Entwicklung eines Kontrollsystems für die Strahllagemessung am ...

8 2 GRUNDLAGEN
wird das Magnetfeld B = (Bx(y), By(x), 0) in einer Multipolentwicklung angenähert:
e
p By(x) = e
p By0 + e
p
e
2! p
d 2 By
dx 2 x 2 + · · ·
dBy 1
x + dx
= − 1
1
+ kx + R 2! mx2 + · · ·
= Dipol + Quadrupol + Sextupol + · · ·
Für die Herleitung der Bewegungsgleichungen nimmt man zunächst nur Dipol-
und Quadrupolfelder an. Weiterhin sollen Dipole nur zur Bahnkrümmung
in der Beschleunigerebene y = 0 benutzt werden, das bedeutet Bx0 = 0.
Diese Annahme ist bei HERA (und den meisten anderen Teilchenbeschleunigern)
erfüllt. Die Bewegungsgleichungen9 erhalten dann die Form
x ′′ (z) +
1
R2
− k(z)
(z)
x(z) =
1 ∆p
R(z) p
(2)
(3)
y ′′ (z) + k(z)y(z) = 0 (4)
Der Faktor ∆p/p gibt die relative Impulsabweichung des Protons vom Sollwert
an. Die Bewegungsgleichungen sind Differentialgleichungen zweiter Ordnung,
deren Lösung durch die Angabe zweier Konstanten festgelegt ist. Um
die einfachste Lösung von (4) zu erhalten, betrachtet man nur Teilchen mit
Sollimpuls, d. h. ∆p = 0, und vernachlässigt den Einfluß der Dipole gegenüber
den Quadrupolen, da10 1/R2 ≪ k. Die Gleichungen für die horizontale und
vertikale Teilchenbewegung erhalten damit die gleiche Form. Da sie einer
Schwingungsgleichung ähnlich sind, macht man den physikalisch motivierten
Ansatz einer Schwingung, deren Amplitude und Phase durch die Änderung
von Dipol- und Quadrupolstärke entlang der Teilchenbahn von der Koordinate
z abhängig ist:
x(z) = √
ɛ β(z) cos(Ψ(z) + ψ0) (5)
Da die in der Schwingungsgleichung als ω 2 bekannte Konstante durch eine
Funktion ersetzt wird, erwartet man auch nur eine neue Funktion in der
Lösung. Dementsprechend erhält man durch Einsetzen für die Phase Ψ(z)
die von β(z) abhängige Lösung
Ψ(z) =
z
0
dσ
β(σ)
9 Für eine Herleitung siehe z. B. [22, 24]. Man beachte bei [24], daß ein linkshändiges
Koordinatensystem verwendet wird, bei der Berechnung des Vektorproduktes aber
ein rechtshändiges System zugrundegelegt wird, was zwischenzeitlich zu Vorzeichenfehlern
führt. Die Herleitung in [22] ist korrekt.
10 Bei HERA ist k ≈ 0.033 m −2 , 1/R 2 ≈ 2.9 · 10 −6 m −2 [15]
(6)