2 Finanzmathematik-Schüler

Zinseszinsrechnung
1. Auf welchen Betrag wächst ein Kapital von K0 € bei jährlicher Verzinsung zu p % in n
Jahren an.
a. K0 = 5.200,- € p = 4 ½ % n = 6 Jahre
b. K0 = 3.250,- € p = 6 % n = 7 Jahre
c. K0 = 7.500,- € p = 5 ½ % n = 5 Jahre
d. K0 = 8.320,- € p = 5 % n = 3 Jahre
e. K0 = 6.600,- € p = 4 ¾ % n = 4 Jahre
2. Jemand legt am Anfang eines Jahres bei einer Bank 10.000,- € zu 5 ½ % auf Zinseszinsen.
Auf wie viel Euro ist der eingezahlte Betrag in 6 Jahren angewachsen.
3. Ein Vater legt für seine Tochter zu Beginn eines Jahres bei einer Sparkasse ein Sparbuch
über 3.000,- € an. Über welchen Betrag kann die Tochter nach 6 Jahren verfügen, wenn die
Sparkasse das Sparguthaben mit 4 ½ % verzinst.
4. Auf welchen Betrag würde ein Kapital von 100,- € anwachsen, wenn es bei jährlicher
Verzinsung zu 6 % 30 Jahre lang auf Zinseszinsen steht.
5. Auf welchen Betrag würde 1 Cent anwachsen, wenn er bei jährlicher Verzinsung zu a) 4 %
b) 5 % 1.000 Jahre lang auf Zinseszinsen steht.
6. Wächst ein Kapital bei jährlicher Verzinsung zu 5 % in 6 Jahren zu einem höheren
Endkapital an als bei jährlicher Verzinsung zu 6 % in 5 Jahren?
7. Eine Spareinlage von 8.500,- € wurde in den ersten 3 Jahren mit 4 ½ % jährlich verzinst.
Zu Beginn des 4. Jahres wurde der Zinssatz auf 5 % erhöht. Auf welchen Endbetrag war die
Spareinlage nach weiteren 5 Jahren angewachsen.
8. Ein Kapital von 7.300,- € wird 5 Jahre lang mit 5 %, danach 3 Jahre mit 5 ½ % und
anschließend noch weitere 2 Jahre mit 6 % verzinst. Auf welchen Betrag wächst das Kapital
an?
9. Jemand erbt im Alter von 50 Jahren 15.000,- €. Davon legt er 10.000,- € bei einer Bank zu
6 ½ % auf Zinseszinsen. Nach 12 Jahren lässt er sich am Ende eines jeden Jahres die
Jahreszinsen auszahlen. Welchen Zinsbetrag erhält er?
10. Ein Angestellter legt am Anfang eines Jahres bei einer Bank ein Sparkonto an. Er zahlt
4.000,- € ein. Die jährliche Verzinsung beträgt 5 %. Nach 2 Jahren hebt der Sparer 1.000,- €
ab. Das restliche Guthaben wird noch weitere 3 Jahre verzinst. Welcher Betrag wird dem
Angestellten nach Ablauf von 5 Jahren ausgezahlt?
11. Wie hoch ist das Anfangskapital K0, das nach n Jahren bei jährlicher Verzinsung zu p %
auf das Endkapital Kn angewachsen?
a. Kn = 8.000,- € p = 4 ½ % n = 4 Jahre
b. Kn = 3.191,- € p = 5 % n = 5 Jahre
c. Kn = 8.074,- € p = 4 ½ % n = 6 Jahre
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12. Wie hoch ist der Barwert des Kapitals Kn, das nach n Jahren bei jährlicher Verzinsung zu
p % fällig ist?
a. Kn = 12.000,- € p = 5 % n = 6 Jahre
b. Kn = 15.000,- € p = 6 ½ % n = 5 Jahre
13. Ein Kapital wurde 3 Jahre lang jährlich mit 5 % und danach 4 Jahre lang mit 6 % jährlich
verzinst. Wie hoch war das Kapital, wenn es auf 9.645,- € angewachsen ist.
14. Beim Verkauf eines Hauses werden 3 Angebote gemacht:
Angebot A: 140.000,- € in bar
Angebot B: 100.000,- € in bar, 45.000,- € nach 3 Jahren
Angebot C: 120.000,- € in bar, 30.000,- € nach 5 Jahren
Welches der 3 Angebote ist am günstigsten, wenn für die ausstehenden Ratenzahlungen ein
Zinssatz von 6 % bei jährlicher Verzinsung zu Grunde gelegt wird.
15. Ein Vater legt für seinen Sohn ein Sparkonto an. Dem Sohn sollen nach 10 Jahren auf
diesem Konto 15.000,- € zur Verfügung stehen. Welchen einmaligen Betrag hat der Vater
einzuzahlen, wenn die jährliche Verzinsung 6 % beträgt?
16. In einem Testament wurde bestimmt, dass von den beiden Kindern einer Familie der
Bruder seiner jüngeren Schwester nach 5 Jahren 20.000,- € zu zahlen hat. Der Bruder möchte
seine finanzielle Verpflichtung sofort erfüllen. Welchen Betrag hat er seiner Schwester zu
zahlen, wenn sich beide auf eine jährliche Verzinsung von 5 % geeinigt haben?
17. Ein Darlehn von 15.000,- € soll durch zwei gleich hohe Raten, von denen die erste nach
3 Jahren und die zweite nach 5 Jahren (vom Zeitpunkt der Darlehnsaufnahme an gerechnet)
fällig ist, zurückgezahlt werden. Wie hoch sind die beiden Raten, wobei die jährliche
Verzinsung 7 % beträgt?
18. Zu welchem Prozentsatz steht ein Kapital K0 auf Zinseszinsen, wenn es bei jährlicher
Verzinsung in n Jahren auf das Endkapital Kn angewachsen ist?
a. K0 = 2.500,- € n = 5 Jahre Kn = 3.191,- €
b. K0 = 2.500,- € n = 4 Jahre Kn = 3.010,- €
c. K0 = 4.200,- € n = 8 Jahre Kn = 5.972,83 €
19. Zu welchem Zinssatz war ein Kapital von 5.000,- € ausgeliehen, wenn es bei jährlicher
Verzinsung in 5 Jahren auf 6.535,- € angewachsen ist?
20. Jemand zahlt ein Darlehn in Höhe von 7.500,- € nach 4 Jahren mit 9.830,- € zurück. Wie
viel Prozent betrug die jährliche Verzinsung?
21. Zu welchem Zinssatz muss ein Kapital auf Zinseszinsen stehen, damit es sich bei
jährlicher Verzinsung in 10 Jahren verdoppelt?
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22. Nach wie viel Jahren wächst ein Kapital K0 bei jährlicher Verzinsung von p % auf das
Endkapital Kn an?
a. K0 = 3.600,- € p = 6 % Kn = 6.500,- €
b. K0 = 20.000,- € p = 4,5 % Kn = 32.457,- €
c. K0 = 8.000,- € p = 5 % Kn = 10.721,- €
23. In welcher Zeit bringt ein Kapital von 12.000,- € bei einer jährlichen Verzinsung zu 6 %
9.490,- € Zinsen?
24. In wie viel Jahren wachsen 3.400,- € bei jährlicher Verzinsung zu 6 % auf den doppelten
Betrag an?
25. In wie viel Jahren a) verdoppelt, b) verdreifacht sich ein Kapital bei jährlicher Verzinsung
zu 5 % (6 %)?
26. Ein Industrieller hat für ein Waisenhaus 200.000,- € gestiftet und bestimmt, dass dieses
Kapital so lange auf Zinseszinsen gelegt werden soll, bis es bei 5 % jährlicher Verzinsung auf
300.000,- € angewachsen ist. Dann soll der jährliche Zinsbetrag für die Kinder des
Waisenhauses verwendet werden.
a) Wie viel volle Jahre dauert es, bis die Jahreszinsen zum ersten Mal ausgezahlt
werden?
b) Welcher Zinsbetrag wird jährlich ausgezahlt?
27. Auf welchen Betrag wächst ein Kapital in Höhe von 3.500,- € bei halbjährlicher
Verzinsung in 4 Jahren an, wenn der Jahreszinssatz 6 % beträgt?
28. Auf wie viel Euro wächst ein Kapital von 4.000,- € bei halbjährlichen Zinsperioden mit
einem relativen halbjährlichen Zinssatz von 2,5 % in 3 Jahren an?
29. Welchen Zinsbetrag bringen 1.000,- € in zwei Jahren, wenn a) jährliche, b) halbjährliche,
c) vierteljährliche Verzinsung zugrunde gelegt wird und der Jahreszinssatz 4 % beträgt?
30. Auf welchen Betrag wachsen 2.000,- € bei einer vierteljährlichen, relativen Verzinsung in
3 Jahren an, wenn der nominelle Zinssatz 6 % beträgt?
31. Ein Sparer legt 1000,- € bei 6 % Jahreszinsen (nominal) an. Die Zinsen werden pro
Quartal dem Konto gutgeschrieben und verzinsen sich mit. Wie viel Euro befinden sich nach
a) 2,5 Jahren, b) 3 Jahren und drei Monaten und c) 15 Quartalen auf dem Konto?
32. Wie hoch ist ein Kapital, das bei halbjährlicher relativer Verzinsung zu 3 % nach 4 Jahren
auf 7.200,- € anwächst?
33. Nach wie vielen Jahren sind 5.000,- € auf 7.150,- € angewachsen, wenn das Kapital
halbjährlich mit einem relativen Zinssatz von 3 % verzinst wird?
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34. Auf welchen Betrag wächst ein Kapital von 4.800,- € in 5 Jahren und 8 Monaten bei
einem Jahreszinssatz von 6 % an, wenn a) für die vollen Jahre Zinseszinsen und die 8 Monate
einfache Zinsen berechnet werden? b) monatlicher Zinseszins vereinbart wurde? und c) wie
hoch ist die Zinsdifferenz?
35. Ein Kapital ist in 6 Jahren und 3 Monaten bei jährlicher Verzinsung zu 6 % auf 8.600,- €
angewachsen. Wie hoch war das Kapital, wenn für die vollen Jahre Zinseszinsen und für die
3 Monate einfache Zinsen berechnet werden?
36. Ein Sparkapital von 14.000,- € wurde zunächst 4 Jahre lang mit 7 % p.a. und danach für
3 Jahre und 6 Monate mit 6 % p.a. verzinst. Für die vollen Jahre wurden Zinseszinsen für das
letzte halbe Jahr einfache Zinsen berechnet. Auf welchen Betrag ist das Kapital angewachsen?
37. Ein Sparer legt 12.000,- € auf 3 Jahre fest an. Die Bank verzinst die Einlage mit 6 % p.a.
Nach 3 Jahren hebt der Sparer 5.000,- € ab. Der Restbetrag bleibt noch 2 Jahre und 3 Monate
stehen und wird in dieser Zeit mit 5 % p.a. verzinst. Dann wird das Sparkonto aufgelöst. Wie
hoch ist das Sparkapital, wenn für die vollen Jahre Zinseszinsen und für die 3 Monate
einfache Zinsen berechnet werden?
38. Eine Bank bietet für ein Sparkonto bei monatlicher Verzinsung einen nominalen
Jahreszins von 3 % p.a. Berechnen Sie den Effektivzins.
39. Eine Bank bietet für ein Sparkonto bei monatlicher Verzinsung einen Jahreszins von
3,04 % p.a. Berechnen Sie a) den konformen Monatszins und b) den Kontostand nach
4 Monaten, wenn 100,- € eingezahlt worden sind.
40. Wie hoch ist der konforme Zinssatz, wenn die jährliche Verzinsung p % beträgt und das
