Modellierung - an der Universität Duisburg-Essen
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Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Invari<strong>an</strong>ten<br />
Bemerkung zu T-Invari<strong>an</strong>ten:<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Wie bei <strong>der</strong> Markierungsgleichung müssen solche Schaltfolgen<br />
nicht notwendigerweise realisierbar sein.<br />
Wenn es einen Kreis im Erreichbarkeitsgraphen gibt, so<br />
entspricht dieser aber auf jeden Fall einer T-Invari<strong>an</strong>te.<br />
Wie bei <strong>der</strong> Markierungsgleichung interessieren uns hier nur<br />
T -Invari<strong>an</strong>ten mit Einträgen aus N0.<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Invari<strong>an</strong>ten<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 176<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
S-Invari<strong>an</strong>te<br />
Gegeben sei ein Netz N und seine m×n-Inzidenzmatrix C. Ein<br />
Zeilenvektor v <strong>der</strong> Dimension m heißt S-Invari<strong>an</strong>te, falls<br />
v · C = � 0 . . . 0 �<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 178<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Invari<strong>an</strong>ten<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Aufgabe: Bestimme die T-Invari<strong>an</strong>ten des folgenden Netzes:<br />
t2<br />
Welche Bedeutung haben die T-Invari<strong>an</strong>ten für den<br />
Erreichbarkeitsgraph?<br />
Erreichbarkeitsgraph<br />
s1<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Petrinetze: Invari<strong>an</strong>ten<br />
t1<br />
s3<br />
2<br />
s2<br />
t3<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 177<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Bedeutung: sei �m eine erreichbare Markierung. D<strong>an</strong>n gilt nach <strong>der</strong><br />
Markierungsgleichung, dass es einen Schaltvektor �u gibt mit:<br />
�m = �m0 + C · �u<br />
Wenn m<strong>an</strong> die Gleichung auf beiden Seiten von links mit v<br />
multipliziert, so erhält m<strong>an</strong>:<br />
v · �m = v · �m0 + v · C · �u = v · �m0 + 0 = v · �m0<br />
Also gilt v · �m = v · �m0 für jede S-Invari<strong>an</strong>te v und für jede<br />
erreichbare Markierung m.<br />
Eine Markierung, die diese Gleichung nicht erfüllt, k<strong>an</strong>n daher<br />
nicht erreichbar sein!<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 179
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