Statistik Schülerversion - WIHOGA Dortmund

Statistik
Definition: Entwicklung und Anwendung von Methoden zur Erhebung,
Aufbereitung, Analyse und Interpretation von Daten.
Teilgebiete der Statistik:
- Beschreibende (deskriptive) Statistik
- Wahrscheinlichkeitsrechnung
- Schließende (induktive) Statistik
Phasen für statistische Untersuchungen:
1. Vorbereitung / Planung
- präzise Formulierung der Ziele
- detaillierte Definition des Untersuchungsgegenstandes
2. Datenerhebung
- Primärerhebung: Befragung, Beobachtung und Experiment
- Sekundärerhebung: Verwendung von bereits vorhandenen Daten
3. Datenaufbereitung und Darstellung
Beispiel: 15 Schüler werden nach ihrer Mathematiknote befragt
Urdaten (Urliste): 2, 1, 5, 4, 2, 3, 2, 3, 5, 4, 4, 4, 1, 2, 5
geordnete Daten (Reihe): 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5
Häufigkeitstabelle: Diagramm:
Note
1 2 3 4 5
Häufigkeit 2 4 2 4 3
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5
4. Datenauswertung (Analyse) und Interpretation
- Häufigkeitsverteilung: die Berechnung von Mittelwerten, Streuungsmaßen und
Konzentrationsmessung
- Zusammenhang zwischen Merkmalen: Methoden der Korrelationsanalyse
- Zeitreihenanalyse: Ermittlung von Schwankungen und Trendermittlung
- Relationen von Zahlen: Verhältnis- und Indexzahlen
5. Ergebnispräsentation
- adressatengerechte Präsentation der Ergebnisse
- grafisch, tabellarisch oder über Einzelwerte
- ergänzt durch erläuternde Kommentare
Häufigkeit
Note
1

Manipulationen in der Statistik
- Manipulation durch grafische Verzerrungen
Tsd. Euro
70
60
50
40
30
20
10
0
Umsatzentwicklung
1 2 3 4 5 6 7
Zeit
Umsatzentwicklung
70
60
50
40
30
20
10
0
1 2 3 4 5 6 7
- Täuschung durch falsche Angaben
z.B. bewusst falsche Angaben ( bei Kriegsstatistiken über Feindverluste) oder das
bewusste Nichtbeachten von relevanten Daten.
- Nicht-Angabe unüblicher Definitionen oder erklärender Informationen
z.B. werden die Lohnnebenkosten üblicher Weise ins Verhältnis zum Bruttolohn
gesetzt und nicht ins Verhältnis zum Nettolohn. Letzteres müsste sehr deutlich
gekennzeichnet werden.
- Nicht repräsentative Stichprobe
z.B. werden zur Belegung einer These nur Personen befragt, die die gleichen
Interessen verfolgen.
- Irreführende Auswahl der Untersuchungsmerkmale
z.B. werden Personen nur zu bestimmten ausgewählten Merkmalen befragt, die das
wahre Ergebnis verfälschen.
- Die Antwort beeinflussende Fragestellungen
z.B. wenn dem Befragten die gewünschte Antwort suggeriert wird.
- Manipulierende Auswahl der Bezugsgröße
z.B. kann die Preissteigerung ins Verhältnis zum Vormonat oder zum Vorjahresmonat
gesetzt werden, oder an einer Fakultät mit 2.500 Studenten nehmen 50 Studenten an
einer Klausur in Statistik teil. Von den 50 Studenten besteht keiner die Klausur. Der
Dozent behauptet, die Durchfallquote bei seiner Klausur sei 2 % gewesen.
- Vortäuschen von Zusammenhängen (fehlende Kausalität)
z.B. der Zusammenhang von Geburten und Storchenpopulation
Tsd. Euro
Zeit
2

Statistische Grundbegriffe
Merkmalsträger:
Der Merkmalsträger (statistische Einheit) ist das Subjekt oder Objekt der statistischen
Untersuchung und der Träger der interessierenden statistischen Information (Träger der
Information).
Grundgesamtheit:
Die Grundgesamtheit (statistische Masse) ist die Menge aller Merkmalsträger, die übereinstimmende
Abgrenzungsmerkmale besitzen.
- sachliche Abgrenzung: Es muss festgelegt werden, wer oder was zu einem
Merkmalsträger gehört.
- räumliche Abgrenzung: In welchen Grenzen (in welchem Gebiet) liegen die
Merkmalsträger.
- zeitliche Abgrenzung: Es ist der Zeitpunkt (Bestandsmasse) oder der Zeitraum der
einzubeziehenden Merkmalsträger zu bestimmen. Die Ereignisse während eines
bestimmten Zeitraumes (Zugänge oder Abgänge) bilden die Bewegungsmasse
(Ereignismasse). Sie führen zu Bewegungen in der korrespondierenden Bestandsmasse.
Merkmal:
Die Eigenschaft des Merkmalsträgers, die bei der statistischen Untersuchung von Interesse ist,
wird als Merkmal (Untersuchungsvariable) bezeichnet.
Merkmalsausprägung:
Alle möglichen Werte, die das Merkmal beim Merkmalsträger annehmen kann, werden als
Merkmalsausprägung bezeichnet.
Merkmalswert:
Der Wert, der beim Merkmalsträger festgestellt wurde heißt Merkmalswert
(Beobachtungswert).
Für die Aufbereitung der Merkmalswerte ist die Art des Merkmals von Bedeutung. Die
folgenden Merkmalsarten werden unterschieden:
- qualitatives Merkmal:
Ein qualitatives Merkmal liegt vor, wenn den möglichen Merkmalswerten lediglich
Namen (artmäßige Merkmale, z.B. Farben) oder Klassenbezeichnungen (intensitätsmäßige
Merkmale, z.B. Noten) zugeordnet werden können.
- quantitatives Merkmal:
Ein Merkmal, das eine messbare Dimension besitzt (z.B. Anzahl der Mitarbeiter im
Betrieb) oder in Mengeneinheiten ausgedrückt werden kann (z.B. Verbrauch in Litern),
wird als quantitativ bezeichnet.
- diskretes Merkmal:
ein quantitatives Merkmal, das abzählbar viele Werte annehmen kann, wird als diskret
bezeichnet (z.B. Einwohnerzahl einer Stadt).
3

- stetiges Merkmal:
ein quantitatives Merkmal, das überabzählbar viele Werte annehmen kann, wird als stetig
bezeichnet (z.B. Füllmengen). Um ein stetiges Merkmal wie ein diskretes behandeln zu
können, muss eine Einheit hinzugefügt werden (z.B. Füllmengen in Litern).
- häufbares Merkmal:
Ein Merkmal, von dem ein Merkmalsträger mehr als einen Merkmalswert annehmen
kann, heißt häufbares Merkmal (z.B. Hobbys).
- nicht häufbares Merkmal:
Ein Merkmal, von dem ein Merkmalsträger nur genau einen Merkmalswert besitzen kann,
heißt nicht häufbares Merkmal (z.B. Alter).
Vollerhebung:
Bei einer Vollerhebung (Totalerhebung) werden die Merkmale bei allen statistischen
Einheiten erhoben.
Stichprobe:
Wird nur ein Teil der Grundgesamtheit untersucht, so handelt es sich um eine Stichprobe.
Diese kommt zu Anwendung, wenn eine Vollerhebung zu kostenaufwendig ist, mit einem
erheblichen Zeitaufwand verbunden ist, oder überhaupt nicht durchgeführt werden kann, da
die statistischen Einheiten bei der Untersuchung zerstört werden (z.B. Crash-Tests), nicht alle
bekannt sind (z.B. die Kunden eines Supermarktes), zu einer Erhebung nicht bereit sind
(z.B. Befragung nach dem Einkommen), oder im vorgegebenen Zeitraum nicht untersucht
werden können.
repräsentative Stichprobe:
Eine Stichprobe gilt als repräsentativ, wenn die aus der Grundgesamtheit ausgewählten,
statistischen Einheiten hinsichtlich aller Kriterien, anteilig alle statistischen Einheiten der
Grundgesamtheit wiederspiegeln (repräsentieren).
Auswahlverfahren:
Erstreckt sich die statistische Untersuchung nur auf einen Teil der Grundgesamtheit, so
kommt ein Auswahlverfahren zur Stichprobenuntersuchung zur Anwendung:
- willkürliche Auswahl: Bei dieser nicht repräsentativen Auswahl gibt es keine konkreten
Vorgaben (z.B. werden Kunden im Supermarkt nach einem bestimmten Produkt befragt).
- Zufallsauswahl: Da jede statistische Einheit der Grundgesamtheit mit einer berechneten
Wahrscheinlichkeit in die Stichprobe gelangt, ist eine repräsentative Erhebung
sichergestellt (z.B. Telefonbefragung, wenn die Telefonnummern zufällig ausgewählt
werden).
- Bewusste Auswahl: Bei der bewussten Auswahl (Beurteilungsstichprobe) erfolgt die
Auswahl der statistischen Einheiten gezielt nach bestimmten Merkmalen und ist
annähernd repräsentativ (z.B. das Quotenverfahren, wenn die jeweiligen Anteile an der
Grundgesamtheit bekannt sind, das Konzentrationsverfahren, wenn die wichtigsten der
statistischen Einheiten der Grundgesamtheit befragt werden oder die typische Auswahl,
bei der nur die statistischen Einheiten befragt werden, die hinsichtlich eines Merkmals als
besonders typisch gelten).
4