Jahr in m gleiche Zinsperioden aufgeteilt ist?
a. p = 6 % m = 2
b. p = 5 % m = 2
c. p = 6 % m = 4
d. p = 5 % m = 4
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Investition und Finanzierung
Die Kapitalwertmethode dient der Überprüfung, ob die in Erwägung gezogenen
Investitions- bzw. Finanzierungsmöglichkeiten vorteilhaft sind und welche zur Wahl
stehenden Alternativen durchgeführt werden sollen.
1. Ein Unternehmer plant die Anschaffung eines neuen Pkw für 20.000,- €. Die Nutzungsdauer
des Fahrzeugs wird auf 3 Jahre veranschlagt. An jährlichen Ausgaben, jeweils zum
Jahresende, fallen an: 1. Jahr = 42.500,- € ; 2. Jahr = 45.200,- € ; 3. Jahr = 50.700,- €. Die
jährlichen Einnahmen am Ende eines jeden Jahres werden wie folgt prognostiziert: 1. Jahr =
46.500,- € ; 2. Jahr = 59.200,- € ; 3. Jahr = 55.700,- €.
a) Ermitteln Sie die Periodenüberschüsse und beurteilen Sie die Kaufentscheidung.
b) Berechnen den Kapitalendwert bei einer alternativen Bankanlage mit p = 6 % p.a.
c) Überprüfen Sie die Kaufentscheidung bei einer zusätzlichen Anlage der
Periodenüberschüsse.
d) Berechnen Sie den Barwert der Periodenüberschüsse.
e) Ermitteln Sie den Kapitalwert und interpretieren Sie das Ergebnis.
f) Beurteilen Sie die Ergebnisinterpretation in Bezug auf den Restverkaufswert der
Anlageinvestition, die Sortimentsvervollständigung, die Inflationsrate und den
Unternehmerlohn.
2. Überprüfen Sie die Vorteilhaftigkeit einer Investition von 64.580,- € mittels Kapitalwertmethode
bei einer Investitionsdauer von 6 Jahren und einem alternativen Anlagezins von 7 %
p.a. wenn die folgenden Periodenüberschüsse jeweils zum Jahresende anfallen: 1) 8.500,- € ;
2) 12.000,- € ; 3) 17.500,- € ; 4) 19.000,- € ; 5) 16.000,- € ; 6) 9.500,- €
3. Eine geplante Investition verursacht Anschaffungskosten in Höhe von 10.000,- €. Die
Einnahmen werden jeweils zum Jahresende wie folgt kalkuliert: 1) 3.000,- € ; 2) 4.000,- € ;
3) 6.000,- € ; 4) 2.000,- € ; 5) 1.000,- €. Überprüfen Sie die Vorteilhaftigkeit bei einem
Kalkulationszinssatz von 6 % p.a., wenn am Ende des 3. Jahres zusätzliche Ausgaben von
3.500,- € anfallen.
4. Ein Hotelier plant die Anschaffung eines Transporters für 12.000,- €. Die Nutzungsdauer
beträgt 5 Jahre. Die Einnahmen zum Ende des jeweiligen Jahres belaufen sich auf 7.000,- €
im 2. Jahr, jeweils 12.000,- € im 3. und 4. Jahr und 14.000,- € im 5. Jahr. Dem stehen die
folgenden Ausgaben gegenüber: 6.500,- € im ersten Jahr, 8.000,- € im zweiten Jahr und
jeweils 5.500,- € in den folgenden Jahren. Ermitteln Sie den Kapitalwert bei einem Zinssatz
von 4 % p.a. und interpretieren Sie Ihr Ergebnis.
5. Ein Hotelier plant eine Anschaffung für 25.000,- €. Die Nutzungsdauer beträgt 5 Jahre. Die
Einnahmen zum Ende des jeweiligen Jahres belaufen sich auf 8.000,- € im 2. Jahr, jeweils
11.000,- € im 3. und 4. Jahr und 14.500,- € im 5. Jahr. Dem stehen die folgenden Ausgaben
gegenüber: 4.000,- € im ersten Jahr, 7.000,- € im zweiten Jahr, jeweils 3.500,- € im 3. und 4.
Jahr und 4.500,- € im 5. Jahr. Ermitteln Sie die Einnahmen des ersten Jahres, wenn der
Kapitalwert bei einem Zinssatz von 4 % p.a. 1.000,- € beträgt.
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6. Ein Hotelier plant die Anschaffung eines Pkw für 5.000,- €. Die Nutzungsdauer beträgt drei
Jahre. Die Einnahmen belaufen sich zum Ende des zweiten und dritten Jahres auf jeweils
7.000,- €. Die Ausgaben belaufen sich zum Ende des ersten Jahres auf 5.000,- € und zum
Ende des zweiten und dritten Jahres auf jeweils 4.000,- €. Ermitteln Sie die Einnahmen des
ersten Jahres, wenn der Kapitalwert bei einem Zinssatz von 4 % p.a. 2.844,50 € beträgt.
7. Ein Hotelier plant drei neue Veranstaltungsräume zu errichten und kalkuliert mit einer
Anschaffungsauszahlung von insgesamt 240.000,00 €. Die Abschreibung soll über 8 Jahre
erfolgen. Die Periodenüberschüsse werden pro Jahr und Raum auf 14.000,00 € veranschlagt
und fallen jeweils zum Ende einer Periode an. Überprüfen Sie Mittels der Kapitalwertmethode,
ob die Investition bei einem Kalkulationszinssatz von 8 % p.a. vorteilhaft ist.
8. Ein Unternehmer plant eine Investition von 20.000,- € mit einer Laufzeit von 3 Jahren. Der
Periodenüberschuss zum Ende des ersten Jahres beläuft sich auf 13.000,- €, die der
Unternehmer in Wertpapiere mit einer festen Laufzeit von zwei Jahren investiert und die mit
7 % p.a. verzinst werden. Am Ende des zweiten Jahres wird ein Defizit von 4.000,- €
erwirtschaftet, das mit einem kurzfristigen Kredit von 9 % p.a. ausgeglichen werden muss.
Am Ende des dritten Jahres erfolgt wiederum ein Überschuss von 15.500,- €. a) Ermitteln Sie
den Kapitalwert bei einem Kalkulationszinssatz von 6 % p.a. und b) berechnen Sie, wie hoch
der Zinssatz Alternativanlage sein müsste, damit diese den gleichen Ertrag erbringt wie die
Investition.
9. Ein Unternehmer plant die Anschaffung einer neuen Maschine. Von dem Einsatz dieser
Maschine erhofft er sich Einnahmen von 4.000,00 € am Ende des ersten Jahres und in den
Folgejahren 7.000,00 € ; 9.000,00 € ; 8.500,00 € jeweils am Ende des Jahres. Neben den
laufenden Ausgaben von 500,00 € die jeweils am Ende eines jeden Jahres anfallen hat der
Unternehmer am Ende des ersten Jahres eine zusätzliche Ausgabe von 4.000,00 €. Die Kosten
für den Kauf der Maschine belaufen sich auf 20.000,00 €.
a) Ermitteln Sie den Kapitalwert und beurteilen Sie, ob sich die Anschaffung bei einem
Kalkulationszinssatz von 4 % lohnt.
b) Überprüfen Sie die Vorteilhaftigkeit der Investition, wenn der Unternehmer Periodenüberschüsse
zu 5 % anlegen kann aber für Periodendefizite einen Kredit zu 7 % aufnehmen
muss. Der Zinssatz für eine alternative Geldanlage beträgt 4 %.
Merke: Die Berücksichtigung der Alternativanlage ist nur bei vorhandenem (Eigen-)Kapital
sinnvoll. Bei einer Kreditfinanzierung ist lediglich zu prüfen, ob die Investition durchgeführt
werden oder unterbleiben soll. Bei einer Alternativanlage ist auf die unterschiedliche
Risikostruktur der Anlagen zu achten. Eine risikofreie Bankanlage kann u.U. auch bei einem
geringerem Zins vorteilhafter sein, als eine risikoreiche Investition in ein Unternehmen.
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Übungsaufgaben: Kapitalwertmethode
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Methode des internen Zinssatzes: Der interne Zinssatz einer Investition stellt die
Verzinsung des eingesetzten Kapitals dar. Er entspricht der Rendite einer Investition.
1. Der Kaufpreis eines Grundstücks beträgt 80.000,- €. a) Ermitteln Sie die Vorteilhaftigkeit
dieser Investition unter Verwendung der internen Zinssatzmethode, wenn das Grundstück
nach 5 Jahren zu 120.000,- € verkauft werden kann und der Unternehmer das Geld alternativ
zu 8 % p.a. anlegen könnte (Kalkulationszinssatz). b) Interpretieren Sie das Ergebnis.
2. Eine 4-jährige Investition mit einer Anschaffungsausgabe von 50.000,- € weist die
folgenden Periodenüberschüsse zum Ende eines jeden Jahres auf:
1. Jahr = 20.000,- € ; 2. Jahr = 25.000,- € ; 3. Jahr = – 4.500,- € ; 4. Jahr = 23.000,- €. Der
Anlage- (Haben-)zinssatz (pH) beträgt 7 % und der Sollzinssatz (pS) beträgt 9,5 %. Das Defizit
im dritten Jahr kann nicht aus vorherigen Periodenüberschüssen ausgeglichen werden, da
diese fest angelegt wurden. Ermitteln Sie die Vorteilhaftigkeit der Investition bei einem
Kalkulationszinssatz von 8,5 % p.a.
3. Eine Investition verlangt Anschaffungsausgaben von 8.000,- €. Der Periodenüberschuss am
Ende der 2-jährigen Investitionsdauer beträgt 8.820,- €. Wie hoch ist die Rendite (interner
Zinssatz)?
4.
5.
6.
7. Eine 2-jährige Investition in Höhe von 1.800,- € wird über eine Darlehn finanziert. Die
Darlehnrückzahlung einschließlich Zinsen erfolgt am Ende des 1. und 2. Jahres durch
Zahlung von jeweils 1.000,- €. Ermitteln Sie die Vorteilhaftigkeit der Investition bei einer
internen Rendite (Kalkulationszinssatz) von 8 % p.a.
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Tilgungsrechnung
Zinsen + Tilgung = Schuldendienst = Annuität
Tilgungsarten:
• Einmaltilgung (Fälligkeitsdarlehn): erste Jahre nur Zinsen, letztes Jahr Tilgung
• Ratentilgung (Ratendarlehn): Tilgungsrate bleibt gleich, Zinsraten werden kleiner
(Schuldendienst wird kleiner)
• Annuitätentilgung (Annuitätendarlehn): Tilgungsrate steigt, Zinsrate sinkt
(Schuldendienst bleibt gleich)
Tilgungsplan:
Jahr
1
2
3
4
5
∑
Aufgabe:
Darlehn /
Jahresanfang
Darlehn (D) = 100.000,- €
Zinssatz (p) = 5 %
Laufzeit (n) = 5 Jahre
Zinsen Tilgung Annuität Darlehn /
Jahresende
=> erstellen Sie die folgenden Tilgungspläne:
• Einmaltilgung
• Ratentilgung
• Ratentilgung mit einem Freijahr
• Annuitätentilgung
9

