Modellierung - an der Universität Duisburg-Essen
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Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Invari<strong>an</strong>ten<br />
� Lösen eines Gleichungssystems<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Hier sieht m<strong>an</strong> leicht durch Addition aller Gleichungen, dass das<br />
Gleichungssystem keine Lösung hat.<br />
2 = 1 −u1 +u2<br />
2 = 2 −u1 +u3<br />
0 = 2u1 −u2 −u3<br />
4 = 3 Wi<strong>der</strong>spruch!<br />
Das heißt, die Markierung m = (2, 2, 0) ist nicht erreichbar.<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Invari<strong>an</strong>ten<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 172<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Aufgabe: Stelle die Markierungsgleichung für folgendes<br />
(unbeschränkte) Netz auf.<br />
s2<br />
2<br />
s1<br />
t1<br />
s3<br />
K<strong>an</strong>n m<strong>an</strong> mit Hilfe <strong>der</strong> Markierungsgleichung überprüfen,<br />
dass die Markierung (1, 20, 0) nicht erreichbar ist?<br />
K<strong>an</strong>n das gleiche Ergebnis auch mit dem<br />
Überdeckbarkeitsgraph erzielt werden?<br />
t2<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 174<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Invari<strong>an</strong>ten<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Achtung: Als Lösungen des Gleichungssystem interessieren uns hier<br />
Lösungen in den in den natürlichen Zahlen.<br />
Daher ist das zum Lösen von Gleichungssystemen üblicherweise<br />
verwendete Gaußsche Eliminationsverfahren nur begrenzt<br />
einsetzbar. In m<strong>an</strong>chen Fällen muss es noch durch <strong>an</strong><strong>der</strong>e<br />
Techniken (z.B. Lösungsverfahren für dioph<strong>an</strong>tische Gleichungen)<br />
erweitert werden.<br />
In unserem Fall werden wir die Beispiele jedoch immer so wählen,<br />
dass die entstehenden Gleichungssysteme einfach zu lösen sind.<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Invari<strong>an</strong>ten<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 173<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Wir kommen nun zu einer weiteren Verwendung von<br />
Inzidenzmatrizen: sogen<strong>an</strong>nte T- und S-Invari<strong>an</strong>ten.<br />
T-Invari<strong>an</strong>te<br />
Gegeben sei ein Netz N und seine m×n-Inzidenzmatrix C. Ein<br />
Spaltenvektor �u <strong>der</strong> Dimension n heißt T-Invari<strong>an</strong>te, falls<br />
C · �u = �0<br />
Dabei ist �0 ein Spaltenvektor, <strong>der</strong> nur Einträge <strong>der</strong> Form 0 hat.<br />
Bedeutung: eine T-Invari<strong>an</strong>te beschreibt mögliche Schaltfolgen, die<br />
eine Markierung unverän<strong>der</strong>t lassen. Im Erreichbarkeitsgraph ergibt<br />
sich d<strong>an</strong>n ein Kreis.<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 175
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