Zeitreihe:
Eine statistische Reihe von Beobachtungswerten, die für aufeinander folgende Zeitpunkte
oder Zeitintervalle erhoben werden, heißt Zeitreihe.
Statistische Skalen:
Auf einer Skala (Messskala) werden die möglichen Merkmalswerte nach einem bestimmten
Ordnungsprinzip als Skalenwerte abgetragen. Die Skala (bzw. das Ordnungsprinzip) ist
entscheidend zum einen für das Informationsniveau und den Aussagegehalt des Merkmalswertes
und zum anderen für die statistischen Verfahren, die angewendet werden dürfen.
Nominalskala:
Eine Skala, deren Skalenwerte nur nach dem Kriterium gleich oder verschieden geordnet
werden können heißt Nominalskala (z.B. Farben oder Bundesländer).
Rangskala:
Eine Skala, deren Skalenwerte nicht nur nach dem Kriterium gleich oder verschieden, sondern
außerdem in einer natürlichen Reihenfolge geordnet werden können, heißt Rangskala oder
Ordinalskala (z.B. Noten oder Güteklassen).
metrische Skala:
Eine Skala, deren Skalenwerte reelle Zahlen sind und die alle Ordnungseigenschaften der
reellen Zahlen besitzt, d.h. die Werte lassen sich in eine Rangfolge bringen und es sind zudem
auch Abstände messbar, heißt metrische Skala oder Kardinalskala (z.B. Einkommen oder
Stückzahlen).
Die drei Skalen sind durch ein steigendes Informationsniveau gekennzeichnet. Je höher das
Informationsniveau, desto höher und objektiver ist auch die Aussagekraft und das
Analysepotential. Daher sollte bei einer statistischen Untersuchung möglichst nach
Merkmalen mit einem hohen Skalenniveau gesucht werden (z.B. kann die Sorgfalt eines
Akkordarbeiters unter Verwendung einer Ordinalskala von „sorgfältig“ stufenweise bis
„unachtsam“ gemessen werden, oder aber auf einer metrischen Skala mit der Anzahl an
Fehlern pro 100 Mengeneinheiten).
Hat der Skalenwert bei einer metrischen Skala keinen natürlichen Nullpunkt (Intervallskala),
z.B. Temperatur in Celsius, so darf nur der absolute aber nicht der relative Abstand gemessen
werden (z.B. beträgt der absolute Abstand von 12 Grad und 36 Grad Celsius gleich 24 Grad
Celsius. Der relative Wert 36 / 12 = 3 ist ohne Aussagekraft, da es bei 36 Grad nicht 3 mal so
warm ist wie bei 12 Grad Celsius).
Besitzt der Skalenwert bei einer metrischen Skala einen natürlichen Nullpunkt
(Verhältnisskala), z.B. Lebensalter in Jahren, oder zusätzlich auch noch eine natürliche
Einheit (Absolutskala), z.B. Stückzahlen, so darf der absolute und der relative Abstand
gemessen werden (z.B. beträgt der absolute Abstand zwischen 2.000,00 € und 6.000,00 €
gleich 4.000,00 € und 6.000 / 2.000 = 3 bedeutet, dass es dreimal soviel ist).
Unter einer Skalentransformation versteht man die Übertragung von Skalenwerten in Werte
einer anderen Skala, wobei die Ordnungseigenschaften der Skala erhalten bleiben müssen.
Nach der Transformation ist auf die korrekte Interpretation der Daten zu achten (z.B. nach der
Transformation der qualitativen Merkmalsausprägungen „männlich“ und „weiblich“ in „0“
und „1“ (Pseudokardinalskalen) darf mit diesen Werten nicht gerechnet werden).
5

Beispiel: Es soll die durchschnittliche Statistiknote ermittelt werden.
Zur Grundgesamtheit gehören alle Studierenden (Merkmalsträger), die im dritten Semester
sind (sachlich), an der WIHOGA in Dortmund eingeschrieben waren (räumlich), im Zeitraum
vom ... bis ... (zeitlich). Zu einem bestimmten Zeitpunkt (Bestandsmasse). Bei Abmeldungen
während des Semesters (Ereignismasse / Bewegungsmasse). Es ist festzulegen, welche
Subjekte mit einbezogen werden sollen und dies ist eindeutig kenntlich zu machen.
Bei den Studenten (statistische Einheiten) soll die Note (Merkmal) festgestellt werden.
Möglich wären die Noten 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 (Merkmalsausprägungen). Die tatsächliche Note
der jeweiligen statistischen Einheit ist der Merkmalswert (Beobachtungswert).
Bei den Noten handelt es sich um ein qualitatives, intensitätsmäßiges Merkmal, das auf einer
Rangskala gemessen wird, da es wohl eine Rangfolge der Noten gibt, jedoch keine Abstände
gemessen werden können. So ist die Note 2 zwar besser als die Note 4, jedoch nicht doppelt
so gut und es gibt auch keine Zwischenwerte (z.B. Note 2,5). Da das Merkmal nicht
quantitativ ist lässt es sich auch nicht als diskret oder stetig klassifizieren. Da jeder Student
(im abgegrenzten Zeitraum) nur eine Note bekommt, handelt es sich um ein nicht häufbares
Merkmal. Da die Noten aller Studenten mit in die statistische Untersuchung einbezogen
werden, liegt eine Vollerhebung vor.
Abkürzungen:
i = Laufindex
n = Gesamtzahl der Merkmalsträger
x = Merkmal
v = Anzahl der verschiedenen Merkmalswerte
xi = Merkmalsausprägung der i-ten Stelle
hi = absolute Häufigkeit
fi = relative Häufigkeit
Hi = absolute Summenhäufigkeit
Fi = relative Summenhäufigkeit
HRi = absolute Resthäufigkeit
FRi = relative Resthäufigkeit
Formeln:
Tabellarische Darstellung von Daten
h1 + h2 + ... + hv = n ∑
i=
1
f
h i
n
i = ∑
i=
1
v
v
h
i
i
= n
f
= 1
6

Häufigkeitsverteilung des Merkmals:
Die tabellarische oder grafische Darstellung der geordneten Merkmalsausprägungen mit den
ihnen zugeordneten absoluten oder relativen Häufigkeiten heißt Häufigkeitsverteilung des
Merkmals.
Häufigkeitstabelle:
Laufindex (i)
Merkmalsausprägung
(xi)
absolute Häufigkeit
(hi)
relative Häufigkeit
(fi)
1 x1 h1 f1
2 x2 h2 f2
3 x3 h3 f3
.
.
.
.
.
.
n-1 xn-1 hn-1 fn-1
n xn hn fn
Laufindex (i) 1 2 ... n-1 n
Merkmalsausprägung (xi) x1 x2 … xn-1 xn
absolute Häufigkeit (hi) h1 h2 ... hn-1 hn
relative Häufigkeit (fi) f1 f2 … fn-1 fn
Aufgabe 1: Es ist die Anzahl der Kinder von den Beschäftigten einer Firma gegeben.
xi 0 1 2 3 4
hi 7 6 4 2 1
a) Bestimmen Sie: Merkmalsträger, Merkmal, Merkmalsausprägungen und Merkmalswerte
b) Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle mit den absoluten und relativen Häufigkeiten, sowie
den absoluten und relativen Summen- und Resthäufigkeiten
c) Erläutern Sie aus der Tabelle: x2 ; h2 ; h4 ; f3 ; H2 ; F4 ; HR3 und FR2
Aufgabe 2: In einer Gaststätte wird bei 150 Gästen die Wartezeit (in Minuten) festgehalten,
von dem Moment an, wo diese am Tisch Platz nehmen bis zu dem Zeitpunkt, wo ein Kellner
an den Tisch kommt.
Wartezeit 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Anzahl
der Gäste
0 3 9 18 30 24 21 12 9 3 6 9 6
a) Bestimmen Sie Merkmalsträger, Merkmal, Merkmalsausprägungen und Merkmalswerte,
b) erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle mit den absoluten und relativen Häufigkeiten,
sowie den absoluten und relativen Summen- und Resthäufigkeiten und
c) interpretieren Sie die Häufigkeitstabelle.
.
.
.
.
.
.
7

Klassierte Häufigkeitsverteilung
Bei vielen Untersuchungen ist die Erfassung und Auszählung aller einzelnen Merkmalsausprägungen
nicht sinnvoll oder nicht möglich, weil:
• die Anzahl der Merkmalsausprägungen zu groß ist,
• das Merkmal stetig ist, oder
• die Übersichtlichkeit bei Darstellung und Aufbereitung verloren geht.
(z.B.: Untersuchung der Einkommensverteilung. Hier werden die Einkommen nicht auf den
Cent genau erfasst, sondern in Klassen zusammengefasst.)
Klassierung:
Die Merkmalsausprägungen werden in Klassen (Bereiche) zusammengefasst. Eine
Klassierung (Klassenbildung) dient der anschaulichen Darstellung, wenn ein Merkmal sehr
viele Merkmalsausprägungen besitzt. Da durch die Verdichtung der Merkmalsausprägungen
zu Klassen Informationen verloren gehen, ist hier ein Kompromiss zu finden, zwischen dem
Gewinn an Übersichtlichkeit und dem Verlust an Informationen. Die Entscheidung über
Anzahl und Breite der Klassen ist am Untersuchungsziel auszurichten.
Abkürzungen:
j = Laufindex für die Klasse (Klassenindex), j = 1, ..., v
xj u = Untergrenze der Klasse j
xj o = Obergrenze der Klasse j
xj * = Klassenmitte der klassierten Merkmalsausprägungen
hj = absolute (einfache) Klassenhäufigkeit. Anzahl der Merkmalsträger mit einem Merkmalswert
xi, der in die j-te Klasse fällt, also xj u ≤ xi < xj o
Hj = absolute kumulierte Klassenhäufigkeit
Klassenmitte:
Die Klassenmitte (xj * ) repräsentiert im Allgemeinen die jeweilige Klasse bei der Auswertung
des statistischen Datenmaterials.
Klassenbreite:
Die Differenz zweier aufeinander folgender Klassengrenzen (xj o – xj u ) heißt Klassenbreite.
Für die eindeutige Zuordnung ist nur eine der Klassengrenzen mit zuzurechnen:
also nicht: sondern: oder:
10 bis 11 über 10 bis 11 10 bis unter 11
11 bis 12 über 11 bis 12 11 bis unter 12
12 bis 13 über 12 bis 13 12 bis unter 13
Festlegung der Klassenbreite:
Alle Klassenbreiten sollten gleich groß sein, sofern das zu behandelnde Problem dies zulässt.
Fallen wie z.B. bei den Einkommen nur sehr wenige Beobachtungswerte in die oberen
Klassen, können diese auch größer ausfallen. Die Festlegung der Klassenbreite (xj o – xj u )
sollte möglichst so erfolgen, dass der Wert in der Klassenmitte ein typischer Stellvertreter für
die ganze Klasse ist, denn es wird im Allgemeinen davon ausgegangen, dass sich alle
Beobachtungswerte einer Klasse gleichmäßig über diese verteilen (Gleichverteilungsannahme).
8