mittlere Laufzeit:
• Fälligkeitsdarlehn: die mittlere Laufzeit beträgt hier 5 Jahre, d.h. dass Kapital von
100.000,- € steht durchschnittlich für 5 Jahre zur Verfügung. Die Zinsen betragen 25.000,- €
• Ratendarlehn: mittlere Laufzeit 3 Jahre ; Zinsen 15.000,- €
• Ratendarlehn mit einem Freijahr: mittlere Laufzeit 3,5 Jahre ; Zinsen 17.500,- €
Effektivzins:
z ⋅100
⋅360
p = (nach p umgestellte Zinsformel)
K ⋅ t
p eff .
Kosten ⋅100
⋅ 360
Auszahlungsbetrag
⋅ t
= (Effektivzinsformel ohne Zinseszins und Tilgung)
Effektivzins mit Disagio: Darlehnsbetrag = Auszahlungsbetrag + Disagio
Beispiel: p = 5 %, pD = 3 %, n = 5 Jahre
Darlehn Zinsen [€] peff [%]
- Fälligkeitsdarlehn 25.000,00
- Ratendarlehn 15.000,00
- Ratendarlehn mit einem Freijahr 17.500,00
Aufgabe: Ein einjähriges Darlehn in Höhe von 125.000,00 € wird unter Abzug eines Disagios
von 6 % ausgezahlt. Wie hoch ist die Effektivverzinsung, wenn das Darlehn zu 8 % p.a.
verzinst wird?
10

