Modellierung - an der Universität Duisburg-Essen
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Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Invari<strong>an</strong>ten<br />
Multiplikation einer Matrix mit einem Zeilenvektor<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Sei C eine m×n-Matrix und u ein Zeilenvektor <strong>der</strong> Dimension m.<br />
D<strong>an</strong>n ist u · C folgen<strong>der</strong> Zeilenvektor <strong>der</strong> Dimension n:<br />
⎛<br />
⎞<br />
u · C = � � ⎜<br />
u1 . . . um · ⎝<br />
C1,1 . . . C1,n<br />
. .<br />
.<br />
..<br />
.<br />
⎟<br />
. ⎠<br />
Cm,1 . . . Cm,n<br />
= � �<br />
u1 · C1,1 + · · · + um · Cm,1 . . . u1 · C1,n + · · · + um · Cm,n<br />
Das heißt, in <strong>der</strong> j-ten Spalte des Zeilenvektors steht <strong>der</strong> Eintrag<br />
� n<br />
i=1 ui · Ci,j.<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Invari<strong>an</strong>ten<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 160<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Wir betrachten nun die Inzidenzmatrix (o<strong>der</strong> einfach Matrix) eines<br />
Petrinetzes.<br />
Sei S = {s1, . . . , sm} die Stellenmenge, T = {t1, . . . , tn} die<br />
Tr<strong>an</strong>sitionsmenge des Petrinetzes N.<br />
Die Inzidenzmatrix C von N ist eine m × n-Matrix mit Einträgen<br />
<strong>der</strong> Form:<br />
Ci,j = tj • (si) − • tj(si) ∈ Z<br />
Dabei h<strong>an</strong>delt es sich um die herkömmliche Subtraktion (nicht die<br />
modifizierte) und das Ergebnis liegt in den g<strong>an</strong>zen Zahlen.<br />
Der Eintrag Ci,j gibt <strong>an</strong>, wie sich die Anzahl <strong>der</strong> Marken in Stelle<br />
si än<strong>der</strong>t, wenn die Tr<strong>an</strong>sition tj geschaltet wird.<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 162<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Invari<strong>an</strong>ten<br />
Merkregel:<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Die Multiplikation einer m×n-Matrix mit einer n×1-Matrix<br />
(Spaltenvektor <strong>der</strong> Dimension n) ergibt eine m×1-Matrix<br />
(Spaltenvektor <strong>der</strong> Dimension m).<br />
Die Multiplikation einer einer 1×m-Matrix (Zeilenvektor <strong>der</strong><br />
Dimension m) mit einer m×n-Matrix ergibt eine 1×n-Matrix<br />
(Zeilenvektor <strong>der</strong> Dimension n).<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Invari<strong>an</strong>ten<br />
Beispiel für eine Matrix:<br />
t2<br />
s1<br />
t1<br />
s3<br />
2<br />
s2<br />
t3<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 161<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Berechnung <strong>der</strong> Matrix-Einträge:<br />
t1 t2 t3<br />
s1 C1,1 = 0 − 1 C1,2 = 1 − 0 C1,3 = 0 − 0<br />
s2 C2,1 = 0 − 1 C2,2 = 0 − 0 C2,3 = 1 − 0<br />
s3 C3,1 = 2 − 0 C3,2 = 0 − 1 C3,3 = 0 − 1<br />
Resultierende Matrix:<br />
⎛<br />
−1 1<br />
⎞<br />
0<br />
C = ⎝−1<br />
0 1 ⎠<br />
2 −1 −1<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 163
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