offene Randklassen:
Bei offenen Randklassen gibt es drei Möglichkeiten, die Klassenmitte zu bestimmen:
• der Wert, der sich bei gleichen Abständen aller Klassenmitten ergibt,
• einen geschätzten, bzw. vermuteten Wert, oder
• den sich aus den Beobachtungswerten berechneten tatsächlichen Mittelwert der Klasse.
Beispiel:
Klassen:
u
o
≤ x x
j j j
x <
Klassenmitten:
x
*
j
200 bis
unter 300
300 bis
unter 400
400 bis
unter 500
500 bis
unter 600
600 und
mehr
250 350 450 550 650
Für die letzte Klassenmitte kann der Wert 650 verwendet werden (gleicher Abstand
entsprechend den anderen Klassenmitten), ein Wert geschätzt oder (wenn möglich) der
tatsächliche berechnet werden.
Näherungsweise Häufigkeitsberechnungen:
Liegen bei einer klassierten Häufigkeitsverteilung die Urwerte nicht mehr vor, dann können
den Merkmalswerten, unter der Annahme einer Gleichverteilung innerhalb der jeweiligen
Klassen, die Häufigkeiten näherungsweise mittels linearer Interpolation zugeordnet werden.
Aufgabe 3: 140 Kunden haben Rechnungsbeträge von unter 120,00 Euro. Ergänzen Sie die
Häufigkeitstabelle und erläutern Sie die folgenden Werte: x2 * ; h2 ; f3 ; H2 ; F4 ; HR3 ; FR2 und
F(75).
j
Rechnungsbetrag (€)
von … bis unter …
0 – 20 10
20 – 40 20
40 – 60 60
60 – 80 35
80 – 100 10
100 – 120 5
(relative Werte in Prozent)
*
x j hj fj Hj Fj HRj FRj
9

Mehrdimensionale Häufigkeitsverteilung
Tabelle:
Eine Tabelle dient der systematischen und übersichtlichen Zusammenstellung von Daten.
xi
yk
Vorspalte
v
∑ hik
i = 1
Tabellenkopf
Tabellenfeld Tabellenfeld Tabellenfeld
Tabellenfeld Tabellenfeld Tabellenfeld
Tabellenfeld
w
∑ hik
k = 1
Summen-
spalte
Summenzeile n
Spalten
Zeilen
bis unter 25 Jahre 25 Jahre und älter Insgesamt
m w m w
(1)+(2) (4)+(5) (1)+(4) (2)+(5) (7)+(8)
Sem. (1) (2) = (3) (4) (5) = (6) = (7) = (8) = (9)
1
2
3
4
∑
10

45
40
35
30
25
20
15
10
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
5
0
100%
90%
80%
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
Kreisdiagramm
20
30
15
Grafische Darstellung von Daten
35
40
Säulendiagramm
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
Reihe3
Reihe2
Reihe1
5
4
3
2
1
4
14%
40
35
30
25
20
15
10
5
0
3
21%
5
11%
Umsatz
2
25%
1
29%
1 2 3 4 5
Balkendiagramm
0% 20% 40% 60% 80% 100%
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
11

45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Anzahl
Histogramm mit gleicher
Klassenbreite
Histogramm mit
unterschiedlicher
Klassenbreite und
Polygonzug
20
15
10
5
0
30
20
10
Treppenfunktion
Reihe1
Reihe2
Reihe3
Reihe4
Reihe5
0 1 2 3 4 5 6
0
Note
Linien- / Kurvendiagramm
1 2 3 4 5 6 7 8
Reihe1
Reihe2
Reihe3
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
30
25
20
15
10
5
Polygonzug
Liniendiagramm (Summenpolygon)
1 2 3 4 5 6 7
Gebirge
0
Jahr 3
1 2 3 4 5 6 7 8
Jahr 1
Jahr 1
Jahr 2
Jahr 3
12

Aufgabe 4:
Ein Unternehmer hat noch 245 offene Forderungen in unterschiedlicher Höhe, wie in der
folgenden Tabelle dargestellt:
a) Erstellen Sie dazu ein Histogramm,
b) zeichnen Sie die relative Summenhäufigkeit in ein Diagramm,
c) bestimmen Sie die relative Summenhäufigkeit für Forderungen bis unter 550,00 € und
d) bestimmen Sie den Forderungswert in Euro, auf den bis zu 87,76 % der Forderungen
entfallen.
j
1
2
3
4
5
6
Forderungen (in Euro)
von ... bis unter ...
50 100
100 200
200 300
300 400
400 600
600 1000
(relative Werte in Prozent)
hj dj Hj Fj
15
50
80
40
40
20
13

Aufgaben zur Wiederholung:
1) Beschreiben Sie in groben Zügen die einzelnen Phasen der statistischen Untersuchung und
ihre jeweiligen Aufgaben.
2) Erläutern Sie die Bedeutung der Konkretisierung des Untersuchungszieles.
3) Erklären Sie den Unterschied zwischen Primär- und Sekundärforschung. Worin liegen
jeweils die Vor- und Nachteile?
4) Erklären Sie den Unterschied zwischen Befragung und Beobachtung. Worin liegen jeweils
die Vor- und Nachteile?
5) Erläutern Sie das Problem der grafischen Verzerrungen und gehen Sie auch auf andere
Manipulationen ein.
6) Erläutern Sie die folgenden Begriffe: Merkmalsträger, statistische Einheit, Grundgesamtheit,
statistische Masse, Merkmal, Merkmalsausprägung, Merkmalswert, Beobachtungswert,
Merkmalsarten, qualitatives und quantitatives Merkmal, diskretes und stetiges
Merkmal, häufbares und nicht häufbares Merkmal.
7) Erläutern Sie die Begriffe „Vollerhebung, Totalerhebung, Stichprobe und repräsentative
Stichprobe“. Erklären Sie den Unterschied zwischen Voll- und Teilerhebung und
beschreiben Sie jeweils deren Vor- und Nachteile.
8) Beschreiben Sie die folgenden Auswahlverfahren: willkürliche Auswahl, Zufallsauswahl
und bewusste Auswahl.
9) Erläutern Sie die verschiedenen Skalen (allgemein und anhand eines selbst gewählten
Beispiels) und erläutern Sie die Skalentransformation.
10) Beschreiben Sie den Aufbau einer Häufigkeitstabelle und erklären Sie den Unterschied
zwischen der einfachen und der kumulierten Häufigkeitsverteilung.
11) Wann ist es erforderlich, eine klassierte Häufigkeitsverteilung zu erstellen. Welcher
Zielkonflikt ist bei der Klassenbildung zu lösen?
12) Erläutern Sie die verschiedenen Diagrammarten und deren Anwendbarkeit.
14

Aufgaben:
1. Geben Sie für die folgenden Fragestellungen Merkmalsträger, Merkmal und Merkmalsausprägungen
an:
a) Bei einer Befragung von Studenten wird u.a. das Fachsemester erfragt.
b) Es soll die Qualität einer Lieferung Tomaten untersucht werden.
c) Es soll der Kakaogehalt einer Schokoladensorte untersucht werden.
2. Welche der folgenden Merkmale sind diskret und welche sind stetig?
a) Füllmenge von Cola-Flaschen.
b) Anzahl der Orangen in einer Kiste.
c) Einkommen von Managern.
d) Temperatur in einem Gefrierschrank.
e) monatlicher Stromverbrauch
f) Sitzplatzkapazität in einem Restaurant
g) Anzahl der Mitarbeiter in einem Betrieb
3. Geben Sie zu den folgenden Merkmalen jeweils eine geeignete Messskala an und
begründen Sie Ihre Entscheidung:
a) Hobby von Studenten
b) Dienstgrad von Beamten
c) Benzinverbrauch einer Pkws
d) Noten einer Prüfung
e) Uhrzeit
f) Hotelklassifizierung, gemessen in Sternen
g) Bundesländer
h) Anzahl der Gäste in einem Restaurant
4. Geben Sie zu den folgenden Merkmalen an, auf welcher Skala die Ausprägungen geordnet
werden können und ob sie häufbar sind oder nicht:
a) Religionszugehörigkeit
b) Ursache von Verkehrsunfällen
c) Güteklasse von Hotels
d) Körpergewicht von Studenten
e) Kinderzahl von Personen
f) Geburtsdatum
g) Hobby von Studenten
h) Berufsausbildungen
15

5. In einer Prüfung haben 16 Studenten die folgenden Noten erzielt:
3, 1, 2, 2, 1, 4, 5, 4, 3, 5, 2, 5, 6, 2, 3, 2
a) Bestimmen Sie die Häufigkeitsverteilung.
b) Stellen Sie die Häufigkeitsverteilung grafisch dar.
c) Bestimmen Sie die Summenhäufigkeitsverteilung.
d) Stellen Sie die Summenhäufigkeitsverteilung grafisch dar.
6. Fünfzig Studenten wurden danach befragt, wie oft Sie in der vergangenen Woche im Bistro
waren. Die folgenden Urdaten wurden erhoben:
0, 1, 0, 5, 4, 3, 1, 7, 9, 3, 2, 1, 0, 4, 2, 6, 7, 5, 0, 1, 4, 1, 1, 3, 4, 8, 6, 2,
6, 1, 0, 0, 1, 4, 3, 1, 2, 6, 3, 5, 4, 7, 4, 2, 3, 1, 1, 5, 6, 3
a) Bestimmen Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten.
b) Bestimmen Sie die absoluten und relativen Summenhäufigkeiten.
c) Bestimmen Sie die absoluten und relativen Resthäufigkeiten.
d) Zeichnen Sie die Häufigkeitsverteilung als Säulendiagramm.
e) Zeichnen Sie die Summenhäufigkeitsverteilung.
f) Zeichnen Sie die Verteilung der Resthäufigkeiten.
7. Zwanzig Teilnehmer einer Klausur haben folgende Punktzahlen erzielt:
25, 74, 87, 43, 60, 72, 56, 36, 75, 49, 83, 52, 71, 67, 78, 50, 76, 64, 77, 69
a) Bestimmen Sie für die erzielten Punktzahlen die Häufigkeitsverteilung und die
Summenhäufigkeitsverteilung mit den Klassen:
von ... bis unter ; 20 – 40, 40 – 60, 60 – 80, 80 – 100.
b) Stellen Sie die Häufigkeitsverteilung als Histogramm dar und zeichnen Sie den
Polygonzug.
c) Stellen Sie die Summenhäufigkeitsverteilung grafisch dar.
16