Übungsaufgaben:
1. Erstellen Sie einen Tilgungsplan für ein Fälligkeitsdarlehn mit folgenden Größen:
D = 50.000,00 €, p = 3,5 % p.a., n = 4 Jahre und ermitteln Sie die Effektivverzinsung bei
einem Disagio von 2 %.
2. Ein Hotelier nimmt ein Ratendarlehn über 20.000,00 € auf. Die Laufzeit beträgt 5 Jahre mit
einem Tilgungsfreijahr und jeweils gleich hohen Tilgungsraten in den übrigen Jahren. Der
Jahreszinssatz beträgt 7,5 % a) Erstellen Sie einen Tilgungsplan und b) berechnen Sie die
Effektivverzinsung bei einem Disagio von 2,5 %.
3. Ein Hotelier nimmt ein Ratendarlehn über 20.000,00 € auf. Die Laufzeit beträgt 5 Jahre
mit einem Tilgungsfreijahr und jeweils gleich hohen Tilgungsraten in den übrigen Jahren.
a) Erstellen Sie einen Tilgungsplan und ermitteln Sie die gesamten Zinskosten bei einem
Zinssatz von 5 % p.a. b) Ermitteln Sie die Effektivverzinsung, wenn die Bank ein Disagio von
2,5 % berechnet.
4. Zur Modernisierung der Küche benötigt ein Hotelier einen Kredit über 40.000,00 €. Er
vereinbart mit der Bank eine Ratentilgung über 7 Jahre mit 2 Tilgungsfreijahren und gleich
hohen Tilgungsraten zu einem Zinssatz von 4 % p.a. a) Erstellen Sie einen sinnvollen
Tilgungsplan und b) ermitteln Sie die Effektivverzinsung bei einem Disagio von 3 %.
5. Ein Hotelier nimmt ein Ratendarlehn über 20.000,00 € auf. Die Laufzeit beträgt 5 Jahre mit
zwei Tilgungsfreijahren. Vereinbarungsgemäß muss der Hotelier 50 % der Darlehnsumme im
dritten Jahr und jeweils 25 % im vierten und fünften Jahr zurückzahlen. Der Jahreszinssatz
beträgt 5 % a) Erstellen Sie einen Tilgungsplan und b) berechnen Sie die Effektivverzinsung
bei einem Disagio von 3 %.
6. Erstellen Sie einen Tilgungsplan für ein Annuitätendarlehn mit folgenden Größen:
D = 160.000,00 € ; p = 6,5 % p.a. ; n = 10 Jahre ; davon 3 Freijahre.
7. Erstellen Sie einen Tilgungsplan für ein Fälligkeitsdarlehn mit folgenden Größen:
D = 100.000,00 € ; p = 4 % p.a.; n = 2 Jahre ; m = 2 Halbjahre.
8. Erstellen Sie einen Tilgungsplan für ein Ratendarlehn mit folgenden Größen:
D = 90.000,00 € ; p = 5 % p.a. ; n = 2 Jahre ; m = 2 Halbjahre ; 1 Freihalbjahr.
9. Erstellen Sie einen Tilgungsplan für ein Annuitätendarlehn mit folgenden Größen:
D = 20.000,00 € ; p = 10 % p.a.; n = 2 Jahre ; m = 4 Quartale.
10. Berechnen Sie die Zinskosten für die folgenden Darlehn:
a) Fälligkeitsdarlehn ; D = 50.000,00 € ; p = 7 % p.a. ; n = 12 Jahre.
b) Ratendarlehn ; D = 145.000,00 € ; p = 5,5 % p.a. ; n = 4 Jahre ; m = 12 Monate.
c) Ratendarlehn mit einem Freihalbjahr (= 2 Quartale) ; D = 80.000,00 € ; p = 8 % p.a. ;
n = 7 Jahre ; m = 4 Quartale.
d) Annuitätendarlehn mit zwei Tilgungsfreijahren; D = 210.000,00 € ; p = 5 % p.a. ;
n = 20 Jahre ; m = 12 Monate.
11. Jemand schließt ein Annuitätendarlehn zu 4 % über 10 Jahre ohne Tilgungsfreijahre ab.
Die jährlich nachschüssigen Annuitätenzahlungen betragen jeweils 3.698,73 €. Wie hoch ist
der vereinbarte Darlehnsbetrag?
12. Ein Hotelier nimmt ein Ratendarlehn über 50.000,00 € zu 7,2 % p.a. auf. Die Laufzeit
beträgt 7 Jahre mit 2 Tilgungsfreijahren und jeweils gleich hohen Tilgungsraten. Ermitteln
Sie die Effektivverzinsung, wenn die Bank ein Disagio von 1.000,00 € berechnet.
11

Rentenrechnung (nachschüssig)
1. Jemand zahlt 5 Jahre lang am Ende eines jeden Jahres 100,- € bei 10 % Zinseszins auf ein
Sparkonto. Wie viel Euro befinden sich nach den 5 Jahren auf dem Konto?
2. Jemand erhält 5 Jahre lang nachschüssig je 100,- €, die sich zinseszinslich zu 10 %
ansammeln. Welchen Wert hat die Rente im Zeitpunkt t0?
3. Ein Sparer beschließt am 01.01.2007, ab sofort am Ende eines jeden Jahres 1.200,- € auf
ein Konto einzuzahlen. Welcher Betrag steht ihm bei 6 % Zinsen am 01.01.2017 zur
Verfügung?
4. Ein Steuerberater kauft die Praxis eines älteren Kollegen und zahlt 10 Jahre lang jährlich
nachschüssig je 10.000,- € bei 8 % Zinsen. Wie hoch wäre die Ablösesumme bei
Vertragsabschluss?
5. Ein Sparer beschließt an seinem 18. Geburtstag, dass er an seinem 65. Geburtstag
1.000.000,- € durch jährlich nachschüssige Raten bei 6 % Zinsen zusammengespart haben
will. Wie hoch müssen die Jahresraten sein?
6. Ein Sparer will jährlich nachschüssig 4.147,68 € bei 6 % Zinsen anlegen. Wie viel Jahre
dauert es, bis er 1.000.000,- € angespart hat?
7. Ein Student erhält zu Beginn seines Studiums von seinem Patenonkel eine Schenkung von
24.000,- €. Der Student möchte sein genau 5-jähriges Studium von diesem Geld finanzieren.
Welchen konstanten Betrag kann er jährlich nachschüssig bei 6 % Zinsen von der Bank
abheben, damit das Geld genau 5 Jahre reicht?
8. Jemand erbt heute einen Betrag von 9.840,47 €. Er will das Kapitel bei einem Zinssatz von
7 % bei der Bank anlegen und jährlich nachschüssig jeweils 2.400,- € ausgezahlt bekommen.
Wie lange wird es dauern, bis das Kapital einschließlich der darauf gezahlten Zinsen
aufgezehrt ist?
9. Ein Selbständiger möchte, dass ihm von seinem 65. Geburtstag an 10 Jahre lang 9.000,- €
jährlich nachschüssig als Rentenraten ausgezahlt werden. Welchen Betrag muss er zuvor
30 Jahre lang jährlich nachschüssig ansparen und bei einer Bank einzahlen, wenn diese
sowohl während der Ansparphase, als auch in der Auszahlungszeit einen Zinssatz von 6 %
bietet?
10. Ein Vater beschließt bei der Geburt seines Sohnes, jährlich nachschüssig jeweils 2.000,- €
auf ein Bankkonto einzuzahlen. Der angesammelte Geldbetrag soll dem Sohn nach Abschluss
seines 20. Lebensjahres zur Abdeckung seiner Ausbildungskosten zur Verfügung gestellt
werden. Wie lange wird das dem Sohn ausgezahlte Kapital reichen, wenn dieser jährlich
nachschüssig je 6.000,- € benötigt und während der gesamten Zeitspanne ein Zinssatz von
5 % gültig ist?
12

Rentenrechnung (vorschüssig)
1. Jemand zahlt 5 Jahre lang jährlich vorschüssig je 100,- € auf ein Sparkonto ein. Die Zinsen
betragen 10 %. Wie hoch ist das Kapital nach 5 Jahren?
2. Jemand zahlt jährlich vorschüssig 12 Jahre lang 624,- € bei einer Bank ein, die die Einlagen
mit 8 % verzinst. Auf welchen Betrag ist das Kapital nach Ablauf der 12 Jahre angewachsen?
3. Ein Unternehmen benötigt für 5 Jahre einen Lagerplatz, der eine jährlich vorschüssige
Pacht von je 10.000,- € kostet. Durch welche einmalige Zahlung zu Beginn des
Pachtverhältnisses könnte die gesamte Pachtverpflichtung für den gesamten Zeitraum
abgelöst werden, wenn mit 8 % Jahreszinsen kalkuliert wird?
4. Ein Wirt übernimmt die Eckkneipe von seinem Kollegen, der in Rente geht. Der Wirt hat
die Möglichkeit, entweder den Kaufpreis in 8 gleichen Jahresraten von 6.725,- € jeweils zum
Jahresbeginn an seinen Kollegen zu zahlen oder die Kneipe sofort mit einem Betrag von
50.000,- € abzulösen. Für welche Zahlungsmöglichkeit sollte sich der Wirt entscheiden, wenn
eine Verzinsung von 4,5 % zu Grunde gelegt wird?
5. Jemand möchte nach Ablauf von 65 Lebensjahren über 1.000.000,- € verfügen und diesen
Betrag von seinem 18. Geburtstag an in jährlich vorschüssigen Raten zusammensparen, wobei
er 6 % Zinsen auf sein Guthaben erhält. Wie hoch müssen die jährlich vorschüssigen
Sparraten sein, damit er sein Ziel erreicht?
6. Jemand möchte jährlich vorschüssig jedes Jahr 1.200,- € zu 5 % Zinsen bei der Bank
anlegen, um auf ein Endkapitel von 8.570,41 € zu kommen. Wie viele Jahre wird es dauern,
bis er sein Ziel erreicht hat?
7. Jemand verfügt heute über ein Kapital von 12.000,- €, das zu 8 % bei einer Bank angelegt
wird. Wie groß wird der Betrag sein, den er von diesem Kapital und den darauf entfallenden
Zinsen in gleicher Höhe 6 Jahre lang jeweils zum Jahresanfang abheben kann?
8. Jemand legt heute 43.481,33 € bei einer Bank zu 8 % Zinsen an. Von diesem Kapital und
den darauf entfallenen Zinsen sollen über mehrere Jahre jeweils zum Jahresanfang 6.000,- €
abgehoben werden. Wie viele Jahre können diese Abhebungen vorgenommen werden?
9. Einem Selbständigen werden an seinem 65. Geburtstag von einer Lebensversicherung
125.000,- € ausgezahlt. Er legt diesen Betrag zu 8,5 % Zinsen bei einer Bank an. Von dem
Kapital und den darauf entfallenen Zinsen möchte er 20 Jahre lang eine jährlich vorschüssige
Rentenrate beziehen. Wie hoch wird diese pro Jahr sein?
10. Ein Hausbesitzer muss einer Hypothekenbank eine Hypothek von 100.000,- € in jährlich
vorschüssig fälligen Raten von je 14.400,- € einschließlich der Zinsen von 8 % zurückzahlen.
In wie viel Jahren ist die Hypothek zurückgezahlt?
13

