Modellierung - an der Universität Duisburg-Essen
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Modellierung - an der Universität Duisburg-Essen
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Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Petrinetze: Fallstudien (Wechselseitiger Ausschluss)<br />
Vereinfacht ergibt sich:<br />
v1 = v2 + v5<br />
v3 = v4 + v5<br />
Das heißt, die Lösungen haben genau die Form:<br />
�<br />
v2+v5 v2<br />
= v2 ·<br />
�<br />
v4+v5 v4 v5<br />
� 1 1 0 0 0 � + v4 · � 0 0 1 1 0 � + v5 · � 1 0 1 0 1 �<br />
für v2, v4, v5 ∈ Z. Die drei Vektoren bilden eine Basis des<br />
Lösungsraums.<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 199<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Petrinetze: Fallstudien (Speisende Philosophen)<br />
Wir kommen nochmal auf die speisenden Philosophen zurück:<br />
Diesmal sitzen nur zwei Philosophen <strong>an</strong> einem Tisch (damit<br />
das Beispiel nicht zu groß wird).<br />
Einer davon ist ein Linkshän<strong>der</strong> (und nimmt die linke Gabel<br />
zuerst), <strong>der</strong> <strong>an</strong><strong>der</strong>e ein Rechtshän<strong>der</strong> (und nimmt die rechte<br />
Gabel zuerst).<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 201<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Petrinetze: Fallstudien (Wechselseitiger Ausschluss)<br />
Für uns ist vor allem <strong>der</strong> letzte Vektor interess<strong>an</strong>t. Für jede<br />
erreichbare Markierung m = (m1, m2, m3, m4, m5) muss gelten:<br />
m1 + m3 + m5 = v · �m = v · �m0 = 1<br />
Angenommen, in <strong>der</strong> Stelle K1 liegt mehr als eine Marke (m1 ≥ 1)<br />
und in <strong>der</strong> Stelle K2 liegt mehr als eine Marke (m3 ≥ 1).<br />
D<strong>an</strong>n gilt:<br />
was ein Wi<strong>der</strong>spruch ist.<br />
2 ≤ m1 + m3 + m5 = 1,<br />
Also liegt in den Stellen K1, K2 zusammen immer höchstens eine<br />
Marke.<br />
Einführung in die <strong>Modellierung</strong><br />
Petrinetze<br />
Unified Modeling L<strong>an</strong>guage (UML)<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 200<br />
Grundlagen und Erreichbarkeitsgraphen<br />
Eigenschaften von Petrinetzen, Überdeckbarkeitsgraphen<br />
Inzidenzmatrizen und Invari<strong>an</strong>ten<br />
Petrinetze: Fallstudien (Speisende Philosophen)<br />
Petrinetz: links- und rechtshändige Philosophen<br />
F1<br />
W1<br />
w1<br />
w2<br />
W2<br />
e1<br />
H1<br />
H2<br />
e2<br />
E1<br />
h1<br />
h2<br />
E2<br />
F2<br />
Reihenfolge <strong>der</strong><br />
Stellen:<br />
F1, F2, H1, H2,<br />
W1, W2, E1, E2<br />
Reihenfolge <strong>der</strong><br />
Tr<strong>an</strong>sitionen:<br />
w1, e1, h1,<br />
w2, e2, h2<br />
Barbara König <strong>Modellierung</strong> 202
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