8. Es liegt Ihnen die folgende relative Summenhäufigkeitsverteilung einer Unternehmung mit
2000 Mitarbeitern vor:
Fj 100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1000
0
1250
3
1500
8
1750
15
Bruttomonatseinkommen
2000
25
2250
35
2500
50
2750
62
3000
72
3250
80
3500
85
3750
90
4000
93
4250
96
4500
98 99 100
a) Wie viele Mitarbeiter (absolut und prozentual) verdienen: unter 2.000,00 €, über
3.250,00 €, weniger als 2.750,00 €, nicht mehr als 4.500,00 €, mindestens 1.250,00 €,
höchstens 3.000,00 €, zwischen 2.250,00 € und 4.250,00 € ?
b) Wie viel Euro verdienen: bis zu 15 % der Mitarbeiter die am wenigsten verdienen,
die 10 % der am meisten Verdienenden, ein Viertel der unteren Einkommensbezieher,
die besserverdienende Hälfte mindestens, 4/5 der Geringverdiener höchstens ?
c) Wie viel Prozent der Mitarbeiter verdienen höchstens 2.400,00 € ?
d) Wie viel Euro verdienen höchsten 70 % der Mitarbeiter ?
e) Wie viel Prozent der Mitarbeiter verdienen mindestens 3.100,00 € ?
f) Wie viel Euro verdient das obere Viertel der Mitarbeiter mindestens?
g) Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle mit den absoluten und relativen Häufigkeiten,
Summen- und Resthäufigkeiten.
4750
5000
x j
17

9. Ein Student arbeitet in seiner Freizeit auf
einer Hühnerfarm. Um die
Legefreundlichkeit der Hennen zu ermitteln,
zeichnet er die relative
Summenhäufigkeitsverteilung für die in einer
Woche von den einzelnen Hühnern gelegten
Eier. Welche Fehler hat er gemacht?
10. Gegeben ist die folgende Häufigkeitsverteilung:
prozentualer Anteil
120
100
80
60
40
20
0
-1 0 1 2 3 4 5 6 7
Anzahl Eier
xj u ≤ x < xj o 10 – 20 20 – 30 30 – 60 60 – 80
hj 30 30 30 30
a) Bestimmen Sie die Summenhäufigkeitsverteilung.
b) Stellen Sie die absolute Häufigkeits- und Summenhäufigkeitsverteilung grafisch dar.
c) Zeichnen Sie den Polygonzug über die jeweiligen Klassenmitten.
11. Die folgende Grafik gibt die relative
Summenhäufigkeit eines Merkmals an.
a) Zeichnen Sie den Polygonzug der relativen
Häufigkeiten über die jeweiligen
Klassenmitten, ohne diesen mit der x-Achse
zu verbinden und
b) ergänzen Sie den Polygonzug mit der
Darstellung eines Histogramms.
12. Gegeben sind die folgenden Beobachtungswerte eines diskreten Merkmals:
5, 3, 1, 3, 3, 2, 1, 5, 4, 1, 5, 4, 2, 4, 2, 1, 4, 5, 1, 2
a) Geben Sie die Häufigkeitsverteilung für die absoluten und für die relativen
Häufigkeiten an. Bestimmen Sie die Summenhäufigkeitsverteilung für die relativen
Häufigkeiten.
b) Stellen Sie die Verteilung der relativen Häufigkeiten und der relativen Summenhäufigkeiten
grafisch dar.
c) Rekonstruieren Sie aus Ihrer relativen Summenhäufigkeitsverteilung die Häufigkeitstabelle.
F j
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 2 4 6 8 10 12
x j
18

Parameter und Maßzahlen
Die typischen Eigenschaften einer Häufigkeitsverteilung können mit Hilfe von Kenngrößen
(Parametern) oder Maßzahlen beschrieben werden, um so viele Einzelinformationen zu
wenigen, aussagekräftigen Größen zu verdichten und damit einen raschen Einblick in die
typischen Eigenschaften der Häufigkeitsverteilung zu erhalten und den Vergleich mit anderen
Gesamtheiten zu ermöglichen.
Lageparameter:
• Modus (x¯ D)
• Median (x¯ Z) und Quantile (Q)
• arithmetisches Mittel ( x¯ )
• harmonisches Mittel (x¯ H)
• geometrisches Mittel (x¯ G)
Konzentrationsmaße:
• absolute und relative Konzentrationsmessung
• Lorenzkurve und Gini-Koeffizient (GK)
Lageparameter
Streuungsmaße:
• Spannweite (R) und Quartilsabstand
• mittlere absolute Abweichung (d)
• Varianz (s²)
• Standardabweichung (s)
• Variationskoeffizient (V)
Modus:
Der Modus (Modalwert, häufigster Wert, dichtester Wert) ist derjenige Merkmalswert, der am
häufigsten beobachtet wurde.
Aufgabe: Die folgenden Häufigkeitsverteilungen zeigen die geleisteten Überstunden (xi) von
zwei Unternehmen. Bestimmen Sie den Modus.
Unternehmen A:
Unternehmen B:
xi 0 1 2 3 4 12
hi 3 10 4 3 2 1
xi 0 1 2 3 4
hi 3 5 4 4 4
19

Median:
Der Median (Zentralwert) ist derjenige Merkmalswert, dessen Merkmalsträger in der
Rangordnung aller Merkmalsträger genau die mittlere Position einnimmt.
Aufgabe 1: Für 23 Beschäftigte einer Firma wurden die Fehlzeiten (in Tagen) für das letzte
Jahr berechnet. Ermitteln Sie den Median.
xi 0 3 4 7 8 9 12 13 59
hi 3 1 2 3 5 4 2 2 1
Hi 3 4 6 9 14 18 20 22 23
Aufgabe 2: Für 20 Beschäftigte einer Firma wurden die Fehlzeiten (in Tagen) für das letzte
Jahr berechnet. Ermitteln Sie den Median.
xi 0 2 5 6 7 11 12 14
hi 4 2 2 2 4 3 2 1
Hi 4 6 8 10 14 17 19 20
20

Aufgabe 3: Berechnen Sie den Median aus der folgenden, klassierten Verteilung.
j
Forderungen (in Euro)
von ... bis unter ...
hj Hj fj Fj
1 50 100 15 15 0,0612 0,0612
2 100 200 50 65 0,2041 0,2653
3 200 300 80 145 0,3265 0,5918
4 300 400 40 185 0,1633 0,7551
5 400 600 40 225 0,1633 0,9184
6 600 1000 20 245 0,0816 1
Quantile:
Quantile sind eine Sonderform des Median, die eine Gesamtheit in zwei Teile zerlegen,
jedoch nicht zwangsläufig in der Mitte (dem 50 % Wert), da bei Untersuchungen häufig auch
Randwerte von Interesse sind, z.B. 25 % oder 95 %.
Spezielle Quantile:
Art des Quantils Symbolik Anzahl der Intervalle
Perzentile x0,01 ; x0,02 ; … ; x0,99
Dezile x0,1 ; x0,2 ; … ; x0,9
Quintile x0,2 ; x0,4 ; x0,6 ; x0,8
Quartile x0,25 ; x0,5 ; x0,75
Terzile x0,33 ; x0,67
Aufgabe 1: Für 100 Beschäftigte einer Firma wurden die Fehlzeiten (in Tagen) für das letzte
Jahr berechnet. Bestimmen Sie die drei Quartile.
xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8
hi ; fi 10 15 25 15 10 5 10 5 5
Hi ; Fi
HRi ; FRi
21

Aufgabe 2: Bestimmen Sie a) das 1. Dezil und b) das 4. Quintil.
xi 0 1 2 3 4 5 6 7 8
hi ; fi 10 15 25 15 10 5 10 5 5
Hi ; Fi 10 25 50 65 75 80 90 95 100
HRi ; FRi 90 75 50 35 25 20 10 5 0
Aufgabe 3: Berechnen Sie das 3. Quartil aus der klassierten Verteilung:
j
Forderungen (in Euro)
von ... bis unter ...
hj Hj fj Fj
1 50 100 15 15 0,0612 0,0612
2 100 200 50 65 0,2041 0,2653
3 200 300 80 145 0,3265 0,5918
4 300 400 40 185 0,1633 0,7551
5 400 600 40 225 0,1633 0,9184
6 600 1000 20 245 0,0816 1
Aufgabe 4:
Bestimmen Sie a) das 1. Quartil und b) das 3. Quintil der Forderungen.
22

arithmetisches Mittel:
Das arithmetische Mittel ( x¯ ) ist ein Durchschnittswert, bei dem die Summe aller
beobachteten Merkmalswerte auf die Anzahl der Merkmalsträger bezogen wird. Das
arithmetische Mittel setzt ein metrisches Skalenniveau voraus.
Aufgabe 1: Es soll der Durchschnittspreis für eine Tasse Kaffee ermittelt werden. Die fünf
Cafes in der Region nehmen pro Tasse Kaffee die folgenden Preise:
Cafe 1 2 3 4 5
Preis (in Euro) 2,50 2,10 1,80 2,30 2,00
Bei dem gewogenen arithmetischen Mittel werden die Merkmalsausprägungen mit
Häufigkeiten gewichtet.
Aufgabe 2: Ein Urlauber kauft im Laufe seiner Reise 20 Tassen Kaffee in fünf verschiedenen
Cafes der Region. Es soll der Durchschnittspreis ermittelt werden, den der Urlauber pro Tasse
Kaffee bezahlt hat:
Cafe 1 2 3 4 5 ∑
Preis (in Euro) 2,50 2,10 1,80 2,30 2,00 -
Anzahl (in Tassen) 5 3 2 4 6 20
Aufgabe 3: In einem Dorf mit 50 Erwerbstätigen sind 49 Arbeiter mit einem monatlichen
Nettoeinkommen von je 2.000,00 € und ein Millionär mit einem monatlichen Nettoeinkommen
von 102.000,00 €. Ermitteln Sie das durchschnittliche Einkommen der Erwerbstätigen
und beurteilen Sie das Ergebnis.
Für klassierte Häufigkeitsverteilungen kann das arithmetische Mittel nur näherungsweise
bestimmt werden. Anstelle der Merkmalswerte xi werden dann die Klassenmitten xj *
verwendet. Dabei wird unterstellt, dass innerhalb jeder Klasse eine Gleich- oder symmetrische
Verteilung vorliegt.
23