Rentenrechnung
1. Jemand zahlt 10 Jahre lang am Ende eines jeden Jahres 2.500,- € auf ein Sparkonto. Die
jährliche Verzinsung beträgt 5 %. Wie hoch ist das Sparguthaben am Ende des 10. Jahres?
2. Eine vorschüssige Rente von 3.600,- € pro Jahr läuft bei einer jährlichen Verzinsung von
5 ½ % 12 Jahre lang. Wie hoch ist der Endwert der Rente?
3. Jemand zahlt 6 Jahre lang am Anfang eines jeden Jahres 850,- € auf ein Sparkonto. Die
Bank gewährt jährlich 5 ½ % Zinsen. Wie hoch ist das Sparguthaben am Ende des 6. Jahres?
4. Ein Vater legt bei der Geburt seines Sohnes für diesen ein Sparbuch über 1.000,- € an und
zahlt an jedem Geburtstag des Sohnes 1.000,- € auf das Sparkonto ein, letztmals am
18. Geburtstag. Welcher Betrag steht dem Sohn an seinem 18. Geburtstag zur Verfügung,
wenn die Spareinlagen während dieser Zeit mit 6 % jährlich verzinst werden?
5. Eine nachschüssige Jahresrente von 6.000,- € hat eine Laufzeit von 10 Jahren. Die jährliche
Verzinsung beträgt 4 ½ %. Wie hoch ist der Barwert der Rente?
6. Bei einer Erbschaft übernimmt ein Mann die Verpflichtung, seiner Schwester 12 Jahre lang
jeweils am Jahresende 2.000,- € zu zahlen. Die Schwester möchte den ihr zustehenden
Erbschaftsanteil durch eine einmalige Zahlung sofort erhalten. Welcher Betrag steht ihr zu,
wenn eine jährliche Verzinsung von 4 ½ % zu Grunde gelegt wird?
7. Von zwei Brüdern übernimmt der Ältere die Verpflichtung, dem jüngeren 10 Jahre lang am
Ende eines jeden Jahres 1.500,- € zu zahlen. Er möchte diese Verpflichtung durch zwei gleich
hohe Ratenzahlungen ablösen, von denen die erste Zahlung am Anfang des 1. Jahres und die
Zweite zu Beginn des 5. Jahres erfolgen soll. Wie hoch sind die beiden Zahlungen, wenn eine
jährliche Verzinsung von 5 % zu Grunde gelegt wird?
8. Jemand möchte sich durch 10 gleich hohe Einzahlungen, die er zu Beginn eines jeden
Jahres auf ein Sparkonto leisten will, einen Betrag von 8.000,- € ansparen. Am Ende des
10. Jahres will er die 8.000,- € abheben. Welchen Betrag muss er jährlich einzahlen, wenn die
Bank die Spareinlagen mit 5 ½ % jährlich verzinst?
9. Ein Vater will für das Studium seiner Tochter in 6 Jahren 10.000,- € zur Verfügung haben.
Welchen Betrag muss er am Ende eines jeden Jahres auf ein Sparkonto einzahlen, wenn die
Bank das Sparkonto mit 5 % p.a. verzinst?
10. Der Barwert einer über 15 Jahre laufenden nachschüssigen Jahresrente beträgt bei einer
jährlichen Verzinsung von 5 % 10.380,- €. Wie hoch sind die jährlichen Rentenzahlungen?
11. Ein Geschäftsmann legt am Ende eines jeden Geschäftsjahres vom Gewinn 3.000,- € auf
ein Sparkonto, das mit 4 ½ % jährlich verzinst wurde. Nach wie viel Jahren war das
Sparguthaben einschließlich der letzten Einzahlung auf 24.000,- € angewachsen?
12. Jemand zahlt am Anfang eines jeden Jahres 800,- € auf ein Sparkonto. Die Einzahlungen
werden mit 4 ½ % jährlich verzinst. Wie viele Einzahlungen muss er leisten um am
Jahresende desjenigen Jahres, in dem er letztmals einzahlt, ein Kapital von 6.704,- € zu
besitzen.
14

13. Eine nachschüssige Jahresrente von 5.500,- € hat bei einer jährlichen Verzinsung von 6 %
einen Barwert von 53.417,- €. Wie lange wird die Rente ausbezahlt?
14. Jemand zahlt über 12 Jahre jeweils am Jahresanfang 1.200,- € auf ein Sparkonto. In den
ersten 6 Jahren beträgt der jährliche Zinssatz 5 ½ %. Vom Beginn des 7. Jahres an wird der
Zinssatz auf 5 % gesenkt. Wie hoch ist das Sparguthaben am Ende des 12. Jahres?
15. Welchen einmaligen Betrag muss man bei einer Rentenanstalt zu Beginn des nächsten
Jahres einzahlen, um sich 15 Jahre lang den Bezug einer nachschüssigen Jahresrente von
6.000,- € zu sichern, deren erste Auszahlung am Ende des Jahres erfolgen soll? Die jährliche
Verzinsung beträgt 5 %.
16. Jemand erbt 25.000,- €. Davon zahlt er zu Beginn des folgenden Jahres 20.000,- € bei
einer Rentenanstalt ein und bestimmt, dass ihm 12 Jahre lang am Ende eines jeden Jahres ein
gleich hoher Betrag ausgezahlt wird. Die erste Auszahlung soll am Ende des ersten Jahres
erfolgen. Wie hoch ist der jährliche Auszahlungsbetrag, wenn ein Zinssatz von 4 % p.a. zu
Grunde gelegt wird?
17. Jemand zahlt am Anfang eines Jahres 15.500,- € bei einer Rentenanstalt ein. Nach Ablauf
von 5 Jahren will er eine nachschüssige Jahresrente von 2.440,- € beziehen. Wie lange wird
die Rente ausgezahlt, wenn die jährliche Verzinsung 4,5 % beträgt?
18. Jemand zahlt über 12 Jahre am Ende eines jeden Jahres 3.000,- € bei einer Rentenanstalt
ein, um sich das Anrecht auf eine Rente zu erwerben. Die Laufzeit bei dieser Rente soll
10 Jahre betragen und 3 Jahre nach der letzten Einzahlung beginnen. Die Rentenzahlungen
sollen jeweils am Jahresanfang erfolgen. Wie hoch sind die Rentenzahlungen, wenn die
jährliche Verzinsung 5 ½ % beträgt?
19. Ein Architekt zahlt vom 35. bis zum 56. Lebensjahr am Ende eines jeden Jahres 5.000,- €
bei einer Rentenanstalt ein, um vom 60. Lebensjahr an 10 Jahre lang eine vorschüssige Rente
zu beziehen. Wie hoch sind die jährlichen Rentenzahlungen, wenn eine Verzinsung von 6 %
zu Grunde gelegt wird?
20. Welchen Betrag hat jemand nachschüssig vom 30. bis zum 51. Lebensjahr bei einer
Rentenanstalt einzuzahlen, um vom 55 Lebensjahr an 15 Jahre lang eine am Jahresende
zahlbare Rente von 4.000,- € zu erhalten? Die jährliche Verzinsung beträgt 5 %.
21. Bei einer Zahlungsverpflichtung mit einer Laufzeit von 8 Jahren sind jeweils am Ende
eines Jahres 3.000,- € zu zahlen. Diese Zahlungsverpflichtung soll in eine am Jahresanfang
fällige Zahlungsreihe mit einer Laufzeit von 6 Jahren umgewandelt werden. Wie hoch ist die
vorschüssige jährliche Zahlung bei einer Verzinsung von 6 %?
22. Eine nachschüssige Jahresrente von 6.000,- € hat eine Laufzeit von 15 Jahren. Die Rente
soll in eine ebenfalls nachschüssige Jahresrente mit einer Laufzeit von 10 Jahren
umgewandelt werden. Wie hoch ist diese Rente, wenn eine jährliche Verzinsung von 4 ½ %
zu Grunde gelegt wird?
23. Eine nachschüssige Jahresrente von 4.000,- € hat eine Laufzeit von 16 Jahren. Die Rente
soll in eine vorschüssige Jahresrente mit einer Laufzeit von 10 Jahren umgewandelt werden.
Wie hoch sind die Rentenzahlungen, wenn mit 6 % p.a. verzinst wird?
15

