Modellierung - an der Universität Duisburg-Essen
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Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Petrinetze: Fallstudien (Speisende Philosophen)<br />
Zu zeigen: in diesem Netz gibt es keine Verklemmung, bei <strong>der</strong><br />
beide Philosophen im Wartezust<strong>an</strong>d sind.<br />
D.h., folgende Markierung soll nicht erreichbar sein:<br />
m = (0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0)<br />
Dazu betrachten wir die Inzidenzmatrix des Netzes:<br />
⎛<br />
−1 0 1 −1 0<br />
⎞<br />
1<br />
⎜<br />
0<br />
⎜<br />
−1<br />
⎜<br />
C = ⎜ 0<br />
⎜ 1<br />
⎜ 0<br />
⎝ 0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
1<br />
1<br />
1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
1<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
0<br />
0<br />
−1<br />
0<br />
1 ⎟<br />
0 ⎟<br />
1 ⎟<br />
0 ⎟<br />
0 ⎟<br />
0 ⎠<br />
0 0 0 0 1 −1<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Weitere Arten von Netzen<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 203<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Wir betrachten zuletzt noch zwei weitere Arten von Netzen:<br />
Netze mit Kapazitäten<br />
Attributierte Netze<br />
auch bek<strong>an</strong>nt unter den Namen: Netze mit individuellen<br />
Marken, Prädikat-Tr<strong>an</strong>sitions-Netze, engl. coloured Petri nets<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 205<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Petrinetze: Fallstudien (Speisende Philosophen)<br />
Eine S-Invari<strong>an</strong>te ist<br />
Und es gilt:<br />
v = � 1 0 0 0 1 1 1 1 �<br />
v · �m0 = 1 v · �m = 2<br />
Daraus folgt v · �m0 �= v · �m. Damit ist m nicht erreichbar und es<br />
k<strong>an</strong>n daher kein Deadlock dieser Form geben.<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Weitere Arten von Netzen<br />
Netze mit Kapazitäten<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 204<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Ein Petrinetz mit Kapazitäten besteht aus einem (herkömmlichen)<br />
Petrinetz N (mit Stellenmenge S) und einer Kapazitätsfunktion<br />
k : S → N0. Für die Anf<strong>an</strong>gsmarkierung m0 muss gelten: m0 ≤ k.<br />
Intuition: die Stelle s darf höchstens k(s) Marken enthalten.<br />
Kapazitäten werden neben die Stellen geschrieben.<br />
Schalten von Tr<strong>an</strong>sitionen bei Kapazitäten<br />
Eine Tr<strong>an</strong>sition t k<strong>an</strong>n unter einer Markierung m schalten, wenn<br />
gilt:<br />
1 • t ≤ m<br />
2 und m ⊖ • t ⊕ t • ≤ k.<br />
D.h., eine Tr<strong>an</strong>sition darf nur d<strong>an</strong>n schalten, wenn dadurch die<br />
Kapazitäten nicht überschritten werden.<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 206
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