harmonisches Mittel:
Bei dem harmonischen Mittel (x¯ H) werden die relativen Entfernungen berechnet. Dazu
müssen aus den Merkmalswerten Quotienten gebildet werden. Bei konstanter Zählergröße
und variabler Nennergröße muss das harmonische Mittel angewendet werden. Allgemein:
Aufgabe 1: Ein Spediteur fährt 150 km um eine Ware auszuliefern. Auf dem Hinweg fährt er
150 km/h. Auf dem Rückweg kann er aufgrund eines Staus nur 50 km/h fahren. Wie hoch war
die durchschnittliche Geschwindigkeit?
Aufgabe 2: Der Spediteur tankt auf seiner Fahrt zweimal. Beim ersten Mal
20 Liter zum Preis von 1,40 €/l und beim zweiten Mal 30 Liter zum Preis von 1,50 €/l. Wie
groß ist der mittlere Benzinpreis?
Aufgabe 3: Der Spediteur tankt auf seiner Fahrt dreimal die gleiche Menge Benzin. Beim
ersten Mal zum Preis von 1,40 €/l und beim zweiten und dritten Mal zum Preis von 1,70 €/l.
a) Wie viel Euro beträgt der mittlere Benzinpreis pro Liter und b) wie groß ist der mittlere
Benzinpreis, wenn er zu den angegebenen Preisen jeweils für den gleichen Geldbetrag tankt?
Aufgabe 4:
a) Ein Gastwirt kauft im Großmarkt jeweils 10 kg Schweine- und Rindfleisch. Das Schweinefleisch
kostet 20,00 €/kg und das Rindfleisch 22,00 €/kg. Berechnen Sie den Durchschnittspreis
für ein Kilogramm Fleisch.
b) Ein Gastwirt kauft im Großmarkt Fleisch für 420,00 €, davon sind 200,00 € für Schweinefleisch
und 220,00 € für Rindfleisch. Das Schweinefleisch kostet 20,00 €/kg und das Rindfleisch
22,00 €/kg. Berechnen Sie den Durchschnittspreis für ein Kilogramm Fleisch.
Aufgabe 5: Der Spediteur fährt pro Tag 8 Stunden. Am ersten Tag schafft er durchschnittlich
150 km/h und am 2. Tag 50 km/h. Welche Strecke hat er an den beiden Tagen
durchschnittlich pro Stunde zurückgelegt?
Aufgabe 6: Zum reinigen einer Etage benötigt eine Putzfrau 3 Stunden, während eine andere,
routiniertere Putzfrau die gleiche Etage auch in 2 Stunden putzen kann. Wie lange dauert die
Reinigung der Etage, wenn beide Putzfrauen zusammen arbeiten?
24

geometrisches Mittel:
Das geometrische Mittel ( x¯ G ) ist der Wert, der mehrere aufeinanderfolgende Vervielfachungen
einer Größe als durchschnittliche Vervielfachung wiedergibt.
Aufgabe 1: Die Gewinnentwicklung der vergangenen 5 Jahren stellt sich für eine
Unternehmung wie folgt dar. Berechnen Sie die durchschnittliche Gewinnsteigerung pro Jahr.
Jahr 0 1 2 3 4 5
Gewinn (in €) 120.000 138.000 165.600 157.320 188.784 235.980
Bei dem gewogenen geometrischen Mittel werden die Wachstumsfaktoren hoch deren
Häufigkeiten gewichtet.
Aufgabe 2: Ein Kapital von 1.200,00 € wird für sieben Jahre auf ein Sparbuch eingezahlt. In
den ersten beiden Jahren verzinst sich das Kapital mit 3 % p.a., danach steigt der Zinssatz für
4 Jahre auf 3,5 % p.a. und im letzten Jahr auf 4 % p.a. Wie hoch ist die durchschnittliche
Verzinsung?
25

Aufgaben
1. Geben Sie zu den folgenden Fragestellungen einen geeigneten Mittelwert an:
a) Aus Schulnoten verschiedener Fächer soll eine Durchschnittsnote ermittelt werden.
b) Es ist das Durchschnittsgewicht von Personen zu ermitteln.
c) Ein Pkw fährt auf Teilstrecken einer Route verschiedene Geschwindigkeiten. Es soll die
Durchschnittsgeschwindigkeit ermittelt werden.
d) An verschiedenen Fleischstücken soll der Gewichtsverlust durch das Braten ermittelt
werden.
2. Elf Studenten nehmen an einem Elfmeterschießen teil. Sie erzielen die folgenden
Trefferzahlen bei 10 Schuss: 4, 6, 3, 1, 2, 8, 4, 5, 2, 0, 2. Bestimmen Sie a) den Zentralwert,
b) die Quartile und c) das arithmetische Mittel.
3. Bei einer Untersuchung über den täglichen Wasserverbrauch (in l pro Tag) von privaten
Haushalten in einer Großstadt ergab sich die folgende Häufigkeitsverteilung:
xj 0 bis 200 über 200 bis 400 über 400 bis 600 über 600 bis 1000
fj 0,2 0,5 0,2 0,1
Bestimmen Sie a) den Zentralwert und b) das arithmetische Mittel.
4. Die Produktion an Kartoffeln hat sich in einer Region in den Jahren 2007 bis 2010 wie
folgt gegenüber dem Vorjahr verändert:
Jahr 2007 2008 2009 2010
Änderung + 20 % + 40 % + 10 % – 30 %
Wie groß ist die durchschnittliche Änderungsrate?
5. Für die Kaufkraft einer Währung wurden für 6 aufeinander folgende Jahre nachstehende
Werte ermittelt: 100; 95; 85; 80; 78; 70. Bestimmen Sie den durchschnittlichen prozentualen,
jährlichen Kaufkraftschwund.
6. Ein Pkw legt vier gleichlange Teilstrecken einer Gesamtstrecke mit den Geschwindigkeiten
40 km/h, 50 km/h, 80 km/h und 100 km/h zurück. Durch welche konstante Geschwindigkeit
hätte er die Gesamtstrecke in der gleichen Zeit bewältigt?
7. Ein Privatanleger kauft 10 Aktien zu je 100,00 €. Einen Monat später kauft er noch einmal
15 Aktien zum Preis von 150 € pro Aktie. Ermitteln Sie den Durchschnittspreis pro Aktie.
8. Ein Privatanleger kauft für 1.000,00 € Aktien der Firma X AG zum Stückpreis von
100,00 €. Einen Monat später kauft es noch einmal für 2.250,00 € Aktien der gleichen Firma
zum Stückpreis von 150,00 € pro Aktie. Ermitteln Sie den Durchschnittspreis pro Aktie.
26

9. Bei zwei Umfragen unter Studenten haben sich einmal 60 % von 100 Hörern einer
Vorlesung und zum anderen 38 % von 1000 vor der Mensa befragten Studenten für die
Abschaffung der Statistik ausgesprochen. Wie viel Prozent der Befragten haben sich im
Durchschnitt für die Abschaffung der Statistik ausgesprochen?
10. Ein Reisender braucht für das erste Viertel einer Strecke von 1.000 km
2 Stunden. Für die folgende Teilstrecke, die genau halb so lang wie die Gesamtstrecke ist,
braucht er 5 Stunde und für den Rest 3 Stunden. Welche Durchschnittsgeschwindigkeit ergibt
sich für die Gesamtstrecke?
11. Ein Pkw-Fahrer legt von einer Gesamtstrecke 1/6 mit einer Geschwindigkeit von
100 km/h, 1/3 mit einer Geschwindigkeit von 80 km/h und 1/2 mit einer Geschwindigkeit von
50 km/h zurück. Mit welcher (konstanten) Geschwindigkeit würde er die gesamte Strecke in
der gleichen Zeit bewältigen?
12. Von 11 getesteten Hundepensionen erhielten 5 Pensionen drei Sterne, 2 Pensionen zwei
Sterne und 3 Pensionen einen Stern. Eine Pension erhielt keinen Stern. Wie viele Sterne
haben die getesteten Pensionen im Durchschnitt erhalten?
13. Der Erdölverbrauch eines Landes hat in zwei aufeinander folgenden Jahren um 20 % und
um 38,75 % zugenommen. Um wie viel Prozent hat der Erdölverbrauch durchschnittlich pro
Jahr zugenommen?
14. Ein Amateurradrennfahrer fährt in der ersten Stunde 50 km/h. Danach eine Stunde und
15 Minuten mit 40 km/h. Welche Durchschnittsgeschwindigkeit hat der Radrennfahrer
erzielt?
15. Jemand fährt 100 km, davon die 1. Hälfte mit 50 km/h und die 2. Hälfte mit 40 km/h.
Berechnen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit.
16. Ein Fliesenleger verlegt 20 m² Fliesen mit 5 m²/Stunde und 10 m² Fliesen mit
4 m²/Stunde. Wie hoch ist die Durchschnittsleistung?
17. Die Lohnsteigerungen in einem Betrieb betrugen in den letzten Jahren 7 %, 6,5 % und
4,9 %. Gesucht ist die durchschnittliche Steigerungsrate.
18. Eine Hausfrau kauft in drei aufeinander folgenden Monaten ein Waschmittel. Im ersten
Monat für insgesamt 6,00 € bei einem Preis von 2,00 €/kg, im zweiten Monat für 9,00 € bei
3,00 €/kg und im dritten Monat für 16,00 € bei 4,00 €/kg. Welchen durchschnittlichen Preis
hat sie bezahlt?
27