24. Eine nachschüssige Jahresrente von 3.000,- € mit einer Laufzeit von 12 Jahren soll in eine
vorschüssige Jahresrente von 2.246,- € umgewandelt werden. Wie lange läuft diese Rente,
wenn eine jährliche Verzinsung von 5 % zu Grunde gelegt wird?
25. Jemand zahlt über 9 Jahre auf ein Sparkonto ein. In den ersten 3 Jahren jeweils 1.000,- €
zum Jahresende, die sich mit 4 % p.a. verzinsen. In den folgenden 4 Jahren erhöht der Sparer
die jährliche Einzahlung auf 1.250,- € und zahlt diese jeweils vorschüssig. Der Jahreszins für
das gesamte Sparkapital beträgt nun 3,5 %. In den restlichen Jahren wird die jährliche Sparrate
auf 1.550,- € erhöht und wieder nachschüssig eingezahlt. Der Jahreszins für das gesamte
Sparkapital beträgt nun 4 ½ %. Wie hoch ist das Sparguthaben am Ende der Laufzeit?
(Schreiben Sie die Lösung in einer zusammenhängenden Formel.)
26. Eine nachschüssige Jahresrente von 2.400,- € hat eine Laufzeit von 12 Jahren und soll am
Ende des Jahres erstmals ausgezahlt werden. Der Beginn der Auszahlung wird jedoch um
3 Jahre aufgeschoben. Wie hoch ist der Barwert der Rente, wenn eine jährliche Verzinsung
von 5 % zu Grunde gelegt wird?
27. Jemand ist verpflichtet, 10 Mal jeweils am Jahresende 500,- € zu zahlen. Die erste
Zahlung ist in 3 Jahren fällig. Durch welche einmalige Zahlung kann diese Zahlungsverpflichtung
sofort abgelöst werden, wenn eine jährliche Verzinsung von 6 % zu Grunde
gelegt wird?
28. Ein Beamter zahlt bei einer Bank 5 Jahre lang am Ende eines jeden Jahres 850,- € auf ein
Sparkonto. Danach erfolgen keine Einzahlungen mehr. Das Konto wird mit 6 % jährlich
verzinst. Wie hoch ist das Sparguthaben am Ende des 9. Jahres.
29. Jemand zahlt bei einer Sparkasse 6 Jahre jeweils am Jahresanfang 1.200,- € auf ein
Sparkonto. Die Spareinlagen werden mit 5 % jährlich verzinst. Wie hoch ist das Sparguthaben
drei Jahre nach der letzten Einzahlung?
30. Eine nachschüssige Jahresrente von 3.600,- €, deren erste Zahlung in 5 Jahren erfolgt und
die 10 Jahre lang gezahlt werden soll, ist in eine 12 jährige vorschüssige Jahresrente, deren
Laufzeit sofort beginnt umzuwandeln. Wie hoch ist die neue Rente, wenn mit 6 % p.a.
verzinst wird?
31. Jemand schließt am Anfang eines Jahres einen Sparvertrag ab. 12 Jahre lang sollen jeweils
am Jahresende 1.600,- € eingezahlt werden. Nachdem 5 Jahre lang regelmäßig eingezahlt
worden ist, lässt der Sparer 3 Zahlungen aus und nimmt dann die Zahlungen wieder auf. Das
Sparkonto wird mit 6 % jährlich verzinst. Welches Guthaben ist 12 Jahre nach Vertragsabschluss
angespart?
32. Aus einem Stiftungskapital von 630.000,- € erhält ein Institut am Anfang eines jeden
Jahres einen Betrag von 30.000,- €. Mit welchem Zinssatz wird das Kapital jährlich verzinst?
16

33. Ein Sparer zahlt jeweils am Ende eines jeden Vierteljahres je 100,- € auf ein Sparkonto.
Die Bank gewährt 8 % Jahreszinsen. Auf welchen Betrag ist das Kapital nach einem Jahr
bzw. nach fünf Jahren angewachsen, wenn dem Konto unterjährig a) einfache Zinsen
und b) Zinseszinsen gutgeschrieben werden?
34. Ein Sparer zahlt jeweils am Anfang eines jeden Vierteljahres je 100,- € auf ein Sparkonto.
Die Bank gewährt 8 % Jahreszinsen. Auf welchen Betrag ist das Kapital nach einem Jahr
bzw. nach fünf Jahren angewachsen, wenn dem Konto unterjährig a) einfache Zinsen
und b) Zinseszinsen gutgeschrieben werden?
35. Ein Sparer zahlt jeweils am Ende eines jeden Monats 500,- € auf ein Sparkonto. Die Bank
gewährt 5 % Jahreszinsen. Auf welchen Betrag ist das Kapital nach 30 Jahren angewachsen,
wenn dem Konto unterjährig a) einfache Zinsen und b) Zinseszinsen gutgeschrieben werden?
36. Ein Sparer zahlt jeweils am Anfang eines jeden Monats 80,- € auf ein Sparkonto. Die
Bank gewährt 3 % Jahreszinsen. Auf welchen Betrag ist das Kapital nach 40 Jahren
angewachsen, wenn dem Konto unterjährig a) einfache Zinsen und b) Zinseszinsen
gutgeschrieben werden?
37. Ein Sparer zahlt jeweils am Anfang eines jeden Monats 75,- € auf ein Sparkonto. Die
Bank gewährt 4 % Jahreszinsen. Auf welchen Betrag ist das Kapital nach 20 Jahren
angewachsen und wie viel Euro bekommt der Sparer dann monatlich nachschüssig
ausgezahlt, wenn dass Kapital nach 5 Jahren aufgebraucht sein soll und dem Konto
unterjährig a) einfache Zinsen und b) Zinseszinsen gutgeschrieben werden?
38. Ein Sparer zahlt jeweils am Anfang eines jeden Monats 200,- € auf ein Sparkonto. Die
Bank gewährt 3 % Jahreszinsen. Auf welchen Betrag ist das Kapital nach 35 Jahren
angewachsen und wie lange bekommt der Sparer dann monatlich nachschüssig 1.000,- €
ausgezahlt, wenn dem Konto unterjährig a) einfache Zinsen und b) Zinseszinsen
gutgeschrieben werden?
39. Ein Sparer zahlt jeweils am Anfang eines jeden Monats 200,- € auf ein Rentenkonto. Der
Versicherer gewährt 3 % Jahreszinsen. Auf welchen Betrag ist das Kapital nach 35 Jahren
angewachsen und wie hoch ist der effektive Jahreszins, wenn der Versicherer vertragsgemäß
10.000,- € an Verwaltungs- und Depotgebühren einbehält und dem Konto unterjährig a)
einfache Zinsen und b) Zinseszinsen gutgeschrieben werden?
40. Ein Sparer hat bis zu seinem 65. Lebensjahr in eine private Rentenversicherung
einbezahlt. Er hat nun die Wahl zwischen einer einmaligen Barauszahlung in Höhe von
90.000,- € und einer lebenslangen nachschüssigen Rente in Höhe von 380,- € monatlich. Für
welche Alternative sollte sich der Sparer entscheiden, wenn ein Zinssatz von 3 % zu Grunde
gelegt und unterjährig mit einfachen Zinsen gerechnet wird?
17

