<br />
m ′′ (s) = m(s) + m ′ (s) für alle s ∈ S.<br />
Subtraktion<br />
Wir definieren m ′′ = m ⊖ m ′ , wobei m ′′ : S → N0 mit<br />
m ′′ (s) = m(s) − m ′ (s) für alle s ∈ S. Dabei gilt n − k = 0, falls<br />
n, k ∈ N0, n < k (modifizierte Subtraktion).<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 106<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Dynamik<br />
Relationen und Operationen auf Markierungen:<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Seien m, m ′ : S → N0 zwei Markierungen, d.h. Abbildungen von<br />
Stellen auf natürliche Zahlen.<br />
Ordnung<br />
Es gilt m ≤ m ′ , falls für alle s ∈ S gilt: m(s) ≤ m ′ (s).<br />
In diesem Fall sagt m<strong>an</strong>, dass m durch m ′ überdeckt wird.<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Dynamik<br />
Weitere Definitionen:<br />
Aktivierung<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 105<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Eine Tr<strong>an</strong>sition t ist unter einer Markierung m aktiviert, falls<br />
• t ≤ m gilt. (D.h., falls genug Marken vorh<strong>an</strong>den sind, um die<br />
Tr<strong>an</strong>sition zu schalten.)<br />
Schalten<br />
Sei m eine Markierung und t eine Tr<strong>an</strong>sition, die für m aktiviert<br />
ist. D<strong>an</strong>n k<strong>an</strong>n t schalten, was zu <strong>der</strong> Nachfolgemarkierung<br />
m ′ = m ⊖ • t ⊕ t • führt. Symbolisch m[t〉m ′ .<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 107
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