19. Auf einer Baustelle arbeiten 3 Maurer. Der erste benötigt für einen m² Mauerwerk
60 Minuten, der zweite 10 Minuten und der dritte 30 Minuten. Wie lange benötigt ein Maurer
durchschnittlich für einen m² Mauerwerk?
20. Ein Restaurant importiert Froschschenkel aus drei verschiedenen Ländern für je
6.000,00 €/Monat zu folgenden Einkaufspreisen: aus Land A für 100,00 €/kg, aus Land B für
150,00 €/kg und aus Land C für 120,00 €/kg. Welchen durchschnittlichen Preis hat das
Restaurant bezahlt?
21. Zwei Produktionsbereiche eines Unternehmens haben im vergangenen Jahr die folgenden
Umsätze erzielt: A: 2.000.000,00 € und B: 3.000.000,00 €. In diesem Jahr sind die Umsätze
gestiegen; im Produktionsbereich A um 9 % und im Bereich B um 4 %. Wie hoch ist der
durchschnittliche Zuwachs?
22. Ein Autofahrer tankt auf einer Reise dreimal. Beim ersten Mal 20 l zum Preis von 1,20 €/l,
beim zweiten Tankstop 30 l zum Preis von 1,60 €/l und beim dritten Mal 50 l zum Preis von
1,50 €/l. a) Wie viel Euro beträgt der mittlere Benzinpreis pro Liter und b) wie groß ist der
mittlere Benzinpreis, wenn er zu den angegebenen Preisen jeweils für den gleichen
Geldbetrag tankt?
23. In einer Firma beträgt das arithmetische Mittel aller dort gezahlten Gehälter 2.500,00 €.
Aufgrund einer Vereinbarung wird das Gehalt aller leitenden Angestellten um 10 % erhöht.
Auf diese Gruppe entfielen vor der Gehaltserhöhung 30 % der gesamten Gehaltssumme. Wie
hoch ist das arithmetische Mittel aller Gehälter nach der Gehaltserhöhung?
24. Bei einem Unternehmen ist der Umsatz bei Produkt A um 10 % auf 1.100.000,00 € und
bei Produkt B um 15 % auf 575.000,00 € gewachsen. Wie hoch ist die mittlere Zuwachsrate.
25. Zwei Firmen planen den Zusammenschluss. Die erste Firma verfügt über 200.000,00 €
Eigenkapital, die zweite Firma über 300.000,00 € EK. Die Eigenkapitalquoten (EK/GK)
betragen 23,8 % und 43,8 %. Wie groß wäre die Eigenkapitalquote bei einem Zusammenschluss?
Lösungen:
1. a) x Z ; b) x ; c) x H ; d) x
2. a) x Z = 3 b1) x0,25 = 2
b2) x0,75 = 5 c) x =3,36 Treffer
xZ = 320 l /
3. a) Tag
b) x = 350 l / Tag
4. x G = 6,65 %
5. x G = 6,89 %
6. xH = 59,
259 km / h
7. x = 130,00 € / Aktie
8. x H = 130,00 € / Aktie
9. x = 40 %
10. x = 100 km / h
11. x H = 63,158 km / h
12. x Z = 2 Sterne
13. x G = 29,03 %
14. x = 44,44 km / h
15. x H = 44,44 km / h
16. x H = 4,62 m² / h
17. x G = 6,13 %
18. x H = 3,10 € / kg
19. x H = 20 Min. / m²
20. x H = 120 € / kg
21. x = 6 %
22. a) x = 1,47 € / l
b) x H = 1,41 € / l
23. x = 2.575,00 €
24. x H = 11,67 %
25. x H = 32,78 %
28

Streuungsmaße
Streuungsmaße (Streuungsparameter) haben die Aufgabe, die Streuung der Häufigkeitsverteilung
in Form eines einzigen Wertes zu beschreiben. Das Merkmal muss dabei metrisch
messbar sein.
Spannweite:
Die Spannweite (R) ist die Differenz aus dem größten und dem kleinsten beobachteten
Merkmalswert. Es gilt: R = xn – x1
Aufgabe:
Ermitteln Sie die Spanne von Überstunden der Beschäftigten in einem Unternehmen
Überstunde 0 1 2 3 4 12
Beschäftigte 3 10 4 3 2 1
- Die Spannweite ist ein einfaches Streuungsmaß, das lediglich die Länge des Streuungsbereiches
angibt.
- Wie im Beispiel ersichtlich, ist es ausreißerempfindlich.
- Die Spannweite findet praktische Anwendung, wenn nur die Länge des Streuungsbereichs
interessiert. bzw.
- der höchste und tiefste Wert (z.B. bei Börsenkursen) von Bedeutung ist.
- Werden nur die beiden Grenzwerte angegeben, ist auch die Anwendung bei ordinalem
Datenmaterial zulässig (z.B. Noten, die Bereich von 2 bis 4 lagen).
- Bei einer klassierten Häufigkeitsverteilung gilt:
R =
x − x
o
v
u
1
29

Quartilsabstand:
Der Quartilsabstand gibt an, in welchem Bereich sich die mittleren 50 % der geordneten
Merkmalswerte befinden. Q = x¯ 0,75 – x¯ 0,25
Beispiel: Fehlzeiten der Beschäftigten in einem Unternehmen
xi 0 2 5 6 7 11 12 14
hi 4 2 2 2 4 3 2 1
Hi 4 6 8 10 14 17 19 20
x¯ 0,25 = 2 ; x¯ 0,75 = 11 ; x¯ 0,75 – x¯ 0,25 = 11 – 2 = 9 Tage, d.h. die mittleren 50 % der
Beschäftigten haben zwischen 2 und 11 Tagen gefehlt und streuen in einem Intervall mit der
Länge 9 Tage.
- Der Quartilsabstand ist geeignet, wenn der Kernbereich einer Häufigkeitsverteilung von
Interesse ist (z.B. Einkommensverteilung).
- Der Quartilsabstand ist nicht ausreißerempfindlich.
- Analog zum Quartilsabstand lassen sich auch andere Quantile berechnen.
Aufgabe 1:
Berechnen Sie den Quartilsabstand von den Überstunden (xi) der Beschäftigten (hi)
xi 0 1 2 3 4 12
hi 3 10 4 3 2 1
Hi 3 13 17 20 22 23
Aufgabe 2: Berechnen Sie den Quartilsabstand der klassierten Häufigkeitsverteilung
Forderungen (in Euro)
j
von ... bis unter ...
hj Hj fj Fj
1 50 100 15 15 0,0612 0,0612
2 100 200 50 65 0,2041 0,2653
3 200 300 80 145 0,3265 0,5918
4 300 400 40 185 0,1633 0,7551
5 400 600 40 225 0,1633 0,9184
6 600 1000 20 245 0,0816 1
30

Mittlere absolute Abweichung:
Die „mittlere absolute Abweichung“ (d) ist die durchschnittliche Entfernung aller Merkmalswerte
vom arithmetischen Mittel oder vom Median.
Aufgabe 1: Berechnen und interpretieren Sie die mittlere absolute Abweichung von den
Überstunden der Beschäftigten in einem Unternehmen
i
xi
hi
0 3
1 10
2 4
3 3
4 2
12 1
xi * hi x
x i − x i − x * h i
Aufgabe 2: Berechnen Sie die mittlere absolute Abweichung bei der folgenden klassierten
Häufigkeitsverteilung:
j
Forderungen (in Euro)
von ... bis unter ...
50 100 15
100 200 50
200 300 80
300 400 40
400 600 40
600 1000 20
xj * hj xj * * hj x x
*
x − x * h
*
j − j
j
31

Varianz und Standardabweichung:
Die Varianz (s²) ist die Summe der quadrierten Abweichungen der Merkmalswerte vom
arithmetischen Mittel, dividiert durch die Anzahl der Merkmalsträger. Die Standardabweichung
(s) ist die Quadratwurzel aus der Varianz.
Aufgabe 1 : Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung von den Überstunden
der Beschäftigten in einem Unternehmen
i xi hi xi * hi xi – x¯ ( xi – x¯ )² ( xi – x¯ )² * hi
0 3
1 10
2 4
3 3
4 2
12 1
Aufgabe 2: Berechnen Sie die Varianz und die Standardabweichung der klassierten
Forderungen einer Unternehmung.
j
Forderungen (in Euro)
von ... bis unter ...
50 100 15
100 200 50
200 300 80
300 400 40
400 600 40
600 1000 20
xj * hj xj * * hj (xj * – x¯ )² (xj * – x¯ )² * hj
32

Variationskoeffizient:
Der Variationskoeffizient (V) ist ein Quotient aus einem Streuungsparameter (Standardabweichung
oder mittlere absolute Abweichung) und einem Lageparameter (arithmetischem
Mittel oder Median). Er misst die relative Streuung der Merkmalswerte.
Beispiel: Forderungen
x¯ = 320,92 € s = 188,19 € 188,
19
V = * 100 = 58,
64 %
320,
92
oder:
x¯ = 320,92 € d = 146,19 € 146,
19
V = * 100 = 45,
55 % , d.h. die Forderungsbeträge
320,
92
sind 45,55 % vom durchschnittlichen Forderungsbetrag 320,92 € entfernt. (Je nach verwendetem
Lage- bzw. Streuungsmaß ist das Ergebnis entsprechend zu interpretieren.)
Der Variationskoeffizient ist auch als relative Größe zum Vergleich der Streuung von
Häufigkeitsverteilungen mit unterschiedlichen Mittelwerten geeignet, soweit diese die
gleichen Maßeinheiten besitzen:
Beispiel: Für zwei Güter (A und B) werden Preisuntersuchungen mit den folgenden
Ergebnissen durchgeführt:
2,
80
7,
00
x¯ A = 7,00 € dA = 2,80 € V = * 100 = 40 %
20,
40
750,
00
x¯ B = 750,00 € dB = 20,40 € V = * 100 = 2,
72 %
Neben den relativen Streuungen der Güter A und B kann hier auch festgestellt werden, dass
bei Gut A die durchschnittliche Abweichung 14,7-mal so groß ist, wie bei Gut B.
33