Kapitalauf- oder -abbau durch regelmäßige Ein- oder Auszahlungen
1. Jemand hat am Anfang eines Jahres auf seinem Sparkonto einen Betrag von 5.200,- €. Vom
Ende des Jahres an zahlt er insgesamt 8 Mal jeweils im Abstand von einem Jahr- 850,- €
hinzu. Wie hoch ist das Sparguthaben am Ende des 8. Jahres, wenn die jährliche Verzinsung
6 % beträgt?
2. Die Inhaberin einer Boutique hat am Ende eines Jahres auf ihrem Sparkonto ein Guthaben
von 12.000,- €. Vom Beginn des nächsten Jahres an zahlt sie über 8 Jahre jährlich vorschüssig
1.200,- € dazu. Das Konto wird mit 5 % p.a. verzinst. Wie hoch ist das Guthaben am Ende des
letzten Einzahlungsjahres?
3. Ein Bausparer schließt am Anfang eines Jahres einen Bausparvertrag ab und zahlt 4.500,- €
auf das Bausparkonto. Vom darauf folgenden Jahr an zahlt er 9 Mal jeweils am Jahresanfang
2.000,- € dazu. Wie viel Euro beträgt das Sparguthaben am Ende des 10. Jahres, wenn das
Konto mit 3 ½ % p.a. verzinst wird.
4. Auf einem Sparkonto befindet sich am Anfang eines Jahres ein Guthaben von 6.500,- €.
Die jährliche Verzinsung beträgt 4 ½ %. Auf wie viel Euro ist das Guthaben nach 5 Jahren
gesunken, wenn während dieser Zeit jeweils am Jahresende 1.000,- € entnommen werden?
5. Jemand hat zu Beginn eines Jahres auf sein Sparkonto einen Betrag von 7.500,- €. Er hebt
von diesem Zeitpunkt an 8 Jahre lang jeweils am Jahresanfang 1.000,- € von diesem Konto
ab. Wie hoch ist sein guthaben nach 8 Jahren, wenn das Konto mit 5 % p.a. verzinst wird?
6. Auf einem Sparkonto ist zu Beginn eines Jahres ein Kapital von 14.600,- €. Vom nächsten
Jahr an entnimmt der Kontoinhaber 9 Mal jeweils am Jahresanfang 1.500,- €. Das Konto wird
mit 4 % jährlich verzinst. Wie hoch ist das Guthaben am Ende des 10. Jahres?
7. Auf einem Sparkonto befand sich am Anfang des Jahres ein Kapital K. Zu diesem
Sparkapital K wurden 10 Jahre lang am Ende eines jeden Jahres 2.500,- € hinzugefügt. Das
Konto wurde mit 4 ½ % jährlich verzinst. Wie hoch war das Anfangskapital, wenn das
Sparguthaben am Ende des 10. Jahres 40.000,- € Betragen hat?
8. Jemand hat am Anfang eines Jahres einen bestimmten Geldbetrag geerbt und zahlt diesen
auf ein Sparkonto. Vom darauf folgenden Jahr an zahlt er 8 Mal jeweils am Jahresanfang
1.000,- € dazu. Das Konto wird mit 5 % jährlich verzinst. Am Ende des letzten Einzahlungsjahres
verfügt er über ein Guthaben von 35.000,- €. Wie viel Euro hat er geerbt?
9. Ein Angestellter hat zu Beginn eines Jahres auf seinem Sparkonto ein Guthaben von
4.750,- €. Welchen Betrag muss er 8 Jahre lang am Ende eines jeden Jahres hinzufügen, wenn
er nach 8 Jahren über ein Sparguthaben von 15.000,- € verfügen möchte und das Sparkonto
mit 5 % jährlich verzinst wird?
10. Jemand hat am Ende eines Jahres auf seinem Sparkonto ein Guthaben von 12.400,- €. Das
Konto wird mit 5 ½ % jährlich verzinst. Welchen Betrag muss er vom Anfang des nächsten
Jahres an 6 Jahre vorschüssig hinzufügen, um nach 6 Jahren ein Sparguthaben von 25.000,- €
zu besitzen?
18

11. Ein Beamter hat am Anfang eines Jahres auf seinem Sparkonto ein Guthaben von
12.600,- €. Das Konto wird mit 4 ½ % jährlich verzinst. Welchen Betrag kann er 12 Jahre
lang jeweils am Jahresende abheben, wenn das gesamte Sparguthaben aufgebraucht werden
soll?
12. Ein Apotheker hat am Ende eines Jahres auf seinem Sparkonto ein Guthaben von
50.000,- €. Welchen Betrag kann er vom Beginn des nächsten Jahres an 10 Mal jeweils am
Jahresanfang abheben, wenn das Sparguthaben durch die Abhebungen vollständig
aufgebraucht werden soll und die jährliche Verzinsung 4 % beträgt?
13. Welchen Betrag muss jemand am Anfang eines Jahres auf ein Bankkonto einzahlen, wenn
er in den nächsten 9 Jahren jeweils am Jahresende 1.800,- € abheben will und das Kapital am
Ende des 9. Jahres aufgebraucht sein soll? Die jährliche Verzinsung beträgt 4 ½ %.
14. Welchen Mindestbetrag muss jemand zu Beginn eines Jahres auf seinem Bankkonto
haben, wenn er von diesem Zeitpunkt an 10 Mal jeweils am Jahresanfang 2.000,- € abheben
will und das Konto durch die Abhebungen nicht überzogen werden soll? Die jährliche
Verzinsung beträgt 4 %.
15. Ein Facharbeiter hat am Anfang eines Jahres auf seinem Sparkonto einen Betrag von
8.000,- €. Er zahlt jährlich nachschüssig 2.000,- € dazu. Nach wie viel Jahren ist das
Sparguthaben bei einer Verzinsung von 5 ½ % p.a. auf 35.465,24 € angewachsen?
16. Jemand besitzt am Ende eines Jahres ein Sparkonto mit 12.000,00 €. Vom Beginn des
nächsten Jahres an zahlt er jährlich vorschüssig 1.600,- € dazu. Das Konto wird mit 5 % p.a.
verzinst. Nach wie viel Jahren ist das Guthaben auf 27.508,42 € angewachsen?
17. Ein Kaufmann hat am Anfang eines Jahres auf seinem Sparkonto einen Betrag von
25.000,- €. Wie oft kann er jährlich nachschüssig 3.517,- € abheben, wenn das Sparkapital
vollständig aufgebraucht werden soll und die jährliche Verzinsung 5 % beträgt?
19

Zinseszinsrechnung
- Zinssatz/Zinsfaktor:
- Kapitalendwert:
- unterjährige Verzinsung:
- relativer Zins:
- effektiver Zins:
Finanzmathematische Formeln
p
i = q = 1+
i
100
K = K ⋅ q
K
n
n
= K
p rel . =
eff .
- konformer Zins: m
Investition und Finanzierung
0
0
p
m
m
rel.
n
⎛ p / 100 ⎞
⋅ ⎜1+
⎟
⎝ m ⎠
q rel .
n⋅m
= 1+
p / 100
m
m
q = q p = ( q −1)
⋅100
konf .
eff .
rel.
q = q p = ( m q −1)
⋅100
- Kapitalwert: t
0
Darlehn
- Annuität:
- unterjährige Annuität:
konf .
n 1
Kw = ∑ Pü ⋅ − A t
t=
1 q
n
q ⋅ ( q −1)
= D ⋅
q −1
A n
q
D ⋅
A =
n⋅m
rel.
⋅m
rel.
p D p +
n
100 − p
⋅ ( q rel.
−1)
n
q −1
m
- Effektivzins: = ⋅100
- mittlere Laufzeit:
p
eff .
n m
n
p
m
n + 1
=
2
=
∑
z
z
1
D
n
∑
f
m
= n
f
+
( n
p
z = D ⋅ ⋅
100
− n ) + 1 f
2
rel. p
n m
20

