Diplomarbeit Quantitative Analyse des Ausscheidungs- verhaltens ...

Atomen im Keim mit sich bringt. Man spricht hierbei von klassischen
Keimbildungs- und Wachstumsmechanismen (Abb. 3.4).
Eine andere Möglichkeit zur Bildung von Ausscheidungen im Bereich der
spinodalen Entmischung besteht im Auftreten von kleineren
Konzentrationsschwankungen, die durch Berauf-Diffusion (negativer
Diffusionskoeffizient) an Amplitude zunehmen (Abb. 3.4).
3.5 Spinodale Entmischung
Die Grundidee der Theorie der spinodalen Entmischung wurde von Hillert, Cahn
[CAHN, 1968] und Hilliard entwickelt. Man beschreibt eine Legierung mit einem
kontinuierlichen Konzentrationsfeld c(r), dabei bezeichnet die Funktion c(r) die
lokale Konzentration der Minderheitsatome. c(r) kann jeden beliebigen Wert
zwischen 0 und 1 annehmen. Die Zusammensetzung einer AB-Legierung befindet
sich im instabilen (spinodalen) Bereich der Mischungslücke, in dem ∂ 2 F/∂c 2 < 0
ist. Man schreibt die Freie Energie und das chemische Potential des Systems
folgendermaßen an:
F =
N ⎡ 1 2⎤
∫ ⎢
f () c + χ ( ∇c)
⎥
dV
(3.22)
V ⎣ 2 ⎦
V
f 2
∂
µ = − χ ⋅∇
c
(3.23)
∂c
Der Parameter χ ist positiv und spielt in diesem Fall die Rolle einer
Oberflächenspannung. Setzt man nun das chemische Potential µ in die Ficksche
Diffusionsgleichung ∂c/∂t = M ∇ 2 µ ein (M ist die Mobilität), so erhält man die
Cahn-Hilliard-Gleichung.
∂c 2 ⎡∂f
2 ⎤
= M ⋅∇
⎢
− χ ⋅∇
c
∂t
⎣∂c
⎥
(3.24)
⎦
Eine allgemeine Lösung dieser Gleichung ist überaus schwierig, und so führt man
eine Linearisierung der Gleichung unter der Bedingung, dass die Konzentration c
nahe bei c M liegt, durch. Die linearisierte Theorie ist aber nur am Anfang der
Entmischung gültig. Nach einer Reihenentwicklung von ∂f/∂c setzt man den
erhaltenen Ausdruck in die Cahn-Hilliard-Gleichung ein.
∂f
⎛ ∂f
⎞
≈ ⎜ ⎟
∂c
⎝ ∂c
⎠
c=
c
+
( c − c)
2 ⎛ ∂ f ⎞
⋅ ⎜
c ⎟ 2
⎝ ∂ ⎠
c=
c
(3.25)
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