Modellierung - an der Universität Duisburg-Essen

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Einführung in die Modellierung Petrinetze Unified Modeling Language (UML) Petrinetze: Invarianten Multiplikation einer Matrix mit einem Zeilenvektor Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen Inzidenzmatrizen und Invarianten Sei C eine m×n-Matrix und u ein Zeilenvektor der Dimension m. Dann ist u · C folgender Zeilenvektor der Dimension n: ⎛ ⎞ u · C = � � ⎜ u1 . . . um · ⎝ C1,1 . . . C1,n . . . .. . ⎟ . ⎠ Cm,1 . . . Cm,n = � � u1 · C1,1 + · · · + um · Cm,1 . . . u1 · C1,n + · · · + um · Cm,n Das heißt, in der j-ten Spalte des Zeilenvektors steht der Eintrag � n i=1 ui · Ci,j. Einführung in die Modellierung Petrinetze Unified Modeling Language (UML) Petrinetze: Invarianten Barbara König Modellierung 160 Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen Inzidenzmatrizen und Invarianten Wir betrachten nun die Inzidenzmatrix (oder einfach Matrix) eines Petrinetzes. Sei S = {s1, . . . , sm} die Stellenmenge, T = {t1, . . . , tn} die Transitionsmenge des Petrinetzes N. Die Inzidenzmatrix C von N ist eine m × n-Matrix mit Einträgen der Form: Ci,j = tj • (si) − • tj(si) ∈ Z Dabei handelt es sich um die herkömmliche Subtraktion (nicht die modifizierte) und das Ergebnis liegt in den ganzen Zahlen. Der Eintrag Ci,j gibt an, wie sich die Anzahl der Marken in Stelle si ändert, wenn die Transition tj geschaltet wird. Barbara König Modellierung 162 Einführung in die Modellierung Petrinetze Unified Modeling Language (UML) Petrinetze: Invarianten Merkregel: Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen Inzidenzmatrizen und Invarianten Die Multiplikation einer m×n-Matrix mit einer n×1-Matrix (Spaltenvektor der Dimension n) ergibt eine m×1-Matrix (Spaltenvektor der Dimension m). Die Multiplikation einer einer 1×m-Matrix (Zeilenvektor der Dimension m) mit einer m×n-Matrix ergibt eine 1×n-Matrix (Zeilenvektor der Dimension n). Einführung in die Modellierung Petrinetze Unified Modeling Language (UML) Petrinetze: Invarianten Beispiel für eine Matrix: t2 s1 t1 s3 2 s2 t3 Barbara König Modellierung 161 Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen Inzidenzmatrizen und Invarianten Berechnung der Matrix-Einträge: t1 t2 t3 s1 C1,1 = 0 − 1 C1,2 = 1 − 0 C1,3 = 0 − 0 s2 C2,1 = 0 − 1 C2,2 = 0 − 0 C2,3 = 1 − 0 s3 C3,1 = 2 − 0 C3,2 = 0 − 1 C3,3 = 0 − 1 Resultierende Matrix: ⎛ −1 1 ⎞ 0 C = ⎝−1 0 1 ⎠ 2 −1 −1 Barbara König Modellierung 163
Einführung in die Modellierung Petrinetze Unified Modeling Language (UML) Petrinetze: Invarianten t1 s1 s3 s2 Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen Inzidenzmatrizen und Invarianten Die beiden Netze sind verschieden, haben aber dieselbe Inzidenzmatrix: ⎛ ⎞ −1 C = ⎝ 0 ⎠ 1 Dieses Phänomen kann nicht auftreten, wenn wir nur schlingenfreie Netze betrachten. Einführung in die Modellierung Petrinetze Unified Modeling Language (UML) Petrinetze: Invarianten Sei t1 Barbara König Modellierung 164 �u = ⎛ ⎜ ⎝ s1 s3 Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen Inzidenzmatrizen und Invarianten der sogenannte Schaltvektor, der angibt, wie oft jede Transition geschalten werden soll. Schaltvektor für das Beispielnetz: t1 und t2 werden zweimal geschalten, t3 einmal (dieser Schaltvektor ist von der Anfangsmarkierung aus realisierbar, z.B. durch die Schaltfolge t1t2t3t1t2). ⎛ ⎞ 2 ⎛ 2 · (−1) + 2 · 1 + 1 · 0 ⎞ ⎛ 0 �u = ⎝2⎠ C · �u = ⎝ 2 · (−1) + 2 · 0 + 1 · 1 ⎠ = ⎝−1 1 2 · 2 + 2 · (−1) + 1 · (−1) 1 u1 . un ⎞ ⎟ ⎠ Barbara König Modellierung 166 s2 ⎞ ⎠ Einführung in die Modellierung Petrinetze Unified Modeling Language (UML) Petrinetze: Invarianten Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen Inzidenzmatrizen und Invarianten Angenommen, es gibt eine Schaltfolge, bei der die Transition tj uj-mal geschaltet wird (uj ∈ N0). Wie kann man die dadurch verursachte Änderung der Markierung mit Hilfe der Inzidenzmatrix bestimmen? Man multipliziert die Spalte j, die für die Transition tj steht, mit uj. Damit erhält man den Effekt des uj-maligen Schaltens von tj für jede einzelne Stelle. Man addiert alle Werte der Zeile i, die für die Stelle si steht, auf. Damit erhält man den Effekt des Schaltens aller Transitionen für eine einzelne Stelle. � Multiplikation der Matrix mit einem Vektor! Einführung in die Modellierung Petrinetze Unified Modeling Language (UML) Petrinetze: Invarianten Barbara König Modellierung 165 Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen Inzidenzmatrizen und Invarianten D.h., die Schaltfolge hat den Effekt, die Anzahl der Marken in Stelle s1 gleichzulassen, in s2 um eins zu verringern und in s3 um eins zu erhöhen. Wenn wir diese Änderung zu dem Spaltenvektor addieren, der der Anfangsmarkierung entspricht, ergibt sich: ⎛ ⎞ 1 ⎛ ⎞ 0 ⎛ ⎞ 1 �m0 + C · �u = ⎝2⎠ + ⎝−1⎠ = ⎝1⎠ 0 1 1 Barbara König Modellierung 167
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