Aufgaben:
1. In 10 Gaststätten wurden die folgenden Preise für ein Glas Wasser (0,2 l) ermittelt: 1,40 ;
1,60 ; 1,70 ; 1,50 ; 1,40 ; 1,80 ; 1,70 ; 1,60 ; 1,50 ; 1,80. Berechnen Sie die a) Spannweite,
b) mittlere absolute Abweichung, c) Varianz, d) Standardabweichung und e) den Variationskoeffizienten
auf Basis der mittleren absoluten Abweichung zum arithmetischen Mittel.
2. Eine Befragung von Studenten nach den monatlichen Ausgaben für Bücher hat folgendes
Ergebnis geliefert:
Ausgaben 30 bis u. 40 40 bis u. 50 50 bis u. 60 60 bis u. 70 70 bis u. 80
fj 0,1 0,2 0,2 0,4 0,1
Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Varianz.
3. Berechnen Sie für die folgende Verteilung die Standardabweichung:
Klasse 10 bis unter 20 20 bis unter 30 30 bis unter 40 40 bis unter 50
hj 12 23 20 5
4. Die folgende Tabelle gibt die Körpergröße von 5 Kindern in cm und Zoll an, wobei der
Einfachheit halber 1 Zoll = 2,5 cm gesetzt wurde.
cm 120 130 125 130 135
Zoll 48 52 50 52 54
Berechnen Sie für beide Messreihen a) das arithmetische Mittel, b) die mittlere absolute
Abweichung und c) den Variationskoeffizient.
5. Eine Untersuchung des verfügbaren Einkommens von Studenten in den USA und in
Deutschland ergab folgende Werte:
USA: x¯ = 470,00 $ s = 160,00 $
Deutschland: x¯ = 520,00 € s = 130,00 €
Vergleichen Sie die relativen Streuungen miteinander.
6. Bei einer Prüfung wurden von 11 Teilnehmern die folgenden Punktzahlen erzielt:
7, 3, 4, 2, 8, 6, 5, 3, 7, 3, 7. Bestimmen Sie a) den Modus, b) den Zentralwert, c) das
arithmetische Mittel, d) die Spannweite, e) die mittlere absolute Abweichung, f) die Varianz
und g) die Standardabweichung.
7. Ordnen Sie die Beobachtungswerte 10,3; 12,4; 11,3; 10,8; 12,1; 12,9; 13,5; 13,1; 10,4 und
12,0 den folgenden Klassen zu: 10 bis unter 11; 11 bis unter 12; 12 bis unter 13; 13 bis unter
14 und berechnen Sie a) das arithmetische Mittel und b) die Varianz für die klassierten Werte.
34

8. Die folgende Häufigkeitsverteilung gibt das Trinkgeld von 10 Gästen wieder:
xj (in €) 1,5 < xj ≤ 2,5 2,5 < xj ≤ 3,5 3,5 < xj ≤ 4,5 4,5 < xj ≤ 5,5
hj 3 3 3 1
Bestimmen Sie a) das arithmetische Mittel, b) die Spannweite und c) den Zentralwert.
9. Bestimmen Sie für die Werte: 8, 6, 7, 6, 9, 11, 10, 7, 6, 10 die folgenden Parameter:
a) Median, b) arithmetisches Mittel, c) mittlere absolute Abweichung, d) Varianz e) Standardabweichung
und f) Variationskoeffizient.
10. In zwei Betriebsrestaurants eines Caterers wird für den vergangenen Monat die Zahl der
täglich verkauften Essen ermittelt:
Berechnen Sie für beide Betriebsrestaurants die durchschnittlich pro Tag verkauften Essen
und ermitteln Sie den Betrieb mit der gleichmäßigeren Auslastung.
Lösungen:
Betrieb A Betrieb B
Anzahl
Essen
Anzahl
Tage
Essen Tage
700 4 500 2
800 7 600 4
900 4 800 8
1000 6 1000 10
1100 9 1100 6
2
2
1. a) R = 0,40 € ; b) x = 1,
60 € ; d = 0,
12 € ; c) s = 0,
02 € ; d) s = 0,
1414 € ; e) V = 7,
5 %
2. x = 57 € ; s² =136 €²
3. s = 8,81
4. a) x 1=
128 cm ; x 2 = 51,2 Zoll ; b) d1 = 4,4 cm ; d2 = 1,76 Zoll ; c) V = 3,44 %
5. V 34 %
USA = ; V 25 %
. Dt =
6. a) x D = 3 u. 7 Punkte ; b) x Z = 5 ; c) x = 5 ; d) R = 6 ; e) d = 1,82 ; f) s² = 4 ; g) s = 2
7. a) x = 12 b) s² =1,25
8. a) x = 3,20 € ; b) R = 4,00 € ; c) x = 3,
17 €
Z
9. a) x Z = 7,5 ; b) x = 8 ; c) d = 1,6 ; d) s² = 3,2 ; e) s = 1,79 ; f) V = 22,
38 %
10. x = 930 ; x A
B = 880 ; dA = 130 ; dB = 168 ; VA = 13,98 % ; VB = 19,09 % Betrieb A
35

Konzentrationsmessung
Die Konzentrationsmessung ermittelt, welcher Anteil der Merkmalswertsumme (z.B. Einkommen)
auf welchen Anteil (= relative Messung), bzw. auf welche Anzahl (= absolute
Messung) der Merkmalsträger (z.B. Haushalte) entfällt.
Aufgabe1a: Wert von 5.000 Lagerpositionen – Welcher Anteil des gesamten Lagerwertes
entfällt auf welchen Anteil der Lagerpositionen?
j
Lagerwert (in €)
von ... bis unter
1 5
5 15
15 25
25 50
50 100
100 395
hj
(Zahl der
Positionen)
2.000
1.200
800
700
200
100
fj
Fj
*
x j
hj ´
(= *
x j *hj)
fj ´ Fj ´
36

Lorenzkurve
Die Lorenzkurve zeigt das Ausmaß der Konzentration in einer grafischen Darstellung.
Besitzen alle Merkmalsträger denselben Merkmalswert, liegt keine Konzentration vor und die
Lorenzkurve ist identisch mit der Gleichverteilungsgeraden. Je größer die Konzentration ist,
desto größer ist die Fläche zwischen der Gleichverteilungsgeraden und der Lorenzkurve.
Aufgabe 1b: Zeichnen Sie die Lorenzkurve
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Fj
Fj = Lagerposition, Fj´ = Lagerwert
Gini-Koeffizient
Der Gini-Koeffizient (GK) ist ein Maß für die Stärke der Konzentration. Je näher GK gegen
Null geht, desto geringer ist die relative Konzentration, je näher GK gegen Eins geht, desto
größer ist die relative Konzentration. Es gilt: 0 ≤ GK ≤ ( n − 1)
/ n < 1 und F 0
´
Aufgabe 1c: Berechnen und interpretieren Sie den Gini-Koeffizienten
0 =
Fj´ 1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
37

Aufgaben:
2. Berechnen und interpretieren Sie die absolute Konzentration für das obige Beispiel.
3. Berechnen, zeichnen und interpretieren Sie die relative Konzentration
j
Zimmerpreise (€)
von ...bis unter
hj
1 50 70 50
2 70 90 44
3 90 120 40
4 120 150 38
5 150 190 28
4. Es liegt Ihnen die folgende relative Summenhäufigkeitsverteilung einer Unternehmung mit
2000 Mitarbeitern vor. Berechnen, zeichnen und interpretieren Sie die relative Konzentration.
Fj
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1000
0
1250
3
1500
8
1750
15
Bruttomonatseinkommen
2000
25
2250
35
2500
50
2750
62
3000
72
3250
80
3500
85
3750
90
4000
93
4250
96
4500
98 99 100
4750
5000
xj
38

Abhängigkeit von Merkmalen
Zwei Merkmale sind voneinander statistisch abhängig, wenn der Wert des einen Merkmals
davon abhängt, welchen Wert das andere Merkmal besitzt. Im Falle der Unabhängigkeit
müssen alle Beobachtungswerte den erwateten Werten aus der Randverteilung entsprechen.
Beispiel: absolute Verteilung
Geschlecht
Farbe
blau
(k=1)
grün
(k=2)
rot
(k=3)
weiblich (i=1) 750 450 300
männlich (i=2) 250 150 100
Summe (hk)
Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen
Summe
Kontingenzkoeffizient: Der Kontingenzkoeffizient (K) beschreibt die Stärke des Zusammenhangs
zwischen zwei Merkmalen.
Aufgabe: Die 400 Beschäftigten eines Betriebes wurden nach ihrer Einstellung zu einer
unbezahlten Verlängerung der Mittagspause von bisher 30 Minuten auf 45 Minuten befragt.
Von den 100 Beschäftigten in der Verwaltung waren 40 dafür und 32 dagegen. Die Restlichen
waren unentschieden. In der Produktion stimmten 140 dafür und 88 dagegen. Überprüfen Sie,
ob ein Zusammenhang zwischen dem Tätigkeitsbereich (Merkmal X) und der Einstellung zur
Pausenregelung (Merkmal Y) besteht.
Berechnung des Zusammenhangs:
X
Verwaltung
Produktion
∑
Y
positiv negativ unentschieden ∑
(hi)
39

Rangkorrelationskoeffizient
Zur Messung der Stärke des Zusammenhangs von zwei Merkmalen, die mindestens ordinal
skaliert sind, wird der Rangkorrelationskoeffizient (ρ) verwendet.
Aufgabe: Es soll untersucht werden, ob ein Zusammenhang zwischen der Qualität von
6 Champagnermarken (Merkmal x) und deren Verkaufspreisen (Merkmal y) besteht.
These: „Je besser die Qualität, desto teurer der Champagner“
i Qualitätsurteil (xi) Preis (yi) Rang (xi) Rang (yi) Di Di 2
1 gut 20,10
2 sehr gut 19,35
3 befriedigend 21,20
4 gut 20,99
5 mangelhaft 19,80
6 ausreichend 18,40
• die Reihenfolge der Ränge richtet sich nach der These
• bei gleichen Rängen wird das arithmetische Mittel verwendet
• ρ =
• der Wertebereich ist -1 ≤ ρ ≤ 1 und gibt die Richtung und die Stärke des Zusammenhangs
an.
• der Rangkorrelationskoeffizient prüft allein die Stärke der Gleich- oder Gegenläufigkeit
der Rangordnungen
40

