Modellierung - an der Universität Duisburg-Essen
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Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Invari<strong>an</strong>ten<br />
Markierungsgleichung<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Für jede erreichbare Markierung m gibt es einen Schaltvektor �u mit<br />
�m = �m0 + C · �u<br />
Das heißt, jede erreichbare Markierung k<strong>an</strong>n in obiger Form<br />
dargestellt werden.<br />
Aber: nicht jede Markierung, die so dargestellt werden k<strong>an</strong>n, ist<br />
auch erreichbar.<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Invari<strong>an</strong>ten<br />
t1<br />
s1<br />
s3<br />
t2<br />
s2<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 168<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
⎛<br />
−1<br />
⎞<br />
0<br />
C = ⎝−1<br />
1 ⎠<br />
1 −1<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
1 −1<br />
⎝0⎠+<br />
⎝−1<br />
0 1<br />
⎞ ⎛ ⎞<br />
0 � � 0<br />
1 ⎠·<br />
1<br />
= ⎝0⎠<br />
1<br />
−1<br />
0<br />
Diese Markierung ist jedoch<br />
nicht erreichbar, da die<br />
Schaltfolgen t1t2 und t2t1<br />
beide nicht möglich sind.<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 170<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Invari<strong>an</strong>ten<br />
t1<br />
s1<br />
s3<br />
s2<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Invari<strong>an</strong>ten<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
−1<br />
C = ⎝ 0 ⎠<br />
1<br />
⎛ ⎞<br />
−1<br />
⎛ ⎞<br />
0<br />
⎝0⎠<br />
+ ⎝ 0 ⎠ · (1) = ⎝0⎠<br />
0 1<br />
1<br />
Diese Markierung ist jedoch<br />
nicht erreichbar, da t1 nicht<br />
aktiviert ist.<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 169<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Die Markierungsgleichung k<strong>an</strong>n also nicht dazu genutzt werden,<br />
um zu zeigen, dass eine bestimmte Markierung erreichbar ist.<br />
Aber: m<strong>an</strong> k<strong>an</strong>n damit m<strong>an</strong>chmal zeigen, dass eine Markierung<br />
nicht erreichbar ist.<br />
Beispiel: Ist in folgendem Netz die Markierung m = (2, 2, 0)<br />
erreichbar?<br />
t2<br />
s1<br />
t1<br />
s3<br />
2<br />
s2<br />
t3<br />
Wir überprüfen, ob die Gleichung<br />
⎛ ⎞<br />
2<br />
⎛ ⎞<br />
1<br />
⎛<br />
−1 1<br />
⎞ ⎛<br />
0<br />
⎝2⎠<br />
= ⎝2⎠+<br />
⎝−1<br />
0 1 ⎠· ⎝<br />
0 0 2 −1 −1<br />
eine Lösung in den natürlichen<br />
Zahlen hat.<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 171<br />
u1<br />
u2<br />
u3<br />
⎞<br />
⎠
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