21
jährlich Rentenbarwert Rentenendwert
vorschüssig
n
n
0
q
1
1
q
1
q
q
r
R ⋅
−
−
⋅
⋅
=
)
1
q
(
q
)
1
q
(
q
R
r n
n
0
−
⋅
−
⋅
⋅
=
q
log
1
q
r
)
1
q
(
R
1
log
n
0
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⋅
−
⋅
−
=
1
q
1
q
q
r
R
n
n
−
−
⋅
⋅
=
)
1
q
(
q
)
1
q
(
R
r n
n
−
⋅
−
⋅
=
q
log
1
q
r
)
1
q
(
R
log
n
n
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⋅
−
⋅
=
nachschüssig
n
n
0
q
1
1
q
1
q
r
R ⋅
−
−
⋅
=
)
1
q
(
)
1
q
(
q
R
r n
n
0
−
−
⋅
⋅
=
q
log
1
r
)
1
q
(
R
1
log
n
0 ⎥ ⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
⋅
−
=
1
q
1
q
r
R
n
n
−
−
⋅
=
)
1
q
(
)
1
q
(
R
r n
n
−
−
⋅
=
q
log
1
r
)
1
q
(
R
log
n
n
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
−
⋅
=
- vorschüssige, jahreskonforme Ersatzrente:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⋅
+
⋅
= )
1
m
(
2
100
/
p
m
r
r e
- nachschüssige, jahreskonforme Ersatzrente:
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
⋅
+
⋅
= )
1
m
(
2
100
/
p
m
r
r e
- vorschüssiger, unterjähriger Rentenbarwert: m
n
.
rel
.
rel
m
n
.
rel
.
rel
0
q
1
1
q
1
q
q
r
R ⋅
⋅
⋅
−
−
⋅
⋅
=
- nachschüssiger, unterjähriger Rentenendwert:
1
q
1
q
r
R
.
rel
m
n
.
rel
n
−
−
⋅
=
⋅

Lösungen: Zinseszinsrechnung
1 a) 6.771,75 €
b) 4.886,80 €
c) 9.802,20 €
d) 9.631,44 €
e) 7.946,21 €
2 13.788,43 €
3 3.906,78 €
4 574,35 €
5 a) 1,0798 * 10 15 €
b) 1,5463 * 10 19 €
6 ja, 1,05 6 > 1,06 5
7 12.379,82 €
8 12.292,45 €
9 1.383,91 €
10 3.947,50 €
11 a) 6.708,49 €
b) 2.500,23 €
c) 6.199,99 €
Lösungen: Zinseszinsrechnung
12 a) 8.954,58 €
b) 10.948,21 €
13 6.599,50 €
14 Angebot C, 142.417,75 €
15 8.375,92 €
16 15.670,52 €
17 9.808,51 €
18 a) 5 %
b) 4,75 %
c) 4,5 %
19 5,5 %
20 7 %
21 7,18 %
22
1-1
2-1

Lösungen: Zinseszinsrechnung
22 a) 10,14 Jahre
b) 11 Jahre
c) 6 Jahre
23 10 Jahre
24 11,9 Jahre
25 a) 14,2 (11,9) Jahre
b) 22,5 (18,9) Jahre
26 a) 9 volle Jahre
b) 15.513,28 €
27 4.433,70 €
28 4.638,77 €
29 a) 81,60 €
b) 82,43 €
c) 82,86 €
30 2.391,24 €
31 a) 1.160,54 €
b) 1.213,55 €
c) 1.250,23 €
32 5.683,75 €
33 6,05 Jahre
Lösungen: Zinseszinsrechnung
34 a) 6.680,42 €
b) 6.738,04 €
c) 57,62 €
35 5.973,06 €
36 22.512,20 €
37 10.372,70 €
38 3,04 %
39 a) 0,25 %
b) 101,- €
40 a) 2,956 %
b) 2,4695 %
c) 1,4674 %
d) 1,227 %
23
3-1
4-1

Lösungen: Investition und Finanzierung
1 a) 23000,- €
b) 23820,32 €
c) 24334,40 €
d) 20431,63 €
e) 431,63 €
2 363,44 €
3 820,67 €
4 – 853,47 €
5 7.928,78 €
Lösungen: Investition und Finanzierung
6 7.500,- €
7 1.358,84 €
8 a) 1.850,- €
b) 9,17 % p.a.
9 a) – 76,25 €
b) 89,11 €
Lösungen: Kapitalwertmethode
1 820,67 €
2 – 958,58 €
3 – 367,02 €
4 A1 = 398,59 €
A2 = 415,57 €
5 a) – 354,40 €
b) 571,04 €
Lösungen: Methode des internen Zinssatzes
1 8,45 %
2 9,24 %
3 5 %
4 8,01 %
5 10 %
6 9 % ; 10 %
7 7,32 %
24
5-1
6-1
7-1
8-1

Jahr
Jahr
Jahr
Jahr
Darlehn /
Jahresanfang
Darlehn /
Jahresanfang
Darlehn /
Jahresanfang
Darlehn /
Jahresanfang
Einmaltilgung:
Zinsen Tilgung
Ratentilgung:
Zinsen Tilgung Annuität
Ratentilgung mit einem Freijahr:
Zinsen Tilgung Annuität
Annuitätentilgung:
Zinsen Tilgung Annuität
25
9-1
Darlehn /
Jahresende
Darlehn /
Jahresende
Darlehn /
Jahresende
Darlehn /
Jahresende

mittlere Laufzeit:
Darlehn
Darlehn
Darlehn
100000
80000
60000
40000
20000
0
100000
80000
60000
40000
20000
0
100000
75000
50000
25000
0
Fälligkeitsdarlehn
1 2 3 4 5
Jahr
Ratendarlehn
1 2 3 4 5
Jahr
Ratendarlehn mit einem Freijahr
1 2 3 4 5
Jahr
26
10-1

Lösungen: Tilgungsrechnung
1 a) Z = 7.000,- €
b) peff. = 4,08 %
2 a) Z = 5.250,- €
b) peff. = 8,42 %
3 a) Z = 3.500,- €
b) peff. = 5,86 %
4 a) Z = 8.000,- €
b) peff. = 4,74 %
5 a) Z = 3.750,- €
b) peff. = 5,98 %
6 a) A = 29.173,02 €
b) Z = 75.411,13 €
7 Z = 8.000,- €
8 Z = 6.750,- €
9 a) A = 2.789,35 €
b) Z = 2.314,78 €
10 a) Z = 42.000,00 €
b) Z = 16.282,29 €
c) Z = 24.800,00 €
d) Z = 129.896,16 €
11 D = 30.000,01 €
12 peff. = 7,76 %
27
11-1

Lösungen: Rentenrechnung (nachschüssig)
1 610,51 €
2 379,08 €
3 15.816,95 €
4 67.100,81 €
5 4.147,68 €
6 47 Jahre
7 5.697,51 €
8 5 Jahre
9 837,87 €
10 16,42 Jahre
Lösungen: Rentenrechnung (vorschüssig)
1 671,56 €
2 12.789,07 €
3 43.121,27 €
4 46.353,41 €
5 3.912,91 €
6 6 Jahre
7 2.403,50 €
8 10 Jahre
9 12.174,08 €
10 9,39 Jahre
28
12-1
13-1

Lösungen: Rentenrechnung
1 31.444,73 €
2 62.232,47 €
3 6.176,86 €
4 33.759,99 €
5 47.476,31 €
6 18.237,16 €
7 6.354,63 €
8 588,95 €
9 1.470,17 €
10 1.000,03 €
11 7 Jahre
12 7 Einzahlungen (Jahre)
Lösungen: Rentenrechnung
13 14,99 (=> 15) Jahre
14 20.256,41 €
15 62.277,95 €
16 2.131,04 €
17 10 Jahre
18 7.258,61 €
19 32.358,30 €
20 956,28 €
21 3.574,08 €
22 8.143,51 €
23 5.181,39 €
Lösungen: Rentenrechnung
24 17 Jahre
25 13.036,40 €
26 18.375,38 €
27 3.275,23 €
28 6.049,19 €
29 9.448,88 €
30 2.361,64 €
31 20.561,15 €
32 5 %
29
14-1
15-1
16-1

Lösungen: Rentenrechnung
33 a) 412,- € und 2.417,04 €
b) 412,16 € und 2.429,74 €
34 a) 420,- € und 2.463,97 €
b) 420,40 € und 2.478,33 €
35 a) 407.768,43 €
b) 416.129,32 €
36 a) 73.561,47 €
b) 74.269,97 €
37 a) 27.380,94 € und 503,31 €
b) 27.599,79 € und 508,29 €
38 a) 147.467,02 € und 15,29 Jahre
b) 148.683,51 € und 15,51 Jahre
39 a) 147.467,02 € und 2,79 %
b) 148.683,51 € und 2,8
40 29,68 Jahre => Barauszahlung
Lösungen: Kapitalauf- oder -abbau
1 16.700,86 €
2 29.761,34 €
3 27.810,48 €
4 2.629,47 €
5 1.054,35 €
6 5.102,41 €
7 5.975,31 €
8 16.098,10 €
9 835,90 €
10 1.087,45 €
Lösungen: Kapitalauf- oder -abbau
11 1.381,79 €
12 5.927,45 €
13 13.083,82 €
14 16.870,66 €
15 9 Jahre
16 6 Jahre
17 9 Jahre
30
17-1
18-1
19-1