Regressionsanalyse
Die Regressionsanalyse beschreibt einen Zusammenhang durch eine mathematische Funktion,
die sogenannte Regressionsfunktion. Um die Abstände zwischen den Merkmalswerten
messen zu können, müssen die Merkmale metrisch skaliert sein.
Das Streuungsdiagramm (Punktwolke) ergibt sich aus den beobachteten Wertkombinationen
(xi,yi). Die Regressionsgerade beschreibt den durchschnittlichen Verlauf der Abhängigkeit der
Merkmale x und y.
Aufgabe: Es soll untersucht werden, ob ein Zusammenhang zwischen den Werbeausgaben
(Merkmal x) und dem Umsatz (Merkmal y) besteht.
i xi (in
100 €)
yi (in
1.000 €)
1 2 10
2 4 14
3 1 6
4 3 8
5 5 12
∑ 15 50
( x i − x)
( yi
− y)
x − x)(
y − y)
( i
i
( x −
i
x)
2
( y −
i
y)
2
41

Aufgaben:
1. Ein Hotelier möchte mittels Unabhängigkeitstest überprüfen, ob der Zusammenhang
zwischen den Umsätzen in seinem Biergarten und der Zimmerauslastung in seinem Hotel als
statistisch signifikant angesehen werden kann. Aus den vergangenen 100 Tagen liegen die
folgenden Daten vor:
Umsätze
bis 1500,- € / Tag über 1500,- € / Tag
Zimmerauslastung in %
bis 50 % 40 25
über 50 % 20 15
2. Die Fluktuation der Mitarbeiter war in den vergangenen Jahren recht hoch. Da die Einarbeitung
neuer Mitarbeiter mit erheblichen Kosten verbunden ist, soll anhand der Herkunft und
der Dauer der Betriebszugehörigkeit überprüft werden, ob hier ein statistischer Zusammenhang
besteht um so die Fluktuation in Zukunft geringer zu halten. Es liegen die
folgenden Daten vor:
Betriebszugehörigkeit
in Jahren
Entfernung des bisherigen
Wohnsitzes
Mitarbeiter aus einer Entfernung
von bis zu 100 km
42
Mitarbeiter aus einer Entfernung
von über 100 km
1 bis 2 Jahre 6 13
3 bis 4 Jahre 13 12
5 bis 6 Jahre 10 7
7 Jahre und länger 14 5
Berechnen Sie das Chi-Quadrat mittels Testverfahren in einer geeigneten, übersichtlich
strukturierten Tabelle, ermitteln Sie den korrigierten Kontingenzkoeffizienten und
interpretieren Sie Ihr Ergebnis.
3: Die folgende Tabelle enthält die Noten von 10 Studierenden in BWL und Statistik:
BWL 1,6 3,4 3,8 2,7 2,4 4,2 5,0 3,7 3,1 3,5
Statistik 1,7 3,2 3,6 2,2 2,5 4,3 5,0 4,4 3,7 2,6
Berechnen Sie den Rangkorrelationskoeffizienten und überprüfen Sie in wieweit hier ein
Zusammenhang besteht.
4. Zeichen Sie aus den folgenden Daten das Streuungsdiagramm und bestimmen Sie die
Regressionsfunktion y-x , x-y , das Bestimmtheitsmaß und den Korrelationskoeffizienten:
( 1 ; 2 ) , ( 2 ; 3 ) , ( 3 ; 5 ) , ( 4 ; 4 ) , ( 4 ; 6 ) , ( 5 ; 4 ) , ( 6 ; 8 ) , ( 7 ; 7 ) , ( 9 ; 8 )

5. Bestimmen Sie die Regressionsfunktion y-x, mit x = Werbeausgaben (in Tsd. €) und
y = Umsatz (in Tsd. €) und n = 5 Jahren:
( 10 ; 400 ) , ( 12 ; 430 ) , ( 9 ; 380 ) , ( 11 ; 390 ) , ( 14 ; 450 )
6. Ein Hotelier möchte überprüfen, ob die Umsätze in seinem Biergarten (Y) von der
Zimmerauslastung (X) in seinem Hotel garni abhängen. In den vergangenen Wochen ergab
sich folgende Verteilung:
X (in %) 40 60 70 50 50
Y (in 100 €) 10 15 20 14 17
a) Berechnen Sie die arithmetischen Mittel von X und Y,
b) zeichnen Sie das Streuungsdiagramm,
c) stellen Sie die Regressionsfunktion auf,
d) berechnen und erläutern Sie das Bestimmtheitsmaß.
7. Es wurden 200 Personen nach ihrem Berufsstand und dem Berufsstand ihres Vaters gefragt.
Die Ergebnisse enthält die folgende Tabelle:
Kind
Vater
Arbeiter Angestellter Beamter Selbstständiger
Arbeiter 40 10 0 0
Angestellter 40 25 5 10
Beamter 10 25 25 0
Selbstständiger 0 0 0 10
Überprüfen Sie mit einem geeigneten Verfahren, ob hier ein statistischer Zusammenhang
besteht.
8. Ein Unternehmen möchte den Zusammenhang zwischen dem Preis pro Stück und der
Absatzmenge eines Produktes erkunden. Hierzu wurden die folgenden Daten ermittelt:
Preis pro
Stück (€)
Absatzmenge
(Stück)
Analysieren Sie die Tabelle
0,70 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 1,35 1,40 1,70
280 230 220 200 199 188 134 110 110 102
9. In einem Land wurden die Angaben von 50 Personen bezüglich der Berufsgruppe und der
Nationalität erfasst. Dabei ergab sich, dass von 30 Inländern 20 Angestellte waren und von
den Ausländern 15 Arbeiter. Überprüfen Sie, ob hier ein statistischer Zusammenhang besteht.
43

10. Einige Bürger wurden nach ihrem ausgabefähigen monatlichen Einkommen in Euro und
nach ihrem Sparverhalten befragt:
Einkommen 1.450,00 972,00 2.600,00 1.300,00 2.990,00 2.230,00
Sparbeitrag 89,00 48,00 309,00 82,00 308,00 220,00
Analysieren Sie die Tabelle
11. Eine Befragung von 1.000 Personen nach Familienstand und Religionszugehörigkeit hat
das folgendes Ergebnis geliefert:
ledig verheiratet geschieden
katholisch 80 400 20
evangelisch 100 250 50
sonstiges 20 50 30
Analysieren Sie die Tabelle.
Lösungen:
1. Chi² = 0,1832 ; Ckorr = 0,0605
2. Chi² = 7 ; Ckorr = 0,4012
2
3. ∑ D = 24 ; ρ = 0,855
i
4. yˆ = 1,7854 + 0,7544 x ; r = 0,8724 ; B = r² = 0,7611 =ˆ 76,11 %
5. yˆ = 251,08 + 14,19 x ; r = 0,9362 ; B = r² = 0,8764
6. x = 54 ; y = 15,2 ; yˆ = 1 / 26 + 73 / 260 x ; r = 0,8649 ; B = r² = 5329 / 7124
7. Chi² = 170,72 ; Ckorr = 0,784
8. yˆ = 391,39 – 186,98 x ; r = – 0,9468 ; B = r² = 0,8963
9. Chi² = 8,33 ; Ckorr = 0,5345
10. x = 5771 / 3 ; y = 176 ; yˆ = – 103,39 + 0,1452 x ; r = 0,9843 ; B = r² = 0,9688
11. Chi² = 85,57 ; Ckorr = 0,3439
44

x
x
+ x
u o
*
j =
j j d j
j
o u
x j − x j
2
Formelsammlung Statistik
u
h
x − x j
= F( x)
= Fj−1
+ * ( Fj
− Fj
1)
o u
−
x − x
o u
o u
x j − x j n
x
u
j − x
u
j
= x j + * ( − H j−
) x Z = x j + * ( 0,
5 − Fj−1
)
h 2
f
x Z
1
s ²
x
j
v
n
1
x = ∑ xi
* h
x G = n
i
∏
n i=
1
i=
v
∑
i
i=
1
H = =
v
v h i
∑
i=
1
h
x
i
∑
i=
1
n
h
x
i
i
R = xn – x1
d
z
=
1
n
j
j
d =
v
1
1
n
∑ x −
i= 1
j
x
v
i
h
i
∑ x −
i= 1
i x * hi
1 v
( x x ) ²
1 v
= ∑ − * h
s² =
2
∑ x * h − x ²
n i=
1 i i
n i=
1 i i
z
i x * hi
v
s
´ ´
s = s²
V = * 100
GK = 1−
∑ f j * ( Fj−
1 + Fj
)
x
j=
1
χ
2
=
v
w
∑ ∑
⎛
⎜h
⎝
ik
h i * h
−
n
h * h
n
i=
1 k= 1
i k
2
6 Di
= 1−
n(
n²
−1)
k
2
⎞
⎟
⎠
ρ ∑
xy = ∑∑
∑
∑
K korr = 2
2
χ K´
*
χ + n K´
− 1
mit K´
= min
45
{ v,
w }
v w 1
s ( x i − x)
⋅ ( yk
− y)
⋅ h yˆ = a + bx
ik
n i=
1 k=
1
∑ x iy
i − ∑ x
2
n ⋅ ∑ x i − ( ∑
( x i − x)(
yi
− y)
n ⋅
i ⋅ yi
b = =
2
2
a = y − bx
( x − x)
x )
r =
∑
(
i
∑ ( x − x)(
y − y)
s
i
i
xy
= ˆ
B = r²
2
2
x − x)
* ( y − y)
s ⋅ s
i
i
x y
∑
i
∑